PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. Uma p pp progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado

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Uma progressão geométricaprogressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razãorazão, que se representa pela letra rr. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se

Exercício: como reconhecer uma progressão geométricaPara nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão. 1) É 5, 15, 45, 135, 405 ... uma progressão geométrica? 2) E a sucessão de termo geral un=2n ?

n 1n 1 n

n

aa a r r , na


Se a razão de uma progressão geométrica é maior que um, a progressão é crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior.

Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre zero e um, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.

Se a razão de uma progressão geométrica é igual a um, a progressão é constante, ou seja, tem todos os termos iguais.

Se a razão de uma progressão geométrica é menor que zero, os seus termos são alternadamente positivos e negativos.


n 1n 1a a r

Termo geral de uma progressão geométrica

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3

a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4

Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: - A primeira é sempre a1 - A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.

A expressão do termo geral é: Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:

n kn ka a r


Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.g. em que:

1) u1 = 10 e un+1 = 4un 2) u1 = 36 e u3 = 4

3)

1 2 4 8 16 ...

n

vn

O

16

-2

4

-8

-32

4)

PROGRESSÕEPROGRESSÕESS

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A LENDA DO JOGO DE XADREZ

Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.

Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?

Soma de n termos Soma de n termos consecutivos de uma consecutivos de uma

p.g.p.g.


2 3 62 63

642 3 62

S 1 2 2 2 ... 2 21 2 1 2 2 2 ... 2

2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2

Resolução:

Ora,

Donde:

6464

63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1

22

1S 2

S

1 2 4 8 16 32 64 128

18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo


Exercício: Se uma p.g. tem o termo geral , calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .

n 1

n1u 2

n

n 11 rS u com r 11 r

A soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.

Potências de dez


Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.Aquiles e da tartaruga”.Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente…


n

1 1100 10 1 ...10 10011 100 100010lim 1001 9 91 10 10

n

1 110 1 ...10 10011 10 10010lim 101 9 91 10 10

10009

Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduza uma conclusão que a realidade mostra ser falsa. Confirmemos matematicamente essa falsidade:Suponhamos que Aquiles se desloca dez vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então:

Por outro lado, a

tartaruga percorre (em

metros):

Como é igual conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga depois de percorridos metros.

100100 9

10009


Só o conceito de limite permite esclarecer (25 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão cuja solução exige o cálculo da da soma de todos os termos de uma progressão geométrica.soma de todos os termos de uma progressão geométrica.

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