Problemas.de.Geometria.diferencial.clasica

7/28/2019 Problemas.de.Geometria.diferencial.clasica

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Problemas de Geometra Diferencial Clasica, Grupo B, 2004-2005

1.- a) Sean p = (p1, p2) y q = (q1, q2) dos puntos distintos de IR2. Encontrar la expresion

de una curva parametrizada, , cuya traza sea la recta que pasa por p y por q. Para cadat0

IR, calcular la expresion de la recta tangente a en t0.

b) Sea P(a) la parabola de ecuacion y = ax2, esto es, P(a) = {(x, y) IR2; y = ax2}.Encontrar la expresion de una curva parametrizada cuya traza sea P(a). Para cadat0 IR calcular la expresion de la recta tangente a en t0. Dibujar las parabolas paralos valores de a {2, 1, 12 , 0, 12 , 1, 2}. En la parabola con a = 1, dibujar las rectastangentes en t0 = 1, t0 = 2.

2.- Sea E(a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E(a,b) = {(x, y) IR2; x2

a2+ y

2

b2= 1}.

a) Demostrar que (t) = (a cos t, b sen t) es una curva parametrizada cuya traza es laelipse E(a,b) y encontrar la condicion necesaria y suficiente para que los numeros realest0, t1 verifiquen (t0) = (t1).

b) Para cada t0

IR calcular la recta rt0 {

(t0

) + (t0

);

IR}

. Demostrar quesi (t0) = (t1) entonces

(t0) = (t1), y por tanto, para cada p E(a,b) podra definirse

la recta tangente en p como cualquiera de las rectas rt0 , con t0 IR tal que (t0) = p.c) Dibujar las elipses para los valores a = 1, b = 2; a = 1, b = 4; a = 2, b = 1. Dibujar

tambien en alguna de ellas las rectas tangentes en t = 0, t = 4 , t =2

.d) Encontrar una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro

p IR2 y radio a > 0.3.- A continuacion tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cadatraza lo es de alguna de las tres curvas, asocia a cada curva su traza dando un razonamientoconvincente:

a) (t) = (t 2sen t, 1 2cos t),b) (t) =

e

t

20 cos t, et

20 sen t

,

c) (t) =

cos t1+sen 2t

, sen t cos t1+sen 2t

.

(3)

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

(1)

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5-1

1

2

3

(2)

-1 -0.5 0.5 1

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1


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4.- Encontrar una parametrizacion de la cicloide, es decir la curva que describe un puntode una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta.

5.- Lo mismo para las epicicloides e hipocicloides. La epicicloide es la curva que describe unpunto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre otra circunferencia por fuera;

la hipocicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobreotra circunferncia por dentro.

6.- Se considera la curva parametrizada : IR IR2, definida por la expresion (t) =sen t, 12 sen2t

, para todo t IR.

a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no simple.b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [0, 2] es cerrada.c) Escribe la ecuacion de la recta tangente en un punto t0 [0, 2] arbitrario. En-

cuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical.d) Calcula las rectas tangentes en t0 = 0 y en t0 = 2, y demuestra que ambas

coinciden. Calcula la recta tangente en t0 = .Coincide con la anterior? Tiene sentido

hablar de la recta tangente a la traza en (0, 0)?e) Dibuja la traza de la curva .

7.- Sea : IR IR2 la curva parametrizada definida, para todo t IR, por la expresion(t) = ((1 + cos t)cos t, (1 + cos t)sen t).

a) Demuestra que restringida a [, ] es una curva cerrada. Se trata de una curvaregular? Considera, para cada t [, ], la recta que pasa por (0, 0)(= () = ())y (t). Cual es el lmite de estas rectas cuando t ? Y cuando t ? Teniendo encuenta esto, tendra sentido hablar de la recta tangente a en (0, 0)?

b) Calcula la curvatura con signo de esta curva parametrizada.

c) Demuestra que restringida a [, ] es una curva cerrada simple.d) Calcula la longitud de restringida a [, ].La curva se denomina cardioide y su traza es:

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

8.- Demostrar que, dada una recta del plano, existen exactamente tres puntos de la car-dioide con recta tangente paralela a ella. Ademas, los radios vectores que unen el verticecon estos puntos forman angulos de 120o.

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11.- Se considera la curva parametrizada : IR IR2, dada por la expresion (t) =(sen t, 12 sen2t, t), para todo t IR. Su imagen esta dibujada abajo, a la derecha.a) Calcula la expresion general del vector tangente unitario y la expresion particular parat = 0 y t =

2. Dibuja estos vectores.

b) Calcula el triedro de Frenet en t =

2 y dibuja en la traza de la curva dicho triedro.Dibuja tambien los planos normal, osculador y rectificante en este punto.

c) Calcula (t) (t) Es una curva 2-regular? Si no es 2-regular, encuentra unintervalo maximal que contega a 2 donde la curva lo sea y a partir de ahora considera larestriccion a dicho intervalo.

d) Encuentra la expresion general de la curvatura k(t) y de la torsion (t).

Nota.- La curva forma parte de una familia de curvas a(t) = (sen t,12

sen2t,at) algunasde las cuales tienes dibujadas mas aba jo; todas ellas son helices cuya proyeccion en el planohorizontal es la figura ocho que ya conoces de practicas anteriores.

a=0.1

a=0.2

a=0.4 a=0.6

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12.- Sea c una curva parametrizada regular cuyas rectas normales coinciden con las rectasbinormales de otra curva c(t) = c(t) +(t)e2(t). Demostrar que, a lo largo de c, la funcion

kk2+2

es constante.

13.- Sea c: I IR3 una curva parametrizada regular. Se dice c es una curva de Bertrandsi existe una curva c

(t) = c(t) + (t)e2(t) tal que, para todo t, las rectas normales de cen t y de c en t coinciden.

a) Demostrar que toda curva plana es de Bertrand.b) Sea c una curva parametrizada regular cuya curvatura y torsion son distintas de cero

en todo punto. Demostrar que c es curva de Bertrand si y solo si existen numerosreales a, b, con a = 0, tales que ak + b = 1.

14.- Se dice que una curva parametrizada regular en IR3 es una helice cilndrica, o simple-mente una helice, si sus rectas tangentes forman un angulo constante con alguna direccionfija (llamada eje de la helice).

a) Suponiendo que la curvatura y la torsion de c son distintas de cero en todo punto,

demostrar que c es una helice si y solo si k/ es constante.b) Demostrar que la curva parametrizada regular definida por c(t) = (at,bt2, t3), con a

y b constantes, es una helice cilndrica si y solo si 4b4 = 9a2; cual es el eje en estecaso?

15.- Demostrar que si todas las rectas tangentes a una curva parametrizada regular pasanpor un punto fijo, su traza esta contenida en una recta.

16.- Demostrar que si todas las rectas normales principales de una curva parametrizada2-regular pasan por un punto fijo, su traza esta contenida en una circunferencia.

17.- Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva parametrizada 2-regular

tienen un punto comun, la curva es plana.

18.- Sea c la proyeccion ortogonal de una helice c sobre un plano perpendicular al eje dela helice. Demostrar que e2 es paralelo a e2 y que k

= k cosec 2(), donde es el angulo(constante) entre e1 y el eje de la helice.

19.- Parametrizacion del elipsoide de tres ejes. Sean a,b,c numeros reales positivos. Elelipsoide de semiejes a,b,c es el subconjunto de IR3 dado por

E(a,b,c) =

(x,y,z) IR3 ; x

2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

.

Demuestra que E(a,b,c) es una superficie regular. Construye una carta de E(a,b,c) basandoteen la parametrizacion geografica de la esfera y en que la aplicacion : IR3 IR3 dada por(x,y,z) = (ax,by,cz) es un difeomorfismo tal que (S2) = E(a,b,c).

20.- Utiliza la carta geografica de la esfera para calcular el plano tangente y comprobarque en cada punto es ortogonal al vector posicion. Tienen los elipsoides tambien estapropiedad?

21.- Demostrar que si c es una curva parametrizada regular cuya traza esta contenida enuna esfera de radio r, entonces la curvatura k de c satisface k > 1/r.

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22.- Sea S2 = {(x,y,z) | (x,y,z) IR3 y x2 + y2 + z2 = 1}, la esfera de radio 1 ycentro el origen de coordenadas de IR3. Se consideran las parametrizaciones X: U1 S2y X: U2 S2, donde

U1 = (0, 2)

(

/2, /2), X(u, v) = (cos v cos u, cos v sen u, sen v),

U2 = {(x, y) | (x, y) IR2 y x2 + y2 < 1}, X(x, y) = x,y,1 x2 y2 .Comprueba que el punto p = (3/4,

3/4, 1/2) esta en la imagen de ambas parametriza-

ciones.

a) Calcula las bases del plano tangente a S2 en p, TpS2, dadas por las parametriza-

ciones X y X. Comprueba que, efectivamente, ambas bases generan el mismo plano.b) Calcula las aplicaciones cambio de coordenadas: X1 X y X1 X.

23.- Sea v IR3 un vector unitario, Suna superficie regular en IR3 y h: S IR la aplicaciondefinida por h(p) =< v, p >, para todo p

S. Comprobar que h es diferenciable y calcular

dhp(w), w TpS.24.- a) Sea W IR3 un abierto y sea f : W IR una funcion diferenciable; podemosdefinir una aplicacion diferenciable grad f: W IR3 por la expresion:

grad f =

f

x,

f

y,

f

z

.

Demuestra que si a IR es un valor regular de f y S = f1(a) entonces, para todop S, grad f(p) es un vector no nulo ortogonal al plano tangente en p a la superficie, TpS.

b) Demuestra que si una superficie se obtiene por el Teorema del valor regular, es

orientable.

c) Sea G: V IR una funcion diferenciable definida en un abierto V de IR3 quecontiene a S, y sea g la restriccion de G a S. Encuentra una condicion necesaria, enterminos de grad f, para que g tenga en un punto p de S un maximo o un mnimo local.(g tiene en p un maximo (resp. mnimo) local si existe un entorno V1 de p en S tal quepara todo p perteneciente a V1, g(p) g(p) (resp. g(p) g(p)).)

d) Halla los posibles maximos y mnimos de la funcion g: S2 IR tal que, para todo(x,y ,z) S2, g(x,y,z) = 2x2 + y z2.25.- Parametrizacion estereografica de la esfera.

Como ya sabes, la proyeccion estereografica : U = S2

{n} IR2

, definida por laexpresion:

(x,y,z) =

x

1 z ,y

1 z

,

es un homeomorfismo. Demuestra que su inversa X: IR2 S2 es una carta de la esfera S2cuya imagen es el abierto U. La expresion de X es como sigue:

X(u, v) =

2u

1 + u2 + v2,

2v

1 + u2 + v2,

u2 + v2 11 + u2 + v2

.

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26.- Calcula los coeficientes de la primera forma fundamental de S2 con respecto a la cartaestereografica X (ejercicio anterior) y utilzalos para calcular la longitud de las curvasCR: [0, 2] S2, definidas por CR(t) = X(R cos t, R sen t). Estas curvas son las imagenespor X de circunferencias De que curvas se trata? Dibuja la curva CR con R =

12 .

27.- Dibuja la imagen por la parametrizacion estereografica de una recta que pase por elorigen de IR2. Que longitud tiene esta curva? Utiliza la primera forma fundamental paracalcular esta longitud y comprobar as si la respuesta es correcta.

28.- Por construccion, la imagen por X de una recta es la interseccion, con la esfera, delplano determinado por dicha recta y el polo norte. Dados p y q en IR2, dibuja la imagen dela recta que pasa por p en la direccion del vector q. Suponiendo que p y q son ortogonalesy que q tiene modulo 1, calcula la longitud de la curva c(t) = X(p + tq), t IR.29.- Demuestra que para todo q IR2 la aplicacion dXq conserva los angulos.30.- a) Es el conjunto

{(x,y,z)

IR3; z = 0, y x2 + y2 < 1

}una superficie regular?

b) Es el conjunto {(x,y,z) IR3; z = 0, y x2 + y2 1} una superficie regular?31.- Se considera la parametrizacion X: ]0, 2[] 12 , 12 [ C del cilindro recto C de altura1 y radio 1, dada por la expresion

X(u, v) = (cos u, sen u, v).

Calcula el area de C.

32.- Se describe geometricamente la cinta de MobiusM como la superficie que se obtieneal hacer girar un segmento de recta alrededor de un eje, al tiempo que dicho segmento gira

180o en torno a su punto medio mientras describe el primer giro en torno al eje.Si se toma como eje de giro el eje Oz y un segmento de longitud 1, con centro a una

distancia 1 del eje, se puede tomar, para M, la carta

Y(u, v) =

cos u + v cosu

2cos u, sen u + v cos

u

2sen u, v sen

u

2

,

con (u, v) ]0, 2[ ] 12 , 12 [.a) Que parte de la cinta de Mobius queda sin recubrir por la carta Y?b) Se consideran, en el rectangulo ]0, 2[ ] 12 , 12 [ las rectas u = 2 , u = , u = 32 ,

v =

0.25, v = 0, v = 0.25. Dibuja las imagenes de estas rectas, por la parametrizacion

Y, en la cinta de Mobius.c) Calcula los coeficientes guv y gvv de la primera forma fundamental de la cinta de

Mobius, en la carta Y. El coeficiente guu tiene la expresion

guu = (1 + v cos(u

2))2 +

v2

4.

d) Escribe la integral que habra que calcular para obtener el area de la cinta deMobius.

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Calculando la integral anterior, por metodos numericos, se obtiene un valor apro-ximado de 6.353271. A la vista de estos resultados, puede ser esta cinta de M obius de lapractica la misma que la del modelo en papel?

e) Calcula la expresion del vector unitario normal a M en los puntos de la formaY(u, 0) y utilzala para demostrar que M no es orientable.

33.- Sea f(x,y,z) = z2. Demostrar que 0 no es un valor regular de f y que, aun as,f1(0) es una superficie regular.

34.- Sea S una superficie que viene dada como el grafo de una funcion diferenciable; estoes, S queda definida por la ecuacion z = h(x, y), donde h: U IR es C. Puede entoncesconsiderarse la carta X: U IR3 dada por X(u, v) = (u,v,h(u, v)).

Es facil comprobar que q U es un punto crtico de h si y solo si el plano tangente aS en p = X(q) es horizontal.

A partir de ahora supondremos que q U es un punto crtico de h y que en S se haconsiderado la orientacion determinada por la carta X.

a) Calcula las expresiones del operador de Weingarten en p (o sea, d Np) y de lasegunda forma fundamental en p. (Ayuda: Las derivadas que tienes que calcular son del

tipo F(0) con F(t) = f(t)a(t)

donde a es una funcion que cumple a(0) = 1 y a(0) = 0; por

lo tanto se tiene que F(0) = f(0).)b) Encuentra la condicion necesaria y suficiente para que p sea elptico y para que p

sea hiperbolico.

35.- a) Demuestra que en el paraboloide de ecuacion z = x2 + y2 el punto p = (0, 0, 0) esun punto elptico.

b) Calcula las curvaturas principales, las direcciones principales y las asintoticas en p.

c) Demuestra que todos los puntos de S estan a un mismo lado del plano afn tangentea S en p.

36.- a) Demuestra que en el paraboloide hiperbolico de ecuacion z = x2 y2 el puntop = (0, 0, 0) es un punto hiperbolico.

b) Calcula las curvaturas principales, direcciones principales y direcciones asintoticasen este punto. Dibuja las direcciones principales y las direcciones asintoticas.

c) Demuestra que en cualquier entorno de p hay puntos de la superficie a ambos ladosdel plano afn tangente a S en p.

37.- Sea S una superficie que viene dada como la grafica de una funcion diferenciable; estoes, z = h(x, y). Demuestra que entonces la curvatura de Gauss tiene la expresion

hxxhyy h2xy(1 + h2x + h

2y)

2.

38.- En las condiciones del problema 34,a) Demuestra que, si p es un punto elptico, existe un entorno de p en S tal que todos

sus puntos estan al mismo lado del plano tangente a S en p; esto es, existe un entorno

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donde o bien todos los puntos tienen su tercera coordenada mayor que la de p o bien todosellos la tienen menor.

b) Demuestra que, si p es un punto hiperbolico, en cualquier entorno de p hay puntosde la superficie a ambos lados del plano tangente a S en p.

c) Demuestra que no se cumple el recproco de ninguno de los dos resultados anteriores;

en concreto, encuentra ejemplos de puntos parabolicos y de puntos planos para los queexista un entorno de p en S tal que todos sus puntos esten al mismo lado del plano tangentea S en p y encuentra, tambien, ejemplos de puntos parabolicos y de puntos planos paralos que en cualquier entorno de p haya puntos de la superficie a ambos lados del planotangente a S en p.Ayuda: En los apartados a) y b) puedes utilizar el desarrollo de Taylor y para el apartadoc) puedes considerar los grafos de las funciones z = x4 y2, z = x4 y4.39.- Sea S una superficie minimal (H = 0) ninguno de cuyos puntos es plano. Que anguloforma una direccion asintotica con una principal?

40.- Sea S una superficie de curvatura de Gauss negativa tal que sus dos direccionesasintoticas son perpendiculares. Demostrar que S es minimal.

41.- Sea : I IR3 una curva parametrizada cuya traza esta contenida en el plano z = 0,esto es, (u) = (x(u), y(u), 0). Si : I IR3 toma el valor constante (u) = (0, 0, 1),la superficie reglada X(u, v) = (u) + v (u) se denomina cilindro recto sobre y si(u) = (0, 0, 1) (u) la superficie se denomina cono sobre de vertice (0, 0, 1). (En estecaso X se considera definida solo para v menor que 1).

En el caso particular de la curva (u) = (u, u3, 0), dibuja ambas superficies, calculala curvatura de Gauss, la curvatura media y las curvaturas principales del cilindro sobre y la curvatura de Gauss del cono sobre .

42.- El hiperboloide de ecuacion x2 + y2 z2 =1 es tambien una superficie reglada: X(u, v) =(cos u, sin u, 0) + v( sin u, cos u, 1). Calcula la cur-vatura de Gauss y la curvatura media utilizandola parametrizacion X. En los puntos de la inter-seccion con el plano z = 0 calcula tambien las cur-vaturas principales, la segunda forma fundamentaly las direcciones principales. Representalas en eldibujo.

43.- Demuestra que el paraboloide hiperbolico (z = x2 y2) admite la siguiente para-metrizacion reglada:

X(u, v) = (u, 0, u2) + v(1, 1, 2u).

Calcula la curvatura de Gauss utilizando la parametrizacion X y comprueba que, en todopunto del paraboloide hiperbolico, el valor de la curvatura de Gauss, en ese punto, obtenido

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utilizando esta parametrizacion coincide con el que se obtiene utilizando la formula delejercicio 36.

44.- Demuestra que una condicion necesaria para que una superficie regular sea minimales que todos sus puntos sean hiperbolicos o llanos.

45.- Se considera la superficie de revolucion, S, generada por la curva (v) = (r(v), 0, v),al girar alrededor del eje Oz, siendo r(v) > 0.

a) Encuentra la ecuacion diferencial que debe satisfacer la funcion r para que lasuperficie sea minimal.

b) Comprueba que la solucion general de esa ecuacion es r(v) = 1c1

cosh(c1(v + c2)).c) La superficie de revolucion resultante, (para c1 = 1, c2 = 0) se denomina catenoide

y la tienes dibujada mas abajo. Calcula sus curvaturas principales.

46.- La superficie de Enneper puede ser parametrizada como

X(u, v) = (u u3

3 + uv

2

, v v3

3 + vu

2

, u

2

v2

).

Sin necesidad de calcular explcitamente todos los valores, demuestra que guv = 0, guu =gvv , Luv = 0, Lvv = Luu y que, por tanto, es una superficie minimal.47.- La superficie de Scherk puede ser parametrizada por

Y(u, v) = (u,v, log cos v log cos u)),

con (u, v) ] 2

, 2

[] 2

, 2

[. Demuestra que se trata de una superficie minimal.

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-10

0

10

-10

0

10

-5

0

5

-10

0

10

-1

0

1

-1

0

1

-2

0

2

-1

0

1

10


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48.- Demostrar que en un punto hiperbolico las direcciones principales son bisectrices delos angulos formados por las direcciones asintoticas.

49.- Demostrar que si una superficie regular es tangente a un plano a lo largo de unacurva, entonces los puntos de esta curva son parabolicos o planos.

50.- Sea C una curva regular contenida en una superficie regular S con curvatura de GaussK > 0. Demostrar que la curvatura k de C en un punto p satisface

k min(|k1|, |k2|),

donde k1 y k2 son las curvaturas principales de S en p.

51.- Sea S una superficie regular cuyas curvaturas principales k1, k2 satisfacen la condicion|k1| 1, |k2| 1 en todos los puntos. Es cierto que la curvatura k de una curva de Ssatisface tambien que k 1?

52.- Supongase que los planos osculadores de una lnea de curvatura C S, que no estangente en ningun punto a una direccion asintotica, forman un angulo constante con losplanos tangentes a S a lo largo de C. Demostrar que C es una curva plana. [Demostrar lasotras dos variantes: Si C es plana y el angulo citado es constante, entonces C es lneade curvatura, y si C es lnea de curvatura plana, entonces ese angulo es constante.]

53.- Sean S1 y S2 superficies que se cortan a lo largo de una curva regular C, entonces lacurvatura k de C en p C esta dada por

k2 sen 2 = 21 + 22 212 cos ,

donde 1 y 2 son las curvaturas normales en p, a lo largo de la recta tangente a C, de S1y S2, respectivamente, y es el angulo que forman los vectores normales a S1 y S2 en p.

54.- Demostrar que toda superficie compacta tiene algun punto elptico.

55.- Demostrar que si todas las rectas normales a una superficie conexa pasan por unpunto, la superficie esta contenida en una esfera (superficie esferica).

56.- Calcular las lneas asintoticas y las lneas de curvatura de la helicoide, cuya parametri-zacion esta dada por

X(u, v) = (v cos u, v sen u, u),

para (u, v) IR2

.57.- Se consideran la catenoide y la helicoide, con las parametrizaciones siguientes:

a) Catenoide: para (u, v) U1 =]0, 2[IR,

X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v).

b) Helicoide: para (u, t) U2 =]0, 2[IR,

Y(u, t) = (t cos u, t sen u, u).

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