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Razões e Proporções
Razão, Proporção, Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais e Regras
de três Simples e Compostas.
Razão
Sendo a e b dois números racionais, com b≠0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente ou a : b.A razão ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: Razão de a para b ou a está para b ou a para b
Nomes Especiais
Os termos de uma razão, na forma fracionária ou como uma divisão, recebem nomes especiais: o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número , consequente. ou a:b da mesma forma
Exemplos
1) Danielzinho, jogador do time de Basquete doFlamengo, de 15 arremessos à cesta acertou 12. Qual a razão entre o número de acertos e o número total à cesta feitos por Danielzinho?Solução:Na verdade faremos uma comparação entre o número de acertos e o número total de arremessos. Ou seja, a razão 12 : 15 = =
Exemplos
Ou seja, para cada 5 arremessos à cesta,
Danielzinho acertou 4.
Considerando que , dizemos que Danielzinho
acertou 80% dos arremessos.
Exemplos2) Qual é a razão entre a área da região retangular 1 e a área da região retangular 2 1 2 40cm
1m 60cm 1,2m
Exemplos
Logo, a razão .Ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a área do retângulo 1.
OBS: A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas na mesma unidade.
Razões Especiais1. Velocidade Média
2. Escala
3. Densidade de um Corpo
4. Densidade Demográfica
Exemplos
• Velocidade MédiaUm trem percorreu a a distância de 453Km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?
Exemplos• EscalaEm um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30Km, qual a escala utilizada no mapa?Escala ou 1 : 1 000 000.
Ou seja, 1cm no desenho corresponde a 1 000
000 cm no real, ou a 10Km.
Exemplos
• EscalaAo desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 6cm, que correspondia ao comprimento da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:125, qual o comprimento real dessa sala?Solução:
Exemplos• Densidade de um corpo
Uma escultura em bronze tem 3,5Kg de massa e
volume de 400. Qual é a densidade dessa escultura
de bronze?
Densidade =
Exemplos• Densidade DemográficaTocantins é um Estado que possui 1 300 000 habitantes que ocupam uma área de 280 000Qual a sua densidade demográfica?Solução:Densidade demográfica =
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razõesExemplo:
Definição
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de
zero, tomados nessa ordem, formam uma
progressão quando:
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
OBS: Chamaremos a e d de extremos e b e c de meios da proporção.
Exemplo
Os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem formam uma progressão, pois:
Note que e que Os extremos da proporção são 6 e 18 e os meios 9 e 12
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios e vice-versa.
Ou seja, dada a proporção a: b = c: d ou então
podemos escrever que:
a . d = b . c
Propriedade Fundamental das Proporções
Considerando a proporção , vemos que:
6 x 18 = 108 e que 9 x 12 = 108. Ou seja,
6 x 18 = 9 x 12
Exercícios
1) Usando a propriedade fundamental das proporções, verificar se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção.
Solução:Produto dos extremos: 3 x 28 = 84Produto dos meios: 7 x 12 = 84Logo, formam uma proporção.
Exercícios
2) Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de x.Solução:Podemos escrever que e como sabemos6 x Logo, x = 20
Exercícios
3) Considerando, nesta ordem, os números a seguir, calcule a quarta proporcional dos números 1,5, 0,8 e 2,4.Solução:Chamaremos de quarta proporcional (x) o último número que forma a proporção: Assim, 0,8 Portanto, x = 1,28
Exercícios
4) Usando a propriedade fundamental das
proporções, resolver a equação
Solução:
2.(x+1) = 1.(x-2) ⇒2x + 2 = x -2 ⇒ x = -4Logo, a raiz da equação é x = -4
Exercícios
5) Em uma escola, para cada 4 meninas há 5 meninos estudando. Se há 580 meninos matriculados, quantos alunos estudam nessa escola?Solução: Calculando o número de meninas, temos: ⇒ Logo, estudam nessa escola 580 + 464 = 1044 alunos
Exercícios
6) A altura da maquete de um edifício é 80cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na escala 1 : 40?Solução:
Logo, a altura real do prédio é 32m