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Productions d’élèves – Exemples de mise en œuvre – Commentaires – Partie 1

1) Sur l’activité : Nombre de saphirs d’un collier – 5ème

a) Sujet1

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ens de saphirs faudra t-il au bijoutier pour un collier qui comprend :

• 1 triangle ? • 2 triangles ? • 4 triangles ? • 7 triangles ? • 20 triangles ? • 75 triangles ?

2) Le bijoutier voudrait connaître à l’avance le nombre total de saphirs dont il a besoin pour n’importe quel collier ayant un nombre de triangles fixé.

Peux-tu l’aider ?

3) Le bijoutier a utilisé pour un collier 49 saphirs. De combien de triangles le collier était-il composé ?

4) Le bijoutier a utilisé pour un collier 358 saphirs. De combien de triangles le collier était-il composé ?

b) Commentaires concernant le déroulement de cette activité Lors du débat, le professeur a discuté avec les élèves de ce qui n’allait pas dans leur production et ils ont débattu ensemble des compétences acquises ou en cours d’acquisition (C1, C2, C3, C4). Le professeur a pris soin de valoriser, cibler ce qui était bien puis de voir avec eux ce qui n’allait pas. Après la phase de débat, le professeur a vu avec les élèves l’utilité du tableur pour résoudre les questions 3) et 4). Cela est une première approche des résolutions d’équations sans passer par la méthode « experte » (et donc dans « l’esprit du socle »)

1 Extrait modifié du livre Transmath - 5ème

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c) Productions d’élèves

Ici, les élèves passent d’un schéma à un raisonnement pour aller « plus vite » à partir de quatre triangles. (C3).

Ici, le professeur a débattu avec les élèves de ce qui n’allait pas (C4) même si le raisonnement était bon (C3).

Le professeur ici a discuté avec les élèves du « caractère générique » des calculs pour introduire le calcul littéral. Les élèves ont réussi à « inverser » les opérations mais le calcul est mal présenté (C4).

Copie d’un élève lors de la phase individuelle qui parle « d’opérations inverses ». L’élève a bien cerné le sens des opérations. Il a bien raisonné (C3). Les compétences du socle sont acquises. Il convient ensuite pour cette élève de donner des « équations » (en 4ème) qui ne sont plus « inversibles » afin qu’ils perçoivent l’intérêt des résolutions algébriques et l’insuffisance des méthodes arithmétiques à partir d’un certain degré de complexité.

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Copie intéressante d’un

élève « moyen » : Dans cette classe, deux travaux de groupe avaient déjà été effectués cette année et une narration de recherche. Cela a permis à cet élève moyen d’avoir des « repères » méthodologiques. La capacité C1 est bien acquise : « j’ai commencé par extraire les infos importante » (les élèves ont fait la recherche individuelle en cours. Sur le mur sont affichés les 7 piliers et les 4 compétences C1, C2, C3, C4. Quotidiennement, dans les cours, le professeur s’y réfère.) Cet élève a intégré la capacité C1 et les solutions proposées lors des narrations de recherche lui servent de repères, de méthodologie (« je me suis rappelé que pour la narration de recherche, on avait fait des dessins »). Ci-dessous, sa grille d’auto-évaluation. Cet élève s’est assez bien auto-évalué : Il perd en effet des points pour C4. Lorsque le professeur lui a parlé de sa copie, il pensait tout de suite que c’était pour en dire « du mal ». Le professeur a vraiment senti dans les yeux de cet élève une certaine satisfaction, de la fierté et une motivation à ce moment là.

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2) « Séquences déductives » en 5ème – Règles du débat mathématique

a) Sujet

La figure suivante est faite à main levée.

Pierre dit à Jade : « Je suis certain que les points A, B et E sont alignés ! » Jade lui répond : « Tu te trompes mon cher Pierre ! Ils ne le sont pas !»

Qui a raison ? Justifie ta réponse. Pour ta justification, tu pourras rédiger sous forme d’une narration de recherche : Tu pourras écrire tout ce que tu observes, tout ce que tu remarques, tout ce que tu es capable de dire en rapport avec cet exercice. Toute trace écrite comptera dans la notation.

Cet exercice a été donné en devoir à la maison. Il a pour but d’initier au raisonnement déductif et notamment de travailler sur la règle du débat mathématique : « Il ne faut pas se fier à ce que l’on voit sur une figure ». Cet exercice n’a pas été réussi par beaucoup d’élèves. Les élèves n’ont pas suivi la consigne et beaucoup se sont fiés au schéma où à la figure qu’ils avaient reproduite. Le point positif est venu lors de la correction et des résultats meilleurs ont été observés lors d’une évaluation sommative. (Voir c) et d)).

SOCLE COMMUN : Pilier 3 C1 C2 C3 C4

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b) Productions d’élèves � Elève 1

� Elève 2

Cet élève, d’un bon niveau n’a pas trouvé la réponse et s’interroge même sur l’utilité de cet exercice. Ce qui est intéressant est que lors de la correction, le professeur a montré ce qu’il fallait faire en suivant les quatre capacités (voir c)), l’élève a fait alors comme remarque : « mais en fait Monsieur, c’était trop facile cet exercice ! ». Là encore, le professeur a senti un intérêt pour la correction et une motivation à mieux faire lors du prochain exercice. Lors de l’évaluation sommative (voir d)), l’élève a d’ailleurs mieux fait même s’il n’est pas allé au bout du raisonnement.

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c) Phase de correction

Lors de cette phase, les élèves se sont rendu compte qu’il y a toujours quelque chose à faire dans un exercice. Ce qui semble avoir motivé au moins certains (cf. b)) dans la résolution d’un exercice.

Fiche de correction projetée aux élèves :

d) Prolongement – Evaluation sommative Le devoir à la maison a servi « d’évaluation formative ». Les élèves ont ensuite eu un exercice lors d’une évaluation « sommative » en devoir surveillé :

La figure suivante est faite à main levée. Les points A, B et E sont alignés.

Alexandre pense que l’angle C D est un angle droit. Es-tu d’accord avec Alexandre ? Justifie ta réponse. Tu pourras écrire tout ce que tu observes, tout ce que tu remarques, tout ce que tu es capable de dire en rapport avec cet exercice. Toute trace écrite comptera dans la notation

SOCLE COMMUN : Pilier 3 C1 C2 C3 C4

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Globalement, cela a été mieux que lors du devoir à la maison : pour la plupart, la capacité C1 a été acquise. Le progrès s’est fait en C2 : les élèves ont mis en œuvre des connaissances concernant les angles droits, les calculs d’angles. Tous ne sont pas arrivés cependant à la conclusion. La capacité C3 est « en cours d’acquisition » pour la classe pour cet exercice.

� Elève 1

Exemple d’un élève où la règle du débat : « une constatation sur un dessin ne suffit pas à prouver une propriété en géométrie » constitue un véritable obstacle qu’il faut travailler sur la durée. L’élève connaît son cours mais elle ne peut s’empêcher de faire confiance à son ancien mode de validation. La narration de recherche est ici un outil performant pour le professeur pour diagnostiquer les obstacles auxquels sont confrontés les élèves.

� Elève 2

Contrairement à l’élève 1, l’élève fait attention à ne pas se fier aux instruments de géométrie. Elle met en œuvre des connaissances (C2) mais fait encore des erreurs de raisonnement (C3).

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� Elève 3 et 4

Deux élèves qui mettent en place un raisonnement par l’absurde (C3). A noter que le premier élève est une élève ayant de faibles résultats. Son raisonnement est bon même si la présentation de la démarche (C4) peut être améliorée. � Elève 5

Cet élève (d’un très bon niveau) a eu l’initiative de rédiger l’exercice suivant les quatre capacités en repensant sûrement à la correction du devoir à la maison. Il est clair que pour une élève comme elle, il faut être ambitieux et ne pas s’arrêter au socle. L’intérêt ici est que cette approche de l’exercice par compétence a servi de plan « méthodique » dans la recherche et dans la mise en forme qui servira certainement à l’élève dans d’autres problèmes y compris dans d’autres matières. C’est d’ailleurs un des grands buts du socle commun : Transférer les compétences dans d’autres domaines.

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3) Sur une narration de recherche : Points sur un cercle et nombre de cordes – 4ème Cette narration de recherche a été donnée en début d’année (4ème). C’est un sujet classique sur les narrations de recherche concernant le nombre de cordes que l’on peut tracer lorsque l’on a placé un certain nombre de points sur un cercle. Le professeur a pu cibler avec les élèves les compétences acquises ou en cours d’acquisition. Les réponses de certains élèves ont permis au professeur de prolonger l’exercice sur l’utilisation du tableur. Ce qui est intéressant, c’est d’aborder un problème de plusieurs manières différentes, de diversifier les « entrées » sur un même problème. Cela permet le décloisonnement entre les différents « champs » du programme.

a) Sujet

Je place des points sur un cercle et je désire connaître le nombre de cordes (segments reliant

ces deux points) que je peux tracer en joignant deux quelconques de ces points.

Si j’ai 1 point, je peux tracer aucune corde.

Si j’ai 2 points, je peux tracer 1 corde.

Si j’ai 3 points, je peux tracer 3 cordes.

Si j’ai 4 points, je peux tracer 6 cordes.

1) Complète le tableau suivant :

Si j’ai… Je peux tracer :

5 points

6 points

7 points

12 points

20 points

108 points

2) Peux-tu connaître à l’avance le nombre maximum de cordes que tu peux tracer pour n’importe quel nombre de points placés sur le cercle ?

b) Productions d’élèves

Exemple d’un élève qui se rend compte du « décloisonnement » entre les différents champs du programme.

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Ici, la capacité C1 est clairement acquise

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Ces deux exemples ont permis ensuite d’exploiter le tableur et en montrer son intérêt. Les élèves ont ainsi vu qu’un problème de géométrie peut se résoudre avec l’aide des TICE. La 1ère copie était très intéressante : cet élève d’un niveau moyen a effectué une copie double de calculs pour trouver la réponse (qui est une amorce de la récurrence !). L’affichage de sa production permettra à cet élève de mesurer l’efficacité du tableur en espérant qu’il l’utilise la prochaine fois ! De plus, cela a permis au professeur de le valoriser concernant la capacité C3 et de lui indiquer qu’il fallait retravailler la capacité C4 car il n’y avait aucune explication.