PROBABILITÀ

La probabilità è un giudizio che si assegna ad un evento e che si esprime mediante un numero compreso tra 0 e 1

0 1

Evento con molta probabilità di accadere

Evento con poca probabilità di accadere

1/2

Stessa probabilità di accadere e di non accadere

Un EVENTO è un sottoinsieme dell’insieme universo

L’INSIEME UNIVERSO è l’insieme di tutti i possibili esiti

La CLASSE DEGLI EVENTI è l’insieme su cui definisco la

funzione probabilità

INSIEMISTICA

unione intersezionecomplementare

ASSIOMI DI KOLMOGOROV

•L’unione di eventi è sempre un evento

•L’insieme universo stesso è un evento

•La probabilità dell’insieme universo è sempre 1

•Se A è un evento, allora anche –A è un evento

•La somma delle probabilità di un evento e del suo complementare è sempre 1

Una PROBABILITÀ per essere tale deve rispettare questi assiomi

Se UNISCO eventi disgiunti la probabilità

P(A B) = P(A) + P(B). Se essi non sono disgiunti, all’unione devo sottrarre

l’intersezione

Se INTERSECO eventi indipendenti la probabilità P(A B) = P(A) * P(B)

Giuseppe

Giuseppe

0,7 probabilità di vittoria contro il padre

0,3 probabilità di vittoria contro il maestro

V V V

V V S

S V V

MAESTRO - PADRE - MAESTRO

P (V V V) + P ( V V S) + P ( S V V)

(0,3 * 0,7 * 0,3) + (0,3 * 0,7 * 0,7) + (0,7 * 0,7 * 0,3) =

PADRE - MAESTRO - PADRE

P (V V V) + P ( V V S) + P ( S V V)

(0,7 * 0,3 * 0,7) + (0,7 * 0,3 * 0,3) + (0,3 * 0,3 * 0,7) =

0,357

0,273

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

La probabilità condizionata è il nuovo giudizio di probabilità basato sull’aumento dell’informazione

PB(A)*P(B) = P(A∩B) per tutti gli A appartenenti alla classe degli eventi

Ho una probabilità di ½ di uscire con quella ragazza!!

Ora ho una probabilità di 1/1000…

Aumento di informazione:ha già il ragazzo…

Mr. Brown ha 2 figli. Qual è la probabilità che il secondo figlio sia una femmina se:

1. sappiamo che almeno una figlia è femmina?

2. sappiamo che la primogenita è una femmina? (aumento di informazione)

Due figli:

1) P( 2F | 1F 2F) = ½ / ¾ =

2) P(2F | 1F) = P(2F) = 1/2

2/3

Almeno una femmina: F F

F M

M F

M M

Primogenita è una femmina

VARIABILE ALEATORIA

La variabile aleatoria è il risultato di un esperimento che può assumere diversi valori numerici ad ognuno dei quali corrisponde una probabilità

• La VARIANZA indica quanto grande è la dispersione della variabile aleatoria

VARIANZA = somma [(valore – media)^2 * probabilità valore]

• La MEDIA è la somma dei valori moltiplicati per le rispettive probabilità

MEDIA = somma (valore * probabilità)

PERCHÈ NON CONVIENE GIOCARE AL LOTTO?

Come funziona: vengono estratti cinque numeri da 1 a 90. Se si azzecca un ambo con la posta di 1€ se ne vincono 235!

X = probabilità di vincere 235€

1-x = probabilità di perdere 1€

VINCITA MEDIA = 236x -1

CASI TOTALI: (90*89*88*87*86) / (5*4*3*2*1)

CASI FAVOREVOLI: (88*87*86) / (3*2*1)

PROBABILITÀ = casi favorevoli / casi totali = 2/801 = x

VINCITA MEDIA = 236*(2/801) -1 = -0,41€

PASSEGGIATA CASUALE

•Si parla di passeggiata casuale SIMMETRICA quando la probabilità di compiere un passo su o giù è identica. Abbiamo

visto che i grafici tornano a 0 infinite volte

•Si parla di passeggiata casuale ASIMMETRICA quando la probabilità di compiere un passo su o giù è differente. In

questo caso le traiettorie tornano a 0 un numero finito di volte

con barrieresenza

barriere

GAUSSIANALa gaussiana è un esempio di variabile aleatoria continua.

La probabilità che assuma valori in un certo intervallo è pari all’area sottesa dalla curva (a campana) che la definisce

Asse x = valori

Asse y = distribuzione dati

TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE afferma che:

La somma di N variabili aleatorie di tipo Bernoulli (es.: testa o croce) opportunamente standardizzata, si approssima

con una legge gaussiana

Se eseguo N prove, la percentuale di successi è vicina alla probabilità di successo in un tentativo?

La probabilità di essere in un intervallo di ampiezza δ/2√N intorno alla media si trova come integrale e

l’abbiamo disegnato sul grafico precedente. Quindi l’intervallo si riduce all’aumentare di N o al diminuire di

δ

SondaggiFare un sondaggio è come lanciare N volte una moneta con probabilità di successo pari al valore reale di gradimento del candidato. Il valore trovato sarà vicino a quello reale con un certo grado di fiducia; quanto vicino dipende dal grado di fiducia nel sondaggio (più voglio essere convinto, più ampio devo prendere l’intervallo, quindi δ) e dal numero di interviste effettuate (più voglio un intervallo piccolo, maggiore deve essere il numero di interviste). In ogni caso, ho sempre la possibilità di avere trovato un campione “non corretto”, per cui la percentuale calcolata non corrisponde a quella reale, pur avendo fatto tutto per bene.

Es.: se trovo x=0,51 e voglio la sicurezza al livello 0,95 (quindi con δ=2) che nell’intervallo (0,50; 0,52) sia compreso il valore reale,deve essere:

(x – δ/2√N , x + δ/2√N )

δ/2√N = 0,01 N=10.000