Raíces y ecuaciones

8/17/2019 Raíces y ecuaciones

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Raíces y ecuacionesEl cálculo de las raíces de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar por eso se han elaborado diversos métodos ya que al determinar las raíces de unaecuación también lograremos máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.Un método consiste en graficar la función y ubicar el punto donde la gráfica intercepta alee de las abscisas o ee x. El punto ubicado x es el valor de la raí! donde f"x#$%.&ero el método grafico no es preciso por eso de elaboro otros métodos más efectivoscapaces de ayudarnos en el campo de la ingeniería, pues son frecuentes en áreas dedise'o, cálculos para la optimi!ación de recursos y otros.DEFINICIÓN: (a raí! de una ecuación es aquel valor de la variable independiente quehace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con unacierto grado de aproximación deseado "error máximo permitido#.OBJETIVOS) El obeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar losvalores de x para los que se cumple)

f"x# $ %

(a determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas másantiguos en matemáticas y se han reali!ado un gran n*mero de esfuer!os en estesentido. +u importancia radica en que si podemos determinar las raíces de unaecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios dematrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc..

2.1 MÉTODOS DE INTERV!OS: "R#FICOS$ BISECCIÓN % F!S &OSICIÓN.

MÉTODO "R#FICO

étodo simple para obtener una aproximación a la raí! de la ecuación f"x#$% consisteen graficar la función y observar en donde cru!a el ee x. Este punto que representa el

valor de - para la cual f"-#$o, proporciona una aproximación inicial a la raí!.

(as interpretaciones graficas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de laraí!.

(as técnicas gráficas tienen una práctica limitada, ya que no son precisas, sinembargo se pueden usar para obtener aproximaciones de la raí!. Estasaproximaciones se pueden usar como valores iniciales para los métodos numéricos.

&or eemplo, el softare de métodos numéricos /00(12/ que acompa'a este textopermite graficar funciones sobre un rango específico. Esta gráfica puede usarse paraseleccionar valores iniciales de un intervalo donde está contenida la raí! antes de

implementar el método numérico. (a posibilidad de graficar aumentaconsiderablemente la utilidad de los programas.

(as interpretaciones gráficas, son herramientas importantes en la compresión de laspropiedades de las funciones, previendo las fallas de los métodos numéricos.


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E/030 3E 42+E55267

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones

en una variable. +e basa en el teorema del valor intermedio"/82#, el cual estableceque toda función continua f en un intervalo cerrado 9a,b: toma todos los valores que sehallan entre f"a# y f"b#. Esto es que todo valor entre f"a# y f"b# es la imagen de almenos un valor en el intervalo 9a,b:. En caso de que f"a# y f"b# tengan signos opuestos,el valor cero sería un valor intermedio entre f"a# y f"b#, por lo que con certe!a existe unp en 9a,b: que cumple f"p#$%. 3e esta forma, se asegura la existencia de al menos unasolución de la ecuación f"a#$%.

El método consiste en lo siguiente)

; 3ebe existir seguridad sobre la continuidad de la función f"x# en el intervalo 9a,b:; < continuación se verifica que

; +e calcula el punto medio m del intervalo 9a,b: y se eval*a f"m# si ese valor es iguala cero, ya hemos encontrado la raí! buscada; En caso de que no lo sea, verificamos si f"m# tiene signo opuesto con f"a# o con f"b#; +e redefine el intervalo 9a, b: como 9a, m: ó 9m, b: seg*n se haya determinado encuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo; 5on este nuevo intervalo se contin*a sucesivamente encerrando la solución en unintervalo cada ve! más peque'o, hasta alcan!ar la precisión deseadaEn la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

El método de bisección es menos eficiente que el método de 7eton, pero es muchomás seguro para garanti!ar la convergencia. +i f es una función continua en elintervalo 9a, b: y f"a#f"b# = %, entonces este método converge a la raí! de f. 3e hecho,

una cota del error absoluto es)

>frac?>left@bAa>right@B?CDnB

en la nAésima iteración. (a bisección converge linealmente, por lo cual es un pocolento. +in embargo, se garanti!a la convergencia si f"a# y f"b# tienen distinto signo.

+i existieran más de una raí! en el intervalo entonces el método sigue siendoconvergente pero no resulta tan fácil caracteri!ar hacia qué raí! converge el método.

El algoritmo


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pn $ >frac?anFbnB?CB, >quad a?nFGB $ >begin?casesB an H >mbox?si B f"an#>cdotf"pn# =% >> pn H >mbox?si B f"an#>cdot f"pn# I %>end?casesB, >quad b?nFGB $>begin?casesB bn H >mbox?si B f"bn#>cdot f"pn# = % >> pn H >mbox?si B f"bn#>cdotf"pn# I %>end?casesB&ara aplicar el método consideremos tres sucesiones an >le pn>le bn>, definidas por las siguientes relaciones)

3onde los valores iniciales vienen dados por)

a% )$ a,>quad b%)$b

+e puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la *nica raí! delintervalo)

>lim?n >to >inftyB an $ >lim?n >to >inftyB pn $ >lim?n >to >inftyB bn

atlab

function x $ biseccion"fun,a,b,tol#J


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5onsidere la función f"x# $ xAcosx, a priori sabemos que la función tiene un cruce por cero en el intervalo 9%,G:, así que nuestra b*squeda se concentrará en este. iter iniciomitad

finf"ini#f"mitad#f"fin#%%.%%.NG.%AG.%A%.PQQN%.RNSTG

%.N%.QNG.%A%.PQQN%.%GP%.RNSTC%.N%.TCN%.QNA%.PQQNA%.GNS

%.%GPP%.TCN%.TQN%.QNA%.GNSA%.%NP%.%GPR%.TQN%.QGQN%.QN

A%.%NPA%.%PP%.%GPN%.QGQN%.QPRPQN%.QNA%.%PPA%.%%Q


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%.%GPT%.QPRPQN%.QRCGQN%.QNA%.%%Q

%.%%NG%.%GPQ%.QPRPQN%.QPCGCN%.QRCGQNA%.%%QA%.%%GP%.%%NG%.QPCGCN%.QR%CPRPQN

%.QRCGQNA%.%%GP%.%%GS%.%%NGS%.QPCGCN%.QPSCNQGCN%.QR%CPRPQNA%.%%GP%.%%%C%.%%GS

(a implementación recursiva de este algoritmo es) public static double 4iseccion"double ini, double fin#

? double mitadL mitad $ "fin F ini#OC.%L if""fin A ini# I %.%%G# ? if"funcion"ini#Mfuncion"mitad# = %# return 4iseccion"ini, mitad#L else return 4iseccion"mitad, fin#L B else return "mitad#L

B public static double funcion"double x#

? return "x A ath.cos"x##L B


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E/030 3E (< V


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http)OOilluminatus.bi!hat.comOmetodosOindexarchivosOimage%GT.gif

o)

http)OOilluminatus.bi!hat.comOmetodosOindexarchivosOimage%G.gif

Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuaciónreempla!ará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f"xr#. 3e esta manera, los valores xl y xu siempreencierran la verdadera raí!. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raí!sea adecuada.


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xu$xr E(+E 2V testI% /[E7 xl$xr fl$fr E(+E ea$%

E73 2V 2V ea=es 0Y iter I$ imax E-2/ E73 30Vlasa&os$xr E73 Valsa&os

C.C \/030+


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El procedimiento empie!a con una estimación o conetura inicial de x, que esmeorada por iteración hasta alcan!ar la convergencia. &ara que convera, la derivada"dg O dx# debe ser menor que G en magnitud "al menos para los valores x que seencuentran durante las iteraciones#. (a convergencia será establecida mediante elrequisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor enmagnitud que alguna peque'a cantidad .

prime"x# G obtenemos el rango de valores enlos cuales esta el punto fio llamado Y.

N. 5on Y buscamos la raí! en g"x#, es decir g"Y# $ Y haciendo iteración de lasoperaciones.

Eemplo

+ea f"x# $ xC Nx F P una función, encuentre la raí!.

Ubicamos la rái! anali!ando la gráfica.

&fioG

0btenemos x $ g"x#)

x$ >sqrt?NxAPB

3espués obtenemos la derivada de la función)

?dg >over dxB$?N >over C>sqrt?NxAPBB

Entonces resolvemos las desigualdades)

?N >over C>sqrt?NxAPBB=G

(a solución es)

"?PQ >over C%B,>infty#

?N >over C>sqrt?NxAPBBIAG


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(a solución es)

"?P >over NB,>infty#

0 visto de otra manera, vemos que en la grafica de la derivada existen valores entreAG y G)

&fioC

_a que se tienen los valores del rango Y, encontramos la raí! haciendo la iteración delas operaciones)

&fioP

En la tabla se puede ver el valor que en este caso se uso de Y, la iteración consiste enusar ese valor en x $ g"x# para obtener los siguientes valores haciendo la mismaoperación usando el valor anterior.

3espués de un n*mero considerable de iteraciones obtenemos la raí! en R.P%CTQQN.

E/030 3E 7E^/07 Y


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3os iteraciones del método de 7eton.

En estas figuras se muestra dos iteraciones del método. En la figura de la i!quierdamostramos la línea recta que es tangente a la función f"x# "en negro#, note que la línearecta cru!a el ee x en x $ G. < la derecha tenemos la segunda iteración tomandocomo valor inicial x$G. 7ote como poco a poco se acerca a la solución.

(a sucesión que nos lleva a la solución esta dada por los puntos ?p%, pG, pC, , pB.(a pendiente de la línea recta es

m $ "% f"p%##O"pG p%#

&or otro lado sabemos, del cálculo diferencial, que la pendiente de la línea tangente auna función es la primer derivada valuada en ese punto.


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pFG$ p A f"p#O f"p#

Eemplo.

[acer un algoritmo iterativo que permita hacer el cálculo de la raí! cuadrada de


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P

C.CPTG

R

C.CPTG

N

C.CPTG

T

C.CPTG

Q

C.CPTG

C.CPTG

S

C.CPTG

G%

C.CPTG

Eemplo

5alcular los ceros de la función xAcos"x# utili!ando el algoritmo de regula falsi en elintervalo 9%,G:.

p

%

%.%%%%

G


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G.%%%%

C

%.QN%R

P

%.QPSG

R

%.QPSG

N

%.QPSG

T

%.QPSG

Q

%.QPSG

étodo de 7eton Yaphson para sistemas no lineales

5onsideremos el sistema

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%%.gif


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Utili!ando la serie de /aylor podemos hacer una aproximación lineal

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%

G%.gif

+i escribimos el sistema original como una función vectorial 8$V"-#, entonces lamatri! acobiana ]"x,y# es el análogo bidimensional de la derivada. (a aproximaciónlineal queda como)

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%GC.gif

donde

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%GR.gif

Entonces nuestra formulación bidimensional queda como)

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%GT.gif

y la actuali!ación de la variable la hacemos)

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%G.gif


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Eemplo.

Yesolver el siguiente sistema de ecuaciones dado por

fG"x,y# $ xC Cx y F%.N

fC"x,y# $ xC F RyC R

El acobiano es

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%C%.gif

5onsiderando como valores iniciales 9%, G: tenemos)

&rimer iteración

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%CC.gif

cuya solución es x$ %.CN y y $%

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%CR.gif

+egunda iteración

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%CT.gif

cuya solución es x$ A%.%CQR y y $%.%%TG

http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%C.gif

(as demás iteraciones la resumimos es)


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-

y

%

%.%%%%

G.%%%%

G

A%.CN%%

G.%%%%

C

A%.CCT%

%.SSPS

P

A%.CCCC

%.SSP

R

A%.CCCC

%.SSP

N

A%.CCCC

%.SSP

T

A%.CCCC

%.SSP


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Q

A%.CCCC

%.SSP

(a implementación en ]ava de este método es)

double 7eton"#

?

int iL

double m, b, xL

x $ %L

hile"ath.abs"f"x## I %.%%%G#

?

m $ df"x#L

b $ A mMx F f"x#L

pausa"P%%#L

x $ x A f"x#OmL

B

return xL

B


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double f"double x#

?

return "xAath.cos"x##L

B

double df"double x#

?

return"GFath.sin"x##L

B

3esventaas del étodo de 7eton.


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http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO7etonYarchivosOimage%PC.gif

_ la solución numérica es)

x

f"x#

df"x#

%.N%%%

A%.SSS%

%.%GSN

NG.TN%%

GPNGGRS%RRPSGR%%%.%%%%

CTGNSQG%RNGQG%%%.%%%%

RT.RN%

RQGGGTNRGCSQGGN%%.%%%%

G%GPR%QGNPTCP%%.%%%%

RG.PTN

GTRCTG%QCRQN%%.%%%%

PSCTRPCGSSQRTQ%.%%%%

PQ.TNCS

NQCQTQQP%GPGPG%.%%%%

GNCGG%CCNGS%.%%%%

PP.QT

GSSQGGQNTGSN%.%%%%

NSPPTR%S%PSTQC.%%%%

P%.RS


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TSTPNGRRTTGS.%%%%

CCPC%SSSQQNTNR.%%%%

CQ.RRS

CRC%CQN%CSNRQ.%%%%

RNTCPPPC%NC.%%%

CR.Q%R%

RTT%GCQQGQ%SQ.N%%%

PRCTSQNQGSGSQP.C%%%

CC.CPPT

CSNGSGTGCQG%TR.G%%%

GPCQT%T%SCCN.Q%%%

C%.%G%P

G%CSCTSNG%N%NR.Q%%%

NGRPQ%TQ%QRRT.GT%%

G.%%SC

PNR%QPTNN.GG%%

GSSCQQQPTQQG.NQ%%

GT.C%P

GCNGPNGRPQNSC.SC%%

QQC%RCQCPCS.GN%%

GR.NQN

RPTPGSCTQCQT.NCS%

CSSG%NGSCCNS.GGS%

GP.GCQ

GNCGPNGCGRSS.CSG%

GGNQSRQSRQ.QPP%


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GG.GNS

NP%RTCPTR.NPCS

RRSR%RQRQ.STSC

G%.TPRP

GRST%QSGGQ.CNQQ

GQPSCCTT.NSPT

S.NQ%

TRRSGR%GR.P%QQ

TQPPTGCQQ.QP%R

.TGP

CCRTSGRCG.QTC

CTG%NQSCCG.TG

Q.QNCR

QR%Q%CGT.SRCT

G%GGPSGQS.%Q%

E/030 3E (< +E5


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http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO+ecarchivosOimage%%T.gif

Eemplo.

Encontrar la solución utili!ando el método de la secante para la función f"x# $ xG% G. http)OOlc.fie.umich.mxOcalderonOprogramacionOnumericosO+ecarchivosOimage%%.gif x%xGf"x%#f"xG#%.N%%%%.S%%%A%.SSS%

A%.TNGP%.S%%%G.TRSPA%.TNGPGRQ.SCPNG.TRSP%.S%PPGRQ.SCPNA%.TPR%.S%PP%.S%TNA%.TPR

A%.TCNP%.S%TNG.%T%CA%.TCNP%.QSRNG.%T%C%.SQRC%.QSRNA%.CP%G%.SQRC%.SSPNA%.CP%G

A%.%TP%%.SSPNG.%%%A%.%TP%%.%%%G.%%%G.%%%%%.%%%A%.%%%C


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7ote, que para este problema, el método de la secante si lleva a una solución. Estehecho se debe a que calcula su aproximación apoyada de dos puntos, no de uno solo.

(a implementación de este método en ]ava es )

double +ecante"#

? int iL

double m, x, x% $ %, h $ %.NL

x $ inicio F hL

hile"ath.abs"f"x## I %.%%%G# ? m $ "f"x# A f"x%##O"x A x%#L

x% $ xL

x $ x A f"x#OmL B return xL B

\/030 3E (


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&seudocodigo etodo G

&seudo codigo raices multiples G3atos de entrada) función, derivada, punto inicio, multiplicidad, n max, error absoluto

3atos de salida) raí!, numero iteraciones

(ea) f, fp, xi, n, tol, m

fx$f"xi#fpx$fp"xi#i$Gerror$tolFG

mientras i=$n y fx$% y errorItol y fpx$%x$xiAmM"fxOfpx#fx$f"x#fpx$fp"x#error$abs"xAxi#xi$xi$iFGfin mientrassi fx$%Escriba j(a raí! es) xi+ino si error=tolEscriba j xi es una aproximación a la raí! con un error máximo de tol

+ino si fpx$%Escriba jxi es una posible raí! m*ltiple.KsinoEscriba jEl método fallo en n iteracionesVin si

&seudocodigo metodo C

&seudocodigo raices multiples G

3atos entrada ) función, primera y segunda derivada, punto inicio, n max, error

máximo

3atos salida) raí!, numero de iteraciones

(ea) f, fp, fpp, xi, n, tol

fx$f"xi#fpx$fp"xi#fppx$fpp"xi#


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denominador$"fpxDCAfxMfppx#i$Gerror$tolFGmientras i=$n y fx$% y errorItol y denominador$%x$xiA"fxMfpx#Odenominador fx$f"x#

fpx$fp"x#fppx$fpp"x#denominador$"fpxDCAfxMfppx#error$abs"xAxi#xi$xi$iFGfin mientras si fx$%Escriba j (a raí! es) xi+ino si error=tolEscriba jxi es una aproximación a la raí! con un error máximo de tol

sinoEscriba jEl método fallo en n iteracionesfin si

5odigos atlabO0ctave

function raicesmultiplesb f$input"Kingrese la funcion) K,KsK#L f$inline"f#L fp$input"Kingrese la dervidad de la funcion) K,KsK#L fp$inline"fp#L m$input"K2ngrese la multiplicidad de la rai!) K#L

xi$input"Kescriba el punto de inicio) K#Ltol$input"K2ngrese el error maximo admisible) K#L n$input"K2ngrese el numero maximo de iteraciones permitidas) K#L fx$f"xi#L fpx$fp"xi#L

i$GL error$tolFGL fprintf"K>n n x f"x# fp"x# >nK# hile i=$n HH fx$% HH errorItol HH fpx$% x$xiAmM"fxOfpx#L fx$f"x#L fpx$fp"x#L

fprintf"KJG.%f JG%.G%f JG%.G%f JG%.G%f >nK,i,x,f"x#,fp"x## error$abs"xAxi#L xi$xL i$iFGL end if fx$$% fprintf"K>n (a raí! es) JG.G%f >n>nK,xi# else if error=tol


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fprintf"K>n JG.G%f es una aproximacion a la rai! con un error maximo de JG.G%f >nK,xi,tol#

else fprintf"K>n El metodo fallo en J%.%f iteraciones >n>nK,n#

endend

end

function raicesmultiples f$input"Kingrese la funcion) K,KsK#L f$inline"f#L fp$input"Kingrese la dervidad de la funcion) K,KsK#L fp$inline"fp#L fpp$input"Kingrese la segunda dervidad de la funcion) K,KsK#L fpp$inline"fpp#L xi$input"Kescriba el punto de inicio) K#L

tol$input"K2ngrese el error maximo admisible) K#L n$input"K2ngrese el numero maximo de iteraciones permitidas) K#L fx$f"xi#L fpx$fp"xi#L fppx$fpp"xi#L denominador$"fpxDCAfxMfppx#L i$GL error$tolFGL fprintf"K>n n x f"x# >nK# hile i=$n HH fx$% HH errorItol HH denominador$% x$xiA"fxMfpx#OdenominadorL fx$f"x#L

fpx$fp"x#L fppx$fpp"x#L denominador$"fpxDCAfxMfppx#L fprintf"KJG.%f JG%.G%f JG%.G%f JG%.G%f >nK,i,x,f"x## error$abs"xAxi#L xi$xL i$iFGL end if fx$$% fprintf"K>n (a raí! es) JG.G%f >n>nK,xi# else if error=tol

fprintf"K>n JG.G%f es una aproximacion a la rai! con un error maximo de JG.G%f >nK,xi,tol# else fprintf"K>n El metodo fallo en J%.%f iteraciones >n>nK,n#

endend


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C.P

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