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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICAFACULTAD DE INGENIERIATEORÍA ELECTROMAGNÉTICA CAT.: ING. MARVIN HERNÁNDEZAUX.: KEVIN AYAPÁN
TAREA FINAL
Ildelfonso Kevin Edison Batz Tzunún
FECHA: Guatemala 10 de mayo de 2013
ANALISIS VECTORIAL
Proyección de un vector sobre otroLa proyección de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresión:
FUERZAS DE COULOMB
La fuerza entre cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que las une.
La fuerza varía inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que los separa y es proporcional al producto de las cargas.
La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva si son de signo diferente.
q1
q2
r1
r2
r12
F12
F21
F12 + F21 = 0
r1 - r2 = r12
Ley de Coulomb. Fenomenología
q1
q2
r1
r2
r12
F12
F21
F12 + F21 = 0
r1 - r2 = r12
12212
2112 r̂
r
qqkF
2291099.8 CNmk
04
1
k
22120 1085.8 NmC
Ley de Coulomb. Fórmula
Fuerza ejercida por q1 sobre q2
kconstante de Coulomb
e0 Permitividad del vacío
Ley de Coulomb. Sistema de cargasPrincipio de superposición de fuerzas: La
fuerza neta ejercida sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por cada una de las cargas del sistema.
Cargas discretas
i
ii
i
iiTotal r
r
qqkFF
3
0dqr
r
qkFdFTotal
30
Distribución continua de carga
CAMPO ELÉCTRICO
Campo eléctrico
)(3 AB
AB
BAAB rr
rr
qqkF
)(3 A
A
AA rr
rr
qkqF
AA EqF
La fuerza eléctrica supone una acción a distancia.Ejemplo: carga A y carga B
La carga A causa una modificación de las propiedades del espacio en torno a ella.
La carga (prueba) B percibe esta modificación y experimenta una fuerza
Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valor
La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campo
La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargados
Campo eléctrico cargas puntualesCarga positiva =
fuenteCarga negativa =
sumidero
RadialesProporcionales a la cargaInversamente proporcionales al cuadrado de la distancia
-+
rr
qkrE
3
)( rr
qkrE
3
)(
Campo eléctrico. Sistema de cargasPrincipio de superposición de campos:
El campo neto creado por un sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas del sistema.
Cargas discretas
i
ii
i
iiTotal r
r
qkEE
3 dq
r
rkEdETotal
3
Distribución continua de carga
Campo creado por un dipolo
Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( l = 2a ).
Campo total = suma de campos
Aproximación r>> l
- +-a a
rr-a
r+a
)()( 33 arar
qkar
ar
qkE
lqp
Momento dipolar - +l
p
r
r
r
rp
r
kE
)(
33
- +
pz
kE
3
pz
kE
3
py
kE
3
2
X
Z
Y
px
kE
3
px
kE
3
Líneas de campo eléctricoCampo = deformación del espacio causada
por un cuerpo cargado.Se puede representar mediante líneas.El vector campo en un punto es tangente a la
línea de campo Dos líneas de campo nunca pueden cruzarse.
La densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico.
A grandes distancias las líneas son las de una carga puntual.
Dos cargas positivas
Carga positiva y carga negativaDipolo eléctrico
Líneas de campo para dipolos
FLUJO ELÉCTRICO
El flujo eléctrico da idea del número de líneas de campo que atraviesa cierta superficie. Si la superficie considerada encierra una carga, el número de líneas que atraviesa dicha superficie será proporcional a la carga neta.
E
sd
s
sdE
Para una superficie cerrada el flujo será negativo si la línea de campo entra y positivo si sale. En general, el flujo neto para una superficie cerrada será
s
sdE
FLUJO ELÉCTRICO
Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie.
q
ds
R
E El campo eléctrico creado por
una carga puntual viene dado por
rur
qkE
2
En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego
ruR
qkE
2
Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada punto, por lo tanto
dsR
qkds
R
qksdE
22
El área de una superficie esférica viene dada por S =4pR2, luego
22
4 R R
q k
Flujo total q k 4Independiente de R
Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada.
E
E
E sd
sd
sd
El flujo total es la suma de tres términos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) mas el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya que los vectores superficie y campo son perpendiculares. Así
2b1b
sdEsdE
0cosdsEcosdsE
0 El flujo sólo es proporcional a la carga que encierra una superficie, no a la forma de dicha superficie.
LEY DE GAUSS
Ley de Gauss
El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en su interior dividida por la permitividad del medio.
La superficie gaussiana no es una superficie real ( es matemática).
La ley de Gauss simplifica los cálculos de campo eléctrico en casos de gran simetría.
0encQ
AdE
Cálculos con ley de Gauss
Carga puntual Simetría esférica
+
dA
r )4)(( 2rrEAdE
0encQ
AdE
rr
QrE ˆ
4)(
20
Cálculos con ley de Gauss Conductor infinito con
densidad lineal de carga l. Plano infinito con densidad
superficial de carga s.
)2(2 lREAE
l
E
E E
E E
E
00
lQenc r
RRE ˆ
2)(
0
+ +
++ +
++ +
+
EE
A1
A3A2
)2(31 AEAEAE
00
AQenc ixE ˆ
2)(
0
DIVERGENCIA
La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.
Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.
POTENCIAL ELÉCTRICO
Función energía potencial Se puede generalizar el trabajo en 3D
donde el gradiente se puede expresar en coordenadas
kz
Uj
y
U
x
UrU ˆˆˆ)(
)()( fi
r
r
FC rUrUUrdFWf
i
)(rUF
ˆ1ˆ1ˆ)(
U
senr
U
rr
r
UrU
Polares
Cartesianas
Potencial eléctricoLa fuerza eléctrica se puede expresar en
función del campo eléctrico.
Por ser conservativa
Potencial eléctrico
Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico
Unidades : el Voltio
)()( rEqrF
)(rUF
q
UV Energía potencial
Carga
)(rVE
CJVV /
Se puede elegir el origen de potencial
TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE COULOMB PARA MOVER UNA CARGA ENTRE DOS PUNTOS
B
A
r
r
rdFW
B
A
r
r
o rdrr
kqqW
ˆ
2
B
A
r
r
o drr
kqqW
2
011
0
BA rrkqqW
La fuerza de Coulomb realiza trabajo
A
B
Q
q
CAMBIO DE ENERGÍA POTENCIAL DEBIDOAL MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL
BAJO LA FUERZA DE COULOMB
consWU
AB rrkqqU
110
0UEn el punto B, la carga q0 tiene menor potencialidad para moverse que la que tenía en el punto A
A
B
Q
q
DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTREDOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUAL
Cuando una carga q0 se mueve desde A hasta B bajo la fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema cambia en:
Cuando una carga q’0 se mueve desde A hasta B bajo la fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema cambia
VqU 0
ABo rrqkqU
11
B
q
qo
A
B
q
q´o
A
AB rrqkqU
11´0
0q
UVVV AB
ABAB rr
kqVVV11
C
JVoltioV
q
qo
A
DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE UN PUNTO CERCANO A UNA CARGA PUNTUAL Y EL INFINITO
ABAB rr
kqVVV11
Sea rA un punto muy alejado de q (en el infinito). Sea rB un punto a la distancia r de la carga q
11)( r
kqVVV rr
kqVVV r )(
r
kqVr)( Potencial de una carga puntual
B
q
A
POTENCIAL DE DISTRIBUCIONES DISCRETASDE CARGAS PUNTUALES
n
iiP VV
1
n
i i
iP r
kqV
1
q2
r2
qn
r1
rn
q3
P
q1
qi
r3
ri
POTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICO
21 r
kq
r
kqVP
Z
Pr1 r2
X
Y
+q -q
La relación ente la carga y el potencial es una característica propia de cada condensador, por lo que se define la Capacidad del condensador como
Vq
C Unidades en el S.I.: Faradio (F)
CONCEPTO DE CAPACIDAD
Cómo se carga un condensador:
Conectando las dos placas a los terminales de una batería
De esta forma, los portadores de carga se mueven de una placa a otra hasta que se alcanza el equilibrio electrostático. Así, la diferencia de potencial entre las placas es la misma que entre los terminales de la batería.
Dispositivos utilizados para el almacenamiento de cargas eléctricas.
Comportamiento diferente según el tipo de corriente Alterna o Continua.
Constituido por dos placas conductoras o armaduras y entre ellas un aislante o dieléctrico. Para un condensador plano:
CONDENSADORES.
S
C = d
Permitividad del Medio Dieléctrico. S Superficie de las Armaduras. d Separación entre Armaduras.
CONDENSADORES.(Continuación)
• Magnitud de medida: FARADIO (Unidad de Capacidad Eléctrica).• “Sometidas las Armaduras de un CONDENSADOR a una diferencia de potencial de 1 Voltio, estas adquieren una carga de 1 Culombio”
QC = V
C Capacidad. Q Carga 1 Culombio = 1 Ampere/Segundo. V d.d.p. entre Armaduras.
SERIE.
PARALELO.
MIXTO.
ASOCIACIONES de CONDENSADORES.
C1 C2 CE
C1
C2
CE
C1 x C2Ce = C1 + C2
Ce = C1 + C2
C2
C3
C1 C4
Re = Hay que analizar el circuito y aplicar relaciones serie/paralelo particulares.
Densidad de energía: Se define como la cantidad de energía por unidad de volumen.
Para un condensador de placas planoparalelas d EVy
dA
C o
)(2
1
2
1
2
1 2222 AdEdEd
ACVU o
o
Volumen ocupado por el campo eléctrico
2
2
1Eoe
Si en un punto del espacio (en vacío) existe un campo eléctrico, puede pensarse que también hay almacenada una cantidad de energía por unidad de volumen igual a esta expresión
ECUACION DE POISSON Y LAPLACE.
Hemos visto ya que un campo electrostatico satisface la ecuación
LEY DE BIOT SAVART- AMPERE
Ley de Biot-Savart
Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento
2r
mr
uv qkB
2r
mr
uld IkBd
Ley de Biot-Savart
Constantes de proporcionalidad
km = 10-7 N/A2
mo = 4p·10-7 T m/A
Permeabilidad del vacío
La fuente de campo eléctrico es la carga puntual (q), mientras que, para el campo magnético, es la carga móvil (qv) o un elemento de corriente ( ).lId
Campo magnético de una espira de corriente
x
y
a
a
alId
ru
En una espira circular el elemento de corriente siempre es perpendicular al vector unitario
kR2I
B o
Campo magnético creado por un arco de circunferencia en un punto de su eje.
Campo magnético creado por una espira circular en un punto de su eje (=2p)
kcosxjsen xiR
Rx
R IB
/2
o V
14 232
i
Rx
R I2
B2/322
2o
Campo magnético creado por una corriente rectilínea
L
21o sensen
yI
4B
Líneas de campo magnético creado por una corriente rectilínea
Cálculo de campos magnéticos debidos a segmentos semiinfinitos
Expresión general 21o sensen
yI
4B
I
Caso I
2
2o sen1
yI
4B
I
Caso II
2= 0
InfinitoHilo
o B21
yI
4B
2o sen1
yI
4B
Caso III
I
2
21 21
21
Ley de Ampère
La ley de Ampère, relaciona la componente tangencial del campo magnético, alrededor de una curva cerrada C, con la corriente Ic que atraviesa dicha curva.
Ejemplo 1: Campo magnético creado por un hilo infinitamente largo y rectilíneo por el que circula una corriente.
Si la curva es una circunferencia ld B
co
C CC
IR2 BdlBdl BldB
Ejemplo 2: Campo magnético creado por un toroide.
Como curva de integración tomamos una circunferencia de radio r centrada en el toroide. Como B es constante en todo el círculo:
co
C CC
IR2 BdlBdl BldB
Para a < r < b Ic = NI
Casos particulares
Si (b-a)<< radio medio
es uniforme en el interior.B
no u
rNI
2B
Caso general
En el caso en el que la curva de integración encierre varias corrientes, el signo de cada una de ellas viene dado por la regla de la mano derecha: curvando los dedos de la mano derecha en el sentido de la integración, el pulgar indica el sentido de la corriente que contribuye de forma positiva.
I1
I2I3
I4
I5
co
C
IldB
donde
321c IIII
FUERZAS E INDUCTANCIAS
Componente formado por una serie de espiras arrolladas.
Almacenan energía en forma de campo magnético. Se oponen a los cambios bruscos de corriente.
A bajas frecuencias tienen una baja resistencia o inductancia.
A altas frecuencias tienen una alta resistencia o inductancia.
Unidad de medida el Henrio (H). Su valor depende de:
Número de espiras. A mayor número de vueltas mayor inductancia.
Diámetro de las espiras. A mayor diámetro mayor inductancia.
Longitud del hilo y naturaleza. Tipo de material del núcleo. Aire, ferrita, etc.
Se aplican como filtros de corriente alterna y transformadores.
INDUCTANCIAS O BOBINAS.
SERIE.
PARALELO.
MIXTO.
ASOCIACIONES de BOBINAS.
L1 x L2Le = L1 + L2
Le = L1 + L2
Le = Hay que analizar el circuito y aplicar relaciones serie/paralelo particulares.
L1 L2 Le
L1
L2
Le
L1 L4
L2
L3
FUERZA DE LORENTZ.
Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:
donde es la velocidad de la carga, es el vector intensidad de campo eléctrico y es el vector inducción magnética. La expresión anterior está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:
donde es la longitud del conductor, es la intensidad de corriente y la inducción magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.
Forma integral Si los campos eléctrico y magnético no son
modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente , y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:
ECUACIONES DE MAXWELL
ECUACIONES DE MAXWELL
En su forma integral
La primera es la ley de Gauss y nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada. La segunda, es la ley de Gauss para el magnetismo, implica la no existencia de monopolos magnéticos, ya que en una superficie cerrada el número de líneas de campo que entran equivale al número de líneas que salen. La tercera, es la ley de Faraday. En este caso, en el segundo término tenemos el flujo magnético a través de una superficie no cerrada. Esta ley relaciona el flujo del campo magnético con el campo eléctrico. La integral de circulación del campo eléctrico es la variación del flujo magnético. La cuarta, es la ley de Ampère, generalizada por Maxwell y expresa cómo las líneas de campo magnético rodean una superficie por la que circula una corriente o hay una variación del flujo eléctrico. La integral de circulación del campo eléctrico es proporcional a la corriente y a la variación del flujo eléctrico.
so
intqSd·E
(1)
s
Sd·B 0
(2)
C
B Sd·Bdt
d
dt
dld·E
(3)
C S
ooo Sd·Edt
dIld·B
(4)Corriente de desplazamiento
Para deducir la ecuación de las ondas electromagnéticas vamos a escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial
El término de la corriente de desplazamiento permite la solución de ondas electromagnéticas. El segundo par de las ecuaciones de Maxwell conecta las derivadas espaciales de cada campo con el ritmo de variación de cada uno de ellos. Es este acoplamiento de los campos eléctricos y magnéticos lo que origina la propagación de las ondas. Cualitativamente un campo magnético variable con el tiempo en la ecuación (7), conduce a un campo eléctrico variable con el tiempo, , el cual conduce a su vez a un campo magnético, dependiente del tiempo, en la ecuación (8).
o)t,r(E·
(5) 0 )t,r(B·
(6)t
)t,r(B)t,r(E
(7)
t
)t,r(E)t,r(J)t,r(B ooo
(8)
La forma estándar de proceder con tales ecuaciones diferenciales acopladas es tomar la derivada de una de ellas y usar la otra para eliminar una u otra de las variables independientes. En este caso tomaremos el rotacional de la ley de Faraday, puesto que esto conecta con el rotacional del campo eléctrico lo que nos permite eliminarlo usando la ley de Ampère generalizada.
0 )t,r(E·
(9) 0 )t,r(B·
(10)
t
)t,r(B)t,r(E
(11)
t
)t,r(E)t,r(B oo
(12)
Para simplificar, vamos a tratar ondas electromagnéticas en el vacío, considerando el caso en el que no hay corrientes ( =0) ni cargas (r=0). Con estas hipótesis las ecuaciones de Maxwell quedan como:
J
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
El término izquierdo de la ecuación (13), puede ser reordenado usando la siguiente identidad vectorial
A)A·(A 2
Calculando el rotacional de la ley de Faraday
t
BE
(13)
Y usando la propiedad conmutativa en el término de la derecha, podemos escribir finalmente
t
)B(E)E·(
2 (14)
Sustituyendo las ecuaciones (9) y (12) en la (14), obtenemos
2
22
t
EE oo
(15)
Operando de forma análoga para el campo magnético
2
22
t
BB oo
(16)
Puesto que m/F ·.o
1210898
A/Tm ·o7104
Obtenemos para la velocidad de fase un valor de
c = 2.99·108 m/s
el cual coincide con la velocidad de la luz, c. La conclusión es clara, la luz misma es una onda electromagnética. Este es un ejemplo de una de las primeras unificaciones en física de dos ramas de la misma que, en principio, parecían separadas como son el electromagnetismo y la óptica y por lo tanto, uno de los mayores triunfos de la física del siglo XIX.
ooc
1
Estas ecuaciones obedecen a una ecuación de ondas tridimensional para los campos y con velocidad de fase
E
B
