UNIVERSIDAD NACIONALMAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, Decana de América)

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

E.A.P. COMPUTACIÓN CIENTÍFICA

PROYECTO: Medición del Radio de la Tierra

PROFESOR: Mendoza Nolorbe, Juan

CURSO: Modelos Matemáticos de la Física I

ALUMNOS:

-Quiroz Pérez, Christian J. 11140145

-Espinar Torres, Jam A. 11140350

INDICE

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Modelos Matemáticos de la Física I

Introducción

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Objetivos

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Reseña Histórica

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Proceso

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Pasos

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Conclusiones

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Bibliografía

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Introducción

El presente trabajo es posible a la curiosidad e investigación que el hombre siempre ha tenido, desde que comenzó la vida en nuestro planeta el hombre ha buscado describir muchos fenómenos de alguna manera y saber cómo es que estos influyen en su vida diaria.

Es en este punto en donde entra la Física, una ciencia que describe todos estos fenómenos, y es que gracias a ella es posible predecir muchos hechos, describir fenómenos de la naturaleza y en general aclarar muchas dudas sobre todo lo que pasa a nuestro alrededor.

Al principio de la antigüedad clásica, la creencia generalizada consistía en que la Tierra era plana. Los filósofos griegos de ese periodo tenían tendencia a sacar conclusiones similares a las de Anaximandro, quien creía que la Tierra era un corto cilindro con una superficie plana y circular.

Se ha conjeturado que la primera persona en haber defendido la idea de una tierra esférica fue Pitágoras (siglo VI a. C.), pero esa idea contradice el hecho de que la mayoría de los presocráticos pitagóricos consideraban que la tierra era plana.

En su obra De Cáelo, Aristóteles (siglo IV a. C.) da una explicación razonada de por qué la Tierra es una esfera y cita un valor para su circunferencia que es el correcto dentro de un factor de dos. En el siglo III a. C., Eratóstenes da una estimación más correcta de su circunferencia.

Es increíble lo que se puede hacer con una vara y un poco de geometría. La vara sola no resulta muy útil, y quizá lo único que se nos ocurra hacer con ella es arrojarla para que el perro la traiga. Pero si añadimos la geometría podemos usarla para medir la circunferencia de la Tierra.

La idea se le ocurrió por primera vez a Eratóstenes de Cirene, científico griego nacido por el año 280 a.C. Eratóstenes no tenía perro y tal vez fue gracias a esta providencial canofobia que, cuando tenía enfrente una vara, en vez de arrojarla lejos, pensaba en otras aplicaciones.

Los griegos de la época de Eratóstenes sabían que la Tierra era redonda. No es cierto que Colón fuera el primero en proclamar la redondez del mundo, suscitando el escarnio de sus contemporáneos. Lo que no sabían era de qué tamaño era la pelota mundial.

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Objetivos:

Poder recrear el experimento de Eratóstenes, pero con una ligera variación en la forma de obtener el resultado, hallando en este caso el radio y no el diámetro (el cual también es posible hallar con este método).

Lograr hallar la medida del radio de la tierra mediante operaciones geométricas y medidas con instrumentos de medición cotidianos, y que esta sea la más exacta posible.

Adquirir mayor destreza, habilidad y experiencia en el manejo de instrumentos de medición, además observar cual vendría a ser la utilidad de las medidas en el mundo real.

Desarrollar la habilidad de trabajo en equipo: discusión de ideas, toma de decisiones, aprecio de los distintos puntos de vista, etc.

Reseña Histórica:

Hace más de 2200 años en la antigua Grecia un individuo pudo medir el tamaño de la Tierra simplemente midiendo la sombra dejada por un palo clavado en la Tierra. Lo más sorprendente es que cuando comparamos su resultado con las medidas obtenidas usando tecnología moderna su error fue tan solo de 1%! Se trata de Eratóstenes (273 – 192 a.C.), el encargado de manejar la biblioteca de Alejandría en Egipto e ilustre estudioso de geografía, geometría y astronomía. Eratóstenes se dio cuenta que al medio día en la ciudad de Siena (Aswan hoy en día) un día particular del año los rayos del Sol caían directamente al fondo de un hueco profundo sin producir sombra alguna mientras que a 750 kilómetros al norte, en la ciudad de Alejandría, una estaca clavada en Tierra sí producía sombra a esa misma hora. Esta observación no solamente indica que la Tierra es redonda. Usando geometría elemental y conociendo el tamaño de la sombra en Siena y la distancia entre esta y Alejandría, Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra.

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Proceso:

En la gráfica se muestra un diagrama de la Tierra iluminada por los rayos solares que inciden sobre las ciudades de Lima y Ucayali. Representado en el gráfico aparecen los ángulos a y b que son formados por un palo clavado en la Tierra y con los rayos del Sol en cada una de las dos ciudades. Los ángulos a y b pueden ser medidos formando un triángulo que tiene como lados el palo y su sombra, cuyas longitudes se pueden medir fácilmente.

Como puede apreciarse en el gráfico podemos formar una “Sector Circular” cortando la circunferencia de la Tierra por las líneas que van desde el centro de la Tierra hasta la superficie en los puntos donde se encuentran Lima y Ucayali. El ángulo del sector está indicado por la letra “c” y se puede calcular una vez medidos los ángulos a y b:

Angulo del sector circular:

Como hallar el ángulo que forman los rayos del sol con el palo que se plantó en la tierra:

P=longitud del palo

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L

c = a - b

S=longitud de la sombra

La distancia “L” entre Lima y Ucayali sería la longitud de arco del “Sector Circular”, y como ya tenemos el ángulo podríamos hallar el radio de la Tierra de la siguiente manera:

r = distancia entre Lima y Ucayali, c = ángulo del sector (ver cuadro anterior)

Pasos:

A continuación se muestra el procedimiento mediante el cual se realizó este trabajo. Aunque las medidas aparentemente perezcan fáciles, es importante que estas se hagan minuciosamente y con la indicación de cómo se debe de hacer la medida de la sombra. La fecha y la hora de la medición se deben elegir previamente en coordinación entre las personas que se encuentran en cada ciudad. Para la medición y su preparación se realizaron los siguientes pasos:

1. Fijar un palo de madera de 1 metro de largo sobre una base de tal forma que el palo pueda reposar sobre su base en dirección perpendicular al suelo. Es importante que el palo no sea torcido, utilizándose un palo de escoba.

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L = r x c

ϴP

S

Tan (ϴ)=S/P

ϴ=arctan(S/P)

Lima Ucayali2. Extender un metro a lo largo de la sombra, con el cero en la base del palo, justo en el

punto donde este hace contacto con la Tierra (ver ejemplo en la foto de abajo). Hacer la medición de la longitud de la sombra y anotar los resultados. Nótese que la sombra no termina en un borde perfecto sino en un borde que muestra una degradación de oscuro a claro. Este hecho presenta una oportunidad para ilustrar las dificultades que se encuentran en hacer mediciones “fáciles” en el mundo real. En este momento es importante tener el mejor criterio para saber cuál es la mejor forma de medir la longitud de la sombra cuando su borde no está bien definido. Así que se utilizó la medida más conveniente, la cual se hizo usando el borde exterior de la sombra en donde este termina.

Lima

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Ucayali

Las medidas obtenidas de las sombras fueron 87.8 cm en Lima y 79 cm en Ucayali.

3. Medir con la mayor precisión posible la longitud del palo, medida la cual se tomó 1 metro convenientemente en ambas ciudades ya que vendrían a ser 100 centímetros.

4. Determinar el ángulo que hace el palo con los rayos de Sol, formando un triángulo rectángulo con la sombra.

El ángulo “a” está determinado por las mediciones hechas en la ciudad de Lima y se obtuvo de la siguiente manera:

Tan(a)= 100cm/87.8cm

a=arctan (100/87.8)

a=48.72

El ángulo “b” está determinado por las mediciones hechas en la ciudad de Ucayali y se obtuvo de la siguiente manera:

Tan (b)=100cm/79cm

b=arctan (100/79)

b=51.69

Hallando la medida del ángulo “c” el cual es el ángulo del sector circular se obtuvo con la ecuación dada

Entonces:

c =|48.72-51.69|

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c = a - b

c =2.97

5. La distancia estimada que se calcula desde la ciudad de Lima hasta la ciudad de Ucayali en los puntos exactos en donde las mediciones fueron realizadas es 18’921’868.71 metros aproximadamente.

6. El paso final sería hallar el radio de la tierra con los datos obtenidos del ángulo del sector circular y la distancia entre ciudades, la cual vendría a ser la longitud del sector circular.

L = 18’921.868.71 m

c = 2.97

r = radio de la tierra

18’921.868.71 m = r x 2.97

r = 18’921.868.71 m/2.97

r=6’370’999,57 metros

Conclusión:

Durante el trabajo se ha visto que resulta bastante sencillo poder resolver incógnitas que el hombre antiguo pensaba imposible de una manera muy simple, empleando utensilios y herramientas de nuestra vida cotidiana, claro está que también se ha empleado algunos conocimientos matemáticos como la geometría y la trigonometría, para poder hallar los resultados de nuestras variables. Pero más allá de esto es evidente que solo se necesita un poco de entusiasmo y algo de creatividad para resolver las incógnitas que se presentan durante nuestra vida.

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L = r x c

Bibliografía:

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/eratostenes.htm

http://www.astromia.com/biografias/eratostenes.htm

http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e.html

http://elhilodoradodeariadna.blogspot.com/2010_02_05_archive.html

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/practica/eratostenes.htm

http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2012/06/21/134204

http://www.sinciforma.com.es/detup/index.php?var=eratos.html

http://demasiadollena.blogspot.com/2009/05/eratostenes-calcular-el-radio-de-la.html

http://www.portalplanetasedna.com.ar/eratostenes.htm

http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080124212945AAVsAb6

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