Trabajo de Teoría Electromagnética

Líneas de transmisión (L.T)

TRABAJO DE CURSOTeoría Electromagnética

Líneas de Transmisión

Bra. Ingrid N. López Amador.

Br. Byron R. González Montenegro.

IV año de Licenciatura en Física

Grupo: F41V

Noviembre de 2007

Introducción

Elaborado por: Byron R. González Montenegro, Ingrid N. López Amador


Este documento es el trabajo de curso realizado para presentarse al finalizar la asignatura Teoría Electromagnética, la cual corresponde al Segundo Semestre del Cuarto Año de la carrera Licenciatura en Física, de la Facultad de Ciencias e Ingeniería de la UNAN – Managua.

En la carrera de Licenciatura en Física se imparten cursos de Física General, entre los cuales, existe un curso en el que se estudian los conceptos básicos del electromagnetismo, luego se estudian más a fondo dichos conceptos pero con un rigor matemático mayor, como lo exige la Teoría Electromagnética. El estudio secuencial de estos temas sienta la base para la comprensión de los principios y fundamentos físicos que están en cada una de las grandes tecnologías, principalmente las relacionadas con el mundo de la electricidad y el magnetismo, ya sea desde el punto de vista macroscópico o microscópico, en la Física Clásica o la Física Moderna.

Aquí se presenta el desarrollo matemático necesario para el estudio de las aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell en el análisis de los parámetros de las líneas de transmisión, así como las implicaciones o significado físico de los resultados de la combinación de dichas ecuaciones.

Objetivos



Objetivo General:

Explicar los principios físicos que definen el comportamiento de las líneas de transmisión.

Objetivos Específicos:

Definir la relación entre los parámetros básicos de las líneas de transmisión y el comportamiento de las señales de éstas.

Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de Teoría Electromagnética sobre el análisis de los fenómenos que ocurren en el transporte de energía de un punto a otro de las líneas de transmisión.

Justificación:

El estudio de los parámetros físicos que ocurren en la transmisión de energía de un punto a otro, involucra un análisis completo de la aplicación de las leyes de Maxwell, la descripción teórica de dichos sistemas de transmisión se hace mediante la información física que proporcionan los conocimientos adquiridos en la asignatura de Teoría Electromagnética.

El desarrollo de los conceptos y definiciones matemáticas estudiadas en dicha asignatura son la base de la explicación de los principios y fundamentos físicos que rigen el comportamiento de las ondas electromagnéticas en las líneas de transmisión, para entender el proceso de transmisión de datos desde el punto de vista físico y haciendo estudio teórico del mismo es que se desarrolla el tema de “Líneas de Transmisión” como un material de apoyo para el estudio de las líneas de transmisión.



Una línea de transmisión es una estructura material utilizada para dirigir la transmisión de energía en forma de ondas electromagnéticas, comprendiendo el todo o una parte de la distancia entre dos lugares que se comunican.

Para que existan propagación energética en modo TEM, es necesario que existan al menos dos conductores eléctricos y un medio dieléctrico entre ambos (que puede incluso ser aire o vacío). Ejemplos de líneas de transmisión son la línea bifilar, el cable coaxial, y líneas planares tales como la stripline, la microstrip...

Para propósitos de análisis, una línea de transmisión puede modelarse en un cuadripolo (también llamada red bipuerto), como se mostará en la sección 2.1.

En el caso más simple de estudio, asumiremos que la red es lineal (esto es, la respuesta a una combinación lineal de varias excitaciones, es una combinación lineal de las respuestas que tendría la red para cada una de las excitaciones por separado, o dicho de otra forma es aplicable el principio de superposición). Además la red es recíproca y simétrica (es decir, ambos puertos son intercambiables).

Si la línea de transmisión es uniforme en toda su longitud y sin pérdidas (línea de transmisión no disipativa) entonces su comportamiento estará enteramente descrito por un único parámetro llamado impedancia característica, representada por Zo. Ésta es la razón de la tensión compleja a la corriente compleja en cualquier punto de una línea de longitud infinita (o finita en longitud pero acabada en la una impedancia de valor a la impedancia característica). Cuando la línea de transmisión es sin pérdidas, la impedancia característica de la línea es un valor real. Algunos valores típicos de Zo son 50 y 75 ohmios para un cable coaxial común, 100 ohmios para un par trenzado y más o menos 300 ohmios para un par de cobre usado en radiocomunicaciones.

Cuando se envía potencia a través de una línea de transmisión, lo más deseable es que toda esa potencia enviada sea transmitida a la carga, sin que exista potencia reflejada hacia la fuente. Esta condición ideal se logra haciendo que las cargas de fuente y carga sean cada una iguales a Z0, caso en el cual se dice que la línea de transmisión está adaptada.

En las líneas reales parte de la potencia que se envía a través de la línea de transmisión se disipa (se pierde) debido al efecto resistivo. Esta pérdida se llama pérdida resistiva o pérdida óhmica. En altas frecuencias, se hace significativo otro tipo de pérdida, llamado pérdida por dieléctrico, que refuerza la pérdida resistiva. La pérdida por dieléctrico es causada cuando el material dieléctrico que forma parte de la línea de transmisión absorbe energía del campo eléctrico alterno y la convierte en calor.

La pérdida total de potencia en una línea de transmisión se conoce como atenuación y se especifica en unidades de decibel por metro o neperio por metro. La atenuación generalmente depende de la frecuencia de la señal. Los fabricantes de líneas de transmisión acostumbran adjuntar a sus productos la hoja de características que contiene las atenuaciones en dB/m para un rango determinado de frecuencias. Una atenuación de 3 dB corresponde, aproximadamente, a la pérdida de la mitad de cierta potencia.

Se puede definir como línea de transmisión de alta frecuencia a aquellas que están específicamente diseñadas para transmitir ondas electromagnéticas cuyas longitudes de



onda son pequeñas (alta frecuencia) y, por tanto, comparables a la extensión completa de la línea. Bajo estas condiciones, la longitud física de la línea puede ser pequeña, pero dado que el tamaño de la línea es comparable a longitud de onda, las aproximaciones útiles para bajas frecuencias, que asumen propagación energética instantánea entre dos puntos separados de un mismo conductor, dejan de tener sentido y se ponen de manifiesto fenómenos de retardo en la propagación. Esto ocurre con las señales de radio, de microondas y ópticas, y con las señales que se encuentran en los circuitos digitales de alta velocidad.

1. Ecuación de onda para ondas en el espacio y en líneas de transmisión (L.T)

1.1 Ondas en un medio no conductor

E B

Onda plana saliendo de la pagina

(T.E.M)

Figura 1

Figura 2

Sabemos que: (Ley de Ampere)

…(1)

Donde:


La onda está verticalmente polarizada en la dirección y.


Pero en un medio no conductor = 0, por lo que se obtiene:

Lo anterior lo podemos mostrar en coordenadas rectangulares y esto es:

… (2)

De la figura 1 deducimos que podemos escribir 2 de la siguiente manera:

, sabemos que HZ varía en z pero

en dirección x, entonces:

…(3)

Como por lo tanto:

…(4)

Sabemos que: (Ley de Faraday)

…(5)

Seguimos el procedimiento anterior y expresamos la ecuación 5 en coordenadas rectangulares:

…(6)

…

(7)

Como por lo tanto:

…(8)



Se obtiene la diferencial de la ecuación 4 respecto al tiempo, suponiendo que la permeabilidad es constante:

…

(9)

Se obtiene también la diferencial de la ecuación 8 con respecto a la distancia x:

…(10)

Dividimos la ecuación 10 entre :

…(11)

Como el lado izquierdo de la ecuación 9 es igual al lado derecho de la ecuación 11:

Entonces:

Obtenemos la ecuación de onda en y para un medio sin pérdidas ( ):

…(12)

Aquí que es una constante característica del medio cuyas dimensiones son las

de la velocidad.

Podemos generalizar la ecuación de onda para cualquier componente de E y B de la siguiente forma:

…(13)

Esta ecuación admite como solución las ondas planas: w: frecuencia

angular, k: modulo del vector onda donde:

…(14)



Y la velocidad de fase es

Consideremos nuevamente la propagación de las ondas en una sola dirección, siempre en dirección x, la solución fundamental es:

Sustituyendo la expresión para w dada en ecuación 10 en la ecuación anterior:

…(15)

Por el teorema de la integral de Fourier se puede construir la solución general de la forma:

Donde y son arbitrarias.

Para sastifacer las ecuaciones de Maxwell convenimos que los campos físicos eléctricos y magnéticos se obtienen tomando las partea reales de las magnitudes imaginarias, entonces representamos de la siguiente manera dichos campos:

…(16)

Donde

1e y son dos vectores unitarios constantes perpendiculares entre si y E0 y B0

son amplitudes complejas constantes en el espacio y el tiempo.

Figura 3

Como y , entonces:



y

Esto significa que E B son perpendiculares a la dirección de propagación (onda transversal).

Recordemos que la ecuación de onda (ecuación 12) es válida para un medio sin perdidas ( ).

1.2 Ondas en un medio conductor

Si el medio presenta una conductividad ( ≠ 0=cte), así como una constante dieléctrica ( = cte) y permeabilidad ( =cte), las ecuaciones de Maxwell vienen acompañadas

por la ley de Ohm:

Recordemos que en los dieléctricos aislantes (medios no conductores) nos encontramos con que los campos variables con el tiempo eran de naturaleza transversal, es decir los vectores E y H eran perpendiculares a la dirección en la cual tienen lugar la variación espacial.

Para mayor sencillez consideremos campos que varían solamente según una variable espacial . Descompondremos loa campos en partes longitudinales y transversales:

…(17)

Ya demostramos que los componentes transversales de E y H sastifacen las ecuaciones del rot y del rot .

Por otro lado las componentes longitudinales sastifacen las ecuaciones:

1er par ;

2do par ; … (18)

El primer par de ecuaciones significan físicamente que el único campo magnético longitudinal que puede haber es un campo estático y uniforme.El segundo par de ecuaciones nos dice que el campo eléctrico longitudinal es uniforme en el espacio, pero presenta una variación temporal:



Ahora consideremos los campos transversales en un medio conductor. Suponemos que los campos varían de la forma tenemos que:

Recordemos que los campos tienen la forma siguiente:

… (19)

Veamos que pasa con las ecuaciones de Maxwell:

a)

… (20)

b)

Analizamos 2 (a):

Ahora con 2 (b):

Ahora consideremos la siguiente identidad:

, entonces;

Si

Podemos obtener:



Trabajamos ahora el caso para las ondas en un medio conductor:

Observemos que aparece un nuevo término en la ecuación para el rotacional del vector de campo magnético.De una forma similar se puede encontrar una expresión para el rotacional del vector de campo eléctrico.

2. Ecuación en forma fasorial:

En la sección anterior habíamos encontrado la ecuación de onda en forma fasorial, para simplificar los cálculos, consideremos nuevamente la onda plana de la figura 1, una onda polarizada linealmente en y, que viaja en la dirección x:

…(1)

El espacio puede considerarse como un arreglo de líneas de transmisión de celdas de campo. En la figura 4 observamos detalladamente una celda de campo, donde el campo eléctrico E está en la dirección y el vector intensidad magnética está en la dirección z.



Figura 4

Sabemos que podemos encontrar la diferencia de potencial V integrando Ey entre

las cintas superior e inferior (ver figura 4):

2.1 Circuito equivalente para una sección de línea de transmisión

Para expresar la ecuación de onda en forma fasorial, hacemos la equivalencia del funcionamiento de una línea de transmisión con el siguiente circuito:

Figura 5



El estudio de las líneas de transmisión uniformes se basa en el análisis de circuitos con coeficientes distribuidos, por unidad de longitud, el cual se deriva de aplicar las leyes básicas del análisis de circuitos eléctricos a sistemas descritos por los siguientes postulados:

Postulado 1.- El sistema o línea uniforme consiste de dos conductores rectos y paralelos. El adjetivo "uniforme" significa que los materiales, dimensiones y sección transversal de la línea y el medio que la rodea, permanecen constantes en todo el trayecto. Típicamente en un extremo se conecta una fuente de señal y en el otro una carga, como se muestra:

Figura 6

Postulado 2.- Las corrientes en los conductores de la línea fluyen únicamente en la dirección de la longitud de la línea.Bajo ciertas condiciones, las señales pueden propagarse en cualquier línea de transmisión uniforme con la totalidad de la corriente o una componente de ella fluyendo alrededor de los conductores, en lugar de fluir a lo largo de ellos. Estos casos no se presentan en una LT y se conocen como modos de propagación en una guía de onda.

Postulado 3.- En la intersección de cualquier plano transversal a los conductores de una línea de transmisión, las corrientes instantáneas totales en los dos conductores son iguales en magnitud, pero fluyen en direcciones opuestas.En la teoría elemental de redes, para el circuito mostrado en la fig. 6 se estipula que la corriente es la misma en todos los puntos del circuito en un instante dado. El postulado 3 admite que las corrientes instantáneas sean diferentes en distintas secciones transversales de la línea, en el mismo instante.Claramente esto no es posible sin violar la Ley de Kirchhoff de Corrientes, a menos que éstas puedan fluir transversalmente entre los dos conductores en cualquier parte a lo largo de la longitud de la línea.

Postulado 4.- En la intersección de cualquier plano transversal a los conductores de la línea hay un valor de diferencia de potencial único entre los conductores, en cualquier instante, que es igual a la integral del campo eléctrico a lo largo de todas las trayectorias en el plano transversal, entre cualquier punto sobre la periferia de uno de los conductores y cualquier punto sobre la periferia del otro.De la misma manera que el postulado 3, este postulado tiene como consecuencia descartar los modos de propagación en la guía de onda, para los cuales la integral del campo eléctrico no es, en general, independiente de la trayectoria.



Postulado 5.- El comportamiento eléctrico de la línea se describe completamente por cuatro coeficientes del circuito eléctrico distribuido, cuyos valores por unidad de longitud de la línea son constantes en cualquier parte de esta. Estos coeficientes de circuito eléctrico son resistencias e inductancias uniformemente distribuidas, como elementos de circuito, en serie a lo largo de la línea, junto con capacitancias y conductancias uniformemente distribuidas, como elementos de circuito, en paralelo a lo largo de la línea.Es parte esencial de este postulado que los valores de estos coeficientes, a una frecuencia dada, sean determinados únicamente por los materiales y dimensiones de los conductores de la línea y el medio que la rodea. Estos coeficientes no varían ni con el tiempo ni con la tensión o la corriente de la línea.Las corrientes en la línea están acompañadas de un campo magnético. La inductancia distribuida de la línea es una medida de la energía almacenada en este campo magnético en una unidad de longitud de línea y por unidad de corriente.Existe pérdida de potencia a medida que las corrientes de línea fluyen por los conductores. La resistencia distribuida de la línea es una medida de la pérdida de potencia en la unidad de longitud de la línea y por unidad de corriente.

La diferencia de potencial de la línea está asociada a un campo eléctrico. La capacitancia distribuida es una medida de la energía almacenada en este campo, en la unidad de longitud de la línea por unidad de diferencia de potencial.Existe pérdida de potencia en el espacio entre los conductores. La conductancia distribuida de la línea es una medida de esta pérdida, en la unidad de longitud de la línea por unidad de tensión.

La existencia de coeficientes de circuito distribuido en paralelo sugiere la posibilidad de que las corrientes del conductor pueden ser diferentes en distintas secciones transversales de la línea. Corrientes de conducción o corrientes de desplazamiento fluirán entre los conductores en función de la tensión entre ellos o de su tasa de cambio con el tiempo, respectivamente. Las corrientes en la línea en dos secciones transversales separadas, difieren en una cantidad de corriente transversal en la parte de línea tratada.

DEFINICIONES DE LOS COEFICIENTES:

Los símbolos para éstos son: R, L, G y C, cuyas definiciones son:

R.- Resistencia total en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo ambos conductores. Unidades: Ohms/metro.

L.- Inductancia total en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo la inductancia debida al flujo magnético interno y externo a los conductores de la línea. Henrios/metro.

G.- Conductancia en paralelo de la línea por unidad de longitud. Es una representación de las pérdidas que son proporcionales al cuadrado de la tensión entre los conductores o al cuadrado del campo eléctrico en el medio. Generalmente G representa una pérdida interna molecular de los materiales aislantes dieléctricos. Siemens/metro.

C.- Capacidad en paralelo de la línea por unidad de longitud. Farads/metro.

Nota.- Los símbolos definidos tienen diferentes significados y dimensiones que los empleados en el análisis de circuitos eléctricos. En el caso de las líneas de tx, tratadas como redes de dos



puertos con longitudes no despreciables, dichos símbolos representan resistencia, inductancia, etc, por unidad de longitud.

COORDENADAS Y VARIABLES:

El análisis de la línea de transmisión es unidimensional, con un eje de coordenadas único paralelo a la longitud de la línea. Este es el eje z (minúscula para diferenciar de Z, impedancia.) Dicha coordenada tiene su origen en la fuente de señal.En algunas ocasiones la distancia de un punto sobre la línea a la carga, se indica por una coordenada d, con origen en la carga y creciendo de derecha a izquierda. El símbolo l se usa normalmente para la longitud total de la línea. Esto es:

Figura 7

Las variables dependientes son la corriente y la tensión, las cuales son funciones del tiempo en cualquier punto de la línea y funciones de su posición en cualquier instante. Así por ejemplo:i(z, t) = Corriente instantánea en un punto específico sobre la línea de tx, es decir, corriente en el tiempo t y en la coordenada z.Los símbolos en mayúsculas representan valores fasoriales de números complejos, con magnitudes en valores rms. Si no son designados específicamente como cantidades en la carga o en la fuente de señal, serán funciones de la posición a lo largo de la línea.I(z) = Valor rms complejo (fasorial) de una corriente, en la coordenada z.

En una coordenada z sobre una línea de tx, como se muestra en la figura siguiente, una tensión se puede representar por una flecha de un conductor a otro, en el plano transversal a z. La punta de la flecha tiene una polaridad positiva, y la tensión es positiva cuando la flecha está dirigida hacia el conductor superior. Similarmente, las corrientes en la coordenada z se indican por dos puntas de flecha una en cada conductor y apuntando en direcciones opuestas (postulado 3). El signo de la corriente es positivo cuando la corriente del conductor superior fluye en la dirección creciente de z.



Figura 8

Aplicando las leyes de Kirchoff para el circuito de la figura 5:

…(2)

…(3)

De (2):

…(4)

De manera similar se obtiene:



…(5)

El análisis en forma fasorial del circuito equivalente es el siguiente:

…(6)

…(7)

Considerando las ecuaciones anteriores podemos escribir:

…(8)



…(9)

Reescribimos (8) y (9) como:

…(10)

…(11)

Donde (Admitancia en paralelo)

(Impedancia en serie)

Supongamos ahora que (nuevamente) la dirección de propagación es sobre el eje x, es decir que la dependencia en las ecuaciones 10 y 11 es en x y no en z:

Como solución tentativa de (10) sustituimos:

Entonces:

Por lo tanto (13) se convierte en:

…(12)

La ecuación anterior es conocida como “Ecuación auxiliar” tiene dos raíces no iguales:y , entonces la solución general de (10) es:

…(13)

Donde F1 y F2 son constantes.

Para obtener una solución de I, debemos considerar que:

, esta ecuación es obtenida de la ley de Ohm, el cambio de diferencia de

potencial en una longitud de la línea es igual al cambio por unidad de longitud multiplicada por



Derivando (13) respecto a x:

De la cual se concluye que:

…(14)

Ahora notemos que para en (13):

Donde V es la tensión instantánea en el punto sobre la línea. Observemos que F1 y F2 deben tener unidades de tensión, por lo que V es la suma de esas dos tensiones, las cuales son desiguales en amplitud y varían armónicamente respecto al tiempo. Sean V1 y V2 las amplitudes de las tensiones mencionadas entonces:

y

Sustituyendo estas expresiones en (13) y (14) queda:

…(15)

…(16)

La cantidad se llama constante de propagación. En general es compleja, con una parte real llamada constante de atenuación y una parte imaginaria conocida como constante de fase. Entonces:

;

;

Introduciendo las expresiones anteriores en (18) y (19) obtenemos:

… (17)

…(18)



La razón:

; Se le denomina impedancia característica, donde:

; … (19)

Cuando R y G son ceros (líneas sin pérdidas) o cuando la frecuencia es tan grande, de manera que y se reduce a:

; … (20)

Donde:

Z0= Impedancia característica; L = Inductancia en serie;

C= Capacitancia;

En (22) Z0 es enteramente real o resistiva de manera que en este caso puede hablarse de la resistencia característica R0 de la línea es decir:

;

En general si R0 y G no pueden despreciarse como se hizo anteriormente, entonces Z0 es compleja y se utiliza la ecuación anterior (20).

Cuando R y G son pequeñas, pero no lo suficientemente pequeña como para despreciarse, la ecuación (20) se modifica de la siguiente manera:

donde:

Recurrimos a la expresión Binomial:



Notemos que para R y G son pequeñas, se cumple la condición para ambos casos de la expresión.Entonces podemos escribir:

Finalmente obtenemos:

…(21)

Tabla 1: Impedancia característica de líneas de transmisión

Condición Impedancia CaracterísticaCaso general

Pérdidas pequeñas

Caso sin pérdidas

Como en la ecuación (14) la velocidad de fase es:

Si la línea no tiene pérdidas ó y , entonces:

; … (22)

3. Línea de transmisión uniformemente terminada



Figura 9

La tensión resultante V en un punto de la línea es igual a la suma de las tensiones V0

Y V1 en el punto:

Donde: Constante de propagación Desplazamiento de fase en la carga

En se tiene que:y

De manera que en la carga

…(1)

Donde es el coeficiente de reflexión para la tensión, entonces:

…(2)

La corriente resultante en un punto de la línea es igual a la suma de las corrientes een el punto:

Donde:Diferencia de fase entre la corriente y la tensión.



Comparamos las corrientes e para encontrar una expresión que defina el coeficiente de reflexión para corriente:

…(3)

Entonces:

…(4)

Ahora podemos expresar los coeficientes encontrados anteriormente en función de la impedancia característica ( ) y de la impedancia de carga ( ). En cualquier punto de la línea se cumple:

Mientras que en :

Por lo tanto:

Pero recordemos que , de manera que:

…(5)

Con un análisis similar podemos encontrar que:

…(6)

La razón en cualquier punto x de la línea se obtiene la impedancia en el punto

(viendo hacia la carga):



Donde:Impedancia a la distancia x viendo hacia la carga; Impedancia característica de la línea;

Constante de propagación = ; Distancia desde la carga

Si la línea está en circuito abierto , entonces:

…(7)

Si la línea esta en cortocircuito , entonces podemos escribir:

…(8)

Como:

Podemos notar que: … (9)

Si la línea no tiene pérdidas ( ), las ecuaciones anteriores se reducen a:

En general:

… (10)



Línea en circuito abierto ( ):

… (11)

Línea en cortocircuito ( ):

… (12)

Tabla 2: Impedancia de entrada de línea de transmisión terminada:

Condición de carga Caso general ( ) Caso sin pérdidas ( )Cualquier valor de carga (

)

Línea de circuito abierto ()

Línea de cortocircuito ()



Conclusiones

El contenido de este trabajo logra sintetizar de manera más detallada, con los conocimientos adquiridos en el curso de la asignatura, el análisis matemático de la Teoría Electromagnética relacionada a los parámetros físicos de las líneas de transmisión. Con la información contenida en estas páginas es posible comprender el principio físico del funcionamiento de las líneas de transmisión.

Este documento sienta las bases para próximos estudios teóricos relacionados con las líneas de transmisión o con antenas.

Este trabajo también podrá ser utilizado (después de ser minuciosamente revisado) por estudiantes que cursen la asignatura de Teoría Electromagnética.

Recomendaciones

Revisar de forma más detallada el presente documento para que pueda ser consultado por otros estudiantes.

Realizar un estudio de emisores de ondas y de antenas para acoplar los contenidos tratados y elaborar un documento más completo para el análisis de transporte de energía.

Bibliografía

Electricidad y Magnetismo, A.N.Matveev, Editorial Mir Moscú.Electrodinámica Clásica, D. Jackson, Segunda Edición.Electromagnetismo, John D. Kraus, Tercera Edición.Física, Resnick, Halliday, Krane, Cuarta Edición.Internet: es.wikipedia.org/wiki/Línea_de_transmisión



usuarios.lycos.es/lineasdetransmisionwww.smud.org/espanol/seguridad/exterior/lineas.html


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