Quantizzazione delle energie

Tracciare ed identificare i primi tre livelli energetici per un elettroneconfinato in una buca di potenziale a pareti infinite un oscillatorearmonico e un atomo di idrogeno Si indichi la grandezza relativa delterzo e del secondo livello rispetto al primo eg E3 = 3E1

E

xL

E

xL

Infinite Well Oscillator

E1

E2 = 4E1

E3= 9E1

E0 = hf

E1 = 3E 0

E2 = 5E 0

E

x

minusE1

minusE2 = E1 4

minusE3 = E1 9

H Atom

V prop x2

V prop 1x

Oscillatore Atomo di idrogenoBuca di potenzialea pareti infinite

1 Llsquoatomo di idrogeno11 Comportamento in campo centrale

Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

Coordinate sferichex=r sinθ cosφy= r sinθ sinφz=r cosθ

(xyz) rarr ( Rθφ )

∆

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ

Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1

Soluzione

Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)

Dividiamo per Numero intero (m)

m=0 +1 +2

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da rθ

m ε Z

C1 = ml2

Dipende solo da r

Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2

sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre

Soluzione generale funzioni di Legendre Plm

C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))

T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl

m(θφ) Armoniche sferiche

Dipende soloda φ

Dipende solo da θ

euro

1

r 2

d

dξ1minus ξ 2( ) dT

dξ

+ C2 minus

m2

1minus ξ2

T = 0

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagrave di moto prarr

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml

cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

1 Llsquoatomo di idrogeno11 Comportamento in campo centrale

Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

Coordinate sferichex=r sinθ cosφy= r sinθ sinφz=r cosθ

(xyz) rarr ( Rθφ )

∆

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ

Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1

Soluzione

Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)

Dividiamo per Numero intero (m)

m=0 +1 +2

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da rθ

m ε Z

C1 = ml2

Dipende solo da r

Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2

sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre

Soluzione generale funzioni di Legendre Plm

C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))

T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl

m(θφ) Armoniche sferiche

Dipende soloda φ

Dipende solo da θ

euro

1

r 2

d

dξ1minus ξ 2( ) dT

dξ

+ C2 minus

m2

1minus ξ2

T = 0

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagrave di moto prarr

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml

cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ

Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1

Soluzione

Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)

Dividiamo per Numero intero (m)

m=0 +1 +2

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da rθ

m ε Z

C1 = ml2

Dipende solo da r

Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2

sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre

Soluzione generale funzioni di Legendre Plm

C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))

T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl

m(θφ) Armoniche sferiche

Dipende soloda φ

Dipende solo da θ

euro

1

r 2

d

dξ1minus ξ 2( ) dT

dξ

+ C2 minus

m2

1minus ξ2

T = 0

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagrave di moto prarr

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml

cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da rθ

m ε Z

C1 = ml2

Dipende solo da r

Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2

sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre

Soluzione generale funzioni di Legendre Plm

C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))

T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl

m(θφ) Armoniche sferiche

Dipende soloda φ

Dipende solo da θ

euro

1

r 2

d

dξ1minus ξ 2( ) dT

dξ

+ C2 minus

m2

1minus ξ2

T = 0

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagrave di moto prarr

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml

cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagrave di moto prarr

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

euro

vettore posizione rrarr

euro

quantitagravedi moto prarr

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso

m~

zxy componenti indeterminate Esempio l=2

m=-2-1012

euro

∆Lx ∆Ly ge1

2ψ Lx Ly[ ] ψ

euro

L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

sviluppare

Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)

negativo

Dipende da n e l

Limiti per lllt012 n

Come nel modello di Bohr

NONdipende da l

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 12

azimutale l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO

n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1

ldquodegenerirdquo (medesima energia)

n2 possibilitagrave

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

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Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

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r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

ldquomassimordquo sul nucleo

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sinθcosθcosφ

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sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

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Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θndash1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Regione Proibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

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sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie

rn=a0Z n2

Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo

Densitagrave di prob

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm

l = 1 m = plusmn1

m = plusmn1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Ylm

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 01

l = 012

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

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sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θndash3cosθ

sinθ(5cos2

θminus1) sinφsinθ(5cos2θ

minus1) cosφsin2θ cosθ

sin2φsin2θ cosθ

cos2φsin3θsin3φ

sin3θcos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

200 211 211210

100

300 311 311310 321 321320322 322

400 411 411410 421 421420422 422

431 431430432 432 433433

da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p

l = 2 orbitali d

l = 0 orbitali s

l = 3 orbitali f

Rimozione della degenerazione in l

principale n = 12

Momento angolare l = 01234 (n-1)

magnetico(proiezione delmomento angolare)

-l lt m lt l

Numero quantico Simbolo

spdf

Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l

Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia

Uguali autovalori

Vale solo per il potenziale Coulombiano

Rimozione della degenerazione in l

Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1

En=136n2 per ngt2

Z=3

n=1

Litio

La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio

Rimozione della degenerazione in l

La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p

probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno

del guscio 1s

Z=1

Z=3

Potenziale schermato

ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche

Emissione nel giallo589 nm

Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio

Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2

1 elettroni per n=3

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio

Rimozione della degenerazione in l

Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1

En=136n2 per ngt2

Z=3

n=1

Litio

La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio

Rimozione della degenerazione in l

La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p

probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno

del guscio 1s

Z=1

Z=3

Potenziale schermato

ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche

Emissione nel giallo589 nm

Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio

Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2

1 elettroni per n=3

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio

Rimozione della degenerazione in l

La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p

probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno

del guscio 1s

Z=1

Z=3

Potenziale schermato

ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche

Emissione nel giallo589 nm

Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio

Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2

1 elettroni per n=3

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio

Emissione nel giallo589 nm

Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio

Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2

1 elettroni per n=3

Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio