CAPITOLO 2
ANALISI DI SEGNALI SONORI
La natura continua del segnale Sonoro che si manifesta cio con
variazioni di pressione che avvengono senza discontinuit, veniva
trattato dal complesso di apparecchiature elettroniche che
utilizzavano una rappresentazione interna elettro magnetica di per
s continua, e perci la formalizzazione della teoria dei segnali e
del loro trattamento faceva riferimento alla matematica del calcolo
infinitesimale. Ma con la realizzazione degli elaboratori
elettronici e pi in generale con lo sviluppo della tecnologia
digitale, si dovette sviluppare anche una nuova formalizzazione del
fenomeno acustico in s e delle modalit operative di generazione, di
trattamento e di riproduzione dei segnali, dovuta al diverso modo
di rappresentazione. Con l'uso dell'elaboratore il fenomeno
acustico viene trattato come segnale rappresentato in forma di
successione numerica e perci le tecniche di analisi, di sintesi, di
elabora zione, di registrazione e di riproduzione diventano
algoritmi e la teoria matematica di supporto fa riferimento a
successioni numeriche e ad operatori come sommatorie ed equazioni
alle differenze piuttosto che ad integrali e derivate. Si introduce
cos una nuova terminologia che vuole l'aggettivo analogico riferito
al segnale reale e l'ag gettivo numerico riferito alla sua
rappresentazione interna ai sistemi di elaborazione. Argomento di
questo capitolo il complesso delle problematiche e degli apparati
utilizzati nella trasformazione dei segnali analogici in
rappresentazione numerica, e viceversa. Numerico e digitale
verranno usati con lo stesso significato.
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INFORMATICA E MUSICA
DIGITALIZZAZIONE DEL SEGNALEI processi che stanno alla base
della trasformazione in rappresentazione numerica di segnali reali
sono il campionamento, la quantizzazione la codifica. [
25,31,37]
Il campionamento l'operazione attraverso la quale vengono
prelevati i valori (detti appunto campioni) che esprimono
l'ampiezza di un dato segnale ad istanti discreti, che produce cos
una nuova rappresentazione del segnale stesso. La distanza
temporale che intercorre tra il prelevamento di un campione e il
successivo detta periodo di campionamento e quindi il numero di
campioni prelevati nell'unit di tempo (un secondo) rappresenta la
frequenza di campionamento. La quantizzazione l'operazione
attraverso la quale, ad ogni istante di campiona mento, il valore
reale del segnale viene misurato e quindi associato al valore pi
vicino di un opportuno insieme di valori discreti: La codifica
infine l'operazione attraverso la quale ogni valore quantizzato
viene . rappresentato in forma numerica. Tale forma generalmente
coincide con una sequenza di numeri interi espressi in forma
binaria.
1001011
.
o
-. .....
Campionatore
..... -
Quantizzatore
-. .....
Codificatore ~
Nel complesso, il processo di trasformazione si chiama
digitalizzazione del segnale, ed ovviamente da una sequenza di
numeri possibile ottenere un segnale analogico con un procedimento
corrispondente in pratica all' inverso di quello appena visto.
Affinch i dati generati dal processo di conversione AlD
rappresentino senza perdita di informazione il segnale originario,
necessario che vengano soddisfatti alcuni requisiti. Innanzi tutto,
poich nella rappresentazione numerica del segnale vengo no usati
valori numerici (di solito) senza decimali, ogni singolo campione
digitale viene affetto da un errore di approssimazione che viene
detto errore di quantizza zione. Questo errore misurabile in
termini di differenza tra il valore istantaneo del segnale reale e
del valore numerico utilizzato espresso dalla relazioneE. = I
I P(iT) - P q(iT) I
Capitolo 2: ANALISI DI SEGNALI SONORI
79
in cui P(iT) il valore effettivo del segnale analogico e Pq (iT)
il valore quantizzato valutati all'i-esimo istante di
campionamento. Come vedremo tra poco, l'entit dell'errore dipende
dal numero di bit del numero utilizzato per la codifica binaria.
Ora vediamo pi in dettaglio nella figura seguente quanto detto fino
ad ora.Livelli di quantizzazione
Codifica dei livelli di quantizzazione
L7 .-------
Campione quantizzato
111 110 101
6' --Campione effettivo
100
l l
011 010 0010002 .---.- --.. ---.- 1.- --.---.. - --.- - -
-01
'
..
I
I
I
Sull'asse delle ascisse sono riportati gli istanti di
campionamento, mentre sull'asse delle ordinate sono riportati i
livelli di quantizzazione utilizzati rappresentati ulteriormente
con la corrispondente codifica binaria nella tabella riportata
accanto. Il numero di livelli di quantizzazione (Nlq ) usati per la
codifica dipende dal numero n di bit: ad esempio, per 8 livelli di
quantizzazione sono necessari 3 bit. Pi formalmente questa
dipendenza espressa dalla seguente relazione: n=
Iog, Nlq
L'alterazione dovuta alla quantizzazione dei campioni reali
viene considerata come una sorta di rumore sovrapposto al segnale
vero e proprio. Il grado di bont di questa approssimazione
solitamente espresso dal rapporto tra la potenza S del segnale
reale e la potenza media N (Noise) del rumore di quantizzazione,
indicato con SNR (Signal to Noise Ratio). Il valore campionato
viene rappresentato dal pi vicino
"
20
INFORMATICA E MUSICA
livello di quantizzazione tra quelli disponibili (2 n ) e perci
l'errore E(iT) dovuto a questa approssimazione non sar mai
superiore alla met dell'intervallo di separazio ne tra due livelli
consecutivi. Ad esempio, se n=10, cui corrispondono1024 livelli, e
il segnale analogico varia tra -10V e +10V (la variazione
complessiva di 20 V), lo scarto tra due livelli adiacenti risulta
di 20/1024 ~ 20 mV (rnillivolt) e quindi nel caso peggiore avremmo
un errore assoluto di -10mV. Nel caso che il numero di bit
utilizzati per la codifica dei campioni sia sufficientemente
elevata (almeno 6+7), si dimostra che il rapporto segnale/rumore
dato con buona approssimazione da SNR = 22n La rappresentazione
dell'SNR fatta secondo una scala lineare porta a risultati che
spaziano in un intervallo piuttosto ampio, facendo perdere di vista
la misura del rapporto stesso. Per questo motivo preferibile
utilizzare una rappresentazione in scala logaritmica, esprimendo il
rapporto segnale/rumore in deciBel:
Applicando le regole dei logaritmi alla precedente espressione,
si ottiene: SNR = lO log lO 22n = n * 20 logl O 6 02 dB 2=n *'
Questa relazione mostra come ogni bit contribuisca di circa 6 dB
alla riduzione dell'errore stesso. Nella tabella seguente
riportatoil rapporto segnale/rumore espresso sia linearmente che in
dB, in funzione del numero di bit utilizzati per la codifica:
SNR (rapporto segnale/rumore)il
Scala lineare 6 7 8 9
(2 2 n) I
Scala logaritrnica (dB) 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96
lOIl
12 13 14 15 16
4096 16384 65536 262144 1048576 4194304 16777216 67108864
268435456 1073741824 4294967296
Capitolo 2: ANALISI DI SEGNALI SONORI
21
Un altro problema relativo alla digitalizzazione di un segnale
analogico quello relativo alla scelta della frequenza di
campionamento a cui fa riferimento il corrispon dente teorema
(Shannon) e conosciuto nel settore audio anche come teorema di
Nyquist. In base a questo teorema la frequenza di campionamento e
cio il numero di campioni prelevati nell'unit di tempo, deve essere
fissata almeno al doppio della massima frequenza contenuta nel
segnale originale. Poich la gamma frequenziale percepita dall'uomo
varia tipicamente tra un minimo di 16Hz ed un massimo di 16KHz, la
frequenza di campionamento deve essere posta ad almeno 32KHz. In
pratica, per non appesantire eccessivamente i circuiti atti alla
ricostruzione del segnale a partire dai campioni, di solito si
sceglie la frequenza di campionamento 2,5+3 volte superiore a
quella massima contenuta nel segnale stesso. Ad esempio, per lo
standard dell'hifi commerciale stata scelta la frequenza di
campionamento di 44,1KHz per i CD (Compact Disk) e per i DAT
(Digital Audio Tape) anche 48 KHz. Quando il teorema di Nyquist non
viene rispettato, si va incontro al fenomeno conosciuto come
aliasing o foldooer. Prima di esaminarlo in maniera analitica,
vogliamo descriverlo attraverso un esempio figurato. noto che il
movimento delle immagini di un film il risultato della proiezione
di una sequenza di 24 fotogrammi al secondo relativi ad un'immagine
reale in movimento. Al momento della ripresa, avviene il
campionamento ad intervalli regolari di 1/24 di secondo della
infinita sequenza di immagini propria del naturale trascorre del
tempo. Con questa velocit di ripresa e di proiezione, qualunque
immagine in movimento che avviene con velocit sufficientemente
basse come nei normali movimenti delle persone, viene ricostruita
in maniera fedele alla realt. Ma fenomeni che accadono con velocit
superiori, come tipicamente succede per oggetti rotanti, durante la
proiezione non vengono sempre correttamente ricostruiti. Si pensi
ad esempio alle ruote dei carri dei film western che a volte girano
in senso contrario al quello relativo al senso di marcia del carro
stesso. Consideriamo una ruota con quattro raggi del diametro di
30cm circa, tenendo presente che le considerazioni che facciamo
valgono poi per una ruota di 8 raggi e 60cm di diametro ed una con
12 raggi e 90cm di diametro, certamente pi vicine a situazioni
reali. La nostra' ruota dunque di 30*3.14. = 96 cm circa di
circonferenza. Quando inizialmente il carro si muove, diciamo con
cavallo alpasso, presumibilmente ad una velocit di ~ 7Km!h pari a
1.92 = 0.96x2 metri al secondo, la ruota compie due giri completi
ogni secondo, pari ad un angolo di 2x21t radianti. Poich i
fotogrammi di ripresa sono 24 ogni secondo, ciascun raggio della
ruota viene ripreso ad incrementi di angolo di 41t/24=1t/6 radianti
(=30), ed in proiezione il movimento viene ricostruito
correttamente. Quando il cavallo passa al trotto ad una velocit di
~20Km!h = 5.76 = 6xO.96rn/sec., la ruota compie ogni secondo sei
giri completi, pari ad un angolo di 6x21tradianti. Questa volta i
raggi vengono ripresi ad incrementi di 6x21t/24=1t/2 radianti
(=90)
22
INFORMATICA E MUSICA
e siccome i raggi sono quattro, le immagini successive sono
uguali tra loro ed il risultato apparente di una ruota ferma di un
carro in corsa (in realt si vede che qualcosa non torna proprio
perch l'immagine della ruota e confusa e questa confusione data
dalla continua sovrapposizione di immagini diverse come senz'altro
diversi 50n-o in particolare ogni singolo raggio). Quando il
cavallo passa al galoppo ad una velocit di z35Km1h = 9.6 = lOx.96
m/s, la ruota compie ogni secondo dieci giri completi pari ad un
angolo di 10x21t radianti. Questa volta i raggi vengono ripresi ad
incrementi di 1Ox21t/24=51t/6 radianti ( = 150). Mentre un raggio
compie dunque un angolo di 51t/6 radianti, il raggio opposto che si
trova sempre a 1t radianti, si trova nella posizione di 1[+51t/6 =
l11t/6= -x/6. Questo vuoI dire che la successione dei fotogrammi
riprende e ripropone un movimento apparente che risulta essere
contrario a quello originale. Succede dunque che la frequenza
apparente con cui ogni singolo raggio (e quindi la ruota nel suo
insieme) si muove, data dalla differenza tra la frequenza di
presenta zione dei foto-grammi e la frequenza istantanea di
rotazione della ruota. In pratica, in un qualsiasi sistema fisico
in cui sono presenti due oggetti entrambi in movimento periodico di
periodi diversi l'uno dall'altro, si genera sempre un nuovo
movimento periodico sovrapposto a quelli gi esistenti, di periodo
diverso da essi ma pur sempre loro legato. La corrispondente
frequenza detta frequenza immagine.
corretto
fermo
contrario
Campionando perci un segnale che ha frequenze superiori alla met
della frequenza di campionamento (e cio, sottocampionando) si ha
che il numero di campioni ottenuto non sufficiente a ricostruire
correttamente il segnale originale.
Capitolo 2.' ANALISI DI SEGNAU SONORl
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Il fenomeno conusciuto come foldover ( ripiegare intorno) e
corrisponde alla trasformazione del segnale di ingresso in un
segnale a frequenza Ffo1d = Fc - fs ' dove Fcrappresenta il tasso
di campionamento ed fs la frequenza del segnale originale. Pi in
generale, nel caso di un segnale periodico con la fondamentale fo'
ed un certo numero di armoniche superiori, se Fcflon viene fissato
almeno al doppio dell'armo nica a frequenza pi elevata, nel segnale
ricostruito compaiono frequenze immagini non presenti nella banda
base del segnale originale
0,15
01\\ \ \
~~
Segnale da campionare Segnale ricostruito dopo il
campionamento
fo= 12 KHz
Fe = 20KHzffold
~
Te = 0,05msec
= 8KHz
Gli effetti sonori dovuti al foldover sono notevoli. Si pensi ad
esempio al campiona
mento di un'onda che aumentaprogressivamente eli frequenza
(glissando); fino a che tale valore non supera la met della
frequenza di campionamento, il segnale viene ricostruito
correttamente, dopodich il segnale risulta a frequenza decrescente
e perci distorto rispetto al segnale originale. Una volta fissata
la frequenza di campionamento, la rimozione delle frequenze
contenute nel segnale che hanno valore superiore alla met della
frequenza di campionamento stessa, viene risolto attraverso il
filtraggio del segnale da campiona re. Il dispositivo che deve
essere inserito a monte della catena di conversione A!D quindi un
filtro di tipo passa-basso detto anche filtro anti-aliasing. Per
riassumere possiamo dire che considerando il segnale nella sua
forma grafica, e volendo ricostruirlo in maniera grafica, il
campionamento influisce sull'asse delle ascisse (tempo) e la
quantizzazione influisce sull'asse delle ordinate
(risoluzione).~.
