Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehniki fakultet

Linearna algebra i geometrija

predavanja

Sarajevo, novembar 2014.

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

3 Sistemi linearnih jednaina 3

4 Linearni operatori 4

4.1 Pojam linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Matrice i linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3 Promjena baze i matrica operatora . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Jezgro i slika linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . . . 14

4.6 Dijagonalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

POGLAVLJE 4

Linearni operatori

U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednog

skupa pridruuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posma-

tramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaavaju njihovu

linearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanja

su osnovni predmet prouavanja linearne algebre i funkcionalne analize i jav-

ljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike.

4.1 Pojam linearnog operatora

Denicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F . Pres-likavanje A : V W za koje vrijedi

(x, y V, , F ) A(x+ y) = A(x) + A(y) (4.1)naziva se linearan operator.

Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom denicijom

u nekoj literaturi koristi i pojam operator, to moe dovesti do zabune jer

je mogue posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji ne

zadovoljavaju uslov (4.1).

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odak

Analogno ranije posmatranoj situaciji uslov (4.1) se naziva uslovom line-

arnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homogenosti datim sa

(x, y V ) A(x+ y) = A(x) + A(y), (4.2)

(x V, F ) A(x) = A(x). (4.3)Slika elementa x V pri djelovanju operatora A se esto skraeno pie saAx umjesto A(x). Takoe skup svih linearnih operatora koji slikaju elementeskupa V u elemente skupa W obiljeavamo sa L(V,W ).Na ovom skupu mogue je denirati operaciju sabiranja i operaciju mno-

enja skalarom na sljedei nain.

Za A,B L(V,W ) operator A + B L(V,W ) deniramo sa (x V ) (A+B)x = Ax+Bx;

Za A L(V,W ), F operator A L(V,W ) deniramo sa (x V ) (aA)(x) = a(A(x));

Nula operator O je operator za koji vrijedi (x V ) O(x) = 0W , gdjeje 0W neutralni element u W .

Za A L(V,W ), operator A se denira sa A = (1)A.

Jendostavno se pokazuje da skup L(V,W ) sa upravo deniranim opera-cijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor.

Iz same denicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora.

(i) Linearan operator A : V W nulu vektorskog prostora V slika u nuluvektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljajui da je i , iz osobinelinearnosti, jednako neutralnom elementu polja F .

(ii) Linearan operator A : V W potuje linearnu kombinaciju, to jesteza proizvoljno n N vrijedi

(i F, xi V ) A(

ni=1

ixi

)=

ni=1

iA(xi).

Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti.

5

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odak

(iii) Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni elementi prostora V i ako je A :V W linearan operator, onda su A(x1), . . . , A(xn) linearno zavisnielementi prostora W. Dokaz slijedi iz denicije linearne zavisnosti i

osobine (i).

Dalje, treba napomenuti da denicija linearnog operatora doputa da

prostori V i W budu jednaki i u tom sluaju govorimo o linearnim operato-rima na prostoru V .

Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo li-nearnim funkcionalima ili linearnim formama. Najee jeW u ovom sluaju,kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Primjer 4.1. Neka je V = R3 i W = R2 i neka je preslikavanje dato saA : (x1, x2, x3) 7 (x1, x2). Pokaimo da je A linearan operator. Kao to smoranije vidjeli Rn, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva.Pokaimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo deniciju operacija

u Rn, n = 2, 3 i deniciju preslikavanja A. S jedne strane je

A((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = A(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

= (x1 + y1, x2 + y2),

a s druge

A(x1, x2, x3) + B(y1, y2, y3)) = (x1, x2) + (y1, y2)

= (x1 + y1, x2 + y2),

pa je oigledno uslov zadovoljen.

Primjer 4.2. Neka je V = Rn, W = Rm i A Rmn. Deniimo operatorA sa A(x) = Ax. Pri tome ureenu k-torku (k = m,n) posmatramo kaomatricu formata 1 k i desnu stranu denicije operatora A tumaimo kaomnoenje matrica. Imajui na umu osobine mnoenja matrica zakljuujemo

da je ovako denisan operator linearan.

Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih opera-

tora deniranih na konanodimenzionalnim prostorima i mi emo u nastavku

iskljuivo takve operatore i posmatrati.

6

4.2.Matrice i linearni operatori Doc. dr. Almasa Odak

4.2 Matrice i linearni operatori

Primjer 4.2 nam u sutini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearan

operator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatoru

moemo pridruiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, meutim, to pri-

druivanje nije obostrano jednoznano. Naime, da bi operatoru jednoznano

pridruili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W . Vidjet emoda se promjenom baze u optem sluaju mijenja i matrica pridruena tom

operatoru. Jedan od vanih zadataka linearne algebre je upravo odabir baza

tako da matrica pridruena operatoru bude to jednostavnija.

Pridruivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na injenici da

je za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanje

na elementima baze.

Preciznije, neka je A : V W linearni operator, dimV = n < .Neka je {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V . Proizvoljan elemenat x prostora Vmoe biti napisan na jedinstven nain kao linearna kombinacija elemenata

baze x =nj=1

jbj. Koristei osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je

A(x) =nj=1

jA(bj). Dakle, A(x) je potpuno odreeno sa A(bj), odnosno

linearan operator je u potpunosti odreen djelovanjem na bazu.

Neka je A : V W , dimV = n < , dimW = m < , a BV ={b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respektivno.Operator A elemente baze BV slika u neke elemente A(bj), j = 1, . . . , nprostora W , ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacijeelemenata baze BW prostora W , to jeste, postoje skalari aij, i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n takvi da je

A(bj) = a1jw1 + a2jwa + . . .+ amjwm (4.4)

za sve j = 1, . . . , n. Koristei skalare aij formiramo eljenu matricu. Preciz-nije uvodimo sljedeu deniciju.

Denicija 4.2. Neka je A : V W , dimV = n < , dimW = m