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teoria mate 3 unsa economicas
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MATEMATICA III RESUMEN TEMA I REVISION APLICACIONES DE LA DERIVADA * NOTA: 1) El enunciado siempre corresponder a las hiptesis y a la tesis de los teoremas sin tener en cuenta sus demostraciones. 2) Las hiptesis pueden corresponder a las condiciones para el uso de teoremas. Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula:
( + ) () + (). B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1) (; ) Tesis: Entonces
(; )/() =(). ( )0
0!+(). ( )1
1!+(). ( )2
2!+(). ( )3
3!+(). ( )
!
C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1)() (; )
) () =
=0
Tesis: Entonces
(; )/() =(0). ( 0)0
0!+(0). ( 0)1
1!+(0). ( 0)2
2!+(0). ( 0)3
3!+(0). ( 0)
!
Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Si f una funcin tale que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () (; ) () Tesis:
(; )/() =() ()
B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () 0 (; ) Tesis:
(; )/() ()
() ()= ()
()
Demostracin (4): 1) Considerando: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] la cual es: - Continuas en [a; b] y derivables en (a; b). 2) Adems valuando h(x) en (a) y (b) teneos que: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = [() ()] [0] [() ()] [0] = 0 () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = 0 3) Observaciones: h verifica las hiptesis del Teorema de Rolle por lo que: (; )/() = 0
4) Derivando h(x): Tenemos: () = [() ()] [()] [() ()] [()] y como h'(c)=0, entonces: () = [() ()] [()] [() ()] [()] = 0 [() ()] [()] = [() ()] [()] () ()
() ()= ()
()
La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ (; ) ) () = () = 0 ) () 0 (; ) Tesis:
lim
()
()= lim
()
() ,
Demostracin (3): 1) Por TVM de Cauchy (con b=x) podemos decir que:
(; )/() ()
() ()=()
(), ""
() 0
() 0=()
()
()
()=()
()
2) , (; ) ( ) ( ) :
()
()=
()
()=
()
()
3) Por transitividad:
()
()=
()
()
TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin:
() = () + [() + ]
= ()
Aclaracin:
= () + = () = = =
[() + ]
= ""
Mtodo de partes: Formula:
. = . .
Demostracin (5): 1) Sea; ) = ()) = ()
}
2) La derivada de su producto es: [(). ()]
=[()]
. () + ().
[()]
3) Utilizando la sustitucin i y ii y por el mnimo comn denominador queda: [. ]
=[]. + . []
4) Conmutando e integrando:
[. ] = . [] + . []
. = . + .
5) Reubicando:
. = . .
Integrales trigonomtricas: CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: Modelo: con n=Impar.
Senn(x).dx Cosn(x).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
Sen2(x)=1-Cos2(x) O Cos2(x)=1-Sen2(x)
Solucin:
- Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Resolver el binomio (Si es que lo hay) y luego hacer una distribucin del sen(x) o cos(x) respectivamente. - Resolver las integrales progresivas por tabla y mtodo de sustitucin. CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: Modelo: Con m=Par.
Senm(x).dx Cosm(x).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
Sen2(x)=
1-Cos (2x)
2
Cos2(x)=
1+Cos (2x)
2
Solucin:
- Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Distribuir el exponente (Si es que lo hay) y luego el denominador. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin, esta vez compensando lo agregado debido a la situacin de ngulos dobles 2x.
CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. Modelo: Con n y m=Par o impar.
Senn(x)*Cosm(x).dx
Solucin: - Descomponer la potencia impar como en el Caso I, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son impares, descomponer la menor. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. Modelo: Con m=Par.
Senm(x)*Cosm(x).dx
Solucin: - Descomponer la potencia par como en el Caso II, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son pares e iguales, asociar potencias y utilizar la siguiente identidad:
Sen(2x)=2*Sen(x)*Cos(x) Sen(x)*Cos(x)=Sen(2x)
2
CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. Modelo: Con m y n R.
Sen (nx)*Cos (mx).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
Sen(nx)*Cos(mx)=1
2*Sen[(n-m)*X]+
1
2*Sen[(n+m)*x]
Sen(-A)=-Sen(A) Cos(-A)=-Cos(A) CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: Modelo: con n=Par o Impar.
Tangn(x).dx Cotgn(x).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)
Solucin: Descomponer de la forma:
Tgn(x)=Tgn-2(x)*Tg2(x)
Tgn(x)=Tgn-2(x)*[Sec2(x)-1]
* Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*Cotg2(x)
* Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*[Cosec2(x)-1]
CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: Modelo: con m=Par.
Secm(x).dx Cosecm(x).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)
Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx y expresar el resto en funcin
de Tg(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n=impar.
Secn(x).dx Cosecn(x).dx
Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:
1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)
Solucin: Descomponer de forma que quede Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx (Expresin que ser dv) y el resto considerar
u, se resuelve por partes.
CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: Modelo: con n y m=Par o impar.
Tgn(x)*Secm
(x).dx Cotgn(x)*Cosecm
(x).dx
Solucin: Aplicar tcnica Caso VII CASO X: Producto de Tangentes-secantes y Cotangentes-cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n y m=Impar.
Tgn(x)*Secn(x).dx Cotgn(x)*Cosec
n(x).dx
Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec(x)*Cotg(x).dx o Cosec(x)*Cotg(x).dx y el resto expresar en funcin de Sec(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO XI: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: RECONOCER UTILIZAR
2 2 = . () = . ()
2 2 = . () = . (). ()
2 + 2 = . () = . sec2()
CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS:
= (
2)
{
() =
2
1 + 2
() =1 2
1 + 2
=2
1 + 2
Demostracin de las formulas anteriores (5): 1) Por definicin tenemos que:
(
2) =
1=
2) Por Pitgoras obtenemos que:
2 = 2 + 2
2 = 2 + 12 = 2 + 1 3) Por propiedades de trigonometra obtenemos:
(
2) =
(
2) =
2 + 1
(
2) =
(
2) =
1
2 + 1
4) Por identidad trigonomtrica de ngulos dobles: 4.1) Del seno: (2) = 2. (). ()
[2. (
2)] = 2. (
2) . (
2)
() = 2.
2 + 1.
1
2 + 1
() =2
1 + 2
4.2) Del coseno: (2) = cos2() 2()
[2. (
2)] = 2 (
2) 2 (
2)
() = (1
2 + 1)2
(
2 + 1)2
() =1
2 + 1
2
2 + 1
() =1 2
1 + 2
5) Derivando:
= (
2)
= sec2 (
2) .1
2
2
sec2 (
2)=
=2
1 + tg2 (
2)
=2
1 + t2
TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Dada una funcin f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), y las rectas verticales x = a y x = b. Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: La integral definida se representa por:
().
Propiedades (5):
= . ( )
.
(). = . ()
.
[() +
()]. = ()
. + ()
.
()
. = ()
.
()
. = ()
. + ()
.
f(x)
a b
Integral definida por definicin: Formulas:
() =
[() ]
=1
=
= + ( 1). () = + ( 1/2). () = + . () FORMULAS DE SUMATORIAS:
1 =
=1
=. ( + 1)
2
=1
2 =. ( + 1). (2 + 1)
6
=1
3 =2. ( + 1)2
4
=1
Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): ) () [; ] Tesis:
(; ) / () = ( ) ()
Demostracin (4): 1) Si m y M son los valores mnimos y mximos de = () en el segmento [; ] entonces se podra decir:
( ) < () < ( )
* Nota: Los tres trminos representan el rea (Base*Altura) de los segmentos dibujados.
2) Dividiendo en ( ) los trminos queda:
< ()
( )<
3) Llamaremos (1) a:
=1
( ) ()
a b c
M
m
f(c)
4) Como f(x) es una funcin continua x [a; b], tambin lo ser para los valores entre m y M entonces < < . Por el TVM para funciones continuas en un intervalo donde [; ]/ = ();
- Remplazando en (1) queda:
() =
() =1
( ) ()
() ( ) = ()
() = () ( )
Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (1): ) () .
) () = ()
0
Tesis: () = () Demostracin (2): 1) Por definicin de derivada:
() = 0
( ()+
()
)
() = 0
( ()
+ ()
+
()
)
2) Por TVM para integrales: c [x; x+h] tal que:
() = 0
{[( + ) ] ()
}
() = 0
{ ()
}
() = 0
()
() = () * Nota: Como h0 entonces (x+h)0. Por otro lado, tambin cx, ya que c pertenece al intervalo [x; x+h], entonces: () = () Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Si: ) () [; ]. ) F'(x)=f(x) [; ] Tesis: Entonces:
()
= ()| = () ()
Demostracin (2): 1) Por el 1TFCI:
() = ; () = ()
() = ; () = () = 0
2) Restando m.a.m (1) y (2) y con la sustitucin t=x queda:
() () = ()
0
()
= () ()
TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden. - Sucesin infinita: Si tiende al infinito. - Sucesin finita: Si tiende a un nmero. Lmite de una sucesin: Si una sucesin numrica {an} tiene limite finito L, decimos que es convergente si y solo si > 0 = () / |. | < , || > lim
=
Clases: Sucesiones acotadas:
- Cota superior: {} - Cota inferior: {} Nota: Si una sucesin tiene solamente cota superior o solamente cota inferior, se dice que esta acotada superior o inferiormente. Si tiene cota superior e inferior se dice que solo esta acotada. Series: Una serie es la suma de los elementos de una sucesin. Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): La prueba (o criterios) de Leibniz: Sea:
(1). una serie de trminos alternados (STA) , la misma:
> Converge, si (2): ) +1 ) lim
= 0
* NOTA: Si la STA converge y:
. .
> Diverge, si: Alguno de los puntos i) o ii), que fueron mencionados, llega a fallar. B) Series geomtricas: Definicin:
. 1 { : || < 1 : || 1
=1
Demostracin:
. 1 = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 ++ . 1
=1
La suma de los n primeros trminos de la serie es: = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 + Multiplicando por q ambos miembros: . = . + . 2 + . 3 ++ . Restando m.a.m queda: . = . . (1 ) = . (1 )
= . (1
1 )
Anlisis (2): 1) Partimos de:
= . (1
1 )
= .
1
=
1
1 .
2) Aplicamos lim cuando ( )
lim
() = lim
(
1
1 . )
lim
() =
1
1 . lim
Casos (2):
) || < 1 lim
= 0 =
1 ()
) || > 1 lim
= = ()
) || = 1 Conclusiones: ) || < 1 ) || > 1 C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): Este criterio se utiliza para clasificar las series numricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera. Sea:
()
=1
El criterio de D'Alembert utiliza el nmero (L):
lim
+1
=
Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio. De la raz (o criterio de Cauchy): Sea:
()
=1
El criterio de la raz utiliza el nmero (L):
lim
=
Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio.
De Raabe: Sea:
()
=1
El criterio de Raabe utiliza el nmero (L):
lim
[. (1 +1
)] =
L>1 La serie converge. L
Para la prctica de Extremos libres: Dada = (; ) 1) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0
= 0} ", = 0" , = , (; )
2) Calcular: |0; |0 ; |0 3) Calcular H:
= |
| = . 2
> 0 { < 0 . > 0 .
< 0 = 0
Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Dada (; ) y (; ) = 0 con = (; ; ) = (; ) + . (; ), la condicin para que existan extremos ligados es: ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 Maximo condicionado relativo: Sea A el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Mnimo condicionado relativo: Sea B el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Para la prctica de Extremos ligados (5): Dada = (; ) y (; ) = 0 1) Multiplicadores de Lagrange:
(; ; ) = (; ) + . (; ) 2) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0 = 0
} "" (1)
= (; ) } "y" (2) 3) Igualar (1) y (2): Despejar x e y P0= (x0; y0) 4) Calcular: |0; |; |0; |0 ; |0 5) Calcular H:
= |
0
|
> 0 < 0 . = 0 Extremos absolutos: Maximo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mximo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mximo absoluto de (0; 0) en D. Mnimo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mnimo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mnimo absoluto de (0; 0) en D. Ecuaciones diferenciales (ED): Es aquella en la que interviene una funcin y una o varias de sus derivadas. - Si F(x) tiene una variable independiente, se trata de una ecuacin Diferencial Ordinaria (E.D.O) - Si la ecuacin intervienen varias variables independientes, se trata de una ecuacin diferencial a derivadas parciales Orden: Nmero dado por la mayor derivada presente en la ecuacin diferencial. Grado: Es la potencia de la mayor derivada presente en la ecuacin.
Ejemplo: FUNCION TIPO ORDEN GRADO
3 + 4 = 0 EDO 1 1 4
3y = 1
EDO 1 1
(2
2)
3
+ (
)4
+ 5 = 0 EDO 2 3
3
2 + 1
A derivadas Parciales - -
+ 5 1 = 0 EDO 2 1 6[()]3 4[()]2 + () = 4 EDO 2 3
Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es solucin de una Ecuacin Diferencial si verifica la misma al sustituir en ella F(x) y sus derivadas. - Sol. General: C Desconocida. - Sol. Particular: C Conocida. - Sol. Explicita: y despejada. - Sol. Implcita: y sin despejar. Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: Estructura:
() + () = 0 Solucin general: 1) Separar variables - 2) Integrar.
() = ()
Terminologa a utilizar: (
)
B) Ecuacin diferencial Lineal: Estructura:
+ (). = () Solucin general:
= () . [ () . () + ]
- Demostracin (4):
1) Partimos de la ecuacin de estructura: + (). = () 2) Comprobar que coeficiente que acompaa a (y') sea 1: Ejemplo:
(). + (). = ()
(). + ().
()=()
()
1. + [()
()] . = [
()
()]
+ (). = ()
3) Multiplicamos ambos miembros por el factor integral: ().
[ + (). ]. (). = (). ().
. (). + . ().. () = (). . ()
[. ().]
= (). . ()
[. ().] = (). . ().
4) Aplicamos integrales en ambos miembros:
[. ().] = ().. ().
. (). = (). . (). +
= (). . [ (). . () + ]
Terminologa a utilizar: () C) Ecuacin diferencial exacta: Estructura:
(; ). + (; ). = 0 Condicin:
=
Solucin general:
(; ) . + {(; ) [(; ) . ]
} . =
D) Ecuacin diferencial Homogneas: Estructura:
(; ). + (; ). = 0 Condicin: M y N tienen que ser funciones homogneas de grado n: * Verificacin: (; ) = .(; )
(; ) = . (; )}
Solucin general y demostracin (2): 1) Partimos de la estructura:
(; ). + (; ). (; ). = (; ).
=
(; )
(; )
2) Ahora paralelamente (3):
2.1) Dividimos en el cociente de (/):
=
(; ). (1 )
(; ). (1 )
= (/) (1)
2.2) Utilizamos la sustitucin:
= . =
= . + . Dividimos en dx ambos miembros:
= .
+ (2)
2.3) Igualando (1) y (2):
(/) = .
+ () = .
+
() = .
1
() =1
.
1
() . =
1
.
Aplicamos integral:
1
() . =
1
. } .
MATEMATICA III MAPA TEMA I REVICION APLICACIONES DE LA DERIVADA Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula: B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Tesis C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Tesis: Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Tesis: B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (4): La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (3): TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin: Aclaracin: Mtodo de partes: Formula: Demostracin (5): Integrales trigonomtricas (11): CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: CASO X: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS: TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: Propiedades (5): Integral definida por definicin: Formulas: FORMULAS DE SUMATORIAS: Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): Tesis: Demostracin (4): Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): - Sucesin infinita: - Sucesin finita: Lmite de una sucesin: Clases: Sucesiones acotadas: - Cota superior: - Cota inferior: Series: Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): B) Series geomtricas: C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): De la raz (o criterio de Cauchy): De Raabe: TEMA V FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES: Derivadas parciales: De primer orden (3): De segundo orden o de orden superior (4): Diferencial total: Hiptesis: Tesis: Punto crtico: Extremos relativos (libres): Condicin de existencia (2): Maximo relativo libre: Mnimo relativo libre: Para la prctica de Extremos libres: Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Maximo condicionado relativo: Mnimo condicionado relativo: Para la prctica de Extremos ligados (5): Extremos absolutos: Maximo absoluto: Mnimo absoluto: Ecuaciones diferenciales (ED): Orden: Grado: Ejemplo: Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: B) Ecuacin diferencial Lineal: C) Ecuacin diferencial exacta: D) Ecuacin diferencial Homogneas:
Acerca de: Tejada, Carlos A. (TaLO) http://www.talito.com.ar http://www.ceuce.com.ar/bd mailto:[email protected]