*ELEKTROTEHNIKA IIPredavanje - 3Apsolutna i relativna pogreka. Pogreka mjerenja. Sluajne i sistematske pogreke. Gaussova ili normalna razdioba.

*Pogreke mjerenjaKako smo ve rekli, osnovni zadatak mjerne tehnike je da eksperimentalnim putem odredi pravu vrijednost mjerene veliine s odreenom (potrebnom) tonou u odreenim (postojeim) okolnostima.Jednostavno potpuno tono nije mogue odrediti ovu vrijednost ak i s vrhunskom tonou a to je i preskupo a esto i predugo.Kod svakog mjerenja imamo neku pogreku mjerenja. Paljivim strunim radom, koritenjem boljih i tonijih instrumenata, i kad je mogue, mjerei u referentnim uvjetima, pogreka mjerenja se moe smanjiti ali ne i ukloniti.

*Prava vrijednost mjerene veliineVe smo na prvom predavanju rekli da je prava vrijednost mjerene veliine ona vrijednost koju ta veliina stvarno ima.Na primjeru stola (slajd 1.3.) pokazali smo da to i nije lako odrediti to je.Ali u mjerenjima kao (najvjerojatniju) pravu vrijednost najee emo uzimati srednju aritmetiku vrijednost od vie mjerenja neke veliine.Ponekad kao pravu vrijednost mjerene veliine uzimamo vrijednost dobivenu mjerenjem s barem 5 do 10 puta tonijim mjernim instrumentom ili toliko tonijim mjernim postupkom.

*Pogreke mjerenja prema iznosu Apsolutne pogrekeKod mjerenja; Apsolutna pogreka je razlika izmeu izmjerene vrijednosti i prave vrijednosti mjerene veliineP = Iv - Pv

Kod mjera (napr. utega) Apsolutna pogreka je razlika izmeu prave vrijednosti i naznaene vrijednosti P = Pv NvNv naznaena vrijednost, to je ono to pie na utegu, trebala bi biti prava vrijednostPv vrijednost izmjerena tonim mjerenjem

*Relativna pogreka mjerenjaKod mjerenjaRelativna pogreka je kvocijent apsolutne pogreke i prave vrijednosti mjerene veliine.

Kod mjera (utezi i sl..)Relativna pogreka je kvocijent apsolutne pogreke i naznaene vrijednosti mjere.

*Relativna pogreka mjerenjaZato iskazujemo relativnu pogreku mjerenja ? Pa zato jer nije svejedno koliko je velika mjerena veliina.Ako smo kod mjerenja debljine papira pogrijeili za 0,1mm, to je velika pogreka, a kod mjerenja duljine stola ta pogreka je beznaajna.Kad bi kod mjerenja duljine stola pogrijeili za 1cm, onda je to velika pogreka, ali kod mjerenja duljine ove sobe to je prihvatljiva pogreka a kod mjerenja duljine ove zgrade je ta pogreka mala.Kod duljine ove zgrade bi pogreka od 1m bila katastrofalno velika a za udaljenost Zgb Split je i 10m zanemarivo mala pogreka.

*Postotna pogreka (procentualna)Kod mjerenjaPostotna pogreka je relativna pogreka izraena u postocima (pomnoena sa 100%).

Kod mjera (utega i sl.)Postotna pogreka je relativna pogreka izraena u postocima (pomnoena sa 100%).

*Korekcija ili ispravakKorekcija ili ispravak je vrijednost koja se dodaje izmjerenoj vrijednosti kako bi se smanjila pogreka mjerenja. Korekcija ima istu apsolutnu vrijednost kao i apsolutna pogreka ali je suprotnog predznaka.

K = - P

Kv korigirana vrijednost

Kv = Iv + K = Iv + (-P) = Iv + [ - (Iv Pv)] = Kv = Iv Iv + Pv = PvIzlazi da je korigirana vrijednost jednaka pravoj vrijednosti, ali ipak nije, jer i pogreka mjerenja nije tono izraunata, pa zato niti korekcija nije tona.

*Pogreke mjerenja po uzroku nastankaGrube pogreke ili propustiGrube pogreke nastaju zbog;neznanja mjeriteljanepanje mjeriteljaPrimjer; na instrumentu s vie skala poloaj kazaljke je oitan sa krive skalePrimjer; mjeritelj je odabrao pogrenu mjernu metodu ili pogreni instrument itd.Kada e to uraditi ?Pa samo onda ako ne zna ili ne pazi.Ove pogreke ne prouavamo jer se uzima u obzir da je mjeritelj kolovan zna, i da pazi.MP=30V oita se 90dsk=27,0V umjesto 28,5 na skali od 30dsk

*Sistematske ili sustavne pogrekeSistematske pogreke nastaju zbog obuhvatljivih utjecaja svega onoga to sudjeluje u mjerenju;nesavrenosti mjera i mjerilanesavrenost mjernog postupkanesavrenost mjernog objektanesavrenosti mjerne opremeutjecaj okoline (temperatura, vlaga, magn. i el. polja itd.)Sistematske pogreke imaju stalni predznak i stalni (odreeni) iznos pa se mogu analizom ustanoviti i uzeti u obzir putem korekcijeKad izmjerena vrijednost nije korigirana rezultat je netoan.

*Sluajne pogrekeSluajne pogreke nastaju zbog neobuhvatljivih i neizbjenih utjecaja svega onoga to sudjeluje u mjerenju;nesavrenosti mjeranesavrenost mjerilanesavrenost mjernog postupkanesavrenost mjernog objektanesavrenosti mjerne opremeutjecaj okoline (temperatura, vlaga, magn. i el. polja itd.)

*Sluajne pogrekeSluajne pogreke su od sluaja do sluaja razliite po iznosu i predznaku, tako da se ne mogu obuhvatiti analizom.

Rezultati se rasipaju pa su nesigurni

*Sluajne pogrekePrema metodi najmanjih kvadrata (Gauss, 1795.g.) najvjerojatnija vrijednost mjerene veliine je aritmetika sredina pojedinanih mjernih rezultata.

PAZITE ! Samo najvjerojatnija vrijednost mjerene veliine, ali ne i prava vrijednost.Ali ipak tu vrijednost u raunima pogreke koristimo kao pravu vrijednost, jer je utjecaj sluajnih pogreaka na ovaj nain znatno smanjen. Zato ?

*Sluajne pogrekePrimjer; mjerenje irine stola u colima20,90 = 20,95 + -0,0520,70 = 20,95 + -0,2521,00 = 20,95 + +0,0520,90 = 20,95 + -0,0520,80 = 20,95 + -0,1521,10 = 20,95 + +0,1521,00 = 20,95 + +0,05 146,40 =146,65+ -0,25 : 7 20,914 = 20,95 + -0,036 = 20,914Rezultat mjerenja je prikazan kao zbroj srednje vrijednosti i pogreke za sluajno odabranih 7 od 20 mjerenja

*Sluajne pogreketo vidimo s prethodnog slajda ?1. da smo u 7 mjerenja imali istu pravu vrijednost i da ona ostaje u istom iznosu i kod rauna srednje vrijednosti.2. da je zbroj svih sluajnih pogreaka bio reda veliine jedne sluajne pogreke (dodue u ovom primjeru najvee).3. kad smo za raun srednje vrijednosti taj zbroj sluajnih pogreaka podijelili sa brojem mjerenja dobili smo da je ukupna sluajna pogreka manja od najmanje sluajne pogreke.4. oito je da bi uzimanjem jo vie mjernih rezultata utjecaj sluajnih pogreaka bivao sve manji (vei N).

*Nepristrana procjena standardne devijacije pojedinanih rezultata mjerenjato je neki mjerni postupak toniji (precizniji), to se rezultati mjerenja meusobno manje razlikuju, pa se za raunsku ocjenu tonosti nekog mjernog postupka procjenjuje - srednja kvadratna pogreka pojedinanih mjernih rezultata ili krae varijanca

Za samu procjenu tonosti mjernog postupka obino se koristi nepristrana procjena standardne devijacije pojedinanih mjernih rezultata

*Sluajne pogrekeOvo se vrlo esto dogaa. Brkaju se pojmovi tono i precizno kao da su to rijei istog znaenja. (tako nam to kae i rjenik stranih rijei Bratoljuba Klaia Precizan toan do u najmanju sitnicu). (i Aniev Precizan koji se istie velikom tonou i jasnoom)No u strunoj literaturi mjerenja se ta dva pojma razlikuju opravdano ili ne ? Ali se razlikuju.Pa upoznajmo se s njima u njihovom strunom mjeriteljskom znaenju.Najbolje emo to uiniti preko sliica na slijedeem slajdu.

*Standardna devijacija pojedinanih mjernih rezultataMatematiari rade s beskonanim skupovima podataka pa im tada aritmetika srednja vrijednost postaje oekivanje a razlika izmeu N i N-1 zanemariva. Stoga matematiari piu;

N s Statistiari govore i o varijacionom koeficijentu to je isto to i standardna devijacija izraena u postocima prave vrijednosti.

*Usporedimo !TehnikaAritmetika srednja vrijednost konanog skupa podataka

Nepristrana procjena standardne devijacije

Matematika, statistikaAritmetika srednja vrijednost beskonanog skupa podataka oekivanje

Standardna devijacija

*Gaussova ili normalna razdiobaTo je jedna od najvanijih razdioba sluajne kontinuirane varijable u statisticiKod vrlo velikog broja mjerenja pojedinani mjerni rezultati rasipati e se oko srednje aritmetike vrijednosti zbog sluajnih pogreakaSlika 3.1. Prikaz Gaussove ili normalne razdiobe. Najvei broj podataka se grupira u blizini srednje vrijednosti beskonanog skupa, tj. oekivanja . iznos maksimuma kod je iznosa .

*Gaussova ili normalna razdiobaKod promatranja slike s prethodnog slajda znamo da nam brojevi govore samo koliko brzo amplituda funkcije opada prema nuli. Kod standardne krivulje ukupna povrina ispod krivulje jednaka je 1 to samo znai da je 100% sigurno da e x biti unutar granica , a to je jasno i samo po sebi.Ali ako se pogleda kolika je povrina ispod krivulje u granicama XX1 i ako je X X2 onda je i opet jasno da je ta povrina manja od 1.No iznos te povrine govori kolika je vjerojatnost da e X biti u granicama X1 X X2.

*Gaussova ili normalna razdiobaSlika 3.2. Siva povrina omeena krivuljom Gaussove razdiobe i granicama X1=-1,532 i X2=+1,548 je manja od ukupne povrine koja je jednaka 1.

*

List1

Normalna ili Gaussova razdioba =normsdist(x)

X1 =X2 =V =

-1.52.5

Povrina odPovrina odPovrina od

- do X1 =- do X2 =X1 do X2 =

0.06680720130.99379033470.9269831334

Dakle vjerojatnost da je x u granicama izmeuX1 i X2 ako je srednja aritmetika vrijednost jednaka 0, je jednaka omjeru povrine V i 1.

*Gaussova ili normalna razdiobaZnaajno je da e se X nalaziti u intervalu;u 68,27% sluajeva2u 95,45% sluajeva3u 99,73% sluajevaOdnosno;u 50% sluajeva u intervalu 0,6745u 95% sluajeva u intervalu 1,96u 99% sluajeva u intervalu 2,58to to konkretno znai ? Pa samo to da s velikom sigurnou moemo tvrditi da se prava vrijednost nalazi unutar intervala; -3 Pv +3.

*Podruje pouzdanostiPoznato nam je da je aritmetika srednja vrijednost rezultata naih mjerenja samo najvjerojatnija prava vrijednost, ali da ipak nije prava vrijednost.Zbog toga trebamo odrediti granice oko aritmetike srednje vrijednosti unutar kojih moemo s odreenom statistikom sigurnou (vjerojatnou) tvrditi (oekivati) da se nalazi prava vrijednost mjerene veliine.Takve granice nazivamo granicama pouzdanosti a podruje unutar tih granica podrujem pouzdanosti.Za beskonano mnogo podataka granice pouzdanosti su ve navedene na slajdu 24.

*Podruje pouzdanostiAli problem je u tome da mi nemamo beskonano mnogo podataka o mjerenju neke veliine.Obino raspolaemo sa 3 do 5 podatkaPonekad sa 10 podatakaRjee sa 20 podatakaA samo iznimno rijetko sa 100 ili vie podatakaSve je to malo prema beskonano mnogo podataka, no bez obzira na broj podataka uz pomo Studentove t-razdiobe mi smo u stanju vrlo tono odrediti granice pouzdanosti.U pravilu se one odreuju za aritmetiku srednju vrijednost uz nepristranu procjenu standardne devijacije aritmetike srednje vrijednosti.

*Podruje pouzdanostiNepristrana procjena standardne devijacije aritmetike sredine izraunava se iz nepristrane procjene standardne devijacije pojedinanih rezultata mjerenja i broja mjerenja;

Podruje pouzdanosti se rauna prema jednadbi; ili

Kod toga je t studentov faktor koji ovisi o eljenoj pouzdanosti i o broju podataka (minimalno 3).

*Mjerna nesigurnostKod rauna granica pouzdanosti pretpostavlja se da su korekcijom uklonjene sve sistematske pogreke. U praksi to gotovo nikada nije mogue postii.Zato ?Pa zato jer nam nisu poznati svi uzroci koji izazivaju sistematske pogreke. A kad nam je neki uzrok nepoznat, ne obuhvaamo ga analizom, pa niti ne utvrujemo iznos i predznak pogreke izazvan tim uzrokom.Dakle, korigirani mjerni rezultati u sebi sadre sistematske pogreke nepoznatog uzroka.To je mjerna nesigurnost.

*Mjerna nesigurnostIskusni mjeritelji procjenjuju iznos ove mjerne nesigurnosti f i za taj procijenjeni iznos poveavaju granice pouzdanosti.

Napomena;Pri iskazivanju konanog rezultata treba naznaiti da li su podaci dobiveni postupkom ponavljanja pokusa ili postupkom usporednih pokusa.

*Postupak ponavljanja pokusaje kad jedan mjeritelj odreuje mjerenu vrijednost u svom (1) laboratoriju, jednim mjernim ureajem, ponavljajui pokus (mjerenje) N puta.

Ovim postupkom se uglavnom ne mogu u cijelosti obuhvatiti sve sistematske pogreke (one nepoznatog uzroka). Nepristrana procjena standardne devijacije je manja od one kod postupka usporednih pokusa.Tj. rasipanje rezultata je manje, ali je postupak ipak manje toan (sistematske pogreke nepoznatog uzroka)

*Postupak usporednih pokusaje kad vie mjeritelja (M) odreuje mjerenu vrijednost iste veliine, ali svaki u svom laboratoriju (M), svojom mjernom opremom (M) iste izvedbe, ponavljajui pokus (mjerenje) Ni puta.Nepristrana procjena svih rezultata mjerenja biti e i do dva puta vea nego kod postupka ponavljanja pokusa, ali sada u ukupnom rezultatu sistematske pogreke nepoznatog uzroka djeluju kao sluajne pogreke pa se njihov utjecaj na ovaj nain smanjuje. Zato ?Zato jer e ove od laboratorija do laboratorija biti razliite po iznosu i predznaku.

*Sigurne (ugovorene) granice pogreakaSigurne granice pogreaka (skraeno granice pogreaka) su ugovorena ili garantirana najvea odstupanja na vie ili na nie od prave ili od naznaene vrijednosti. Ove granice pogreaka ne smiju nikada biti prekoraene, bez obzira na mjernu nesigurnost kojom e biti ustanovljen mjerni rezultat.

Sigurne granice pogreaka omoguuju nedvosmislenu podjelu mjernih ureaja ili mjernih objekata na ispravne i neispravne.

*Sigurne (ugovorene) granice pogreakaMjerni instrumenti su s obzirom na svoju tonost mjerenja, odnosno na svoje sigurne granice pogreaka podijeljeni u klase tonosti.Klasa tonosti nekog instrumenta je broj koji nam kae kolike su maksimalno dozvoljene pogreke (po apsolutnom iznosu) u mjernim jedinicama veliine koju instrument mjeri.Zbog praktinosti daju se kao postotak od mjernog dometa (podruja ili opsega).Konkretno voltmetar klase 2,5 na mjernim podrujima 10V, 30V, 100V i 300V smije imati pogreku od; 0,25V, 0,75V, 2,5V i 7,5V.

*Pogreke funkcija posredno mjerenih veliinaest je sluaj da traenu veliinu nismo u mogunosti neposredno (direktno) mjeriti. Tada se sluimo mjernim metodama pomou kojih iznos traene veliine doznajemo posredno raunom preko nekih drugih mjerenih veliina. U takvom je sluaju pogreka traene veliine sastavljena (sloena) od vie pogreaka veliina koje smo mjerili.Primjer; Mjerenje otpora UI-metodom. Mjerimo napon voltmetrom (pogreka mjerenja napona) i mjerimo struju ampermetrom (pogreka mjerenja struje) kolika je pogreka mjerenja otpora ?

*Pogreke funkcija posredno mjerenih veliinaKako se izraunavaju takve pogreke (odnosno sigurne granice pogreke) ?Openito se neka posredno mjerena veliina moe prikazati funkcijom; y=f(x1, x2, x3, ... , xN)Uz poznate sigurne granice pogreaka (Gi) svakog od mjerenih parametara (xi) u mjernim jedinicama (ne u relativnom ili postotnom iznosu) moe se izraunati sigurne granice pogreke veliine y pomou slijedee jednadbe;

**********************************