PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje IIIj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)• Posmatra se proizvoljna konačna zapremina V fluidakoja sadrži masu i koja je izdvojena iz ukupnekoja sadrži masu m i koja je izdvojena iz ukupnezapremine fluida koji miruje.

č k č• Posmatrana zapremina je ograničena konačnomspoljašnjom površinom A.

• Na delić fluida mase dm izapremine dV delujep jspoljašnja sila:

fdm fdV

• Gde je f zapreminska silakoja deluje na jedinicu

fdm fdV

koja deluje na jedinicumase fluida.

Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)

• Na fluid u celoj zapremini deluje sila: fdNa fluid u celoj zapremini deluje sila:

K č i V t ji d b k čV

fdV• Konačna zapremina V sastoji se od beskonačno mnogodelića zapremine dV koji se uzajamno dodiruju. Za dva

d d lić fl id lj i l ti d d disusedna delića fluida upravljeni elementi da dodirnepovršine su suprotnih smerova.

• Na svaku ovakvu površinicu deluju pritisne sile:

1 1dP pda

2 2dP pda

• Ove sile su istog intenziteta i pravca ali suprotnihsmerova. Površinske sile u unutrašnjosti zapremine V

1 1p 2 2p

smerova. Površinske sile u unutrašnjosti zapremine Vfluida uzajamno se uravnotežuju.

Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)• Od površinskih sila ostaju samo sile pritiska okolnogfl d k d l k l dA čfluida koje deluju na svaku element dA graničnepovrši.

• Svaka od elementarnih sila pritiska iznosi –pdA te jeukupna sila pritiska okolnog fluida određenaintegralom:

pdA

• Ovaj se integrla može transformisati u zapreminskiprimenom Gausove teoreme na osnovu koje važi:

A

primenom Gausove teoreme na osnovu koje važi:

gradpdA p dV

gradA V

pdA p dV

Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)

• Da bi posmatrana masa fluida bila u stanju mirovanja, potrebno je da zbir svih sila koje deluju na ovu masu bude jednak nuli. 

• Uslov ravnoteže mase fluida dat je jednačinom:

K k j i j i lj i V h d i

grad 0V

f p dV

• Kako je u pitanju proizvoljna zapremina V, prethodni integral je neodređen, te podintergralna funkcija mora d b d j d k lida bude jednaka nuli:

1 gradf p

Ojlerova jednačina za mirovanje fluidagradf p

Ojlerova jednačina za mirovanje fluida

Skalarni oblik Ojlerove jednačineSkalarni oblik Ojlerove jednačine f Xi Yj Zk

p p p grad p p pp p i j k

x y z

i j kx y z

Hamiltonov operator ‐ nabla

• Jednačine za mirovanje fluida u skalarnom obliku:obliku:

1 pX 1 pY 1 pZ

Xx

pYy

Zz

Osnovna jednačina statike fluidaj• Ojlerove jednačine predstavljaju sistem od tri

ij l dif ij l j d čiparcijalne diferencijalne jednačine.• Za praktičnu primenu pogodno je odrediti jednu

k i l j d čiekvivalentnu jednačinu.

1 p p p 1 p p pXdx Ydy Zdz dx dy dzx y z

1 dp Xdx Ydy Zdz

• Iz ove jednačine, kao i iz Ojlerovih jednačina vidi seda pritisak i gustina upravljaju ravnotežom fluida.

p g p j j

Određivanje polja pritiska u nestišljivom i stišljivom fluidu

P lj iti k ( ) d đ j i Ojl j d či• Polje pritiska p(r) se određuje iz Ojlerove jednačine zazadato skalarno polje gustine ρ(r)

• i zadato vektorsko polje masenih sila f(r).

Specijalni slučajevi masenih sila važnih za mehaniku fluida

• Homogeno polje sila– Sila Zemljine teže 0,0,f g g

j

– Inercijalna sila pri trasnlatornom pravolinijskom kretanju konstantnim ubrzanjem a kretanju konstantnim ubrzanjem a.

• Nehomogeno polje sila inf a

– Centrifugalna sila pri rotaciji konstantnom ugaonom brzinom  oko vertikalne ose z.

2 2 2 2 2, ,0f r xi yj x y

Mirovanje fluida u polju Zemljine teže• Posmatra se sud sa tečnošću koji miruje u polju

l žZemljine teže• Na svaku jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljineteže, pa je za z osu usmerenu vertikalno naviše:

0, 0,X Y Z g

• Sila Zemljine teže jekonzervativna sila te jegustina isključivo funkcijapritiska.

Mirovanje fluida u polju Zemljine teže

11 dp Xdx Ydy Zdz

1 dp gdz

dp gdz

dp g dz p gz C Podsetnik: =const, g=const

dz z

Mirovanje fluida u polju Zemljine težeMirovanje fluida u polju Zemljine teže

p gz C

0p z H

C H

za

C gH

p g H z

• Zaključci:

p g H z

• Zaključci:• H‐z je vertikalno rastojanje od slobodne površine• Horizontalne ravni su ravni konstantnog pritiska

Mirovanje fluida u polju Zemljine teže

• Prema prethodnom dobijenom izrazu statički pritisak p j pje jednak proizvodu gustine fluida, ubrzanja Zemljine teže i vertikalnog rastojanja od slobodne površine do g j j ptačke u kojoj se određuje pritisak.

• Pritisak u tačkama M M i u• Pritisak u tačkama M0, M i u prizvoljnoj tački na dnu suda.

0 0Mp gz

Mp gz

dp gHdnop gH

Uticaj potpritiska i natpritiskaj p p p• Statički pritisak ili pritisak kod

mirovanja fluida na osnovumirovanja fluida na osnovuprethodno izvedenih izraza zavisiod gustine, visine stuba tečnosti ig ,gravitacionog ubrazanja.

• Slobodna površina fluida je uslučaju mirovanja fluida uvekhorizontalna linijaU d đ i l č j i k d j• U određenim slučajevima kada jesud koji posmatramo zatvoreniznad tečnosti može da delujeiznad tečnosti može da delujenatpritisak pm ili potpritisak pv, ane atmosferski pritisak kao uprvom slučaju.

Uticaj potpritiska i natpritiskaj p p p• Pri dejstvu natpritiska ili potpritiska

k fl dpritisak u fluidu se menja.• Pri dejstvu natpritiska:

0 0M mp p gz

M mp p gz

p p gH dno mp p gH

0 0M vp p gz

P i d j t t iti k

0 0M vp p g

M vp p gz Pri dejstvu natpritiska:

dno vp p gH

Piezometarska visinaPiezometarska visina

• Svaki pritisak nekog fluida može se izrazitinjegovom ekvivalentnom visinomj g

• Kako je gustina tečnosti konstantna (nestišljivfluid) a takođe i gravitaciono ubrazanje g sledi:fluid), a takođe i gravitaciono ubrazanje g sledi:

• Piezometarska visina

3N

2 2 2 32p Pa N mmh kg m kg mg

2

3

skg m

2sN kgkg

2

ms

2skg

m

3 2 3 2m s m s

g

Granična površina između tečnosti koje se ne mešaju

• Ako se u sudu nalaze, naprimer, dve tečnosti koje se nemešaju i različitih su gustina1 i 2 tada će se one rasporediti jedna iznad druge.Ispod (na dno) uvek ideIspod (na dno) uvek idetečnost veće gustine

• Za obe tečnosti se mogu• Za obe tečnosti se mogunapisati jednačine ravnoteže:

1dp gdz 2dp gdz

Granična površina između tečnosti k j š jkoje se ne mešaju

• Na graničnoj površini obe jednačine moraju da budu• Na graničnoj površini obe jednačine moraju da budu zadovoljene (fluid je kontinum, pritisak u jednoj tački ima samo jednu vrednost)ima samo jednu vrednost)

1 2dp gdz gdz

1 2 0g dz

Granična površ između dve1 2 0dz z const Granična površ između dvetečnosti koje se ne mešaju, amiruju u polju Zemljine težemiruju u polju Zemljine težepredstavlja horizontalnu ravan.

Statički pritisak – dva fluida koji se ne mešaju

• Isto kao i u prethodnomslučaju svaka horizontalnaravan predstavlja ravankonstantnog pritiska.

• Pritisak i sada zavisi samo od visine stuba tečnosti

1 1 1Mp gz

1g gp gz

1 2dp gz g H z 1 2dno g gp gz g H z 2 1 2 2M g gp gz g z z