Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB Nama:Prodi Teknik Elektro

Ujian Tengah Semester I, EL 2007 Sinyal Dan Sistem NIM:Waktu: Dua Jam, Tutup Buku

Petunjuk : Lembar soal ini adalah sekaligus lembar jawaban. Kerjakan penurunan jawaban pada kertas milik anda, kemudiansalinlah jawaban tiap pertanyaan pada lembar ini. Kumpulkan juga lembar penurunan bersama lembar jawaban. Kerjakanapa adanya dan gunakan asumsi seperlunya. Selamat bekerja. Sumber: (Oppenheim & Willsky, 1997) dan MIT Opencourseware2003.

1. Diketahui sistem-sistem berikut ini. Periksalah sifat-sifat, serta respons impulsnya yang tersederhana.

(a) (skor 2) y(t) = x(t)cos(3t). Apakah sistem linier?____; h(t) =____

Referensi: x1(t) y1(t) = x1(t)cos(3t); x1(t) y2(t) = x2(t)cos(3t),Hipotesis: x3(t) = 1x1(t)+2x2(t) , maka menurut hipotesis x3(t) yH(t) = 1y1(t)+2y2(t) dansetelah disubstitusi dan disederhanakan menjadi yH(t) = [1x1(t)+2x2(t)]cos(3t)Uji: x3(t) y3(t) = x3(t)cos(3t) = [1x1(t)+2x2(t)]cos(3t) . Karena y3(t) = yH(t) maka hipotesisterbukti, sehingga sistem linier.

(t) h(t) = (t)cos(3t)

(b) (skor 2) y(t) = x(t +2)cos(t +2) di mana 6= 0. Apakah sistem time invariant? : ____ ; h(t) =____Referensi: x1(t) y1(t) = x1(t +2)cos(t +2)Hipotesis: x2(t) = x1(t ), maka menurut hipotesis x2(t) yH(t) = y1(t ) dan setelah disubsti-tusikan dengan Referensi diperoleh yH(t) = x1(t +2)cos(t +2)Uji: x2(t) y2(t) = x2(t + 2)cos(t + 2) = x1(t + 2 )cos(t + 2) . Karena y2(t) 6= yH(t) makahipotesis tidak terbukti, sehingga sistem tidak time invariant.

(t) h(t) = (t +2)cos(t +2)

(c) (skor 1) y[n] =(12

)n(x [n]+2). Apakah sistem stabil? ____;

Referensi: h[n] =(12

)n( [n]+2) = h1[n]+h2[n], di mana h1[n] =

(12

)n [n] dan h2[n] = (12)n 2Hipotesis: A = n= |h[n]|< Uji: Tetapkan B = n= |h2[n]|. Pada indeks n besar yang negatif |h2[n]| , sehingga B .Karena selalu h1[n] 0, kita simpulkan B < A, sehingga A . Karena hipotesis tidak terbukti,sistem tidak BIBO stabil.

[n] h[n] =(12

)n( [n]+2)

2. Diketahui sebuah sinyal x(t) = cos(23 t) , (t dalam detik). Sinyal y[n] adalah hasil sampling dari sinyal x(t)setiap 2 detik.

(a) (skor 2) Tentukan y[n] = _______

y[n] = cos(23 n2) = cos(43 n) = cos(

43 n2n) == cos(

23 n) = cos(

23 n)

(b) (skor 2) Bila y[n] sinusoid periodik, berapa periode nya? N = _________;N = 3

(c) (skor 1) Frekuensinya? f = ______

2 f = 23 f =13

3. Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasangan input-output sebagai berikut(Posisi panah menunjukkan posisi indeks 0).

1

x[n] y[n]

{1, 0, 2}

{0, 1, 2}

{0, 0, 3}

{1, 0, 0, 2}

{0, 0, 0, 1}

{1, 2, 1}

(a) (skor 1) Tentukan apakah sistem linier atau tidak? ____

Referensi: x1[n] = {1,0,2} y1[n] = {0,1,2}; x2[n] = {0,0,3} y2[n] = {1,0,0,2}; x3[n] ={0,0,0,1} y3[n] = {1,2,1};Hipotesis: Karena x3[n] = 13 x2[n1], maka yh3 =

13 y2[n1] =

13{0,1,0,0,2}

Uji: y3[n] = {1,2,1} 6= 13{0,1,0,0,2}= yh3[n]}, maka hipotesis tidak terbukti, dan sistem tidak linier

(b) (skor 2) Cari respons impulse h[n] = ___

Perhatikan bahwa x3[n] = [n3], sehingga [n] = x3[n+3]. Maka h[n] = y3[n+3] = {1,2,1,0,0,0}

4. Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu dengan respons impuls h(t).

x(t) h(t) y(t)

t0

h(t)

1

-1 1

(a) (Skor 4) Sketsalah output y(t), bila input adalah x(t) = k=2 (t k) seperti:

t-1 0

x(t)

1 2 3 4 5

1 1 1 1

Jawab:

t-1 0

y(t)

1 2 3 4 5

2

1

(b) (skor 5) Cari dan sketsa input x(t) di samping kanan apabila output y(t) diketahui periodik pada gambarsamping kiri sebagai berikut.

2

t-4-3

-2 0

y(t)

23 4

6

8

-2

2

t-4-3

-2 0

x(t)

23 4

6

8

-2

1

5. (skor 3) Sebuah sistem LTI kausal yang memiliki persamaan difference

y[n]+3y[n1] = x[n]

Kepada sistem ini diberikan input x[n] =(1

2

)nu[n]. Bila diketahui sistem memiliki kondisi mula y[1] =1.

Tentukanlah output sistem ini

Solusi dari y[n]+3y[n1] =(1

2

)nu[n] adalah y[n] = yh[n]+ yp[n].

Solusi Partikular yp[n] = Kp(1

2

)nu[n], dimana Kp

(12

)nu[n] + 3Kp

(12

)n1u[n 1] =

(12

)nu[n]. Dari

n = 1, diperoleh Kp = 17 . Jadi yp[n] =17

(12

)nu[n].

Solusi Homogen yh[n] berbentuk yh[n] = Khznu[n], di mana dari persamaan homogen z+ 3 = 0, atauz =3. Jadi yh[n] = Kh(3)nu[n]Solusi lengkap adalah y[n] = yh[n]+ yp[n] = Kh(3)nu[n]+ 17

(12

)nu[n].

Dengan memanfaatkan kondisi awal y[1] = 1, maka kita peroleh dari persamaan I/O untuk n =0: y[0] + 3y[1] =

(12

)0, jadi y[0] = 4. Kita gunakan fakta ini pada Solusi lengkap, dimana y[0] =Kh(3)0u[0]+ 17

(12

)0u[0] = Kh + 17 , maka disimpulkan Kh =

227 .

Output dari sistem adalah: y[n] = 227 (3)nu[n]+ 17

(12

)nu[n].

6. Sebuah rangkaian listrik sebagai berikut hendak dimodelkan sebagai sistem waktu kontinu.

+Vi(t)

R1:1

L:1H

IL(t)

R2:1

+

Vo(t)

(a) (skor 1) Model 1: anggap Vi sebagai input dan IL sebagai output. Tentukanlah respon impulsnyahIL(t) = ______

3

Untuk induktor, berlaku

V0(t) = Lddt

IL(t)

Dari hukum Kirchoff diperoleh

Vi(t)V0(t)R1

= IL(t)+V0(t)

R2

dengan menetapkan y(t) = IL(t), x(t) =Vi(t), R1 = 1, R2 = 1, dan L = 1, maka kita peroleh persamaanLCCDE

2ddt

y(t)+ y(t) = x(t)

Dengan pendekatan transformasi Laplace, diperoleh 2sY (s)+Y (s) = X(s), atau

H(s) =Y (s)X(s)

=12

1s+ 12

Maka kita peroleh

hIL(t) =12

et2 u(t)

(b) (skor 2) Model 2: anggap Vi sebagai input dan Vo sebagai output. Tentukan response impulsnyahVO(t) = _______

Dengan menetapkan y(t) =V0(t), x(t) =Vi(t), R1 = 1, R2 = 1, dan L = 1, maka kita peroleh persamaanLCCDE

2ddt

y(t)+ y(t) =ddt

x(t)

Dengan pendekatan transformasi Laplace, diperoleh 2sY (s)+Y (s) = sX(s), atau

H(s) =Y (s)X(s)

=s

2s+1=12

2s+1+

12=1

41

s+ 12+

12

Maka kita peroleh

hIL(t) =14

et2 u(t)+

12

(t)

(c) (skor 2) Buatlah persamaan IL[n] dalam bentuk diskrit yang mendekati IL(t) untuk keperluan simulasi:IL[n] = __________

4

Dari persamaan LCCDE

2ddt

IL(t)+ IL(t) =Vi(t)

Kita estimasi secara waktu-diskrit menurut perioda sampling Ts, sehingga t = nTs, kita dapatkan

2IL[n] IL[n1]

Ts+ IL[n] =Vi[n]

Maka persamaan LCCDE dapat diperoleh dari(2Ts

+1)

IL[n](

2Ts

)IL[n1] =Vi[n]

atau IL[n]

IL[n](

22+Ts

)IL[n1] =

(Ts

2+Ts

)Vi[n]

(Ctt: Sedangkan solusinya dapat diestimasi dari

hIL(n) =12

enTs2 u[n]

)

5