Titranje

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Splitu

Stručni studij elektrotehnike

Ivica Sorić

(Ivica.Soric@fesb.hr)

2

Uvod

Titranje je gibanje tijela oko ravnotežnog položaja koje se ponavlja u pravilnim vremenskim razmacima.

Primjeri titranja u prirodi: • Tijelo obješeno o oprugu • Žice muzičkih instrumenata, bubnjevi • Dijafragme u zvučnicima • Atomi i molekule u čvrstim tijelima – prijenos topline • Čestice zraka kad se kroz njih širi zvučni val – prijenos zvuka • Elektroni u antenama – prijenos informacija

Titranje je nejednoliko ubrzano gibanje a uzrokuje ga sila koja uvijek nastoji vratiti

tijelo u položaj ravnoteže.

Pomak tijela od ravnotežnog položaja izražava se udaljenošću od ravnotežnog položaja (u metrima) ili kutem (u radijanima) i naziva se elongacija.

3

Elastična sila

Jednostavno harmoničko titranje: uzrokovano je silom koja je po iznosu proporcionalna pomaku tijela iz položaja ravnoteže, a po smijeru suprotna od tog pomaka: gdje je k –konstanta elastičnosti opruge (jedinica N/m)

Sila koja izaziva istezanje ili sabijanje opruge naziva se harmonična ili elastična sila.

Sistem koji titra pod utjecajem takve sile zove se harmonički oscilator.

xkF

4

Jednadžba gibanja jednostavnog harmoničkog titranja

m

k

);tsin(A)t(x

?)t(x;0xm

kx

kxxm

Smjer gibanja papira

5

Jednostavno harmoničko titranje

Elongacija x(t) (m) - pomak od ravnotežnog položaja u trenutku t Amplituda A (m) - maksimalna elongacija, ovisi o početnim uvjetima, tj. o stanju

u trenutku t=0. Kutna frekvencija (rad/s)

Period T (s) - vremenski interval između dva uzastopna ista stanja titranja. Ovisi o masi tijela m i elastičnosti opruge k. Što je veća masa tijela i što je opruga “mekša” tijelo titra sporije. • Period je vrijeme za koje čestica prođe kroz sva moguća mehanička stanja. • Mehaničko stanje je određeno elongacijom i brzinom.

Frekvencija (Hz=1/s) , broj titraja u jedinici vremena, =1/T • jedan herc=jedan titraj u sekundi

Veličina (t+) je faza titranja. Početna faza - određena je početnim

elongacijom xo i početnom brzinom vo .

afrekvencijkutna -;2T2)srad(2T)Tt(x)t(x

2o2

o )v

()x(A

o

o

v

xtg

6

Odnos elongacije, brzine i akceleracije

tcosA)t(x

tsinA)t(v

tcosA)t(a2

2

)tsin(A)t(x

)tsin(A

dt

)t(xd

dt

)t(dv)t(a

)tcos(Adt

)t(dx)t(v

)tsin(A)t(x

2

2

2

7

Primjer: Tijelo obješeno na oprugu

mgky0

yyy 0

l0 – duljina neopterećene opruge y0 – istegnuće opruge u ravnotežnom položaju y – pomak od ravnotežnog položaja

U ravnotežnom položaju je iznos elastične sile jednak iznosu sile teže: Ako tijelo pomaknemo u vertikalnom smjeru za y u odnosu na ravnotežni položaj, ukupno istegnuće opruge biti će: Primjenom drugog Newtonovog zakona u neravnotežnom položaju dobit ćemo:

2

2

2

2

2

0

m

k0ty

m

k

dt

tyd

kydt

ydm

kykykymgykmgma

Dobili smo jednadžbu jednostavnog harmoničkog titranja. Kružna frekvencija, odnosno period titranja, ovise o masi obješenog tijela (ako zanemarimo masu opruge) i elastičnosti opruge. Rješenje ove jednadžbe je: Amplituda i početna faza određene su pčetnim položajem, tj. pomakom iz ravnoteže u t=0.

2,yAtsinAty

8

Energija harmoničkog titranja

Mehanička energija tijela koje izvodi harmoničko titranje je suma njegove kinetičke i potencijalne energije.

)xA(k2

1)t(coskA

2

1

)t(cosmA2

1E

)tcos(Av;mv2

1E

2222

222

K

2

K

)tsin(A)t(x

2

0

x

0

x

polozajagravnoteznodox

polozajaodtijelapomakupri

silaelasticnaizvrsikojirad

0xp

kx2

1dxkxdxF

WE

2

PK kA2

1EEE

Ukupna mehanička energija harmoničkog oscilatora je očuvana. Potencijalna energija prelazi u kinetičku energiju i obratno.

kinetička energija potencijalna energija ukupna mehanička energija

)()( tEtE pk

KE

pE

)()( xExE pK

pE

KE

A A

9

Prigušeno titranje

Prigušeno titranje se javlja kad uz harmoničku silu na tijelo djeluje i sila otpora sredstva, razmjerna iznosu brzine a suprotnog smjera od brzine. Tijelo obješeno na oprugu koja titra u tekućini je primjer prigušenog titranja. Na tijelo izmaknuto iz ravnotežnog položaja uz harmoničku silu djeluje i sila trenja

Jednadžba gibanja prigušenog harmoničkog oscilatora:

0xx2x

0xm

kx

m

bx

bvkxxm

2

o

xbvbFtr

prigusenja faktorγ;m

b2

afrekvencijvlastita m

ko

Vlastita frekvencija ovisi samo o građi oscilatora, a ne o okolini u kojoj se nalazi oscilator. Rješenje jednadžbe je:

22

0p

p

t

:jegdje

)t(sinAe)t(x

10

Kvaziperiodički prigušeno

Kritički prigušeno

Aperiodički prigušeno

22

0

22

0

22

0

)t(sinAe)t(x p

t

2o

2

p

Prigušeno titranje-razine prigušenja

kvaziperiodički prigušeno

kritički prigušeno

aperiodički prigušeno

ovojnica

t

t

t

x(t)

x(t)

x(t)

tAe

Gibanje nema karakter titranja, tijelo se relativno brzo vraća u ravnotežni položaj.

Gibanje nema karakter titranja, tijelo se jako sporo vraća u ravnotežni položaj.

t

21 e)tBB()t(x

t

2

t

121 eCeC)t(x

11

Prisilno titranje

Titranje prigušenog oscilatora prepuštenog samom sebi prestane nakon nekog vremena.

Takvo titranje prigušenog harmoničkog oscilatora naziva se slobodno titranje a frekvencija tih titranja se zove frekvencija slobodnih titranja.

Ako je faktor prigušenja zanemariv (=0) slobodna titranja nazivaju se vlastita titranja a njihova frekvencija vlastita frekvencija.

Prisilno titranje se javlja kad se na prigušeno titranje djeluje vanjska vremenski periodična sila tako da se održi konstantna amplituda titranja.

Vanjska sila vrši pozitivan rad nad česticom koja titra i tako povećava njenu energiju, odnosno nadoknađuje gubitak mehaničke energije zbog trenja

Na tijelo mase m djeluju tri sile: harmonička sila, sila otpora sredstva (sila trenja) i vanjska sila, pa je jednadžba gibanja prisilnog titranja dana izrazom: Razumno je pretpostaviti da čestica neće titrati ni vlastitom frekvencijom ni frekvencijom slobodnih titranja već frekvencijom vanjske pogonske sile. Stacionarno rješenje jednadžbe gibanja (stanje koje se uspostavi nakon nekog vremena) je:

tsinFx2kxxm o

22222

o

o

22

o 4)(m

FA

2tg

elongacije isila izmedju pomak fazni);tsin(A)t(x

12

Amplitudna rezonancija

Amplituda je maksimalna kad je frekvencija vanjske sile jednaka te se kaže da je nastupila amplitudna rezonancija.

22

oA 2

A

Am

plit

uda

malo prigušenje

veliko prigušenje k

Fo

13

Energijska rezonancija Kod prisilnog titranja vanjska sila vrši rad i tako nadoknađuje izgubljenu

mehaničku energiju zbog trenja. Vanjska sila će predavati maksimalnu snagu titrajnom sustavu kad su

vanjska sila i brzina u fazi, tj. kad sila i brzina u istom trenutku imaju maksimalne vrijednosti.

Kad je frekvencija pogonske sile jednaka vlastitoj frekvenciji nastupa energijska rezonancija, tada tijelo za vrijeme od jednog perioda primi maksimalnu energiju jednaku

oE

vFP

)tcos(Avmaxv

tsinFF o

oo F)(AE

o

o

2)

2(tg

Kad je brzina i sila su u fazi 2

14

Sažetak – Jednostavno harmoničko titranje Gibanje koje se ponavlja u jednakim vremenskim intervalima naziva se periodično gibanje. Periodično gibanje pri kojemu se materijalna točka giba oko položaja ravnoteže i pri tom prijeđe

jednake trajektorije u oba smjera naziva se titranje. Svako titranje uzrokuje određena sila koja nastoji vratiti sistem u položaj ravnoteže. Jednostavno harmoničko titranje: uzrokovano silom koja je proporcionalna iznosu pomaka iz

položaja ravnoteže, a suprotnog smjera Sistem koji titra pod utjecajem takve sile zove se harmonički oscilator. Broj titraja u jedinici vremena naziva se frekvencija f. U SI sustavu jedinca za frekvenciju je

herc (hertz), znak Hz = s-1. Period titranja T je vrijeme potrebno da se ostvari jedan potpuni titraj, a povezano je s

frekvencijom relacijom T = 1/f. Sistem koji titra zbog utjecaja harmoničke sile ( ) zove se harmonički oscilator. Jednadžba gibanja harmoničkog oscilatora može se napisati u obliku:

Rješenje ove jednadžbe daje vremensku ovisnost elongacije

gdje je A amplituda, (t+) faza, a početna faza titranja.

Kružna frekvencija (vlastita frekvencija) jednaka je Brzina i akceleracija dobiju se iz slijedećih relacija:

Amplituda i početna faza titranja određene su početnim pomakom i početnom brzinom (početnim uvjetima).

mk /

0 xm

kx

)sin()( tAtx

)cos()( tAdt

dxtv )sin()(

2

2

tAdt

xdta

kxF

15

Sažetak - Prigušeno harmoničko titranje

Tijelo pričvršćeno za jedan kraj elastične opruge koje je izvedeno iz položaja ravnoteže a zatim prepušteno samo sebi izvodi prigušeno titranje s frekvencijom koja je određena svojstvom tromosti tijela (masom m), svojstvom elastičnosti tijela (konstanta opruge k) i otporom fluida (faktor prigušenja , F=-bv, 2 =b/m).

Jednadžba gibanja prigušenog harmoničkog titranja

Rješenje jednadžbe kvaziperiodički prigušenog titranja ( ) :

Kad je vlastita frekvencija manja od faktora prigušenja ( ) nastaje gibanje koje nema karakter titranja, te se tijelo relativno brzo odnosno sporo vraća u ravnotežni položaj ovisno jačini prigušenja, to sporije što je prigušenje jače.

m

bxxx o

2;02

)sin()(

p

tAetx 22 op

o

o

16

Sažetak - Prisilno harmoničko titranje

Prisilno titranje nastaje kad vanjska vremenski periodična sila ( ), djeluje na gušeni harmonički oscilator.

Jednadžba gibanja prisilnog harmoničkog titranja:

Stacionarno rješenje jednadžbe prisilnog harmoničkog oscilatora:

Amplitudna rezonancija nastupa kad je frekvencija vanjske sile:

Energijska rezonancija nastupa kad je frekvencija vanjske sile jednaka vlastitoj frekvenciji

toF sin

toFkxxxm sin2

2222222

2;

4)();sin()(

oo

o tgm

FAtAtx

22 oA

oE

17

Fizikalno njihalo Svako kruto tijelo koje se može slobodno okretati oko čvrste horizontalne osi u

gravitacijskom polju Zemlje tako da os ne prolazi kroz težište naziva se fizikalno njihalo. Kad kruto tijelo izvedemo iz ravnotežnog položaja za relativno mali kut (toliko mali da vrijedi , kut izražen u radijanima) tijelo izvodi harmoničko titranje.

d mgFg

Na kruto tijelo izmaknuto iz ravnotežnog položaja za kut djeluje zakretni moment sile koji ga nastoji vratiti u ravnotežni položaj.

tezasilagmF sile,havtista do osi od vektorrFrM gg

kut smanjiti nastoji koji

smjerima moment zakretnisindmgM

rotacije osi okotijela krutog tromosti moment -I

osicvrste okorotira se koje tijela krutog gibanja jednadzba IIM

I

mgd0

0I

mgd

Imgdsinmgd

2

mgd

I2T

Za mali kut

sin

18

Matematičko njihalo

Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na nerastezljivu nit zanemarive mase.

Kad materijalnu točku mase m odmaknemo od položaja ravnoteže za relativno mali kut (toliko mali da vrijedi , kut izražen u radijanima) tijelo izvodi harmoničko titranje.

sin

2

sin

; nit je nerastezljiva i bez mase

0

0

( ) sin( )o

ma mx mg mg

x l x l

ml mg

g

l

gt t

l

l

lx

mgFg

19

Reducirana duljina fizikalnog njihala

Reducirana duljina fizikalnog njihala je duljina matematičkog njihala koje ima isti period njihanja kao i fizikalno njihalo.

Točka P na štapu koja je od osi udaljena za reduciranu duljinu fizikalnog njihala lr zove se središte titranja.

Tijelo obješeno u središtu titranja (točka P) ima isti period titranja kao i kad se njiše oko prvotne osi (oko točke O)

md

Il

mgd

I2

g

l2

TT

r

fm

3

2LmI

L

LL

m

Lm

md

Ilr

3

2

2

3

2

rl

d

20

Jednostavno harmoničko titranje i kružno gibanje

Kad se neko tijelo giba po kružnici konstantnom brzinom, projekcija položaja tijela na bilo koji promjer kružnice predstavljena je harmoničkim titranjem.

Kutna brzine točke jednaka je kružnoj frekvenciji titranja, a ophodno vrijeme gibanja jednako je periodu titranja.

Vektor OP’ u donjoj lijevoj slici je rotirajući vektor ili fazor.

)tcos(x)t(x m )tsin(x)t(v m )tcos(x)t(a m

2

21

Pitanja za provjeru znanja 1. Ukratko objasnite sljedeće pojmove: periodično gibanje, harmoničko titranje, harmonička sila, harmonički

oscilator. 2. Ukratko objasnite sljedeće pojmove: period, frekvencija, kružna frekvencija, amplituda, faza, početna faza.

3. Što je harmonički oscilator? Izvedite jednadžbu gibanja harmoničkog oscilatora, nađite rješenja te jednadžbe te izraze za brzinu i akceleraciju. Grafički prikažite i usporedite ovisnost elongacije, brzine i akceleracije o vremenu?

4. Izvedite ovisnost kinetičke, potencijalne i ukupne energije kod jednostavnog harmoničkog titranja?

5. Kako se iz početnih uvjeta mogu odrediti amplituda i početna faza?

6. Napišite jednadžbu gibanje prigušenog harmoničkog oscilatora?

7. Kada nastaje prisilno titranje i kako glasi jednadžba gibanja prisilnog titranja?

8. Što je amplitudna a što energijska rezonancija i pri kojim uvjetima se javlja amplitudna odnosno energijska rezonancija?

9. Što je matematičko a što fizikalno njihalo?

10. Napišite jednadžbu gibanja matematičkog njihala, i nađite njena rješenja za mali kut otklona od ravnotežnog položaja te izraz za period titranja.

11. Napišite jednadžbu gibanja fizikalnog njihala, i nađite njena rješenja za mali kut otklona od ravnotežnog položaja te izraz za period titranja.

12. Što je to reducirana dužina fizikalnog njihala a što središte titranja fizikalnog njihala.

13. Objasnite vezu između jednolikog kružnog gibanja i harmoničkog titranja. Što je to fazor?