Universita di Torino

Laurea Triennale in Informatica

Elementi di Probabilita e Statistica Corso ACalcolo delle Probabilita e Statistica (LT 509, Sistemi e Reti)

Prova scritta del 11/06/2012

TEST [5pt]

Il seguente test e parte integrante della valutazione della prova scrittad’esame. Le risposte corrette ad ogni domanda possono essere in numerovariabile da 0 a 4. Per ogni quesito occorre rispondere Vero [V] oppure Falso[F].

Quesito 1. In un test di ipotesi nulla H0, sappiamo che il p-value (p deidati) e 0,023. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono sicuramenteverificate:

1.a (V) (F) si rifiuta H0 al livello di significativita α = 0, 05;

1.b (V) (F) si rifiuta H0 al livello di significativita α = 0, 025;

1.c (V) (F) non si ha evidenza tale da rifiutare H0 al livello di significativitaα = 0, 05;

1.d (V) (F) con le informazioni in nostro possesso non e possibile stabilire nulla allivello di significativita α = 0, 030.

Quesito 2. Dato il seguente campione di dati: | 2 | 2, 5 | 5 | 5 | 5, 5 | 7 | 9 |11 | 18 |,il valore 5 rappresenta:

2.a (V) (F) la media campionaria;

2.b (V) (F) la moda;

2.c (V) (F) la deviazione standard;

2.d (V) (F) la mediana;

Quesito 3. Dati gli eventi A, B, entrambi con probabilita non nulla, stabilirequali delle seguenti affermazioni sono sicuramente verificate:

1

3.a (V) (F) P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac)

3.b (V) (F) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc);

3.c (V) (F) A ∩B = ∅ ⇒ A, B indipendenti;

3.d (V) (F) P (A ∩B) = P (A)P (B).

Quesito 4. Sappiamo che l’intervallo di confidenza al livello di fiducia 0, 995per il parametro µ e (0, 30 ; 0, 65). Stabilire quali delle seguenti affermazionisono sicuramente verificate:

4.a (V) (F) vi e il 99, 5% di probabilita che sia 0, 30 < µ < 0, 65;

4.b (V) (F) La probabilita che sia µ ≥ 0, 65 e pari 0, 0025;

4.c (V) (F) la probabilita che µ ∈ (0, 11; 0, 80) e approssimabile con 1;

4.d (V) (F) Costruendo intervalli di confidenza con la stessa procedura utilizzataper quello indicato nel testo, nel 99, 5% dei casi otterremo un intervalloche contiene µ.

Quesito 5. Data la variabile aleatoria normale X ∼ N (1000; 25), stabilirequali delle seguenti affermazioni sono sicuramente verificate:

5.a (V) (F) V ar(5X) = 125;

5.b (V) (F) P (X−100025

< 0) = 0, 5;

5.c (V) (F) P (X−10005

> 0) = 0, 5;

5.d (V) (F) V ar(X + 1000) = 25.

Esercizio 1. (10 pt) La probabilita che in un azienda il sistema dicontrollo A scarti un pezzo prodotto e pari a 0, 3%. Tale probabilita scendea 0, 2% per il sistema di controllo B. I 2/3 dei pezzi prodotti vengono avviatial sistema di controllo A, i restanti al B. Sapendo che la ditta produce 3000pezzi in una giornata lavorativa, calcolare:a) la probabilita che in un giorno di lavoro il sistema A scarti piu di 6 pezzi;b) la probabilita che la ditta veda scartare in un giorno di lavoro piu di 6pezzi;

2

c) un pezzo e stato scartato, calcolare la probabilita che sia stato controllatodal sistema A.

Solo per gli studenti di Calcolo delle Probabilita e Statistica (LT509)d) Calcolare la probabilita che il primo pezzo scartato dal sistema A sia il ildecimo controllato;e) il sistema A ha gia controllato 2000 pezzi senza scartarne alcuno, calcolarela probabilita che ne controlli ancora 10 per avere il primo scarto .

Esercizio 2.(10pt)Il peso dei pacchetti di caffe prodotti da una ditta ha distribuzione nor-

male, il peso dichiarato dal produttore e 0, 25Kg. Da un carico di 1000pacchetti viene estratto un campione di 10, da cui si ottiene peso mediocampionario 245g con deviazione standard campionaria 3g

a) calcolare l’intervallo di confidenza al 99% per il peso medio reale deipacchetti di caffe .

b) Si respinge il carico se in base al campione selezionato il peso mediorisulta inferiore a quello dichiarato dal produttore. Stabilire al livello disignificativita 5% se il carico verra respinto.

Esercizio 3.(7pt)In seguito a conservazione prolungata in ambiente secco, con umidita

relativa inferiore al 30%, su un campione di 15 pacchetti si e riscontrato pesomedio campionario 240g e deviazione standard campionaria 4g. Si assumeche la varianza rimanga la stessa in tutte le condizioni di umidita.

a) Assumendo che il campione considerato nell’esercizio precedente siaraccolto in ambiente normale, stabilire al livello di significativita 5% se laconservazione in ambiente secco provoca una diminuzione di peso.

Soluzione.Test. Affermazioni vere: 1.a, 1.b; 2.b; 3.a, 3.b; 4.d; 5.c, 5.d .Esercizio 1. Consideriamo le v.a. e gli eventi:

• A: il pezzo viene inviato al controllo A;

• B: il pezzo viene inviato al controllo B;

• S: il pezzo viene scartato;

• XA: numero di pezzi scartati dal controllo A;

• XB: numero di pezzi scartati dal controllo B;

3

• X: numero di pezzi scartati.

In una giornata di lavoro nA = 2000 pezzi sono inviati al controllo A conprobabilita di essere scartati pA = 0, 003 e nB = 1000 al controllo B, conprobabilita di essere scartati pB = 0.002 Poiche i pezzi sono prodotti tuttiindipendentemente l’uno dall’altro, possiamo considerare XA e XB come vari-abili di Poisson

• XA ∼ P0(λA), dove λA = nApA = 2000 · 0, 003 = 6;

• XB ∼ P0(λB), dove λB = nBpB = 1000 · 0, 002 = 2;

dunque

• P (XA = k) = e−λAλk

A

k!, P (XB = k) = e−λB

λkB

k!,

per ogni k = 0, . . .

• P (A) = 23, P (B) = 1

3

Si ottiene allora:

a)P (XA > 6) = 1− P (XA ≤ 6) = 1− e−λA

∑6k=0

λkA

k!=

1− 2, 5 · 10−3(1 + 6 + 362

+ 2166

+ 129624

+ 7776120

+ 46656720

) = 0, 39 ∼ 39% .

b) Calcoliamo come sopra:

P (XB > 6) = 1− P (XB ≤ 6) = 1− e−λB∑6

k=0λk

B

k!=

1− 1, 35(1 + 2 + 42

+ 86

+ 1624

+ 32120

+ 64720

) = 0, 008 ∼ 0, 8% .

Dunque applicando il Teorema delle Probabilita Totali si ha:

P (X > 6) = P (X > 6|A)P (A) + P (X > 6|B)P (B)

= P (XA > 6)P (A) + P (XB > 6)P (B) = 0, 39 · 23

+ 0, 008 · 13

= 0, 263 ∼ 26, 3% .

c) Applicando la formula di Bayes si ottiene:

P (A|S) =P (S|A)P (A)

P (S|A)P (A) + P (S|B)P (B)=

0, 003 · 23

0, 003 · 23

+ 0, 002 · 13

= 0, 74 ∼ 74% .

Consideriamo ora la v.a.Y : numero di pezzi prodotti per avere il primo scartato.

4

Dai dati in nostro possesso si verifica che Y e v.a. geometrica di parametrop = 0, 003, Y ∼ G(0, 003), con densita P (Y = k) = 0, 003 · (0, 997)k−1,k = 1, 2, . . . .

d) P (Y = 10) = 0, 003 · 0, 9979 = 0, 003 ∼ 0, 3% .

e) Poiche la v.a. geometrica gode di assenza di memoria si ha:

P (Y = 2010|X > 2000) = P (X = 10) = 0, 003 ∼ 0, 3% .

Esercizio 2. Poiche e dichiarato che il peso dei pacchetti segue distribuzionenormale, nonostante la taglia limitata del campione e possibile calcolarel’intervallo di confidenza e impostare il test di ipotesi utilizzando la dis-tribuzione t di Student con n− 1 gradi di liberta. Dati:

• taglia del campione n = 10; livello di confidenza 1− α = 0, 99;

• dev.st. campionaria s = 3 g; media campionaria x = 245 g,

da cui tα2;n−1 = t0,005,9 = 3, 250.

a) per il calcolo dell’intervallo di confidenza per la media utilizziamo la for-mula: µ = x± E dove

E = tα2

,n−1s√n

= 3, 2503

3, 16= 3, 08 .

Concludiamo che con livello di confidenza 99% si ha µ ∈ (241, 92 ; 248, 08) .

b) ipotesi da verificare: ”il peso medio e inferiore a 250 g”.Ipotesi nulla: H0 : µ = 250, ipotesi alternativa H1 : µ < 250, livello di signi-ficativita α = 0, 05. Si tratta di un test a una coda sinistra. Livello di crit-icita tα;n−1 = t0,05;9 = 1, 833. Statistica di test t = x−250

s/√

n= 245−250

3/√

10= −5, 268.

Poiche t < −tα;n−1, si rifiuta l’ipotesi nulla H0 al livello di significativita 5%

(dunque si rifiuta il carico al livello di significativita 5%).Esercizio 3. Si tratta di un test di confronto tra medie in presenza o menodi ambiente secco. Indichiamo con A lo stato di ambiente normale (datiesercizio precedente) e B lo stato di ambiente secco. E’ dichiarato che, puressendo ignote, le varianze sono uguali nei due stati.Dati

• xA = 245 g, sA = 3 g, n = 10

• xB = 240 g, sB = 4 g, m = 15

5

H0 : µA = µB; H1 : µA > µB. Test a una coda destra.Livello di criticita: tα,n+m−2 = t0,05,23 = 1, 714.

Varianza interpolata: s2p =

(n−1)s2A+(m−1)s2

B

n+m−2= 9·9+14·16

23= 13, 26.

Statistica di test: t = xA−xB√s2p(1/n+1/m)

= 3, 34.

Poiche t > t0,05;23, si rifiuta l’ipotesi nulla H0 al livello di significativita 5% .

Ossia si afferma al livello di significativita 5% che l’esposizione ad ambientesecco riduce il peso.

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