Primjenjena matematika i statisktika

Poglavlje 2

Rjeavanje nelinearnih jednaina

Mnogi problemi u inenjerstvu i nauci zahtijevaju pronalaenje rjeenja nekenelinearne jednaine (traenje korijena). Ovo je jedan od najstarijih problemau matematici. Problem se, u stvari, svodi na sljedee: Za datu neprekidnunelinearnu funkciju f(x), treba nai vrijednosti x = takvu da je f() = 0.Problem je grafiki predstavljen na slici 2.1. Pri tome, nelinearna jednainaf(x) = 0 moe biti algebarska, transcedentalna, rjeenje neke diferencijalnejednaine, ili bilo koja nelinearna relacija izmeu ulazne veliine x i izlazneveliine y.

x

f(x)

f( 1)=0 f( 2)=0

1 2

Slika 2.1: Rjeenje nelinearne jednaine


2.1 Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

U postupku rjeavanja nelinearnih jednaina moemo razlikovati dvije faze, ito:

lokalizacija nula, poboljanje rjeenja

2.1.1 Lokalizacija nula

Lokalizacija nula predstavlja grubo (priblino) pronalaenje rjeenja koje moeposluiti kao poetna aproksimacija u nekoj sistematskoj proceduri pronalae-nja, koja poboljava rjeenje do odreene tanosti. Ako je to mogue, najboljeje nai granice intervala u kojima se nalazi korijen i u kojima funkcija ima raz-liit znak. U ovu svrhu se mogu koristiti razliite metode od kojih su najee:crtanje grafika funkcije, inkrementalno pretraivanje, prola iskustva sa istimili slinim problemom, rjeenje pojednostavljenog modela, prethodno rjeenjeu nizu dobijanja rjeenja, itd.

Crtanje grafika funkcije izvodi se u intervalu koji nas interesuje. Ako, naprimjer, rjeenje neke jednaine predstavlja pozitivnu veliinu, kao to je pre-eni put ili vrijeme, neemo crtati negativne vrijednosti funkcije. Kako danasmnogi kalkulatori imaju mogunost crtanja grafika funkcija, ovaj postupak jeznatno olakan. Uz to, postoje mnogi softverski paketi koji uz sve ostale mo-gunosti mogu da se koriste i za crtanje grafika funkcija (na primjer, Excel,Matlab, MathCAD, Mathematica, itd.)

Inkrementalno pretraivanje se sastoji u izraunavanju vrijednosti funkcijeod poetne do krajnje take intervala koji se posmatra, sa nekim malim ko-rakom. U trenutku kada funkcija promijeni znak, pretpostavi se da korijendate jednaine lei u tom podintervalu (naravno, uz uslov da je funkcija nepre-kidna na datom intervalu). Ove dvije vrijednosti mogu se koristiti kao poetneaproksimacije za neku od procedura poboljanja rjeenja.

Treba napomenuti da je vrlo vano nai dobre poetne aproksimacije kakobi procedura za poboljanje korijena jednaine uopte konvergirala, ali i da bikonvergirala prema tanom rjeenju.

2.1.2 Poboljanje rjeenja

Poboljanje rjeenja predstavlja odreivanje rjeenja do eljene tanosti po-mou neke od sistematskih procedura. U tu svrhu mogu se koristiti:

Vie o ovim softverima bie rijei u A

12

2.1. Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

Metode na zatvorenom intervalu Metode na otvorenom intervalu.Metode na zatvorenom intervalu su metode koji poinju sa dvije vrijednosti

x, na primjer a i b, izmeu kojih se nalazi rjeenje x = , i koje sistematskismanjuju poetni interval (a, b) na podintervale u kojima se, takoer, moranalaziti korijen jednaine. U ove metode spadaju metoda polovljenja intervalai regula falsi. Treba napomenuti da su ove metode veoma sigurne, jer je do-bijanje eljenog rjeenja zagarantovano. Ipak, mogu veoma sporo konvergiratido traene tanosti.

Metode na otvorenom intervalu ne zahtijevaju da se korijen nalazi u nekomintervalu. Kao posljedica, ove metode nisu tako sigurne, a mogu i divergirati.Meutim, kako se u ovim metodama pri procjeni korijena koriste informacijeo samoj funkciji koja se posmatra, one su mnogo efikasnije od metoda na za-tvorenom intervalu. U ovom kursu obradie se sljedee metode na otvorenomintervalu: metoda proste iteracije, Newtonova metoda, modifikovana Newto-nova metoda, te metoda sjeice.

2.1.3 Ponaanje nelinearnih jednaina

Nelinearne jednaine se mogu razliito ponaati u blizini korijena. Algebarskei transcedentalne jednaine mogu imati razliite (jednostavne) realne, vies-truke, te kompleksne korijene. Polinomi mogu imati realne i kompleksne ko-rijene, pri emu se u sluaju svih realnih koeficijenata polinoma, kompleksnikorijeni javljaju u konjugovanim parovima (u sluaju kompleksnih koeficije-nata mogui su i pojedinani kompleksni korijeni).

Slika 2.2 pokazuje nekoliko sluajeva razliitog ponaanja nelinearnih funk-cija u blizini korijena. Slika 2.2a pokazuje sluaj sa jednim realnim korijenom(jednostavan korijen). Slika 2.2b pokazuje sluaj bez realnih korijena. U tomsluaju mogu postojati kompleksni korijeni. Situacija sa dva ili tri jednostavnasluaja pokazana je na slikama 2.2c i d, respektivno, dok su na slikama 2.2e if dati primjeri mnogostrukih korijena. Situacija sa dva mnogostruka i jednimjednostavnim korijenom data je na slici 2.2g. Opti sluaj, u kojem se pojav-ljuje vie jednostavnih i mnogostrukih korijena, dat je na slici 2.2h (i u ovomsluaju mogu se pojaviti kompleksni korijeni).

Mnogi inenjerski problemi imaju jednostavne korijene, kao to je pokazanona slici 2.2a. Takvi korijeni se mogu nai gotovo svakom od metoda za rjea-vanje nelinearnih jednaina, ako imamo dobru poetnu aproksimaciju. Ipak,postoje sluajevi kod kojih je neophodna panja kako bi se dolo do eljenogrjeenja.

13


x

f(x)

2

a)

x

f(x)

b)

x

f(x)

c)

1 x

f(x)

d)

21 3

x

f(x)

e)

1= 2 x

f(x)

f)

1= 2= 3

x

f(x)

g)

2= 31 x

f(x)

h)

Slika 2.2: Korijeni nelinearnih jednaina: a) jednostavan korijen, b) bez realnih korijena,c) dva jednostavna korijena, d) tri jednostavna korijena, e) dva viestruka korijena, f) tri

viestruka korijena, g) jedan jednostavan i dva viestruka korijena, e) opti sluaj

14

2.1. Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

2.1.4 Neke smjernice u traenju korijena

I pored toga to postoji veliki broj metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina,treba znati da neke od metoda ne mogu nai neke od korijena, te da brzinakonvergencije, tj. utroenog rada i vremena, moe biti od presudnog znaaja.Neke od vanih smjernica pri rjeavanju jednaina su:

Proces lokalizacije bi trebao ograniiti korijen. Dobra poetna aproksimacija je veoma vana. Metode sa zatvorenim intervalom su sigurnije nego one sa otvorenim, jerzadravaju rjeenje u zatvorenom intervalu.

Metode sa otvorenim intervalom, kada konvergiraju, openito konvergi-raju bre od metoda sa zatvorenim intervalom.

Za funkcije bez naglih promjena u ponaanju, veina algoritama uvijekkonvergira ako je poetna aproksimacija dovoljno blizu. Za ove sluajeveunaprijed je mogue procijeniti brzinu konvergencije.

Mnogi, ako ne i veina, inenjerski problemi su jednostavni i dobro se"ponaaju". U takvim sluajevima se jednostavne metode, kao to jeNewtonova metoda, mogu primijeniti bez bojazni da se radi o nekomspecijalnom sluaju.

Ako se neki problem treba rijeiti samo jednom, ili mali broj puta, efikas-nost nije u prvom planu. Nasuprot tome, ako se rjeavanje neke jednaineobavlja veliki broj puta, veoma vano je koristiti efikasnije metode.

Metode za rjeavanje nelinearnih jednaina bi trebale imati sljedee osobine:

Treba biti poznat maksimalan broj iteracija. U sluaju da metoda koristi prvi izvod funkcije, f (x), mora se paziti daova vrijednost u toku prorauna ne bude jednaka nuli.

Test konvergencije oblika |xi+1 xi|, te apsolutna vrijednost funkcije|f(xi+1)| se moraju uzeti u obzir.

Kada se dostigne konvergencija, konana procjena korijena bi se trebalauvrstiti u funkciju f(x), kako bi se zagarantovalo da je f(x) = 0 u grani-cama eljene konvergencije.

15


2.2 Metode na zatvorenom intervalu

2.2.1 Metoda polovljenja intervala

Metoda polovljenja intervala ili bisekcije (eng. interval halving, bisection) jejedna od najjednostavnijih metoda za traenje korijena nelinearnih jednaina.U ovoj metodi, prvo se odrede dvije procjene korijena, i to lijevo, za x = a,i desno, x = b, od korijena. Ove procjene ograniavaju korijen, kao to jeprikazano na slici 2.3. Oigledno je da korijen x = lei u intervalu (a, b).Ovaj interval se moe prepoloviti usrednjavanjem vrijednosti a i b, tako da sedobije c = (a + b)/2. Na taj nain dobiju se dva intervala:(a, c) i (c, b). Kojiinterval sadri korijen zavisi od vrijednosti f(c). Ako je f(a) f(c) < 0, kaoto je to sluaj na slici 2.3, korijen se nalazi u intervalu (a, c). Tada se postavida je b = c, i postupak ponovi. Ako je, pak, f(c) f(b) < 0, postavi se da jea = c i postupak polovljenja nastavi. U sluaju da je f(a) f(c) = 0, korijenjednaine jednak je c.

x

f(x)

b=b0

f(b)

f(c)

f(a)

a=a0

a1

a2

c=b1c=b2

c=a3

Slika 2.3: Grafika interpretacija metode polovljenja intervala

Prema tome, metoda polovljenja intervala je iterativna metoda, sa sljedeimalgoritmom:

c =a + b

2(2.1a)

Ako je f(a) f(c) < 0 : a = a, b = c (2.1b)Ako je f(c) f(b) < 0 : a = c, b = b (2.1c)Ako je f(a) f(c) = 0 : dobiva se rjeenje = c (2.1d)

Iterativni postupak se nastavlja sve dok se ne postigne eljena tanost, tj. dokveliina intervala ne postane manja od eljene tolerancije 1 (|bi ai| 1),

16

2.2. Metode na zatvorenom intervalu

ili veliina f(x) ne postane manja od eljene tolerancije 2 (|f(ci)| 2), ilioboje.

Metoda polovljenja intervala ima nekoliko prednosti:

Korijen jednaine se nalazi unutar granica nekog intervala, tako da jekonvergencija zagarantovana.

Maksimalna greka metode je |bn an|. S obzirom da se svakom iteracijom interval polovi, (maksimalan) broj ite-racija n, a time i broj raunanja funkcije, koji je potreban da se prvobitniinterval (b0, a0) smanji na odreeni interval (bn, an), dobiva se iz

(bn an) = 12n

(b0 a0) (2.2)

Na taj nain, n je dato sa:

n =1

log(2)log

(b0 a0bn an

)(2.3)

Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki brojiteracija radi postizanja eljene tanosti.

Primjer 2.1

Metodom polovljenja intervala nai pozitivni korijen jednaine f(x) = x2 2=0. Postupak rjeavanja zaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeudvije uzastopne iteracije, , bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Kao to je u prethodnim poglavljima reeno, prvi korak u numerikom rje-avanju jednaina predstavlja lokalizacija nula. Ovo moemo na najlaki nainpostii crtanjem grafika funkcije i utvrivanjem intervala u kojem se dato rje-enje nalazi. Sa slike 2.4 se jasno vidi da se pozitivno rjeenje zadate jednainenalazi u intervalu (a, b) = (1, 2).

U krajnjim takama intervala funkcija f(x) ima vrijednosti razliitog pred-znaka, tj. f(1) = 1 < 0 i f(2) = 2 > 0, pa se u datom intervalu nalazi barjedan korijen date jednaine. Sada se vri podjela intervala na dva jednakapodintervala i provjerava koji od podintervala sadri korijen jednaine. Dakle,slijedei algoritam za metodu polovljenja intervala, imamo:

c =a + b

2=

1 + 2

2= 1.5

17


x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 2

f x =x -

Slika 2.4: Grafiki prikaz funkcije f(x) = x2 2

f(c) = f(1.5) = 0.25 > 0

S obzirom da je f(c) > 0 i f(a) < 0 rjeenje se nalazi u podintervalu (a, c) =(1, 1.5), i stavljamo da je b = c. Postupak ponavljamo na novom intervalu(a, b) = (1, 1.5), tj.

c =a + b

2=

1 + 1.5

2= 1.25

f(c) = f(1.25) = 0.4375 < 0pa je novi podinterval u kojem se nalazi korijen zadate jednaine (a, c) =(1.25, 1.5).

Postupak se ponavlja dok se ne postigne eljena tanost. U Tabeli 2.1sumarno su dati rezultati prorauna.

Konano, rjeenje je = 1.41425.

2.2.2 Metoda regula falsi

Kao to se moglo vidjeti, u sluaju metode polovljenja intervala korijen jedna-ine se aproksimira kao srednja vrijednost intervala u kojem se korijen nalazi.U metodi regula falsi (to u prevodu znai metoda netanog poloaja), neline-arna funkcija f(x) se aproksimira linearnom funkcijom g(x) u intervalu (a, b),

18

2.2. Metode na zatvorenom intervalu

Tabela 2.1: Uz primjer 2.1Iteracija a f(a) b f(b) c |xi xi1|

1 1 -1 2 2 1.5 -2 1 -1 1.5 0.25 1.25 0.253 1.25 -0.4375 1.5 0.25 1.375 0.1254 1.375 -0.109375 1.5 0.25 1.4375 0.0625...

......

......

......

13 1.41406 -0.000427 1.41431 0.000263 1.41418 0.00012214 1.41418 -0.000008 1.41431 0.000263 1.41425 0.000061

a korijen te linearne funkcije g(x), x = , se uzima kao sljedea aproksimacijakorijena nelinearne jednaine f(x) = 0. S obzirom na linearnu interpolacijunelinearne funkcije, ova metoda se jo naziva i linearna interpolaciona metoda.

x

f(x)

b

f(b)

f(c)

f(a)

ac=x1

c=x2

Slika 2.5: Grafika interpretacija metode regula falsi

Grafika interpretacija metode regula falsi data je na slici 2.5. Kao to se saslike vidi, linearna funkcija g(x), koja aproksimira funkciju f(x), ima korijen utaki c = x1. Na taj nain, poetni interval (a, b) se dijeli na dva podintervala(a, x1) i (x1, b). Vrijednost take x1 se moe lako odrediti pomou jednaineg(x) i uslova g(x1) = 0, tj.

g(b) g(x1) = g(b) g(a)b a (b x1) (2.4)

19


S obzirom da je g(a) = f(a) i g(b) = f(b), te g(x1) = 0, slijedi:

f(b) =f(b) f(a)

b a (b x1) (2.5)

i konano:

x1 = b b af(b) f(a)f(b) (2.6)

Koji od ova dva intervala,(a, x1) i (x1, b), sadri korijen jednaine, odreujese na isti nain kao u metodi polovljenja intervala, a zatim se proces ponavlja.Algoritam metode regula falsi moe se predstaviti na sljedei nain:

xi = b b af(b) f(a)f(b) (2.7a)

Ako je f(a)f(xi) < 0 : a = a, b = xi (2.7b)Ako je f(xi)f(b) < 0 : a = xi, b = b (2.7c)Ako je f(a)f(xi) = 0 : dobiva se rjeenje = xi (2.7d)

Proces se nastavlja dok se ne postigne eljena tanost, tj.

|b a| 1 i/ili |f(xi)| 2 (2.8)Metoda regula falsi je neto bra od metode polovljenja intervala, ali ne dajeunaprijed veliinu greke. Ipak, i ova metoda je mnogo sporija od metoda kojeslijede.

Primjer 2.2

Problem iz primjera 2.1 rijeiti metodom regula falsi. Postupak rjeavanjazaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije,, bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Postupak rjeavanja metodom regula falsi je vrlo slian rjeavanju metodompolovljenja intervala, s tom razlikom to se sljedea aproksimacija rjeenja nekejednaine ne izraunava kao srednja vrijednost krajeva intervala, nego pomoujednaine (2.6).

Ako kao poetni interval, u kojem se nalazi korijen jednaine f(x) = x22,uzmemo (a, b) = (1, 2), bie:

x1 = b b af(b) f(a)f(b) = 2

2 12 (1)2 = 1.333333

20

2.3. Metode na otvorenom intervalu

f(x1) = f(1.333333) = 0.222222 < 0S obzirom da je f(x1) < 0 i f(b) > 0 rjeenje se nalazi u podintervalu(x1, b) = (1.333333, 2), i stavljamo da je a = x1. Postupak ponavljamo nanovom intervalu (a, b) = (1.333333, 2), tj.

x2 = b b af(b) f(a)f(b) = 2

2 1.3333332 (0.222222)2 = 1.4

f(x2) = f(1.4) = 0.04 < 0pa je novi podinterval u kojem se nalazi korijen zadate jednaine (a, c) =(1.4, 2).

Postupak se ponavlja dok se ne postigne eljena tanost. U Tabeli 2.2sumarno su dati rezultati prorauna.

Tabela 2.2: Uz primjer 2.2Iteracija a f(a) b f(b) c |xi xi1|

1 1 -1 2 2 1.333333 -2 1.333333 -0.222222 2 2 1.4 0.0666673 1.4 -0.04 2 2 1.41176 0.0117654 1.41176 -0.00692 2 2 1.41379 0.0020285 1.41379 -0.0011891 2 2 1.41414 0.0003486 1.41414 -0.000204 2 2 1.4142 0.00006


2.3 Metode na otvorenom intervalu

2.3.1 Metoda proste iteracije

Metoda proste iteracije (jo se naziva i iteracija pomou fiksirane take) rjeavajednainu f(x) = 0 preureivanjem u oblik x = g(x), a zatim traenjem vri-jednosti x = takvom da je = g(), to je ekvivalentno jednakosti f() = 0.Vrijednost x za koju je x = g(x) se naziva fiksna taka relacije x = g(x) odaklei proizilazi drugo ime metode. U principu, ova metoda simultano rjeava dvijefunkcije: x(x) i g(x). Taka presjecita ove dvije funkcije predstavlja rjeenjejednaine x = g(x), a time i jednaine f(x) = 0. Metoda je grafiki predstav-ljena na slici 2.6.

Poto je funkcija g(x) takoer nelinearna, rjeenje se mora nai iterativno.Poetna aproksimacija x1 se odreuje intuitivno, a zatim se uvrtava u funkciju

21


x

y

xi xi+1

Slika 2.6: Grafika interpretacija metode proste iteracije

g(x) kako bi se dobila vrijednost sljedee aproksimacije. Algoritam je datsljedeom rekurzivnom formulom:

xi+1 = g(xi) (2.9)

Procedura se ponavlja dok se ne zadovolji kriterij konvergencije, kao naprimjer:

|xi+1 xi| 1 i/ili |f(xi+1)| 2 (2.10)Problem konvergencije ove metode moe se posmatrati na sljedei nain.

Neka je x = rjeenje neke jednaine f(x) i e = x greka rjeenja. Oduzi-majui izraz = g() od jednaine (2.9) dobija se:

xi+1 = ei+1 = g(xi) g() (2.11)Funkcija g() izraena Taylorovim redom oko take xi ima oblik:

g() = g(xi) + g()( xi) + . . . (2.12)

gdje je xi . Zanemarujui lanove vieg reda u jednaini (2.12), terjeavajui za [g(xi) g()] i uvrtavajui dobijeni rezultat u jednainu (2.11),dobija se:

ei+1 = g()ei (2.13)

22


Ova jednaina se moe koristiti za ocjenu da li je metoda konvergentna iline, i ako jeste koja ja brzina konvergencije. Da bi bilo koji iterativni postupakbio konvergentan treba biti ispunjen sljedei uslov:

ei+1ei

= |g()| < 1 (2.14)

Dakle, metoda proste iteracije je konvergentna samo ako je |g()| < 1. Akoovaj uslov nije ispunjen procedura divergira. U sluaju kada je uslov ispunjen,a vrijednost |g()| blizu 1.0, konvergencija je veoma spora. S obzirom dametoda nekada radi, a nekada ne, nije preporuljiva za rjeavanje nelinearnihjednaina. Iz jednaine (2.14) se, takoer, vidi da je konvergencija linearna,tj. prvog reda tanosti.

Primjer 2.3

Na primjeru rjeavanja jednaine f(x) = x2 x 2 = 0 pokazati upotrebumetode proste iteracije - traiti pozitivno rjeenje jednaine.

Rjeenje

Kao to je reeno u prethodnom poglavlju, metoda iteracije se zasniva naalgoritmu koji je dat jednainom (2.9). Na taj nain, jednaina f(x) = x2 x 2 = 0 se moe prikazati na jedan od sljedeih naina:

x = x2 2 (2.15a)x = x + 2 (2.15b)x = 1 +

2

x(2.15c)

x = x +x2 x 2

2x 1 (2.15d)Svaka od ovih jednaina prolazi kroz traeno rjeenje, kao to je pokazanona slici 2.7. Meutim, sljedea analiza pokazuje da svaka od jednaina nekonvergira prema datom rjeenju.

Posmatrajmo prvo jednainu (2.15a). S obzirom da je metoda proste itera-cije metoda na otvorenom intervalu, potrebna je samo jedna poetna aproksi-macija, na primjer x0 = 3. Prvih nekoliko iteracija daje:

x1 = g(x0) = 32 2 = 7

Za konvergentnu metodu se kae da je k-tog reda tanosti ako vrijedien+1

ekn= const. 6= 0

23


x

y

0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1

f x=x

g x = + /x

g x = x -

g x =x -x-

x / 2x-

g x =x -

Slika 2.7: Mogui oblici jednaine f(x) = x2 x 2 pri raunanju metodom prosteiteracije

x2 = g(x1) = 72 2 = 47

x3 = g(x2) = 472 2 = 2207

. . .

Vidi se da iterativni postupak divergira, s obzirom da je svaka sljedea vrijed-nost vea od prethodne. Ako se pogleda vrijednost prvog izvoda funkcije g(x),dobija se:

|g(x)| = 2|x| > 1 za |x| > 12

Dakle, uslov za konvergenciju (2.14) nije ispunjen.Ako sada ponovimo postupak sa jednainom (2.15b), imamo:

x1 = g(x0) =

3 + 2 = 2.236

x2 = g(x1) =

2.236 + 2 = 2.058

x3 = g(x2) =

2.058 + 2 = 2.0014

x4 = g(x3) =

2.014 + 2 = 2.0004

. . .

Kako se moe vidjeti, iterativni postupak konvergira ka rjeenju = 2, to je

24


bilo i za oekivati s obzirom da je uslov konvergencije (2.14) ispunjen, tj.

|g(x)| = 12

x + 2< 1 za x > 7

4

Na slian nain mogu se analizirati i preostale dvije jednaine (2.15c) i(2.15d).

2.3.2 Newtonova metoda

Newtonova metoda (naziva se i Newton-Raphsonova metoda) je jedna od naj-poznatijih i najefikasnijih procedura u cijeloj numerikoj analizi. Metoda uvi-jek konvergira ako je poetna aproksimacija dovoljno blizu rjeenju. Za razlikuod prethodne metode, konvergencija Newtonove metode je kvadratna.

Grafika interpretacija metode data je na slici 2.8. Prvi korak metode jelokalna aproksimacija funkcije f(x) pomou linearne funkcije g(x) koja pred-stavlja tangentu funkcije f(x) u taki M0. Rjeenje jednaine g(x) = 0, x1,predstavlja sljedeu aproksimaciju rjeenja jednaine f(x) = 0.

x

f(x) M0

x0

x1

M1

M2

x2

Slika 2.8: Grafika interpretacija Newtonove metode

Kako bismo izveli algoritam za Newtonovu metodu, postavimo sljedeu re-laciju:

f (x) =f(xi+1) f(xi)

xi+1 xi (2.16)Newtonova metoda se ponekad naziva i metoda tangente.

25


Rjeenje ove jednaine za xi+1, pri emu je f(xi+1) = 0, daje:

xi+1 = xi f(xi)f (xi)

(2.17)

to predstavlja rekurzivnu formulu za Newtonovu metodu.Jednaina (2.17) se ponavlja dok se ne zadovolji jedan od ili oba kriterija

konvergencije:

|xi+1 xi| 1 i/ili |f(xi+1)| 2 (2.18)Newtonova metoda se moe dobiti i direktno iz Taylorovog niza, ako se

zanemare lanovi vieg reda, tj.

f(xi+1) = f(xi) + f(xi)(xi+1 xi) + . . . (2.19)

i konano


Konvergencija Newtonove metode se moe odrediti na sljedei nain. Jedna-ina (2.17) predstavlja jednainu oblika:

xi+1 = g(xi) (2.20)

pri emu je funkcija g(x) data sa:

g(x) = x f(x)f (x)

(2.21)

Stoga, Newtonova metoda predstavlja specijalni sluaj metode proste iteracijei konvergira ako je ispunjen uslov

|g()| 1 xi (2.22)Diferenciranjem jednaine (2.21) dobijamo:

g(x) = 1 f(x)f (x) f(x)f (x)

[f (x)]2=

f(x)f (x)[f (x)]2

(2.23)

Kako za korijen jednaine vrijedi x = i f() = 0, time je i g(x) = 0, pa jeuslov (2.22) zadovoljen, a metoda je konvergentna.

Brzina konvergencije se moe odrediti ako se od obje strane jednaine (2.17)oduzme , i sa e = x oznai greka. Na taj nain se dobija:

xi+1 = ei+1 = xi f(xi)f (xi)

= ei f(xi)f (xi)

(2.24)

26


Razvojem funkcije f(x) u Taylorov red, i zanemarujui lanove iznad drugogreda, za x = vrijedi:

f() = f(xi) + f(xi)( xi) + 1

2f ()( xi)2 = 0 xi (2.25)

Ako sada izraz (2.25) uvrstimo u jednainu (2.24), pri emu je f() = 0,dobijamo:

ei+1 = ei f (xi)ei 12f ()e2i

f (xi)=

1

2

f ()f (xi)

e2i (2.26)

S obzirom da za i , xi ,f (xi) f (),f (xi) f () imamo:

ei+1 =1

2

f ()f ()

e2i (2.27)

Posljednja jednaina jasno pokazuje da je Newtonova metoda metoda ta-nosti drugog reda, tj. kvadratna, to u praksi znai da se sa svakom iteracijomudvostruava broj znaajnih cifara. Ipak, veoma je vano da uslov (2.22) budeispunjen, te da poetna aproksimacija bude to blie rjeenju, poto se moedogoditi da procedura konvergira prema nekom drugom korijenu (rjeenju).Ova metoda ima odline osobine za lokalnu konvergenciju, ali globalna konver-gencija moe biti slaba zbog zanemarivanja viih lanova Taylorovog reda.

Meutim, Newtonova metoda ima i nedostataka, jer je za neke funkcijevrlo teko analitiki izraunati prvi izvod, a za neke funkcije to uopte nijemogue. Osim toga, moe se desiti da u toku iterativnog procesa prvi izvodbude jednak nuli, ime ne bi bilo mogue nastaviti postupak rjeavanja. Utakvim sluajevima koriste se neke druge metode, kao to je modifikovanaNewtonova metoda ili metoda sjeice.

Primjer 2.4

Problem iz primjera 2.1 rijeiti Newtonovom metodom. Postupak rjeavanjazaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije,, bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Algoritam za rjeavanje neke nelinearne jednaine Newtonovom metodomdat je jednainom (2.16). Ako se u datu jednainu uvrsti da je f (x) = 2x,dobija se poznata jednaina za izraunavanje korijena broja 2:


= xi x2i 22xi

27


xi+1 =1

2

(xi +

2

xi

)(2.28)

Slino metodi proste iteracije, i za Newtonovu metodu je potrebna samo jednapoetna aproksimacija. Ako sada kao poetnu aproksimaciju uzmemo x0 = 3za prve dvije iteracije imamo:

x1 =1

2

(x0 +

2

x0

)=

1

2

(3 +

2

3

)= 1.83333

x2 =1

2

(x1 +

2

x1

)=

1

2

(1.83333 +

2

1.83333

)= 1.46212

Tabela 2.3 daje rezultate svih iteracija.

Tabela 2.3: Uz primjer 2.4Iteracija xi |xi xi1|

0 3 -1 1.83333 1.166672 1.46212 0.3712123 1.415 0.0471234 1.41421 0.0007855 1.41421 2.18e-7

Iz tabele se vidi da je rjeenje koje zadovoljava zadatu tanost, = 1.41421,dobiveno ve u petoj iteraciji, ali i tanost od 106 se postie u istoj iteraciji.Ovo pokazuje koliko je, u stvari, Newtonova metoda brza. Jedini problemje konvergencija prema traenom rjeenju, poto se moe desiti da rjeenjekonvergira prema nekom drugom korijenu. U ovom sluaju bilo koja poetnavrijednost x0 < 0 konvergirala bi prema drugom korijenu zadate jednaine, tj.2 =

2.

2.3.3 Modifikovana Newtonova metoda

U sluajevima kada izraunavanje prvog izvoda funkcije uzima mnogo raun-skog vremena, moe se koristiti modifikovana Newtonova metoda. Ovdje suumjesto izraunavanja prvog izvoda funkcije u svakoj iteraciji, moe uzeti daje vrijednost prvog izvoda u svim iteracijama jednaka vrijednosti prvog izvodaiz prve iteracije, tj.

f (xn) = f (x0) (n = 1, 2, . . .) (2.29)

28


pa jednaina (2.17) dobija oblik:

xi+1 = xi f(xi)f (x0)

(2.30)

Grafika interpretacija modifikovane Newtonove metode data je na slici 2.9.Iz slike se jasno vidi da je nagib funkcije g(x) jednak za sve take Mi (i =0, 1, . . .).

x

f(x) M0

x0

x1

M1 M2

x2

M2

x3 x3

Slika 2.9: Grafika interpretacija modifikovane Newtonove metode

Primjer 2.5

Problem iz primjera 2.1 rijeiti modifikovanom Newtonovom metodom. Po-stupak rjeavanja zaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvijeuzastopne iteracije, , bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .

Rjeenje

Ova metoda se ni u emu ne razlikuje od prethodne osim to se umjestoraunanja vrijednosti f (x) za novu aproksimaciju, koristi ona iz poetne ite-racije, tj. u jednaini (2.16) uvijek je f (x) = f (x0). Na taj nain, rekurzivnaformula glasi:

xi+1 = xi x2i 22x0

(2.31)

I u ovom sluaju koristimo samo jednu poetnu aproksimaciju, na primjer

29


x0 = 3, uz f (x0) = 2x0 = 6. Za prve dvije iteracije dobija se:

x1 = x0 x20 22x0

= 3 32 26

= 1.83333

x2 = x1 x21 22x0

= 1.83333 1.833332 2

6= 1.60648


Tabela 2.4: Uz primjer 2.5Iteracija xi |xi xi1|

0 3 -1 1.83333 1.166672 1.60648 0.2268523 1.50968 0.096797...

......

12 1.41437 0.00013613 1.41429 0.000072

Rjeenje se dobiva u 13. iteraciji i iznosi = 1.41429.

2.3.4 Metoda sjeice

U sluajevima kada je nemogue analitiki odrediti prvi izvod neke funkcije,metoda sjeice (sekante) predstavlja alternativu Newtonovoj metodi. Metodaje grafiki data na slici 2.10. Nelinearna funkcija f(x) se lokalno aproksimirapomou linearne funkcije g(x), koja je sjeica funkcije f(x), a njen korijen sekoristi kao poboljana aproksimacija korijena funkcije f(x). S obzirom da jesjeica prava linija koja prolazi kroz dvije take krive f(x), za iniciranje metodeneophodne su prve dvije aproksimacije, x0 i x1. Pri tome se izmeu njih moeali i ne mora nalaziti korijen jednaine f(x) = 0.

Vrijednost prvog izvoda u jednaini (2.17) je dat sa:

f (x) =f(xi) f(xi1)

xi xi1 (2.32)

pri emu je

f(xi+1) = 0 (2.33)

30


x

f(x) M0

x0

x1

M1

M2

x2

M3

x3

Slika 2.10: Grafika interpretacija metode sjeice

Uvrtavajui prethodne jednakosti u jednainu 2.17, dobija se:

xi+1 = xi xi xi1f(xi) f(xi1)f(xi) (2.34)

Jednaina (2.34) se koristi dok se ne zadovolji jedan od ili oba kriterija konver-gencije (2.18).

Moe se pokazati da je brzina konvergencije reda 1.62, to je mnogo bre odlinearne konvergencije proste iteracije, ali i neto sporije od kvadratne brzinekonvergencije Newtonove metode. Iz jednaina (2.17) i (2.34) se, takoer, vidida je za proraun Newtonovom metodom neophodno izraunati vrijednostif(x) i f (x), dok je za metodu sjeice potrebno izraunati samo f(x). Takoerse moe pokazati da ako je vrijeme potrebno za izraunavanje vrijednosti f (x)oko 43% vee od onog za proraunavanje vrijednosti f(x), metode sjeice jeefikasnija od Newtonova metode.

Primjer 2.6

Problem iz primjera 2.1 rijeiti metodom sjeice. Postupak rjeavanja zausta-viti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije, , budemanja od 104, tj. |xi+1 xi| < .

31


Rjeenje

I pored toga to predstavlja varijantu metode proste iteracije, za ovu metodusu potrebne dvije poetne aproksimacije rjeenja, pri emu se rjeenje moeali i ne mora nalaziti izmeu njih. Ako kao poetne aproksimacije uzmemox0 = 4 i x1 = 3, i koristimo jednainu (2.34), za prve dvije iteracije se dobija(koriste se indeksi 2 i 3, s obzirom da su indeksi 0 i 1 rezervisani za poetneaproksimacije):

x2 = x1 x1 x0f(x1) f(x0)f(x1) = 3

3 47 147 = 2

x3 = x2 x2 x1f(x2) f(x1)f(x2) = 2

2 32 72 = 1.6


Tabela 2.5: Uz primjer 2.6Iteracija xi1 f(xi1) xi f(xi) |xi xi1|

1 4 14 3 7 12 3 7 2 2 13 2 2 1.6 0.56 0.44 1.6 0.56 1.444444 0.086412 0.1555565 1.44444 0.086412 1.41606 0.005221 0.0283866 1.41606 0.005221 1.41423 0.000055 0.0018257 1.41423 0.000055 1.41421 3.6e-8 0.00002


2.4 Problemi u numerikom rjeavanju nelinearnih jed-naina

I pored dobrih osobina, metode koje su opisane u prethodnim poglavljimaimaju i neke zajednike nedostatke. Neki od tih nedostataka su:

1. Nedovoljno dobra poetna aproksimacija - jedan od najeih nedostatakaovih metoda. Ona moe da dovede do pronalaenja pogrenog korijena,spore konvergencije, pa ak i divergencije. Jedini nain da se rijei ovajproblem je dobra poetna aproksimacija. Jedan od naina da se to pos-tigne je ocjena rjeenja pomou grafikog prikaza funkcije, ili inkremen-talno pretraivanje sa malim korakom.

32

2.5. Pitanja i zadaci

2. Konvergencija prema pogrenom korijenu

3. Korijeni koji su blizu jedan drugom - Korijeni koji su blizu jedan drugommogu da predstavljaju problem pri numerikom rjeavanju, s obzirom dainterval u kojem se nalaze moe biti suvie mali da bi se moglo odreditiu kojem intervalu se nalaze. Dilema se moe rijeiti ako se povea graffunkcije, ili se smanji korak pri inkrementalnom traenju korijena.

4. Mnogostruki korijeni - Iako se u prethodnom tekstu nije pominjalo njihovotraenje, mnogostruki korijeni se mogu nai koristei Newtonovu metodu,ali je problem u tome to se ne zna da li i gdje isti postoje. Grafikoprikazivanje i inkrementalno traenje korijena mogu pomoi, ali to nijezagarantovano.

5. Take infleksije - Korijeni u taki infleksije mogu odvesti procedure trae-nja daleko od traenog korijena, mada dobra poetna aproksimacija moepomoi.

6. Kompleksni korijeni - Kompleksni korijeni ne predstavljaju nikakav pro-blem ako se zna da isti postoje. Na primjer, Newtonova i metoda sjeicelako mogu nai kompleksne korijene, koristei kompleksnu aritmetiku ikompleksnu poetnu aproksimaciju. Meutim, ako se kompleksni korijenine oekuju, i koristi se samo aritmetika sa realnim brojevima, kompleksnikorijeni se ne mogu nai. Jedan od rjeenja ovog problema je koritenjeBairstowove metode kvadratnih faktora.

7. Loe postavljena nelinearna jednaina - Loe postavljena jednaina moepredstavljati veliki problem prilikom traenja korijena jednaine. Najboljipristup ovom problemu je koritenje raunara sa veom tanou.

8. Spora konvergencija - Problem spore konvergencije se moe rijeiti boljompoetnom aproksimacijom ili promjenom metode traenja korijena.

Bez obzira na nedostatke i mogue probleme, veina problema u inenjer-stvu se moe rijeiti nekom od opisanih metoda bez veih potekoa, tako dase svakom problemu moe pristupiti sa optimizmom.

2.5 Pitanja i zadaci

1. Objasniti postupak lokalizacije nula!

2. Kako se izvodi inkrementalno pretraivanje?

33


3. Objasniti koncept poboljanja rjeenja!

4. Navesti metode na zatvorenom intervalu!

5. Navesti metode na otvorenom intervalu!

6. Objasniti metodu polovljenja intervala! Navesti prednosti i mane.

7. Objasniti metodu regula falsi! Navesti prednosti i mane.

8. Objasniti postupak koritenja metode proste iteracije! Dati uslov za ko-nvergenciju metode proste iteracije.

9. Objasniti Newtonovu metodu, te navesti njene prednosti i mane!

10. Objasniti modifikovanu Newtonovu metodu! Procijeniti brzinu konver-gencije.

11. Objasniti metodu sekante!

12. Metodom polovljenja intervala rijeiti sljedee jednaine:

a) f(x) = x cos(x) = 0 poetni interval (0.5, 1),b) f(x) = ex sin(x/3) = 0 poetni interval (3.5,2.5),c) f(x) = ex 2x 2 = 0 poetni interval (1, 2),d) f(x) = x3 2x2 2x + 1 = 0 poetni interval (0, 1).Proraun u ovom i ostalim zadacima zaustaviti kada apsolutna vrijed-nost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije bude manja od 104, ako todrugaije ne bude zadato.

13. Jednaine iz zadatka 12 rijeiti metodom regula falsi.

14. Jednainu f(x) = ex (3x + 2) = 0, rijeiti metodom proste iteracije zasljedea tri oblika date jednaine: x = ex (2x + 2), x = (ex 2)/3 ix = ln(3x + 2). Kao poetnu iteraciju koristiti x0 = 1.

15. Jednainu a) iz zadatka 12 rijeiti Newtonovom metodom. Za poetnuaproksimaciju uzeti x0 = 1.

16. Newtonovom metodom nai najvei pozitivni korijen jednaine f(x) =x3 5x + 1. Ispitati ovisnost rjeenja o izboru poetne aproksimacije.

17. Jednainu b) iz zadatka 12 rijeiti modifikovanom Newtonovom metodom.

18. Rijeiti jednainu d) zadatka 12 koristei metodu sjeice. Kao prve dvijeaproksimacije koristiti x0 = 0 i x1 = 1.

34

2.5. Pitanja i zadaci

19. U nekom od programskih jezika napisati program za rjeavanje nelinearnihjednaina koristei:

a) metodu polovljenja intervala,b) metodu regula falsi,c) metodu proste iteracije,d) Newtonovu metodu,e) modifikovanu Newtonovu metodu,f) metodu sjeice.

20. Newtonova metoda se moe koristiti i za traenje kompleksnih korijenapolinoma. U ovom zadatku potrebno je nai sva korijene jednaine f(x) =x4 1 ako se kao poetne aproksimacije uzmu sljedee vrijednosti: 2, 2,2i i 2i.

21. Ispitati ovisnost rjeenja o izboru poetne aproksimacije za sluaj iz pret-hodnog zadatka. Rezultate prikazati u kompleksnoj ravni. Dozvoljenoje koristiti i komercijalne softvere (MathCAD, MATLAB, Mathematica,itd.)

22. Van der Valsova jednaina za stanje vodene pare glasi:(P +

a

v2

)(v b) = RT (2.35)

gdje je P pritisak u Pa, v specifina zapremina u m3/kg, T temperaturau K, R gasna konstanta (R=461.495 J/kgK), a a i b su empirijske kons-tante sa sljedeim vrijednostima za vodenu paru: a=1703.28 Pa(m3/kg)2i b=0.00169099 m3/kg. Jednaina (2.35) se moe prikazati u obliku:

Pv3 (Pb + RT )v2 + av ab = 0 (2.36)Izraunati specifinu zapreminu v za P=10000 kPa i T=800K. Kao po-etnu aproksimaciju koristiti zakon za idealni gas Pv = RT . Zadatakrijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

23. Jednaina pada pritiska pri proticanju tenosti kroz cijev krunog popre-nog presjeka data je sljedeom empirijskom formulom:

P = 0.5fV 2(

L

D

)(2.37)

gdje je P pad pritiska u Pa, specifina gustoa u kg/m3, V brzina um/s, L i D duina i prenik cijevi, a f koeficijent trenja. Postoji veliki

35


broj formula za izraunavanje koeficijenta trenja u zavisnosti od Raynol-dsovog broja za razliite reime proticanja tenosti. Pri tome Raynoldsovbroj je dat izrazom Re=DV /, gdje je viskoznost tenosti u Pas. Zaproticanje u turbulentnom reimu za sluajeve od potpuno glatke do vrlogrube povrine cijevi razvijena je sljedea formula:

1f

= 2 log(

/D

3.7+

2.51

Re

f

)(2.38)

gdje je hrapavost povrine cijevi. Rijeiti f za cijev sa /D = 0.001, teRe=10n i n = 4, 5, 6. Kao poetnu aproksimaciju koristiti jednakost:

f = 0.16Re0.16 (2.39)

Zadatak rijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

24. Problem raunanja kritinog optereenja grede izloene izvijanju pri emuje donji dio ukljeten, a gornji sa pokretnim osloncem, svodi se na rjea-vanje jednaine:

tg(pl) = pl (2.40)

Nai vrijednost kritine duine lkr, u zavisnosti od l, ako za kritino op-tereenje vrijedi:

Pkr = p2EI =

2EI

l2krtj. lkr =

p(2.41)

S obzirom da jednaina (2.40) ima beskonano mnogo rjeenja, nai naj-manje od njih. Zadatak rijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje neli-nearnih jednaina.

25. Plovak u obliku sfere radijusa r, izraen od materijala specifine gustoep, pluta u tenosti specifine gustoe t. Izraunati do koje dubine eplovak potonuti, ako je p/t = k = 0.6 i r = 5.5 cm.Zadatak se svodi na rjeavanje nelinearne jednaine:

x3 3rx2 + 4kr3 = 0 (2.42)gdje je x traena dubina (izvesti jednainu (2.42)). Zadatak rijeiti bilokojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

36

Documents

Primjenjena matematika i statisktika