PROBABILIDADE

3. PROBABILIDADENotas de Aulas - 2012Prof: Msc. Luiz Carlos Pereira JuniorAVISOSNo haver aula na semana que vem (motivo viagem) Ser encaminhada uma lista no e-mail da sala Avaliao j foi corrigida. Resposta das questes alternativa DTpicos a serem abordados1 ETAPA:

O Princpio Fundamental da Contagem Permutao ou Arranjo Combinao

2 ETAPA:

Eventos Espaos amostrais Probabilidade O Princpio Fundamental da ContagemDEFINIO1. Se um evento ocorrer de m maneiras e um segundo evento ocorrer de n maneiras, o nmero de maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em sequencia m*n. (pode ser estendido para um nmero qualquer de eventos)

Exemplo: Voc est comprando um carro novo e tem de decidir entre 3 fabricantes, 2 tamanhos e 4 cores diga de quantas maneiras diferentes voc pode escolher o carro?

Fabricante: Ford GM e ToyotaTamanho: Pequeno mdioCor: Branco vermelho preto - verdeO Princpio Fundamental da ContagemDIAGRAMA DE RVORES

O Princpio Fundamental da ContagemMAIS EXEMPLOS...

1. O cdigo de acesso do sistema de segurana de um carro consiste em quatro dgitos, cada um entre 0 e 9. Quantos cdigos de acesso so possveis se:

a. Cada dgito pode ser usado somente uma vez e no repetido?

b. Cada dgito pode ser repetido?O Princpio Fundamental da ContagemMAIS EXEMPLOS...

2. Quantas placas de automvel voc pode fazer considerando que uma placa consiste de trs letras e quatro dgitos?

Sem repetio

Com repetio

Permutao DEFINIO 2: Uma permutao um arranjo ordenado de objetos. O nmero de permutaes diferentes de n objetos diferentes n! (l-se n fatorial).

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)* ... * 4*3*2*1

0! = 1 (caso especial)1! = 1 2! = 2*1 = 23! = 3*2*1 = 64! = 4*3*2*1 = 24

Permutao Permutao o mesmo que troca/alternncia de posio. Observe as permutaes possveis com as letras das seguintes palavras: (anagramas so palavras formadas pela troca de posio entre as letras)

OI OI e IO 2! = 2*1 = 2

OL OL OL LO LO LO e OL 3! = 3*2*1 = 6

VOC ...... 4! = 4*3*2*1 = 24

BALDE ....... 5! = 5*4*3*2*1 = 120Permutao EXEMPLOS:

A fila inicial para um time de beisebol tem nove jogadores. De quantas maneiras diferentes pode-se definir a ordem dos batedores?

Determine o nmero de maneiras de formar cdigos com trs dgitos, sem que os dgitos sejam repetidos?

Permutao PERMUTAO DISTINGUVEL

O nmero de permutaes distinguveis de n objetos, sendo n1 de um tipo, n2 de outro tipo, e assim por diante, :

Exemplo: De quantas maneiras DISTINGUVEIS podemos arranjar as letras AAAABBC ? (ATENO PARA O TERMO DISTINGUVEL)

AAAABBC; AAAABBC; AAAABBC; ........ (PERMUTAO NO DISTINGUVEL)

Permutao PERMUTAO DISTINGUVEL

EXEMPLO1: Um empreiteiro planeja realizar uma obra. A obra consiste em seis casas de um pavimento, quatro casas de dois pavimentos e duas casas de trs pavimentos. De quantas maneiras as casas podem ser arranjadas?

EXEMPLO2: Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?

Combinao Suponha que voc queira comprar trs CDs de uma seleo de cinco. De quantas maneiras voc pode fazer sua seleo?

CDs: A, B, C, D e E.

OPES DE SELEO: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Podemos observar que no caso da combinao a ordem no importa (a escolha ABC a mesma que BCA, logo temos apenas 10 maneiras de fazermos nossa escolha).

Combinao DEFINIO3: Uma combinao uma seleo de r objetos de um grupo de n objetos, sem que tenha importncia a ordem denotada por . O nmero de combinaes de objetos selecionados em um grupo de n objetos :

Poderamos enumerar as possibilidades de maneira lusitana ou utilizarmos a frmula. Vejamos!!!

Exemplo dos CDs: n = 5 e r = 3. Fazendo os clculos temos que = 10

Combinao ExemplosUm departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seo de uma estrada interestadual e recebe 16 propostas para o projeto. O Estado planeja contratar 4 das companhias que fizeram ofertas. Quantas combinaes diferentes so possveis?

O administrador de um departamento de contabilidade deseja formar um comit assessor de trs pessoas a partir das dez pessoas de seu departamento. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

Combinao ExemplosUm departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seo de uma estrada interestadual e recebe 16 propostas para o projeto. O Estado planeja contratar 4 das companhias que fizeram ofertas. Quantas combinaes diferentes so possveis?

O administrador de um departamento de contabilidade deseja formar um comit assessor de trs pessoas a partir das dez pessoas de seu departamento. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

EXERCCIOS Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponvel 3 tipos de arroz, 2 de feijo, 3 de macarro, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente no pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opo de cadaalimento?No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa formada por trsletras e quatro algarismos. Quantas placas onde o nmero formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?Quantos so os nmeros naturais de dois algarismos que so mltiplos de 5?Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calar utilizando um par de meias e um de sapatos?De quantas formas podemos dispor as letras da palavraFLUORde sorte que a ltima letra seja sempre a letraR?Quantos nmeros naturais com3algarismos podemos formar que no comecem com16, nem com17?

EXERCCIOS 7. So quantos os nmeros mpares com trs algarismos, que no possuem dgitos repetidos e que de trs para frente tambm so mpares?8. Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo coloc-las em um tubo acrlico translcido e incolor, onde elas ficaro umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?9. Dos nmeros distintos que so formados com todos os algarismos do nmero 333669, quantos desses so mpares?10. So quantos os nmeros mpares com trs algarismos, que no possuem dgitos repetidos e que de trs para frente tambm so mpares?

2 ETAPA: Experimentos/ Espaos Amostrais/EventosSuponha que uma moeda seja lanada uma vez e o resultado seja cara (face da moeda voltada para cima). Esse resultado chamado observao ou medida, e o processo de observao chamado de um experimento.

DEFINIO1: Um experimento probabilstico um ato ou um processo de observao que conduz a um nico resultado que no pode ser predito com certeza.

DEFINIO2: Um espao amostral o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento probabilstico.

DEFINIO3: Um evento consiste em um ou mais resultados e um subconjunto do espao amostral.

Experimentos/ Espaos Amostrais/Eventos Exemplo: Experimento probabilstico: jogar um dado de seis facesEspao amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} cada nmero dito ponto amostralEvento: obter um nmero par {2, 4, 6}

Exerccio1: Descreva o espao amostral de um experimento probabilstico que consiste em jogar uma moeda e um dado de seis faces.

Conceitos Bsicos de Probabilidade Agora que j sabemos o que um experimento, um espao amostral e um evento, podemos discutir as probabilidades de um ponto amostral do espao amostral.

Probabilidade o mesmo que chance, possibilidade. Est associada DECISO

Por exemplo: O meteorologista afirma que h uma chance de 60% de chover. O mdico diz que h 5% de chance de sucesso em uma cirurgia. Eles esto estabelecendo a chance, ou probabilidade de um evento especfico ocorrer.

Conceitos Bsicos de Probabilidade A probabilidade de um ponto amostral um valor entre 0 e 1, esse valor mede a probabilidade/chance de um resultado acontecer quando o experimento executado.

O que esse grfico me diz? Que ao lanar uma moeda um nmero muito grande de vezes, veremos que a chance de ocorrer cara ou coroa de 50% ou .

Porm, para alguns experimentos ns podemos ter pouca ou nenhuma informao sobre a frequencia de ocorrncia dos pontos amostrais. Qual o sucesso de um investimento empresarial? Depende de uma srie de fatores, neste caso, tenho uma ideia da ocorrncia de Sucesso ou Fracasso, por meio de outras fontes. Conceitos Bsicos de Probabilidade A probabilidade de um ponto amostral um valor entre 0 e 1, esse valor mede a probabilidade/chance de um resultado acontecer quando o experimento executado.