PROSTE RACHUNKI WYKONYWANE ZA POMOCĄ KOMPUTERA

WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI

Maciej M. SysłoUniwersytet Wrocławski

Uniwersytet UMK w Toruniusyslo@ii.uni.wroc.pl

2informatyka +

Algorytm, algorytmika

Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu

Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e

algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w.

Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami

informatyka + 3

Algorytmy a informatyka

Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami

Czy zajmuje się też algorytmami kulinarnymi?

Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś,

zanim nie nauczy tego – kogoś innego.W rzeczywistości,

człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę,zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.

Ralf Gomory (IBM):Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami)

informatyka + 4

Będziemy uczyć komputery, czyli programować je !

Algorytmiczne rozwiązywanie problemu

Dla problemu – chcemy otrzymać rozwiązanie komputerowe, które jest: • zrozumiałe dla każdego, kto zna problemu • poprawne, czyli spełnia specyfikację (opis) problemu• efektywne, czyli nie marnuje czasu i pamięci komputera

Metoda rozwiązywania: • analiza sytuacji problemowej• sporządzenie specyfikacji: wykaz danych, wyników i relacji• projekt rozwiązania• komputerowa realizacja rozwiązania – implementacja• testowanie poprawności rozwiązania• dokumentacja i prezentacja rozwiązania

informatyka + 5

Rozwiązywanie problemów z pomocą komputerów

Objaśnienie dwóch terminów:

Problem:•problem, gdy nie podano nam, jak należy go rozwiązać, ale wiemy wystarczająco, by poradzić sobie z nim•a więc, problem jest dla każdego nie tylko dla orłów

Programowanie: •komputery wykonują tylko programy•cokolwiek uruchamiamy na komputerze: Google, dokument w Word, arkusz w Excel, naciśnięcie klawisza – jest programem•każdy widoczny i niewidoczny efekt działania komputera to wynik działania jakiegoś programu

Konkluzja: powinniśmy lepiej poznać programowanie komputerów

informatyka + 6

Myślenie algorytmiczneMyślenie komputacyjne (ang. computational thinking)

informatyka + 7

Reklama firmy IBM z 1924 roku

Komputer to maszyna do myślenia !!!

Problemy, algorytmy i ich komputerowe realizacje (implementacje)

Plan:• Obliczenia w komputerze – czy komputer może

wszystko policzyć?– trasę dla Premiera

– kryptogram RSA

• Liczby dziesiętne, binarne, … – system pozycyjny, zamiana liczb między systemami

• Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera

• Podnoszenie do potęgi – szybko!

• Algorytm Euklidesa – rekurencja, jako przedsmak informatyki

informatyka + 8

Czy komputer może wszystko obliczyć , 1

Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie.

informatyka + 9

Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest:

15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia)

W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia)

Jak szybko można obliczyć 15!, a 48! Mając komputer, który wykonuje 1015 (1 petaflops) operacji na sekundę (superkomputer)?

15! = 1307674368000/1015 sek. = ok. 0.01 sek.

48! = 1,2413915592536072670862289047373*1061/1015 = Ile to jest lat?

25! = 15511210043330985984000000/1015 sek. = 15511210043 sek. = = 179528 dni = 491 lat

Czy komputer może wszystko obliczyć, 2

Kryptografia: Szyfr RSA, jeden z najpopularniejszych obecnie, bazuje na podnoszeniu do dużej potęgi dużych liczb, np.

12345678909876543212345678909876543211234567899876543211234567890123456789098765432112345678909876543211234567890987654321

Jak można szybko obliczać takie potęgi? Demo:

informatyka + 10

System dziesiętny, system pozycyjny

Liczba dziesiętna: 357 ma wartość (dziesiętną):

357 = 3*100 + 5*10 + 7*1 = 3*102 + 5*101 + 7*100

a zatem liczba: dn-1 dn-2 … d1 d0 która ma n cyfr

ma wartość:

dn-1*10n-1 + dn-2*10n-2 + … + d1*101 + d0*100

10 – podstawa systemu {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} – cyfry

2, 8, 16 – podstawy systemów używanych w komputerach

podstawa cyfry

2 0, 1 system binarny

8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

60 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, …

informatyka + 11

System binarny

Liczba binarna: 10101 = (10101)2 ma wartość (dziesiętną):

1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 24 + 22 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21

a zatem liczba binarna: (bn-1 bn-2 … b1 b0)2 która ma n cyfr

ma wartość:

a = bn-1*2n-1 + bn-2*2n-2 + … + b1*21 + b0*20 (*)

Jak szybko obliczać wartość dziesiętną binarnego rozwinięcia?

We wzorze (*) zastępujemy 2 przez x i otrzymujemy:

a = bn-1*xn-1 + bn-2*xn-2 + … + b1*x1 + b0*x0

Jest to wielomian zmiennej x o współczynnikach 0 lub 1, czyli:

Pytanie: Jak szybko obliczać wartość wielomianu?

informatyka + 12

Binarne rozwinięcie liczby a

Najbardziej znaczący bit

Najmniej znaczący bit

Obliczanie wartości wielomianu

Obliczanie wartości wielomianu jest bardzo ważną operacją w komputerze, bo wartość każdej funkcji jest liczona jako wartość wielomianu, np. cos x = 1 – 0.49670x2 + 0.03705x4.

Wielomian stopnia 2:

w(x) = ax2 + bx + c = a*x*x + b*x + c 3 mnożenia 2 dodawania

w(x) = ax2 + bx + c = (a*x + b)*x + c 2 mnożenia 2 dodawania

Wielomian stopnia 3:

w(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((a*x + b)*x + c)*x + d 3 mnoż. 3 dod.

Wielomian stopnia n:

wn(x) = a0*xn + a1*xn-1 + … + an-1*x + an =

= (a0*xn-1 + a1*xn-2 + … + an-1)*x + an = … =

= ((…((a0*x + a1)*x + a2)*x + … + an-2)*x + an-1)*x + an

informatyka + 13

Obliczanie wartości wielomianu specyfikacja, algorytm

Problem Wielomian – Obliczanie wartości wielomianuDane: n – nieujemna liczba całkowita

a0, a1, a2, ..., an – n + 1 współczynników wielomianu

z – wartość argumentu – obliczamy wn(z).

Wynik: wn(z) – czyli wartość wielomianu wn(x) w punkcie x = z

Algorytm do obliczania wartości wielomianu:

wn(z) = ((…((a0*z + a1)*z + a2)*z + … + an-2)*z + an-1)*z + an

Schemat Hornera: y := a0

y := y*z + a1

y := y*z + a2

…..

y := y*z + an-1

y := y*z + an

informatyka + 14

y := a0

y := y*z + ai dla i = 1, 2, …, n

Specyfikacja problemu – dokładny opis problemu

n mnożeń i n dodawańNie ma szybszego algorytmu!!!

Schemat blokowy algorytmu Hornera

informatyka + 15

Instrukcja iteracyjna

Instrukcja warunkowa:rozgałęzienia algorytmu

Ada Augusta, córka Byrona, uznawana powszechnie za pierwszą programistkę komputerów, przełomowe znaczenie maszyny analitycznej Ch. Babbage’a, pierwowzoru dzisiejszych komputerów, upatrywała właśnie „w możliwości wielokrotnego wykonywania przez nią danego ciągu instrukcji, z liczbą powtórzeń z góry zadaną lub zależną od wyników obliczeń”, a więc w iteracji.

i := 0; y := a0

Początkowe wartości

Czy i = nCzyli, czy wyczerpano

wszystkie współczynniki

NieTak

i := i + 1y := y*z + ai

Wyprowadź wartość yKoniec algorytmu

Pełny schemat blokowy algorytmu Hornera

informatyka + 16

Algorytm Hornera w postaci programu (Pascal)

program Horner;

var i,n :integer;

a,y,z :real;

begin

read(n); read(z);

read(a);

y:=a;

for i:=1 to n do begin

read(a);

y:=y*z+a

end;

write(y)

end.

informatyka + 17

nazwa programu

deklaracje, typy zmiennych

blok programu – początek

czytaj n, czytaj z

czytaj pierwszy współczynnik

początkowa wartość wyniku

pętla od 1 do n

czytaj kolejny współczynnik

powiększenie wyniku

iteracja – koniec

pisz wynik

blok programu – koniec

WarsztatyAlgorytm, język programowania, komputer

informatyka + 18

Proces komputerowej realizacji algorytmu:

•Opis algorytmu

•Zapis w języku programowania (Pascal, C++)

•Przetłumaczenie na język zrozumiały przez komputer

•Wykonanie

•Testowanie

Algorytm Hornera – współczynniki w tablicy (Pascal)

Program Horner_tablica; var i,n :integer; y,z:real; a:array[0..100] of real {Co najwyzej 100 wspolczynnikow}begin read(n); for i:=0 to n do read(a[i]); writeln(' z y'); read(z); while z <> 0 do begin y:=a[0]; for i:=1 to n do y:=y*z+a[i]; write(' ',y:2:5); writeln; read(z) endend.

informatyka + 19

Deklaracja tablicy

Czytanie współczynników

Instrukcja iteracyjna z warunkiem:Obliczanie wartości tego samego wielomianu tak długo, jak długo argument jest różny od zera, czyli z <> 0.

Zastosowania Algorytmu Hornera

1. Obliczanie wartości wielomianów.

2. Obliczanie wartości dziesiętnej liczb danych w systemie o podstawie różnej od 10, np. liczb binarnych.

Uwaga: jest to bardzo prosta metoda, np. dla obliczeń na kalkulatorze bez pamięci.

3. Szybkie potęgowanie (w dalszej części)

informatyka + 20

Otrzymywanie postaci binarnej liczb

Szkolna metoda: dzielimy przez dwa tak długo, jak długo iloraz jest większy od zera – słupki:

dzielenie iloraz reszta

187|2 93 1

93|2 46 1

46|2 23 0

23|2 11 1

11|2 5 1

5|2 2 1

2|2 1 0

1|2 0 1

Reprezentacja od końca reszt:

187 = (10111011)2

informatyka + 21

Program Rozwiniecie_binarne; var a:integer;begin read(a); while a <> 0 do begin write(a mod 2,' '); a:=a div 2 endend.

Ciekawe pytanie: jaka jest długość rozwinięcia binarnego liczby n?

Bardzo prosty program

Podnoszenie do potęgi, 1

Dane: m – liczba naturalna,

x – liczba rzeczywista

Wynik: y = xm

Algorytmy: korzystają ze spostrzeżenia:jeśli m jest parzyste, to xm = (xm/2)2 jeśli m jest nieparzyste, to xm = (xm –1)x (m – 1 staje się parzyste).

Faktycznie, korzysta się z postaci binarnej wykładnika m.

Przykład: m = 22

Sposób 1. Rozłóż m na sumę potęg liczby 2 mamy: 22 = 2 + 4 + 16 A stąd: x22 = x2+4+16 = x2 *x4 *x16 Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x8 = (x4)2, x16 = (x8)2, y = x2 *x4 = x6,

y = y*x16 6 mnożeń (kwadrat to jedno mnożenie)

informatyka + 22

Znajdź rozwinięcie binarne liczby m; mamy: 22 = (10110)2

Przedstaw wykładnik w postaci schematu Hornera; mamy:

22 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = (((2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 +0

Z postaci wykładnika określ kolejność mnożeń:

x(((2+0)2+1)2+1)2+0 = x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2 x)2 =

= (x(((2+0)2+1)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22

Kolejne mnożenia:

x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22

Ten algorytm również wykonał 6 mnożeń, ale liczy inne iloczyny.

Obie metody są bardzo efektywne i praktyczne – wykonują co najwyżej dwa razy więcej mnożeń niż wynosi długość liczby w

postaci binarnej

informatyka + 23

Podnoszenie do potęgi, 2

Algorytm Euklidesa, 1

Uważany za pierwszy algorytm – powstał 300 p.n.e. Chociaż Chińczycy i Hindusi wcześniej tworzyli przepisy

obliczeniowe. Przez długie lata był synonimem algorytmu i od niego zaczynały

wszystkie książki akademicki. Ma bardzo wiele zastosowań praktycznych i teoretycznych:

arytmetyka, czyli obliczenia na liczbach całkowitych

kryptografia – RSA

łamigłówki

Przykład: Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.

informatyka + 24

Algorytm Euklidesa, 2

Problem NWD(m,n) – Największy Wspólny Dzielnik

Dane: m, n – liczby naturalne (można przyjąć, że m ≤ n)

Wynik: NWD(m,n) – Największy wspólny dzielnik liczb m i n.

Przykłady:

NWD(42,14) = 14

NWD(24,16) = 8

NWD(13,21) = 1 13 i 21 są względnie pierwsze

NWD(0,31) = 31 0 jest podzielne przez każdą liczbę

Zasada, wykorzystana w algorytmie – Twierdzenie o ilorazie i reszcie

n = q*m + r, gdzie 0 ≤ r < m

q – iloraz, r – reszta.

informatyka + 25

Algorytm Euklidesa, 3

Wnioski:

1.Jeśli r = 0, to m dzieli n, czyli NWD(m,n) = m

2.Jeśli r ≠ 0, to mamy r = n – qm, czyli każda liczba, która dzieli n oraz m dzieli również r, w szczególności największa taka liczba.

Stąd mamy:

NWD(m,n) = NWD(r,m)

Przykład: NWD(25,70) = NWD(20,25) = NWD(5,20) = NWD(0,5) = 5

NWD(25,70): 70 = 2*25 + 20

NWD(20,25) 25 = 1*20 + 5

NWD(5,20) 20 = 4*5 + 0 r = 0, więc NWD( , ) = 5

Generowane liczby maleją: 70, 25, 20, 5, 0 więc algorytm jest skończony

informatyka + 26

Algorytm Euklidesa, 4 – dwie realizacje

program Euklides;

var m,n,r:integer;

begin

read(m,n);

while m>0 do begin

r:=n mod m;

n:=m;

m:=r

end;

write(n)

end.

informatyka + 27

Realizacja z funkcją:

program Euklides_funkcja; var m,n:integer;

function NWD(m,n:integer):integer; var r:integer; begin while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; NWD:=n end;

begin read(m,n); writeln(NWD(m,n))end.

Funkcja

Wywołanie funkcja

Algorytm Euklidesa, 5 – realizacja rekurencyjna

program Euklides_rekurencja;

var m,n:integer;

function NWD_rek(m,n:integer):integer;

begin

if m>n then NWD_rek:=NWD_rek(n,m)

else if m = 0 then NWD_rek:=n

else NWD_rek:=NWD_rek(n mod m,m)

end;

begin

read(m,n);

writeln(NWD_rek(m,n))

End.

informatyka + 28

Funkcja rekurencyjna

Wywołania rekurencyjne

Algorytm Euklidesa, 6 – zagadki

Przykład 1. Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.

Jeśli istnieje rozwiązanie, to istnieją takie x i y, że

6x + 10y = 15

Czy istnieją? Uzasadnij odpowiedź.

Rozwiązanie 1. W tym przypadku nie istnieje rozwiązanie. Istnieje, gdy prawa strona jest wielokrotnością NWD(6,10).

Przykład 2. W jednym pojemniku są klocki o wysokości p, a w drugim – o wysokości q. Czy zawsze można zbudować wieże z każdego rodzaju klocków, które mają tę samą wysokość? Jeśli jest to możliwe, to jaka jest najmniejsza wysokość takich wież?

Rozwiązanie 2. Zawsze możliwe. Najmniejsza wysokość NWW(p,q).

Pytanie 3. Jaki zachodzi związek między NWD(m,n) i NWW(m,n)?

Mamy NWW(m,n) = (m*n)/NWD(m,n)

informatyka + 29

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna):• Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i

porządkowanie informacji • Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera.• Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne.

Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): • Czy wszystko można policzyć na komputerze? • Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu

informacji. • Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych

małżeństw

informatyka + 30

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach:• Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka

programowania• Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje• Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje

 Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów:• Przegląd podstawowych algorytmów• Struktury danych i ich wykorzystanie• Zaawansowane algorytmy

Tendencje – Wykłady • Algorytmy w Internecie, K. Diks • Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk• Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło

informatyka + 31