Procjenjivanje parametara2par

Procjenjivanje parametara osnovnog skupa

PROCJENA SREDINE OSNOVNOG SKUPA

1

2

Pretpostavi li se da se iz beskona ne populacije (skupa vrijednosti

slu ajne varijable X) biraju svi mogu i uzorci n, tada:

n

n

n

xxx

xxx

xxx

21

21

21

vrijednosti koje su izabrane na prvo mjesto u svakom

uzorku ine skup vrijednosti slu ajne varijable X1 koja

ima istu distribuciju vjerojatnosti kao varijabla X iz

osnovnog skupa.

1X

3

n

n

n

xxx

xxx

xxx

21

21

21

Sli no, vrijednosti koje su izabrane na drugo mjesto u svakom

uzorku ine skup vrijednosti slu ajne varijable X2 koja ima istu

distribuciju vjerojatnosti kao varijabla X iz osnovnog skupa itd.

2X nX

4

nXXX ,,, 21

opisuje se n izbora vrijednosti varijable X u slu ajni

uzorak. Te su varijable me usobno nezavisne (jer su pojedini

izbora nezavisni) i imaju istu distribuciju vjerojatnosti

kao i slu ajna varijabla X.

Procjenitelj od definira se kao aritmeti ka sredina

varijabli iz uzorka, tj:

n

XXXX n21

Distribucija procjenitelja zove se sampling

distribucija aritmeti kih sredina uzoraka.

5

n

xxxx n21

je procjena jednim brojem nepoznate sredine .

O vrijednost od X

n

nXEXE

n

XXXEnn

XXXEXE

n

nn

))()(((1

)(1

)()(

1

2121

6

Procjenitelj parametra za kojeg vrijedi:

)(E

zove se nepristrani procjenitelj . S obzirom da je

)(XE

procjenitelj sredine osnovnog skupa je nepristran.

Standardna devijacija sampling distribucije sredina

uzoraka zove se standardna . Ona

odstupanje sredina uzoraka od sredine osnovnog

skupa, odnosno pri procjeni sredine.

7

nn

nXVarXVarXVar

n

XXXVarn

n

XXXVarXVar

n

n

n

2

2

2

22

2

2

12

212

21

)()()(1

)(1

)()(

nx

8

OBLIK SAMPLING DISTRIBUCIJE ARITMETI KIH

SREDINA

Ako se slu ajni uzorak bira iz populacije normalnog oblika

(X N( 2) s poznatom varijancom, sampling distribucija e

biti normalna distribucija.

Bira li se slu ajni uzorak veli ine n>30 iz populacije

proizvoljna oblika, sampling distribucija aritmeti kih sredina

uzoraka e biti pribli no normalna.

Ako se slu ajni uzorak veli ine n, n

10

(Prvi je rezultat posljedica injenice da je linearna

kombinacija n me usobno nezavisnih normalno

distribuiranih slu ajnih varijabli normalno

distribuirana slu ajna varijabla, a drugi je posljedica

centralnog grani nog teorema)

Intervalna procjena od za zadanu pouzdanost procjene 1- ,

ako je uzorak izabran iz normalno distribuirane populacije s

poznatom standardnom devijacijom, odnosno ako je izabran

veliki uzorak dana je izrazom:

1)( 2/2/ xx zxzxP

11

pri emu je

aritmeti ka sredina uzorkax

ena

je s:

2/z je koeficijent pouzdanosti

x

1

)0.05

14

Ako je standardna devijacija osnovnog skupa nepoznata

zamjenjuje se svojom nepristranom procjenom:

1n

ns

s standardna devijacija uzorka.

Intervalna procjena pru a informaciju o vjerodostojnosti procjene.

(1- ) interval pouzdanosti (interval povjerenja) je interval koji e s

u (1- ) pokriti nepoznatu sredinu populacije.

PRIMJER 7.2.

15

3

8

3

27359

3

359

3

5313

3

35,3,1:

2222

3

1

2

2 iix

X

16

)(XE

PROCJENA NA OSNOVI MALOG

UZORKA

17

Uzorak je mali ako sadr i 30 ili manje opa anja.

Ako je distribucija populacije normalna s

nepoznatom varijancom ili je pribli no normalna,

sampling distribucija aritmeti kih sredina

uzoraka imat e oblik Studentove-distribucije s

n-1 stupnjeva slobode.

18

Ako je distribucija u osnovnom skupu normalnog oblika:

)1(~

slobode stupnjeva

1-n s jidistribucipripada varijancenepoznate procjena

varijablaanadistribuir normalno

);(~);(~

2

22

ntX

X

NXNX

x

x

19

n

x

n

xxxx

n

i

i

n 121 x ,

1)(2/2/ xx

txtxP

Procjena jednim brojem sredine populacije:

U ovom je izrazu koeficijent pouzdanosti, koji pripada

t-distribuciji s (n-1) stupnjeva slobode, a je standardna

procjene sredine, izrazom:

2/t

x

Intervalna procjena sredine uz pouzdanost (1- ), uzorkom iz

normalno distribuirane populacije s nepoznatom

standardnom devijacijom

20

1

Nn

N

nN

n

n

x

Nepoznata standardna devijacija osnovnog skupa procjenjuje

se pomo u standardne devijacije uzorka: , pri

emu je s oznaka za standardnu devijaciju uzorka.1n

ns

Primjer 8.4. -

95.0zxzxPx025.0x025.0

95.038732.096.170906.938732.096.170906.9P

25

38372.064

06977.3

06977.3

70906.9

64

n

x

n

x

95.046116.1095697.8P

Primjer 8.7.

odabranih razgovora iz evidencije 8967 razgovora

2 1 1 2 3 4 2 1 1 3

Pretpostavlja se da je trajanje pozivnih razgovora na centrali normalno distribuiran s nepoznatom

standardnom devijacijom. Odredite granice za

trajanje razgovora za osnovni skup. Pouzdanost je procjene: 95%, 90%.

26

Primjer 8.7. -

95.0025.0025.0 xx txtxP

95.0333333.0262.22333333.0262.22P

95.0754.2246.1P

27

0.33333310

1.054093

1.054093

2

10

n

x

n

x

Primjer 8.7. -

28

90.03333.0833.123333.0833.12P

90.0611.2389.1P

29

razini pouzdanosti procjene,

varijanci osnovnog skupa,

d

30

nx

31

nzd 2/

2

2/2

n

zd

2

2/

d

zn

32

0

00

00

00

2

2/

0

1050

050

Documents

Procjenjivanje parametara2par