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Prof. Ciro Incontro
Premessa
Eventi
Definizione classica di probabilità
I valori della probabilità
Insiemi ed eventi
Evento unione
Evento intersezione
Teorema della probabilità dell’evento contrario
Teorema della Probabilità Totale (eventi incompatibili)
Teorema della Probabilità Totale (eventi compatibili)
Teorema della Probabilità Condizionata
Teorema della Probabilità Composta (eventi indipendenti)
Teorema della Probabilità Composta (eventi dipendenti)
Calcolo delle ProbabilitàCalcolo delle ProbabilitàCalcolo delle ProbabilitàCalcolo delle Probabilità
Il calcolo delle probabilità nacque dagli studi dei matematici sui giochi d’azzardo. Il primo a interessarsi della ricerca di una legge che regolasse il gioco con i dadi fu Blaise Pascal. In questo campo si distinsero anche Eulero, Fermat e Bernoulli. Bisogna attendere però fino ai primi del XIX secolo, con Laplace, affinchè nel mondo matematico assuma importanza il calcolo delle probabilità, che Laplace riconobbe come un vero e proprio strumento scientifico. Le sue idee trovarono la più ampia conferma nel XX secolo con i grandi progressi realizzati in fisica quantistica.
Il calcolo delle probabilità si interessa di tutti quei fenomeni il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso. Si tratta dei cosiddetti fenomeni incerti, i quali non sono né certi né impossibili, ma qualcosa che si colloca fra gli uni e gli altri.
Il calcolo delle probabilità è quindi uno strumento che consente all’uomo di assumere un comportamento razionale di fronte all’incertezza.
Le definizioni di probabilità.Le definizioni di probabilità.
Dagli studi intrapresi dai matematici sui giochi d’azzardo ha origine, all’inizio dell’800, la Dagli studi intrapresi dai matematici sui giochi d’azzardo ha origine, all’inizio dell’800, la prima definizione di probabilità, denominata prima definizione di probabilità, denominata classicaclassica. In seguito si ebbero la definizione . In seguito si ebbero la definizione frequentistafrequentista, quella , quella soggettivasoggettiva e, per ultima, quella e, per ultima, quella assiomaticaassiomatica, dovuta principalmente a , dovuta principalmente a Kolmogorov.Kolmogorov.
È interessante osservare che tutte queste definizioni si basano sul concetto di È interessante osservare che tutte queste definizioni si basano sul concetto di eventoevento..
Evento.Evento.
Per evento si intende qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato.Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono maiverificarsi.Ci sono anche eventi che possono accadere, ma senza certezza.
Un evento si dice certocerto se si verifica sempre.Per esempioPer esempio, se da una scatola, che contiene soltanto palline nere, se ne estrae una a caso,siamo sicuri che essa è nera. Questo è un evento certo.
Un evento si dice impossibileimpossibile se non si verifica mai.Per esempioPer esempio, l’estrazione di una pallina nera da una scatola che contiene solo palline
biancheè un evento impossibile.
Un evento si dice incertoincerto se si verifica oppure no.Per esempioPer esempio, la vittoria di un atleta in una gara è un evento incerto, in quanto l’atleta può vincere o no.Altro esempioAltro esempio. Se una scatola contiene palline bianche e nere, l’estrazione di una pallinanera è un evento possibile ma non certo, cosi come l’estrazione di una pallina bianca.In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione ècasuale.
Altri esempi:
E1 = « nel lancio di un dado esce il 4 »
E2 = « nel lancio di una moneta esce croce »
La realizzazione di questi eventi dipende essenzialmente dal caso e, per questo motivo, essi
sono chiamati eventi casuali o aleatori.
Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto
in cui viene considerato.
EsempioEsempio.. L’evento « Maria vince alla lotteria »
è certo se Maria compra tutti i biglietti della lotteria,
è impossibile se non ne compra nemmeno uno,
è aleatorio se ne compra uno o più di uno, ma non tutti.
Dati due eventi E1 e E2 possiamo ottenere un evento composto mediante i connettivi logici
”ee” ee ”oo” ; oppure dato un evento E è possibile ottenere la sua negazione
(connettivo logico ”non”) come l’evento che si verifica se non si verifica E. La negazione
dell’evento E si indica con (si legge E negato).
A titolo di esempio sono eventi semplici:
E1 = « uscita di croce nel lancio di una moneta »
E2 = « uscita del 4 nel lancio di un dado »
E3 = « uscita di un numero dispari nel lancio di un dado »
sono invece eventi composti:
E2 E3 = « uscita del 4 oo di un numero dispari nel lancio di un dado »
= « uscita di testa nel lancio di una moneta »
E
1E
Eventi composti.Eventi composti.
Evento contrario.Evento contrario.
Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e solo
quando non si verifica E, e lo indichiamo con il simbolo .
EsempioEsempio.. Un mazzo di carte contiene carte con figure e carte senza figure.
L’evento E1 = « estrazione di una carta con figura » ha come evento contrario
E2 = «estrazione di una carta senza figura » cioè .
EsempioEsempio.. Nel lancio di una moneta , l’evento contrario dell’uscita testa è l’uscita croce.
EsempioEsempio.. Nel lancio di un dado, l’evento contrario dell’uscita di un numero pari è
l’uscita di un numero dispari.
E
12 EE
Due eventi E1 e E2 sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro. In caso contrario i due eventi si dicono compatibili.
EsempioEsempio.. Si considerano tre eventi che indichiamo con P, B, R e che corrispondono ai possibili esiti di un anno scolastico per uno studente e cioè:
P = «promosso», B = «bocciato», R = «rimandato».Ciascuno di essi è incompatibile con gli altri due in quanto il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri due.
EsempioEsempio.. Si supponga di estrarre, da un mazzo di carte, una carta. Gli eventi
E1 = « estrazione di una carta del segno di fiori »
E2 = « estrazione di una figura »
sono eventi compatibili, in quanto è possibile estrarre una figura del segno di fiori.
Due eventi E1 e E2 sono indipendenti se il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dell’altro. In caso contrario i due eventi si dicono dipendenti.
EsempioEsempio. Si consideri il gioco della roulette. Gli eventi:E1=«uscita di un numero nero»E2=«uscita di un numero dispari»
sono indipendenti, perché il verificarsi dell’uno non influisce sul verificarsi dell’altro.
Eventi incompatibiliEventi incompatibili.
Eventi indipendentiEventi indipendenti.
LaLa definizione classica di probabilità definizione classica di probabilità.
Ep
In molti problemi legati all’estrazione da un’urna contenente palline colorate, è possibile
calcolare a priori quali e quanti casi possano realizzarsi e quali e quanti casi si possono
considerare favorevoli all’esito dell’esperimento.
È quindi possibile conoscere a priori il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi
possibili n. Secondo la definizione di Laplace:
« « La probabilità La probabilità pp di un evento E, che indichiamo con il simbolo , è uguale al rapporto di un evento E, che indichiamo con il simbolo , è uguale al rapporto
fra il numero dei casi favorevoli all’evento E e il numero dei casi possibili, ammesso che fra il numero dei casi favorevoli all’evento E e il numero dei casi possibili, ammesso che
tutti siano egualmente possibilitutti siano egualmente possibili ». ».
Cioè:Cioè: concon f f = numero dei casi favorevoli= numero dei casi favorevoli
nn = numero dei casi = numero dei casi possibili
n
fEp Definizione
di Laplace
EsempioEsempio.. Si calcoli la probabilità che lanciando una moneta esca croce.
I casi possibili n sono due (testa e croce), il caso favorevole f è uno (croce).
Si ha: 2
1p
EsempioEsempio.. Si determini la probabilità che nel lancio di un dado:
E1 = « esce il 4 »
E2 = « esce un numero dispari »
E3 = « esce un numero maggiore di 2 »
Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nell’ipotesi che il dado non sia truccato:
3
2
6
4
2
1
6
3
6
1
3
2
1
Ep
Ep
Ep (casi possibili , casi favorevoli )6n 1f
(casi possibili , casi favorevoli cioè 1, 3, 5)6n 3f
(casi possibili , casi favorevoli cioè 3, 4, 5, 6)6n 4f
I valori della probabilitàI valori della probabilità.
Si è detto che n rappresenta il numero dei casi possibili ed f il numero dei casi favorevoli.
Se un evento è impossibileimpossibile, il numero dei casi favorevoli è 0; quindi:
la probabilità di un evento impossibile è uguale a 0la probabilità di un evento impossibile è uguale a 0.
Se un evento è certocerto, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili;
quindi:
la probabilità di un evento certo è uguale a 1la probabilità di un evento certo è uguale a 1.
Per gli eventi aleatori, il numero dei casi favorevoli f è compreso fra 0 e n:
la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1.
00
nn
fp
1n
n
n
fp
100
0 pn
n
n
f
nnf
In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la probabilità di evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi:
Spesso il valore della probabilità viene espresso in termini percentuali. Per esempio, un evento certo si verificherà al 100%.
10 p
Insiemi ed eventiInsiemi ed eventi.
Consideriamo il lancio di un dado e l’evento:
E = « esce un numero dispari »
Per descrivere la situazione possiamo utilizzare il linguaggio degli insiemi.
Tutti gli eventi possibili sono 6 e si possono considerare come elementi di un insieme, che si indica con U, denominato ““Insieme UniversoInsieme Universo” degli eventi, e cioè:” degli eventi, e cioè:
6,5,4,3,2,1U 1 5
34
6
2
U
F
Gli eventi favorevoli sono tre (i numeri 1, 3, 5) e possono essere considerati elementi di un insieme F, sottoinsieme di U.
Poiché F è un sottoinsieme di U, il numero degli elementi di F è sempre minore o uguale al numero degli elementi di U.
Se l’insieme F non ha elementi, cioè , allora l’evento è impossibile; se F coincide con l’insieme universo U, allora l’evento è certo.
ΦF
Evento UnioneEvento Unione.
Consideriamo 1 2 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi:
E1 = « estrazione di un numero pari »
E2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 »
L’insieme dei casi favorevoli a E1 è:
L’insieme dei casi favorevoli a E2 è:
12,10,8,6,4,2A1
12,11,10,9,8A2
Definizione.Definizione.
Dati gli eventi E1 e E2 , relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione, che
indichiamo con , è quell’evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli
eventi dati.
21 EE
UA1
A2
21 EE
Nella figura, A1 è l’insieme dei casi
favorevoli a E1 , A2 quello dei casi favorevoli
a E2 .
Allora è l’insieme dei casi favorevoli
a .
Nell’esempio considerato l’evento E ha come casi favorevoli sia quelli dell’insieme A1 sia quelli dell’insieme A2 .
L’insieme che lo rappresenta è quindi l’unione dei due insiemi:
12,11,10,9,8,6,4,2AA 21
21 AA
21 EE
Consideriamo i 12 dischetti numerati, l’evento:
E = « esce un numero pari o maggiore di 7 »
è formato da due eventi semplici E1 ed E2 , uniti dal connettivo ”oo”.
Questo particolare evento si verifica se esce un numero pari oppure se esce un numero
maggiore di 7, perciò è detto Evento Unione o Somma Logica di E1 ed E2 .
15
3
72 4
68
1012
911
UA1
A2
Definizione.Definizione.
Dati gli eventi E1 e E2 , relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione,
che indichiamo con , è quell’evento che si verifica quando si verificano
contemporaneamente gli eventi dati.
21 EE
Evento intersezioneEvento intersezione.
UA1
A2
21 EE
Consideriamo ancora i 12 dischetti numerati e l’evento:
E = « esce un numero pari e maggiore di 7 »
Formato dai due eventi semplici E1 ed E2 uniti dal connettivo ”ee”:
E1 = « estrazione di un numero pari »
E2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 »
L’evento E si verifica se si verificano entrambi gli eventi E1 ed E2 , perciò è detto Evento
Intersezione o Prodotto Logico di E1 ed E2 .
Esso ha come casi favorevoli quelli comuni all’insieme A1 e all’insieme A2. L’insieme che lo
rappresenta è l’insieme intersezione: 12,10,8AA 21
Nella figura, A1 è l’insieme dei casi favorevoli
a E1 , A2 quello dei casi favorevoli a E2 .
Allora è l’insieme dei casi favorevoli
a .1
5
3
72 4
68
1012
911
UA1
A2
21 AA
21 EE
Osservazione.
Nonostante la notazione insiemistica, ed non sono unione e intersezione di insiemi.
21 EE 21 EE
TEOREMI SULLA PROBABILITÀTEOREMI SULLA PROBABILITÀ.
Teorema della probabilità dell’evento contrario.
Il teorema della probabilità dell’evento contrario può venire enunciato come segue:
Dimostrazione.
Se f è il numero di casi favorevoli dell’evento E ed n il numero dei casi possibili, il numero dei casi favorevoli dell’evento contrario è n – f , quindi si ha:
Questo teorema può essere riformulato nel seguente modo:
E1E pn
f
n
n
n
fnp
EpEp 1L’evento contrario di un evento E ha probabilità
La somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario è uguale a 1:E
1 EpEp
Si può anche dire che: La probabilità dell’evento , contrario all’evento E, è il complemento a 1 della probabilità dell’evento E.
E
Esempio 1Esempio 1.. Si determini la probabilità di un evento E, sapendo che il suo contrario ha
probabilità
La probabilità di E è data da:
E
7
2Ep
7
5
7
27
7
211
EpEp
Esempio 2Esempio 2.. Si calcoli la probabilità che lanciando contemporaneamente 4 monete si presenti
almeno una testa.
Il problema si può risolvere applicando il teorema dell’evento contrario.
Alla probabilità dell’evento certo (che vale 1) si toglie la probabilità che si verifichino 4 croci:
In questo modo si ricava:
4
2
1
Ep
16
15
16
116
16
11
2
111
4
EpEp
Teorema della Probabilità Totale.
Riprendiamo l’esempio dei 12 dischetti numerati e consideriamo i due eventi incompatibili:
E1 = « estrazione di un multiplo di 5 »
E2 = « estrazione di un multiplo di 3 »
Cerchiamo la probabilità dell’evento unione:
E = « esce un numero multiplo di 5 o di 3 »
I casi favorevoli di E1 sono 2, quelli di E2 sono 4. Pertanto i casi favorevoli di E sono 6,
mentre i casi possibili sono 12. La probabilità dell’evento E è uguale alla somma delle due probabilità:
2
1
12
6
12
4
12
22121 EpEpEEpEp
Teorema della somma per eventi incompatibili.
Dati due eventi E1 e E2 incompatibili, la probabilità dell’evento unione è data
dalla somma delle probabilità dei singoli eventi: 2121 EpEpEEp
21 EE
EsempioEsempio.. Un’urna contiene 6 gettoni neri, 5 rossi e 4 bianchi. Estraendo a caso un
gettone si può verificare uno dei seguenti eventi:
E1 = « estrazione di un gettone nero »
E2 = « estrazione di un gettone rosso »
E3 = « estrazione di un gettone bianco »
Le probabilità sono:
15
4
3
1
15
5
5
2
15
6321 EpEpEp
Calcoliamo ora la probabilità degli eventi:
E4 = « estrazione di un gettone nero o rosso »
E5 = « estrazione di un gettone rosso o bianco »
E6 = « estrazione di un gettone nero o rosso o bianco »
15
11
15
56
3
1
5
24
Ep
5
3
15
9
15
45
15
4
3
15
Ep
115
15
15
456
15
4
3
1
5
26
Ep
Teorema della somma per eventi compatibili.
Se due eventi E1 e E2 sono compatibili, la probabilità del loro evento unione è
uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della probabilità del loro evento
intersezione: 212121 EEpEpEpEEp
21 EE
Consideriamo i 12 dischetti numerati e i seguenti eventi compatibili:
E1 = « estrazione di un numero pari »
E2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 »
I casi favorevoli di E1 sono 6, quelli di E2 sono 5. I casi favorevoli dell’evento composto:
E = « estrazione di un numero pari o maggiore di 7 »
non sono 11 ma solo 8. Ciò è dovuto al fatto che vi sono casi favorevoli a entrambi gli eventi. Se sommiamo i casi favorevoli di E1 e quelli di E2 ,vengono considerati per due volte
i casi di , mentre nell’unione essi devono essere contati una sola volta. Possiamo concludere che i casi favorevoli di (eventi compatibili) si possono ottenere dalla somma di quelli di E1 e quelli di E2 , sottraendo quelli di , cioè:
21 EE
21 EE 21 EE 8356
3
2
12
8
12
3
12
5
12
6
12
35621
EEpEp
2121 EEpEpEp
EsempioEsempio.. Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10
gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che, estraendone una a caso,
venga estratta una pallina gialla o pari.
Il numero totale di palline è 30. La probabilità che venga estratta una gialla è
Le palline con numero pari sono 5 per ogni colore, quindi 15. La probabilità che venga
estratto un numero pari è
Gli eventi sono compatibili; i casi favorevoli a entrambi gli eventi (pallina gialla e pari)
sono 5.
La probabilità dell’evento cercato è:
3
2
6
4
6
132
6
1
2
1
3
1
30
5
2
1
3
1
PGpPpGpPGp
3
1
30
10GEp
2
1
30
15PEp
Teorema della Probabilità Condizionata.
Supponiamo che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci dica che esso è
minore di 9, ossia che si è verificato l’evento E2. Cosa si può dire della probabilità che il
numero estratto sia multiplo di 3, ossia di ? L’evento E1 è condizionato dall’evento
E2: il fatto che E2 si sia verificato ci dà alcune informazioni in più sulla probabilità che si
verifichi E1. Indichiamo la probabilità di E1, calcolata nell’ipotesi che E2 si sia verificato,
con il simbolo .
Chiameremo “probabilità dell’evento E1 condizionata dall’evento E2”.
1Ep
21 / EEp
21 / EEp
Esempio.
Consideriamo il sacchetto con i gettoni numerati da 1 a 12 e i due eventi:
E1 = « esce un multiplo di 3 » E2 = « esce un numero minore di 9 »
L’insieme universo (casi possibili) è dato da
quello dei risultati favorevoli a E1 è
quello dei risultati favorevoli a E2 è
La probabilità di E1 è:
12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1U
12,9,6,3A
8,7,6,5,4,3,2,1B
3
1
12
41 Ep
Come si determina la probabilità di un evento che dipende da un altro evento?
Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che:
poiché supponiamo che l’evento E2 si sia verificato, l’insieme universo U’ per
è dato dai risultati favorevoli a E2 , cioè
i casi favorevoli devono essere ricercati solo all’interno del nuovo insieme universo;
quindi sono dati dall’intersezione tra i casi favorevoli per E1 (insieme A) e quelli per E2
(insieme B).
L’insieme F dei casi favorevoli è dato da
Dunque è data dal rapporto tra il numero
di elementi di F e il numero di elementi di U’ :
21 / EE
8,7,6,5,4,3,2,1' BU
6,3 BAF
21 / EEp
4
1
8
2/
2
2121
Ep
EEpEEp
La probabilità di E1 è , mentre quella di E1
condizionata a E2 è quindi: 4
1/ 21 EEp
3
11 Ep
211 / EEpEp
A B=U’
912
6
3 1
2 4
5
7 8
10 11
U
casi favorevoli
casi possibiliBA
Esempio.
Consideriamo un altro caso con i due eventi:
E1 = « esce un multiplo di 3 » E3 = « esce un numero pari »
Supponiamo che il nostro amico ci dica che ha estratto un numero pari, ossia che si è
verificato l’evento E3 rappresentato dall’insieme
Se si è verificato l’evento E3 , i casi possibili che il numero uscito sia multiplo di 3, cioè
dell’evento E1 condizionato dall’evento E3 , sono 6 e quelli favorevoli 2 , cioè quelli
dell’insieme
La probabilità di E1 condizionata a E3 è:
12,10,8,6,4,2C
AC
96
12
1
24
107 8
5 11
U
casi favorevoli
casi possibili
3
CA
12,6CA
3
1
6
2/
3
3131
Ep
EEpEEp
La probabilità di E1 è , e quella di E1
condizionata a E3 è quindi: 3
1/ 21 EEp
3
11 Ep
311 / EEpEp
Dati due eventi E1 e E2 , la probabilità che si verifichi l’evento E1 condizionato alla
realizzazione dell’evento E2 è data dal rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione di
E1 ed E2 e la probabilità dell’evento E2.
2
2121 /
Ep
EEpEEp
1
2112 /
Ep
EEpEEp
Due eventi, E1 ed E2 si dicono dipendenti se è diversa dalla probabilità
condizionata .
Gli eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti se è uguale alla probabilità
condizionata .
1Ep
21 / EEp
1Ep
21 / EEp
Analogamente.
Dati due eventi E1 e E2 , la probabilità che si verifichi l’evento E2 condizionato alla
realizzazione dell’evento E1 è data dal rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione di
E1 ed E2 e la probabilità dell’evento E1.
EsempioEsempio.. Si lanci una coppia di dadi: se la somma è 6, si determini la probabilità che uno
dei due dadi abbia dato esito 2.
Si tratta di determinare la probabilità di avere per somma 6, subordinata al fatto che su una
delle due facce sia presente il numero 2.
Consideriamo i due eventi: E1 = « uscita faccia con il numero 2 »
E2 = « la somma dei punti delle facce è 6 »
Poiché i casi possibili sono 36 e 11 sono le coppie che contengono almeno un 2, si ha:
Le coppie che contengono un 2 e hanno come somma 6 sono 2 (infatti sono (2,4) e (4,2) ),
mentre i casi possibili sono ancora 36.
Quindi:
In conclusione si ha:
36
111 Ep
36
221 EEp
11
2
11
36
36
2
3611362
/1
2112
Ep
EEpEEp
1 3 5
secondo dado
primo dado
2
4
6
1
3
5
2 4 6
Teorema della Probabilità Composta. Teorema del prodotto per eventi indipendenti.
Se due eventi E1 e E2 sono indipendenti, la probabilità del loro evento intersezione
è uguale al prodotto delle loro probabilità.
21 EE
2121 EpEpEEp
La probabilità dell’evento intersezione è denominata “probabilità composta”.
Consideriamo un sacchetto che contiene tre gettoni con i numeri 1, 2, 3. Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel sacchetto.
Qual è la probabilità che in due estrazioni successive
vengano estratti due numeri dispari?
I casi possibili si possono ottenere mediante il seguente
diagramma cartesiano.
Per esempio la coppia (3,2) indica che è stato estratto
prima il gettone 3 e poi il gettone 2.
(1,3) (2,3) (3,3)
(1,2) (2,2) (3,2)
(1,1) (2,1) (3,1)
1 2 3
1
2
3
seconda estrazione
prima estrazione
L’evento composto E = « estrazione di due numeri dispari » può essere visto come l’evento
intersezione dei due eventi semplici:
E1 = « il primo numero è dispari »
E2 = « il secondo numero è dispari »
E1 ed E2 sono indipendenti, infatti, dopo la prima estrazione, il gettone è rimesso nel sacchetto
e la situazione iniziale viene ripristinata. Poiché i numeri dispari sono 2 e i casi possibili 3, la
probabilità di E1 ed E2 è data da:
I casi favorevoli all’evento E corrispondono alle coppie (1;1), (1:3), (3;1), (3;3) quindi sono 4.
I casi possibili sono 9 (come si può vedere nel diagramma cartesiano), quindi si ha:
che è la probabilità dell’evento intersezione di E1 ed E2.
3
2
3
221 EpEp
9
4
3
2
3
221 EpEpEp
Altro esempioAltro esempio.. Due urne contengono:
Urna 1 : 5 palline bianche e 5 nere
Urna 2 : 8 palline bianche e 4 nere
Viene estratta una pallina da ogni urna.
Qual è la prababilità che siano entrambe nere?
L’evento E = « vengono estratte due palline nere » è composto dai due eventi semplici:
E1 = « viene estratta una pallina nera dall’urna 1 »
E2 = « viene estratta una pallina nera dall’urna 2 »
Si ha:
Gli eventi sono indipendenti; quindi la probabilità dell’evento intersezione è:
3
1
12
4
2
1
10
521 EpEp
6
1
3
1
2
12121 EpEpEEp
21 EE
Teorema del prodotto per eventi dipendenti.
Se due eventi E1 e E2 sono dipendenti, la probabilità del loro evento intersezione
è uguale al prodotto della probabilità di E1 per la probabilità di E2 condizionata a E1. 12121 / EEpEpEEp
Consideriamo ancora il sacchetto con tre gettoni che hanno i numeri 1, 2, 3 e gli eventi:
E1 = « il primo numero è dispari » e E2 = « il secondo numero è dispari »
ma supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone non venga rimesso nel sacchetto.
Gli eventi sono dipendenti: infatti, la probabilità del secondo evento non è più quella di
prima, perché la composizione iniziale nel sacchetto risulta modificata.
I due eventi semplici non hanno lo stesso insieme universo (casi possibili): nella prima
estrazione U contiene 3 elementi, nella seconda ne contiene 2.
Calcoliamo la probabilità condizionata , ossia la probabilità che si abbia E2
supposto che sia avvenuto E1.
Se si è verificato E1 significa che è stato estratto un numero dispari; quindi nel sacchetto
rimangono due gettoni: il 2 e l’altro numero dispari.
12 / EEp
La probabilità di estrarre un numero dispari (evento E1) è
mentre la probabilità condizionata di estrarre un altro numero dispari è
3
21 Ep
2
1/ 12 EEp
Calcoliamo, ora, la probabilità dell’evento composto:
E = « i numeri estratti sono entrambi dispari »
La probabilità di E si ottiene applicando il Teorema del prodotto per eventi dipendenti,
cioè moltiplicando la probabilità di E1 per la probabilità di E2 condizionata a E1.
Quindi:
I casi possibili sono 6. I casi favorevoli sono 2, corrispondenti alle coppie (1;3) e (3;1).
3
1
6
2
2
1
3
2/ 12121 EEpEpEEp
Altro esempioAltro esempio.. In un’urna ci sono 8 palline bianche e 4 nere (In un’urna ci sono 8 palline bianche e 4 nere (fig. 1fig. 1).).
Qual è la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe
bianche?
Si può estrarre prima una pallina e poi, senza rimettere la prima nell’urna, una seconda pallina.
La probabilità che la prima sia bianca è:
Situazione iniziale
Situazione dopo la prima estrazione
3
2
12
81 Ep
La probabilità che la seconda sia bianca, condizionata dal fatto che
la prima estratta sia bianca, si ottiene pensando a un’urna che
contiene 7 palline bianche e 4 nere (fig. 2):fig. 1
fig. 2
11
7/ 12 EEp
La probabilità che entrambe le palline siano bianche è:
33
14
11
7
3
2/ 121 EEpEpEp
