3-12-2014 Clculo vectorial

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS

ARMADAS ESPE

CARRERA : ELECTROMECNICA

TITULO : DEMOSTRACIN DE LA

LONGITUD QUE RECORRE LA TIERRA ALREDEDOR

DEL SOL MEDIANTE EL TEOREMA DE PAPPUS.

AUTORES :

CHANCSIG ALEX

TACURI JHON

ZURITA SEBASTIAN

DOCENTE : ING. FREDY BASANTES

NIVEL : SEGUNDO

PARALELO : A

DICIEMBRE - 2014

1

ndice

Contenido

ndice ...................................................................................................................................... 1

ndice de figuras ..................................................................................................................... 2

1. Tema ................................................................................................................................ 3

1. Objetivos ......................................................................................................................... 3

1.1. Objetivo General ...................................................................................................... 3

1.2. Objetivos Especficos............................................................................................... 3

2. Desarrollo ........................................................................................................................ 3

2.1. Marco terico ........................................................................................................... 3

2.1.1. Tierra (Planeta) ................................................................................................. 3

2.1.2. Movimientos de la tierra ................................................................................... 4

2.1.3. Distancia de la Tierra al Sol ............................................................................. 4

2.1.4. Teorema de Pappus ........................................................................................... 5

2.2. Clculos.................................................................................................................... 5

3. Conclusiones ................................................................................................................... 8

4. Recomendaciones ............................................................................................................ 8

5. Bibliografa...................................................................................................................... 8

6. Anexos ............................................................................................................................. 9

6.1. Plan de trabajo.......................................................................................................... 9

6.2. Grficos .................................................................................................................. 12

2

ndice de figuras

Figura 1. Batera .................................................................................................................. 12

Figura 2. Pilas 1.5V ............................................................................................................. 12

Figura 3. Circunferencia de alambre ................................................................................... 13

Figura 4. Motor .................................................................................................................... 13

Figura 5. Batera y motor..................................................................................................... 14

Figura 6. Base de madera, motor e interruptor .................................................................... 14

Figura 7. Montaje inicial ..................................................................................................... 15

Figura 8. Eje de giro ............................................................................................................ 15

Figura 9. Eje finalizado ....................................................................................................... 16

Figura 10. Eje Finalizado (Vista trasera) ............................................................................. 16

Figura 11. Eje (Vista Frontal) .............................................................................................. 17

Figura 12. Proyecto finalizado ............................................................................................ 17

Figura 13. Ensamblaje total ................................................................................................. 18

3

1. Tema

Demostracin de la longitud que recorre la tierra alrededor del sol mediante el teorema de

Pappus.

1. Objetivos

1.1.Objetivo General

Demostrar el valor de distancia recorrida por la tierra alrededor del sol mediante la

utilizacin del teorema de Pappus.

1.2.Objetivos Especficos

Emplear los conocimientos adquiridos en clase para el desarrollo del proyecto y por

ende reforzar los saberes que corresponden a clculo vectorial.

Comprobar datos cientficos reales mediante la aplicacin de herramientas

correspondientes a clculo vectorial.

Realizar una maqueta relacionada con el tema de investigacin, donde se pueda

explicar a detalle cmo se calcula la distancia que recorre la tierra alrededor del sol.

2. Desarrollo

2.1.Marco terico

2.1.1. Tierra (Planeta)

Tierra (planeta), tercer planeta desde el Sol y quinto en cuanto a tamao de los nueve planetas

principales. La distancia media de la Tierra al Sol es de 149.503.000 km. Es el nico planeta

conocido que tiene vida, aunque algunos de los otros planetas tienen atmsferas y contienen

agua.

La Tierra no es una esfera perfecta, sino que tiene forma de pera. Clculos basados en las

perturbaciones de las rbitas de los satlites artificiales revelan que la Tierra es una esfera

4

imperfecta porque el ecuador se engrosa 21 km; el polo norte est dilatado 10 m y el polo

sur est hundido unos 31 metros.

2.1.2. Movimientos de la tierra

La Tierra est en continuo movimiento. Se desplaza, con el resto de planetas y cuerpos del

Sistema Solar, girando alrededor del centro de nuestra galaxia, la Va Lctea. Sin embargo,

este movimiento afecta poco nuestra vida cotidiana.

Ms importante, para nosotros, es el movimiento que efecta describiendo su rbita alrededor

del Sol, ya que determina el ao y el cambio de estaciones. Y, an ms, la rotacin de la

Tierra alrededor de su propio eje, que provoca el da y la noche, que determina nuestros

horarios y biorritmos y que, en definitiva, forma parte inexcusable de nuestras vidas.

Al igual que todo el Sistema Solar, la Tierra se mueve por el espacio a razn de unos

20,1 km/s o 72,360 km/h hacia la constelacin de Hrcules. Sin embargo, la galaxia Va

Lctea como un todo, se mueve hacia la constelacin Leo a unos 600 km/s. La Tierra y su

satlite, la Luna, tambin giran juntas en una rbita elptica alrededor del Sol. La

excentricidad de la rbita es pequea, tanto que la rbita es prcticamente un crculo. La

circunferencia aproximada de la rbita de la Tierra es de 938.900.000 km y nuestro planeta

viaja a lo largo de ella a una velocidad de unos 106.000 km/h. La Tierra gira sobre su eje una

vez cada 23 horas, 56 minutos y 4,1 segundos. Por lo tanto, un punto del ecuador gira a razn

de un poco ms de 1.600 km/h y un punto de la Tierra a 45 de altitud N, gira a unos

1.073 km/h.

Adems de estos movimientos primarios, hay otros componentes en el movimiento total de

la Tierra como la precesin de los equinoccios y la nutacin (una variacin peridica en la

inclinacin del eje de la Tierra provocada por la atraccin gravitacional del Sol y de la Luna).

2.1.3. Distancia de la Tierra al Sol

A pesar que distancia de la Tierra con el Sol nunca es fija, debido al movimiento que realiza

nuestro planeta alrededor del astro, la Unin Astronmica Internacional (UAI) determin una

cifra definitiva en 149.597.870.700 metros.

La distancia anterior siempre se situaba en unos 150 millones de kilmetros, lo que

complicaba los clculos, por lo que la UAI determin que la nueva cifra fuera en metros. As

es compatible con las constantes astronmicas en vigor desde 2009, segn el Observatorio

5

de Pars, lo que facilitar el trabajo de los cientficos, que ya no debern tener en cuenta el

margen de error.

La nueva cifra, no tiene impacto en la vida cotidiana en el planeta y la luz del Sol tardar los

mismos, aproximadamente, ocho minutos en llegar a la Tierra.

2.1.4. Teorema de Pappus

Un matemtico griego que perteneci a la escuela de Alejandra (284-305), Pappos o Pappus,

y que cultiv la matemtica y la mecnica terica estableci una relacin entre centroides y

slidos de revolucin, as como con superfecies de revolucin.

Sea una regin plana R de rea A, que se hace rotar alrededor de una lnea recta que est en

su plano pero que no intersecta la regin (a lo sumo es frontera de ella). El volumen V del

slido de revolucin generado es igual al producto del rea por la distancia d que recorre el

centroide al girar.

Es decir: = 2

El rea de la superficie formada por la rotacin del arco de una regin alrededor de un eje,

situado en el mismo plano pero sin cortar a la regin, es igual al producto de la longitud de

arco de la regin por la longitud que describe la rotacin del centro de gravedad (centroide)

de dicha regin

El volumen del slido de revolucin formado por la rotacin de una regin con respecto a un

eje, que se ubica en el mismo plano y no corta a la regin, es igual al producto del rea de la

regin por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad (centroide) de

la regin.

2.2.Clculos

Distancia de la tierra al sol

= 1.5108

6

Radio total de la tierra

= 6378

Ecuacin de la tierra.

2 + 2 = (3678)2

Distancia que recorre la tierra alrededor del sol.

= 9.30108[] ( )

Ecuacin para determinar el volumen del toro.

=

= 2

[

(4 63782 26378

0

1 +2

63782 2)

(

2 63782

1.5108

0

4 63782 21 + (

)2

1.5108

0)

]

= 4 63782 263782 2 + 2

63782 2

6378

0

= 4 63782 263781

637822

6378

0

= 4[6378]06378

= 5.1108[]( )

7

Centros de masa.

=

1.5108

063782 2

4 63782 21 +2

63782 2

1.5108

0

=

1.5108

0 2

4[6378]01.5108

=[236378

2 2]01..5108

1.20221013 =

4.451020

1.20221013= 3.7015107[]

= . [] ( )

=

= 2(5.1108)(3.70107)

= 2(1.901016)[]3

=

2 = ( )

=

(6378)2

=2(1.901016)

(6378)2

= . [] = (

)

8

3. Conclusiones

Demostramos que mediante el teorema de pappus la longitud de la tierra de nuestros

clculos concord con los datos cientficos reales.

Utilizamos varias aplicaciones de clculos como: la de superficie de revolucin que

demostr veracidad de nuestros clculos estn dentro de valores correctos.

Mejoramos la visualizacin de la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol mediante

la relacin del toro que forma en su trayectoria de traslacin.

Mediante una maqueta logramos representar fsicamente como la tierra gira

alrededor del sol formando una especie de anillo y por ende encontrando el volumen

de ste, que fue el dato que nos permiti calcular la trayectoria de la Tierra alrededor

del Sol.

4. Recomendaciones

Para obtener un valor correcto y verdico, se debe aplicar correctamente los

teoremas pertinentes, ocupando todos los decimales para evitar mrgenes de error

al momento de comprobar el fenmeno de traslacin del planeta alrededor del Sol.

Utilizar fuentes de consulta confiables, preferiblemente de enciclopedias o artculos

cientficos evitando fundamentar datos cientficos de cualquier pgina web.

Utilizar materiales ligeros para no afectar negativamente el rendimiento del motor

que se emplea como eje de giro.

Mantener fijos todos los elementos que componen la maqueta y as evitar

desprendimientos al momento de ejecutar giros a gran velocidad.

5. Bibliografa

http://www.astromia.com/tierraluna/movtierra.htm (valor especfico al que

demostramos su veracidad)

http://www.virtual.unal.edu.co

9

http://www.latercera.com/noticia-astronomos-fijan-distancia-exacta-entre-la-

tierra-y-sol.com

http://www.inta.es/descubreAprende/htm/la_tierra_la_luna_y_el_sol.htm

6. Anexos

6.1.Plan de trabajo

Qu vamos a hacer? Nombre del Proyecto: Demostracin de la longitud que recorre la tierra

alrededor del sol mediante el teorema de Pappus.

Por qu lo vamos a hacer? Fundamentacin del proyecto: Conocer la veracidad de los saberes obtenidos

en las clases de clculo vectorial y comprobar la

potencia de las aplicaciones de las integrales

para solucionar problemas que se dan en la vida

real., o en este caso determinar un dato cientfico

real.

Para qu lo vamos a hacer?* Objetivos del proyecto:

Emplear los conocimientos adquiridos

en clase para el desarrollo del proyecto

y por ende reforzar los saberes que

corresponden a clculo vectorial.

Comprobar datos cientficos reales

mediante la aplicacin de herramientas

correspondientes a clculo vectorial.

Realizar una maqueta relacionada con

el tema de investigacin, donde se

pueda explicar a detalle cmo se

calcula la distancia que recorre la tierra

alrededor del sol.

Dnde lo vamos a hacer? Espacio fsico. Para la realizacin de este proyecto no es

necesario utilizar laboratorios especializados, es

suficiente con emplear una casa (de cualquier

integrante del grupo) y obviamente disponer de

los materiales que se va a utilizar y as

desarrollar el proyecto en un lugar idneo entro

de la casa.

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Cmo lo vamos a hacer? Listado de actividades

Proponer un tema de investigacin interesante y que cumpla con los

requerimientos necesarios.

Buscar informacin referente al tema de investigacin y establecer los datos

tiles para el desarrollo de los clculos

necesarios.

Aplicacin de conceptos aprendidos en clases y uso de los datos recogidos

anteriormente.

Comprobacin de los datos calculados con los datos que se presentan en la

realidad.

Comprar todos los materiales necesarios para el desarrollo del

proyecto.

Escoger un da entre la semana para llevar a cabo el diseo de la maqueta.

Elaborar la maqueta: - Dimensionar todos los elementos

de madera para evitar posibles

complicaciones al momento de

probar la maqueta.

- Ubicar todos los elementos en sus posiciones respectivas y adherirlas

unas con otras.

- Colocar las respectivas fuentes de alimentacin en puntos

estratgicos de la maqueta.

- Realizar todas las conexiones pertinentes para el funcionamiento

de los motores.

- Colocar interruptores para un fcil manejo del giro de cada motor.

- Verificar el funcionamiento de la maqueta, ya finalizada.

Realizar el informe respectivo, abarcando todas especificaciones

detallas por el docente.

Realizar las diapositivas como material de apoyo para el da de la presentacin

del proyecto.

Subir el informe a la plataforma virtual correspondiente a clculo vectorial.

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Quines lo vamos a hacer? Determinacin del tema del proyecto,

consulta de informacin relevante al tema del

proyecto, clculos y elaboracin del informe:

- Chancsig Alex - Zurita Sebastin - Tacuri Jhon

Bsqueda de todos los materiales necesarios

para la maqueta y elaboracin de la misma:

- Chancsig Alex - Zurita Sebastin

Elaboracin de las diapositivas:

- Zurita Sebastin

Cundo lo vamos a hacer? Determinacin del tema del proyecto: Mircoles, 19 de noviembre de 2014

Compra de materiales:

Viernes, 28 de noviembre de 2014

Maqueta, consulta y anlisis matemtico:

Sbado, 29 de noviembre de 2014

Informe y diapositivas:

Martes, 2 de diciembre de 2014

Qu necesitamos para hacer el

proyecto? Materiales y costos:

- 2 motores ($2.5 c/u) - 1 m. de alambre de timbre ($0.50) - 2 interruptores ($0.15 c/u) - 1 portabatera ($0.25) - 2 pilas 1.5V ($0.75 c/u) - 1 porta pilas ($0.50) - 2 palos de pincho ($0.05 c/u) - 1 batera 9V ($1) - 2 cubos de madera ($0.50 c/u) - 3 brocas ($0.75 c/u) - 1 base de madera 15 cm x 15 cm

($2)

- 1 m de alambre ($0.50) - 1 m de estao ($0.25)

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Recursos humanos :

Chancsig Alex

Zurita Sebastin

Tacuri Jhon

Cunto va a costar el proyecto? Total de presupuesto : $ 15.15

6.2.Grficos

Figura 1. Batera

Figura 2. Pilas 1.5V

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Figura 3. Circunferencia de alambre

Figura 4. Motor

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Figura 5. Batera y motor

Figura 6. Base de madera, motor e interruptor

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Figura 7. Montaje inicial

Figura 8. Eje de giro

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Figura 9. Eje finalizado

Figura 10. Eje Finalizado (Vista trasera)

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Figura 11. Eje (Vista Frontal)

Figura 12. Proyecto finalizado

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Figura 13. Ensamblaje total