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Ejemplos de la Matematica en la Musica

Octavio Alberto Agustın [email protected]

UNAMFacultad de Ciencias

1 de marzo de 2010

O. A. Agustın Aquino (UNAM-FC) Matematica en la Musica 1 de marzo de 2010 1 / 13

Dicen que ası comenzo...

Pitagoras escucho que el tono del golpe del martillo contra el yunquedependıa del tamano del martillo. Ası empezo a deducir las proporcionesque gobiernan a los sonidos armoniosos.


...pero ya andamos bastante mas lejos

Pero la aplicacion de la Matematica a la Musica va mas alla de lopuramente aritmetico. La mayor parte de las ramas de la Matematicapueden aplicarse al analisis y la creacion musical. En particular, la teorıa degrupos.


Las simetrıas de motivos...

Desde hace mucho tiempo los compositores (como J. S. Bach, porejemplo) invierten (I ), retrogradan (R) o retrogradan y despues invierten(IR) los temas en sus creaciones para darle variedad y coherencia.


...conforman un grupo

Las operaciones I , R e IR junto con la operacion “no hacer nada” (laidentidad) forman un grupo, que es isomorfo al Vierergruppe de Klein (elgrupo de simetrıas de un cuadrado no rectangular).


En la obra de J. S. Bach

Esto se puede escuchar en los compases 7-8, 29, 33 y 36 de la Fuga 6 delprimer libro del “Das Wohltemperierte Klavier” de J. S. Bach.


Inversiones y transposiciones

Los acordes tambien se transforman de acuerdo a alguna “logica musical”,particularmente las trıadas mayores y menores. Por un lado tenemos a lasinversiones (I ) y las transposiciones (T ).Considerando el acorde de C mayor {c , e, g}:

1 una de sus transposiciones es el acorde de D mayor {d , f ], a} (ocualquier acorde mayor),

2 una de sus inversiones es el acorde de f] menor, {f , c , a[} (o cualquieracorde menor).


Paralelos, intercambios de la sensible y relativos

Por otro lado tenemos el paralelo (P), el intercambio de la sensible (L) y elrelativo (R). Dado el acorde de C mayor {c , e, g}:

1 Su paralelo es el acorde de C menor, {c , e[, g}.2 Su relativo es el acorde de A menor, {a, c , e}.3 Su intercambio de la sensible es E menor, {e, g , b}.


¡Otra vez un grupo!

Tanto el conjunto de todas las composiciones de las operaciones de tipo Te I (que llamaremos TI) como las de tipo P, L y R (que llamaremos PLR)conforman un grupo, ambos isomorfos al grupo diedral de grado 12.

El grupo diedral de grado 6... Para fines ilustrativos, solamente.


En la obra de L. van Beethoven

Si se aplica R a cualquier trıada, luego L al resultado y repetimos esto, seproducira la siguiente sucesion de trıadas:

Cmaj, Amin, Fmaj, Dmin, B[maj, Gmin,E[maj, Cmin, A[maj, Fmin, D[maj, B[min,G[maj, E[min, Bmaj, G]min, Emaj, C]min,

Amaj, F]min, Dmaj, Bmin, Gmaj, Emin, Cmaj

Esta sucesion (hasta el acorde de F]min) es una progresion famosa de laNovena Sinfonıa de Beethoven, que ocurre en los compases 143-176 delsegundo movimiento. Fue observada por Richard Cohn.


La dualidad de TI y PLR

Las operaciones de tipo T e I conmutan con las de tipo P, L y R. Mejoraun, uno es el centralizador del otro si los vemos como subgrupos delgrupo simetrico de todas las trıadas mayores y menores. Es decir, TI yPLR son grupos duales.


En la obra de J. Pachelbel

Esta dualidad se puede observar en el Canon en D de Pachelbel

DmajT7−−−−→ Amaj

R

y yR

Bmin −−−−→T7

f]min.


Para terminar...

“[...] Es conocido que las bases matematicas de la musica nos han hechodisfrutarla y no solo entenderla. La Matematica tambien tiene por objetola busqueda de la belleza, es un arte en sı misma y nos ofrece el mismoplacer y goce estetico que cualesquiera de las demas artes.”

K. C. Cole, escritora estadounidense


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