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sistema LTI charpe 7
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Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
1
NOMBRE:
Agustín Asencio
MATRICULA:
2011-2259
EMAIL:
Gorki Ernesto Encarnación Morrobel
MATERIA: DSP II
PROFESOR:
Gorki Ernesto Encarnación Morrobel
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
2
Tabla de contenido
7.1 Transferencia de funciones de clasificación basado en Magnitud Características ................. 3
7.1.1 Filtros Digitales con respuestas en magnitud ideal ............................................................................ 3
7.1.2 Funciones limitado de transferencia real ......................................................................................... 5
7.1.3 Todo Pass Función de Transferencia ............................................................................................ 6
7.2 Transferencia de funciones de clasificación basado en la Fase Características ..................... 7
7.2.1 Zero-Fase Función de Transferencia ................................................................................................. 7
7.2.2 Lineal-Fase de transferencia Función ........................................................................................ 9
7.3 Tipos de funciones de transferencia de FIR de fase lineal ........................................................... 10
7.4 Filtros Digitales Simples ........................................................................................................................... 11
7.4.2 Simples Filtro filtros IIR digitales ................................................................................................ 11
7.4.3 Peine s .............................................................................................................................................. 13
7.5 Funciones de transferencia complementarios ..................................................................................... 14
7.5.1 Funciones de transferencia retado-Complementarias ...................................... 14
7.6 Sistemas inversos ......................................................................................................................................... 14
7.6.1 Representación en el dominio z .............................................................................................................. 14
7.6.2 Nivelación de un canal de fase no mínima ....................................................................................... 15
7.6.3 convolución ........................................................................................................................................ 15
7.7 Sistema de identificación ........................................................................ 15
7.8 Dos pares de señales digitales. ............................................................................................................... 15
7.8.1 Caracterización ......................................................................... 16
7.9 Prueba de estabilidad Algebraica ............................................................................................................ 17
El Triángulo de Estabilidad ................................................................... 17
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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LTI Sistemas Tiempo - Discretos en el Dominio Transformar
La clasificación de dominio de tiempo de una función de transferencia digital basada en la longitud
de su secuencia de respuesta de impulso conduce a la respuesta de impulso finito (FIR) y las
funciones de transferencia de respuesta de impulso infinito (IIR). Se describe aquí varios otros
tipos infinito de transferencia de clasificaciones basadas en el comportamiento de la función de
magnitud y fase.
Hay varios tipos de clasificaciones de funciones de transferencia en base a sus características de
magnitud. El caso de funciones de transferencia digitales con respuestas de frecuencia selectivos
de frecuencia, cuatro tipos de filtros ideales suelen definirse sobre la base de la forma de la
función de magnitud Estos filtros ideales tienen respuestas de impulso doblemente
infinitas y son irrealizables, ya que no son causales. Asimismo, hay varios tipos de clasificaciones de
transferencia en función de sus características de fase. Una clase importante se basa en la
linealidad de las funciones Como por lo general hay función de fase varias funciones de
transferencia.
A continuación describimos muy simple FIR realizable y IIR filtro digital de aproximaciones. Por
último, el capítulo concluye con el desarrollo de una prueba de estabilidad algebraica de funciones de
transferencia IIR causales.
7.1 Transferencia de funciones de clasificación basada en Magnitud Características
Las funciones de transferencia de LTI sistemas de tiempo discreto se suelen clasificar de acuerdo a
las características de sus respuestas de fase o de sus respuestas en magnitud. En esta sección,
consideramos varios tipos de funciones de transferencia que se clasifican de acuerdo a sus
características de respuesta de magnitud. Más adelante en este capítulo, consideramos funciones de
transferencia que se clasifican de acuerdo a sus características de respuesta de fase.
7.1.1 Filtros Digitales con respuestas en magnitud ideal
Una clasificación de uso general de las funciones de transferencia se basa en una magnitud ideales A
pesar de que tales funciones de transferencia no son realizables, pueden ser aproximadas en la
práctica con un poco aceptable tolerancias.
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Nota partir de esta figura que un filtro ideal por lo tanto tiene una respuesta de magnitud igual a la
unidad en la banda de paso y la banda de detención cero en y tiene una fase cero en todas partes.
En este ejemplo, hemos demostrado que la respuesta al impulso anterior no es absolutamente
sumable, por lo tanto, la función de transferencia correspondiente no es BIBO estable. Tenga en al
impulso anterior no es causal y es de longitud doblemente infinita. Las tres respuestas de frecuencia
restantes de la Figura 7.1 también se caracteriza por, respuestas de impulso no causales doblemente
infinitas y no son absolutamente sumable. Como resultado, los filtros ideales con las características
de la pared de ladrillo de la Figura 7.1 ideales no pueden ser realizados por un filtro LTI con una
función de transferencia de orden finito.
Filtro de paso bajo: la banda de paso
Rechazada banda
Filtro de paso alto: pasa banda
Rechazada banda
Filtro de paso de banda: la banda de paso
Banda rechazada
Filtro de supresión de banda:
La banda de paso de banda suprimida
Las frecuencias ωc, ωc1, and ωc2 se llaman las frecuencias de corte.
Un filtro ideal tiene una respuesta de magnitud igual a uno en la banda de paso y cero en banda de
detención, y tiene una fase cero en todas partes.
En otras palabras, para todas las entradas finita de energía, la energía de salida es menor que o igual
a la energía de entrada lo que implica que un filtro digital que se caracteriza por una función de
transferencia BR puede ser visto como un estructura. Es pasivos satisfechos con un signo igual,
entonces a partir de la energía de salida es igual a la entrada Si la energía, y un filtro digital de este
tipo por lo tanto, es un sistema sin pérdidas.
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Más temprano en el curso derivamos la inversa DTFT del HLP respuesta de frecuencia del
filtro ideal de paso bajo:
También hemos demostrado que la respuesta al impulso anterior no es absolutamente sumable, y por
lo tanto, la función de transferencia correspondiente no es estable BIBO. Para desarrollar las
funciones de transferencia estables y realizables, las especificaciones ideales de respuesta de
frecuencia se relajaron al incluir una banda de transición entre la banda de paso y luego la banda de
parada. Esto permite que la respuesta en magnitud a decaer lentamente desde su valor máximo en la
banda de paso al valor cero en una banda de detención. Por otra parte, se deja que la respuesta en
magnitud a variar de una pequeña cantidad tanto en la banda de paso y luego la banda de parada.
7.1.2 Funciones limitado de transferencia real
A causal estable real coeficiente de función de transferencia se define como un (BR) limitado
función de transferencia real si para todos los valores de ω.
Deje x [n] e y [n] denotan, respectivamente, la entrada y salida de un filtro digital que se
caracteriza por una función de transferencia BR con Y denota sus s.
Ejemplo 7.1 - Tener en cuenta la causalidad IIR estable función de transferencia
10,1
)(1
z
KzH
donde K es una constante real su función cuadrados magnitud está dada por
cos2)1()()()(
2
21
2
KzHzHeH jez
j
El valor máximo de |H (e jω)|2 se obtiene cuando en el denominador es máximo y el
valor mínimo se obtiene cuando un es un mínimo Para , el valor máximo de
es igual a en , y el valor mínimo es
Así, por , el valor máximo de |H (e jω)|2 es igual a en
y el valor mínimo es igual a en =
Por otro lado, para , el valor máximo de es igual a en y el valor
mínimo es igual a
Aquí, el valor máximo de |H (e jω)|2 es igual a en y el valor mínimo es igual
a en
Por lo tanto, el valor máximo puede hacerse igual a 1 por la elección de , en
cuyo caso el valor mínimo se convierte en
Por lo tanto:
nn
nnh c
LP ,sin
][
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10,1
)(1
z
KzH
Es una función BR para
Parcelas de la función de la magnitud de con valores de K elegidos para hacer
una BR la función se muestra.
7.1.3 Pasa todo Función de Transferencia
Un tipo muy especial de la función de transferencia de IIR se caracteriza por la magnitud de unidad
para todas las frecuencias. Tal función de transferencia, llamada una función de toda la
transferencia de pase, tiene muchas aplicaciones útiles en el procesamiento de señales digital.
Definimos la función de toda la transferencia de pase, examinar algunas de sus propiedades clave, y
esbozar una de sus aplicaciones más comunes. Más adelante en este capítulo y en otras partes del
texto, se discuten varias otras aplicaciones. Una aplicación importante considerar más adelante en
este capítulo es el desarrollo de una prueba algebraica para la estabilidad BIBO de una función de
transferencia IIR causal.
Definición
Una función de transferencia de IIR con respuesta de magnitud unidad para todas las
frecuencias, es decir,
, para todos
se llama una función de toda la transferencia de pase Una orden causal real coeficiente de
toda la función de transferencia de paso es de la forma.
M
M
M
M
MM
MM
zdzdzd
zzdzddzM
1
1
1
1
1
1
1
1
1)(
Si denotamos los polinomios del denominador de como
Entonces se deduce que se puede escribir como:
)(
)()(
1
zD
zDzz
M
M
M
M
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Nota de lo anterior que si es todo función de transferencia pase un polo de un coeficiente
real, entonces tiene un cero en jer
z 1
El numerador de un verdadero coeficiente toda función de transferencia de paso se dice que es el
polinomio imagen espejo- del denominador, y viceversa.
Usaremos la notación para denotar )(~
zDM el polinomio imagen especular de un grado M polinomio
)(~
zDMes decir,
)()(~ 1 zDzzD M
M
M
La expression
)(
)()(
1
zD
zDzzA
M
M
M
M
Implica que los polos y ceros de una función todo pasa coeficiente real exhiben simetría imagen
espejo- en el plano z.
321
321
32.018.04.01
4.018.02.0)(
zzz
zzzzA
Por lo tanto:
1)()()( 12
jezMM
j
M zAzAeA
7.2 Transferencia de funciones de clasificación basada en la Fase Características
Una segunda clasificación de una función de transferencia es con respecto a sus características de
fase. En muchas aplicaciones, es necesario que el filtro digital diseñada no distorsiona la fase de las
componentes de la señal de entrada con frecuencias en la banda de paso.
7.2.1 Zero-Fase Función de Transferencia
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Una forma de evitar cualquier distorsión de fase es hacer que la respuesta de frecuencia del filtro y
no negativo verdadero, es decir, para diseñar el filtro con una característica de fase cero. Sin
embargo, no es posible diseñar un filtro digital causal con una fase cero.
Para el procesamiento en tiempo no real de señales de entrada de valor real de longitud finita,
filtrado de fase cero puede ser muy simple implementado por relajar el requisito de causalidad Un
esquema de filtrado de fase cero se esboza a continuación.
Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos
El filtfilt función implementa el esquema de filtrado de fase cero por encima de
En el caso de una función de transferencia causal con una respuesta de fase no cero, la distorsión de
fase puede evitarse asegurando que la función de transferencia tiene una magnitud unidad y una
característica de fase lineal en la banda de frecuencia de interés.
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7.2.2 Lineal-Fase de transferencia? Función
Si D es un número entero, a continuación, es idéntica a , pero retardada en D muestras. Si
D no es un entero, se retrasó por una parte fraccionaria, no es idéntica a En este último
caso, la forma de onda de la salida de tiempo continuo subyacente es idéntica a la forma de onda de
la entrada de tiempo continuo subyacente y retrasó unidades D de tiempo.
Si se desea pasar componentes de la señal de entrada en un cierto rango de frecuencia no
distorsionado tanto en magnitud y fase, a continuación, la función de transferencia debería exhibir
una respuesta de magnitud unidad y una respuesta de fase lineal en la banda de interés.
La figura a continuación muestra la respuesta de frecuencia si un filtro de paso bajo con una
característica de fase lineal en la banda de paso.
7.3 Ejemplo - Determinar la respuesta al impulso de un filtro de paso bajo ideal, con una
respuesta de fase lineal.
c
c
nj
j
LP
eeH
,0
0,)(
0
Aplicando la propiedad desplazamiento en frecuencia de la DTFT de la respuesta al impulso de un
filtro de paso ideales de fase cero bajo llegamos a
n
nn
nnnh c
LP ,)(
)(sin][
0
0
Por truncar la respuesta de impulso a un número finito de términos, una aproximación a la FIR de
realización filtro ideal de paso bajo puede ser desarrollado. La aproximación truncada puede o no
puede exhibir fase lineal, dependiendo del valor de elegido.
Si elegimos con un entero positivo, el truncado y cambiamos aproximación.
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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NnNn
Nnnh c
LP
0,
)2/(
)2/(sin][ˆ
Será un filtro causal lineal de fase longitud FIR.
La figura a continuación muestra los coeficientes de filtro obtenidos utilizando la función para
dos valores diferentes de
Debido a la simetría de los coeficientes de respuesta de impulso como se indica en las dos figuras, la
respuesta de frecuencia de la aproximación truncada puede ser expresada como.
)(~
][ˆ)(ˆ 2/
0
LP
NjnjN
n
LP
j
LP HeenheH
Donde, )(~
LPH llamada la respuesta de fase cero o respuesta de amplitud, es una función real de
.
7.3 Tipos de Lineal-fases Transferencia FIR Funciones
Es imposible diseñar una función de transferencia de IIR con una fase lineal exacta. Siempre es
posible diseñar una función de transferencia FIR con una respuesta exacta de fase lineal Ahora
desarrollamos las formas de la función de transferencia FIR de fase lineal con respuesta al
impulso verdadero
nN
n
znhzH
0
][)(
Si H (z) es tener una fase lineal, su respuesta de frecuencia debe ser de la forma
)()( )( HeeH cjj
Donde son constantes y )(H
Llama la respuesta de amplitud, también llamada la respuesta de fase cero, es una función real de ω
Existen cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal que se describen a continuación.
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Funciones de transferencia FIR tipo 1
La respuesta de amplitud está definida por:
[
] ∑ [
]
Funciones de transferencia FIR tipo 2
∑ [
] ( (
))
Funciones de transferencia FIR tipo 3
∑ [
] ( (
))
Funciones de transferencia FIR tipo 4
∑ [
] ( (
))
Forma general de respuesta de frecuencia
En los cuatro casos de filtros la respuesta de frecuencia es de la forma.
Donde β es 0 o π, para el caso de una respuesta de impulso simétrico, o +-π/2, para el caso de una
respuesta de impulso anti-simétrico.
7.4 Filtros Digitales Simples
Diseño de filtros selectivos de frecuencia que cumplan las especificaciones prescritas. Ahora
describir varios de bajo orden filtros digitales FIR e IIR con respuestas de frecuencia selectivos
razonables que a menudo son satisfactorias en una serie de aplicaciones.
Filtros digitales FIR aquí considerados tienen coeficientes de respuesta de impulso de valores
enteros. Estos filtros se emplean en una serie de aplicaciones prácticas, principalmente debido a su
simplicidad, que los hace susceptibles de implementaciones de hardware de bajo costo.
7.4.2 simples filtros IIR digitales
Filtros pasa bajo IIR digitales
Hemos demostrado anteriormente que la función de transferencia IIR causal de primer orden.
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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10,1
)(1
z
KH z
Tiene una respuesta de magnitud de paso bajo para
Una respuesta baja magnitud pase mejorado se obtiene mediante la adición de un factor de
para el numerador de la función de transferencia
0,1
)1()(
1
1
z
zKH z 1
Esto obliga a la respuesta de magnitud para tener un cero en omega = π en la banda de detención del
Por otro lado, la función de transferencia IIR causal de primer orden.
01,1
)(1
z
KH z
Tiene una respuesta de magnitud pasa alto para
Sin embargo, la función de transferencia modificada obtenida con la adición de un factor )1( 1 z
para el numerador.
01,1
)1()(
1
1
z
zKH z
Exhibe una respuesta de magnitud de paso bajo.
La función de transferencia de paso bajo de primer orden modificado para ambos valores positivos y
negativos de α entonces dada por:
10,1
)1()(
1
1
z
zKHLP z
A medida que aumenta de , la magnitud del vector cero disminuye desde un valor de
Los valores máximos de la función de magnitud es en y el valor mínimo es en
, es decir:
0)(,1
2)( 0
j
LP
j
LP eHK
eH
Una causal filtro digital IIR paso bajo de primer orden tiene una función de transferencia dada por:
1
1
1
1
2
1)(
z
zzHLP
Donde para la estabilidad
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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La función de transferencia anterior tiene un cero en es decir, en , que es en el banda
de detención.
es decir: | | , | |
Por lo tanto, | |es una función monótonamente decreciente de de a como se
indica a continuación.
(z) es una función BR para
7.9 Ejemplo - Diseñar un filtro digital de paso alto de primer orden con una frecuencia de corte de 3
dB de 0.8π
Ahora, and
1
1
1
1
5095245.01
124538.0
1
1
2
1)(
z
z
z
zzH LP
7.4.3 Peine Filtros
Dependiendo de las aplicaciones, filtros de peine con otros tipos de respuestas periódicas magnitud
pueden generar fácilmente eligiendo adecuadamente el filtro prototipo. Por ejemplo, el punto M
filtro de media móvil
)1(
1)(
1
zM
zzH
M
7.5 Funciones de transferencia complementarios
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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Un conjunto de funciones de transferencia digitales con características complementarias a menudo
encuentra aplicaciones útiles en la práctica. Cuatro relaciones complementarias útiles se describen a
continuación, junto con algunas aplicaciones.
Un conjunto de funciones de transferencia L, , se define que se retrase-
complementarios el uno del otro si la suma de sus funciones de transferencia es igual a un múltiplo
entero de retrasos de la unidad, es decir:
0,)(1
0
0
L
i
n
i zzH
Donde es un entero no negativo.
7.5.1 Funciones de transferencia retardo-Complementarias
Parcelas de las respuestas en magnitud de y la presión arterial alta se muestran a
continuación
7.6 sistemas inversos
Dos LTI sistemas de tiempo discreto con respuestas de impulso h1 [n] y h2 [n] son inversas entre sí
en caso
Una aplicación de diseño de sistema inverso, como se ha señalado anteriormente, es en la
recuperación de una señal x [n] que ha sido transmitida a través de un canal de transmisión
imperfecto. La señal recibida y [n], en general, será la señal original x [n] porque va a ser
distorsionada por la respuesta de impulso h1 [n] del canal. La salida v [n] del sistema inverso será
idéntica a la entrada deseada x [n].
7.6.1 Representación en el dominio z.
Tomando la transformada z de ambos lados de la ecuación detrás, obtenemos H1 (z) H2 (z) = 1
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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Para una transferencia racional función H 1 (z), H1 (z)= P(z)/D(z)
La función de transferencia de H2 (z) del sistema, H2 (z)=D(z)/P(z)
7.6.2 Nivelación de un canal de fase no mínima
Un sistema inverso es a menudo necesaria para la igualación de la respuesta de frecuencia de un
canal de comunicación para que la señal de entrada aplicada al canal se puede recuperar sin ninguna
distorsión después de pasar a través del canal. El algoritmo de recuperación es más simple si el canal
se pueden representar por una función de transferencia de fase mínima, en cuyo caso el canal
pueden conectarse en cascada con un sistema inversa con una función de transferencia estable
causal que es simplemente la inversa de la función de transferencia de canal.
7.6.3 convolución
Si el sistema causal de los padres tiene una conocida respuesta de impulso h [n] y es excitado por
una señal de entrada causal x [n], y luego conocer la señal de salida y [n] para n => 0, podemos
determinar las muestras de la señal usando una relación recursiva sin determinar el sistema inverso.
Una interpolación alternativa del algoritmo de convolución propuesta por dos ecuaciones puede
establecido por el tratamiento de la suma de convolución como una multiplicación de polinomios en el
dominio z.
7.7 Sistema de identificación
La identificación del sistema es, por tanto dual al problema de la determinación de la entrada x [n]
saber la respuesta al impulso h [n] y la salida y [n]. En el dominio del problema de identificación del
sistema se puede resolver mediante el intercambio de los papeles de la entrada y la respuesta de
impulso en el método descrito anteriormente.
7.8 Dos pares de señal Digital
Los sistemas de tiempo discreto LTI considerados hasta ahora son de una sola entrada, estructura-
salida única que se caracterizan por una función de transferencia.
A menudo, un sistema de este tipo se puede realizar de manera eficiente mediante la interconexión
de dos entradas, las estructuras de salida de dos, más comúnmente llamados dos pares.
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
16
7.8.1 Caracterización
La relación de entrada-salida de un par de dos digitales está dada por:
2
1
2221
1211
2
1
X
X
tt
tt
Y
Y
En la relación anterior de la matriz dada por τ;
2221
1211
tt
tt
Se desprende de la relación insumo-producto de que los parámetros de transferencia se encuentran
los siguientes:
0
2
2220
1
221
0
2
1120
1
111
12
12
,
,
XX
XX
X
Yt
X
Yt
X
Yt
X
Yt
Una caracterización alternativa de los dos pares es en términos de sus parámetros de cadena;
2
2
1
1
X
Y
DC
BA
Y
X
7.9 Prueba de estabilidad Algebraica
Vamos demostrado la del que estabilidad BIBO de una función de transferencia racional causal
Requiere que todos sus polos estar dentro del círculo unidad. Para las funciones de transferencia
muy alto orden, es muy difícil determinar. las ubicaciones de los polos analíticamente.
Sistemas LTI de tiempo discreto en el dominio de la transformada
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Lugares de raíz pueden, por supuesto, pueden determinar S. En un equipo por algún tipo de
algoritmos de cálculo de raíces.
Ahora nos planteamos una prueba algebraica sencilla que no requiere la determinación de ubicaciones
de los polos.
El Triángulo de Estabilidad
Para una función de transferencia de segundo orden de la estabilidad se puede comprobar
fácilmente mediante el examen de sus coeficientes del denominador.
2
2
1
11)( zdzdzD
Denotar el denominador de la función de transferencia En términos de sus polos, D (z) se puede
expresar como
2
21
1
21
1
2
1
1 )(1)1)(1()( zzzzzD
Comparando las dos últimas ecuaciones obtenemos.
212211 ,)( dd
Los polos están en el interior del círculo unidad si:
1,1 21
Ahora bien, el coeficiente de d2 viene dado por el producto de los polos
Por lo tanto debemos tener.
12 d
Se puede demostrar que el segundo coeficiente de condición está dada por:
21 1 dd
