KALKULUSKALKULUSVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIRirinRirin SispiyatiSispiyati (20106003)(20106003)

TUJUANTUJUANMencari titik yangMencari titik yang

meminimumkan/memaksimumkan suatumeminimumkan/memaksimumkan suatufungsionalfungsional

Turunan BerarahTurunan Berarah

TOOLTOOL

DIMENSI HINGGA

• 1 Dimensi

Algoritma Fermat ‘Jika f fungsi skalar 1

x̂x̂

variabel yang terdiferensialkan f : R → R memuat nilai ekstrim di titik makaf’( ) = 0’

• n Dimensi

xFxFxFd

d'

0

Didefinisikan F : Rn → RTurunan fungsi yang didefinisikan di Rn

,0xF

d 0

x

0 xF

Untuk yang meminimumkan fungsi F di Rn maka

Diperoleh

L : u → LL : u → L((uu))

•• admisable variation:admisable variation:MemenuhiMemenuhi

MTuM x

•• Turunan berarah:Turunan berarah:

BCs(u),ηδε

εη)(udε

du;η;δ

LLL(

0

Lagrange)-Euler(Persamaan0)(

,0),(

0

u

u

BCs

L

L

•• Turunan berarah:Turunan berarah:

ContohContoh

2)0(,1,0)(

)()(1

0

22

21

R

uxxu

dxuuu x

:L

L

M

M

)!(darikritistitikCari u

R

L:L M

PenyelesaianPenyelesaian

0}0,1,0{ xxTuM

0

1

0

22

21

0

)(

dxuud

du

d

dxL

0

1

0

2222

21 2 dxuuu

d

dxx

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

211

201

20

1

2

dxuuu

dxuuuu

dxudxuu

dxudxu

xxx

xxxx

xxx

xx

Titik kritis u diperoleh jika :Titik kritis u diperoleh jika :

0)(0

ud

dL

1

002

natural)batas(Syarat01

)(

dxuu

ux

u ,L

Sehingga diperolehSehingga diperoleh

22

2

222

2

12

22

1

0

2dan

2dengan

2)0(,01

:awalsyaratdengan

02

Pertama)VariasiurunanLagrange(TEulerPersamaanDiperoleh

002

)(

)(

ee

eC

ee

eCeCeCu(x)

uu

uu

dxuu

xx

x

xx

xx

u

u

0L

,L

ContohContoh

L

M:L

L

darikritistitikmerupakanyanguCari

R

),,()(

dttuuLuI

:anPenyelesai

dtu

L

tu

L

u

L

dtu

L

u

L

dttuuLd

du

d

d

II

I

I

),,()(00

L

Titik kritis u diperoleh jika :Titik kritis u diperoleh jika :

BCs0u

L

0)(0

ud

dL

),,()(

fungsionaldariLagrange-EulerPersamaan0

BCs0

dttuuLu

u

L

tu

L

u

I

I

L

Mekanika klasikMekanika klasik

Kecepatan:

Posisi:)(

waktuinterval},:{

dt

dqq

tqq

IRIqqM

L adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danL adalah selisih antara energi kinetik danenergi potensialenergi potensial

dttqVqmq

dtEpEkq

dttqqLq

I

),()(

)(

),,()(

2

21

I

I

L

L

L

Persamaan Euler LagrangePersamaan Euler Lagrange

qmp momentumJika

dttqVqmqI ),()( 2

21 L

Fq

Vqm

qmq

V

q

L

tq

L

0

q

Vp

pq

q

Vqm

dt

dp

qmp

diperoleh

maka

momentumJika

HamiltonianHamiltonian

HEkL

EpEkLLEkH

EpEkH

2

)(2

Principle/ActionFungsionalAction

)(),(dengan

),(

2

),(),(

Principle/ActionFungsionalAction

2

21 qVppqH

pqHqp

dtHEk

dtpqLpq

I

I

I

L

Gunakan turunan berarah untuk mencari titik kritisGunakan turunan berarah untuk mencari titik kritisdaridari

dtdq

dH

dt

dpp

εη,p)dtεη)-H(qq(dt

dp

dε

dεη,p)(q

dε

d

I

εε

00

L

),( pqL

dtdp

dH

dt

dq

εη)dt-H(q,pdt

dqεη)p

dε

dpq

d

d

dtdqdt

p

I

ε

II

(),(00

L

p

H

dt

dq

δδ pq

sehingga

dan 00 LL

Persamaan Euler LagrangePersamaan Euler Lagrange

H

H

p

q

q

H

dt

dp

pdt

p

q

t01

10

Energi KonservasiEnergi Konservasi

maka,,),,( 2

21

t

Vq

q

Vqm

t

Vq

q

Vqqm

t

H

tqVqmtqqH

0maka0Jika

0Karena

t

H

t

V

t

V

t

H

q

Vqm

pq

dtpqHdxqp

dxpqLpqH

I I

pq

:),(daridinamiksistemmaka

),(:PrincipleAction

),(),(:nHamiltoniadiketahuiJika

2 1

),( L

Hδdt

dp

Hδdt

dq

pq

q

p

:),(daridinamiksistemmaka

ContohContoh

:anPenyelesai

3

1

2

1

2

1),(

:nHamiltoniadengandinamiksistemTentukan

222

xuuhguH

2

dxhuhuhuhu

dxux

uhgd

duH

d

d

xxxxx

X

x

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1),(

0

222

0

xxxxxu huhuhuuHdx

d

3

1),(

dxuug x

22

6

1

2

1

0

222

0 3

1

2

1

2

1),(

dxuuhgd

duH

d

dx

x62

22

6

1

2

1),( xuuguH

dt

du

TERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIH