1

OKUL: İstanbul Atatürk Anadolu Lisesi PROJE ADI: SONSUZA KADAR PİSAGOR

PROJE RAPORU Proje Adı: SONSUZA KADAR PİSAGOR Projenin Amacı: Bilinen bazı özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi bağıntı olarak ifade etmek ve bulunan bağıntılarla da yeni özel dik üçgenlere ulaşmak. Giriş: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 gibi üçgenler geometri derslerinde ve kitaplarında çok sık karşımıza çıkmaktadır. Bu dik üçgenlerle soru hazılanırken, işlem kolaylığının yanısıra zaman kazancı da hedeflenmektedir. Bu üçgenlerdeki kenar uzunlukları arasındaki ilişki nedir sorusunun zihnimizde oluşturduğu merak, hazırladığımız projenin tohumlarının atılmasına sebep oldu. Dik kenarların ve hipotenüsün uzunlukları arasındaki ilişkiler ile bunların ortak özellikleri incelenerek proje oluşturuldu. Örneğin “8, 15, 17 üçgeni (3+5), (3.5), (3.5+2) olarak ifade edilebilir mi?” ve “Bu bağıntı kullanılan özel üçgenin herhangi bir katı alındığı zaman da sağlanır mı?” sorusunun cevabı aranmıştır. Ayrıca bu sorulara ek olarak “Diğer özel dik üçgenlerde aynı bağıntı kullanılabilir mi, yeni özel dik üçgenleri bu yolla elde etmek mümkün müdür?” sorularını da beraberinde getirmiştir.

Yöntem: Yöntemimizin aşamaları aşağıdaki gibidir. 1. aşama: Bir dik üçgen çizilir. 2. aşama: Bilinen dik üçgenlerden herhangi birisinin dik kenar uzunlukları ve hipotenüsü iki sayının toplamı veya birinin k katı ile diğerinin toplamı şeklinde yazılır. Seçilmiş olan özel dik üçgenin katlarında da bu sayısal ilişkinin varolup olmadığı kontrol edilir. 3. aşama: Ortaya çıkan bu uzunlukların pisagor teoremi yardımıyla eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakılır. 4. aşama: Eğer eşitlik sağlanıyorsa farklı sayılarla eşitliğin sağlaması yapılmaya devam edilir. Daha sonra dik kenar uzunlukları bir sayının x katı ve başka bir pozitif tamsayının toplamı ile ifade edilirek genellenmiş olur. Eğer eşitlik sağlanmadıysa bu işlem kenar uzunlukları farklı şekillerde ilişkilendirilerek ifade edilmeye çalışılırak ilk aşamaya dönülür.

2

NuveZxnmba ,,,,

1.durum: Özel durum:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

koş :

2. 1

:

2. . 2 . 2

4. . 4 4. . 4 4 . 4

4. . 4 0

2. 0

2. 0

2.

Ön ul

a b b

İspat

a b a b a b

a a b b a b a b a b a b

a a b b

a b

a b

a b

Genel durum:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

koş :

. 1

:

. . .

2. . . 2. . . 2. . .

2. . . 0

. 0

. 0

.

Ön ul

a x b b

İspat

a x b a b x a b x

a a b x x b a b a b x x a b a b x x

a a b x b x

a x b

a x b

a x b

3

Örnekler: Özel durum: b=3 alınırsa a=2b a=6 olur

2 2 2

2. . 2 . 2a b a b a b

22223.623.63.26

222201612

220400 (3k,4k,5k k=3)

b=2 alınırsa a=2.b a=4 olur

2 2 2

2. . 2 . 2a b a b a b

2 2 2

4 2.2 4.2 2 4.2 2

2 2 2

8 6 10

220400 (3k,4k,5k k=2) b=5 alınırsa a=2.b a=10 olur

2 2 2

2. . 2 . 2a b a b a b

2 2 2

10 2.5 10.5 2 10.5 2

2 2 2

20 48 52

2

2704 52 (5k,12k,13k k=4)

Genel Durum: b=2 ve x=1 alınırsa a=x.b a=2 olur

2 2 2

. . .a x b a b x a b x

22212.212.22.12

222534

2525 (3k,4k,5k k=1) b=5 ve x=3 alınırsa a=x.b a=15 olur

2 2 2

. . .a x b a b x a b x

22235.1535.155.315

222787230

230900 (5k,12k,13k k=6)

4

b=7 ve x=1 alınırsa a=x.b a=7 olur

2 2 2

. . .a x b a b x a b x

2 2 2

7 1.7 7.7 1 7.7 1

2 2 2

14 48 50

2

2500 50 (7k,24k,25k k=2) b=4 ve x=2 alınırsa a=x.b a=8 olur

2 2 2

. . .a x b a b x a b x

2 2 2

8 2.4 8.4 2 8.4 2

2 2 2

16 30 34

2

1156 34 (8k,15k,17k k=2)

2.durum: Özel durum:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

koş :

3.

:

3. 3. . 1 3. . 1

6. . 9 9 6. . 1 9 6. . 1

6. . 9 0

3. 0

3. 0

3.

Ön ul

a b

İspat

a b a b a b

a a b b a b a b a b a b

a a b b

a b

a b

a b

5

Genel durum:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

koş :

.

:

. . . 1 . . 1

2. . . 2. . . 1 2. . . 1

2. . . 0

. 0

. 0

.

Ön ul

a x b

İspat

a x b x a b x a b

a a b x x b x a b a b x x a b a b x

a a b x x b

a x b

a x b

a x b

En genel durum:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

koş :

. .

:

. . . . . 1 . . . 1

2. . . . . 2. . . . 1 . 2. . . . 1

2. . . . 0

. . 0

. . 0

. .

Ön ul

m a n b

İspat

m a n b m a n b m a n b

m a m a n b n b m a n b m a n b m a n b m a n b

m a m a n b n b

m a n b

m a n b

m a n b

6

Örnekler: Özel durum: b=1 alınırsa a=3.b a=3 olur

2 2 2

3. 3. . 1 3. . 1a b a b a b

22211.3.311.3.31.33

2221086

210100

(3k,4k,5k k=2)

Genel Durum:

b=4 ve x=1 alınırsa a=x.b a=4 olur

2 2 2

. . . 1 . . 1a x b x a b x a b

22214.4.114.4.14.14

22217158

217289

(8k,15k,17k k=1)

En genel durum: b=1 , n=6 , m=3 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=2 olur

2 2 2

. . . . . 1 . . . 1m a nb m a nb m a nb

22211.6.2.311.6.2.31.62.3

222373512

2371369

(12k,35k,37k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

b=3 , n=3 , m=9 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur

2 2 2

. . . . . 1 . . . 1m a nb m a nb m a nb

2 2 2

9.1 3.3 9.1.3.3 1 9.1.3.3 1

2 2 2

18 80 82

2

6724 82

(9k,40k,41k k=2 yeni elde edilmiş özel üçgen) b=2 , n=2 , m=4 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur

2 2 2

. . . . . 1 . . . 1m a nb m a nb m a nb

2 2 2

4.1 2.2 4.1.2.2 1 4.1.2.2 1

2 2 2

8 15 17

2

289 17

(8k,15k,17k k=1 )

7

3.durum: Özel durum:

22 2 2 2 2 2

2 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 4

2 2

2

2

:

1

:

( 1)

2. . 1 2 2

2. . 1

1

1

1

1

Ön koşul

a b

İspat

a b a b a b

a a b b a b a b a b a a b b

a a b b

a b

a b

a b

a b olduğu için a b

Genel durum:

2 2

koş :

( )

( 1) 2.. 1

Ön ul

a b x x tek sayı

u u x u x

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

:

2. . 2. . 1

2. . 4 4. . . 4 1 2 2. . 2. . .

2. . 4. . 2. 1

2. . 2. 1

2. 1

2. 1

İspat

a b a b u a b u

a a b b a b a b u u a b u a b u a b u

a a b b a b u

a a b b u

a b u

x u

8

Örnekler Özel Durum:

a=5 ve b=4 olsun 1a b

22 2 2 2 2 2( 1)a b a b a b

22 2 2 2 2 2

2 22

2

5 4 (5 4 1) 5 4

9 (40) 41

1681 41

(9k,40k,41k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) a=6 ve b=5 olsun 1a b

22 2 2 2 2 2( 1)a b a b a b

22 2 2 2 2 2

2 22

2

6 5 (6 5 1) 6 5

11 (60) 61

3721 61

(11k,60k,61k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

Genel Durum:

)( sayıtekxxba a=3 ve b=2 olsun 3-2=1=x(tek sayı) 22 1u x 2u+1= 21 u=0 olur.

2 2 2

2. . 2. . 1a b a b u a b u

222102.3.202.3.223

22213125

213169

(5k,12k,13k k=1)

)( sayıtekxxba a=5 ve b=2 olsun 5-2=3=x(tek sayı)

22 1u x 2u+1=23 u=4 olur.

2 2 2

2. . 2. . 1a b a b u a b u

222142.5.242.5.225

22225247

225625

(7k,24k,25k k=1)

)( sayıtekxxba a=8 ve b=5 olsun 8-5=3=x(tek sayı)

22 1u x 2u+1=23 u=4 olur.

2 2 2

2. . 2. . 1a b a b u a b u

2 2 2

8 5 2.8.5 4 2.8.5 4 1

2 2 2

13 84 85

2

7225 85

(13k,84k,85k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

9

4.durum:

2 22

koş :

( )

( 2) 2 2 4. 42 2

Ön ul

a b x x çift sayı

x xu u u x u

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

:

. . 2

2. . 2. . . 4 2 . . 2. 2. .

2. . 4. 4

4. 4

4. 4

İspat

a b a b u a b u

a a b b a b a b u u a b u a b u u a b

a a b b u

a b u

x u

Örnekler

)( sayıçiftxxba a=5 ve b=3 olsun 5-3=2=x(çift sayı) 2 4 4x u 4422 u u=0 olur

2 2 2

. . 2a b a b u a b u

222203.503.535

22217158

217289

(8k,15k,17k k=1)

)( sayıçiftxxba a=8 ve b=2 olsun 8-2=6=x(çift sayı)

2 4 4x u 4462 u u=8 olur

2 2 2

. . 2a b a b u a b u

222282.882.828

222262410

226676

(5k,12k,13k k=2)

)( sayıçiftxxba a=3 ve b=1 olsun 3-1=2=x(çift sayı)

2 4 4x u 22 4 4u u=0 olur

2 2 2

. . 2a b a b u a b u

2 2 2

3 1 3.1 0 3.1 0 2

2 2 2

4 3 5

2

25 5 (3k,4k,5k k=1)

10

)( sayıçiftxxba a=10 ve b=6 olsun 10-6=4=x(çift sayı)

2 4 4x u 24 4 4u u=3 olur

2 2 2

. . 2a b a b u a b u

2 2 2

10 6 10.6 3 10.6 3 2

2 2 2

16 63 65

2

4225 65

(16k,63k,65k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

Sonuçlar ve Tartışma: Bulduğumuz bağıntılarda 3. ve 4. durumda verilen eşitlikler önceki bütün durumları kapsamaktadır. Kenarlararası ilişkileri en genel biçimde ifade etmemiz gerekirse bu iki eşitliğin daha kapsamlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek basamaklı sayıların değişik kombinasyonları kullanılarak daha fazla sayıda özel dik üçgen elde edilebilir. Fakat sayılar büyükçe çıkan sonuçlar da büyük olduğundan bu oranların akılda kalması zorlaşmaktadır. Ancak daha nitelikli sorular (yarışma soruları gibi) hazırlanacağı

zaman dik üçgenin kenar uzunlukları Z olması isteniyorsa bu eşitliklerden faydalanılabilir. Projemizi inceleyerek bize görüşlerini bildiren Haliç Üniversitesi Öğretim Görevlisi A. Burcu Özyurt Serim’e, Mimar Sinan Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Yrd. Doç. Dr. Sezai Makas’a ve projemizi hazırlarken bize desteklerinden dolayı okulumuz öğretmenlerine, Okul Müdürümüz Nureddin Turan’a, Müdür Başyardımcısı İzzet Başyurt’ a, okulumuz 11 Fen/A sınıfına teşekkürlerimizi sunarız. Kaynaklar:

GÜRLÜ, Ö., (2005), Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, İSTANBUL

MEB KOMİSYONU, (2006), Lise Geometri 1, Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları,

ANKARA

KAPLAN E., (2008), Ortaöğretim Matematik 10 Ders Kitabı, Paşa Yayıncılık, ANKARA