Psicometria con Laboratorio di SPSS 2 - germanorossi.it · Analisi fattoriale confermativa Matrice fattoriale ruotata Assi principali Fattore 1 2 x10 -.970 x8 .946 x3 .926 x4 -.922

Psicometria con Laboratorio di SPSS 2Analisi fattoriale confermativa

(v. 1.1a, 17 aprile 2018)

Germano Rossi1

[email protected]

1Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

2017-18

G. Rossi (Dip. Psicologia) Psico 2017-18 1 / 30

Analisi fattoriale confermativa

Matrice fattoriale ruotataAssi principali

Fattore1 2

x10 -.970x8 .946x3 .926x4 -.922x5 .843x6 .929x7 .895x9 -.891x1 .890x2 .872

Questa è una soluzione fattorialeottenuta nelle analisi fattoriali(esplorative) precedenti, da cuiabbiamo eliminato i valori inferiori a.30L’analisi fattoriale confermativa sichiede se, eliminando le influenze“molto basse” del fattore sugli item,riusciamo a spiegare abbastanzavarianza da “confermare” il modelloteorico


Analisi fattoriale confermativa

Matrice ruotataAssi principali

Fattore1 2

x10 -.970x8 .946x3 .926x4 -.922x5 .843x6 .929x7 .895x9 -.891x1 .890x2 .872

Ignorando i simboli utilizzati, anche questa èun’analisi fattoriale:X1 = 𝜆11F2 + 𝛿1 (𝜆 = 𝛽)X2 = 𝜆21F2 + 𝛿2 (𝛿 = 𝜀)· · ·X10 = 𝜆10,1F1 + 𝛿10

e se passiamo al matriciale:

X = ΛF + 𝛿

la cui formula è simile alla formulafondamentale (salvo i simboli usati)

X = FA′ + U


Procedimento di conferma

L’analisi fattoriale esplorativa parte da una matrice di correlazione(o di associazione)Il procedimento esplorativo stima il parametro di regressione(“saturazione”) con cui il fattore influenza l’itemTramite queste saturazioni possiamo:

1 “Ricostruire” la matrice di correlazione a partire dalle saturazioni(se ortogonale R̂ = AA′ + U2, se obliqua R̂ = PΦP′ + U2)

2 Confrontare la matrice “osservata” (R) con quella “ricostruita” (R̂)3 Fare un’inferenza statistica usando H0 : R = R̂4 Decidere se il modello da noi ipotizzato sia giustificato

statisticamente


I modelli di equazioni strutturali (SEM)

I modelli di equazioni strutturali sono una generalizzazione deimodelli che analizzano le relazioni lineari fra variabili.Alla base dei SEM c’è l’approccio della regressioneIncludono la regressione lineare semplice e multipla, leregressioni lineari multivariate, la path analysis, l’analisi fattorialeesplorativa e confermativa, e modelli ancora più complessiLe relazioni possibili fra due variabili sono la covariazione e lacausazione (o spiegazione)

La covariazione è indicata da una covarianza (o correlazione) esignifica che siamo a conoscenza che esiste un legame fra le 2variabili, ma non sappiamo esattamente quale siaLa causazione significa che una variabile è responsabile deicambiamenti nell’altra ed è indicata dal parametro di regressione


Tipi di relazione

La relazione più semplice è quella diretta: il suo valorestandardizzato coincide con la correlazione (r)

X Y𝛽1

Y = 𝛽1X + 𝜀 rxy = 𝛽1

Un’altra relazione è quella indiretta: il suo valore standardizzatocoincide con il prodotto delle correlazioni

Z

X Y

𝛽2𝛽1

Y = 𝛽1X + 𝛽2Z + 𝜀 rxy = 𝛽1 × 𝛽2


Percorsi causali/relazionali

ZY

X

a

bc

Influenza diretta = percorso semplice (Z → Y = a, Z → X = b,X → Y = c)Influenza indiretta = percorso composto (Z → X → Y = bc) conanche le eventuali covarianzeIl valore di un’influenza indiretta è pari al prodotto delle influenzesemplici



ZY

X

a

bc




ZY

X

a

bc




ZY

X

a

bc




ZY

X

a

bc




X1

X2

Y.40𝛽1

.50𝛽2

r1y = .65

r12=.50

r2y = .70

Uso 1 anziché X1 e 2 anziché X2

r1y = 𝛽1 + 𝛽2r12

r2y = 𝛽2 + 𝛽1r12

𝛽1 = r1y − r12𝛽2 = .65 − .50𝛽2

𝛽2 = r2y − r12𝛽1 = .70 − .50𝛽1

La correlazione fra 2 variabili è la somma di tutte le influenze dirette eindirette tra le due variabili



X1

X2

Y.40𝛽1

.50𝛽2

r1y = .65

r12=.50

r2y = .70

Uso 1 anziché X1 e 2 anziché X2

r1y = 𝛽1 + 𝛽2r12

r2y = 𝛽2 + 𝛽1r12

𝛽1 = r1y − r12𝛽2 = .65 − .50𝛽2

𝛽2 = r2y − r12𝛽1 = .70 − .50𝛽1

La correlazione fra 2 variabili è la somma di tutte le influenze dirette eindirette tra le due variabili


Ricostruzione della matrice R

X1 X2 Y

X1 1X2 .50 1Y .65 .70 1

X1 X2 Y

X1 1X2 .50 1Y 𝛽1 + 𝛽2r12 𝛽2 + 𝛽1r12 1

La matrice di correlazioneR fra 3 variabili (X1, X2 eY ), usabile per unaregressione multipla (le Xspiegano la Y), puòessere ricostruita usandoi percorsi diretti e indiretti.

I percorsi indiretti tengonoin considerazione anchele correlazioni “nonspiegate”.

Al cambiare di X1, cambia anche X2 e quindi la correlazione fra X1 e Ydeve tener conto anche di questo cambiamento.



X1

X2

X3

X4

F2

F1

𝜆11

𝜆12

𝜆23

𝜆24

𝜑21

X1 X2 . . .X1 1X2 𝜆11𝜆12 1X3 𝜆11𝜑21𝜆23 𝜆12𝜑21𝜆23 1X4 𝜆11𝜑21𝜆24 𝜆12𝜑21𝜆24 . . .

Usiamo un modellosemplificato (corrispondentead una confermativa)Anche in un’analisi fattoriale lecorrelazioni fra le variabilipossono essere “ricostruite”tramite i percorsi diretti eindiretti che legano le variabili𝜑21 indica la correlazione fra lelatentiLa correlazione fra X1 e X2dipende solo da F1

La correlazione fra X1 e X3dipende anche da F2



il modello completo dell’esplorativa sarebbe:

𝛿1

𝛿2

𝛿3

𝛿4

X1

X2

X3

X4

F2

F1

𝜆11

𝜆12

𝜆23

𝜆24

𝜑21

r X1 X2 . . .X1 1X2 𝜆11𝜆12 + 𝜆11𝜑21𝜆22 + 𝜆12𝜑21𝜆21 1X3 𝜆11𝜆13 + 𝜆11𝜑21𝜆23 + 𝜆13𝜑21𝜆21 . . . 1X4 𝜆11𝜆14 + 𝜆11𝜑21𝜆24 + 𝜆14𝜑21𝜆21 . . . . . .


Confronto fra R e R̂

Nel ricostruire R dobbiamo considerare anche la parte nonspiegata dei singoli item (𝜀i nella regressione, 𝛿1 nell’analisifattoriale) che va aggiunta.Una volta ricostruita la matrice delle correlazioni (R̂) delleosservate sulla base dei percorsi diretti e indiretti previsti dalmodello confermativo e degli errori (o residui), si può fare unconfronto con la matrice dei dati originale (R)Si utilizza un 𝜒2 con R̂ come valori osservati e R come valori attesiIl 𝜒2 sarà tanto più grande quanto maggiore sarà la discrepanzafra R e R̂


Bontà dell’adattamento

Il 𝜒2 calcolato si confronta con quello critico per

gl =(n − k)2 − (n + k)

2

dove n è il numero delle variabili e k il numero dei fattoriLa formula esatta per il calcolo del 𝜒2 cambia in base al metodo diestrazione, ed è basato anche sul numero dei casi statistici.Per questo motivo tende ad essere significativo (cioè molto alto)L’analisi fattoriale confermativa usa metodi diversi, in quanto usauna funzione di “fitting” (adattamento) specifica per ogni metodo diapprossimazione/iterazione


Funzione di discrepanza

Sotto determinate condizioni, la funzione di discrepanzaF(S,

∑︁(𝜃)) si distribuisce come un 𝜒2 con gradi di libertà:

gl =o(o + 1)

2− t

dove o è il numero di variabili osservate e t è il numero diparametri da stimare(o · (o + 1))/2 è il numero di covarianze su cui si sta lavorandoquesto è uno dei motivi per cui non si può fare un’analisi fattorialecon solo 2 variabili (e 1 fattore) (2 * 3)/2 = 3 − 4 (2 errori e 2parametri da stimare), mentre si può fare con 3 (3 * 4)/2 = 6 − 6(3 errori e 3 parametri da stimare))Il 𝜒2 ottenuto tende ad essere significativo all’aumentare delnumero di variabili e del numero di casi.


Bontà dell’adattamento

Sono stati sviluppati diversi indici per ovviare a questo problema.Molti sono stati sviluppati nell’ambito dell’AFC e poi adottati inAFE, altri il contrario.Possono essere suddivisi in 3 categorie:

Misure di adeguamento assoluto: indicano l’abilità del modello diriprodurre i dati osservatiMisure di adeguamento per il confronto o comparativi:permettono di confrontare fra loro 2 o più modelli e di scegliere ilmigliore (statisticamente)Misure di adeguamento parsimonioso: indici “aggiustati” in baseai gradi di libertà

Ogni software tende a visualizzarne automaticamente qualcuno,gli altri vanno chiesti esplicitamente e non tutti sono disponibili


Misure di adeguamento assoluto

Si possono usare per avere una stima sulla bontà del modello

gamma obiet.

𝜒2 dev’essere non significativo 0 −∞ p >.05RMR Root mean squared residual 0 −∞ ≃ 0SRMR Standardized RMR 0 − 1 < .05RMSEA Root mean squared accettabile < .10

error of approximation buono < .08molto buono < .05


RMR - Root mean squared residual

Sempre proposto da Jöreskog e Sörbom (1984), questo indicecalcola il valore medio della correlazione non spiegata dal modello(q è il numero di variabili)

RMR =

√︃2∑︀

i∑︀

j(rij − r̂ij)2

q(q + 1)

un buon adattamento quando è inferiore a .05Preferire RMSEA


RMSEA - Root mean squared error of approximation

Proposto da Steiger (1980), RMSEA è una stima dell’errore diapprossimazione nello stimare R̂

RMSEA =

√︃𝜒2 − glN · gl

con N uguale all’ampiezza del campioneAnche in questo caso è una stima dell’adattamento nellapopolazioneSono ritenuti ottimi, valori inferiori a .05, buoni se inferiori a .08(qualcuno li accetta anche se inferiori a .10)È molto utilizzata


Misure di adeguamento per il confronto

Si usano quando c’è un confronto fra modelli diversi

gamma obiet.

NFI Normed fit index 0 − 1 > .9TLI Tucker-Lewis Index 0 −∞ > .9NNFI Non normed fit index (=TLI)IFI Incremental fit index 0 − 1 ≃ 1CFI Comparative fit index 0 − 1 > .9RFI Relative fit index 0 − 1 > .9ECVI Expected value of cross-validation 0 −∞ ≃ 0


TLI - Tucker-Lewis Index

Proposto da Tucker e Lewis (1973) è un indice che confronta un𝜒2 calcolato sul modello in esame (target) con un 𝜒2 calcolatoipotizzando che non ci siano relazioni fra le variabili (modellonullo) espresso come rapporto (quindi proporzione) sul modellonullo

TLI =

(︃𝜒2

nulloglnullo

−𝜒2

target

gltarget

)︃× glnullo

𝜒2nullo

un buon adattamento dovrebbe avvicinarsi a 1 (accettabile se >.9), ma TLI può anche essere superiore a 1.è una misura valida per qualsiasi ampiezza del campioneTLI coincide con il Non-normed Fit Index (NNFI)


CFI - Comparative Fit Index

Anche CFI (Bentler, 1990) è basato su un confronto con il modellonullo e stima l’adattamento in riferimento alla popolazione

CFI = 1 −max(𝜒2

target − gltarget ,0)

max(𝜒2nullo − glnullo, 𝜒

2target − gltarget ,0)

un buon adattamento dovrebbe avvicinarsi a 1 (accettabile se > .9)è una misura valida per qualsiasi ampiezza del campione


Misure di adeguamento parsimonioso

Si usano per confrontare fra loro due modelli che differiscono suun solo parametro

gamma scelta

PNFI Parsimonious normed fit index 0-> ∞ il maggiorePGFI Parsimonious GFI 0->1 minoreAIC Akaike Information Criterion minoreCAIC Consistent AIC minore

In pratica, si usano solo AIC e CAIC


AIC - Akaike information criterion

AIC = 𝜒2 + 2q

CAIC = 𝜒2 + (1 + ln N) · q

q è il numero dei parametri sconosciuti (da stimare-uguali)N è il numero di variabili osservateÈ un indice di confronto e al contempo è un indice di parsimoniaSi usa solo per confrontare almeno 2 modelli; è migliore quello piùpiccolo


Indici di adattamento e AFE

Nell’analisi fattoriale esplorativa effettuata con SPSS gli uniciindici che si possono calcolare sono il 𝜒2 e l’RMSEA.SPSS stampa l’indice 𝜒2 quando si usano i metodi di estrazione“Minimi quadrati” non ponderati o generalizzati e “Massimaverosimiglianza”.Usando il 𝜒2 stampato da SPSS si può calcolare “a mano”l’RMSEA

Test di bontà di adattamento

Chi-quadrato df Sig.66,422 51 ,072

con N=143

RMSEA =

√︂66,422 − 51

143 · 51= 0,046


AFC con Jamovi

Matrice ruotataAssi principali

Fattore1 2

x10 -.970x8 .946x3 .926x4 -.922x5 .843x6 .929x7 .895x9 -.891x1 .890x2 .872


AFC con Jamovi

RMSEA =

√︃𝜒2 − glN · gl

=

√︂73.723 − 34

20 · 34= 0,24169


Jamovi


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