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EntanglementProblema di Kepler classico: si risolve con la massa ridotta
1
µ µ= + + = +
+
22
2 1
1 1 1(1,2) ( ),2( ) 2
Newton risolse il problema del moto relativo. Da esso si risaleai moti individuali ( ), (t) che orbitano attorno al baricentro.
rB ppH V r
m M m M
r t r
= + +
+= = −
+
= + = + = +
2 21 2
1 22 1
1 2 1 2
(1,2) ( )2 2
Baricentro: , moto relativo
( ) ( ) si conservaB
p pSe H V rm M
mr MrB r r rm M
d dp m M B mr Mr p pdt dt
1
Classicamente, uno puo’ assegnare l‘orbita della Terra e conoscere q(t),p(t),per esempio in uno stato in cui il c.m. e’ fermo. 1
Ad essere separabili non sono i moti di elettrone e nucleo, ma il moto del baricentro e quello relativo.
Non esiste la funzione d’onda degli elettroni in una molecola, esiste quella della molecola!
ψ
Ψ = Ψ= − ∇ = − ∇
Ψ =
Quantisticamente,la separazione del baricentro continua a valere: (1,2) (1,2) (1,2)
( , ) ( )B
B B r rp B
i
H Ep i p i
r B r e
22
ψψ
Non solo non esiste una traiettoria dell'elettrone, manon esiste neppure una dell'elettrone!Non esiste una del nucleo!Sono entangled (ingarbugliati, intrecciati.)
ψΨ
Esistono una del moto relativo e una del baricentro dell'atomo. Pero'...
Questa situazione e’ veramente esotica perche’ classicamente, per descrivere lo stato di un sistema, dobbiamo descrivere lo stato e la dislocazione delle sue parti. Nel motore di un’auto ogni vite ha il suo posto!
Invece quantisticamente lo stato del sistema possiamo conoscerlo, ma le parti hanno stati interdipendenti. Esempio: caso degli spin di un protone e di un elettrone
3
1Base a 2 corpi per 2 spin : 2
(1) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (2)
α αα ββ αβ β
α β β α
±
=
=
Se siamo nello stato entangled(1) (2)- (1) (2)|SM>= 0,0
20,0 0 (singoletto)
Che succede quando misuriamo lo spin di una particella?
S
3
4
↑ ↓Se lo spin di 1 e' quello di 2 e'
↓ ↑Se lo spin di 1 e' quello di 2 e'
α β β α=
Supponiamo di preparareun protone e un elettrone in un singoletto(1) (2)- (1) (2) 0,0
2
4
ψ ψ ψ ψψ
ψ
±=
(1) (2) (1) (2)(1,2)
2Sono non interagenti, non si fm attori zaa z
a b b aab
ab
ψ ψ
Se ci sono particelle identiche lo stato e' sempre entangled per il principio di Pauli!Fermioni (o bosoni identici ) in spin-orbitali ,a b
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Mentre possiamo seguire quello che fa’ una persona in mezzo ad una folla, non possiamo seguire quello che fa’ un singolo elettrone in mezzo a altre particelle.
Ci sono tante ampiezze che rappresentano storie diverse e interferscono fra loro, un po’ come succederebbe a un attore se si proiettassero insieme tanti film diversi.
Se poi le particelle sono tutte elettroni, e’ come se lo stesso attore interpretasse tutte le parti in tutti i film.
6
Se viene misurato lo spin della particella 1 lungo una certa direzione ed e’ α, allora quello di 2 collassa su β. Il collasso e’ istantaneo!
Prima della misura sulla particella 1 lo stato della particella 2 e’ completamente indeterminato, ma dopo l’asse di quantizzazione e’ fissato e la particella 2 si trova in uno stato ben definito. Si puo’ pensare che la misura seleziona uno fra gli infiniti film....
α β β α=
Supponiamo di preparare due particelle in uno stato entangled(1) (2)- (1) (2)come due elettroni in un singoletto 0,0
2
6
Paradosso EPR
Sta di fatto che lo stato quantico della particella 2 e’ stato alterato dalla misura fatta sulla particella 1, misura che definisce anche l’asse di quantizzazione.
7
Dubbio
Ma la misura sullo spin 1 potrebbe avvenire anche a grande distanza dalla particella 2.Se la misura produce un cambiamento che va ad influire sull'altra particella, non dovrebbe questo cambiamento subire un ritardo dipendente dalla distanza?
Possiamo avere una azione istantanea? E la Relativita’?
Charlie produce singoletti e manda una particella ad Alice ed una a Bob, che si trovano a grande distanza.
I tre hanno sistemi di riferimento paralleli.
8
xA
yA
yB
xB
Formulazione di Born del paradosso EPR: Azione istantanea a distanza
Al momento della misura possiamo scrivere: 2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Se A decide di usare z come asse di quantizzazione,
.2
Supponiamo che il risultato di A sia ; lo stato collassa in
e se B misura con lo stesso asse z trova ce
A B A Bz z
Az z
ψ
σ ψ
+ − − − +=
= + −
rtamente 1.
Pero' se A misura , lo stato collassa in e B misura 1
se B misura con lo stesso asse x.
Bz
A Bx xx
σ
σ σ
= −
= + − = −
9
Insomma, A sceglie uno fra gli infiniti 'film' e la scelta valeanche per B, istantaneamente.
puo' scegliere quale osservabile misurare anche dopo che le particelle si sono separate da C, e modifica
A
lo stato della particella di B mentrequesta e' in volo e non interagisce con nulla!
La misura fatta da A cambia istantaneamente lo stato della particella che arriva a B. L’azione fatta da A sembra evidentemente la causa del cambiamento che avviene dalle parti di Bob.
Pero’ per qualche osservatore, la misura di B puo’ essere fatta prima di quella di A. Allora l’effetto precede la causa!
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stazione
La luce arriva contemporaneamente su A e B per il macchinista, arriva prima su A per il capostazione, arriva prima su B per un aereo piu’ veloce del treno
A B
Questo e’ il paradosso E.P.R . A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
Einstein parlava di spooky action at a distance( azione fantasma a distanza); era convinto che la teoria quantistica , di cui egli stesso era fra i principali artefici, desse una descrizione incompleta della realta’ fisica.
1111
Il fatto che la misura provoca un collasso istantaneo della funzione d’onda si puo’ conciliare con la Relativita’?
TerraGiove
Spooky action
Principio di realismo: una grandezza che ha un valore ben definito lo ha indipendentemente dal fatto che lo si misuri.
Principio di localita’: qualunque cosa faccia A non puo’ influenzare una misura eseguita da B prima del tempo rAB/c.
12
Per EPR erano irrinunciabili ed evidenti due principi: quello di realismo e quello di localita’.
Per molto tempo questa sembro’ una disputa filosofica e quindi inconcludente.
13
Sono state proposte da vari autori teorie delle variabili nascoste secondo le quali la meccanica quantistica dice solo parte della verita’, mentre ci sono altri parametri che sono ignorati dalla meccanica quantistica ma sono necessari per una descrizione completa .
Per esempio potremmo sapere da quale fenditura passa l’elettrone nell’ esperimento della doppia fenditura, anche se la MQ non lo dice.
Di fronte ai grandi successi della MeccanicaQuantistica non c’e’ spazio per crederla sbagliata;molti come EPR hanno pensato che fosse correttama incompleta in modo da tenere insiemerealismo, localita’ e quanti.
John S. Bell, ( Physics 1, 195 (1964)) dimostro’ un teorema inatteso:
nessuna teoria locale di variabili nascoste puo’ riprodurre tutti i risultati della Meccanica Quantistica. Se sono veri i principi di localita’ e realismo si devono verificare delle disuguaglianze che contrastano con la Meccanica Quantistica. Quindi si deve scegliere sulla base di opportuni esperimenti.
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Teorema di Bell
Il teorema si presenta come una disuguaglianza che deve essere vera se sono veri localita’ e realismo, ma e’ violata dalla MQ
15
15
xA
yA
yB
xB
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Riprendiamo la formulazione di Born del paradosso EPR: Charlie produce singoletti
e manda una particella ad Alice ed una a Bob, che si trovano a grande distanza.
I tre hanno sistemi di riferimento paralleli.
Modifichiamo l’esperimento per mettere alla prova il principio di realismo.
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xA
yA
yB
xB
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Realismo o non realismo? Disuguaglianza del tipo di Bell
sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.A Ax z x zA σ σ σ σ± ±
Anche B sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
B Bx z
B Bx z
σ σ
σ σ± ±
Mettendo insieme i risultati di molte misure si cerca una correlazione fra i risultati. Qual'e' la quantita' che puo' mettere alla prova il realismo?
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indipendentemePer il Principi
nte dal fatto co di realismo, una grandezza c
he la si misurihe ha un valore ben definito in un sistema
lo haQuindi le misure degli osservabili rappresentati
. da , ,A A
x zσ σ σ
Quindi (
e es
+ ) 0 oppure 2, ( ) 0 oppure 2.
Allora consideriamo
istono indipendentemente dalla misura e valgono 1.
A A A Az x
z
x
Bx
z
B
σ σ σ
σ
σ= ± − = ±
±
Facendo la media su molte repliche dell'esperimento che ogni volta da' = 2 si deve trovare che | M | 2.
M ±
≤
il principio di realismo
M=( + ) ( ) .A A B A A Bz x z z z xσ σ σ σ σ σ+ −
Se ( + ) 0, quindi 1 e 1 o viceversa, allora il primo termine di M e' nullo, ma nel secondo termine ( ) 2, quindi M= 2.L'unica alternativa e' ( + ) 2, nel qual caso (
A A A Az x z x
A Ax z
A A A Az x x z
σ σ σ σ
σ σ
σ σ σ σ
= = = −
− = ± ±
= ± − ) 0, = 2.M= ⇒ ±
18
1 1 1 1= .
2A B A Bψ
− − −Il calcolo quantistico richiede di med ˆ M=( + ) ( ) sia ure A A B A A B
z x z x z xσ σ σ σ σ σ+ −
Calcolo quantistico di <M>
Ricordando che 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,e facendo agire le matrici di Pauli di B,
z z x xσ σ σ σ= − = − − = − − =
2 ( )( 1 1 1 1 ) ( )( 1 1 1 1 ).I quattro termini sono:( )( 1 1 ) 1 1 1 1
( )( 1 1 ) 1 1 1 1
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1
( )( 1 1 ) 1 1 1 1
A A A Az x A B A B z x A B A B
A Az x A B A B A B
A Az x A B A B A B
A Az x A B A B A B A B
A Az x A B A B A B
Mψ σ σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
= + − − − − + + − − −
+ − − = − − − − −
+ − − = − − −
+ = + −
+ − − − = − − − −
In tutto viene
2 2( 1 1 11 ). 2.M Mψ ψψ = − − + − ⇒ = −
Questo risultato e’ al limite, ma ancora compatibile con la disuguaglianza di Bell | | 2.Mψ ψ ≤
19
xA
yA
19
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Come prima, sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
x zA A
x z
A σ σ
σ σ± ±B sceglie a caso se misurare oppure (riferiti ai suoi assi) e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
B Bx z
B Bx z
σ σ
σ σ± ±
Mettendo insieme i risultati di molte misure si ottiene la mediasulle coppie fornite da Charlie della quantita' M=( + ) ( ) .A A B A A B
z x z x z xσ σ σ σ σ σ+ −
Consideriamo un esperimento come sopra in cui pero’ gli assi di Bob sono inclinati di 45 gradi ;gli operatori d , hanno auti Bob ovalori 1.B B
x zσ σ ±
20
xA
yA
20
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
|<M>| 2.
C
Per il Pr
he gli as
incipio di realism
si siano inclinati
o,
n
resta vero
on cambia
che
.
nulla
≤
M=( + ) ( ) . A A B A A Bz x z z x xσ σ σ σ σ σ+ −
21
Dato che Bob ha un sistema di assi tali che, riferiti a quelli di Alice,sono
1 1(1,0,1), ( 1,0,1)2 2
B Bz xn n= = −
conviene riferire anche le sue matrici di Pauli a un sistema orientato come quello di Alice,
1 1. ( ), . ( ).2 2
B B B B B B B Bx x x z z z x zn nσ σ σ σ σ σ σ σ= = − + = = +
Calcolo quantistico
22
( )
M̂ 2=( + )( ) ( )( )
2 .
A A B B A A B Bz x z x x z z x
A B A B A B A B A B A B A B A Bz z z x x z x x z z z x x z x x
A B A Bz z x x
σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
+ + − −
= + + + + − − +
= +
ˆSostituendo in M=( + ) ( )1 1. ( ), . ( )2 2
si trova (grazie alla scelta felice degli angoli) una comoda semplificazione:
A A B A A Bz x z z x x
B B B B B B B Bx x x z z z x zn n
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ
+ −
= = − + = = +
Charlie ha gli assi orientati come quelli di Alice e dice che1 1 1 1
= , cioe' e' un singoletto e una particella va 2
da A mentre l'altra va da B. 1 1 1 1
(Ma comunque siano orientati gli assi =
A B A B
A B A
ψ
ψ
− − −
− − −.
2un singoletto non cambia per rotazioni.)
B
23
( ) 1 1 1 1M = .2 2
A B A BA B A Bz z x xψ σ σ σ σ
− − −+
= , = ,A B A Bz z x xσ σ ψ ψ σ σ ψ ψ− −
M̂e cosi' = 2 . Dato che 1,2
2 2M
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ
− =
= −
Questo e’ il risultato quantistico che contraddice i criteri di EPR.
Ricordando che 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,si verifica che
z z x xσ σ σ σ= − = − − = − − =
24
La questione posta dal paradosso EPR e’ sperimentalmente risolubile. La meccanica quantistica esclude il principio del realismo.Le grandezze che non sono misurate non hanno un valore a noi ignoto; il valore non c’e’.Non e’ che noi non sappiamo da quale fenditura passa l’elettrone nell’esperimento della doppia fenditura.Questa scelta non viene fatta.Gle esperimenti fatti sono in accordo con la Meccanica Quantistica.Vedere su Wikipedia
Conclusioni:
Bell test experiments
Principio di localita’. C’e’ contrasto con la Relativita’?
Consideriamo un esperimento di tipo EPR in cui c’e’ una sorgente di coppie di elettroni in stati di singoletto, e gli elettroni vengono mandati uno ad Alice e l’altro a Bob. Se Alice puo’ usare il collasso della funzione d’onda per mandare un messaggio istantaneo a Bob, addio Relativita’. Ma puo’?
Quando Alice misura la componente x dello spin, la ψ collassa. Allora Bob ha un autostato opposto della componente x. Pero’ Alice non puo’ decidere se mandare spin alto o spin basso. In questo modo, nessun messaggio e’ possibile.
Alice potrebbe tentare di mandare un messaggio superluminale a Bob fatto di zeri e uno; per ogni 0 Alice misura la componente x dello spin, e per ogni 1 misura la componente y. Cosi’ Bob si troverebbe istantaneamente con elettroni che sono autostati o della componente x o di quella y. Se potesse capire in quale delle due e’ ciascuna particella, potrebbe leggere un messaggio superluminale.
25
26
xA
yA
singolettificio
Messaggio indecifrabile
Solo, come potrebbe Bob distinguerle? Misurando lo spin di un elettrone una volta lungo un qualsiasi asse, non puo’ arrivare a nessuna conclusione. Soltanto avendo tanti elettroni nello stesso stato uno potrebbe trovare l’asse di quantizzazione.
272727
Facendo numerosi cloni di ciascun elettrone Bob potrebbefacilmente distinguere quelli che danno sempre lo stessovalore di una componente.Se fosse possibile clonare lo stato, la trasmissione istantanea della informazione a qualsiasi distanza sarebbe possibile e la Relativita’ sarebbe violata.
Il teorema di no cloning salva l’accordo con la relativita’.
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Entanglement di fotoni
29
Teletrasporto
L’entanglement puo’ essere usato, insieme a dati classici trasmessi per via convenzionale, a trasportare informazione (teletrasporto) e riprodurre a distanza uno stato quantico senza conoscerlo,ma distruggendo l’originale. Senza distruggere l’originale non si puo’ (no cloning theorem).
http://www.research.ibm.com/quantuminfo/teleportation/
30
31
32
Alice ha uno spinda trasmettere a Bob e una particella di una coppia di spinori
Bob ha l’altra particella con spin ingarbugliata
Coppia ingarbugliata
αψ
β
=
trasmettere a Bobda
Teletrasporto
ψ−
=coppia
0 1 1 0;
2 0 significa particella in stato 0 in possesso di Alice,etc.
A B A B
ψ
ψ
Alice puo’ fare una copia della terza particella e spedirla a Bob? No. Il No Cloning Theorem proibisce di fare una cosa del genere.Alice non conosce
A
αψ α β ψ
β
ψ
= + ⇔ =
−
0 1 .
Ne' Alice ne' Bob conoscono .Alice non
puo'
fare misure perche' modificherebbe il qbit.
A A A AA
A
Alice ha anche un q bit da trasmettere a Bob
ψ−
=coppia
Dato che 0 1 1 0
;2
A B A B
Stato delle 3 particelle
ψ ψ−
=terna
0 1 1 0
2A B A B
A
33
Espandendo lo stato delle 3 particelle,
ψ ψ α β− −
= = +0 1 1 0 0 1 1 0
( 0 1 )2 2
A B A B A B A Bterna A A A
ψ α β α β= + − −2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 .terna A A B A A B A A B A A B
34
vengono 4 termini:
Per procedere, esaminiamo la situazione locale di Alice. Se fa’ una misura sulla sua coppia di spinori, cosa puo’ trovare?
Stati entangled di 2 spin distinguibili (o 2 qbit)
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0
2 20 0 1 1 0 1 1 0
2 2
0 0 0 12 2
1 1 1 02 2
+ − + −
+ − + −
Φ + Φ Ψ + Ψ= =
Φ − Φ Ψ − Ψ= =
I due spin possono occupare stati ortogonali a particella singola 0 e 1 e possono formare i seguenti stati ortogonali (stati di John Bell) a 2 particelle:
35
Da questi ovviamente si possono riottendere gli stati base:
Stato delle 3 particelle
ψ α β α β= + − −2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 .terna A A B A A B A A B A A B
36
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0,
2 20 0 1 1 0 1 1 0
, . 2 2
Analizziamo le 2 paricelle di Alice (coppia A) in termini degli stati ingarbugliati di Bell:
+ − + −
+ − + −
Φ + Φ Ψ + Ψ= =
Φ − Φ Ψ − Ψ= =
0 0 , 0 12 2
1 1 , 1 02 2
A A A AA A A A
A A A AA A A A
ovvero:
ψ α β α β= + − −terna2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0si puo' riscrivere:
A A B A A B A A B A A B
2 ( 1 0 ) ( 1 0 )
( 1 0 ) ( 1 0 )terna B B B BA A
B B B BA A
ψ α β α β
β α β α
+ −
+ −
= Φ − + Φ +
+ Ψ − − Ψ +
Alice misura localmente la sua coppia A facendo collassare istantaneamente tutta la funzione d’onda e puo’ trovare uno dei 4 risultati seguenti
37
α β
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0,
2 20 0 1 1 0 1 1 0
, .2 2
Dopo aver fatto la misura, Alice non ha alcuna informazionesu e . Alice conosce solo l'esito della sua misura,cioe' quale di questi casi si verifica.
38
ψ α β α β
β α β α
+ −
+ −
= Φ − + Φ +
+ Ψ − − Ψ +
Dato che lo stato era
2 ( 1 0 ) ( 1 0 )
( 1 0 ) ( 1 0 )terna B B B BA A
B B B BA A
α β
α β
β α
β α
+
−
+
−
Φ −
Φ +
Ψ −
Ψ +
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
B BA
B BA
B BA
B BA
Dopo la misura fatta da Alice, lo spinore di Bob non e’ piu’ intrecciato; Bob puo’ misurare il suo spinore, ma non sa quale delle 4 possibilita’ si e’ realizzata.
αψ α β
β
= + →
Cosi’ Bob nell'ultimo caso ha gia’ una copia : 0 1
Alice telefona a Bob e gli e lo dice . Il processo richiede la propagazione di un segnale e non viola la Relativita’.
αψ α β
β
= + →
Abbiamo visto che Bob nell'ultimo caso
ha gia’ una copia : 0 1
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Negli altri casi
βα β
α
βα β
α
αβ α
β
+
−
+
−Φ ⇒ − →
Φ ⇒ + → −
Ψ ⇒ − →
Bob ha ( 1 0 )
Bob ha ( 1 0 )
Bob ha ( 1 0 )
B BAB
B BAB
B BAB
Avuta l’informaziona da Alice, Bob puo’ ottenere il qbit che prima aveva Alicecon una trasformazione di spin.
39
Alla fine Bob non ha il qbit originale ma ha un qbit identico all’originale. Alice non conosce lo stato della particella. Quindi Alice ha trasmesso a Bob informazione che non aveva ma la Relativita’ e’ salvata dalla telefonata.
Bob puo’ fare la misura ma attenzione: per ricavare il qbit ha bisogno di un campione numeroso.
Esperimenti sono stati fatti con fotoni.
β β ασ
α α β
β β ασ
α α β
α α ασ
β β β
− − −= = −
= = − −
= = − −
00
0 11 0
1 00 1
yB B B
xB B B
zB B B
ii
i
40
41
Scientific American June 2011
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