Quaderni di “Complementi di Scienza delle Costruzioni”

- Ingegneria Meccanica -

Appunti dalle lezioni a cura di Stella Brach

Anno Accademico 2010 / 2011

Università di Roma “Tor Vergata” – Ad uso esclusivo degli studenti – Giuseppe Vairo

4. La torsione alla de Saint Venant

4. La torsione alla de Saint Venant

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Appunti dalle lezioni – A.A. 2010/2011 3

AVVERTENZA

Le pagine che seguono contengono la copia degli appunti dalle lezioni della studentessa Stella Brach e si riferiscono al corso da 6 crediti formativi di “Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica)”, impartito nell’anno accademico 2010/2011 presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”.

Tali note sono da intendersi esclusivamente ad uso degli allievi frequentanti il corso e non debbono a nessun titolo essere destinati a copia o riproduzione per usi commerciali.

Data la natura personale ed il carattere proprio di trascrizioni dalle lezioni sono inevitabilmente presenti errori ed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di volerci segnalare entrambi, nonché di indicarci quei passaggi che non risultassero comprensibili ad una prima lettura.

dott. ing. Giuseppe Vairo

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Alcuni esempi di soluzione esatta del problema della torsione mediante approccio alle tensioni

La trave a sezione circolare

Si prenda in considerazione una trave a sezione circolare di raggio R soggetta ad una caratteristica di sollecitazione di torsione costante e pari a . Assunto un sistema di riferimento baricentrico e principale di inerzia (G, x, y) nel piano della sezione retta ed espresso il campo di tensioni soluzione del problema di torsione in termini della funzione di Prandtl F(x,y), la congruenza e l’equilibrio ai limiti conducono al seguente problema differenziale in F:

2 0

dove il bordo della sezione è rappresentato dall’equazione:

Affinché sia soddisfatta la condizione al bordo, si può scegliere F come ,

dove si è indicata con K una quantità costante, il cui valore è determinabile imponendo la congruenza:

2 2 2 2

Pertanto, la funzione

, 2

è soluzione del problema differenziale in esame. A questo punto è possibile determinare il campo di tensioni tangenziali :

Utilizzando la soluzione in termini di tensione del problema della torsione ottenuta mediante l’approccio agli spostamenti, si ottengono le condizioni differenziali sulla funzione di ingobbamento ω:

, 0 , , 0

Pertanto a meno di moti rigidi di traslazione lungo z (quindi ponendo 0), la funzione di ingobbamento per la sezione circolare è identicamente nulla.

R

x

y

G

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La trave a sezione ellittica

Si consideri una trave a sezione ellittica con semiassi e soggetta ad un momento torcente :

2 0

Equazione del bordo :

1

La condizione di equilibrio al bordo è automaticamente soddisfatta assumendo, per la funzione di Prandtl F, l’espressione: , 1

Imponendo il rispetto dell’equazione di congruenza si determina il valore della costante K:

2 2 2

da cui si deduce la forma completa della funzione potenziale: , 1

Nota quest’ultima e le principali proprietà geometriche della sezione retta:

4 4

il momento di inerzia torsionale risulta dalla condizione: 2 2

Inoltre, è possibile valutare le componenti di tensione tangenziale:

2

Si osservi che le curve di livello della funzione di Prandtl sono omotetiche alla sezione retta e che,

essendo il rapporto , le tensioni tangenziali variano linearmente lungo un diametro

dell’ellisse.

Esercitazione proposta n.1

Valutare per la sezione ellittica la funzione di ingobbamento e fornirne, assieme con le tensioni tangenziali, una rappresentazione grafica.

x

y

G

a

b

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R

x

y

b

r

θ

Esercitazione proposta n. 2

La trave a sezione triangolare equilatera

Si determinino la funzione di Prandtl , le sue curve di livello, il modulo di rigidezza , l’ingobbamento e le tensioni tangenziali nel caso di una trave soggetta a torsione ed a sezione triangolare equilatera.

2 0

Rappresentazione del bordo : 3

√3 23√3

√3 23√3

Esercitazione proposta n.3

La sezione circolare con intaglio laterale

Si determinino la funzione di Prandtl , le sue curve di livello, il modulo di rigidezza , l’ingobbamento e le tensioni tangenziali nel caso di un albero a sezione circolare di raggio R, lungo una cui generatrice sia presente un intaglio di forma circolare e raggio b. Si consiglia di assumere due sistemi di riferimento: il primo cartesiano (x,y) ed il secondo polare (r,θ) entrambi con origine nel centro dell’intaglio.

2 0

Rappresentazione del bordo : : 2

Si verifichi che il campo di tensione tangenziale soluzione del problema si presenta nella forma:

Sul bordo dell’intaglio: 2 2

x

y

G

a

a/3

2√31

2

3

P

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Nell’albero: 4 4 cos 2cos 4 4 cos 2cos Indicato con P il punto di gola dell’intaglio, si verifichi il seguente risultato:

| | 2

verificando quindi che la tensione tangenziale che si instaura in corrispondenza dell’intaglio è circa il doppio di quella nominale per valori di b che tendono a zero. Pertanto, tale effetto, associato alla singolarità di forma della sezione, è manifesto nell’intensificazione delle tensioni rispetto al caso ideale di assenza di intaglio tramite il fattore 2.

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Roma, 15 gennaio 2011