Dokuz Eylül Üniversitesi

Mühendislik Fakültesi

Endüstri Mühendisliği

Metalurji & Malzeme Mühendisliği

END 3618 & END 4822 Kalite Planlama & Kontrol

Mart - 2019

Bölüm 4: Değişkenler (Ölçülebilir Kalite

Özellikleri) İçin Kontrol Kartları

Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN

Kontrol Kartı Uygulaması Öncesinde

Hazırlıklar 1. Kontrol edilecek kritik kalite karakteristiğinin seçilmesi (Standartlar, şartnameler

veya anlaşma/sözleşmede belirtilmiş olabilir, ortalaması ve standart sapması belli olabilir).

2. Süreç kontrol yönteminin incelenmesi (Süreçteki düzensizliklerin nerede ve nasıl

oluştuklarının incelenmesi. Makineden, hammadde veya ürün bileşenlerinden,

personelden vs. kaynaklanabileceğinin belirlenmesi ve kontrol dışı aksiyon planı

hazırlama,

3. Ölçüm aletlerindeki hatalar ve eksikliklerinin süreç düzensizlikleri üzerindeki

etkisinin minimize edilmesi gerekmektedir (Ölçüm sistemlerinin hassasiyeti),

4. En uygun kontrol kartının seçilmesi (Ölçülebilen veya ölçülemeyen kalite

karakteristikleri),

Not: Nitelikler için kontrol kartı kullanılacaksa, birbirini izleyen örneklem büyüklükleri

farklı ise kusurlu sayısından (np - grafiği) ziyade, kusurlu oranının (p – grafiği)

kullanılması uygun olacaktır).

Örneklem büyüklüğü, rasyonel alt kontrol grubu sayısı ve örneklem

alma zaman aralıklarının belirlenmesi,

Aralıksız olarak birbiri ardından gelen gözlem değerlerinden oluşan alt

grup ölçümü n (Örneklem büyüklüğü), sayısı ise k (Örneklem sayısı)

olan örneklemler alınmalıdır.

Alt grup ölçümü değişkenler için n = 2 - 12 arasında, nitelikler için ise

n = 10-50 arasında olmalıdır.

Alt gruptaki örneklem sayısı en az k = 20 - 25 olmalıdır.

Kontrol Kartı Uygulaması Öncesinde

Hazırlıklar

Kontrol Kartlarında Veri Dağılışının (Pattern - Örüntü) Analizi

Tekrarlı/döngüsel örüntü

(Çevresel faktörler: sıcaklık/basınç,

operatör yorgunluğu, bakım çizelgeleri,

voltaj veya basınçtaki dalgalanmalar)

Not: Kontrol limitleri dışında herhangi bir nokta

olmamasına rağmen, kontrol kartı üzerindeki noktalar

örüntü oluşturuyorsa, süreç kontrol dışındadır.

Karışık örüntü (Ölçüm verileri paralel

makinelerden geliyorsa, proses üzerinde

çok sık ayar ve kontroller yapmak)

Proses ortalamasında kayma

(Yeni/deneyimsiz operatör, imalat

yöntemi veya hammaddenin

değiştirilmesi, çalışan motivasyonu)

Proses ortalamasının sürekli artış/azalış

göstermesi (Artan veya azalan trend); imalat

sürecinde kullanılan alet/edevatın aşınması,

operatör yorgunluğu, yönetim/denetimin etkin

olmaması, sıcaklık gibi mevsimsel etkiler vs.

bu tür örüntülere sebep olur.

Katmanlaşma tipinde

(Stratification) Örüntü

Kontrol limitlerinin yanlış belirlenmiş

olması, örnekleme esnasında yapılan hatalar

(5 farklı paralel prosesten 5’er gözlem değeri

içeren örneklemeler alınması).

Pattern Tanımlamada Western Electric

Bölge Kuralları

Kontrol kartları kullanımının ilk aşamasında, m adet geçmiş üretimden(tamamlanmış üretimden) sürecin geçmişte kontrol altında olduğu düşünülen birzamanda alınan örneklemler ile deneme kontrol limitleri hesaplanır.

Eğer tüm noktalar kontrol limitleri dahilinde ise ve herhangi bir sistematikdağılım göstermiyorlarsa (pattern - örüntü oluşturmuyorlarsa), sürecingeçmişte kontrol altında olduğu ve hesaplanan deneme kontrol limitlerininmevcut ve gelecek üretimin izlenmesi için uygun olduğu sonucuna varılır.

Eğer geçmişteki üretimin kontrol altında olduğu hipotezi reddedilirse, kontroldışı noktalara neden olan özel nedenler araştırılır ve bu noktalar mevcut verisetinden temizlenerek, geriye kalan diğer gözlem değerleri kullanılarak kontrollimitleri revize edilir.

Bu durumda dikkat edilmesi gereken önemli bir husus, başlangıçta kontrolaltında olan bazı noktaların, kontrol limitleri revize edildikten sonra kontrol dışıkalabilme durumudur. Çünkü, revize edilen kontrol limitleri bir önceki limitleregöre daha sıkı (daha dar) olacaktır. Bu süreç, tüm noktaların kontrol altındaolduğu duruma kadar devam edecektir.

Kontrol Kartı Uygulamalarının I. Aşaması:

Deneme Kontrol Limitlerinin Elde Edilmesi

Bazı durumlarda, kontrol dışı noktalar için kaynağı belirlenebilen özel nedenlerbulmak mümkün olmayabilir. Bu durumda, kontrol dışı noktalar göz ardı edilerek,mevcut üretim sürecinin kontrolü ve izlenmesi amacıyla, deneme kontrol limitlerikullanılmaya devam edilebilir.

Eğer bu noktalar gerçekten kontrol dışı bir duruma karşılık geliyorsa, bu durumdaoluşturulan deneme kontrol limitleri olması gerekenden daha geniş durumdaolacaktır. Çok sayıda kontrol dışı noktadan ziyade, eğer bir veya iki kontrol dışı noktasöz konusu ise ve kaynağı belirlenemiyorsa, bunlar kontrol kartını önemli ölçüdeetkilemeyecektir. Eğer, daha sonra alınan örneklemler ile sürecin kontrol altındaolduğu görülüyorsa, bu noktalar rahatlıkla göz ardı edilebilir.

Eğer hem 𝑋 hem de R kontrol kartında, deneme kontrol limitleri dışında kalan çoksayıda nokta mevcutsa, her bir nokta için kaynağı belirlenebilen özel bir neden bulmakçok zor olacaktır. Bu durumda, kontrol kartı üzerindeki rastgele olmayan sistematikdağılışlara (örüntülere) odaklanmak gerekecektir. Çünkü, örüntüye neden olan özelnedeni tespit etmek genellikle daha kolaydır. Prosesin bu örüntülerden arındırılmasıönemli ölçüde süreç iyileştirme (Değişkenliği azaltma) sağlayacaktır.

Kontrol Kartı Uygulamalarının I. Aşaması:

Deneme Kontrol Limitlerinin Elde Edilmesi

Örnek - 1

Sürecin kontrol altında olduğu düşünülen bir zamanda, geçmiş üretimden her biri 5 gözlem değerinden oluşan toplam 25 örneklem, 1 saat arayla alınarak alt kontrol grupları oluşturulmuş ve kalite karakteristiği değerleri ölçülerek yandaki tabloda verilmiştir.

Not: 𝑋 − R kontrol kartları oluşturulurken, önce R grafiğinden başlanmalıdır. Çünkü 𝑿 kontrol kartı limitleri, proses değişkenliği dikkate alınarak hesaplanır, süreç değişkenliği kontrol altında olmadıkça, aritmetik ortalama kontrol grafiğinin limitlerinin de bir anlamı olmayacaktır.

R - Kontrol Grafiği

Sürecin kontrol dışında olduğuna dair (16. gözlem değerine dikkat

edilmeli – üst kontrol limiti üzerinde) bir işaret yoktur.

Bu nedenle, R kontrol grafiğine göre süreç değişkenliği kontrol

altında olduğundan, 𝑋 kontrol grafiği de oluşturulabilir.

𝑋 − Kontrol Grafiği

Hem 𝑿 hem de R kontrol grafiği sürecin kontrol altında olduğunu

işaret ettiğinden, I. aşamada hesaplanan deneme kontrol limitlerinin

güvenilir olduğu ve 2. aşamada gelecek üretimin izlenmesinde

kullanılabileceği sonucuna varılmıştır.

Standartların Tahmin Edilmesi

Proses ortalamasının tahmin edilmesi:

Proses standart sapmasının tahmin edilmesi:

Etkin ve efektif kontrol kartı uygulaması, kontrol limitleri ve merkez çizgininperiyodik olarak revize edilmesini gerektirir (Her hafta, her ay, her 25, 50 veya100 örneklemde bir gibi). Kontrol limitlerini revize ederken, en az 20-25 altkontrol grubu veya 200-300 gözlem değeri ile çalışılması gerekir.

Bazı durumlarda, kalite mühendisleri 𝑿 kontrol grafiğinin merkez çizgi değeri

yerine, kalite karakteristiğinin hedef değerini 𝑿𝟎 kullanabilirler.

Eğer R kontrol kartı, süreç değişkenliğinin kontrol altında olduğuna işaretediyorsa, proses ortalamasındaki değişimleri tespit etmek amacıyla, hedefdeğerin kullanılması uygun olacaktır.

Bazı durumlarda, kontrol dışındaki bir noktanın gerçekten rassal olmayan özelbir nedene bağlı olarak mı kontrol dışında olduğu, yoksa merkez çizginin doğruseçilmemesinden dolayı mı kontrol dışında olduğuna karar vermek zordur.

Eğer R kontrol grafiği kontrol dışı bir duruma işaret ediyorsa, genellikle kontroldışı nokta elimine edilip, 𝑅 değeri revize edilerek kontrol limitleri yenidenhesaplanmalıdır.

Kontrol Limitleri & Merkez Çizginin Revize Edilmesi

𝑹 değeri revize edildiği için ve bu değer 𝑿 kontrol grafiğinde kontrol

limitleri hesabında kullanıldığı için 𝑿 kontrol grafiği limitleri de revize

edilmelidir.

Bu durumda her iki kontrol kartının da limitleri daha da sıkılaşacak

ve prosesin standart sapması 𝝈 ile daha uyumlu hale gelecektir.

Aynı zamanda, revize edilen 𝑹 değerinin, 𝑹 𝒅𝟐eşitliğinde

kullanılmasıyla popülasyonun standart sapması da gerçeğe daha

uygun tahmin edilebilecektir.

Popülasyon veya proses standart sapmasının 𝝈 tahmin edilmesi ile de

proses yeterlilik analizlerinin gerçekleştirilmesi sağlanacaktır.

Kontrol Limitleri & Merkez Çizginin Revize Edilmesi

Aşama II - 𝑋 ve R Kontrol Kartları ile Gelecek

Üretimin İzlenmesi

Kontrol kartı uygulamasının I.

aşamasında, güvenilir deneme

kontrol limitleri elde ettikten sonra, 𝑋 - R kontrol kartları, gelecek

üretimin izlenmesinde kullanılabilir

(II. Aşama).

I. aşamada güvenilir kontrol

limitleri elde ettikten sonra, imalat

sürecinden 20 ekstra örneklem

daha toplanmış ve yandaki tabloda

verilmiştir.

Süreç değişkenliği açısından, kontrol dışı bir duruma rastlanmamıştır.

Ancak, 38. alt kontrol grubu sonrasında, 𝑿 - kontrol grafiğinde,

proses ortalamasında kayma tespit edilmiştir. Proses ortalamasındaki

artışı daha hızlı tespit edebilmek için Western Electric’in

hassaslaştırma kuralları kullanılabilir.

Proses Ortalamasındaki Kaymanın Tolerans

Diyagramı ile Tespiti

Western Electric’in hassaslaştırma kuralları, kontrol dışına çıkması

muhtemel proses ortalamasını, yaklaşık 40. alt kontrol grubunda tespit

edebilecektir. Ancak bu kuralların, olağan şekilde devam eden stabil bir

prosesin izlenmesinde kullanılması, yanlış alarm sıklığını arttırabilir.

Bu nedenle, kontrol kartlarının

analizinde, her bir alt kontrol

grubundaki bireysel gözlemlere kadar

odaklanabilen, tolerans diyagramının

(Tier chart) kullanılması önerilmektedir.

Not: MINITAB istatistiksel paket

programında, ‘box plot’ kullanılarak,

tolerans diyagramı oluşturulabilir.

Tolerans diyagramından, 38 – 45. örneklemleri arasında, proses ortalamasının 1.5056’dan 1.6633’e çıktığı görülmektedir.

Proses ortalamasındaki bu kayma, müşteri spesifikasyonlarınısağlamayan, kusurlu ürünlerin üretimine neden olacaktır.

Proses ortalamasında artışa neden olan özel değişkenlik nedeni tespit edilip, kontrol dışı aksiyon planında yer alan gerekli önlemler alınarak, giderilmeye çalışılmalıdır.

Proses Ortalamasındaki Kaymanın Tolerans

Diyagramı ile Tespiti

Doğal Tolerans Limitleri, Kontrol Limitleri

ve Spesifikasyon Limitleri

𝑋 −R kontrol kartlarına ait kontrol limitleri ve spesifikasyon limitleri

arasında, matematiksel veya istatistiksel herhangi bir bağlantı veya ilişki

bulunmamaktadır. Bu nedenle, spesifikasyon (özellik)

limitlerinin kontrol kartları üzerinde,

kontrol limitleri ile birlikte gösterilmesi

doğru bir gösterim değildir.

Bunlar ancak doğal tolerans limitleri ile

birlikte gösterilebilir.

Spesifikasyon limitleri, yönetim, üretim

mühendisleri, müşteriler veya ürünü

tasarlayan kişiler tarafından belirlenir.

Doğal tolerans limitleri ise proses

ortalamasına 3σ ekleyip, çıkararak

oluşturulur.

Eğer doğal tolerans sınırları, spesifikasyon sınırlarının içerisindeyse

proses ölçümlerinin %99.73’ü spesifikasyon sınırlarında üretilmektedir.

Bu durumda, prosesin spesifikasyonları karşılamada yeterli olduğu

söylenebilir.

Böylece, eğer 𝑿 − R kontrol grafikleri prosesi izlemek için

kullanıldığında, prosesin istatistiksel anlamda kontrol altında olduğu

tespit edildikten sonra spesifikasyonları karşılayıp karşılamadığı

belirlenmelidir.

Doğal Tolerans Limitleri, Kontrol Limitleri

ve Spesifikasyon Limitleri

İdeal durum, spesifikasyon limitlerinin, kontrol

limitlerini kapsamasıdır.

Bir başka deyişle, kontrol limitlerinin,

spesifikasyon limitleri içerisinde yer almasıdır.

𝑿 - kontrol grafiği, proses ortalamasındaki sapmaları belirlemek için

kullanıldığından, farklı örneklemler/rasyonel alt gruplar arasındaki

değişkenlik büyük olacak şekilde örneklemler seçilmelidir (Snapshot

yaklaşımı – aynı zaman yöntemi kullanılmalı).

R – kontrol grafiği ise, aynı örneklem içerisindeki değişkenliğin

fazla olması durumunda süreç hakkında uyarılar ürettiğinden,

örneklem içerisindeki rassal veya şansa bağlı değişimleri

ölçebilecek şekilde seçilmelidir (Rastgele örnekleme yaklaşımı –

süre zaman yöntemi).

Rasyonel Alt Kontrol Gruplarının Oluşturulması

Örneklem büyüklüğü, örnek alma sıklığı ve kontrol limitlerinin

belirlenmesi, kontrol kartı tasarımı ile ilgilidir.

Örnek alma ve ölçme maliyetleri dikkate alınmalıdır.

𝑿 - kontrol grafiği, proses ortalamasından 2𝝈 ve daha fazla kaymaları

(3𝝈 ) ölçmek için kullanılacaksa, n = 4, 5 veya 6 şeklinde küçük

örneklem büyüklükleri ile çalışılabilir. Proses ortalamasından küçük

miktardaki sapmalar tespit edilmeye çalışılıyor ise (1.5𝝈 ve altı),

örneklem büyüklüğü n = 15 – 25 arasında olmalıdır.

Örneklem büyüklüğünü arttırmaya alternatif olarak, uyarı/ikaz

limitlerini ve hassaslaştırma kurallarını kullanmak veya EWMA &

CUSUM kontrol kartları kullanılarak proses ortalamasındaki küçük

kaymalar hızlı bir şekilde tespit edilebilir.

Uygun örneklem büyüklüğünün tespit edilmesinde, 𝑿 −R kontrol

kartlarına ilişkin operasyon karakteristik eğrileri kullanılabilir.

Kontrol Kartı Tasarımı için Kılavuz

Operasyon karakteristik eğrisine göre,

örneklem büyüklüğü arttıkça, sürecin kontrol

dışında olduğuna işaret eden bir örneklem

ortalamasının, kontrol limitleri arasında kalma

olasılığı azalır (II. tip hata olasılığı azalır).

Sanayi de yaygın olarak, sık sık ve az az

örneklem alınması yolu tercih edilmektedir

(Kusurlu ürün üretmenin maliyetinin

yüksek olduğu durumlarda tercih edilmeli).

𝑋 - Kontrol Grafiği için Operasyon Karakteristiği Eğrisi

Üretim oranı ve hızının yüksek olması ve örneklem alma maliyetinin düşük olması

durumlarında, yüksek hacimli ve daha sık (Her 15 dk’da bir) örneklemler alınmalıdır.

Kontrol limitleri belirlenirken, eğer I. Tip hata yapma olasılığı azaltılmak isteniyorsa,

daha geniş (3.5-sigma) kontrol limitleri ile çalışılmalıdır. Kontrol dışı durumlar kolay ve

hızlı bir şekilde tespit edilebiliyorsa, daha dar (2.5-sigma) kontrol limitleri ile çalışılabilir.

𝑋 - R Kontrol Kartlarında Örneklem

Büyüklüğünün Değiştirilmesi

Alt kontrol grupları içerisindeki gözlemlerin sayısı (örneklem büyüklüğü, n)her zaman sabit olmayabilir.

Değişken örneklem büyüklüğü ile çalışıldığında, R kontrol kartının merkezçizgisi değişkenlik göstereceğinden ve bu da kalite kontrol mühendisi içinyorumlama güçlüğüne yol açacağından, bunun yerine standart sapma,

S-kontrol grafiğinin kullanılması önerilir.

Ancak bazı durumlarda, örneklem büyüklüğünde kalıcı veya belirli bir dönemiçin kısmen kalıcı değişiklikler yapılabilir (Örneğin örneklem büyüklüğü 5’ten3’e düşürülebilir).

Bunun nedeni, süreç olağan bir şekilde devam ediyorsa (stabil süreç), dahaaz ölçüm yapıp, kalite kontrol için daha az kaynak atayıp maliyetleriazaltmak olabilir. Bu tür durumlarda, ekstra örneklem almadan, yeni kontrollimitleri, eski kontrol limitleri üzerinden hesaplanıp, revize edilebilir.

Yeni Örneklem Büyüklüğü için Revize

Kontrol Limitlerinin Hesaplanması

𝑿 −Kontrol grafiği için revize kontrol limitleri:

𝑋 − değeri değişmez, 𝐴2 faktörü

değeri, yeni örneklem büyüklüğü

için belirlenir.

R−Kontrol grafiği için revize kontrol limitleri:

𝐷3 ve 𝐷4 faktörlerinin değeri, yeni

örneklem büyüklüğü için belirlenir.

Örnek - 2

Üretim sürecinin sürekli olarak

kontrol altında devam etmesinden

ötürü, proses mühendisleri öncesinde 5

olan örneklem büyüklüğünü 3’e

düşürmeyi planlamaktadır.

Bu durumda, 𝑋 − R kontrol kartlarının

yeni kontrol limitlerini, daha önceki

örneklem büyüklüğü ile elde edilmiş

kalite karakteristiği ölçüm değerlerini

kullanarak hesaplayınız, revize ediniz.

𝑿 − Kontrol Grafiği

R− Kontrol Grafiği

𝑋 − Kontrol grafiğinin

limitleri genişlemiştir

𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑛

R - Kontrol grafiğinde

merkez çizgi ve üst

kontrol limiti değeri

azalmıştır (Örneklem

büyüklüğü azalırsa,

beklenen/ortalama

değişim aralığı azalır)

k-sigma kontrol limitleri: k = 3 (Kontrol limitlerinin sürecin

standart sapması üzerinden tanımlanması),

Olasılık limitleri: Kontrol limitlerinin tip-I hata olasılığı üzerinden

tanımlanmasıdır.

Tip-1 hata olasılığı, 𝜶 = 0.0027 ise 3-sigma kontrol limitleri ile

çalışılır. 𝒁 𝜶 𝟐= 𝒁𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓= 3

Tip-1 hata olasılığı, 𝜶 = 0.002 ise 3.09-sigma kontrol limitleri ile

çalışılmalıdır. 𝒁 𝜶 𝟐= 𝒁𝟎.𝟎𝟎𝟏= 3.09

𝑋 ve R Kontrol Kartlarında Olasılık Limitleri

𝛼 = 0.002 olması durumunda, R-kontrol

grafiğinin limitleri için ilgili tablodan

(Grant & Leavenworth, 1980), sabitlerin

değerleri belirlenir.

Popülasyonun standart sapmasının tahminlenmesinde, R (değişim aralığı)

küçük örneklem büyüklükleri için etkin sonuçlar verebilmektedir (Göreceli

etkinlik değerleri, W küçük örneklem büyüklükleri için yüksektir).

Ancak, bu durumda, popülasyon standart sapması, R üzerinden dolaylı olarak

tahminlenmiş olmaktadır.

Örneklem büyüklüğünün artması durumda 𝒏 > 𝟏𝟎 𝒗𝒆𝒚𝒂 𝟏𝟐 , değişim

aralığının, standart sapmaya göre göreceli etkinliği azalacağından; popülasyon

standart sapmasının tahminlenmesinde, örneklem standart sapması

direkt/dolaysız bir tahminleme aracı olarak kullanılabilir.

S, örneklem standart sapmasına karşılık gelmektedir.

𝑋 - S Kontrol Kartları

S, kontrol grafiği aynı zamanda, değişken

örneklem büyüklüğü ile çalışıldığı

durumda da kullanılabilmektedir.

1. Standartların Belli Olması Durumu

Örneklem varyansı 𝑺𝟐, popülasyon varyansının 𝜎2 yansız tahminleyicisi

olmasına rağmen 𝐸 𝑆2 = 𝜎2; örneklem standart sapması, popülasyon

standart sapmasının yansız tahminleyicisi değildir. Çünkü;

Eğer kalite karakteristiği ölçüm değerlerinin normal dağıldığı biliniyorsa,

örneklem standart sapmasının ortalaması, popülasyon standart sapmasının

bir çarpanı 𝑐4𝜎 ile tahmin edilebilir. 𝒄𝟒 katsayısı, n örneklem

büyüklüğüne bağlı bir sabittir ve değeri ilgili tablodan okunarak belirlenir.

Bu nedenle, S-kontrol grafiğinin merkez çizgisi;

Örneklem standart sapmasının (S) standart sapması ise;

S-kontrol grafiğinin alt ve üst kontrol limitleri;

1. Standartların Belli Olması Durumu

𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝜎2 − 𝑐4. 𝜎2 = 𝜎2. 1 − 𝑐4

2

𝜎𝑠 = 𝜎2. 1 − 𝑐42 = 𝜎. 1 − 𝑐4

2

𝑋 - Kontrol Grafiği

Herhangi bir değişiklik söz konusu değildir.

Standartların bilindiği durumda, 𝑿-R kontrol grafiğinde nasıl

hesaplanıyorsa, aynı şekilde kontrol limitleri ve merkez çizgi

değeri hesaplanır.

2. Standartların Belli Olmaması Durumu

Popülasyon standart sapmasının 𝝈, bilinmediği durumdur.

Üretim ortamından toplanan geçmiş veriler analiz edilerek, popülasyon

standart sapması tahmin edilir.

Üretim ortamından her biri n örneklem hacmine sahip, m adet örneklem

(alt kontrol grubu) alındığı takdirde, S-kontrol grafiğinin merkez çizgi

değeri, örneklem standart sapmalarının ortalamasının alınmasıyla elde edilir.

Alt ve üst kontrol limitlerinin hesaplanması amacıyla, popülasyon standart

sapması tahmin edilir.

𝜎 = 𝑆

𝑐4

2. Standartların Belli Olmaması Durumu

S – Kontrol Grafiği

Popülasyon standart sapmasının tahmin edilmesinde, 𝝈 = 𝑺

𝒄𝟒kullanıldığından, 𝑋 – kontrol grafiğinin limitleri değişecektir.

2. Standartların Belli Olmaması Durumu 𝑋 – Kontrol Grafiği

Her bir örneklem için R açıklık değerini

hesaplamak çok daha kolay olduğundan,

genellikle kalite mühendisleri S grafiğine nazaran

R grafiğini kullanmayı tercih ederler.

Otomobil piston halkası üretimindehalkaların iç çapı kritik kalitekarakteristiği olarak belirlenmiştir.Üretim ortamından her saat başı 5 adetörnek alınarak, 25 adet alt kontrol grubuoluşturulmuştur. Elde edilen iç çapölçüm değerleri yandaki tablodaverilmiştir. İç çap ölçümlerine ilişkinstandartların belli olmadığınıvarsayarak, 𝑋 − 𝑆 kontrol grafikleriniçizip, süreç hakkında yorumlar yapınız.

Örnek - 3

Sürecin kontrol dışında olduğuna

dair herhangi bir işaret yoktur,

dolayısıyla hesaplanan kontrol

limitleri II. Aşamada sürecin

izlenmesi amacıyla kullanılabilir.

Proses Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi

Tahmin edilen proses standart sapması, süreç

yeterlilik analizlerinde kullanılmaktadır. Şekilde

görüldüğü üzere, süreç kontrol altında olmasına

rağmen, imalat süreci spesifikasyonları

karşılamada yeterli olmayabilir.

Her bir alt kontrol grubundaki gözlem sayısı birbirinden farklılık

gösteriyorsa, değişken örneklem büyüklüğü söz konusudur.

Örneklem ortalamalarının ortalaması 𝑋 ve örneklem standart sapmalarının

ortalaması 𝑆 hesaplanırken, ağırlıklı ortalama yaklaşımından faydalanılır.

𝑋 - S kontrol kartlarının merkez çizgileri:

Değişken Örneklem Büyüklüğü ile Çalışıldığında 𝑋 - S Kontrol Kartları

X-ort ve S standart sapma kontrol

grafiklerinin merkez çizgi değerlerinin

hesaplanmasında, ağırlıklı ortalama

yaklaşımından faydalanılır.

Kontrol limitlerinin hesaplanmasında kullanılan 𝐴3, 𝐵3 ve 𝐵4 kontrol

çarpanlarının (sabitler) değeri, her bir alt kontrol grubu için

örneklem büyüklüğüne bağlı olarak ilgili tablodan belirlenir.

Örnek - 4

Otomobil motor piston halkalarının

iç çap ölçümleri yandaki tabloda

verilmiştir.

Alt kontrol gruplarındaki örneklem

büyüklüğü n = 3, 4 ve n = 5 olarak

değişkenlik göstermektedir.

Not: Alınan her bir örneklem (alt kontrol

grubu) için 𝑋 - S kontrol kartlarına ait

limitler ayrı ayrı, örneklem büyüklüğü

dikkate alınarak belirlenir.

X-ort Kontrol Grafiği

Alınan 17 örnekte n = 5

Örneklem büyüklüğüne bağlı değişen kontrol limitlerine alternatif olarak, bazı

durumlarda ortalama örneklem büyüklüğü 𝒏 veya en sık alınan (modu)

örneklem büyüklüklülerinin de kullanımı söz konusu olabilir. Kontrol

kartları, üst yönetime sunulacağı zaman bu durum uygulanabilir. Ortalama

örneklem büyüklüğü, tamsayı değer alamayabileceğinden, genellikle en sık

tekrar eden örneklem büyüklüğünün alınması tercih edilir.

S - standart sapma

kontrol grafiği

Proses Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi

Alınan 17 örnekte n = 5 olduğu için, sürecin standart sapmasının

tahmini, en sık alınan bu örneklem büyüklüğü için yapılmıştır.

Proses standart sapması σ tahmin edilirken, her bir örneklemin standart

sapma değeri 𝒔𝒊 (𝑖 = 1,2,…25) kullanılır ve örneklemlerin ortalama

standart sapması 𝑺 hesaplanır. Ortalama standart sapma değeri, en çok

tekrar eden örneklem büyüklüğü (n = 5) için, örneklem büyüklüklerinin

modu kullanılarak hesaplanır.

Proses standart sapmasının tahmin edilmesi:

Kontrol Kartları Merkez Çizgi & Kontrol

Limiti Hesaplama Özeti

𝑠2 - Örneklem Varyansı Kontrol Grafiği Bazı araştırmacılar, süreç değişkenliğinin tespit edilmesinde, örneklem

varyansının 𝒔𝟐 kullanılabileceğini önermişlerdir. 𝑠2 kontrol grafiğinin

parametreleri (Merkez çizgi, AKL & ÜKL), ki-kare dağılımı kullanılarak

belirlenir. Çünkü, varyanslar ile ilgili nokta tahminleri, güven aralığı

tahminleri ve testler ki-kare dağılımı kullanılarak yapılmaktadır.

ki-kare dağılımının n-1

serbestlik derecesindeki alt

ve üst 𝛼 2 yüzdelik noktaları

Örneklem varyanslarının ortalaması

Standartların belli olduğu durumda, 𝒔𝟐 yerine popülasyon varyansı 𝝈𝟐

biliniyorsa kullanılabilir. Örneklem varyansı kontrol grafiği, olasılık

limitleri kullanılarak tanımlanmıştır.

Örnek - 5 İmalatı devam eden bir mamulün kalite karakteristiğine ilişkin değişkenlik,

örneklem varyansına göre kontrol edilmek isteniyor. Belirli aralıklarla

imalattan çıkan birimlerden örnekler alınmış ve her biri 5’er birim içeren

(n = 5) 10 alt kontrol grubu oluşturulmuştur. %95 güven düzeyi için

𝑠2 − kontrol grafiğini kullanarak, sürecin değişkenliğini yorumlayınız.

Alt ve üst olasılık limitlerinin ki-kare

dağılımı kullanılarak hesaplanması

Ki-kare dağılımı

olasılık tablosu

Birimler ve Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri

(Individual X & Moving Range-XmR)

Üretimde, proses izleme ve kontrolünde örneklem büyüklüğünün n = 1

olduğu durumlar vardır. Yani örneklem büyüklüğü, bireysel bir birimi

içermektedir. Örnek büyüklüğünün 1’e eşit olma nedenleri:

Otomatik muayene ve ölçme teknolojilerinin kullanımı ve üretilen her bir

birimin analiz edilmesi gerekliliği (Rasyonel alt grup oluşturmanın

mümkün olmadığı tahribatlı muayenede olduğu gibi),

Örneklem alma maliyetinin yüksek olması,

Üretim oranının çok yavaş olması (Zamana bağlı olarak birden fazla örnek

oluşturmanın çok zor olduğu durumlar), gözlem değerleri arasında geçen

uzun zaman aralıkları rasyonel alt grup oluşturmada problemlere yol açabilir,

Proses üzerindeki tekrarlı ölçümler, birçok kimyasal proseste olduğu gibi

laboratuvar veya analiz hatası nedeniyle farklılık göstermektedir.

Kağıt üretimi gibi proses endüstrilerinde, rulo boyunca kaplama kalınlığı

gibi bazı kalite (karakteristiği) parametrelerinin ölçümleri hassasiyet

gösterir. Bir başka deyişle, standart sapmanın çok küçük olduğu

durumlarda, rulo boyunca kaplama kalınlığı sürekli olarak çok az

farklılıklar gösterecektir. Standart sapmadaki küçük değişimlerin

sürekli kontrol altında tutulabilmesi için sürekli (tekrar eden) bireysel

gözlem değerlerine ihtiyaç vardır.

Yarı iletken üretiminde, örneğin mikron boyutunda ölçülmüş silikon devre

levhası üzerinde birkaç farklı noktada oksit kalınlığının ölçülmesi gibi

aynı birim ürün üzerinde zorunlu olarak çoklu ölçümlerin yapılması.

Böyle durumlarda, her bir alt kontrol grubunun büyüklüğü n = 1

olduğundan grup içi değişim olmaz. Bu nedenle, birbirini takip eden

alt gruplar arasındaki fark, değişimin bir ölçüsü olarak kullanılır. Bu fark

hareketli aralık olarak adlandırılır. (Formüllerde n = 2 alınmıştır:

Birbirini takip eden 2 gözlem değeri arasındaki farktan ötürü).

Birimler ve Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri

Özet Olarak

Üretim hızı oldukça düşük, üretim sayısı az olduğu durumlarda,

Otomatik ölçüm cihazları ile her bir birimin ölçümünün

yapılabildiği durumda,

Üretim sürecinde değişkenlik çok az (Standart sapma küçük)

olduğu durumlarda,

Test metodu tahribatlı olduğunda, birimler kontrol grafikleri tercih

edilmektedir.

X - birimler kontrol grafiği, Hareketli Değişim Aralığı (MR)

Kontrol Grafiği ile birlikte kullanılır.

Hareketli Değişim Aralığı, birbirini izleyen iki veri arasındaki

değişkenliği gösterir (n = 2).

Hareketli Aralık ve Birimler Kontrol

Grafiklerinin Kontrol Limitlerinin Hesaplanması

Örnek – 6: Hizmet Sektöründe

Kontrol Kartı Uygulaması

Yandaki tabloda, bir bankanın son 20 haftalık konut

kredisi başvuruları için işlem maliyeti değerleri

verilmiştir. Bu veriler ile Hareketli Aralık Kontrol

Grafiği ve Birimler Kontrol Grafiği tekniklerini

kullanarak, bankanın kredi başvuru sürecinin

analizini gerçekleştiriniz.

Hareketli Aralık Kontrol Grafiği

Birimler Kontrol Grafiği

Kredi Başvuru Sürecinin Yorumlanması

Gerek hareketli aralık, gerekse birimler kontrol grafiklerinde kontrol

limitleri dışında olan herhangi bir nokta olmadığından bankanın

kredi başvuru sürecinin kontrol altında olduğu söylenebilir.

Bireysel gözlem değerlerinin yüksek olması durumu, hareketli

aralık değerlerinin de fazla olmasına yol açacaktır. Bu nedenle,

hem hareketli aralık hem de bireysel gözlem değerleri kontrol

limitleri dışına düşen noktalar oluşacaktır.

Birimler kontrol grafiklerinde, hem proses ortalamasının kontrol

dışında olması, hem de proses varyansının kontrol dışında olması

çok sık rastlanan bir durumdur.

MINITAB 14 ile

Birimler Kontrol

Grafiklerinin

Oluşturulması

Kontrol kartı uygulamasının ilk aşamasında elde edilen yukarıdaki

deneme kontrol limitleri güvenilir olduğundan, 2. aşamada gelecekteki

kredi başvuru süreçlerinin izlenmesi amacıyla kullanılabilir.

Birimler Kontrol Kartı Uygulamasının II. Aşaması

Sürecin izlenmesi amacıyla 21-40 haftaları arasında

konut kredisi işlem maliyetleri için yeni gözlem

değerleri yandaki tablodaki gibi elde edilmiştir.

Deneme kontrol limitleri ile birimler ve hareketli

aralık kontrol grafikleri yeniden oluşturulmuştur.

Birimler kontrol grafiğine göre 39. ve 40. gözlem

değerlerinde proses ortalamasının değişim

gösterdiği (arttığı) görülmektedir.

Hareketli aralık kontrol grafiği de aynı gözlem değerlerinde (39. gözlem)kontrol dışı bir durumun varlığına işaret etmiştir. Bir başka deyişle, prosesortalamasındaki sapmalar, hareketli aralık değerlerindeki değişim ile detespit edilebilir durumdadır. Bu değişkenliğe neden olan kaynağı belirlenebilenözel neden tespit edilip, sürece müdahale edilerek gerekli önlemler alınmalıdır.

Hareketli aralık kontrol grafikleri yorumlanırken, bu grafikler üzerindekiörüntülere (pattern) dikkat edilmelidir. Hareketli aralık değerleri korelasyoniçerir ve bu korelasyon bir döngü (cycle) veya trend gibi örüntüler oluşturabilir.Birimler kontrol grafiğindeki bireysel gözlem değerlerinin ise korelasyoniçermediği varsayılmaktadır.

Ortalama Koşum Uzunlukları (ARL) Shewhart kontrol grafiklerinde, 3-sigma kontrol limitlerinin kullanılması

durumunda, sürecin kontrol altında olduğu durumda, ortalama koşum

uzunluğu 𝑨𝑹𝑳𝟎 370’tir. Sürecin kontrol altında olması durumunda bu

değerin yüksek olması istenir (Yanlış alarm verme sıklığının az olması).

Birimler kontrol grafiklerinde de bu değere yakın 𝐴𝑅𝐿0 değerleri elde edilir.

Prosesteki değişimleri yakalamanın en temel yolu, işletim karakteristik

eğrisi veya ARL eğrilerine başvurmaktır. 3-sigma kontrol limitleri ile

çalışıldığında, birimler kontrol grafikleri için sürecin kontrol altında

olmadığı zaman elde edilen 𝑨𝑹𝑳𝟏 değerleri tablodaki gibidir.

Sürecin kontrol altında olmadığı durumlarda, 𝑨𝑹𝑳𝟏 değerinin

küçük olması istenir ki sürecin kontrol altında olmadığı hızlı

bir şekilde fark edilebilsin. Bu değerlere göre, birimler

kontrol grafiklerinin küçük değişimleri tespit edebilme

yeteneği azdır. Proses ortalamasından 1-sigma’lık değişimi

tespit etmek için; eğer her saat başı örneklem alınıyorsa, 44

saat gibi uzun bir zamanın geçmesi gereklidir.

𝑋 - Kontrol Grafiği için İşletim

Karakteristiği Eğrileri

𝑛 = 5 olduğu durumda, proses

ortalamasında meydana gelebilecek

1 𝝈 ’lık sapmanın alınan ilk

örneklemde tespit edilebilme

olasılığı; 1 − 𝛽 = 1 − 0.75 = 0.25 ’dir.

İkinci ve üçüncü örneklemlerde tespit

edilebilme olasılıkları ise giderek azalır.

𝜷 −riski, 3-sigma kontrol limitlerinin kullanılması durumunda ve n örneklem

büyüklüğü ile çalışıldığında, proses ortalamasında meydana gelebilecek

k-sigma’lık sapmanın tespit edilememe olasılığını ifade eder.

Birimler Kontrol Grafikleri ve Gözlem

Değerlerine ilişkin Normallik Testi Birimler kontrol grafikleri, gözlem değerlerinin

normal dağılım gösterip göstermediğinden önemli

ölçüde etkilenir. Bunun temel sebebi, verilerin normal

dağılım göstermemesi durumunda, kontrol altındaki

sürecin ortalama koşum uzunluğundaki

𝑨𝑹𝑳𝟎 önemli değişimlerden kaynaklanmaktadır.

Bu nedenle de, birimler kontrol kartı uygulamasının

2. aşamasında normal dağılım göstermeyen veriler ile

elde edilen kontrol limitlerinin kullanılması uygun

olmaz. Bu sorunu çözmenin en temel yöntemi, normal

dağılmayan gözlem değerlerinin logaritmasının

alınarak yaklaşık normal dağılan verilere

dönüştürülmesidir. Birimler kontrol grafikleri

oluşturulurken, normallik varsayımının mutlaka

kontrol edilmesi gerekir. Bunun için de normal olasılık

grafikleri kullanılabilir.

Konut kredisi işlem maliyetleri verisine

ait normal olasılık grafiğine göre,

verilerin normal dağıldığı söylenebilir.

Örnek – 7: Normal Dağılıma Dönüştürme Üretim hızının çok yavaş olduğu bir işletmede (Üretim oranı düşük), 25

adet silikon levhanın direnç değerleri ölçülmüş ve birimler kontrol

grafikleri yardımıyla sürecin analiz edilmesi istenmiştir.

Bireysel gözlem değerleri için kontrol grafikleri oluşturulmadan evvel,

verilerin normal dağılıp dağılmadığı test edilmelidir.

Bireysel gözlem değerleri için elde

edilen normal olasılık grafiğine

göre, verilerin normal dağılım

gösterdiği söylenemez

(Doğru üzerinde sapmalar fazla).

Tabanı e olan logaritma fonksiyonu

(ln) dönüşümü uygulanan verilerin

yaklaşık normal dağılım gösterdiği

söylenebilir (Doğru üzerinde

sapmalar nispeten daha az).

Birimler Kontrol Grafiği

Hareketli Aralık Kontrol

Grafiği

Sürecin kontrol dışında olduğuna dair herhangi bir noktaya

rastlanmadığından (Kontrol limitleri dışında herhangi bir nokta

bulunmamakta), sürecin kontrol altında olduğu söylenebilir.

Gözlem değerlerinin normal

dağılım göstermediği durumda

sürecin kontrol dışında olduğuna

dair yanlış alarm oluşabilir.

Dönüşüm yapılmadan önce elde

edilen birimler kontrol grafikleri

Yaklaşık Normal Dağılan Gözlem Değerleri

(Dönüşüm Yapıldıktan Sonra) ile Elde Edilen

Birimler & Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri

Popülasyon Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi

Birimler kontrol grafikleri kullanıldığında, kalite karakteristiğinin

incelendiği popülasyona ait standart sapma, ortalama hareketli

aralık 𝑴𝑹 kullanılarak tahmin edilir.

𝑑2 sabitinin n = 2 için eşleniği

1 𝑑2

𝜎 = 0.8865 ∗ 𝑀𝑅

Değişkenler için Kontrol Kartlarının

Hizmet Sektöründe Kullanımı

Değişkenler için kontrol grafikleri sadece imalat/üretim ortamlarında değil, aynı

zamanda hizmet sektöründe de geniş uygulama alanları vardır.

Buna örnek olarak konut kredisi başvuru sürecinin kontrol edilmesinde ve

izlenmesinde birimler kontrol grafiklerinin kullanımı örnek olarak verilebilir. Hizmet

kalitesini ölçmek için müşterilerin maruz kaldığı işlem maliyetleri kullanılarak süreç

analizi yapılıp, süreç iyileştirme faaliyetlerinde bulunulabilir. Hizmet sektörü ve imalat

sektörü açısından kontrol kartı uygulamaları, 2 temel fark içermektedir.

(i) Hizmet sektöründe spesifikasyon limitlerinin direkt ürün üzerinde uygulanması

çok nadir görülebilen bir durumdur. Bu nedenle, proses yeterlilik kavramı hizmet

sektöründe genelde tanımlanamaz.

(ii) Hizmet sektöründe ölçülebilir kalite özelliklerinin belirlenmesi daha zordur ve hayal

gücü gerektirir (Ortalama hizmet süresi, ödemelerin tam zamanında/geç yapılması,

kuyrukta bekleme süreleri vs.).

Kontrol Kartı Uygulama İlkeleri

1. Hangi süreç/kalite karakteristiğinin kontrol edileceğine karar verilir.

2. Kontrol kartının sürecin neresinde (hangi operasyonunda)uygulanılacağına karar verilir.

3. Uygun olan kontrol kartı seçilir.

4. İstatistiksel proses kontrol kartı analizleri sonucunda, süreci iyileştirmekiçin düzeltici önlemler, kontrol dışı aksiyon planları oluşturulur.

5. Süreçten veri toplamak ve kontrol grafiklerini oluşturmak için sistemve bilgisayar yazılımlarına karar verilir (Bilgi sistemi).

Kontrol kartları çevrimiçi (online) süreç izleme araçlarıdır.

Kontrol kartları, müşteri için önem arz eden kalite karakteristiğiyle ilgilikritik süreç değişkenlerinin yer aldığı operasyonlarda uygulanmalıdır.

Endüstride genellikle, süreç stabil olana kadar, olması gerekendendaha fazla sayıda kontrol kartı ile çalışılmaktadır. Gereksiz olan kontrolkartlarına karar verilip, uygulamadan çıkarılmalıdır.

Firmada, eğer kontrol kartları etkin bir şekilde uygulanıyorsa ve kritik

proses değişkenleri hakkında yeni bilgiler elde edilebiliyorsa, uygulanan 𝑿 - R kontrol grafiklerinin sayısının artacağı, nitelikler için kontrol

kartları uygulamalarının ise azalması beklenir.

Süreç hakkında daha fazla bilgi edindikçe, nitelikler için kontrol kartı

uygulamalarının yerini, değişkenler için kontrol kartı uygulamaları alır.

Kompleks montaj süreçlerinde, süreç kontrol uygulamaları daha tedarikçi

düzeyinde başlamalıdır.

Kontrol Kartı Uygulama İlkeleri

𝑋 - R veya 𝑋 - S Kontrol Kartları Ne Zaman

Kullanılmalı ?

1. Firmaya yeni bir üretim süreci entegre edildiğinde veya mevcut üretim

süreciyle yeni bir ürünün üretimi başladığında,

2. Süreç kronik olarak kontrol dışında ise veya belirlenen toleransları bazı

zamanlarda karşılayıp, genelde sağlayamıyorsa,

3. Test etme sürecinin pahalı olduğu tahribatlı muayene işlemlerinde,

4. Süreç kontrol altında devam ediyorsa, örneklem büyüklüğü azaltılmak

istenebilir,

5. Nitelikler için kontrol kartı uygulaması sonucu süreç kontrol altında

veya dışında ancak kusurlu oranı/hata sayısı kabul edilemez derecede

yüksek seviyede ise,

6. İmalat sürecinin spesifikasyonları ve standartları çok sıkı ise ve

montaj toleransları ile çakışıyorsa,

7. Operatörün süreci ayarlayıp/ayarlamayacağına karar vermesi ve

set-up (Hazırlık aktivitelerini) değerlendirmesi gerektiğinde,

8. Ürün spesifikasyonlarında değişim talep edildiğinde,

9. Süreç yeterliliği ve sürecin stabil olup/olmadığının sürekli kontrol

edilmesi gereken durumlarda,

10. Problemli bir süreçte tanı/teşhis koymak (arıza tespiti) amacıyla

kullanılabilir.

𝑋 - R veya 𝑋 - S Kontrol Kartları Ne Zaman

Kullanılmalı ?

1. Birden fazla örnek alıp ölçmenin mümkün olmadığı veyalaboratuvar/analiz hataları nedeniyle ölçümlerin tekrarlandığıkimyasal süreçlerde,

2. Üretilen her birimin otomatik test ve muayene teknolojileriylekontrol edilebildiği durumlarda. Bu tip durumlarda, ayrıca CUSUMve EWMA kontrol grafikleri de kullanılabilmektedir.

3. Veri toplamanın çok zor veya üretim hızının/oranının düşük olmasıhalinde,

4. Kontrol kartı uygulamalarının II. Aşamasında, birimler kontrolgrafiklerinin genellikle prosesteki değişimi tespit etme konusundaperformansı zayıftır ve normallik varsayımına karşı çok duyarlıdır.Bu nedenle, CUSUM ve EWMA kontrol grafiklerinin kullanımıönerilmektedir.

Birimler & Hareketli Aralık Kontrol Kartları

Ne Zaman Kullanılmalı ?

Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa..

Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir ? diye soruyorum..

Nedenlerine kim karar verir ? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar

arasında gidip geldi..

Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu..

Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir.

John Forbes Nash, Jr.

Nobel ödülü konuşmasından (1994)