Ponaaje elektrona u kristalu

-Elektron oe imati samo diskretna stanja

-Koncept energiskih traka.

-Elektron se azliito poaa u vakuumu, u atomu ili kristalu.

-Najpre klasia sluaj elektrona u vakuumu, a zatim u potencijalnoj jami.

-Model slobodnog elektrona oe da se primeni kod elektrona koji ne interaguje sa svojom sredinom.

-Elektron nije podvrgnut pivlaeju od strane atoma u kristalu. Putuje u potencijalu koji je konstantan.

Ovakav elektron nazivamo slobodnim elektronom

-Za jednodimenzioni kristal koji je najjednostavnija struktura , oe se napisati vremenski nezavisna Schrdinger-ova jedaia za konstantni potencijal V. -Poto je referenca za potencijal proizvoljna oeo staviti V=0.

Gde je E energija elektrona a m je njegova masa.

Reeje jedaie se dobija u obliku:

Gde je

Reeje predstavlja dva talasa koja se keu u suprotnim smerovima.

)aeje k -K ima jedinicu m-1 ; prema tome pripada eipoo prostoru. -U jednodimenzionom prostoru k je skalar.

-Operator momenta px je dat izrazom:

atajui da se elektron kee u x+ smeru i piejujui operator impulsa na funkciju

Dobijamo:

Svojstvene vrednosti operatora px date su sa:

Moeo zakljuiti da je k impuls do na konstantu . U klasioj mehanici brzina elektrona je v=p/m to daje v=k/m. Tako povezujemo izraz za energiju sa klasii izrazom

Dakle kao i u klasioj mehanici elektron oe da uzme bilo koju energiju iz kontinuuma.

-Moeo interpretirati k na jo jedan ai . -Ako posmatramo 3D kristal k je vektor eipoog prostora. -Izraz exp(ikr) gde je r=r(x,y,z) poloaj elektrona predstavlja ravan prostorni talas koji se kee u pravcu k . -Prostorna frekvenca talasa je jednaka k njegova prostorna talasna duia je jednaka:

-estia u potencijalnoj jami -luaj kada je elektron vezan za mali deo prostora. -Ovo eo ostvariti postavljanjem elektrona u duboku potencijalnu jamu, recimo u jamu sa eskoao visokim zidovima. -Uz ogaieja ovaj problem lii na elektron u atomu gde pivlaeje pozitivnog jezgra formira potencijalnu jamu u kojoj je elektron zarobljen.

-Po definiciji je elektron ogaie na uutajost potencijalne jame i prema tome talasna funkcija iezava na ivicama. - Prema tome gaii uslovi za funkciju su:

Unutar potencijalne jame gde je V=0, Schrdingerova (vremenski

nezavisna) jedaia se oe napisati kao:

Reeje ove homogene jedaie je:

B=0

I prema tome

n=1, 2, 3,...

Talasna funkcija je onda data sa:

-Rezultat je slia kao za slobodan elektron. Energija je funkcija kvadrata

momenta impulsa.

-Razlika je u tome to u sluaju slobodnog elektrona impuls i energija mogu uzeti

bilo koju kontinualnu vrednost dok u

sluaju eskoae potencijalne jame uzimaju samo diskretne vrednosti.

-U sluaju kada iia a tei eskoaosti vrednosti k postaju vrlo bliske i prelaze u

kontinuum kao u sluaju slobodnog elektrona.

Ako razmotrimo jednodimenzioni kristal duie L i kao u prethodnom sluaju stavimo:

Gornji izrazi za energiju i momenta sugeiu da e dozvoljene vrednosti zavisiti od duie kristala to je pogeo zato to iz iskustva znamo da elektronske osobine ne zavise od makroskopskih dimenzija.

Bolje rezultate daju Born-von Karmanovi gaii uslovi poznati kao iklii gaii uslovi.

Da bismo ih dobili savijamo kristal tako da se poetak x=0 i x=L poklapaju. Tada za svako x imamo iklia uslov : Koistei talasnu funkciju slobodnog elektrona i uziajui u obzir peiodiu prirodu problema oeo da apieo:

to aee

gde je n ceo broj.

u 3D sluaju imamo:

Energijske trake (zone) u kristalu (intuitivan pristup)

U jednom atomu elektroni zauzimaju diskretne energijske nivoe. ta se deava kada imamo uee sistem atoma kristal?

Uzmimo Litijum Z=3.

Kod njega dva elektrona sa suprotnim spinovima zauzimaju 1s nivo, a tei zauzima 2s nivo.

Elektronska kofiguracija je 1s22s1 .

Svi atomi litijuma imaju istu elektronsku kofiguraciju i iste energijske nivoe.

Zamislimo sada hipotetiki molekul od dvaatoma litijuma. Imamo etii elektrona koji ele da zauzmu 1s nivo. Prema Paulijevom principu iskljuivosti samo dva elektrona sa suprotnim spinovima mogu da zauzmu jedan energijski nivo, dakle samo dva od etii 1s elektrona mogu da zauzmu 1s nivo.

Ovo je problem za molekul i zato se 1s nivo razdvaja na dva koja imaju blisku ali u

svakom sluaju azliitu energiju.

Ako kristal litijuma ima N atoma sistem e sadati N 1s nivoa i isto razmatranje se oe primeniti na 2s nivoe. Broj atoma u kubnom centimetru je oko 5x1022 , i kao rezultat imamo da se svaki

energijski nivo cepa na 5x1022 azliitih nivoa. Kako je razlika izmedju ajieg i ajvieg nivoa (rezultat cepanja) svega nekoliko eV, energijska ralzlika izmedju dva susedna razdvojena nivoa je oko 10-22eV.

Ovo je paktio kontinuum dozvoljenih energijskih vrednosti za elektron.

Ovo je koncept energijskih zona u kristalu. Izeu dozvoljenih energijskih zona se nalaze zabranjene.

Energijski nivoi i energijske zome se prostiju itavi kristalom. Zbog potencijalnih jama generisanih atomskim jezgrima neki elektroni (1s) su ogaiei na okolinu jezgra .

2s elektroni sa druge strane mogu da pevaziu pivlaeje jezgra i keu se kroz kristal.

Model Krnig-Penney-a

poluprovodnici su kao i metali i neki izolatori uglavnom kristali.

To zai da su atomi na uee i peiodia ai postavljeni u kristalu. U kristalu svaki atom formira lokalnu potencijalnu jamu koja pivlai elektrone. Iz elektrostatike znamo potencijalnu energiju koja je rezultat pivlaeja elektrona q i +qZ gde je Z atomski broj:

Ovaj izraz zanemaruje uticaj ostalih elektrona koji ekraniraju elektrone sa viih nivoa.

Kako e se elektron poaati u kristalu? Radi jednostavnosti petpostavieo da je kristal skoro ezkoaa, jednodimenzioni lanac atoma.

Ovo deluje dosta grubo ali ouvava kljuu osobinu kristala: peiodiu prirodu poloaja atoma u kristalu. Mateatiki, peiodia priroda potencijalnih jama generisanih atomima se oe prikazati:

gde je a+b rastojanje izmedju dva atoma u x-pravcu.

Peiodia priroda potencijala ima dubok uticaj na talasnu funkciju elektrona. Ona mora da zadovolji vremenski nezavisnu Schrdingerovu jedaiu kad god x zamenimo sa x+a+b u operatorima koji deluju na . Ovaj uslov se dobija ako talasna funkcija zadovoljava Blochovu teoremu koja se

oe formulisati: Ako je V(x) peiodio tako da je V(x+a+b)=V(x), onda je

Druga formulacija je:

Ako je V(x) peiodio tako da je V(x+a+b)=V(x), onda

dve formulacije su ekvivalentne poto:

Poto je potencijal u kristalu veoma sloea funkcija koistieo aproksimaciju Krnig i Penney-a gde se V(x) zamenjuje peiodio sekvencom etvtastih potencijalnih jama.

Ova aproksimacija je pilio gruba ali ouvava peiodiu prirodu promene potencijala ooguavajui zatvorenu formu eeja .

Medjuatomsko rastojanje je a+b, potencijal u blizini atoma V1 , potencijal izmedju

atoma je V0 . Oba potencijala su negativna u odnosu na neki referentni V=0 izvan

kristala. Aaliziaeo energiju elektrona E koja se nalazi izmedju V1 i V0 . U oblasti I V(x)=V1 , SJ glasi:

U oblasti II :

eeja su u oblasti I

u oblasti II

i su realni brojevi. Peiodia struktura kristala ukazuje na to da talasna funkcija zadovoljava Blochovu teoremu i oe biti zapisana u sledeoj formi

gde je uk(x) peiodia funkcija sa periodom a+b to aee:

Tada oeo da apieo:

Da bi izauali integracione konstante koristimo gaie uslove i to da su talasna funkcija i njen prvi izvod neprekidni u takaa x=0 i x=a. U x=0 imamo A+B=C+D

za izvod dobijamo

U x=a

Koieje Blochove teoreme:

za izvod dobijamo uz koieje Blochove teoreme:

P(E)=cos(k(a+b))

Simultano eeje leve i desne strane jedaie alae da je -1

Koistei ovaj izraz oe se nacrtati E(k) grafik.

Krive E(k) na slici pokazuju sa se mogu ogaiiti na period od /a+b do /a+b) bez gubitka informacija.

Ova posebna oblast se naziva prva Brillouenova

zona.

Druga Brillouenova zona se prostire od /a+b) do -/a+b) i od /a+b do /a+b) , itd.

-Koieje Born-von Karmanovih gaiih uslova u jednodimenzionom kristalu daje vrednosti za k:

-Koistei izraz (sa P(E)) oe se nacrtati i E(k) dijagram. -Energija elektrona u kristalu grubo ima istu zavisnost kao i slobodni elektron. ---

-Glavna razlika je postojanje zabranjenih zona, i zakrivljenost svakog od

segmenata E(k) krivih.

Zbog peiodiosti kristalne eetke (period je a+b), peiodiost eipoe eetke je /a+b). -Kriva E(k) se se oe poiiti od k=- do k= sa periodom /a+b), to daje vrednosti dozvoljenih energija za ceo jednodimenzioni kristal.

gde je N broj elija kristalne eetke. Duia kristala je N(a+b). Poto smo se ogaiili na prvu B. zonu vrednosti k koje treba razmotriti su date sledei izrazom:

-vrednost /a+b) je iskljuea jer je duplikat k=-/a+b) talasnog broja. - Ogovaajue vrednosti za n idu od N/2 do (N/2-1). - Prema tome vrednosti k koje treba razmatrati su

n=0, 1, 2, 3, ..., (N/2-1), -N/2.

-Ima N talasnih brojeva u prvoj Brillouinovoj zoni, to odgovara broju elementarnih elija u kristalu. -Za svaki talasni broj postoji dozvoljena energija u svakoj energijskoj zoni.

-Prema Paulijevom principu iskljuivosti svaka zona oe da sadi maksimum 2N elektrona.

Jednodimenziona zapremina prve Brillouinove zoe je /a+b) . Poto sadi N k vrednosti gustina k vrednosti u prvoj B zoni je:

n(k)=N(a+b/=L/.

-U sluaju 3D kristala izauavaje energijskih zona je daleko komplikovanije, ali bitni rezultati jednodimenzionog modela i dalje stoje.

-Pre svega postoje postoje dozvoljene energijske zone razdvojene zabranjenim

energijskim procepima.

-3D zapremina PBZ je 83N/V, gde je V zapremina kristala, broj talasnih vektora jednak je broju elementarnih elija, N. Gustina talasnih vektora je data sa:

n(k)=gustina k=(broj k-vektora ) / (zapremina zoe= NV/83N/V=V/83)

Valentna zona i provodna zona

-Hemijske reakcije potie od razmene elektrona koji potiu od spoljajih elektronskih ljuski atoma.

-Elektroni uutajih ljuski ne uestvuju u hemijskim reakcijama zbog jakog elektostatikog pivlaeja jezgra. -Isto tako veze izeu atoma u u kristalu kao i elektronski transportni fenomeni potiu od elektrona iz spoljajih ljuski. -Jezikom energijskih zona , elektroni odgovorni za formiranje veza izeu atoma se nalaze u poslednjoj populisanoj zoni gde elektroni imaju ajvie energijske nivoe za osnovno stanje atoma.

-U svakom sluaju postoji eskoaa broj energijskuh elektrona. - Prve ajie zone sade jezgarne elektone kao to su 1s elektroni koji su vsto vezani za jezgro.

-Najvie zone ne sade elektrone. -Poslednja zona u osnovnom stanju koja sadi elektrone naziva se valentna zona, zato to sadi elektrone, zato to sadi elektrone koji formiraju aee kovalentnu- vezu izeu atoma.

-Dozvoljena energijska zona odmah iznad valentne naziva se provodna zona.

-U poluprovodniku je ova zona potpuno prazna na niskim temperaturama (T=0).

-Na vii temperaturama neki elektroni imaju dovoljno termalne energije na napuste funkciju formiranja veze izeu atoma i ikuliu u kristalu. -Ovi elektroni Ovi elektroni peskau iz valentne zone u provodnu gde mogu slobodnu da se keu. -Energijska razlika izmedju vrha valentne zone i dna provodne zone se naziva

zabranjeni procep i ozaava se Eg. U optije smislu mogu se javiti sledee situacije u zavisnosti od poloaja atoma-elementa u periodnom sistemu:

A. Poslednja (valentna zona ) je samo deliio popunjena elektronima ak i na T=0. B. Poslednja (valentna zona ) je potpuno

popunjena elektronima na T=0, ali se sledea (prazna) energijska zona preklapa sa njom (tj.

prazna zona deli neki zajediki opseg energija, Eg

U sluajevia A i B elektroni sa ajvii energijama mogu lako dobiti infinetezimalnu koliiu energije i peskoiti u eto energijski viu dozvoljenu zonu i kretati se kroz Kristal. Drugim eia elektroni mogu napustiti atome i kretati se kroz kristal bez dodatnog priliva energije. Materijali sa ovakvim osobinama su

metali. U sluaju C potrebno je uloiti zaaju koliiu energije Eg ili vie u eleto da i o peskoio u dozvoljeni energijski nivo provodne zone. To zai da electron mora da primi zaaju koliiu energije da bi napustio atom i kretao se slobodno kroz atom. Materijali sa ovakvim osobinama su ili izolatori ili poluprovodnici.

Razlika izeu izolatora i poluprovodnika je isto qvantitativna i zasnovana je na veliii energijskog procepa. U poluprovodnicima je Eg msnje od 2eV i termalna energija na sobnoj temperature ili eksitacija vidljivim fotonima je dovoljna za prelaz

iz valentine u provodnu zonu. Energijski procep za ajee koiee poluprovodnike su: 1.12eV (Si), 0.67eV (Ge) i 1.42 (galijumarsenide). Izolatori

imaju zaajo ie energijske procepe : 9.0eV (SiO2), 5.47 (dijamant) i 5eV (Si3N4). U ovim materijalima na sobnoj temperature termalna energija nije dovoljna da

elektroni peu u provodnu zonu.

Pored elementalnih poluprovodnika kao to su silicijum i germanijum , mogu se sintetisati sloei poluprovodnici kombinovanjem elemenata IV grupe periodnog sistema (SiC i SiGe) ili kombinovanjem elemenata III i V grupe periodnog sistema

(GaAs, GaN, InP, AlGaAs, AlSb, GaP,AlP i AlAs). Mogu se koristiti i elementi iz drugih

kolona (HgCdTe, CdS,...). Dijamant ispoljava polupovodike osobine na visokim temperaturama, a kalaj postaje poluprovodnik na niskim temperaturama. Oko 98%

svih polupovodikih komponenata proizvedeni su od monokristalnog silicijuma, integralna kola, mikroprocesori, memorije itd. Ostalih 2% koriste III-V jedinjenja, kao

to su svetlee diode, laserske diode i neke komponente u mikrotalasnom frekventnom domenu.

Mogue je da i nekristalne substancije ispoljavaju polupovodike osobine. neki materijali kao to je amorfni silicijum, kod koga rastojanje eu atomima varira na sluaja ai, oe da se poaa kao poluprovodnik. Ipak mehanizni transporta

naelektrisanja u ovim materijalima su potpuno

dugaiji nego u kristalnim poluprovodnicima. Prigodno je predstaviti energijske zone u realnom

prostoru umesto u k-prostoru. U tom sluaju se dobija sledei dijagram gde x-oda defiie fiziko rastojanje u kristalu.

Maksimalna energija u valentnoj zoni je ozaea sa EV, minimalna energija u provodnoj zoi je ozaea sa EC i iia eegiskog poepa sa Eg. Takoe je zgodo uvesti i poja Feijevog ivoa. Feijev ivo, EF, predsavlja maksimalnu energiju elektrona u materijalu na temperaturi 0 K. Na toj temperaturi, svi

dozvoljeni energijski nivoi ispod Fermijevog su zauzeti i svi nivoi iznad Fermijevog su

pazi. Alteativo, Feijev ivo se defiie kao eegijski ivo koji ia % veovatoe da ude popuje elektoia ak iako oe iti uuta poepa. U izolatorima i poluprovodnicima znamo da je valentna zona popunjena i da je provodna

zoa paza a K. Pea toe Feijev ivo lei egde u poepu izeu Ev i E. U metalu Fermijev nivo se nalazi unutar zone.

Neogue je pedstaviti eegijske zoe kao fukiju od k=k(kx,ky,kz) za trodimenzioni kistal u dve diezije a papiu. Moeo ipak pedstaviti Ek du glavih kistalih pravaca u k-prostoru i staviti ih na jedan grafik. Na primer na gornjoj slici vidimo

maximum valentne i minimum provodne zone u pravcima[100] [111] za dva kristala.

Kristal A je izolator ili poluprovodnik Eg>0 dok je B metal Eg

Dijagrami energijskih zona du glavnih kristalnih pravaca dozvoljavaju analizu nekih osobina. Naprimer:

na B se minimum energije u provodnoj i maksimum energije u valentnoj zoni javljaju

za isto k=0. Poluprovodnik koji ispoljava ovu osobinu naziva se direktno bandgap

polupovodik. Piei ovakvih polupovodika su sloei polupovodii aziai a GaAs. U ovakvi polupovodiia elektoi ogu pasti iz povode zoe u valetu ez auavaja zakoa ouvaja oeta tj. ez poee oeta. Ovaj poes ia veliku veovatou i guitak eegije u to skoku se oe eitovati u oliku fotoa h=Eg. Na slii A iiu eegije u povodoj i aksiu u valetoj se javljaju a azliiti k-vrednostima. Ovakvi poluprovodnici su indirektni bandgap poluprovodnici. Ovakvi su Si i Ge. U ovakvom poluprovodniku elektron ne

oe pasti iz povode u valetu ez poee oeta. Ovo eveovato sajuje veovatou da elekto diekto pade izpovode zoe u valetu.

Apoksiaija paaolie zoe )a elektie feoee sao elektoi loiai lizu aksiua valete zoe i minimuma provodne zone su od interesa. Ovo su energijski nivoi na kojima se mogu

ai sloodi poketi lektoi edostajui valeti elektoi. U to sluaju kao to se vidi sa goje slike zavisost eegije od oeta se oe apoksiiati kvadato paaolio fukijo. Blizu iiua povode zoe oeo apisati:

U lizii aksiua valete zoe oeo apisati:

Gde su A i B kostate. Apoksiaija se zove paaolia apoksiaija zoe i lii a elaiju Ek za odel sloodog elektoa.

Poja upljie Da i pojedostavili azuevaje elektiog povoeja u kistalu oeo apaviti poeeje izeu toka aelektisaih estia u eegijski zoaa i kretanja vodenih kapi u cevi.

Na slici vidimo cevi zatvorene na oba kraja. Donja cev je potpuno napunjena vodom,

dok je goja potpuo paza apujea vazduho. U aalogiji izeu naelektrisanja i vode, svaka kap odgovara jednom elektronu, a gornja i donja cev

odgovaraju provodnoj i valentnoj zoni respektivno. Naginjanje cevi odgovara primeni

elektiog polja a polupovodik. Kad se pua i paza ev agu e oe se uoiti ikakvo ketaje tj. ea elektie stuje u polupovodiku. )ai, polupovodik se poaa kao izolato.

Uzio jedu kap iz pue evi i peestio je u pazu to pedstavlja poeaje elektoa iz valete u povodu zou. Ako su evi agute, videe se ketaje teosti to odgovaa potoku elektie stuje u polupovodiku. Protok vode u gornjoj cevi (provodna zona) je zbog pokretanja kapi vode

elektoa. tavie, postoji i potok vode u dojoj evi valeta zoa poto voda oe zauzeti esto koje ostaje iza ehuia koji se kee. Lake je aavo vizuelizovati sa ehui uesto ketaja valete vode iza jega. Ako je u ovoj vodeoj aalogiji elekto pedstavlje kapljio vode, ehui ili edostatak vode u valetoj evi pedstavlja eto to se zove upljia. upljia je ekvivaleta edostajue elektou u kistaloj valetoj zoi. upljia ije estia i e postoji saostalo. Oa vue svoje postojaje iz odsustva elektoa u kistalu, kao to ehui postoji sao zog edostatka vode. upljie ogu da se keu koz kistal peko sukesivog popujavaja pazog postoa koji ostavlja edostajui elekto. upljia osi pozitivo aelektisaje +, kao to elekto nosi negativno q (q= 1.6x 10-19C).

Efektivna masa elektrona u kristalu

Masa elektoa oe se defiisati peko elaije F=a, gde je a uzaje elektoa pod utiaje sile F. ijeia da je elekto u kistalu utiae a jegov odgovo a piejeu silu. Pea toe, oigledo, efektiva asa elektoa u kistalu e se azlikovati od oe u vakuuu. U sluaju sloodog elektoa asu eo doiti iz izaza za eegiju:

gde je m=mo=9.11x10-28 g masa elektrona u vakuumu. Masa je konstantna jer je

E kvadratna funkcija k.

Koistei goji izaz kao defiiiju ase elektoa izaze za PE u sluaju jedodiezioog kistala oeo izauati efektivu asu elektoa uuta zona.

gde je m* efektivna masa elektrona u

kistalu. )a azliku od sluaja slobodnog elektrona efektivna masa

elektrona u kristalu nije konstantna,

ve se eja kao fukija k:

tavie asa u kistalu e se azlikovati od zoe do zoe. Mogu se apaviti sledea opta zapaaja: -ako se elektron nalazi u gornjoj polovini

energijske zone njegova efektivna masa je

negativna.

-ako se elektron nalazi u donjoj polovini

energijske zone njegova efektivna masa je

pozitivna.

-ukoliko je elektron blizu sredine energijske

zoe, efektiva asa tei eskoaosti. Negativna masa elektrona locirana u

gornjem delu energiske zone deluje kao

izeaeje, ali se lako oe opjasiti pojo upljie. Razotio uzaje, a, dato elektronu naelektrisanja q i negativne mase m* u elektio polju E. Lako je shvatiti da ovo ubrzanje odgovara

upljii sa pozitivo aso +* i pozitivnim naelektrisanjem +q :

U sluaju todiezioalog kistala izaz za efektivu asu je koplikovaiji zato to uzaje elektoa oe iati azliit pava od delovaja sile. U to sluaju se efiktiva asa oe pikazati tezoo:

Oio se u fizii polupovodikih kopoeti opeie sao elektoia koji se alaze lizu iiua povode zoe i upljiaa setei lizu aksiua valete zoe. U sluaju siliijua asa elektoa lizu iiua povode zoe du [100] kx pravca jednaka je ml*=0.97 m0, au ortogonalnom pravcu mt*=0.19 m0. ml

* se naziva longitudinalna masa a mt* transferzalna masa dok je m0 masa

slobodnog elektrona u vakuumu. Ove mase su povwzane sa energijom kroz

apoksiaiju paaolie eegijske zoe:

gde je Ec(km ajie eegijsko staje u povodoj zoi du [100] ili [-100] kx pravaca.

U ajpaktiiji sluajevia, adi jednostavnosti, smatra se da je efektivna

asa kostata. U to sluaju * se apoksiia skalao vedou.

U jednodimenzionom kristalu vidi

se kvadratna zavisnost energije

od k na A.

Postoje dva vektora km+dk i km-dk koji odgovaraju istoj vrednosti energije Ec(km+dk).

U dvodimenzionom kristalu mesto (kx,ky) vrednosti koje odgovaraju energiji Ec(km+dk)

je elipsa u (kx,ky) ravni B.

Todiezioali sluaj e oeo atati ali se iz D i D sluajeva oe zakljuiti da k vedosti koje odgovaaju Ec(km+dk) formiraju elipsoide u (kx,ky,kz) postou C. U D kistalia kao to je i postoji ekvivaletih kistalih pavaa [100], [-100], [010], [0-10], [001] i [00-1], koji predstavljaju energijski minimum

(minimum provodne zone). Mesto k-vrednosti koji odgovaraju posebnoj energiji su

6 elipsoida C. Centri ovih elipsoida su 6 k vrednosti koje odgovaraju energijskom

ninimumu provodne zone. Radi pojednostavljenja elipsoidi se mogu aproksimirati

sfeaa D to je ekvivaleto izjedaavaju tasfezale i logitudiale ase. mt

*=ml* ) Energija u blizini maksimuma valentne zone je data sa:

Gustina stanja u energijskim zonama

Gustina dozvoljenih stanja u 3d kristalu data je sa

po jedinici zapremine kristala

. Ako defiieo fk kao veovatou da ova staja udu zauzeta, oda se elektronska gustina, n, u energijskoj zoni En(k oe izauati itegaijo poizvoda gustie staja sa veovatoo zauzea po PB zoi:

Na slia ai gustia upljia uuta eegijske zoe se oe izauati kao:

Funkcija n(k) predstavlja gustinu dozvoljenih stanja u energijskoj zoni. f(k) je

statistika fukija aspodele koja je fukija eegije, En(k). U uslovima teodiaike avotee k) je Fermi-Dirakova funkcija raspodele data sa:

gde je EF eegija azvaa Feijev ivo , k je Bolaova kostata, a T je absolutna temperatura. Fermi-Diracova raspodela za T>0:

f(E)=0.5 ako je E=EF , bez obzira na

temperaturu. Dakle druga definicija

Fermijevog nivoa je da je to energijski nivo

sa % veovatoe da ude zauzet.

Da bi dobili integrale za n i p zavisnosti n i f treba transformisati u zavisnost od energije E.

Da i ovo uadili azotio jediiu eliju eipoe eetke gde su kx, ky i kz dati sa:

i nx=ny=nz

zapeia ove elije je kxkyky=83/L3 . Ako kistal ia jediiu zapeiu oda L3 = i zapeia jediie elije kistala jediie zapeie i k-prostoru jednaka je 83 . U ovo kistalu zapeia sfeie ljuske deljie dk u k-prostoru je data sa:

oj jediiih elija je dato kao odos zapeie ljuske i jediie zapeie elije:

Broj k vektoa pa pea toe i oj eegijskih ivoa, poto postoji jeda eegijski ivo za svaki vekto k jedak je oju jediiih elija. Koistei Paulijev piip iskljuivosti sao dva elektoa po jedo k-vektoru), broj elektrona je dat sa:

Koistei paaoliu apoksiaiju zoe

i konstantnu efektivnu masu dobija se:

Ova jedaia daje gustiu staja za estiu ase * koja ia eegiju izeu E i E+dE. U sluaju elektoa sa aso e* setei lizu da povode zoe eegija se ei u odosu a iiu povode zoe E to daje:

U sluaju upljia sa aso h* u blizini vrha valentne zone je referencirana u odnosu na maksimum valentne zone Ev i dobijamo:

ada itegalio jedaie za i p. Dalje upoavaje je zaea FD fukije Maxwell- Bolltza ovo aspodelo. Raspodele su skoo idetie za E-Ef dovoljno veliko.

kada je u>>1.

zamenom k u E dobijamo.

U tipio polupovodiku ogoa veia elektoa u povodoj zoi ia eegiju lisku E. Tako za doju i goju gaiu oeo da stavio E i eskoao espektivo. Kod itegaije ejao poejive =E-E)/kT:

ili

N se zove efektiva gustia staja u povodoj zoi . Pedstavlja oj staja koja iaju eegiju jedaku E, koja kad se pooi sa veovatoo zauzea a E daje broj elektrona u provodnoj zoni.

Na isti ai se oe poauati totali oj upljia u valetoj zoi. Efektiva gustia staja za upljie u valetoj zoi je:

Uutaji polupovodik Koistei doijee izaze za poizvod koetaije elektoa i upljia u polupovodiku u staju teodiaike avotee doijao:

gde je ni uutaja koetaija osilaa. Polupovodik se aziva uutaji ako velika veia jegovih sloodih osilaa elektoa i upljia potie od jegovih sopstveih atoa. U to sluaju ako elekto pii dovoljo eegije da skoi iz valete zoe u povodu zou o ostavlja upljiu za soo u valetoj zoi. Pea toe svaka upljia u valetoj zoi odgovara elektronu u provodnoj i broj provodnih elektrona je jednak broju valentnih

upljia.

ili ako je

Ei je uutaji eegetski ivo. To je eegija FN u uutaje polupovodiku. Uopteo oeo da satao da se alazi a sedii energijskog procepa. ni je koetaija uutajih psilaa i fukija je temperature i materijala preko Eg.

U Si na 300 K to je oko 1.45x1010 cm-1 .

Koetaija osilaa a K je ula.Ka da se tepeatua povisi astui oj elektrona dobije dovoljno termalne energije da predje u provodnu zonu. Ovi

elektoi se azivaju sloodi . poto ogu da se keu koz kistal dopiose elektioj stuji. Isti dopios daju i sloode upljie. Povodost ateija diekto zavisi od oja sloodih osilaa: to je vei oj osilaa vea je povodost. Povodost uutajih polupovodika aste sa temperaturom.

Koncentracija slobodnih nosilaca je data sa:

-Kada elektroni difunduju iz N oblasti u P oblast, oni za sobom ostavljaju

jonizovane atome donora od kojih potiu. -Ovi atomi zauzimaju fiksna mesta-ne mogu da se pomeraju.

- Ovde se sada formira prostorno naelektrisanje i oblast se naziva oblast

toeja-elektroni su potoei. -Pozitivno naelektrisanje u oblasti osioaeja pivlai elektrone tako da je u avotei, sila difuzije koja tera elektrone u P oblast izjedaea sa silom elektiog polja formiranog pozitivnim prostornim naelektrisanjem. -lio vai i za akceptorske atome u P oblasti i upljie. -Oblast osioaeja se jo zove prelazna oblast ili oblast prostornog naelektrisanja.

-Elektio polje i promena potencijala u ovoj prelaznoj oblasti se oe izauati koieje Poissonove jedaie. - Radi pojednostavljenja azotieo jednodimenzioni problem.

Ako koristimo Bolcmanovu jedaiu za koncentracije elektrona i upljia dobijamo:

-Ova jedaia ne oe da se ei aalitiki, pa se mora uprostiti aproksimacijom prostornog naelektrisanja.

-Ovo podrazumeva da se prostorno naelektrisanje sastoji samo od

jonizovanih atoma primesa i da je doprinos slobodnih naelektrisanja lokalnoj

raspodeli zanemarljiv.

-Dalje smatra se da nema slobodnih elektrona u N delu prelazne oblasti niti

upljia u P delu prelazne oblasti. -Kao rezultat dobijamo da je gustina naelektrisanja u N oblasti qNd a u P

oblasti qNA . -Prelazna oblast se prostire do rastojanja ln na N strani i lp na P strani.

a ovo apoksiaijo i odgovaajui gaii uslovia oeo da izauao elektio polje i poteijal koieje Poasoove jedaie i Gausove teoreme.

ataeo da iao kvazieutale olasti va pelaze zoe i u ovi olastia elektio polje je jedako 0.

Koieje Gausovog zakoa dobijamo:

Itegaijo elektiog polja doijao aspodelu poteijala:

Smenom se za potencijal spoja dobija:

Maksialo elektio polje je za =.

Debljine prelaznih oblasti:

Aktivni ei ada tazistoa

Baza emiter direktno polarisani-poputa glae osioe aelektisaja elektroni iz emitera nE ie stuju INE upljie iz aze- pB ie stuju IPE iE= INE + IPE

kolektor emiter reverzno polarisani- sporedni nosioci naelektrisanja nB prelaze iz baze u kolektor, a pC prelaze u bazu. Prolaze kroz spoj baza kolektor i kada je emitersko kolo otvoreno.

Daju ivezu stuju zasieja ICB0 . Elektroni iz emitera koji se nisu rekombinovali u bazi a usli su u kolektor-sporedni

nosioci, daju struju INEC .

iC=INEC + ICB0

iB=IPE+IRB-ICB0

iE =iB+IC

efikasnost

emitera treba da

ude to vea

Taspoti fakto to lii

-strujno pojaanje kolektor emiter -strujno pjaanje kolektor baza