TEORIJSKA MEHANIKA

TEORIJSKA MEHANIKALagranzeva i Hamiltonova mehanika

Voja RadovanovicFizicki fakultet

Univerzitet u Beogradu

Beograd, 2015.

Sadrzaj

1 Uvod 7

2 Njutnova mehanika 92.1 Elementi kinematike tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Referentni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Materijalna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Brzina i ubrzanje tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Njutnovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Apsolutnost prostora i vremena u nerelativistickoj mehanici . . . . . . . . . . . 162.4 Galilejeve transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Sistemi sa konacno mnogo cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Rad sile i neki tipovi sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Osnovne teoreme mehanike i zakoni odrzanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Prinudno kretanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.9 Diferencijalne jednacine kretanja sistema bez veza . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 Reakcije veza. Idealni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Lagranzeve jednacine kretanja 313.1 Varijacioni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Cestica u polju konzervativne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Generalisane koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Hamiltonov princip. Lagranzeve jednacine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Kovarijantnost Lagranzevih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6 Matematicko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Virtuelna pomeranja i virtuelni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Lagranzeve jednacine za sisteme sa nepotencijalnim silama . . . . . . . . . . . . 463.9 Generalisano potencijalne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.10 Lagranzeve jednacine sa mnoziteljima veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.11 Kineticka energija sistema cestica u generalisanim koordinatama . . . . . . . . 54

4 Zakoni odrzanja i simetrija 574.1 Homogenost prostora i zakon odrzanja impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Izotropnost prostora i zakon odrzanja momenta impulsa . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Homogenost vremena i zakon odrzanja energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

4 SADRZAJ

4.4 *Neterina teorema u analitickoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Male oscilacije 69

5.1 Ravnotezna konfiguracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Jednacine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 Normalne mode i svojstveni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Longitudinalne oscilacije lanca tackastih masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6 Transverzalne oscilacije lanca tackastih masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Centralno kretanje 83

6.1 Kretanje u polju centralne sile. Lagranzeve jednacine . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Prvi integrali kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3 Kvalitativna analiza centralnog kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4 Keplerov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.5 Runge-Lencov vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.6 Problem dva tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.7 Rasejanje cestice na centralno simetricnom potencijalu . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Kretanje krutog tela 99

7.1 Definicija krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Tenzori u euklidskom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.4 Salova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.5 Koriolisova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.6 Ugaona brzina krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.7 Ugaona brzina i matrica rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.8 Komponente ugaone brzine u sistemu krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.9 Komponente ugaone brzine u laboratorijskom sistemu . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.10 Brzina tacke krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.11 Impuls krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.12 Moment impulsa krutog tela. Tenzor inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.13 Kineticka energija krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.14 Teorema impulsa za kruto telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.15 Kretanje krutog tela oko nepokretne tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.16 Lagranzev metod za kruto telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8 Relativno kretanje 133

8.1 Veza izmedju brzina cestice u dva sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.2 Veza izmedju ubrzanja cestice u dva sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.3 Dinamika relativnog kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.4 Fukoovo klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

SADRZAJ 5

9 Hamiltonov formalizam 1399.1 Hamiltonijan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.2 Hamiltonove jednacine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.3 Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.4 Hamiltonove jednacine i varijacioni princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.5 Poasonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10 Kanonske transformacije 14710.1 Primer kanonskih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2 Infinitezimalne kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3 Direktna provera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.4 Invarijantnost Poasonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.5 Simplekticke transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.6 Hamilton-Jakobijeva jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.7 Hamiltonova karakteristicna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.8 Integrabilni sistemi; Promenljive dejstvo-ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.9 Keplerov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6 SADRZAJ

Glava 1

Uvod

Mehanika je grana fizike koja izucava kretanja tela. Nerelativisticka mehanika, koju cemoizucavati na ovom kursu, proucava kretanje tela brzinom mnogo manjom od brzine svetlosti.Pored toga pretpostavicemo da je kretanja tela klasicno, tj. da su kvantni efekti zanemarljivi.

Osnovni principi klasicne i nerelativisticke mehanike su sadrzani u Njutnovim zakonima.Vec smo rekli da ako hocemo da ukljucimo kvantne i relativisticke fenomene moramo da na-pustimo Njutnovu mehaniku. Ali pored toga metodi Njutnove mehanike nam nece pomoci urazumevanju moderne fizike. Jedan od osnovnih svojstava fizickih sistema je njihova simetrija.Ona nam daje puno informacija o sistemu, npr. zakone odrzanja. Simetrija sistema u Njut-novoj mehanici nije transparentna. Hamilton, Lagranz, Ojler, Jakobi i mnogi drugi fizicarisu Njutnove zakone dinamike prepisali na drugi nacin, mozemo slobodno reci drugim jezikom.Tako je nastala Analiticka mehanika u kojoj se mehanicko kretanje cestica opisuje Lagranzevimodnosno Hamiltonovim formalizmom. Pri resavanju mehanickih problema oba formalizma imajupreimucstvo nad Njutnovim metodom. Jednacine kretanja sistema cestica se u okviru analitickemehanike lakse dobijaju. To se posebno odnosi na sisteme sa vezama. Medjutim znacaj analitickemehanike daleko prevazilazi samu analiticku mehaniku. Osnovni koncepti kvantne fizike imajusvoj analogon u analitickoj mehanici, tako da je ona osnova celokupne teorijske fizike. Dakleako hocete da razumete kvantnu mehaniku, relativnost, elektrodinamiku i interakcije izmedjucestica generalno, statisticku mehaniku, potreban vam je formalizam odnosno jezik analitickemehanike.

Osnovni dinamicki zakoni se u analitickoj mehanici dobijaju varijacionim principom. Njemuje ovde posvecena posebna paznja. Takodje jedan od centralnih koncepata u fizici je simetrijafizickih sistema i zakoni odrzanja fizickih velicina koji slede iz simetrije. Simetrija se u formalizmuanaliticke mehanike vidi direktno.

7

8 GLAVA 1. UVOD

Glava 2

Njutnova mehanika

U ovoj glavi je rekapitulirana Njutnova mehanika. Vecina ovog materijala Vam je poznatasa kursa Opste fizike, ali je ovaj uvod neophodan kako bi se pripremili za izlaganje analitickemehanike. Prvo poglavlje se odnosi na kinematiku tacke, dok se ostala odnose na dinamikujedne cestice i sistema cestica. Izlozeni su Njutnovi zakoni, teoreme energije, impulsa i momentaimpulsa sistema cestica kao i uslovi pod kojima su spomenute velicine konstante kretanja. Uposlednjem delu ove glave analiziraju se sistemi sa vezama. Jednacine kretanja idealnih sistemasu date u vektorskoj formi.

2.1 Elementi kinematike tacke

2.1.1 Referentni sistem

Mehanika se bavi proucavanjem kretanja tela. Da bismo opisali kretanje jednog tela moramouvesti drugo, tzv. referentno telo u odnosu na koje posmatramo kretanje. Referentno telo jenajcesce nepokretno i apsolutno kruto. Telo je apsolutno kruto ukoliko se rastojanje izmedjuma koje dve njegove tacke ne menja. Za referentno telo vezacemo koordinatni sistem koji nazi-vamo referentnim sistemom. Proizvoljnu tacku apsolutno krutog tela izabracemo za koordinatnipocetak referentnog sistema, dok se ose Dekarovog koordinatnog sistema uvode konstrukcijomtri medjusobno ortogonalna pravca kroz tacke A,B i C na slici 2.1. Na ovaj nacin konstruisalismo jedan referentni sistem, definisan koordinatnim pocetkom i osama. Njutnova mehanika jedefinisana u realnom trodimenzionom prostoru, R3. Rastojanje izmedju tacaka r1 = (x1, y1, z1)i r2 = (x2, y2, z2) u ovom prostoru je definisano preko skalarnog proizvoda sa

|r2 r1|2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 .Dekartove koordinate smo obelezili sa x, y, z. Prostor R3 sa definisanim rastojanjem izmedjutacaka je euklidski prostor. Vreme t u Njutnovoj mehanici igra ulogu parametra.

2.1.2 Materijalna tacka

Cesticu (materijalnu tacku) definisemo kao bezdimenzioni objekat. To je telo cije dimenzije udatoj situaciji zanemarujemo. Kada posmatramo kretanje Zemlje oko Sunca, Zemlju smatramo

9

10 GLAVA 2. NJUTNOVA MEHANIKA

Slika 2.1: Referentni sistem.

materijalnom tackom, jer je precnik Zemlje zanemarljiv u odnosu na rastojanje izmedju Suncai Zemlje. Sa druge strane, ako analiziramo rotaciju Zemlje oko svoje ose onda je ne mozemoaproksimirati tackom.

Polozaj cestice u svakom trenutku vremena odredjen je njenim radijus vektorom (vektorompolozaja):

r = r(t) . (2.1.1)

Ova jednacina se jos naziva i jednacinom kretanja cestice. Sa protokom vremena cestica opisujetrajektoriju. U Njutnovoj mehanici Dekartove koordinate zauzimaju posebno mesto. U ovimkoordinatama zakon kretanja cestice je

r = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 , (2.1.2)

gde su ei, i = 1, 2, 3 ortovi Dekartovog sistema. Jednacine

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (2.1.3)

nazivaju se konacnim jednacinama kretanja cestice. One predstavljaju parametarski oblik tra-jektorije cestice. Put koji cestica predje za vreme t je

s =

t0

ds =

t0

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 . (2.1.4)

2.1.3 Brzina i ubrzanje tacke

Brzina materijalne tacke je data sa

v(t) = lim4t0

r(t+4t) r(t)4t =

dr

dt= r (2.1.5)

i jednaka je vremenskom izvodu radijus vektora cestice. U Dekartovim koordinatama brzinacestice je

v = xe1 + ye2 + ze3 , (2.1.6)

dok je intenzitet brzine dat sav =

x2 + y2 + z2 . (2.1.7)

2.1. ELEMENTI KINEMATIKE TACKE 11

Slika 2.2: Vektor brzine cestice.

Slika 2.3: Prirodni trijedar.

Lako se vidi da je

ds = |dr|=

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2

=x2 + y2 + z2dt = vdt (2.1.8)

Dakle, intenzitet brzine cestice je

v =ds

dt. (2.1.9)

Vektor brzine je

v =dr

dt=

dr

ds

ds

dt= v , (2.1.10)

gde je = drds

ort tangente na trajektoriju cestice u datoj tacki. Brzina je dakle tangenta naputanju cestice, slika 2.2. Ubrzanje cestice se definise kao izvod brzine po vremenu

a = lim4t0

v(t+4t) v(t)4t =

dv

dt= v = r. (2.1.11)

U Dekartovim koordinatama ubrzanje tacke je

a = xe1 + ye2 + ze3 . (2.1.12)

Vec smo rekli da je u mnogim situacijama pogodno koristiti druge koordinate kako bi npr.pojednostavili jednacine kretanja cestice. Prirodni sistem koordinata je vezan za svaku tackutrajektorije cestice. Prirodni trijedar cine tangenta, normala i binormala, sto je prikazano naslici 2.3 . Njihove ortove obelezavacemo sa ,n i b, redom. Ort tangente smo ranije definisali.On je funkcija puta = (s), jer put mozemo uzeti za parametar koji parametrizuje trajektorijucestice. Diferenciranjem izraza 2(s) = 1 po s dobijamo

dds

= 0 . (2.1.13)


Slika 2.4: Normalno, tangencijalno i ukupno ubrzanje cestice.

Vektor dds

je ortogonalan na ort tangente. Normiranjem ovog vektora dobijamo ort normale

n =ddsdds =

d

ds. (2.1.14)

Velicina

=dds

1 (2.1.15)je poluprecnik krivine krive u datoj tacki. Ort binormale je ortogonalan na ort tangente i na ortnormale, tj. definisan je sa

b = n . (2.1.16)Sada mozemo da izrazimo ubrzanje cestice u prirodnom trijedru. Lako se vidi da je

a =d

dt(v ) =

dv

dt + v

d

dt

= v + vd

ds

ds

dt= v +

v2

n. (2.1.17)

Ubrzanje cestice ima dve komponente: tangencijalnu at = v i normalnu

an =v2

n .

One se nazivaju tangencijalnim, odnosno normalnim ubrzanjem. Lako se vidi da je

at =dv

dt= a = a v

v(2.1.18)

i

a2n =|v a|2v2

. (2.1.19)

Vektor ubrzanja cestice prikazan je na slici 2.4. Ubrzanje lezi u ravni koju odredjuju tangentai normala. Ova ravan se naziva oskulatorna ravan. Intenzitet ubrzanja je

a =a2n + a

2t . (2.1.20)


Slika 2.5: Cilindricne koordinate.

Pored Dekartovih koordinata za opisivanje polozaja cestice mogu se koristiti i neke drugekoordinate q1, q2, q3. Ove koordinate se nazivaju generalisanim koordinatama i definisane surelacijama

q1 = q1(x, y, z)

q2 = q2(x, y, z)

q3 = q3(x, y, z) . (2.1.21)

Ove relacije moraju biti invertibilne; potreban i dovaljan uslov za to je da jakobijan transfor-macije bude razlicit od nule

J =(x, y, z)

(q1, q2, q3)=6= 0 . (2.1.22)

Podsetimo se da je Jakobijan definisan sa

J =

xq1

xq2

xq3

yq1

yq2

yq3

zq1

zq2

zq3

. (2.1.23)Cilindricne koordinate , , z definisane su sa

x = cos

y = sin

z = z , (2.1.24)

gde je > 0, 0 < 2pi, < z < . Jakobijan ove transformacije je J = . Ortovicilindricnog koordinatnog sistema su

e = cosex + siney

e = sinex + coseyez = ez . (2.1.25)


Njihovim diferenciranjem po vremenu dobijamo

dedt

= e,dedt

= e . (2.1.26)

Radijus vektor cestice je r = e + zez. Brzinu cestice u cilindricnim koordinatama dobijamojednostavno

v =d

dt(e + zez)

= e + e + zez

= e + e + zez . (2.1.27)

Jos jednim diferenciranjem po vremenu dobijamo ubrzanje

a = ( 2)e + 1

d

dt(2)e + zez . (2.1.28)

Sferne koordinate r, , definisane su sa

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos , (2.1.29)

gde je r > 0, 0 < < pi, 0 < 2pi, .Jakobijan je J = r2 sin . Ortovi sfernog koordinatnog sistema mogu se razloziti po Dekar-

tovoj bazi:

er = sin cosex + sin siney + cos ez

e = cos cosex + cos cosey sin eze = sinex + cosey . (2.1.30)

Njihovi vremenski izvodi su

er = e + sin e

e = er + cos ee = e = (sin e + cos e) . (2.1.31)

Komponente brzine cestice u sfernim koordinatama dobijamo diferenciranjem radijus vektorar = rer. Rezultat je

v = rer + re + r sin e . (2.1.32)

Ubrzanje je

a = (r r2 r2 sin2 )er+

(1r

d

dt

(r2) r2 sin cos

)e

+1

r sin

d

dt

(r2 sin2

)e . (2.1.33)


Slika 2.6:

Primer 1. Cestica se krece u Oxy ravni po logaritamskoj spirali = Ce2, gde je Ckonstanta sa nultim radijalnim ubrzanjem. Naci zavisnost brzine cestice od polarnog ugla,v = v() kao i zavisnost polarnog ugla od vremena. U pocetnom trenutku je (t = 0) = 0 i(t = 0) = 0.Resenje: Iz jednacine trajektorije cestice sledi da je = 2Ce2 i = 2Ce2(22+). Primenom(2.1.28) uslov a = 0 daje

32 + 2 = 0 .

Primenom

= d

d

gornja diferencijalna jednacina razdvaja promenljive i lako se integrali. Rezultat integracije je

= 0e 32 .

Integracijom gornje jednacine dobijamo

=2

3ln(

1 +3

20t).

Lako se nalazi

=0

1 + 320t

.

Brzina cestice je

v = C0

(1 +

3

20t) 1

3(2e + e) .


2.2 Njutnovi zakoni

Njutnova mehanika je zasnovana na principima koji su generalizacija velikog broja eksperime-nata. Prvi Njutnov zakon je zakon inercije. Ako na telo ne deluju druga tela onda ono ili mirujeili se krece ravnomerno pravolinijski. Jednacina kretanja takvog tela je

r(t) = r0 + v0t ,

gde su r0 i v0 konstantni vektori. Vektor r0 je pocetni polozaj tela, a v0 njegova brzina. Sistemireference u kojima vazi zakon inercije su inercijalni sistemi. Ako se nalazite u autobusu kojinaglo zakoci (usporava) vi cete krenuti unapred. Na vas ne deluju druga tela, a vi menjate svojestanje kretanja. Ovakav sistem je neinercijalan.

Sila koja deluje na telo je proporcionalna sa promenom impulsa tela, tj.

dp

dt= F,

gde je p = mv impuls cestice, a F sila koja deluje na cesticu. Ovo je drugi Njutnov zakon. Onuvodi dva nova pojma u fiziku: silu i masu. Sila je mera interakcije izmedju tela, dok je masatela mera njegove inertnosti i njegove gravitacione interakcije sa drugim telima.

Ukoliko je masa cestice konstantna, drugi Njutnov zakon je

ma = F .

Ovo je osnovna jednacina mehanike.Treci Njutnov zakon je zakon akcije i reakcije. Neka imamo dve cestice koje cemo obeleziti

indeksima 1, odnosno 2. Sa F12 obelezicemo silu kojom prva cestica deluje na drugu, a sa F21silu kojom cestica oznacena indeksom 2 deluje na cesticu oznacenu sa indeksom 1. Zakon akcijei reakcije je

F12 = F21 . (2.2.34)Sile interakcije kojima dva tela deluju jedno na drugo jednake su po intenzitetu, a suprotnogsu smera. Njutnovi zakoni vaze u inercijalnim sistemima. Ako je sistem S inercijalan onda je isvaki drugi sistem koji se krece konstantnom brzinom u odnosu na njega takodje inercijalan.

2.3 Apsolutnost prostora i vremena u nerelativistickoj

mehanici

Dogadjaj je fizicka pojava koja se desila u nekom trenutku vremena t i na nekom mestu, tj. utacki x, y, z. Paljenje sijalice, stizanje voza u stanicu su primeri dogadjaja. Neka se dogadjaji 1i 2 desavaju u trenucima t1 odnosno t2 u tackama cije su koordinate x1, y1, z1 odnosno x2, y2, z2.Ove velicine je izmerio posmatrac u sistemu S svojim satom i lenjirima. Posmatrac iz drugogsistema S , koji se npr. krece u odnosu na sistem S, ovim dogadjajima pridruzuje druge brojevet1, x

1, y1, z1 odnosno t

2, x2, y2, z2.

2.4. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE 17

U Njutnovoj mehanici prostor i vreme su apsolutni. Apsolutnost vremena znaci da je vre-menski interval izmedju dogadjaja 1 i 2 isti za oba posmatraca, tj.

t2 t1 = t2 t1 . (2.3.35)Apsolutnost prostora ogleda se u tome da je rastojanje izmedju istovremenih dogadjaja isto usvim sistemima. Drugim recima ako je t1 = t2 tada je

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 . (2.3.36)

2.4 Galilejeve transformacije

Zelimo da nadjemo relacije koje povezuju koordinate nekog dogadjaja u dva inercijalna sistema,a koje su u skaldu sa osobinama prostora i vremena u Njutnovoj mehanici. Ove transformacijekoordinata se nazivaju Galilejevim transformacijama. Sada cemo razmatrati jednu specificnuGalilejevu transformaciju. Neka se inercijalni sistem S krece konstantnom brzinom V u odnosuna inercijalni sistem S, kao sto je prikazano na slici 2.7. Uzecemo da su se ova dva sistemapoklapala u pocetnom trenutku. Veza izmedju koordinata dogadjaja u ova dva sistema je

r = rVtt = t . (2.4.37)

Ako se sistem S krece duz zajednicke x ose tada prethodne jednacine postaju

x = x V ty = y

z = z

t = t . (2.4.38)

Diferenciranjem prve jednacine u (2.4.37) po vremenu dobijamo klasicni zakon sabiranja brzina

v = v V . (2.4.39)U prethodnoj formuli v i v su brzine cestice u odnosu na sistem S, odnosno S . Jos jednodiferenciranje po vremenu vodi nas do

a = a . (2.4.40)

Ubrzanje je isto u oba inercijalna sistema. Drugi Njutnov zakon

ma = F (2.4.41)

je invarijantan na Galilejeve transformacije, tj. u sistemu S on ima isti oblik kao i u sistemu S

ma = F . (2.4.42)

U osnovi Galilejevih transformacija su apsolutnost vremena i prostora.


Slika 2.7: Sistem S se krece konstantnom brzinom V u odnosu na sistem S duz xose.

U prethodnom izlaganju videli smo da je svaki sistem koji se krece konstantnom brzinom uodnosu na inercijalni sistem takodje inercijalan. Ovakve transformacije se nazivaju specijalnimGalilejevim transformacijama ili bustovima. Medjutim, to nije jedini nacin da se iz jednoginercijalnog sistema dobije drugi. Postoji deset linearno nezavisnih nacina da se to ucini. To su:rotacije sistema, prostorna translacija, vremenska translacija i vec spomenuti bustovi.

Prelazak iz sistema S u sistem S rotacijom je transformacija koordinata r = Rr, gde je R3 3 ortogonalna matrica jedinicne determinante. O matricama rotacije bice vise reci u sedmojglavi. Translacija za konstantni vektor c je r = r+c. Vremenska translacija je t = t+. Postojetri nezavisne rotacije, tri translacije, jedna vremenska translacija i tri busta. Ukupno deset. Ovetransformacije su Galilejeve transformacije. Dakle, proizvoljna Galilejeva transformacija je datasa

r = Rr + Vt+ c

t = t+ . (2.4.43)

2.5 Sistemi sa konacno mnogo cestica

Sada cemo razmatrati sistem koji se sastoji od vise cestica koje medjusobno deluju jedna nadrugu i na koje mogu da deluju cestice van sistema. Masu cestice indeksa obelezicemo sam, radijus vektor sa r itd. Neka je ukupan broj cestica u sistemu N . Sila interakcije izmedjudve cestice zavisi od njihovog relativnog radijus vektora i relativne brzine. Sila kojom cesticaindeksa deluje na cesticu indeksa je

F = F(r r,v v) . (2.5.44)

Prethodni izraz se naziva zakonom sile.

Sistem cestica je izolovan, odnosno zatvoren ukoliko su spoljasnje sile jednake nuli. Drugimrecima, u izolovanom sistemu cestica na svaku cesticu sistema deluju samo cestice iz tog sistema.

2.5. SISTEMI SA KONACNO MNOGO CESTICA 19

Iz zakona sile sledi da je sila koja deluje na cesticu indeksa izolovanog sistema data sa

F =N=1 6=

F

= F(r1, . . . , rN ,v1, . . . ,vN) . (2.5.45)

U prethodnoj formuli se sumira po cesticama indeksa i 6= .Ako na cestice sistema deluju spoljasnje sile, tj. tela izvan sistema onda je sistem neizolovan.

Podsistem izolovanog sistema je neizolovan. Neka se podsistem sastoji od s < N cestica. Zacestice izvan podsistema, kojih ima N s, znamo polozaje i brzine cestica kao funkcije vremena

r = r(t), v = v(t), = s+ 1, . . . , N . (2.5.46)

Zamenom u (2.5.45) dobijamo

F = F(r1, . . . , rs,v1, . . . ,vs, t) , (2.5.47)

gde se vremenska zavisnost pojavljuje zbog jednacina (2.5.46). Pojava argumenta t u prethodnojjednacini ukazuje na neizolovanost inercijalnog sistema.

Jednacine kretanja sistema cestica su

mr =N=1 6=

F + F(ext) , = 1, . . . , N . (2.5.48)

Prvi sabirak sa desne strane u (2.5.48) je unutrasnja sila, a drugi ukupna spoljasnja sila kojadeluje na cesticu. Sabiranjem jednacina kretanja dobijamo

N=1

mr =N=1

N=1 6=

F +N=1

F(ext) . (2.5.49)

Primenom zakona akcije i reakcije unutrasnje sile se krate u prethodnom izrazu, pa dobijamo

N=1

mr =N=1

F(ext) . (2.5.50)

Ako uvedemo radijus vektor centra mase sa

rcm =

N=1 mr

m(2.5.51)

onda (2.5.50) postaje

M rcm =N=1

F(ext) , (2.5.52)

gde je M ukupna masa sistema. Ovo je vrlo vazna formula: centar mase sistema cestica se krecepod dejstvom ukupne spoljnje sile sistema.


2.6 Rad sile i neki tipovi sila

Neka je F ukupna sila koja deluje na cesticu indeksa jednog Ncesticnog sistema. Elemen-tarni rad sila na infinitezimalnim pomeranjima cestica sistema je definisan sa

dA =N=1

F dr . (2.6.53)

U prethodnom izrazu diferencijal smo obelezili sa d, jer elementarni rad, dA u opstem slucajunije totalni diferencijal1.

U opstem slucaju sile mogu biti potencijalne i nepotencijalne. Prvo cemo definisati jednuspecijalnu klasu potencijalnih sila, tzv. konzervativne sile. Sila koja deluje na cesticu sa indeksom je konzervativna ako moze da se napise u obliku

F = U(r1, . . . , rN) Ur

, (2.6.54)

gde je U = U(r1, . . . , rN) potencijalna energija, odnosno potencijal sistema. Parcijalni izvodi ugradijentu u (2.6.54) su po koordinatama cestice indeksa , tj.

U = Ux

e1 +U

ye2 +

U

ze3 .

Elementarni rad ovakvih sila je totalni diferencijal:

dA =N=1

F dr = N=1

U dr

= N=1

( Ux

dx +U

ydy +

U

zdz

)= dU . (2.6.55)

Iz prethodnog izraza se vidi da je rad konzervativnih sila na premestanju sistema iz konfiguracije1 u konfiguraciju 2 jednak

A = (2)

(1)

dU = (U2 U1) . (2.6.56)

1Da bi izrazPdx+Qdy +Rdz

bio totalni diferencijal potrebno je i dovoljno da vazi

P

y=Q

x

P

z=R

xQ

z=R

y.

Pokazite da ako je sila F = ax2ex+bxyey+cz2ez, gde su a, b, c konstante, elementarni rad nije totalni diferencijal.

2.6. RAD SILE I NEKI TIPOVI SILA 21

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije. On zavisi samo odpocetne i krajnje konfiguracije sistema. Ako se pocetna i krajnja konfiguracija poklapaju ondaje rad konzervativnih sila nula:

A =

dU = 0 . (2.6.57)

Neka se cestica mase M nalazi u koordinatnom pocetku. Sila kojom ona deluje na drugucesticu mase m, koja se nalazi u tacki sa radijus vektorom r data je Njutnovim zakonom grav-itacije

F = Mmr3

r , (2.6.58)

gde je Njutnova gravitaciona konstanta. Rotor ove sile je nula, rotF = 0, pa je ona konzerva-tivna. Potencijalna (gravitaciona) energija je

U =

F dr = mM

r drr3

= mM

dr

r2

= mMr

+ C . (2.6.59)

Ako izaberemo da je potencijal U = 0 kada r , integraciona konstanta C jednaka je nuli.Prethodni rezultat se lako generalise na slucaj sistema tackastih masa. Potencijalna energijasistema je

U =1

2

6=

U = 12

6=

mm|r r| . (2.6.60)

Drugi primer konzervativne sile je elasticna sila F = kr. Lako se vidi da je

rotF = kex ey ezx

y

z

x y z

= 0. (2.6.61)Potencijalna (elasticna) energija je

U = k

r dr = 1

2kr2 .

Ova dva primera konzervativnih sila imaju jednu zajednicku osobinu. Obe sile su usmerene kajednom centru. Ovakve sile se nazivaju centralnim silama. Neka su vektori polozaja dve cesticer odnosno r. Sila interakcije ove dve cestice je centralna ako je kolinearna sa relativnim radijusvektorom ove dve cestice, tj. ukoliko ima oblik

F = F(|r r|) r r|r r| ,

gde je F(|r r|) skalarna funkcija rastojanja izmedju cestica.


Potencijalne sile su oblikaF = U(r1, . . . , rN , t) . (2.6.62)

Potencijal je funkcija vektora polozaja cestica u sistemu, ali i vremena. Konzervativne sile suspecijalni slucaj potencijalnih, ukoliko potencijalna energija ne zavisi eksplicitno od vremena.Elementarni rad potencijalnih sila nije totalni diferencijal:

dA =N=1

F dr = N=1

U dr

= N=1

( Ux

dx +U

ydy +

U

zdz

)= dU + U

tdt . (2.6.63)

Sile koje nisu potencijalne nazivaju se nepotencijalnim. Primer takvih sila su giroskopskesile, koje su linearne i homogene funkcije brzina cestica, a cije je rad jednak nuli. Primer takvesile je sila kojom magnetno polje deluje na naelektrisanu cesticu u kretanju: F = qvB. Lakose vidi da je dA = 0. Drugi primer za nepotencijalne sile su disipativne sile. Rad disipativnihsila je negativan, to su sile otpora sredine. Primer za disipativnu silu je Stoksova sila. To jesila koja deluje na kuglicu poluprecnika r koja se krece u viskoznom fluidu brzinom v. Dataje sa F = kv gde je k = 6pir pozitivna konstanta. Pri vecim brzinama sila otpora zavisi odkvadrata brzine cestice.

2.7 Osnovne teoreme mehanike i zakoni odrzanja

Teorema kineticke energije i zakon odrzanja mehanicke energije

Kineticka energija sistema cestica je

T =1

2

N=1

mv2 . (2.7.1)

Primenom drugog Njutnovog zakona elementarni rad sila koje deluju na cestice sistema je

dA =N=1

F dr =N=1

mdvdt dr

=N=1

mvdv = d( N=1

mv2

2

)= dT (2.7.2)

Dakle, elementarni rad jednak je promeni kineticke energije sistema

dA = dT . (2.7.3)

2.7. OSNOVNE TEOREME MEHANIKE I ZAKONI ODRZANJA 23

Poslednji izraz je teorema kineticke energije. Ako su sile u sistemu potencijalne, tada je

dAdt

= dUdt

+U

t(2.7.4)

pa jed(T + U)

dt=U

t. (2.7.5)

Ako su sile konzervativne, tj.U

t= 0 ,

dobijamod(T + U)

dt= 0 . (2.7.6)

Ukupna mehanicka energija sistema, koja je zbir kineticke i potencijalne energije je ocuvana akosu sile u sistemu konzervativne. Mehanicka energija je integral kretanja. To je zakon odrzanjamehanicke energije.

Teorema impulsa i zakon odrzanja impulsa

Ukupni mehanicki impuls sistema cestica je P =

mv . Potrazimo njegov vremenski izvodu inercijalnom sistemu refrence

dP

dt=

N=1

mv =N=1

F . (2.7.7)

Primenom zakona akcije i reakcije u gornjoj sumi ostaju samo spoljasnje sile

dP

dt=

N=1

Fext . (2.7.8)

Formula (2.7.8) je teorema impulsa za sistem cestica. Promena impulsa sistema cestica u jedinicivremena jednaka je ukupnoj sumi spoljasnjih sila koje deluju na cestice sistema. Ukoliko jeukupna spoljasnja sila jednaka nuli, onda je ukupni impuls sistema konstanta (integral) kretanja

dP

dt= 0 P = const. (2.7.9)

To je zakon odrzanja impulsa.

Teorema momenta impulsa i zakon odrzanja momenta impulsa

Moment impulsa sistema cestica je

L =N=1

mr v . (2.7.10)


Moment impulsa zavisi od izbora pola. Izvod momenta impulsa L po vremenu se lako nalazi:

dL

dt=

N=1

mv v +N=1

mr a =N=1

r F = M (2.7.11)

Dakle,dL

dt= M , (2.7.12)

gde je M ukupni moment sila. Ovo je teorema momenta impulsa za sistem cestica (naravno uinercijalnom sistemu reference). Sile ponovo mozemo podeliti na unutrasnje i spoljasnje, pa jemoment sile dat sa

M =

r F =N=1 6=

r F +N=1

r Fext . (2.7.13)

Ako pretpostavimo da su unutrasnje sile centralne onda je moment unutrasnjih sila

Mint =1

2

N=1 6=

r F + 12

N=1 6=

r F

=1

2

N=1 6=

r F 12

N=1 6=

r F

=1

2

N=1 6=

(r r) F = 0 . (2.7.14)

Primenili smo zakon akcije i reakcije. Ako su unutrasnje sile centralne onda je njihov ukupnimoment sile jednak nuli. Dakle, teorema momenta impulsa u slucaju unutrasnjih centralnih silaje

dL

dt= Mext . (2.7.15)

Ako je moment spoljasnjih sila jednak nuli i ako su unutrasnje sile centralne onda iz (2.7.15)sledi

dL

dt= 0 L = const. (2.7.16)

Ovo je tzv. zakon odrzanja momenta impulsa.

2.8 Prinudno kretanje

Kretanja mogu biti prinudna (vezana) ili bez veza2. Kretanje je prinudno ako postoje izvesnaogranicenja na polozaje i brzine cestica. Ova ogranicenja izrazavamo (ne)jednakostima koja

2Kretanja bez veza se nazivaju i slobodnim kretanjima, mada cemo ovaj termin izbegavati jer se u literaturicesto pojam slobodnog kretanja odnosi na kretanje cestica na koje ne deluju sile.

2.8. PRINUDNO KRETANJE 25

Slika 2.8: Kretanje cestice po povrsini sfere.

Slika 2.9: Matematicko klatno

zavise od polozaja i brzina cestica i eventualno vremena. Navescemo nekoliko primera vezanihkretanja.1. Kretanje cestice po povrsini sfere poluprecnika R (slika 2.8) je vezano kretanje, jer koordinatecestice x, y i z moraju zadovoljavati jednacinu

f1 x2 + y2 + z2 R2 = 0 . (2.8.17)Ova jednacina se naziva jednacinom veze.2. Kretanje molekula gasa koji se nalazi u sudu je takodje primer prinudnog kretanja, jermolekuli ne mogu da napuste sud. Ukoliko je sud sfera poluprecnika R, onda koordinate svakecestice zadovoljavaju nejednakost

f2 x2 + y2 + z2 R2 < 0 . (2.8.18)3. Sledeci primer je matematicko klatno, prikazano na slici 2.9. Ako je duzina klatna l onda

postoje dve jednacine veze

f3 x2 + y2 l2 = 0f4 z = 0 . (2.8.19)


Slika 2.10: Disk koji se kotrlja bez proklizavanja

4. Neka su dve male kuglice vezane za krajeve tankog stapa zanemarljive mase. Neka je duzinastapa l. Ako sa x1, y1, z1 obelezimo Dekartove koordinate prve, a sa x2, y2, z2 druge cestice, ondajednacina veze ima oblik

f5 (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 l2 = 0 . (2.8.20)

5. Neka se disk poluprecnika R kotrlja bez klizanja u xy ravni kao sto je prikazano na slici 2.10.Ugao rotacije diska oznacimo sa , a sa ugao koji osa diska gradi sa pozitivnim delom y ose.Da bismo opisali polozaj diska pored uglova i uvescemo koordinate x, y cenrta mase diska.Kako nema klizanja, to je brzina centra mase diska data sa

v = R . (2.8.21)

Projektovanjem vektora brzine centra mase diska na x odnosno y osu, a primenom (2.8.21)dobijaju se dve jednacine veza

f6 xR cos = 0f7 y R sin = 0 . (2.8.22)

6. Neka se cestica krece u ravni koja ravnomerno rotira oko z ose ugaonom brzinom (slika2.11). Ako se u pocetnom trenutku ta ravan poklapala sa xOz ravni jednacina veze je

f8 y x tan(t) = 0 . (2.8.23)

Ukoliko jednacine veza imaju oblik

f(r1, . . . , rN , t) = 0 (2.8.24)

takve se veze nazivaju holonomnim. Dakle, holonomne veze su izrazene jednakostima i zaviseod koordinata cestica i vremena. Veze koje nemaju prethodni oblik nazivaju se neholonomnim.

2.9. DIFERENCIJALNE JEDNACINE KRETANJA SISTEMA BEZ VEZA 27

Slika 2.11: Cestica se krece u ravni koja rotira.

Veze f1, f3, f4, f5, f8 su holonomne, dok je veza f2 neholonomna. Veza koja pored koordinatazavisi i od brzina

f(r1, . . . rN ,v1, . . . ,vn) = 0 (2.8.25)

je takodje neholonomna. Takve su veze f6 i f7. Sistemi kod kojih su prisutne samo holonomneveze nazivaju se holonomnim sistemima.

Veze mogu biti zadrzavajuce i nezadrzavajuce. Ukoliko je veza izrazena nejednakostima onaje nezadrzavajuca. Primer takve veze je veza f2.

Ako se u jednacini veze vreme ne pojavljuje eksplicitno ona se naziva stacionarnom. Usuprotnom je nestacionarna. Veza f8 je nestacionarna, dok su veze f1, f2, . . . , f7 stacionarne.

2.9 Diferencijalne jednacine kretanja sistema bez veza

Neka u sistemu cestica ne postoje nikakva ogranicenja na polozaje i brzine cestica. Jednacinekretanja takvog N -cesticnog sistema su

mr = F(r1, . . . , rN ,v1, . . . ,vN , t), = 1, . . . , N . (2.9.26)

Projektovanjem gornjih vektorskih jednacina na ortove Dekartovog sistema dobijamo 3N difer-encijalnih jednacina drugog reda

mx = Fx ,

my = Fy ,

mz = Fz . (2.9.27)

Jednacine kretanja cine sistem diferencijalnih jednacina drugog reda u tzv. normalnom obliku.Ako znamo sve sile i pocetne uslove:

x(t = 0) = x(0) , y(t = 0) = y

(0) , z(t = 0) = z

(0) ,

x(t = 0) = x(0) , y(t = 0) = y

(0) , z(t = 0) = z

(0) , (2.9.28)


onda gornji sistem diferencijalnih jednacina ima jedinstveno resenje. Ova jednoznacna evolucijasistema naziva se principom mehanicke kauzalnosti. Poznavanje sila koje deluju na cestice ipocetnih uslova jednoznacno odredjuje dinamiku svake cestice. Resenje jednacina kretanja zavisiod vremena i 6N integracionih konstanti

x = x(t, C1, . . . , C6N) ,

y = y(t, C1, . . . , C6N) ,

z = z(t, C1, . . . , C6N) . (2.9.29)

Integraciione konstante se odredjuju iz pocetnih uslova.

Velicine koje zavise od polozaja i brzina cestica, a koje ostaju konstantne tokom kretanjanazivaju se prvim integralima kretanja. Opsti oblik takvih velicina je

fi(x1, . . . , zN , x1, . . . , zN , t) = Ci ,

gde su Ci konstante. Ovakvih velicina najvise moze biti 6N . Ime prvi integrali kretanja poticeiz cinjenice da oni sadrze najvise prve izvode, pa su dobijeni posle prve integracije jednacinakretanja. Cesto je pogodno integrale kretnja direktno dobiti na osnovu zakona odrzanja.

2.10 Reakcije veza. Idealni sistemi

Pri kretanju cestica u prisustvu veza na cestice deluju sile reakcije veza. Kada se telo krece postrmoj ravni na njega deluju: sila zemljine teze mg, sila normalne reakcije podloge i sila trenja.Sila zemljine teze je aktivna sila dok su druge dve posledica toga sto se telo krece po ravni, tj.posledica veze. One su sile reakcije veza. Aktivne sile koje deluju na cesticu su posledica njeneinterakcije sa drugim telima, dok su sile reakcije veza sile kojima veza deluje na cesticu. Onesu takodje, mera interakcije cestice sa cesticama veze, ali nas ne interesuje mikroskopska prirodaove interakcije. Sile reakcije veza nisu poznate unapred.

Jednacine kretanja cestica sistema su

mr = F + R , = 1, . . . , N , (2.10.30)

gde smo sa F, odnosno sa R, obelezili ukupnu aktivnu silu, odnosno silu reakcije veza, kojedeluju na cesticu indeksa .

Sile reakcije mogu biti idealne i neidealne. Sila reakcije koja je normalna na vezu je idealnasila reakcije. Normalna reakcija podloge u prethodnom primeru je primer ovakve sile, dok je silatrenja klizanja neidealna sila reakcije. Sila zatezanja konca kod matematickog klatna je takodjeidealna sila reakcije. Idealni sistemi su sistemi kod kojih su sve sile reakcije idealne. Neka secestica krece po povrsi f(x, y, z, t) = 0. Gradijent funkcije f(x, y, z, t) je ortogonalan na povrsinuf(x, y, z, t) = 0. Idealna sila reakcije veze je onda oblika

R(id) = f ,

2.10. REAKCIJE VEZA. IDEALNI SISTEMI 29

Slika 2.12: Kretanje cestice po krugu u vertikalnoj ravni.

gde je tzv. Lagranzev mnozitelj. U slucaju sistema od N cestica sa k idealnih holonomnihveza, fa(r1, . . . , rN , t) = 0, a = 1, . . . , k sila reakcije koja deluje na cesticu indeksa je

R(id) =ka=1

afa . (2.10.31)

Drugi Njutnov zakon za idealne sisteme ima oblik

mr = F +ka=1

afa , = 1, . . . , N . (2.10.32)

Ove jednacine nazivaju se jednacinama sa mnoziteljima veza. Lagranzevi mnozitelji su funkcijekoordinata cestica i vremena.

Primer 1. Cestica mase m krece se u vertikalnoj ravni u polju Zemljine teze i spojena je satankim neistegljivim koncem duzine l sa centrom O (slika 2.12). Sastaviti jednacine kretanja iodrediti mnozitelje i reakcije veza. Neka je v(0) = v0e i (t = 0) = 0.

Resenje: Jednacine veza su

f1 l = 0f2 z = 0 . (2.10.33)

Dalje je

f1 = ef2 = ez . (2.10.34)

Jednacina kretanja jema = mg + 1f1 + 2f2 . (2.10.35)

Projektovanjem prethodne jednacine na ose cilindricnog koordinatnog sistema imamo

m( 2) = mg cos+ 1m

1

d

dt(2) = mg sin

mz = 2 . (2.10.36)


Diferenciranjem jednacina veza dva puta po vremenu dobijamo = 0 i z = 0 sto zamenom ujednacine (2.10.36) daje 2 = 0 i

ml2 = mg cos+ 1l = g sin . (2.10.37)

Iz druge jednacine uz

= d

d

imamo

2 = 2g

lcos+

v20l2 2g

l, (2.10.38)

odakle sledi

1 = 3mg cos+ 2mg mv20

l. (2.10.39)

Sila reakcije veze je

R =( 3mg cos+ 2mg mv

20

l

)e , (2.10.40)

sto je sila zatezanja konca.

Glava 3

Lagranzeve jednacine kretanja

U ovoj glavi cemo izvesti Lagranzeve jednacine kretanja polazeci od varijacionog principa.Klasicna evolucija mehanickog sistema odredjena je stacionarnoscu dejstva. Ovaj iskaz je poznatkao Hamiltonov princip. Ispostavlja se da ovaj princip vazi ne samo za mehanicke sisteme, vecgeneralno. Analizirani su slucajevi potencijalnih i nepotencijalnih sila. Pored toga izvedene suLagranzeve jednacine sa mnoziteljima veza.

3.1 Varijacioni racun

Realna funkcija realne promenljive y : R R je preslikavanje iz skupa realnih brojeva u skuprealnih brojeva. Funkcional je preslikavanje iz skupa funkcija u skup R. Dakle, funkcional svakojfunkciji pridruzuje broj. Neka je f = f(y(x), y(x), x) zadata funkcija koja zavisi od funkcijey = y(x), njenog prvog izvoda i nezavisno promenljive x. Tada je

I[y(x)] =

ba

f(y(x), y(x), x)dx (3.1.1)

funkcional koji funkciju y = y(x) preslikava u broj, tj. I : y(x) R. Zadatak varijacionogracuna je da u skupu funkcija y = y(x) nadje one za koje funkcional I ima stacionarnu (ek-stremnu) vrednost. Uzecemo jos da su vrednosti funkcija y(x) fiksirane u tackama x = a,odnosno x = b. Ako, na primer, funkcional I ima minimalnu vrednost za funkciju y = y(x) ondaje za funkcije koje su u okolini funkcije y(x) njegova vrednost veca od te minimalne vrednosti.Slicno se definise i maksimum.

Ako je funkcija y = y(x) trazena funkcija onda funkcija koja je u njenoj okolini, tj. koja semalo razlikuje od nje, ima oblik

y(x) = y(x) + y(x) , (3.1.2)

gde je y(a) = y(b) = 0. Obe funkcije su prikazane na slici 3.1. Velicina y(x) je tzv. varijacijafunkcije. Za funkciju y(x) kaze se da je okolna ili varirana. Varijacija, odnosno odstupanjefunkcije je malo, tj.

|y||y| 1 .

31

32 GLAVA 3. LAGRANZEVE JEDNACINE KRETANJA

Slika 3.1: Dve funkcije na intervalu [a, b] cije se vrednosti poklapaju na krajevima ovog intervala.

Potrazimo sada varijaciju funkcionala, I. Ona je razlika vrednosti funkcionala za ove dvefunkcije koje se malo razlikuju, tj.

I[y] = I[y(x)] I[y(x)] ==

ba

f(y(x), y(x), x)dx ba

f(y(x), y(x), x)dx , (3.1.3)

gde se zadrzavamo na linearnom clanu po y(x). Iz (3.1.2) sledi

y(x) = y(x) +d

dxy(x) .

Razvijajuci funkciju f u red imamo

I =

ba

f(y(x) + y(x), y(x) +

d

dxy(x), x

)dx

ba

f(y(x), y(x), x

)dx

=

ba

dx[f(y(x), y(x), x) +

f

yy +

f

yd

dx(y(x))

] ba

f(y(x), y(x), x)dx

=

ba

dx[fyy +

f

yd

dx(y(x))

]. (3.1.4)

Kako jef

yd

dx(y(x)) =

d

dx

( fy

y) d

dx

( fy

)y(x) , (3.1.5)

to je

I =f

yy(x)

x=bx=a

+

ba

[fy d

dx

( fy

)]ydx . (3.1.6)

Zbog uslova y(a) = y(b) = 0, prvi clan u prethodnom izrazu je nula, pa je

I =

ba

dx(fy d

dx

( fy

))y . (3.1.7)

3.2. CESTICA U POLJU KONZERVATIVNE SILE 33

Da bi funkcional I = I[y(x)] imao stacionarnu, tj. ekstremnu vrednost za funkciju y = y(x)potrebno je da I = 0. Kako je y(x) proizvoljno to sledi

f

y d

dx

( fy

)= 0 . (3.1.8)

Ovo je tzv. Ojlerova jednacina. Ona odredjuje ekstremnu funkciju y = y(x).

Primer 1. Naci najkrace rastojanje izmedju dve tacke (a,c) i (b,d) u ravni.Rastojanje l je funkcional

l =

ba

1 + y2dx (3.1.9)

Funkcija f je data saf =

1 + y2

pa jef

y= 0

f

y=

y1 + y2

.

Ojlerova jednacina jed

dx

( y1 + y2

)= 0

odakle slediy

1 + y2= C ,

gde je C konstanta. Iz poslednjeg izraza sledi da je y = C/

1 C2 = A, gde je A takodjekonstanta. Iz y = A sledi

y = Ax+B , (3.1.10)

dakle najkrace rastojanje izmedju dve tacke je prava. Konstante A i B odredjuju se iz granicnihuslova

A =c da b , B =

c(a b)a(c d) .

3.2 Cestica u polju konzervativne sile

Razmotrimo jednodimenziono kretanje cestice pod dejstvom konzervativne sile F = ddxU(x)ex

u vremenskom intervalu (ti, tf ). Lagranzijan je definisan sa

L = T U = mx2

2 U(x) . (3.2.11)


On je razlika kineticke i potencijalne energije. Lagranzijan zavisi od trajektorije cestice x = x(t)i njenog prvog izvoda. Definisacemo jos jednu velicinu, dejstvo koje je integral po vremenu odlagranzijana,

S =

tfti

L(x, x)dt . (3.2.12)

Dejstvo je funkcional, jer trajektorije cestice preslikava u realne brojeve, S : x(t) R. Jedna odovih trajektorija je prava trajektorija, tj. trajektorija po kojoj se cestica krece. Varijacija dejstvaje infinitezimalna razlika dejstva na pravom putu x = x(t) i variranom x(t) = x(t) + x(t), pricemu je x(ti) = x(tf ) = 0.

Dejstvo na variranom putu je

S[x(t)] = S[x+ x]

=

tfti

dt[1

2m(x+

d(x)

dt

)2 U(x+ x)

]. (3.2.13)

Kako je (x+

d(x)

dt

)2= x2 + 2x

d(x)

t+ o(x2)

iU(x+ x) = U(x) + U (x)x+ o(x2)

imamo

S[x+ x] = S[x] +

tfti

dt(mx

d

dt(x) U (x)x

)+ o(x2) . (3.2.14)

Varijacija dejstva1 je linearna po x

S =

tfti

dt(mx

d

dt(x) U (x)x

). (3.2.15)

Da bismo prethodni izraz napisali u obliku

S =

tfti

dt[....]x

izvrsicemo parcijalnu integraciju u prvom clanu tfti

dt mxd

dt(x) = mxx

tfti tfti

dt mxx .

Prvi sabirak u prethodnom izrazu je nula zbog granicnih uslova, pa je varijacija dejstva

S =

tfti

dt(mx U (x)

)x . (3.2.16)

Za pravu trajektoriju je mx = U (x), pa je dejstvo stacionarno tj. S = 0. Dakle, cestica upolju konzervativne sile krece se po trajektoriji za koju dejstvo ima stacionarnu vrednost. Ovoje Hamiltonov princip. U sledecem poglavlju uvescemo generalisane koordinate, a u narednomcemo generalisati Hamiltonov princip na sisteme sa vise stepeni slobode.

1Preciznije, ovo je prva varijacija.

3.3. GENERALISANE KOORDINATE 35

Slika 3.2: Dvostruko matematicko klatno.

3.3 Generalisane koordinate

Neka se sistem sastoji od N cestica i neka je kretanje cestica u sistemu ograniceno sa k holonom-nih veza

f1(x1, y1, z1 . . . , xN , yN , zN , t) = 0 ,

. . .

fk(x1, y1, z1 . . . , xN , yN , zN , t) = 0 . (3.3.17)

Zbog postojanja ovih veza, 3N Dekartovih koordinata nisu medjusobno nezavisne; njih k mozemoizraziti preko preostalih 3N k koordinata. Tih 3N k koordinata je dovoljno da se u svakomtrenutku vremena potpuno opise polozaj svake cestice u sistemu (konfiguracija sistema). Nezavi-snih koordinata je n = 3N k i ovaj broj je broj stepeni slobode sistema. Umesto n Dekartovih,mozemo koristiti i neke druge, proizvoljne koordinate, q1, . . . , qn. Zvacemo ih generalisanim koor-dinatama. Kao sto smo rekli, polozaj svake cestice u sistemu moze se izraziti preko generalisanihkoordinata i vremena

r = r(q1, . . . , qn, t), = 1, . . . , N . (3.3.18)

Generalisane koordinate nisu jednoznacno odredjene. Ako su veze stacionarne, onda se genera-lisane koordinate mogu izabrati tako da se u izrazu (3.3.18) vreme ne pojavljuje eksplicitno.

Sada cemo u primerima iz paragrafa 2.8 odrediti broj stepeni slobode i izabrati generalisanekoordinate.

U primeru 1. postoji jedna holonomna veza f1, pa je broj stepeni slobode n = 3 1 = 2.Generalisane koordinate su , . U primeru 3. postoje dve holonomne veze, pa je broj stepenislobode:

n = 3 1 2 = 1.Generalisana koordinata je . Navedimo jos jedan primer. To je dvostruko matematicko klatnoprikazano na slici 3.2. Ceo sistem se krece u vertikalnoj ravni. Veze su

f1 x21 + y21 l21 = 0 ,f2 z1 = 0 ,f3 z2 = 0 ,f4 (x2 x1)2 + (y2 y1)2 l22 = 0 . (3.3.19)


Broj stepeni slobode n = 3 24 = 2. Za genereralisane koordinate mozemo uzeti uglove 1, 2prikazane na slici 3.2.

Za sistem dve cestice koje se nalaze na krajevima krutog stapa duzine l broj stepeni slobodeje n = 2 3 1 = 5.

U holonomnim vezama (3.3.17) Dekartove koordinate se mogu izraziti preko generalisanihkoordinata, pa veze onda imaju oblik

fa(q1, . . . , qn, t) = 0, a = 1, . . . k . (3.3.20)

Vezaf(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) = 0 (3.3.21)

je neholonomna jer nema oblik (3.3.20). Funkcija f zavisi od generalisanih koordinata, ali i odgeneralisanih brzina, q1, . . . , qn. Recimo na kraju da postoje veze koje zavise od generalisanih brz-ina, a koje nakon integracije postaju holonomne. Ovakve veze se nazivaju pseudo-neholonomne.Primer ovakve veze je

xx+ yy + zz = 0 .

Integracijom gornje jednacine dobijamo holonomnu vezu x2+y2+z2 = C2 , gde je C integracionakonstanta. Neka je jednacina veze data sa

ni=1

fi(q, t)dqi + g(q, t)dt = 0 , (3.3.22)

gde su fi i g zadate funkcije generalisanih koordinata i vremena. Ova veza je pseudo-neholonomna,ako je leva strana gornjeg izraza totalni diferencijal. Integracijom ove veze dobijamo holonomnuvezu.

3.4 Hamiltonov princip. Lagranzeve jednacine.

Neka je broj cestica u sistemu N , a broj holonomnih veza k, tada je broj stepeni slobode ovogsistema n = 3N k. Kao sto smo rekli, polozaj svake cestice u trenutku t je odredjen sa nkoordinata, q1, . . . , qn

r = r(q1, . . . , qn, t), = 1, . . . , N . (3.4.23)

Prostor dozvoljenih vrednosti generalisanih koordinata je konfiguracioni prostor. Tacke u tomprostoru su (q1, , qn) i on je ocigledno ndimenzionalan. Svaka tacka u konfiguracionomprostoru reprezentuje stanje sistema. Posto se cestice mehanickog sistema krecu, to tacka ukonfiguracionom prostoru opisuje krivu, koju cemo zvati trajektorijom qi = qi(t), i = 1, . . . n.Ona ne opisuje direktno kretanje svake cestice ponaosob, vec sistema kao celine. Na osnovutrajektorije sistema u konfiguracionom prostoru moze se reprodukovati kretanje pojedinacnihcestica.

Razmotrimo kretanje sistema od nekog pocetnog trenutka ti do finalnog trenutka tf . Pret-

postavimo dalje da je pocetna konfiguracija sistema (q(i)1 , , q(i)n ), a finalna (q(f)1 , , q(f)n ).

Postoji beskonacno puno mogucih trajektorija u konfiguracionom prostoru po kojima sistem

3.4. HAMILTONOV PRINCIP. LAGRANZEVE JEDNACINE. 37

Slika 3.3: Prava i varirana trajektorij

moze da evoluira iz pocetne do finalne konfiguracije. Medjutim, samo jedna od ovih trajektorijazadovoljava klasicne jednacine kretanja i ona je prava trajektorija q1 = q1(t), , qn = qn(t).Varirana trajektorija je u okolini prave trajektorije

qi(t) = qi(t) + qi(t), i = 1, , n , (3.4.24)

gde su varijacije qi(t) male, tj

|qi(t)||qi(t)| 1 . (3.4.25)

Koordinate qi(t), moraju pripadati skupu dozvoljenih vrednosti koordinata. Na slici 3.3 smonacrtali obe trajektorije.

Dejstvo je definisano sa

S =

tfti

L(q, q, t)dt , (3.4.26)

gde je L = L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) = L(q, q, t) lagranzijan sistema. On je funkcija general-isanih koordinata, generalisanih brzina i vremena. Radi jednostavnost nezavisno promenljivelagranzijana pisacemo u skracenom obliku, L = L(q, q, t). Ne postoji pravilo po kome se zaproizvoljan sistem definise lagranzijan.

Hamiltonov princip izdvaja iz skupa mogucih trajektorija u konfiguracionom prostoru onupo kojoj sistem klasicno evoluira. To je, po Hamiltonovom principu ona trajektorija u za kojuje dejstvo stacionarno, tj. ima ekstremum. Drugim recima prava trajektorija je odredjena sa

S = 0 . (3.4.27)

Stacionarna tacka dejsva moze biti bilo maksimum, minimum ili sedlasta tacka. U vecini fizickihprimera ekstremum dejstva odgovara minimumu, a ne maksimum dejstva pa se Hamiltonovprincip cesto naziva i principom najmanjeg dejstva.


Dejstvo izracunato na okolnoj trajektoriji je

S[qi] =

tfti

dtL(qi,dqidt, t)

=

tfti

dt[L(qi, qi, t) +

ni=1

(Lqi

qi +L

qi

d(qi)

dt

)+ o((qi)

2)],

gde smo u drugom redu razvili lagranzijan oko prave trajektorije. Varijacija dejstva je

S = S[qi] S[qi]

=

tfti

dtni=1

(Lqi

qi +L

qi

d(qi)

dt

)=

ni=1

L

qiqi

tfti

+

tfti

dtni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)]qi

=

tfti

dtni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)]qi .

Prvi clan u trecem redu je nula, jer su varijacije koordinata u pocetnom i krajnjem trenutkuvremena jednake nuli, tj. qi(ti) = qi(tf ) = 0 . Po Hamiltonovom principu sistem se krecepo trajektoriji za koju je varijacija dejstva jednaka nuli. Kako su pocetni, ti i krajnji trenutak,tf (ti < tf ) proizvoljni, sledi

ni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)]qi = 0 .

Varijacije qi su nezavisne2, pa na kraju dobijamo

d

dt

(Lqi

) Lqi

= 0 , i = 1, . . . , n . (3.4.29)

Ovo su Lagranzeve jednacine kretanja. Dobili smo sistem od n diferencijalnih jednacina drugogreda. Da bismo ga resili potrebno je da znamo 2n pocetnih uslova, pocetne vrednosti general-isanih koordinata i brzina, qi(ti), qi(ti) .

Za jednu veliku klasu mehanickih sistema lagranzijan je razlika kineticke i potencijalne en-ergije

L(q, q, t) = T U . (3.4.30)To su sistemi sa potencijalnim silama koji su ili bez veza ili sa idealnim vezama.

2Neka jeA1q1 + +Anqn = 0 . (3.4.28)

Medjusobna nezavisnost varijacija qi znaci da mozemo izabrati q1 6= 0, q2 = . . . qn = 0 sto zamenom u 3.4.28daje A1 = 0. Dalje bi uzeli q2 6= 0, q1 = q3 = . . . qn = 0 sto bi dovelo do A2 = 0, itd. Dakle dobijamo da jeA1 = = An = 0.

3.4. HAMILTONOV PRINCIP. LAGRANZEVE JEDNACINE. 39

Slika 3.4: Blok i klatno.

Primer 1. Blok mase M nalazi se na horizontalnoj ravni po kojoj moze da se krece beztrenja. Blok je oprugom konstante elasticnosti k vezan za zid, kao na slici 3.4. Nominalna duzinaopruge je l0. Za blok je lakim, neistegljivim koncem duzine l vezana mala kuglica mase m. Nacilagranzijan i sastaviti Lagranzeve jednacine kretanja.

Resenje: Sistem ima dva stepena slobode. Za generalisane koordinate uzecemo rastojanjebloka od zida za koji je zakacena opruga, x i ugao koji pravac matematickog klatna gradi savertikalnom osom. Dekarove koordinate kuglice mase m su

xA = x+ l sin, yA = l cos . (3.4.31)

Diferenciranjem po vremenu dobijamo

xA = x+ l cos

yA = l sin (3.4.32)pa je

v2A = x2A + y

2A = x

2 + l22 + 2lx cos . (3.4.33)

Lagranzijan sistema je

L =Mx2

2+m

2(x2 + l22 + 2lx cos) +mg cos k

2(x l0)2 . (3.4.34)

Zamenom

L

x= k(x l0) ,

L

x= (M +m)x+ml cos (3.4.35)

ud

dt

(Lx

) Lx

= 0 , (3.4.36)

dobijamo Lagranzevu jednacinu

(M +m)x+mld

dt( cos) + k(x l0) = 0 . (3.4.37)


Analogno, zamenom

L

= mlx sinmg sin ,

L

= ml2+mlx cos (3.4.38)

u jednacinu za dobijamo drugu Lagranzevu jednacinu

ml2+mlx cos+mg sin = 0 . (3.4.39)

Primer 2. Naci lagranzijan i jednacine kretanja za dvostruko matematicko klatno prikazanona slici 2.9. Mase kuglica su m1 i m2, a duzine konaca zanemarljivih masa su l1, odnosno l2.

Resenje: Generalisane koordinate su uglovi 1 i 2; vidi sliku 2.9. Kineticka energija kuglicemase m1 je

T1 =m1l

21

21

2.

Dekartove koordinate druge cestice su

x2 = l1 sin1 + l2 sin2

y2 = l1 cos1 + l2 cos2 .

Njihovim diferenciranjem po vremenu, kvadriranjem i sabiranjem dolazimo do kvadrata brzinedruge kuglice. Njena kineticka energija je

T2 =m22

(l21

21 + l

22

22 + 2l1l212 cos(2 1)

). (3.4.40)

Lagranzijan je

L =1

2m1l

21

21 +

m22

(l21

21 + l

22

22 + 2l1l212 cos(2 1)

)+ m1gl1 cos1 +m2g(l1 cos1 + l2 cos2) . (3.4.41)

Lagranzeve jednacine kretanja su

(m1 +m2)l11 +m2l22 cos(2 1)m2l222 sin(2 1) = (m1 +m2)g sin1m2l22 +m2l11 cos(2 1) +m2l121 sin(2 1) = m2g sin2.

Iz ovih primera vidimo da smo jednacine kretanja nasli iz lagranzijana, i da nismo crtalisile koje deluju u sistemu kao u Njutnovoj mehanici. Sva informacija o sistemu je sadrzana ulagranzijanu. Pored toga u okviru Lagranzevog metoda jednostavnije je raditi sa silama reakcijaveza, ako su one idealne, naravno. U ovim primerima sile reakcije veze su sila zatezanja koncai sila reakcije podloge i njih je lako odrediti. Medjutim, ako se cestica glatko krece po nekojzadatoj krivoj onda nije lako odrediti silu reakcije veze.

Lagranzeve jednacine, za razliku od Njutnovih, vaze i u neinercijalnim sistemima. O tomece biti vise reci kasnije u glavi 8.

3.5. KOVARIJANTNOST LAGRANZEVIH JEDNACINA 41

Nejednoznacnost lagranzijana

Lagranzijan nije jednoznacno odredjen. Neka je F = F (q, t) funkcija generalisanih koordinata ivremena. Lagranzijanu L = L(q, q, t) mozemo dodati vremenski izvod funkcije F i pri tome obalagranzijana daju iste jednacine kretanja. Dakle, lagranzijan

L = L+dF

dt

opisuje istu fiziku kao i lagranzijan L.Jednacine kretanja su odredjene stacionarnoscu dejstva. Potrebno je da pokazemo da iz

Ldt = 0 sledi

Ldt = 0 . Ovaj uslov znaci da je varijacija dodatnog clana jednaka nuli, tj.

tfti

dF (t, q) = F (q(t), t)tfti

=ni=1

F

qiqi

tfti

= 0 . (3.4.42)

Rezultat sledi iz cinjenice da su varijacije koordinata u krajnjim tackama jednake su nuli, tj.qi(ti) = qi(tf ) = 0 . Primetimo da funkcija F ne moze da zavisi od generalisanih brzina. Takvazavisnost bi variranjem dala clanove proporcionalane sa qi koji nisu jednaki nuli, jer varijacijageneralisane brzine na granici nije nula.

3.5 Kovarijantnost Lagranzevih jednacina

Vec smo ranije rekli da generalisane koordinate nisu jednoznacno odredjene. Sa koordinataq1, . . . , qn mozemo preci na nove koordinate Q1, . . . , Qn. Pokazacemo da Lagranzeve jednacinevaze u bilo kom sistemu koordinata, tj. one imaju isti oblik u svim koordinatnim sistemima.Koordinatna transformacija, tj. prelazak na druge koordinate je

Qi = Qi(q1, . . . , qn, t) , i = 1, . . . n . (3.5.43)

Pretpostavicemo da je ova veza invertibilna. Novi lagranzijan, L je dobijen iz starog smenompromenljivih

L(Q, Q, t) = L(q(Q, t), q(Q, Q, t), t) . (3.5.44)

Lagranzeve jednacine u Q koordinatama su

d

dt

( LQi

) L

Qi= 0 . (3.5.45)

Iz (3.5.44) sledi

d

dt

( LQi

)=

j

d

dt

( Lqj

qj

Qi

)=

j

d

dt

( Lqj

qjQi

)=

j

[ Lqj

qjQi

+qjQi

d

dt

L

qj

]. (3.5.46)


U drugom koraku koristili smo pravilo ponistenje tacaka

qj

Qk=

qjQk

, (3.5.47)

koje se odmah vidi iz

qj =j

qjQk

Qk +qjt

. (3.5.48)

Slicno jeL

Qi=j

[ Lqj

qjQi

+L

qj

qjQi

]. (3.5.49)

Oduzimanjem (3.5.46) i (3.5.49) dobijamo

d

dt

( LQi

) L

Qi=j

qjQi

[ ddt

( Lqj

) Lqj

](3.5.50)

Posto je matricaqjQi

nesingularna to iz Lagranzevih jednacina u q koordinatama slede la-granzeve jednacine u Q koordinatama. Dakle, Lagranzeve jednacine imaju isti oblik u svimkoordinatama, tj. one su kovarijantne.

Kovarijantnost Lagranzevih jednacina se moze videti iz sledece jednostavne analize. La-granzeve jednacine slede iz Hamiltonovog principa, koji od svih trajektorija u konfiguracionomprostoru po kojima sistem moze da se krece izdvaja jednu, pravu klasicnu trajektoriju. Dakle,Hamiltonov princip odredjuje trajektoriju kretanja i zbog toga on je geometrijski princip. Ko-ordinate koje koristimo da parametrizujemo trajektoriju su proizvoljne.

3.6 Matematicko klatno

Kuglica mase m, koja se krece u vertikalnoj ravni po krugu poluprecnika l, u polju Zemljine tezeje matematicko klatno, slika 2.12. Sistem ima jedan stepen slobode, generalisana koordinata je. Lagranzijan je

L =ml22

2+mgl(cos 1) . (3.6.51)

Iz lagranzijana se lako dobija sledeca jednacina kretanja

+g

lsin = 0 . (3.6.52)

Dobili smo difrencijalnu jednacinu drugog reda, koju necemo resavati, vec cemo poci od integralakretanja. Naime, gravitaciona sila je konzervativna pa je energija

E =ml22

2+mgl(1 cos) (3.6.53)

3.6. MATEMATICKO KLATNO 43

integral kretanja. Preciznije, ona je tzv. prvi inegral kretanja, jer zavisi od generelisane koor-dinate i generalisane brzine, tj. dobijena je jednom integracijom jednacina kretanja. Iz (3.6.53)sledi

=

2g

l

(cos 1 + E

mgl

). (3.6.54)

Neka su pocetni uslovi dati sa (t = 0) = 0 i (t = 0) =

2Eml2

. Ukoliko je E < 2mgl klatno ce

se najvise otkloniti za ugao 0, kada je kineticka energija jednaka nuli, pa je

E = mgl(1 cos0) . (3.6.55)U ovom slucaju kretanje klatna je periodicno i kuglica se krece u intervalu uglova 0 0.Ovakvo kretanje se naziva libracijom ili oscilovanjem. Iz (3.6.54) sledi

=

2g

l(cos cos0) . (3.6.56)

Period kretanja klatna obelezicemo sa T . Za t = T/4 je = 0 pa jel

2g

00

dcos cos0 =

T/40

dt , (3.6.57)

odnosno

T = 4

l

2g

00

dcos cos0 . (3.6.58)

Smenom sin 2

= sin 02

sin = k sin gornji integral postaje

T = 4l

g

pi/20

d1 k2 sin2

. (3.6.59)

Gornji integral se ne moze izraziti preko elementarnih funkcija. Period oscilovanja je

T = 4

l

gK(k) , (3.6.60)

gde je K(k) tzv. elipticki integral prve vrste.Ukoliko je k2 1 podintegralnu funkciju u (3.6.59 ) mozemo razloziti u red

11 k2 sin2

= 1 +k2

2sin2 +

3

8k4 sin4 + . . . , (3.6.61)

a integraciju izvesti clan po clan. Tako dobijamo da je period oscilovanja klatna dat sa

T = 2pi

l

g

(1 +

1

1620 +

11

307240 + . . .

). (3.6.62)


Period oscilovanja klatna zavisi od amplitude 0, i od duzine klatna. Za male uglove 0 0,zadrzacemo se na vodecem clanu u izrazau za period. Tako dobijamo dobro poznat rezultat:

T = 2pi

l

g. (3.6.63)

Ukoliko je E > 2mgl ugao raste neograniceno, klatno opisuje krug za krugom. Ovakvokretanje se zove rotacija. Granicni slucaj izmedju prethodna dva, kada je E = 2mgl, je trecitip kretanja klatna. Klatno ce uspeti da dostigne polozaj = pi, ali mu za to treba beskonacnopuno vremena, jer se krece sve sporije i sporije. Za E = 2mgl jednacina (3.6.56) postaje

d

cos(2

) = 2gldt . (3.6.64)

Primenom dx

cosx= ln tan

(pi4 x

2

)(3.6.65)

uz pocetni uslov (t = 0) = 0 dobijamo

= pi 4 arctan(e

glt). (3.6.66)

Kretanje je asimptotsko, cestica tacku = pi dostize za beskonacno vreme.

3.7 Virtuelna pomeranja i virtuelni rad

Kao sto smo rekli, polozaj svake cestice u sistemu, r, ( = 1, . . . , N) jednoznacno je odredjengeneralisanim koordinatama:

r = r(q1, . . . , qn, t) . (3.7.67)

Pri prelasku sa jedne trajektorije q1(t), . . . , qn(t) drugu infinitezimalno blisku

q1(t) + q1(t), . . . , qn(t) + qn(t) ,

vektor polozaja cestice, r promeni se za

r = r(q1 + q1, . . . , qn + qn, t) r(q1, . . . , qn, t) . (3.7.68)Pri varijaciji vektora polozaja oba radijus vektora sa desne strane izraza (3.7.68) su u istomtrenutku vremena. Lako se vidi da je

r =ni=1

rqi

qi . (3.7.69)

Varijacije vektora polozaja cestica nazivaju se jos i virtuelnim pomeranjima. To su proizvoljne,infinitezimalne promene polozaja cestica sistema koje su u skladu sa vezama, a koja su nacinjena

3.7. VIRTUELNA POMERANJA I VIRTUELNI RAD 45

u fiksnom trenutku vremena. Virtuelna pomeranja se razlikuju od stvarne promene polozajacestica

dr = ra(t+ dt) r(t)

=ni=1

rqi

dqi +rt

dt

= v(t)dt . (3.7.70)

Stvarno pomeranje dr izvrseno je u vremenskom intervalu (t, t + dt), dok je pri virtuelnimpomeranjima vreme fiksirano (zamrznuto). Definisacemo i treci vid pomeranja cestica u sistemu,tzv. moguce pomeranje. Moguce pomeranje, dr cestice indeksa izvrseno je u intervalu(t, t+ dt), ali ono nije proizvod brzine cestice u trenutku t i vremenskog intervala dt, tj. dr 6=vdt. Ako su veze stacionarne onda se generalisane koordinate mogu tako izabrati da se u zakonu(3.3.18) vreme ne pojavljuje eksplicitno. U tom slucaju virtuelna pomeranja se poklapaju samogucim.

Rad sila nad sistemom na virtuelnim pomeranjima cestica definise se analogno radu nastvarnim pomeranjima

A =N=1

F r . (3.7.71)

Pokazacemo da je rad idealnih sila reakcije na virtuelnim pomeranjima jednak nuli. To se vididirektno:

A =N=1

R(id) r

=N=1

ka=1

afa r

=N=1

ka=1

afa ni=1

rqi

qi . (3.7.72)

Primenili smo izraze (2.10.31) i (3.7.69). Ako dalje iskoristimo

N=1

farqi

=faqi

(3.7.73)

dobijamo

A =ni=1

ka=1

afaqi

qi

=ka=1

afa . (3.7.74)


Jednacine veza fa = 0 daju fa = 0, pa prema tome dobijamo A = 0. Cesto se za definicijuidealnih sila reakcije uzima upravo ovaj uslov. Naime, sile reakcije su idealne ako je njihov radna proizvoljnim virtuelnim pomeranjima jednak nuli, tj. ukoliko je

N=1

R(id) r = 0 . (3.7.75)

Da bi sile reakcije bile idealne nije neophodno da svaku pojedinacni sabirak u izrazu za virtuelnirad bude jednak nuli. Dovoljno je da cela suma bude jednaka nuli.

Primer 1. Naci virtuelna pomeranja cestica kod dvojnog matematickog klatna. Pokazatida je ono idealni sistem.Resenje: Sa slike 3.2 se vidi da su radijus vektori cestica

r1 = l1 cos1e1 + l1 sin1e2

r2 = (l1 cos1 + l2 cos2)e1 + (l1 sin1 + l2 sin2)e2 . (3.7.76)

Virtuelna pomeranja cestica su

r1 = l1( sin1e1 + cos1e2)1r2 = (l1 sin11 + l2 sin22)e1 + (l1 cos11 + l2 cos22)e2 . (3.7.77)

Sile reakcije deluju duz niti. Sila reakcije koja deluje na prvu cesticu je R1 = T1 + T2, a nadrugu je R2 = T2. Sa T1 obelezili smo silu zatezanja u gornjem, a sa T2 u donjem koncumatematickog klatna. Virtuelni rad sila reakcije je

A = R1 r1 + R2 r2= (T1 + T2) r1 T2 r2 . (3.7.78)

Zamenom izraza za virtuelna pomeranja dobija se A = 0, dakle dvojno matematicko klatnojeste idealni sistem. U ovom primeru vidimo da pojedinacni sabirci u virtuelnom radu silareakcije nisu jednaki nuli, ali njihov zbir jeste.

3.8 Lagranzeve jednacine za sisteme sa nepotencijalnim

silama

U ovoj lekciji izvescemo Lagranzeve jednacine kretanja kada su u sistemu prisutne nepotencijalnesile. Takodje, pretpostavicemo da pored idealnih reakcija imamo i neidealne.

Definisimo funkcional I sa

I =

tfti

dtT =

tfti

dtN=1

mv2

2, (3.8.79)

3.8. LAGRANZEVE JEDNACINE ZA SISTEME SA NEPOTENCIJALNIM SILAMA 47

koji je, kao sto vidimo, integral kineticke energije. Potrazimo varijaciju ove velicine, tj. njenuinfinitezimalnu promenu pri prelasku sa jedne trajektoriju na drugu, koja je u njenoj okolini:

I =

tfti

dtN=1

mv2

2 tfti

dtN=1

mv2

2

=

tfti

dtN=1

1

2m

((v + v)

2 v2)

=

tfti

dtN=1

mrr . (3.8.80)

Sa v = v + v obelezili smo brzinu cestice indeksa na variranoj trajektoriji. U (3.8.80)koristili smo

v = (dr

dt

)=

d

dt(r) , (3.8.81)

tj. cinjenicu da varijacija i vremenski izvod komutiraju. Pokazimo to. Diferenciranjem povremenu izraza (3.7.67) dobijamo brzinu cestice indeksa

v =ni=1

rqi

qi +rt

. (3.8.82)

Varijacija brzine je

v =ni=1

[(rqi

)qi +

rqi

qi

]+ (rt

)=

ni,j=1

2rqjqi

qiqj +ni=1

rqi

qi +ni=1

2rtqi

qi . (3.8.83)

Sa druge strane je

d

dt(r) =

d

dt

( ni=1

rqi

qi

)=

ni,j=1

2rqjqi

qiqj +ni=1

rqi

qi +ni=1

2rtqi

qi . (3.8.84)

Ovim smo pokazali (3.8.81). Primenom parcijalne integracije izraz za varijaciju I postaje

I =

tfti

dtN=1

m

( ddt

(r r

) r r

)=

tfti

dtN=1

mr r +N=1

mrr

tfti

= tfti

dtN=1

((F + R) r

).


Drugi sabirak u drugom redu je jednak nuli. U narednom redu primenili smo drugi Njutnovzakon. Podintegralni izraz u poslednjem redu je rad aktivnih sila i sila reakcije koje deluju usistemu na virtuelnim pomeranjima

A =N=1

(F + R) r (3.8.85)

koji se uz (3.7.69) moze transformisati u

A =N=1

(F + R) n=1

rqi

qi

=ni=1

(Qi +Ri)qi , (3.8.86)

gde smo uveli generalisane aktivne sile sa

Qi =N=1

F rqi

(3.8.87)

i analogno generalisane sile reakcije

Ri =N=1

R rqi

. (3.8.88)

Dakle,

I = tfti

dtni=1

(Qi +Ri)qi . (3.8.89)

Sa druge strane, posto je kineticka energija funkcija generalisanih koordinata, generalisanihbrzina i vremena, to po analogiji sa variranjem dejstva, varijacija funkcionala I je data sa

I =

tfti

dtni=1

[Tqi d

dt

(Tqi

)]qi . (3.8.90)

Izjednacavajuci (3.8.89) sa (3.8.90) dobijamo tfti

dtni=1

[Tqi d

dt

(Tqi

)+Qi +Ri

]qi = 0 . (3.8.91)

Kako su varijacije qi, nezavisne to dobijamo

d

dt

(Tqi

) Tqi

= Qi +Ri . (3.8.92)

3.8. LAGRANZEVE JEDNACINE ZA SISTEME SA NEPOTENCIJALNIM SILAMA 49

Ovo su Lagranzeve jednacine kretanja.Aktivne sile u sistemu se mogu podeliti na potencijalne i nepotencijalne

F = F(pot) + F

(np) = U + F(np) . (3.8.93)

Generalisana aktivna sila je

Qi =N=1

(U + F(np)

) rqi

= Uqi

+Q(np)i . (3.8.94)

Sila reakcije koja deluje na cesticu indeksa je suma idealnih i neidealnih sila, R = R(id) +

R(neid) . Rad idealnih sila na virtuelnim pomeranjima je jednak nuli.

Zamenjujuci izraze za generalisane sile u (3.8.92) dobijamo

d

dt

(L?qi

) L?qi

= Q(np)i +R(neid) , (3.8.95)

gde jeL? = T U . (3.8.96)

Ova velicina nije Lagranzijan sistema. Dobili smo Lagranzeve jednacine za holonomne sistemekod kojih pored potencijalnih postoje i nepotencijalne sile interakcije.

Primer 1. Telo osciluje na opruzi konstante elasticnosti k i nalazi se u viskoznoj tecnosti.Sila otpora je F = bv gde je b konstanta.

Resenje: Sistem ima jedan stepen slobode. Funkcija L? je

L? = T U=

mx2

2 kx

2

2. (3.8.97)

Generalisana nepotencijalna sila jeQ = bx (3.8.98)

pa je jednacina kretanjamx = kx bx . (3.8.99)

Primer 2. Po povrsini glatke cilindricne povrsi radijusa R krece se cestica mase m. Grav-itaciono polje je usmereno duz ose simetrije cilindra. Na cesticu deluje i sila otpora F = mv,gde je pozitivna konstanta. Sastaviti Lagranzeve jednacine kretanja.

Resenje: Generalisane sile su

Q = F r

= mR2

Qz = F rz

= mz . (3.8.100)


Velicina L? je

L? =m

2(R22 + z2)mgz . (3.8.101)

Jednacina kretanjad

dt

(L?

) L?

= Q (3.8.102)

daje = . (3.8.103)

Druga jednacina kretanjad

dt

(L?z

) L?

z= Qz (3.8.104)

dajez + g = z . (3.8.105)

3.9 Generalisano potencijalne sile

Generalisano potencijalne sile su vazan slucaj nepotencijalnih sila. Za silu cemo reci da jegeneralisano potencijalna ako je

Qi =d

dt

(Uqi

) Uqi

, (3.9.106)

gde je U = U(q, q, t) generalisani potencijal. Zamenom (3.9.106) u (3.8.92) dobijamo

d

dt

(Lqi

) Lqi

= 0 , (3.9.107)

gde je L = T U . Lorencova sila F = q(E + v B) je primer generalisano potencijalne sile.Generalisani potencijal je

U = q(t, r) qv A(t, r) , (3.9.108)gde su i A potencijali elektromagnetnog polja. Jacine polja su

E = At ,

B = rotA . (3.9.109)

Nadjimo sadad

dt

(Ux

) Ux

. (3.9.110)

Lako se vidi da je

U

x= q

x q(vxAxx

+ vyAyx

+ vzAzx

)U

x= qAx

3.10. LAGRANZEVE JEDNACINE SA MNOZITELJIMA VEZA 51

Dalje je

Fx = qdAxdt q

x+ q(vxAxx

+ vyAyx

+ vzAzx

). (3.9.111)

KoristecidAxdt

=Axt

+ vxAxx

+ vyAxy

+ vzAxz

, (3.9.112)

dobijamo

Fx = q( Ax

t x

)+ qvy

(Ayx Ax

y

)+ qvz

(Azx Ax

z

)= qEx + q(vy(rotB)z vz(rotB)y)= qEx + q(v B)x . (3.9.113)

Slicno vazi i za y i z komponentu.

3.10 Lagranzeve jednacine sa mnoziteljima veza

Razmatrajmo sistem od N cestica sa konzervativnim silama i idealnim reakcijama veza. Vecsmo rekli da je lagranzijan takvog sistema L = T U . On je funkcija nezavisnih generalisanihkoordinata q1, . . . , qn i generalisanih brzina q1, . . . , qn. Jednacine kretanja smo dobili iz uslovastacionarnosti dejstva (3.4.26). Koordinate q1, . . . , qn su nezavisne generalisane koordinate paholonomne veze koje postoje u sistemu nisu od znacaja, jer smo eliminisali zavisne koordinate.Medjutim, cesto je pozeljno da u opisu fizickog sistema koristimo sve koordinate q1, . . . , q3N , ane samo podskup nezavisnih generalisanih koordinata. Jedna od cestih situacija kada se koristesve koordinate je situacija kada simetriju sistema zelimo da vidimo ekspilicitno.

Lagranzijan holonomnog sistema napisati cemo kao funkciju svih 3N koordinata i odgo-varajucih brzina. Varijacija dejstva je

S =

tfti

dt3Ni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)]qi = 0. (3.10.114)

Primetimo da se sumiranje po indeksu i u prethodnoj formuli vrsi od 1 do 3N . Iz Hamiltonovogprincipa, S = 0, sledi

3Ni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)]qi = 0 , (3.10.115)

ali iz prethodnog izraza ne mozemo da zakljucimo da su izrazi u velikoj zagradi jednaki nuli, jervarijacije qi nisu medjusobno nezavisne. Broj nezavisnih varijacija je isti kao broj nezavisnihkoordinata, tj. on je n = 3N k. Preostalih k varijacija koordinata su zavisne od 3N knezavisnih. Variranje dejstva vrsimo, ali uz uslove, a to su jednacine veza fa(q, t) = 0, a =1, . . . , k u teoriji. Problem je analogan problemu u matematickoj analizi kada odredjujemoekstremum funkcije vise promenljivih F = F (x, y, z), ali uz neki zadati uslov G(x, y, z) = 0.


Jasno je da variranjem veza dobijamo

fa =3Ni=1

faqi

qi = 0 . (3.10.116)

Mnozeci prethodni izraz sa neodredjenim Lagranzevim mnoziteljima a = a(t) i sumiranjempo a = 1, . . . , k dobijamo

ka=1

3Ni=1

afaqi

qi = 0 . (3.10.117)

Sabiranjem (3.10.115) i (3.10.117) dobijamo

3Ni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)+

ka=1

afaqi

]qi = 0. (3.10.118)

Varijacije koordinata qi, i = 1, . . . , 3N podelicemo u dva skupa: nezavisne varijacije koordinataqi, . . . , qn kojih ima n, i preostalih k zavisnih varijacija qn+1, . . . , q3N . Mnozitelja ima k, istoonoliko koliko ima zavisnih koordinata. Njih cemo odrediti iz zahteva da su izrazi u zagradamau (3.10.118) uz zavisne varijacije koordinata jednaki nuli. Onda su preostale samo nezavisnevarijacije koordinata. Izrazi u zagradama, koje mnoze varijacije nezavisnih koordinata su jednakinuli. Dakle, u svakom slucaju dobijamo

d

dt

(Lqi

) Lqi

=ka=1

afaqi

. (3.10.119)

Jednacine (3.10.119) su Lagranzeve jednacine sa mnoziteljima veza. Izraz na desnoj stranijednacine (3.10.119) oznacicemo sa Ri, tj.

Ri =ka=1

afaqi

. (3.10.120)

To su generalisane sile reakcije holonomnih veza.

Gornju proceduru mozemo pojednostaviti na sledeci nacin. Uvedimo modifikovani lagranzijan

L = L+ka=1

afa , (3.10.121)

gde smo obicnom lagranzijanu dodali clan sa mnoziteljima vezak

a=1 afa. Odgovarajuce dejstvoje

S =

t2t1

[L(q, q, t) +

ka=1

afa(q)]dt , (3.10.122)

3.10. LAGRANZEVE JEDNACINE SA MNOZITELJIMA VEZA 53

gde generalisane koordinate qi, i = 1, . . . , 3N i mnozitelje veza tretiramo kao nezavisne varijable.Variracija modifikovanog dejstva (3.10.122) je

S =

t2t1

dt[ 3Ni=1

(Lqi d

dt

(Lqi

)+

ka=1

afaqi

)qi +

ka=1

faa

]. (3.10.123)

Hamiltonov princip, S = 0 onda daje sledece jednacine

3Ni=1

[Lqi d

dt

(Lqi

)+

ka=1

afaqi

]qi = 0 , (3.10.124)

fa = 0, a = 1, . . . , k . (3.10.125)

Prva jednacina je ista kao (3.10.118), dok su naredne jednacine jednacine veza. Primenjujucilogiku opisanu u prvom delu ove lekcije, iz prve jednacine (3.10.124) dobijamo Lagranzevejednacine sa mnoziteljima veza (3.10.119).

Primer 1. Vratimo se ponovo na primer u lekciji 2.10. Naci jednacine kretanja primenomformalizma izlozenog u ovoj lekciji.Resenje: Kao sto smo rekli veze su f1 = l = 0 i f2 = z = 0. Modifikovani lagranzijan je

L =1

2m(2 + 22 + z2) +mg cos+ 1f1 + 2f2 . (3.10.126)

Variranjem dejstva po koordinatama , , z dobijamo jednacine:

mm2 mg cos = 1 ,m

d

dt

(2)

+mg sin = 0 ,

mz = 2 . (3.10.127)

Variranje dejstva po mnoziteljima dobijamo jednacine veza = l i z = 0. Iste jednacine dobilismo ranije kada smo Lagranzeve jednacine sa mnoziteljima veza izveli vektorskim metodom.Prednost nad vektorskim metodom je ocigledna.Primer 2. Cestica mase m krece se bez trenja po paraboli z = Ax2, gde je A konstanta, uvertikalnoj ravni y = 0. zosa je usmerena vertikalno navise. Cestica se nalazi u gravitacionompolju g = ge3. Naci jednacine kretanja cestice i reakcije veza. U pocetnom trenutku cestica jena visini h i ima nultu brzinu.Resenje: Lagranzijan sa mnoziteljima veza je

L =m

2(x2 + y2 + z2)mgz + 1(z Ax2) + 2y .

Variranjem dejstva dobijamo jednacine kretanja i veze:

mx = 21Axmy = 2

mz = mg + 1z = Ax2

y = 0 . (3.10.128)


Odmah se vidi da je druga veza trivijalna. Prva veza daje z = 2Axx i z = 2A(x2 + xx) .Eliminisanjem promenljive z preko promenljive x i njenih izvoda u trecoj jednacini dobijamo

1 =m(g + 2Ax2)

1 + 4A2x2. (3.10.129)

Zamenom ove vrednosti Lagranzevog mnozitelja u prvu jednacinu dobijamo

x+4A2x

1 + 4A2x2x+

2gAx

1 + 4A2x2= 0 . (3.10.130)

Ova jednacina nije jednostavna za resavanje. Umesto nje primenicemo zakon odrzanja energije.Naime

mgh =m

2(1 + 4A2x2)x2 +mgAx2 (3.10.131)

odakle je

x2 =2h 2gAx21 + 4A2x2

. (3.10.132)

Zamenom ovog izraza u (3.10.129) dobijamo

1 =mg(1 + 4Ah)

(1 + 4A2x2)2. (3.10.133)

Sila reakcije veze je R = mg(1+4Ah)(1+4A2x2)2

ez .

3.11 Kineticka energija sistema cestica u generalisanim

koordinatama

Razmatramo holonomni sistem od N cestica. Diferenciranjem (3.3.18) po vremenu dobijamobrzinu cestice indeksa

v = r =rt

+ni=1

rqi

qi . (3.11.134)

Zamenom gornjeg izraza u kineticku energija sistema cestica

T =1

2

N=1

mr2 , (3.11.135)

dobijamo

T =1

2

N=1

m

(rt

+ni=1

rqi

qi

)2=

1

2

N=1

m

(rt

)2+

ni=1

qi

N=1

mrt rqi

+1

2

ni=1

qiqj

N=1

mrqi rqj

. (3.11.136)

3.11. KINETICKA ENERGIJA SISTEMA CESTICA U GENERALISANIM KOORDINATAMA 55

Ovaj izraz cemo prepisati u obliku

T = T0 +i

Niqi +1

2

ij

Mij qiqj , (3.11.137)

gde je

T0 =1

2

N=1

m

(rt

)2,

Ni =N=1

mrt rqi

,

Mij =N=1

mrqi rqj

. (3.11.138)

Iz izraza (3.11.137) vidimo da je kineticka energija sistema cestica sa holonomnim vezamakvadratna funkcija po generalisanim brzinama. Prvi clan u (3.11.137) je konstantan, drugilinearan, a treci kvadratican po generalisanim brzinama. Ako su veze u sistemu stacionarne,generalisane koordinate se mogu izabrati tako da je r

t= 0, pa u izrazu za kineticku energiju

preostaje samo kvadratni clan

T =1

2

ij

Mij qiqj . (3.11.139)

Matrica Mij = Mij(q) se cesto naziva masenom matricom.

Glava 4

Zakoni odrzanja i simetrija

Zakone odrzanja smo izlozili u okviru glave posvecene Njutnovoj mehanici. Polazeci od osnovnihteorema mehanike odredili smo uslove pod kojima su impuls, moment impulsa i enerija ocuvanevelicine za sistem cestica. U ovoj glavi, nas pristup je drugaciji. Moglo bi se reci opstiji i elegant-niji. U formalizmu analiticke mehanike simetrija sistema se direktno vidi iz lagranzijana odnosnodejstva. Transformacije simetrije jednacine kretanja prevode u jednacine kretanja. Cesto se la-granzijan konstruise polazeci od simetrijskih razloga. Posledica simetrije fizickih sistema suocuvane velicine. Tu se vidi fizicki smisao odgovarajucih velicina. U prva dva paragrafa anal-iziracemo translacionu i rotacionu simetricnost lagranzijana i zakon odrzanja impulsa i momentimpulsa kao njihovu posledicu. U narednom poglavlju videcemo u kakvoj vezi je translacionavremenska invarijantnost lagranzijana sa energijom sistema. U poslednjem paragrafu, nacicemogeneralni metod za nalazenje ocuvanih velicina kao posledicu simetrije sistema.

4.1 Homogenost prostora i zakon odrzanja impulsa

Razmatracemo sistem cestica bez veza, koji je izolovan i uzecemo da su sile u sistemu konzer-vativne. Za generalisane koordinate izabracemo Dekartove koordinate cestica: x1, y1, z1, . . . , zN .Lagranzijan za ovakav sistem je

L =1

2

N=1

mr2

1

2

U(|r r|) , (4.1.1)

gde je U potencijalna energija interakcije cestica indeksa i . Lagranzeve jednacine su

d

dt

( Lv

) Lr

= 0 , = 1, . . . , N . (4.1.2)

Generalisani impuls pi konjugovan (pridruzen) koordinati qi je definisan sa

pi =L

qi. (4.1.3)

57

58 GLAVA 4. ZAKONI ODRZANJA I SIMETRIJA

Generalisani impulsi se u opstem slucaju ne poklapaju sa obicnim impulsima, cak ne morajuimati dimenziju impulsa. U nasem slucaju, kada su generalisane koordinate Dekartove, genera-lisani impulsi

p =L

r= mv (4.1.4)

se poklapaju sa obicnim implusima cestica.U inercijalnim izolovanim sistemima sve tacke u prostoru su ravnopravne. Za takav prostor

kazemo da je homogen. Ceo fizicki sistem mozemo translirati za proizvoljan vektor, a da se pritome dinamika sistema ne promeni. Dakle, homogenost prostora je invarijantnost na prostornetranslacije. Sistem vezan za disk koji rotira oko svoje ose je neinercijalan. U njemu prostor nijehomogen, tj. tacke prostora nisu ravnopravne. Ako stavimo malo telo u centar diska sa nultompocetnom brzinom telo ce mirovati. Ukoliko isto telo stavimo na neko rastojanje od ose rotacije,opet sa nultom pocetnom brzinom, telo ce poceti da se krece (uz uslov da je centrifugalna silaveca od sile trenja). Ovakav prostor je nehomogen.

Pri infinitezimalnim translacijama za , radijus vektor cestice sa indeksom prelazi u rprema

r r = r + . (4.1.5)Posto je konstantan vektor, to je brzina cestice nepromenjena v = v.

Invarijantnost teorije na neke transformacije znaci da je dejstvo nepromenjeno pri tim trans-formacijama. Medjutim, u ovoj i narednoj lekciji dovoljno je da posmatramo samo lagranzijan,jer mera integracije dt je nepromenjena.

Sada cemo eksplicitno proveriti invarijantnost lagranzijana (4.1.1) pri translacijama. Vecsmo rekli da se brzina cestica ne menja pri translacijama, pa je kineticka energija nepromenjena.Dalje se lako vidi da je

|r r| = |r + r | = |r r| ,pa je i potencijalna energija invarijantna pri translacijama. Dakle, lagranzijan (4.1.1) jestetranslaciono invarijantan.

Generalno, promena lagranzijana L(r,v, t) pri infinitezimalnoj translaciji (4.1.5) je

L = L(r + ,v, t) L(r,v, t)=

L

r

= ddt

(

L

v

)= d

dt

(

mv

)= dP

dt. (4.1.6)

Lagrazijan smo razvili po infinitezimalno malom parametru i primenili Lagranzeve jednacinekretanja (4.1.2). Na kraju smo dobili da je promena lagranzijana proporcionalna vremenskom

4.2. IZOTROPNOST PROSTORA I ZAKON ODRZANJA MOMENTA IMPULSA 59

Slika 4.1: Rotacija za mali ugao .

izvodu ukupnog impulsa sistema. Vec smo rekli da je promena lagranzijana (4.1.1) jednaka nuli,L = 0 pa, kako je konstantan proizvoljan vektor, to je

dP

dt= 0 P = const. (4.1.7)

Ovo je zakon odrzanja impulsa. Odrzanje impulsa sistema je posledica translacione simetrijelagranzijana. Na osnovu gornje analize videli smo da je impuls sistema konstantan, ali pored togavidimo i sta je impuls sistema. Naglasimo jos jednom da odrzanje impulsa vazi u inercijalnimsistemima koji su izolovani.

4.2 Izotropnost prostora i zakon odrzanja momenta im-

pulsa

Ako su svi pravci u sistemu ravnopravni, prostor je izotropan. Preciznije, ako zatvoren sistemzarotiramo oko bilo koje ose za proizvoljan ugao dinamika sistema se nece promeniti. Drugimrecima sistem je rotaciono invarijantan.

Na slici 4.1 prikazano je kako rotacija transformise vektor polozaja cestice. Neka je = ninfinitezimalno mali ugao, gde je n ort ose oko koje se vrsi rotacija usmeren po pravilu desneruke. Ako se rotacija vrsi u smeru prstiju desne ruke

Documents

TEORIJSKA MEHANIKA