RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA NA ...repozitorij.fsb.hr/155/1/07_07_2006_Ivo_Dzijan...SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA

NA NESTRUKTURIRANOJ MREŽI

MAGISTARSKI RAD

IVO DŽIJAN

ZAGREB, 2000.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA

NA NESTRUKTURIRANOJ MREŽI

MAGISTARSKI RAD

Mentor: Prof.dr.sc. ZDRAVKO VIRAG IVO DŽIJAN

ZAGREB, 2000.

PODACI ZA BIBLIOGRAFSKU KARTICU

UDK: 519.61/.64: 532.5

Ključne riječi: Računalna dinamika fluida, Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba, Metoda kontrolnih volumena, Nestrukturirana mreža

Znanstveno područje: Tehničke znanosti

Znanstveno polje: Strojarstvo

Institucija u kojoj je rad izrađen: Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

Mentor rada: Prof.dr.sc. Zdravko Virag

Broj stranica: 124

Broj slika: 76

Broj tablica: 7

Broj korištenih bibliografskih jedinica: 46

Datum obrane:

Povjerenstvo: Prof.dr.sc. Jurica Sorić Prof.dr.sc. Zdravko Virag Prof.dr.sc. Mladen Alić

Institucija u kojoj je rad pohranjen: Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

S V E U Č I L I Š T E U Z A G R E B U FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE POSLIJEDIPLOMSKI STUDIJ

Zagreb, 25. lipnja 1999.

ZADATAK ZA MAGISTARSKI RAD Kandidat: Ivo DŽIJAN, dipl. ing. strojarstva Zadatak: RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA NA NESTRUKTURIRANOJ MREŽI Metoda kontrolnih volumena je numerička metoda za rješavanje problema mehanike kontinuuma, koja se uspješno primjenjuje u područjima mehanike fluida i čvrstoće elastičnih i plastičnih materijala. Najčešća primjena metode kontrolnih volumena je na strukturiranim mrežama koje se obično dobivaju preslikavanjem iz pomoćnog u fizikalni prostor. Osnovni nedostatak primjene strukturiranih mreža leži u nemogućnosti efikasnog lokalnog usitnjavanja mreže. Jedan od načina rješavanja tog problema je i primjena nestrukturiranih mreža, slično metodi konačnih elemenata. Zadatak ovog rada je razviti metodu kontrolnih volumena za rješavanje opće jednadžbe prijenosa na nestrukturiranoj mreži. U sklopu rada je potrebno: 1. Razviti metodu i računalni program za generiranje geometrijske mreže za diskretizaciju

dvodimenzijskih, geometrijski složenih područja. Zahtijeva se da spojnice čvorova budu okomite na stranice elementarnih kontrolnih volumena.

2. Definirati metodu kontrolnih volumena i razviti odgovarajući računalni program za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe, za stacionarne i nestacionarne uvjete.

3. Testirati metodu u tipičnim situacijama, te ilustrirati primjenu metode na konkretnim primjerima. Zadatak zadan: 13.07.1999. Rad predan: ....................................... Voditelj odbora za poslijediplomski Voditelj magistarskog rada: studij i doktorate: Dr.sc. Božo Vranješ, red. prof. Dr.sc. Zdravko Virag, izv. prof.

Posebno zahvaljujem mentoru prof. dr.sc. Zdravku Viragu, koji me je uveo u područje računalne dinamike fluida. Njegov optimizam, strpljenje i stručno vodstvo bili su mi dragocjena pomoć u dosadašnjem radu.

Članovima povjerenstva zahvaljujem na konstruktivnim sugestijama.

Zahvaljujem prof. dr.sc. Zdravku Dolineru na korisnim savjetima i nesebičnoj podršci.

Hrvoju, Nastiji i Tomislavu zahvaljujem na preuzimanju nastavnih obveza i pomoći tijekom izrade ovog rada.

Zahvaljujem svima koji su mi, svatko na svoj osobit način, olakšali izradu ovog rada.

Veliko razumijevanje, briga i povjerenje moje sestre

i roditelja bili su mi najveći poticaj za rad.

I

SADRŽAJ

SADRŽAJ.........................................................................................................................I

PREDGOVOR ..............................................................................................................III

SAŽETAK ..................................................................................................................... IV

SUMMARY .................................................................................................................... V

POPIS OZNAKA ..........................................................................................................VI

POPIS SLIKA ............................................................................................................... IX

POPIS TABLICA ......................................................................................................XIII

1 UVOD.......................................................................................................................... 1

2 MATEMATIČKI MODEL ....................................................................................... 3 2.1 OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA ............................................................... 3

2.1.1 Zakon održanja mase (jednadžba kontinuiteta) ............................................. 5 2.1.2 Zakon količine gibanja................................................................................... 6 2.1.3 Zakon održanja energije (energetska jednadžba)........................................... 6 2.1.4 Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida......................................... 7 2.1.5 Konstitutivne (dopunske) jednadžbe.............................................................. 8

2.1.5.1 Newtonov zakon viskoznosti.................................................................... 8 2.1.5.2 Fourierov zakon toplinske vodljivosti..................................................... 8 2.1.5.3 Odnosi za savršeni plin........................................................................... 8

2.1.6 Osnovne jednadžbe dinamike savršenog plina .............................................. 9 2.1.7 Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba .................................................... 10

2.2 MATEMATIČKE KARAKTERISTIKE JEDNADŽBI ....................................................... 11 2.2.1 Postupak klasifikacije sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog

reda ................................................................................................................... 12 2.2.2 Analiza karaktera opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe ........................ 14

2.3 POČETNI I GRANIČNI UVJETI .................................................................................. 15

3 METODA KONTROLNIH VOLUMENA............................................................ 17 3.1 UVOD.................................................................................................................... 17

3.2 DISKRETIZACIJA PODRUČJA PRORAČUNA .............................................................. 19

3.3 DISKRETIZACIJA JEDNADŽBI ................................................................................. 20 3.3.1 Vremenska integracija ................................................................................. 21 3.3.2 Aproksimacija volumenskih integrala ......................................................... 21 3.3.3 Aproksimacija površinskih integrala ........................................................... 22 3.3.4 Linearizacija izvornog člana ........................................................................ 23 3.3.5 Vremenska diskretizacija ............................................................................. 24 3.3.6 Shema diferencije......................................................................................... 25

3.3.6.1 Kriteriji procjenjivanja sheme diferencije ............................................ 26

Sadržaj

II

3.3.6.2 Jednodimenzijsko rješenje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe..... 27 3.3.6.3 Aproksimacija usmjerenih derivacija ................................................... 32 3.3.6.4 Korekcija usmjerenih derivacija........................................................... 33

3.3.7 Podrelaksacija .............................................................................................. 34 3.3.8 Kriterij završetka iterativnog postupka........................................................ 35

3.4 UGRADNJA GRANIČNIH UVJETA ............................................................................ 36

3.5 METODA RJEŠAVANJA SUSTAVA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI................ 38

4 GENERIRANJE GEOMETRIJSKE MREŽE ..................................................... 40 4.1 UVOD.................................................................................................................... 40

4.2 ZAHTJEVI NA GENERATOR GEOMETRIJSKE MREŽE................................................. 41

4.3 OPIS GENERATORA GEOMETRIJSKE MREŽE............................................................ 42 4.3.1 Zadavanje potrebnih podataka ..................................................................... 42 4.3.2 Postavljanje čvorova po granicama ............................................................. 44 4.3.3 Postavljanje čvorova u unutrašnjosti područja proračuna ........................... 47 4.3.4 Brisanje istovjetnih i bliskih čvorova .......................................................... 52 4.3.5 Formiranje kontrolnih volumena ................................................................. 53 4.3.6 Ujednačavanje geometrijske mreže ............................................................. 56 4.3.7 Računanje geometrijskih karakteristika....................................................... 58

4.4 PRIMJENA GENERATORA GEOMETRIJSKE MREŽE ................................................... 58

5 TESTIRANJE I PRIMJENA METODE ............................................................... 60 5.1 TESTIRANJE METODE NA STACIONARNIM PROBLEMIMA ........................................ 60

5.1.1 Konvekcijski prijenos .................................................................................. 60 5.1.1.1 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na

ravnomjernoj mreži...................................................................................... 60 5.1.1.2 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na

neravnomjernoj mreži .................................................................................. 70 5.1.1.3 Smith-Huttonov problem....................................................................... 72

5.1.2 Difuzijski prijenos – provođenje topline...................................................... 74 5.1.3 Konvekcijsko-difuzijski prijenos u prisutnosti izvornog člana ................... 78

5.2 TESTIRANJE METODE NA NESTACIONARNIM PROBLEMIMA.................................... 82 5.2.1 Konvekcijski prijenos .................................................................................. 82

5.2.1.1 Konvekcijski prijenos stožastog profila u paralelnom strujanju .......... 82 5.2.1.2 Konvekcijski prijenos prizmatičnog profila u paralelnom strujanju .... 86 5.2.1.3 Konvekcijski prijenos stožastog profila u rotacijskom gibanju ............ 90 5.2.1.4 Konvekcijski prijenos prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju...... 96

5.2.2 Nestacionarni difuzijski prijenos ............................................................... 102

5.3 PRIMJENA METODE NA RJEŠAVANJE TEMPERATURNE JEDNADŽBE ....................... 103

6 ZAKLJUČAK......................................................................................................... 105

LITERATURA............................................................................................................ 107

ŽIVOTOPIS ................................................................................................................ 110

BIOGRAPHY.............................................................................................................. 111

III

PREDGOVOR

Na Katedri za mehaniku fluida Fakulteta strojarstva i brodogradnje u Zagrebu postoji višegodišnje iskustvo u primjeni numeričke metode kontrolnih volumena za rješavanje problema laminarnog i turbulentnog strujanja fluida. Do sada su razvijene metode na strukturiranim mrežama i to u kartezijskim koordinatama, općim ortogonalnim, te općim neortogonalnim koordinatama. Sve ove metode imaju određena ograničenja kada se želi rješavati probleme strujanja u geometrijski složenom području. Upravo ta ograničenja su bila motiv za početak razvoja nove generacije numeričkih metoda na nestrukturiranim mrežama. Ovaj rad u tom smislu predstavlja prvi korak u kojem će se definirati postupak za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe i razviti odgovarajući generator nestrukturirane mreže za diskretizaciju dvodimenzijskih područja.

IV

SAŽETAK

U radu je razvijena metoda kontrolnih volumena i izrađen paket računalnih programa za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe na dvodimenzijskoj nestrukturiranoj mreži. U numeričkom postupku je korištena poznata eksponencijalna shema diferencije (EDS), te je predloženo njeno poboljšanje (EDSI) s ciljem dobivanja točnijih rješenja problema s dominantno konvekcijskim prijenosom.

U okviru metode je razvijen odgovarajući generator nestrukturirane geometrijske mreže za diskretizaciju geometrijski složenih dvodimenzijskih domena.

Metoda je testirana na tipičnim stacionarnim i nestacionarnim situacijama konvekcijskih i/ili difuzijskih problema. Dobiveni rezultati pokazuju valjanost metode i povećanu točnost EDSI sheme diferencije u odnosu na standardnu EDS shemu.

Metoda je na kraju primijenjena za rješavanje problema provođenja topline u geometrijski složenom području.

Ključne riječi

Računalna dinamika fluida

Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba

Metoda kontrolnih volumena

Nestrukturirana mreža

Eksponencijalna shema diferencije

Cranck-Nicholsonova shema

V

SUMMARY

DEVELOPMENT OF CONTROL VOLUME METHOD ON UNSTRUCTURED GRID

The control volume method and the necessary computer programs for solving the general convection-diffusion equation on the two-dimensional unstructured grid has been developed. In the numerical method the standard exponential differencing scheme (EDS) has been applied and its improvement (EDSI) has been proposed to obtain more accurate results in convection dominated problems.

The appropriate unstructured grid generator for two-dimensional complex domains has been developed.

The computational method has been tested on typical steady and unsteady convection and/or diffusion problems. The obtained results point out the validity of the method and the improved accuracy of EDSI scheme with respect to the standard EDS differencing scheme.

Finally, the method has been applied to the heat conduction problem in a complex domain.

Key words

Computational Fluid Dynamics

General transport equation

Finite volume method

Unstructured grid

Exponential differencing scheme

Cranck-Nicholson scheme

VI

POPIS OZNAKA

Oznaka SI-jedinica Naziv

Ca [kg/s] centralni koeficijent u diferencijskoj jednadžbi

Na [kg/s] koeficijent u diferencijskoj jednadžbi

b slobodni član u diferencijskoj jednadžbi

Co [-] Courantov broj

vc [J/(kg K)] specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu

D [kg/s] difuzijska vodljivost

DDt

[1/s] operator materijalne derivacije

e [J/kg] zbroj specifične kinetičke i unutarnje energije

F [kg/s] jačina konvekcije

Fo [-] Fourierov broj

if [N/kg] komponente vektora specifične masene sile

g [-] faktor vremenske interpolacije

J protok fizikalnog svojstva Φ

1k [-] faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova na početnom dijelu granice

2k [-] faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova na krajnjem dijelu granice

nk [-] faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu

brm [-] redni broj čvora (broj "reda" u kojem se čvor nalazi)

iN [-] ukupni broj čvorova u unutrašnjosti područja proračuna

1N [-] broj koji definira 1sΔ kao omjer ukupne duljine dijela granice i broja 1N

2N [-] broj koji definira 2sΔ kao omjer ukupne duljine dijela granice i broja 2N

0n [-] ukupan broj čvorova na dijelu granice uvećan za jedan

Popis oznaka

VII


1n [-] broj čvorova koji se postavljaju s početnog dijela granice

2n [-] broj čvorova koji se postavljaju s krajnjeg dijela granice

jn [-] komponente jediničnog vektora vanjske normale

nbn [-] ukupan broj susjednih čvorova promatranom čvoru

Pe [-] Pecletov broj

p [N/m2] termodinamički tlak

iq [W/ m2] komponente vektora površinske gustoće toplinskog toka

S [m2] kontrolna površina

Sh [-] Strouhalov broj 0S [-] bezdimenzijski izvorni član

MS [m2] materijalna površina

ΦS izvorni član

s [m] polovica duljine spojnice dvaju susjednih čvorova

ds [m] duljina dijela granice

rs [m] računska duljina dijela granice

1sΔ [m] udaljenost između čvora na početnom dijelu granice

2sΔ [m] udaljenost između čvora na krajnjem dijelu granice

T [K] temperatura

t [s] vrijeme

tΔ [s] vremenski korak integracije

jt [-] komponente jediničnog vektora tangente

u [J/kg] specifična unutarnja energija

V [m3] kontrolni volumen

MV [m3] materijalni volumen

CVΔ [m3] obujam kontrolnog volumena sa čvorom C

jv [m/s] komponente vektora brzine strujanja fluida

ix [m] prostorne koordinate

Popis oznaka

VIII


Γ [kg/m s] koeficijent difuzije

ijΣ [N/m2] komponente simetričnog dijela tenzora viskoznih naprezanja

Φ masena gustoća fizikalnog svojstva

α [-] faktor podrelaksacije

1δ [m] udaljenost prvog čvora u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu na prednjem dijelu granice

2δ [m] udaljenost prvog čvora u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu na krajnjem dijelu granice

ijδ [-] Kroneckerov simbol

ε [-] zadana točnost

rε [%] relativna pogreška

srε [-] prosječna apsolutna pogreška

θ [-] bezdimenzijska temperatura

λ [W/(m K)] koeficijent toplinske vodljivosti

μ [Pa s] koeficijent dinamičke viskoznosti

ξ [-] bezdimenzijska koordinata

ρ [kg/m3] gustoća fluida

jiσ [N/m2] komponente tenzora naprezanja

IX

POPIS SLIKA

Slika 2.1 Materijalni i kontrolni volumen........................................................................ 4

Slika 3.1 Primjer diskretizacije područja proračuna .................................................... 20

Slika 3.2 Aproksimacija funkcije A ................................................................................ 29

Slika 3.3 Usporedba bezdimenzijskih koeficijenata prema egzaktnom rješenju i aproksimaciji ......................................................................................................... 32

Slika 3.4 Dopušteni interval vrijednosti za ( )nkΦ ............................................................ 34

Slika 3.5 Čvor na granici ............................................................................................... 36

Slika 4.1 Dio granice područja proračuna.................................................................... 43

Slika 4.2 Općeniti raspored čvorova po dijelu granice ................................................. 44

Slika 4.3 Primjer područja proračuna s definiranim čvorovima po granicama ........... 46

Slika 4.4 Karakteristični parametri i način postavljanja čvorova u unutrašnjosti područja proračuna............................................................................................... 47

Slika 4.5 Raspodjela čvorova oko specijalnog čvora .................................................... 48

Slika 4.6 Nedopušten slučaj postavljanja čvorova unutar područja proračuna ........... 48

Slika 4.7 Definiranje maksimalne udaljenosti δmax1 i graničnog kuta φgr1 .................... 49

Slika 4.8 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ≤ ............................. 49

Slika 4.9 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ> i max1 1δ δ≥ ........ 50

Slika 4.10 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ> i max1 1δ δ< ...... 50

Slika 4.11 Postavljanje čvorova u kutu mreže za slučaj φ > 180°................................. 51

Slika 4.12 Primjer područja proračuna sa Slike 4.3 s postavljenim čvorovima unutar područja proračuna............................................................................................... 52

Slika 4.13 Primjer područja proračuna sa Slike 4.12 s preostalim čvorovima nakon brisanja istovjetnih i bliskih čvorova .................................................................... 53

Slika 4.14 Primjer formiranja kontrolnog volumena..................................................... 54

Slika 4.15 Kontrolni volumeni za čvorove na granici ................................................... 55

Slika 4.16 Primjer područja proračuna sa Slike 4.13 nakon formiranja kontrolnih volumena ............................................................................................................... 56

Slika 4.17 Konačni izgled područja proračuna sa Slike 4.16 nakon ujednačavanja geometrijske mreže ................................................................................................ 57

Slika 4.18 Primjer generiranja geometrijske mreže u geometrijski složenom području proračuna .............................................................................................................. 59

Popis slika

X

Slika 5.1 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju....................... 61

Slika 5.2 Egzaktno rješenje problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na mreži 50x50 kontrolnih volumena pri kutu α = 45° .............................................. 63

Slika 5.3 Numerička rješenja konvekcijskog pravocrtnog prijenosa stepeničastog profila na mreži 25x25 kontrolnih volumena pri kutu α = 15° ............................. 64






Slika 5.9 Nestrukturirana mreža za problem konvekcijskog prijenosa ......................... 70

Slika 5.10 Trodimenzijski prikaz numeričkog rješenja problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na nestrukturiranoj mreži (EDSI)....................... 71

Slika 5.11 Profili varijable T dobiveni numeričkim rješavanjem problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na nestrukturiranoj mreži ................................... 71

Slika 5.12 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za Smith-Huttonov problem.................................................................................................................. 72

Slika 5.13 Numeričko rješenje Smith-Huttonovog problema (EDSI) ............................ 73

Slika 5.14 Numeričko rješenje Smith-Huttonovog problema (EDS).............................. 73

Slika 5.15 Usporedba profila varijable T na izlaznoj granici za Smith-Huttonov problem.................................................................................................................. 74

Slika 5.16 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za stacionarni problem provođenja topline .................................................................................. 75

Slika 5.17 Izoterme dobivene numeričkim rješavanjem (EDSI) problema stacionarnog provođenja topline................................................................................................. 76

Slika 5.18 Polje temperature dobiveno numeričkim rješavanjem (EDSI) problema stacionarnog provođenja topline........................................................................... 76

Slika 5.19 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDSI) za problem stacionarnog provođenja topline........................................................................... 77

Slika 5.20 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDS) za problem stacionarnog provođenja topline................................................................................................. 77

Slika 5.21 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za problem konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana.......................... 79

Slika 5.22 Numeričko rješenje (EDSI) polja T za problem konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana.................................................................. 79

Popis slika

XI

Slika 5.23 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDSI) problema konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana................................................ 80

Slika 5.24 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDS) problema konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana................................................ 80

Slika 5.25 Promjena sume odstupanja prema (3.58) u ovisnosti o broju iteracija ....... 81

Slika 5.26 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju .............................................................. 83

Slika 5.27 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDSI, Co = 1/2, g = 1/2) ........ 84

Slika 5.28 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDS, Co = 1/2, g = 1/2).......... 84

Slika 5.29 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju (Co = 1/2, g = 1/2) .............. 85

Slika 5.30 Utjecaj sheme vremenske diskretizacije na točnost rezultata (EDSI, Co = 1/2)......................................................................................................................... 85

Slika 5.31 Utjecaj vremenskog koraka integracije na točnost rezultata (EDSI, g = 1/2)86

Slika 5.32 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju ........................................................ 87

Slika 5.33 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDSI).................................... 88

Slika 5.34 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDS)..................................... 88

Slika 5.35 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju (t = tint /2) ...................... 89

Slika 5.36 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju (t = tint)........................... 89

Slika 5.37 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju ................................................................ 91

Slika 5.38 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDSI)...................................... 92

Slika 5.39 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDS) ....................................... 93

Slika 5.40 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (φ = π) .................................................................................. 94

Slika 5.41 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (φ = 2π) ................................................................................ 94

Slika 5.42 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (EDSI)................................................................................... 95

Slika 5.43 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (EDS).................................................................................... 95

Popis slika

XII

Slika 5.44 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju.......................................................... 97

Slika 5.45 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDSI)................................... 98

Slika 5.46 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDS) .................................... 99

Slika 5.47 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (φ = π) ................................................................................ 100

Slika 5.48 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (φ = 2π) .............................................................................. 100

Slika 5.49 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (EDSI)................................................................................. 101

Slika 5.50 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (EDS).................................................................................. 101

Slika 5.51 Usporedba analitičkog i numeričkog rješenja (EDSI) za problem nestacionarnog difuzijskog prijenosa.................................................................. 102

Slika 5.52 Izoterme dobivene numeričkim rješavanjem (EDSI) problema provođenja topline u području proračuna prema Slici 4.18 .................................................. 104

XIII

POPIS TABLICA

Tablica 2.1 Sadržaji koeficijenata difuzije i izvornih članova za svaku jednadžbu ...... 11

Tablica 5.1 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na mreži 25x25 kontrolnih volumena.............................................................................................. 62

Tablica 5.2 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na mreži 50x50 kontrolnih volumena.............................................................................................. 62

Tablica 5.3 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju (Co = 1/2, g = 1/2) .............. 83

Tablica 5.4 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju ........................................ 87

Tablica 5.5 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju ................................................ 91

Tablica 5.6 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju.......................................... 97

1

1 UVOD

Mehanika fluida, kao dio mehanike kontinuuma, proučava probleme strujanja fluida koji mogu biti praćeni izmjenom topline, kemijskim reakcijama i sl.

Teorijska mehanika fluida modelira strujanje fluida i traži rješenje tako dobivenog matematičkog modela. Pri tome se modeliraju različite kategorije strujanja fluida: stlačivo ili nestlačivo strujanje, viskozno ili neviskozno strujanje, laminarno ili turbulentno strujanje, strujanje nenewtonovskih fluida, strujanje kemijski aktivnih fluida, strujanje višefaznih fluida itd. Rješavanje problema predstavlja određivanje vrijednosti polja fizikalnih veličina koja određuju strujanje fluida u zadanom području i međuzavisnost pojedinih veličina, čime se stvara potpuna slika pojedinog problema strujanja fluida. Na žalost postoji vrlo mali broj problema za koje se može naći analitičko rješenje.

Unutar eksperimentalne mehanike fluida se mjere vrijednosti polja fizikalnih veličina u pojedinim vremensko-prostornim točkama područja strujanja i/ili integralne vrijednosti pojedinih fizikalnih veličina. Ovaj pristup ne daje cjelovitu sliku o nekoj pojavi kao što je slučaj kada je poznato analitičko rješenje problema. Na temelju rezultata eksperimenata se procjenjuje ispravnost teorijskih postavki i određuje područje valjanosti pojedinih fizikalnih modela razvijenih u teorijskoj mehanici fluida.

Kao numerička disciplina, računalna dinamika fluida (Computational Fluid Dynamics – CFD) se pojavljuje zahvaljujući intenzivnom razvoju računala. U području računalne mehanike fluida se postavljeni matematički model strujanja fluida rješava numeričkim metodama koje podrazumijevaju diskretizaciju područja strujanja i diskretizaciju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi po prostoru i vremenu. Rezultat je sustav nelinearnih algebarskih jednadžbi čijim se rješavanjem dobiju diskretne vrijednosti polja fizikalnih veličina koje, kao i kod eksperimentalnog pristupa, ne daju potpunu sliku strujanja. Intenzivni razvoj na polju računalne dinamike fluida posljednjih tridesetak godina omogućio je njenu primjenu na široko područje industrijskih problema. Istovremeno se dogodio ogroman napredak u kapacitetu modernih računala, te se danas mogu rješavati i vrlo složeni fizikalni problemi.

Računalna dinamika fluida se u početku svoga razvoja oslanjala na numerički postupak konačnih diferencija uz primjenu strukturiranih geometrijskih mreža za diskretizaciju područja proračuna. Strukturirane geometrijske mreže u kartezijskim koordinatama rezultiraju rijetkim matricama sustava s pravilnom dijagonalnom strukturom, što pojednostavljuje numerički postupak rješavanja sustava i smanjuje potrebnu memoriju računala. Međutim, upotreba kartezijskih koordinata ograničava primjenu numeričkog postupka na jednostavne geometrije.

Krajem sedamdesetih i početkom osamdesetih godina ovog stoljeća se iz metode konačnih diferencija izdvaja i samostalno razvija metoda kontrolnih volumena (Control Volume Method), kod koje se diskretizacija jednadžbi temelji na konceptu kontrolnog volumena. U metodi kontrolnih volumena je sačuvano svojstvo konzervativnosti jednadžbi koje se diskretiziraju. U početku se primjenjivala na strukturiranim mrežama, pri čemu su korištene kartezijske koordinate. Povećanje brzine računanja i memorije

1 Uvod

2

računala pospješuje daljnji razvoj u području računalne dinamike fluida. Za područja strujanja složene geometrije počinje se koristiti metoda konačnih elemenata, koja se već s uspjehom koristila u rješavanju linearnih problema čvrstoće. U ovoj se metodi primjenjuju nestrukturirane geometrijske mreže koje omogućuju opis kompleksnih geometrija pomoću trokutastih, četverokutnih ili drugih elemenata, ali koje zahtijevaju više memorije računala i u kojoj se za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi ne mogu koristiti jednostavni iterativni postupci.

Primjenom metode kontrolnih volumena na jednadžbe u općim ortogonalnim koordinatama, omogućen je opis područja proračuna složene geometrije. Zbog nemogućnosti zadovoljenja uvjeta ortogonalnosti geometrijske mreže u nekim područjima domene proračuna i nemogućnosti generiranja gušće geometrijske mreže u područjima gdje se očekuju veći gradijenti promatranih polja fizikalnih veličina, otežano je generiranje geometrijskih mreža korištenjem općih ortogonalnih koordinata, naročito za trodimenzijske situacije. Stoga se metoda kontrolnih volumena počinje primjenjivati na jednadžbe u općim neortogonalnim koordinatama, čime se otklanja većina navedenih nedostataka, ali se povećava kompleksnost polaznih jednadžbi. Na kraju se, po ugledu na metodu konačnih elemenata, metoda kontrolnih volumena počinje primjenjivati na nestrukturiranim geometrijskim mrežama što u potpunosti rješava problem opisa geometrijski složenih područja proračuna.

Glavni zahtjevi pri simulaciji strujanja fluida su dobivanje fizikalno realističnog rješenja složenog strujanja, postizanje željenog stupnja točnosti numeričkog rješenja i opisivanje područja strujanja složene geometrije. Zbog nestacionarnog i turbulentnog strujanja fluida u realnim uvjetima, fizikalna realističnost numeričkih rješenja ima veliku važnost. Jedna od najznačajnijih osobina numeričkog rješenja je točnost. Općenito postoje dva moguća načina povećanja točnosti numeričkog rješenja. Jednostavan i široko korišten način predstavlja povećanje broja mrežnih elemenata, ali je ovo povećanje ograničena složenošću problema i kapacitetom računala. Povećanja točnosti numeričkog rješenja se također može postići razvojem poboljšane metode numeričkog rješavanja, npr. primjenom shema diferencije višeg reda za diskretizaciju diferencijalnih jednadžbi. Zahtjev za opisivanjem složene geometrije je posljedica činjenice da se strujanje u realnim uvjetima odvija u područjima nepravilnog oblika. Za pouzdanu simulaciju strujanja je vrlo važno da se takvo područje strujanja precizno modelira, što povećava broj elemenata mreže, posebno za trodimenzijske probleme. Zbog složenosti geometrije područja strujanja, često je za njihov opis nužno koristiti nestrukturirane mreže.

U ovom se radu razvija generator nestrukturirane geometrijske mreže za diskretizaciju dvodimenzijskih geometrijski složenih područja proračuna i definira metoda kontrolnih volumena za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe u stacionarnim i nestacionarnim uvjetima.

3

2 MATEMATIČKI MODEL

2.1 OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA

Mehanika fluida se temelji na osnovnim zakonima klasične fizike u koje spadaju zakon održanja mase, zakon količine gibanja i zakon momenta količine gibanja, te zakon održanja energije i drugi zakon termodinamike. Ovi su zakoni definirani za sustav materijalnih točaka, odnosno za zatvoreni termodinamički sustav, a u mehanici fluida će biti primijenjeni na materijalni volumen VM(t), koji će u općem slučaju s vremenom mijenjati svoj položaj, oblik i veličinu.

Za slučaj da na materijalni volumen djeluju samo momenti vanjskih masenih i površinskih sila, a da nema momenata (spregova sila) razmjernih masi odnosno površini materijalnog volumena, zakon momenta količine gibanja svodi se na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja. Ako se pri modeliranju tenzora naprezanja pretpostavi njegova simetričnost (što se redovito i pretpostavlja), jednadžba zakona momenta količine gibanja je iskorištena i u diferencijalnom pristupu se ne može uključiti u matematički model, jer ne sadrži nikakvu novu informaciju u odnosu na zakon količine gibanja. U integralnom pristupu rješavanja stacionarnog strujanja, zakon količine gibanja za kontrolni volumen služi za određivanje rezultantne sile kojom fluid djeluje na nepropusne stijenke kontrolnog volumena, dok integralni oblik zakona momenta količine gibanja služi za određivanje položaja te rezultantne sile.

Drugi zakon termodinamike ukazuje na jednosmjernost odvijanja realnih termodinamičkih procesa, a u mehanici fluida služi za ocjenu valjanosti dobivenih rješenja strujanja fluida. Entropija se ne pojavljuje u ostalim osnovnim zakonima mehanike fluida, te se ova jednadžba može rješavati nezavisno od ostalih, pa se ona naziva i “pasivnom” jednadžbom, i kao takva se ne uključuje u osnovni skup jednadžbi.

Formulacija osnovnih zakona za materijalni volumen, nije pogodna za primjenu u slučajevima strujanja fluida kroz određene strojeve ili uređaje. Primarno je pitanje, koje efekte izaziva strujanje fluida kroz promatrani stroj, a na to se može odgovoriti ako se zakoni preformuliraju za volumen koji obuhvaća unutrašnjost stroja kroz koji fluid struji. Najčešće su granice takvog volumena nepromjenjive u vremenu, te se govori o kontrolnom volumenu V. Kroz granice ovog volumena dolazi do protjecanja fluida, pa on odgovara otvorenom termodinamičkom sustavu u termodinamici. U kontrolnom volumenu uvijek se nalazi neki (u svakom trenutku drugi) materijalni volumen. U trenutku poklapanja kontrolnog volumena s materijalnim volumenom, volumenski i površinski integrali su isti za oba volumena, a razlikuju se brzine promjene sadržaja fizikalnog svojstva u pojedinom volumenu. U nastavku se istražuje veza među brzinama promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog i kontrolnog volumena, što omogućava formulaciju osnovnih zakona za kontrolni volumen.

2 Matematički model

4

Slika 2.1 Materijalni i kontrolni volumen

Slika 2.1 prikazuje trenutnu sliku strujnica u dijelu prostora potpuno ispunjenog fluidom. Neka je brzina strujanja fluida vj=vj(xi,t). U trenutku t uočen je materijalni volumen VM(t), koji je od okolnog fluida ograđen materijalnom površinom SM(t) i čiji je jedinični vektor vanjske normale označen sa nj. Materijalni volumen će se tijekom gibanja sastojati stalno od jednih te istih čestica, a to vrijedi i za materijalnu površinu, iz čega se zaključuje da je brzina pomicanja materijalne površine jednaka brzini vj gibanja čestica fluida koje tvore tu površinu. Neka se u trenutku t s uočenim materijalnim volumenom poklapa kontrolni volumen V ograđen kontrolnom površinom S. Jasno je da se u tom trenutku obje površine (materijalna i kontrolna) međusobno poklapaju. Granica kontrolnog volumena je nepomična. Na Slici 2.1 je položaj dvaju volumena u trenutku t nacrtan punom linijom. U trenutku t+dt će materijalni volumen zauzeti položaj označen crtkanom linijom. Očito je da su u vremenskom trenutku t, kada se volumeni poklapaju, sadržaji fizikalnog svojstva Φ u oba volumena isti, a da će u vremenskom trenutku t+dt volumeni imati različite položaje (u općem slučaju i različite oblike i veličine), te će se ti sadržaji razlikovati u ta dva volumena. Zbog toga će se razlikovati i brzine promjena sadržaja fizikalne veličine Φ u materijalnom i kontrolnom volumenu.

Brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva Φ unutar materijalnog volumena definirana je Leibnizovom formulom koja glasi:

( )( ) ( ) ( )

D d d dD

M M M

j jV t V t S t

ΦΦ V V Φv n S

t tρ

ρ ρ∂

= +∂∫ ∫ ∫ (2.1)

gdje je totalna vremenska derivacija označena velikim slovom D da se naglasi važnost brzine promjene vezane za materijalni volumen (materijalna derivacija).

U gornjoj je formuli masena gustoća fizikalnog svojstva funkcija koordinata i vremena (Φ = Φ (xi,t) ), a s obzirom da su područja integracije funkcije vremena, očito su i diferencijali volumena i površine, također funkcije vremena.

Izraz (2.1) vrijedi i za kontrolni volumen i uz pretpostavku nepomične granice kontrolnog volumena (vj = 0) prelazi u:

( )d d dd V V

ΦΦ V V

t tρ

ρ∂

=∂∫ ∫ (2.2)

VM(t+dt)

vj

nj vj

SM(t+dt)

VM(t)=V

SM(t)=S


5

U trenutku kada se materijalni i kontrolni volumeni poklapaju, svi volumenski i površinski integrali u ta dva volumena imaju istu vrijednost, dok je brzina promjene u ta dva volumena različita. Tako u trenutku poklapanja volumena vrijedi:

( ) ( )( )

d dMV t V

Φ ΦV V

t tρ ρ∂ ∂

=∂ ∂∫ ∫ (2.3)

Ako se u izraz (2.3) uvrste izrazi (2.1) i (2.2), pri čemu se površinski integral u trenutku poklapanja dvaju volumena može odnositi na bilo koju površinu, slijedi relacija:

( )

D dd d dD d

M

j jV t V S

Φ V Φ V Φv n St t

ρ ρ ρ= +∫ ∫ ∫ (2.4)

Iz izraza (2.4) se brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva Φ unutar materijalnog volumena može izraziti pomoću promjena u kontrolnom volumenu:

( )( )

D d d dD

M

j jV t V S

ΦΦ V V Φv n S

t tρ

ρ ρ∂

= +∂∫ ∫ ∫ (2.5)

Izraz (2.5) omogućava formulaciju osnovnih zakona za kontrolni volumen i u literaturi se naziva Reynoldsovim transportnim teoremom. On je izveden pod pretpostavkom poklapanja dvaju volumena u odabranom vremenskom trenutku t, a vrijedi u bilo kojem trenutku, pod uvjetom da se promatra stalno isti kontrolni volumen u kojem se smjenjuju različiti materijalni volumeni.

2.1.1 Zakon održanja mase (jednadžba kontinuiteta)

Zakon održanja mase kazuje da je masa materijalnog volumena konstantna i može se definirati sljedećim izrazom:

( )

D d 0D

MV t

Vt

ρ =∫ (2.6)

Integralni oblik zakona održanja mase (jednadžba kontinuiteta) za kontrolni volumen, primjenom Reynoldsovog transportnog teorema prema jed. (2.5) uz Φ = 1, glasi:

d d 0j jV S

V v n Stρ ρ∂

+ =∂∫ ∫ (2.7)

Diferencijalni oblik zakona održanja mase se dobije primjenom Gaussove formule i glasi:

( )0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (2.8)


6

2.1.2 Zakon količine gibanja

Zakon količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen.

Ako su fi komponente vektora gustoće specifične masene sile, σji komponente tenzora naprezanja u točki materijalne površine, a nj komponente jediničnog vektora vanjske normale na materijalnu površinu, ovaj se zakon može zapisati u obliku:

( ) ( ) ( )

D d d dD

M M M

i i j jiV t V t S t

v V f V n St

ρ ρ σ= +∫ ∫ ∫ (2.9)

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema na lijevu stranu gornje jednadžbe prema jed. (2.5) uz Φ =vi, , slijedi:

( ) d d d dii j j i j ji

V S V S

vV v v n S f V n S

tρ

ρ ρ σ∂

+ = +∂∫ ∫ ∫ ∫ (2.10)

Uz pomoć Gaussovog teorema slijedi konzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja koji glasi:

( ) ( )i j jiii

j j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

(2.11)

2.1.3 Zakon održanja energije (energetska jednadžba)

Zakon održanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjene zbroja kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, te brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

Ako je e zbroj specifične kinetičke i unutarnje energije čestice fluida, a qi komponente vektora površinske gustoće toplinskog toka, tada se može pisati:

( ) ( ) ( ) ( )

D d d d dD

M M M M

i i j ji i i iV t V t S t S t

e V f v V n v S q n St

ρ ρ σ= + −∫ ∫ ∫ ∫ (2.12)

Primjenom izraza (2.5) na lijevu stranu izraza (2.12) slijedi integralni zapis zakona količine gibanja, koji glasi:

( ) d d d d dj j i i j ji i i iV S V S S

eV ev n S f v V n v S q n S

tρ

ρ ρ σ∂

+ = + −∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.13)

Konzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja koji se dobije primjenom Gaussovog teorema je:


7

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

ev ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂ (2.14)

2.1.4 Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida

U skup osnovnih zakona dinamike fluida spadaju opisani zakoni: održanja mase, količine gibanja, momenta količine gibanja, održanja energije i drugi zakon termodinamike. Dani matematički zapisi navedenih zakona vrijede uz pretpostavku hipoteze kontinuuma, homogenog, jednofaznog i kemijski inertnog fluida u kojem nema površinskih i masenih momenata. Kao što je rečeno, za taj se slučaj zakon momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja. Ako se ta simetričnost unaprijed pretpostavi, jednadžbu momenta količine gibanja se ispušta iz skupa osnovnih diferencijalnih jednadžbi, jer ne sadrži nikakvu novu informaciju u odnosu na jednadžbu količine gibanja. Drugi zakon termodinamike je pasivna jednadžba, te se ni ona ne mora uključiti u osnovni skup jednadžbi. Tako od skupa osnovnih zakona koji opisuju strujanje fluida ostaju:

zakon održanja mase (jednadžba kontinuiteta), izraz (2.8):

( )0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (2.15)

zakon količine gibanja (jednadžba količine gibanja), izraz (2.11):

( ) ( )i j jiii

j j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

(2.16)

zakon održanja energije (energetska jednadžba), izraz (2.14):

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

ev ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂ (2.17)

Univerzalni zakoni fizike koji vrijede za sve fluide, bez obzira na njihovu vrstu i stanje, ne mogu jednoznačno opisati strujanje fluida, te je u cilju usklađivanja broja jednadžbi i broja nepoznatih polja nužno uvesti dopunske pretpostavke o reološkim i termodinamičkim svojstvima fluida. Te dopunske relacije nemaju univerzalni karakter, te će tako zatvoreni sustav jednadžbi biti valjan samo za određenu kategoriju fluida.


8

2.1.5 Konstitutivne (dopunske) jednadžbe

2.1.5.1 Newtonov zakon viskoznosti

Newtonovim zakonom viskoznosti se uspostavlja linearna veza između simetričnog tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije (simetričnog dijela gradijenta brzine). Polazeći od činjenice da u mirujućem fluidu vlada termodinamički tlak p, a da su tangencijalna naprezanja jednaka nuli, komponente tenzora naprezanja se mogu prikazati u obliku:

ij ij ijp Σσ δ= − + (2.18)

gdje je δij Kroneckerov simbol, a Σij komponente simetričnog tenzora viskoznih naprezanja, koje se, uz pretpostavku izotropnosti fluida i uz zanemarivanje koeficijenta volumenske viskoznosti, mogu prikazati izrazom:

23

ji kij ij

j i k

vv vΣx x x

μ μ δ⎛ ⎞∂∂ ∂

= + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.19)

gdje je μ koeficijent dinamičke viskoznosti. To je pozitivna veličina i funkcija je lokalnog termodinamičkog stanja fluida.

2.1.5.2 Fourierov zakon toplinske vodljivosti

Fourierovim zakonom toplinske vodljivosti se uspostavlja linearna veza između vektora površinske gustoće toplinskog toka qi i gradijenta temperature. Uz pretpostavku izotropnosti fluida vrijedi sljedeći izraz:

ii

Tqx

λ ∂= −∂

(2.20)

U gornjem izrazu je λ koeficijent toplinske vodljivosti fluida. Pozitivna je veličina i funkcija lokalnog termodinamičkog stanja.

2.1.5.3 Odnosi za savršeni plin

Za toplinsko i kalorički savršeni plin vrijedi toplinska jednadžba stanja:

p RTρ= (2.21)

i kalorička jednadžba stanja:

vu c T= (2.22)

pri čemu je u specifična unutarnja energija, a cv = konst. specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu.


9

2.1.6 Osnovne jednadžbe dinamike savršenog plina

Osnovni zakoni klasične fizike vrijede za sve fluide, a pojedini matematički modeli strujanja fluida razlikuju se po dopunskim ili konstitutivnim relacijama, koje opisuju specifično ponašanje pojedinih fluida. Uvrštavanjem konstitutivnih relacija u jednadžbe osnovnih zakona dobiva se matematički model u kojem je broj nepoznatih polja usklađen s brojem jednadžbi, a koji vrijedi samo za fluide koji se ponašaju sukladno uvedenim konstitutivnim relacijama. Tako se u osnovne jednadžbe dinamike newtonovskog savršenog plina ubrajaju:

jednadžba kontinuiteta

( )0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (2.23)

jednadžba količine gibanja

( ) ( )i j ijii

j i j

v v Σv pft x x x

ρρρ

∂ ∂∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ ∂ (2.24)

energetska jednadžba

( ) ( )2 2

2 2ij ii

j i ij i j i i

Σ vpvv v Tu v u f vt x x x x xρ ρ ρ λ

∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.25)

toplinska jednadžba stanja

p RTρ= (2.26)

kalorička jednadžba stanja

vu c T= (2.27)

U jednadžbi količine gibanja tenzor viskoznih naprezanja je definiran izrazom (2.19). Sustav jednadžbi (2.23) do (2.27) predstavlja sustav sedam jednadžbi sa sedam nepoznatih polja (ρ, vj, p, u, T). Uz zadane početne i granične uvjete, ovaj sustav jednoznačno opisuje problem strujanja newtonovskog savršenog plina. Zbog nelinearnosti konvektivnog člana u jednadžbi količine gibanja (drugi član lijeve strane) ne može se analitički riješiti postavljeni sustav, već za njegovo rješavanje treba primijeniti numeričke metode. Navedeni sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi je drugog reda, a zavisno od početnih i graničnih uvjeta može biti eliptičnog, paraboličnog, hiperboličnog ili mješovitog tipa, što uz nelinearnost otežava njegovo rješavanje.

Zamjenom tenzora viskoznih naprezanja prema izrazu (2.19), jednadžba količine gibanja se može zapisati u sljedećem obliku:


10

( ) ( ) 23

i j ji i ki

j j j i j i i k

v v vv v vpft x x x x x x x x

ρρμ ρ μ μ

∂ ⎛ ⎞ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.28)

Množenjem jednadžbe količine gibanja (2.24) skalarno s brzinom čestice fluida, slijedi jednadžba kinetičke energije:

2 2

2 2ij

j i i i ij i j

Σv v pv f v v vt x x xρ ρ ρ

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.29)

Oduzimanjem ove jednadžbe od energetske jednadžbe (2.25), dobiva se jednadžba unutarnje energije:

( ) ( )j i iij

j i j i i

v uu v v Tp Σt x x x x x

ρρλ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.30)

a zamjenom kaloričke jednadžbe (2.27) se dobiva temperaturna jednadžba:

( ) ( ) 1 1j i iij

j i v i v i v j

v TT v vT p Σt x x c x c x c x

ρρ λ∂∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂+ = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.31)

Često se umjesto energetske jednadžbe (2.25) koristi temperaturna jednadžba (2.31).

2.1.7 Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba

Jednadžbe (2.23), (2.28) i (2.31) imaju oblik opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe koja glasi:

( ) ( )jΦ

j j j

v ΦΦ ΦΓ St x x x

ρρ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.32)

pri čemu za svaku pojedinu jednadžbu fizikalno svojstvo Φ, koeficijent difuzije Γ i izvorni član SΦ imaju značenje dano prema Tablici 2.1.

U ovom radu je prikazan numerički postupak rješavanja opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe, što predstavlja osnovu za razvoj numeričke metode rješavanja sustava jednadžbi. Tako razvijeni postupak moći će se praktično primijeniti za rješavanje temperaturne jednadžbe (2.31) u uvjetima poznatog polja brzine, odnosno u uvjetima provođenja topline, kao što će biti pokazano u petom poglavlju.


11

Tablica 2.1 Sadržaji koeficijenata difuzije i izvornih članova za svaku jednadžbu

Φ Γ SΦ Broj jedn.

Jednadžba kontinuiteta 1 0 0 (2.23)

Jednadžba količine gibanja

vi μ 23

j ki

i j i i k

v vpfx x x x x

ρ μ μ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂

− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.28)

Temperaturna jednadžba T λ/cv

1 1i iij

v i v j

v vp Σc x c x

∂ ∂− +

∂ ∂ (2.31)

2.2 MATEMATIČKE KARAKTERISTIKE JEDNADŽBI

Jednadžbe i dodatni (početni i granični) uvjeti su matematički dobro postavljeni ako su zadovoljena sljedeća tri uvjeta:

rješenje postoji,

rješenje je jedinstveno i

rješenje ovisi kontinuirano o dodatnim uvjetima.

S inženjerskog stajališta se obično ne postavlja pitanje postojanja rješenja. Slučaj nejedinstvenog rješenja se pojavljuje kada zadani dodatni uvjeti ne odgovaraju tipu parcijalne diferencijalne jednadžbe. Općenito, nedovoljan broj dodatnih uvjeta vodi do nejedinstvenosti rješenja, a preveliki broj do nefizikalnog rješenja u blizini predefinirane granice. Postoje i problemi strujanja kod kojih je višestruko rješenje fizikalno. Takve situacije se pojavljuju kod strujanja na prijelazu od laminarnog k turbulentnom. Uvjet da rješenje ovisi kontinuirano o dodatnim uvjetima zahtijeva da male promjene u početnim ili graničnim uvjetima izazivaju samo male promjene u rješenju.

Osnovne jednadžbe mehanike fluida (Navier-Stokesove jednadžbe) za trodimenzijsko nestacionarno strujanje savršenog plina predstavljaju sustav spregnutih nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s četiri nezavisne varijable, s prvom i drugom derivacijom po prostornim koordinatama i prvom derivacijom po vremenskoj koordinati. Vremenska derivacija se pojavljuje linearno, dok se prostorne derivacije često pojavljuju u nelinearnoj kombinaciji.

Parcijalne diferencijalne jednadžbe se mogu podijeliti u različite kategorije koje su povezane s različitim problemima strujanja. Općenito, nestacionarni problemi vode do paraboličnih ili hiperboličnih jednadžbi. Parabolične jednadžbe opisuju probleme u kojima se pojavljuje disipacija, odnosno viskozno naprezanje ili provođenje topline. U tom je slučaju rješenje glatko i gradijenti se smanjuju s vremenom kada granični uvjeti ne ovise o vremenu. Ako nisu prisutni mehanizmi disipacije, rješenje zadržava konstantnu amplitudu u slučaju linearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, a u slučaju nelinearnih jednadžbi amplituda može i rasti. Ovakvo rješenje je karakteristično za strujanje opisano hiperboličnim jednadžbama. Eliptične jednadžbe obično opisuju


12

stacionarne ili ravnotežne probleme. Međutim, neki stacionarni problemi strujanja su opisani paraboličnim (strujanje unutar stacionarnog graničnog sloja) ili hiperboličnim jednadžbama (stacionarno neviskozno nadzvučno strujanje).

2.2.1 Postupak klasifikacije sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Sustav od n parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda uz n nepoznatih funkcija uj u m-dimenzijskom prostoru s koordinatama xk se može zapisati, prema [12] u obliku:

ki i

k

F Qx∂

=∂

i = 1, ..., n k = 1, ..., m (2.33)

Ako se sljedećim izrazom definira Jacobijeva matrica:

kk iij

j

FAu

∂=∂

(2.34)

prethodni sustav poprima kvazilinearni oblik:

jkij i

k

uA Q

x∂

=∂

i, j = 1, ..., n k = 1, ..., m (2.35)

gdje su kijA i Qi funkcije koordinata xk i nepoznanica uj, ali ne i derivacija /j ku x∂ ∂ .

Ako se kao rješenje ovog sustava pretpostavi opće valno rješenje u obliku:

( )ˆ k ki n xj ju U e= (2.36)

gdje je /k kn S x= ∂ ∂ normala na površinu valnog fronta S(xk) = konst.

Ovakvo valno rješenje postoji kada homogeni sustav:

ˆ 0kij j

k

SA Ux

⎡ ⎤∂=⎢ ⎥∂⎣ ⎦

i, j = 1, ..., n k = 1, ..., m (2.37)

ima netrivijalna rješenja. To će biti slučaj ako je determinanta sustava jednaka nuli:

( )det 0k jij kA n⎡ ⎤ =⎣ ⎦ i, j = 1, ..., n k = 1, ..., m (2.38)

Ova jednadžba može imati najviše n rješenja, tj. najviše n različitih vektora i njima odgovarajućih valnih površina. Prema karakteru tih rješenja se početni sustav jednadžbi može svrstati u određeni tip.

Sustav jednadžbi (2.33) je hiperboličnog tipa ako su svi vektori ( )jkn realni i različitog

smjera, a eliptičnog tipa ako su svi vektori ( )jkn kompleksni. Kada je broj vektora ( )j

kn manji od n, a vektori su realni, sustav jednadžbi (2.33) je paraboličnog tipa. To se


13

dešava ako je rang matrice ( )k jij kA n manji od n, odnosno ako u svim jednadžbama

izostane derivacija jedne od nepoznatih funkcija po nekoj koordinati. Ako su neki vektori ( )j

kn realni, a neki kompleksni, sustav jednadžbi (2.33) je hibridnog tipa.

Ova se općenita analiza može primijeniti na parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

2 2 2

2 22 0Φ Φ Φa b cx x y y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.39)

Uvođenjem novih varijabli:

Φ ux

∂=

∂ Φ v

y∂

=∂

(2.40)

jednadžba (2.39) prelazi u sustav od dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda s nepoznatim funkcijama u i v:

2 0u v va b cx x y∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.41)

0u vy x∂ ∂

− =∂ ∂

(2.42)

koji se može zapisati u matričnom obliku:

0 20

0 1 1 0a u b c u

v vx y∂ ∂

⋅ + ⋅ =−∂ ∂

(2.43)

ili kraće:

1 2 0U UA Ax y

∂ ∂+ =

∂ ∂ (2.44)

gdje je:

uU

v= 1 0

0 1a

A = 2 21 0b c

A =−

(2.45)

Uz pretpostavku općeg valnog rješenja prema (2.36), uvjet postojanja tog rješenja prema izrazu (2.38) je:

1 2det 0x yA n A n+ = (2.46)

odnosno


14

20x y y

y x

an bn cnn n+

=−

(2.47)

Konačan izraz iz kojeg se može utvrditi tip jednadžbe (2.39) poprima sljedeći oblika:

2

2 0x x

y y

n na b cn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.48)

Ako je (b2 – ac) > 0 jednadžba (2.39) je hiperboličnog tipa jer postoje dva realna rješenja za nx i ny, dok je za (b2 – ac) < 0 eliptičnog tipa jer su rješenja kompleksna. Kada je (b2 – ac) = 0, oba rješenja su realna i jednaka, pa je jednadžba (2.39) paraboličnog tipa.

2.2.2 Analiza karaktera opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe

Uvođenjem pretpostavki:

ρ = konst. Γ = konst. (2.49)

i bezdimenzijskih varijabli preko karakterističnih, odnosno referentnih veličina:

0refΦ Φ Φ= 0

j jv v V= (2.50)

0t t T= 0j jx x L= (2.51)

opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba poprima sljedeći bezdimenzijski oblik:

0 0 00 0

0 0 0 0

1 1j

j j j

Φ Φ Φv SSh t x Pe x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.52)

gdje je:

VTShL

= Strouhalov broj (2.53)

VLPeΓρ

= Pecletov broj (2.54)

0 Φ

ref

LSSVΦρ

= bezdimenzijski izvorni član (2.55)

Za stacionarne je probleme (0

0 0Φt

∂=

∂) jednadžba eliptičnog karaktera.


15

Za sporo promjenjive granične uvjete, karakteristično vrijeme T može biti veliko, tj. veliki je i Strouhalov broj, te se prvi član jednadžbe (2.52) može zanemariti. U tom slučaju govorimo o kvazistacionarnom problemu, tj. rješenje je promjenjivo od trenutka do trenutka, ali u svakom trenutku rješenje se može odrediti rješavanjem stacionarnog problema.

Za vrlo male vrijednosti Pecletovog broja, tj. za strujanje s dominantnim utjecajem difuzije i za stacionarni problem, ova jednadžba ima također eliptični karakter. U nestacionarnom slučaju jednadžba je parabolična po vremenu.

Za vrlo velike vrijednosti Pecletovog broja (kada se može zanemariti difuzija) na strujanje dominantno utječe konvekcija, te jednadžba ima hiperbolični karakter.

Najopćenitiji slučaj sa stajališta numeričkog rješavanja je rješavanje eliptične jednadžbe i taj je slučaj prikazan u ovom radu. Prijelaz od eliptične na paraboličnu jednadžbu ovisi o Pecletovom broju, što je ugrađeno u primijenjenu shemu diferencije.

2.3 POČETNI I GRANIČNI UVJETI

Problem je dobro postavljen ako rješenje kontinuirano ovisi o početnim i graničnim uvjetima, tj. male promjene početnih i graničnih uvjeta trebaju izazvati male promjene rješenja u bilo kojoj točki područja proračuna na konačnoj udaljenosti od granice.

S obzirom na vremensku koordinatu, problemi se mogu podijeliti na dva tipa. Prvi je problem početnih vrijednosti ili Cauchyev problem kod kojeg se početni uvjeti zadaju u podprostoru t = 0 kao ( ), 0U U x t= = . Ako je podprostor t = 0 ograničen nekom površinom onda se duž te površine zadaju granični uvjeti za sve vrijednosti varijable t, i to definira problem početno graničnih vrijednosti.

Za hiperbolični problem treba zadati toliko početnih uvjeta na t = 0, koliko ima nepoznanica, kako bi se moglo odrediti kompletno rješenje Cauchyevog problema. Za eliptični problem, broj graničnih uvjeta koje treba zadati u svakoj točki na granici je jednak polovici reda sustava. Na primjer, za hiperboličnu jednadžbu drugog reda, treba zadati dva uvjeta duž početne Cauchyeve linije, dok za eliptičnu jednadžbu drugog reda treba zadati jedan uvjet duž granice. Parabolični problem po t i x definira problem početno graničnih vrijednosti, te se na t = 0 zadaje n uvjeta, pri čemu je n red sustava, a duž granice treba za sva vremena zadati n/2 graničnih uvjeta.

U teoriji trodimenzijskog graničnog sloja se javljaju složenije mješovito parabolično-hiperbolične pojave. Dodatni uvjeti su tipa početnih vrijednosti za hiperbolične komponente sustava, a tipa graničnih vrijednosti za eliptične.

Potpuni sustav Navier-Stokesovih jednadžbi je u osnovi paraboličan u vremenu i prostoru ili parabolično-hiperboličan, dok je stacionarni dio eliptično-hiperboličan zbog hiperboličnog karaktera jednadžbe kontinuiteta. S druge strane, u odsutnosti viskoznosti i efekata provođenja topline, sustav nestacionarnih Eulerovih jednadžbi je potpuno hiperboličan u prostoru i vremenu.

Općenito, kod nestacionarnih eliptičnih problema se zadaju vrijednosti traženih varijabli (Dirichletovi uvjeti) ili njihovih derivacija (Von Neumannovi uvjeti) na granicama područja proračuna. Tako se za temperaturnu jednadžbu može koristiti jedan od sljedeća tri uvjeta (Tw je temperatura stijenke):


16

zadana temperatura stijenke (Dirichletov uvjet)

wT T= (2.56)

zadana gustoća toplinskog toka (Von Neumannov uvjet)

Tk qn

∂=

∂ (2.57)

gustoća toplinskog toka zadana preko koeficijenta prijelaza topline (mješoviti uvjet)

( )WTk T Tn

α∂= −

∂ (2.58)

17

3 METODA KONTROLNIH VOLUMENA

3.1 UVOD

Osnovni zakoni mehanike kontinuuma opisani su sustavom nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda, koje su oblika opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe:

( ) ( )jΦ

j j j

v ΦΦ ΦΓ St x x x

ρρ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.1)

gdje je:

Φ masena gustoća promatranog fizikalnog svojstva,

ρ gustoća kontinuuma,

t vrijeme,

xj prostorne koordinate,

vj komponente brzine gibanja kontinuuma u smjeru prostornih koordinata xj,

Γ koeficijent difuzije,

SΦ pripadajući izvorni član.

Prvi član lijeve strane gornje jednadžbe označuje lokalnu promjenu fizikalnog svojstva Φ, a drugi član konvekcijski prijenos tog fizikalnog svojstva. Prvi član desne strane označuje difuzijski prijenos fizikalnog svojstva Φ, a izvorni član SΦ označuje volumensku gustoću nastajanja ili nestajanja tog fizikalnog svojstva.

Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba predstavlja polaznu osnovu za razvoj svake numeričke metode, pa i metode kontrolnih volumena koja se koristi u ovom radu. Kod metode kontrolnih volumena se prvo vrši diskretizacija područja proračuna, tj. njegova podjela na konačan broj kontrolnih volumena koji potpuno ispunjavaju područje proračuna. Ova diskretizacija se može izvršiti na različite načine i njen rezultat je geometrijska mreža koja može biti strukturirana (s jednakim brojem kontrolnih volumena u svakom redu) ili nestrukturirana. U ovom radu se primjenjuje vlastita metoda generiranja nestrukturirane geometrijske mreže koja će biti detaljno objašnjena u sljedećem poglavlju.

Nakon diskretizacije područja proračuna, vrši se diskretizacija opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe integracijom po kontrolnim volumenima unutar područja proračuna. Rezultat diskretizacije jednadžbe je sustav linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznatim vrijednostima varijable Φ u čvorovima geometrijske mreže. Kada je

3 Metoda kontrolnih volumena

18

polazna parcijalna diferencijalna jednadžba nelinearna, onda numerički postupak ima iterativni karakter, jer su algebarske jednadžbe linearizirane.

Numerička metoda kontrolnih volumena ne daje analitičko rješenje razdiobe tražene varijable, već samo njene diskretne vrijednosti u čvorovima.

Najvažnije osobine numeričkih metoda su:

Konvergentnost Za rješenje algebarskih jednadžbi kojima se aproksimira parcijalna diferencijalna jednadžba se kaže da je konvergentno ako se približava točnom rješenju parcijalne diferencijalne jednadžbe za svaku vrijednost nezavisne varijable, na nizu mreža dobivenih profinjavanjem osnovne mreže. Razlika između točnog rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe i točnog rješenja sustava algebarskih jednadžbi se zove pogreška rješenja. Na veličinu pogreške utječe udaljenosti između čvorova mreže i vrijednost izostavljenih derivacija višeg reda u shemi diferencije.

U općem slučaju je vrlo teško dokazati da rješenje sustava algebarskih jednadžbi konvergira k rješenju parcijalne diferencijalne jednadžbe, čak i za jednostavne slučajeve.

Za ograničenu klasu problema konvergentnost se može osigurati zadovoljavanjem uvjeta Laxovog teorema ekvivalentnosti koji kaže: Za konzistentnu numeričku aproksimaciju pravilno postavljenog linearnog problema početnih vrijednosti, stabilnost je nužan i dovoljan uvjet za konvergentnost.

Ovaj teorem ima veliki značaj jer je relativno lagano pokazati stabilnost algoritma i njegovu konzistenciju, dok je obično vrlo teško pokazati konvergentnost dobivenog numeričkog rješenja k rješenju parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Strujanje fluida u realnim uvjetima spada većinom u nelinearne ili mješovite početno granične probleme, te se Laxov teorem ekvivalentnosti ne može na njih doslovno primijeniti. Uvjeti iz ovog teorema se zato mogu tumačiti kao nužni, ali ne uvijek i dovoljni za konvergentnost numeričke aproksimacije, te se on koristi za eliminiranje nekonzistentnih i nestabilnih algoritama.

Pri rješavanju jednadžbi strujanja fluida je nemoguće teorijski pokazati konvergentnost. Za probleme čije se točno rješenje poznaje, kao što je difuzijska jednadžba, moguće je dobiti numeričko rješenje na mrežama različite finoće i izračunati pogrešku rješenja. Konvergentnost u ovom slučaju podrazumijeva da pogreška rješenja teži k nuli smanjivanjem udaljenosti među čvorovima.

Konzistentnost

Za proces diskretizacije se kaže da je konzistentan ako diskretizirane jednadžbe postaju ekvivalentne s polaznim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama u svakoj točki područja proračuna kada udaljenost među čvorovima teži k nuli.

Pri provjeri konzistentnosti se pretpostavljeno točno rješenje prikaže u obliku razvoja u Taylorov red. Nakon toga se taj razvoj uvrsti u diskretiziranu algebarsku jednadžbu. Za konzistenciju treba dobiveni izraz biti sastavljen od originalne parcijalne diferencijalne jednadžbe i ostatka koji teži k nuli s profinjavanjem mreže.

Stabilnost Koncept stabilnosti je vezan za rast i nestajanje pogrešaka koje se javljaju u bilo kojem koraku računanja. Metoda je nestabilna ako pogreška raste u beskonačnost s porastom


19

vremena integracije. Numerička metoda je stabilna ako je ukupni utjecaj svih pogrešaka zaokruživanja koje se pojavljuju u primjeni algoritma beznačajan.

Točnost Precizno govoreći, prethodna diskusija konvergencije, konzistencije i stabilnosti je vezana s ponašanjem aproksimativnog rješenja pri Δx, Δt → 0. Međutim, u praksi se aproksimativna numerička rješenja dobivaju na mreži s konačnim udaljenostima između čvorova, te je tada važna odgovarajuća točnost koja se definira kao odstupanje numeričkog rješenja od egzaktnog.

Može se govoriti o točnosti numeričkog postupka, kojom bi se osigurala točnost rješenja u bilo kojoj situaciji, a može se govoriti i o točnosti pojedinog numeričkog rješenja u odnosu na egzaktno. Određivanje točnosti numeričkog postupka u uvjetima rješavanja nelinearnih problema vrlo je težak zadatak i danas je bez valjanog odgovora.

U inženjerskom pristupu je uobičajeno točnost numeričkog postupka ispitivati u situacijama s poznatim analitičkim rješenjem (obično su to linearni problemi). Temeljem rezultata takvih testova indirektno se pokušava zaključivati i o točnosti numeričkog postupka pri rješavanju nelinearnih problema (iako u tom smislu nema nikakvih garancija jer numerički postupak koji daje točne rezultate pri rješavanju linearnih problema može biti netočan pri rješavanju nelinearnih problema). Budući da se ne može garantirati točnost metode (dakle točnost dobivenog numeričkog rješenja u svakoj situaciji), u inženjerskom pristupu se pokušava procijeniti točnost pojedinog numeričkog rješenja. Polazeći od pretpostavke da je numerički postupak konvergentan, tj. da se smanjivanjem udaljenosti među čvorovima numeričko rješenje približava egzaktnom, za točno rješenje se smatra ono numeričko rješenje koje se pri sukcesivnom profinjavanju mreže više ne mijenja. U situacijama kada raspoloživi računalni resursi ne dopuštaju daljnje profinjavanje mreže, a rješenje se još nije prestalo mijenjati, o točnosti rješenja se zaključuje iz veličine promjene rješenja na dvije najfinije mreže.

3.2 DISKRETIZACIJA PODRUČJA PRORAČUNA

Prvi korak u metodi kontrolnih volumena je diskretizacija područja proračuna, tj. njegova podjela na konačan broj kontrolnih volumena. Kontrolni volumeni se ne smiju međusobno preklapati i moraju potpuno ispunjavati područje proračuna. Svaki kontrolni volumen je ograničen površinom kontrolnog volumena koja se sastoji od proizvoljnog broja ravnih površina od kojih je svaka zajednička za samo dva susjedna kontrolna volumena. Svakom kontrolnom volumenu se pridružuje čvor koji predstavlja točku u kojoj se traži vrijednost varijable (kod unutarnjih čvorova), odnosno u kojoj se zadaju granični uvjeti (kod čvorova na granici područja proračuna).

Slika 3.1 prikazuje primjer diskretizacije područja proračuna sa standardnim oznakama koje će se koristiti pri diskretizaciji jednadžbi. Uvodi se lokalno označavanje čvorova pri čemu se centralni čvor promatranog volumena označuje slovom C. Njemu susjedni čvor nosi oznaku N(k), gdje indeks k poprima vrijednosti od jedan do ukupnog broja susjednih čvorova nnb. Polovište spojnica čvorova ( )CN k koje se nalazi na površini ΔS(k) ima oznaku n. Udaljenost ( )Cn nN k= je označena sa s(k), a vanjska normala na površinu ΔS(k) je označena s nj. Obujam promatranog kontrolnog volumena je označen s ΔVC , a obujam kontrolnog volumena kojemu je centralni čvor N(k) s ( )

NkVΔ .


20

Slika 3.1 Primjer diskretizacije područja proračuna

Generiranje geometrijske mreže će biti detaljno objašnjeno u sljedećem poglavlju.

3.3 DISKRETIZACIJA JEDNADŽBI

Nakon formiranja geometrijske mreže sastavljene od konačnog broja kontrolnih volumena pristupa se diskretizaciji jednadžbi. Integriranjem opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe po kontrolnom volumenu ΔVC i unutar vremenskog koraka Δt, dobije se:

( ) ( )C C C

d d d d d dt t t t t t

jΦ

j j jV t t V t V

v ΦΦ Φt V Γ V t S V tt x x x

ρρ+Δ +Δ +Δ

Δ Δ Δ

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.2)

Uz primjenu Gaussova teorema, može se pisati:

( )( )

C C

d d d d d dk

t t t t t t

j j ΦjV t t t VS

Φ Φt V v Φ - Γ n S t S V tt xρ

ρ+Δ +Δ +Δ

Δ ΔΣΔ

⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.3)

odnosno:

nj

ΔVN(k)

ΔVC

ns(k)

ΔS (k)N(k)C s(k)


21

( )( )

C C( ) 1d d d d d d

nb

k

t t t t t tn

j j Φk jV t t t VS

Φ Φt V v Φ - Γ n S t S V tt xρ

ρ+Δ +Δ +Δ

=Δ ΔΔ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂+ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.4)

gdje je:

ΔVC obujam kontrolnog volumena unutar kojeg se vrši integracija,

Δt vremenski korak integracije,

ΣΔS(k) površina kontrolnog volumena,

nj komponente jediničnog vektora vanjske normale na površinu kontrolnog volumena,

ΔS(k) dio površine kontrolnog volumena između dva susjedna kontrolna volumena,

nnb ukupan broj susjednih čvorova promatranom čvoru.

U gornjoj se jednadžbi sve veličine smatraju poznatima osim varijable Φ, koja se traži. Pronalaženjem ovih integrala, kao funkcije nepoznatih čvornih vrijednosti varijable Φ, dobije se diferencijska algebarska jednadžba za taj elementarni kontrolni volumen. U nastavku će se pokazati modeliranje svakog pojedinog člana u jednadžbi (3.4).

3.3.1 Vremenska integracija

Prvi član jednadžbe (3.4) se prvo integrira po vremenu, a ta je integracija u ovom slučaju egzaktna, tj. vrijedi:

( ) 1dt t

n n

t

Φt Φ Φ

tρ

ρ ρ+Δ

+∂= −

∂∫ (3.5)

gdje je: n+1Φ vrijednost tražene varijable u vremenskom trenutku t+Δt, nΦ vrijednost tražene varijable u vremenskom trenutku t.

3.3.2 Aproksimacija volumenskih integrala

Aproksimacija volumenskih integrala vrši se primjenom teorema o srednjoj vrijednosti integrala prema kojem se integral zamjenjuje s produktom srednje vrijednosti podintegralne funkcije po volumenu i veličine samog volumena. Srednja vrijednost podintegralne funkcije po volumenu se aproksimira s vrijednošću podintegralne funkcije u težištu volumena, a ona s vrijednošću podintegralne funkcije u čvoru C. Zbog toga će se zahtijevati da čvor C bude težište kontrolnog volumena ili što bliže tom težištu. Lako se može pokazati da će za slučaj da je čvor C težište volumena ovakva aproksimacija volumenskog integrala biti točna za slučaj linearne raspodjele varijable Φ po kontrolnom volumenu.


22

Vremenski član jednadžbe (3.4) nakon uvrštavanja rezultata vremenske integracije danog jednadžbom (3.5) predstavlja volumenski integral koji se može aproksimirati kao:

( ) ( ) ( )C

1 1 1C C C CC

dn n n n n n

V

Φ Φ V Φ Φ V Φ Φ Vρ ρ ρ ρ ρ+ + +

Δ

− = − Δ = − Δ∫ (3.6)

gdje je:

Cn+1Φ vrijednost tražene varijable u vremenskom trenutku t+Δt u čvoru C,

CnΦ vrijednost tražene varijable u vremenskom trenutku t u čvoru C.

Volumenski integral izvornog člana na desnoj strani jednadžbe (3.4) se može zapisati u obliku:

C

C CdΦ ΦV

S V S VΔ

= Δ∫ (3.7)

gdje je:

SΦC vrijednost izvornog člana u čvoru C

3.3.3 Aproksimacija površinskih integrala

Zbog zadovoljavanja zakona održanja, važno je da se kontrolni volumeni međusobno ne preklapaju, tj. da je svaka površina jedinstvena za dva susjedna kontrolna volumena. U daljem razmatranju se promatra jedna tipična površina, a za svaku drugu površinu vrijede analogni izrazi. Za točno računanje površinskog integrala je potrebno poznavati podintegralnu funkciju po cijeloj površini. Ta informacija kod metode kontrolnih volumena nije dostupna jer se kao rezultat dobiju samo vrijednosti u čvorovima. Zato se mora uvesti aproksimacija površinskog integrala, a njen najjednostavniji oblik je prema teoremu o srednjoj vrijednosti integrala. To znači da se integral zamjenjuje s produktom srednje vrijednosti podintegralne funkcije po površini i veličine same površine. Srednja vrijednost podintegralne funkcije po površini se aproksimira s vrijednošću podintegralne funkcije u težištu površine, a ona s vrijednošću podintegralne funkcije u točki n, koja leži na spojnici susjednih čvorova. Ponovo je jasno da će ova aproksimacija biti najtočnija ako je točka n težište površine, te će se to zahtijevati od generatora geometrijske mreže.

Izraz u zagradi u drugom članu na lijevoj strani jednadžbe (3.4) označen je s ( )kJ . On predstavlja protok varijable Φ kroz površinu ΔS(k) i može se, na temelju gore izložene aproksimacije, napisati na sljedeći način:

( )

( )

( )

( ) ( )

n( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn

n

dk

k

k kj j j j

j jS

kk k k k k

j j jj

Φ ΦJ v Φ - Γ n S v Φ - Γ n Sx x

Φv n S Φ Γ S nx

ρ ρ

ρ

Δ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= = Δ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞∂= Δ − Δ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ (3.8)


23

pri čemu je ( ) ( ) ( )nn

k kj jv n v= komponenta brzine u pravcu vanjske normale na ravnu

površinu ΔS(k) u točki n, a ( )n

kΦ vrijednost varijable Φ u točki n površine ΔS(k).

Nadalje:

( )

( ) ( )( )

( )n nn

1/

k kk

j kj

Φ Φ Φnx n s n s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.9)

je usmjerena derivacija varijable Φ u pravcu vanjske normale na ravnu površinu ΔS(k) u točki n.

Uvođenjem jačine konvekcije:

( ) ( ) ( )n

k k kF v Sρ= Δ (3.10)

i difuzijske vodljivosti:

( ) ( )( ) n

( )

k kk

k

Γ SD =sΔ (3.11)

jednadžba (3.8) poprima izgled:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )n

n/

k

k k k k ΦJ F Φ Dn s∂

= −∂

(3.12)

Veličine ( )n

kΦ i ( )

( )

n/

kΦ

n s∂

∂ nisu poznate nego se moraju izračunati preko vrijednosti

varijable Φ u čvorovima. To se postiže pomoću sheme diferencije, koja će biti detaljno opisana u nastavku.

3.3.4 Linearizacija izvornog člana

Svi članovi originalne jednadžbe koji se ne mogu zapisati kao konvekcijski, difuzijski ili vremenski član tretiraju se kao izvorni član. Izvorni član može biti opća funkcija tražene varijable Φ, te ga treba linearizirati:

C U P CΦS S S Φ= + (3.13)

gdje je:

SU - konstantni dio izvornog člana,

SP - koeficijent linearnog člana.

Oba koeficijenta SU i SP mogu biti funkcije tražene varijable Φ. Koeficijent SP treba biti negativan, a izvorni član treba tretirati što je moguće više implicitno, prema [27].


24

3.3.5 Vremenska diskretizacija

Kod nestacionarnih problema se, uz prostorne koordinate, pojavljuje i vremenska. Vremenska podjela se kod metode kontrolnih volumena može promatrati kao podjela na “vremenske volumene”. Osnovna razlika između vremenske i prostornih koordinata leži u pravcu utjecaja: dok promjena varijable Φ u bilo kojoj točki prostora (u eliptičnim problemima) utječe na strujanje u cijelom području proračuna, dotle promjena u nekom vremenskom trenutku utječe na strujanje samo u budućnosti (ne postoji utjecaj unatrag u vremenu). Nestacionarno strujanje je, dakle, parabolično u vremenu. To dalje znači da se uvjeti (osim na granicama) mogu zadavati samo u početnom trenutku, a to ima veliki utjecaj na izbor strategije rješavanja problema nestacionarnog strujanja. Zbog prirode vremenske koordinate, sve metode napreduju u vremenu korak po korak.

Općenito, sheme vremenske diskretizacije se dijele na eksplicitne i implicitne. Diskretizirana jednadžba je dana u eksplicitnom obliku kada se tražena varijabla u centralnom čvoru na kraju vremenskog intervala C

n+1Φ računa isključivo pomoću poznatih vrijednosti varijable u centralnom i u susjednim čvorovima na početku vremenskog intervala. Eksplicitna shema je jednostavna, lagana za primjenu i zahtijeva mali broj aritmetičkih operacija za rješavanje diskretiziranih jednadžbi. Glavni nedostatak eksplicitne sheme je ograničenost vremenskog koraka integracije. Da bi rješenje konvergiralo, mora se zadovoljiti kriterij stabilnosti. To može dovesti do velikog broja vremenskih koraka potrebnih za dobivanje stacionarnog rješenja.

Implicitna shema vremenske diskretizacije podrazumijeva da se za računanje tražene varijable u centralnom čvoru na kraju vremenskog intervala C

n+1Φ koriste i vrijednosti varijable u susjednim čvorovima na kraju vremenskog intervala, koje su također nepoznate. Pošto se za svaki kontrolni volumen postavi diskretizirana jednadžba, za cijelo područje proračuna se dobije sustav jednadžbi s nepoznatim vrijednostima varijable u čvorovima unutar područja proračuna. Implicitna shema je bezuvjetno stabilna, te se najčešće primjenjuje u rješavanju stacionarnih problema.

Jednadžba (3.4) nakon zamjene jednadžbi (3.6) i (3.7) poprima oblik:

( )1 ( )C C C C C

( ) 1d d

nbt t t tnn n k

Φkt t

Φ Φ V J t S V tρ+Δ +Δ

+

=

− Δ + = Δ∑∫ ∫ (3.14)

Vremenski integrali u izrazu (3.14) se aproksimiraju konstantnom vrijednošću podintegralnih funkcija iz određenog vremenskog trenutka pomnoženom s vremenskim intervalom Δt. Taj vremenski trenutak ovisi o shemi vremenske diskretizacije. Kako podintegralne funkcije ovise o vrijednostima tražene varijable u čvorovima mreže, to znači da se ove vrijednosti računaju, također u tom određenom vremenskom trenutku. Da bi jednim izrazom mogli prikazati vrijednost varijable Φ u različitim vremenskim trenucima koristimo faktor vremenske interpolacije g pomoću kojeg možemo pisati:

( ) ( ) ( )1 ( ), 1 ( ), 1C C C C C C

( ) 11 1

nbnn n k n k n n n

Φ Φk

Φ Φ V g J g J t gS g S V tρ+ + +

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Δ + + − Δ = + − Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ (3.15)

Vrijednost g = 0 odgovara eksplicitnoj shemi, g = 1 potpuno implicitnoj shemi, a g = 0.5 Cranck-Nicholsonovoj shemi (koja je također implicitna). Eksplicitna i potpuno implicitna shema su prvog reda točnosti, a Cranck-Nicholsonova shema je drugog reda


25

točnosti u odnosu na razvoj u Taylorov red. Za eksplicitne sheme postoji kriterij stabilnosti, koji propisuje maksimalno mogući vremenski korak integracije, dok je potpuno implicitna shema bezuvjetno stabilna. Stoga će se u ovom radu za rješavanje nestacionarnih problema, gdje je točnost vremenske integracije bitna, koristiti Cranck-Nicholsonova shema, a za proračun stacionarnih problema potpuno implicitna shema koja je bezuvjetno stabilna.

Protoci ( ), 1k nJ + i ( ),k nJ u izrazu (3.15) se računaju temeljem čvornih vrijednosti varijable Φ u trenutku t + Δt odnosno t. Analogno vremenskoj interpolaciji protoka primijenjenoj u izrazu (3.15) moguće je interpolirati čvorne vrijednosti, te na temelju tako interpoliranih vrijednosti izračunati traženu srednju vrijednost protoka. Dakle, umjesto definicije srednjeg protoka iz izraza (3.15) koja glasi

( )( ) ( ), 1 ( ),1k k n k nsrJ g J g J+= + − , srednji protok će se računati kao ( )( ) ( )

Ck k

srJ J Φ= , gdje ΦC označuje interpolirane čvorne vrijednosti definirane kao:

( )1C C C1n ng g+Φ = Φ + − Φ (3.16)

U ovom radu će se srednja vrijednost protoka ( )ksrJ računati upravo s vremenski

interpoliranim čvornim vrijednostima, tako da neće biti potrebna interpolacija protoka primijenjena u izrazu (3.15). U tom će se slučaju u svim izrazima pojavljivati vremenski interpolirane čvorne vrijednosti osim u vremenskom članu u kojem se pojavljuje čvorna vrijednost u novom vremenskom trenutku t + Δt. Zbog toga će se ta čvorna vrijednost iz vremenskog trenutka t + Δt prikazati pomoću interpolirane vrijednosti i vrijednosti iz vremenskog trenutka t, tako da će u jednadžbi ostati samo interpolirane čvorne vrijednosti, koje su nepoznanice. Nakon što se završi integracija jednadžbi u jednom vremenskom koraku, za rezultat će se dobiti interpolirane vrijednosti iz kojih se prema jednadžbi (3.16) lako izračunaju vrijednosti u trenutku t + Δt:

( )1C C C C

1n n n

g+Φ = Φ −Φ +Φ (3.17)

Na temelju rečenog jednadžba (3.14) se može pisati u obliku:

( ) ( )C C C C C

( ) 1

1 nbnn k

Φk

V J t S V tg

ρ=

Φ −Φ Δ + Δ = Δ Δ∑ (3.18)

Još jednom se naglašava da se protoci ( )ksrJ računaju s vremenski interpoliranim

čvornim vrijednostima, a u nastavku će se ispustiti indeks sr u oznaci protoka. Iz izraza (3.17) je jasno da ovakvim pristupom nije moguće obuhvatiti eksplicitnu shemu. U nastavku se objašnjava način računanja protoka ( )kJ .

3.3.6 Shema diferencije

Shemom diferencije se definiraju vrijednosti Φn i vrijednosti normalne derivacije na površinama kontrolnog volumena na temelju čvornih vrijednosti polja Φ. Ona je najznačajniji dio ukupnog numeričkog postupka i o njoj ovisi točnost modeliranja protoka ( )kJ , odnosno točnost numeričke metode.


26

3.3.6.1 Kriteriji procjenjivanja sheme diferencije

Procjenjivanje valjanosti sheme diferencije se temelji na određenom broju kriterija koji trebaju biti zadovoljeni s ciljem dobivanja fizikalno realističnih, odnosno što točnijih rješenja. Tipične nepoželjne pojave u numeričkom rješenju su lažne (numeričke) oscilacije i lažna (numerička) difuzija. Prva je pojava uglavnom vezana za sheme višeg reda točnosti, koje pri simulaciji problema s diskontinuiranim početnim ili graničnim uvjetima generiraju oscilacije u blizini diskontinuiteta. Druga je pojava uglavnom vezana uz sheme diferencije prvog reda , gdje se u uvjetima samo konvekcijskog prijenosa dobivaju rješenja kao da postoji i difuzijski prijenos. Red točnosti sheme diferencije definira se ostatkom kod ispitivanja konzistencije diskretizacije. Ako je ostatak razmjeran s Δx i Δt govori se o shemi prvog reda točnosti po prostoru i vremenu, za ostatak razmjeran s Δx2 o drugom redu točnosti i sl. Kod glatkih graničnih i početnih uvjeta viši red točnosti sheme diferencije podrazumijeva i veću točnost numeričkog rješenja, ali pri rješavanju problema s diskontinuiranim početnim i/ili graničnim uvjetima to ne mora biti slučaj upravo zbog pojave nefizikalnih oscilacija. U nastavku se ukratko opisuju osnovna svojstva koja mora imati svaka dobra shema diferencije.

Neoscilatornost Neoscilatornost (Boundedness) sheme podrazumijeva da čvorne vrijednosti dobivene numeričkim rješavanjem u odsutnosti izvornog člana budu između minimalne i maksimalne vrijednosti definirane početnim i graničnim uvjetima. Oscilatorno numeričko rješenje je naročito nepovoljno npr. pri rješavanju jednadžbe za kinetičku energiju turbulencije, gdje je zbog oscilatornosti sheme diferencije moguća pojava negativnih vrijednosti kinetičke energije, što je fizikalno neprihvatljivo.

Točnost Točnost je osobina koja je vrlo značajna kod svih shema diferencije. U tradicionalnoj formulaciji, točnost sheme diferencije se definira vodećim članom ostatka kod razvoja u Taylorov red. Ova definicija točnosti je valjana kada udaljenost među čvorovima mreže teži k nuli, a daje samo ograničeni dokaz o izračunatoj točnosti. Iz činjenice da sheme diferencije viših redova mogu stvoriti oscilacije pri visokim Pecletovim brojevima, koje je fizikalno nerealistično, proizlazi da sheme diferencije viših redova ne dovode nužno do točnijih rezultata. Uzvodna shema prvog reda, s druge strane, rezultira s visokim stupnjem numeričke difuzije, ali generira neoscilatorno rješenje za svako strujanje. Alternativni način ocjene točnosti sheme diferencije je usporedba izračunatog numeričkog rješenja s točnim rješenjem za jednostavne probleme.

Uvjetovanost Struktura matrice sustava linearnih algebarskih jednadžbi uglavnom ovisi o primijenjenoj shemi diferencije. Taj sustav se obično rješava nekom od iterativnih metoda. Opće je poznato da će iterativne metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi to brže konvergirati što je matrica dijagonalno dominantnija. Dijagonalna dominantnost matrice aij je definirana izrazom:

ii iji j

a a≠

≥ ∑ (3.19)

Nepoštivanje ovih uvjeta ne vodi nužno do numeričke nestabilnosti ili oscilirajućeg rješenja. Također je poznato da je za dijagonalnu dominantnost sustava i koeficijente


27

istog predznaka numeričko rješenje uvijek neoscilatorno i stabilno u smislu vremenske integracije.

Transportivnost Prijenos fizikalnih veličina u strujanju se odvija putem konvekcije, jednosmjerno u smjeru vektora brzine, a putem difuzije u svim smjerovima. U kombiniranom konvekcijsko-difuzijskom prijenosu će mehanizam širenja biti jači u smjeru brzine, što treba uzeti u obzir pri definiranju sheme diferencije. Sheme koje to uvažavaju nazivaju se transportivnim shemama. Tako bi kod samo konvekcijskog prijenosa bilo opravdano koristiti uzvodne sheme diferencije.

Konzervativnost Princip konzervativnosti podrazumijeva da je protok J(k) kroz promatranu površinu definiran istim izrazom za oba kontrolna volumena između kojih se nalazi ta površina. Dakle, onaj protok koji izlazi iz jednog kontrolnog volumena je jednak protoku koji ulazi u drugi kontrolni volumen.

Postoji veliki broj shema diferencije, od kojih je većina definirana na temelju razvoja traženog polja u Taylorov red, odnosno povlačenjem određene interpolacijske funkcije kroz čvorove geometrijske mreže. Za očekivati je da bi numerički postupak bio najtočniji ako bi se za interpolacijsku funkciju izabralo opće analitičko rješenje polazne diferencijalne jednadžbe, a u numeričkom postupku bi se samo odredili koeficijenti jednadžbe. Temeljem takvog rješenja se tada definira shema diferencije, kojom se određuju vrijednosti varijable Φ i njene usmjerene derivacije na granicama kontrolnog volumena.

3.3.6.2 Jednodimenzijsko rješenje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe

Shema diferencije korištena u ovom radu se temelji na rješenju opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe u jednodimenzijskom slučaju u stacionarnim uvjetima. Ova jednadžba u pravcu koordinate n se može napisati kao:

d dd dn Φ

Φv Φ Γ Sn n

ρ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.20)

Ako uvedemo bezdimenzijsku koordinatu ξ koja ima vrijednost –1 u čvoru C, 0 u točki n, a 1 u čvoru N:

ns

ξ = (3.21)

onda se jednadžba (3.20) može zapisati:

1 d 1 dd d Φ

Φv Φ Γ Ss sξρ

ξ ξ⎛ ⎞

⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.22)

Definiranjem Pecletovog broja u obliku:


28

v sPe

Γξρ

= (3.23)

dobivamo:

2 2

2

d dd d ΦΦ Φ sPe S

Γξ ξ− ⋅ = − (3.24)

Za izvorni član se pretpostavlja konstantna vrijednost unutar jednog kontrolnog volumena, tj.:

( ) ( )lC1 0 ,Φ Φza S S Φ Φξ ξ ξ− ≤ ≤ ⇒ = =

( ) ( )rN0 1 ,Φ Φza S S Φ Φξ ξ ξ≤ ≤ ⇒ = =

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u jednadžbu (3.24), diferencijalna jednadžba se razdvaja na dva dijela:

2 l l

32

d dd dΦ ΦPe PeCξ ξ

− ⋅ = − 2

3 C1

ΦsC S

Pe Γ= ⋅ (3.25)

2 d d

62

d dd dΦ ΦPe PeCξ ξ

− ⋅ = − 2

6 N1

ΦsC S

Pe Γ= ⋅ (3.26)

Opće rješenje ovih diferencijalnih jednadžbi je:

( )l1 2 3

PeΦ C C e Cξξ ξ⋅= + + (3.27)

( )d4 5 6

PeΦ C C e Cξξ ξ⋅= + + (3.28)

Granični uvjeti uz ove jednadžbe su:

( )lC1Φ Φ− = ( )

l

C

d d1d dΦ Φξ ξ

− =

( )rN1Φ Φ= ( )

r

N

d d1d dΦ Φξ ξ

= (3.29)

( ) ( )l rn0 0Φ Φ =Φ= ( ) ( )

l r

n

d d d0 0d d dΦ Φ Φξ ξ ξ

= =

Za primjenu sheme diferencije je zanimljivo rješenje ove jednadžbe zajedno s danim graničnim uvjetima u točki n:


29

( ) ( )22n C N

C N

d d1 1d dΦ ΦΦ AΦ A Φ A Aξ ξ

= + − + − − (3.30)

i derivacija u toj točki:

( )N Cn C N

d d d1d d dΦ Φ ΦΦ Φ A Aξ ξ ξ

= − − − − (3.31)

Parametar A je funkcija Pecletovog broja:

( )1

1

Pe

Pe

Pe eAPe e

−

−

+ −=

− (3.32)

Radi uštede u vremenu rada računala ovu funkciju dovoljno točno aproksimiramo s dvije jednostavnije funkcije:

[ ]

1 za 6.382 11.1 175.8

max ,0 1 za 6.38

Pe PePe PeA

PePe

Pe

⎧+ − ≤⎪⎪≈ ⎨

−⎪ >⎪⎩

(3.33)

Slika 3.2 Aproksimacija funkcije A

Slika 3.2 prikazuje funkciju A i njenu aproksimaciju prema jednadžbi (3.33). Sa slike je očito da je aproksimacija s dvije jednostavnije funkcije vrlo dobra.

-10 -5 0 5 10Pe

0

0.25

0.5

0.75

1A

Funkcija AAproksimacija


30

Na temelju jednodimenzijskog rješenja se mogu napisati izrazi za ( )n

kΦ i ( )

( )

n/

kΦ

n s∂

∂

preko CΦ , ( )NkΦ ,

( )

( )

C/

kΦ

n s∂

∂ i

( )

( )

N/

kΦ

n s∂

∂ uz oznaku ( )kA A= :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2( ) ( ) 2

n C N

C N

d d1 1d / d /

k k

k k Φ ΦΦ AΦ A Φ A An s n s

= + − + − − (3.34)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )N C

n C N

d d d1d / d / d /

k k k

kΦ Φ ΦΦ Φ A An s n s n s

= − − − − (3.35)

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (3.12) dobiva se izraz za protok varijable Φ kroz površinu kontrolnog volumena:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C N

( ) ( )22 ( ) ( ) ( ) ( )

C N

(1 )

d d1 1d / d /

k k k k k

k k

k k k k

J F Φ D A F Φ Φ

Φ ΦA F AD A F A Dn s n s

⎡ ⎤= + − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.36)

Ako se sada uvedu oznake za koeficijente:

( ) ( ) ( )N (1 )k k ka D A F= − − (3.37)

i korekcijske protoke predložene sheme diferencije:

( )

( )

( ) 2 ( ) ( )nC

C

dd /

k

k k k ΦJ A F ADn s

⎡ ⎤Δ = +⎣ ⎦ (3.38)

( ) ( ) ( )

( )2( ) ( ) ( )

n N

N

d1 1d /

k

k k k ΦJ A F A Dn s

⎡ ⎤Δ = − − −⎣ ⎦ (3.39)

onda se izraz (3.36) za protok varijable Φ može napisati u sljedećem obliku:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C N C N nC n N

k k k k k kJ F Φ a Φ Φ J J= + − + Δ −Δ (3.40)

Uvrštavanjem izraza (3.13) i (3.40) u izraz (3.18) i dijeljenja s Δt slijedi:

( ) ( )( ) ( ) ( )CC C C N C N

( ) 1 ( ) 1

( ) ( )nC n N U C P C C

( ) 1

nb nb

nb

n nn k k k

k k

nk k

k

V Φ Φ F Φ a Φ Φg t

J J S V S V Φ

ρ= =

=

⋅Δ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦⋅Δ

⎡ ⎤+ Δ −Δ = Δ + Δ⎣ ⎦

∑ ∑

∑ (3.41)


31

Uvođenjem oznaka za centralni koeficijent:

( ) ( )CC N P C

( ) 1 ( ) 1max 0,

nb nbn nk k

k k

Va a S V Fg tρ

= =

⎡ ⎤⋅Δ= + − Δ + ⎢ ⎥⋅Δ ⎣ ⎦∑ ∑ (3.42)

i slobodni član:

( ) ( )CC U C nC n N

( ) 1

nbnn k k

k

Vb Φ S V J Jg tρ

=

⋅Δ ⎡ ⎤= + Δ + Δ −Δ⎣ ⎦⋅Δ ∑ (3.43)

diferencijska jednadžba (3.41) se može napisati u sažetom obliku linearne algebarske jednadžbe, koja vrijedi za jedan kontrolni volumen:

( )( )C C N N

( ) 1

nbnk (k)

ka Φ a Φ b

=

− =∑ (3.44)

Postavljanjem takvih jednadžbi za sve kontrolne volumene unutar područja proračuna dobije se sustav linearnih algebarskih jednadžbi.

Član ( )

( ) 1

nbnk

k

F=∑ u izrazu (3.42) označuje odstupanje od jednadžbe kontinuiteta za

kontrolni volumen. U ovom radu se polje brzine smatra poznatim i zadaje se, te se pretpostavlja da je jednadžba kontinuiteta zadovoljena za svaki kontrolni volumen, pa bi taj član bio jednak nuli. U općem slučaju, kada se rješava i jednadžba kontinuiteta, taj član u početnim iteracijama ne mora biti jednak nuli, te se uzima u obzir samo ako povećava koeficijent aC, kako je dano u izrazu (3.42).

Shema diferencije definirana izrazima (3.30) i (3.31) predstavlja u idejnom smislu proširenje poznate eksponencijalne sheme diferencije (EDS-Exponential Differencing Scheme) koju je predložio Spalding 1972. godine [35]. Eksponencijalna shema se temelji na analitičkom rješenju jednadžbe (3.20) uz SΦ = 0. Pri definiranju nove sheme uzet je u obzir izvorni član, te se novoj shemi daje radni naziv EDSI (Exponential Differencing Scheme-Improved) shema diferencije. Razlika među ovim dvjema shemama sadržana je upravo u korekcijskim protocima definiranim izrazima (3.38) i (3.39). Ako se ti protoci u jednadžbi (3.40) izjednače s nulom dobije se izraz za protok prema EDS shemi diferencije.

Bezdimenzijski koeficijent u EDS shemi diferencije, prema [35] je definiran kao:

( )

( ) ( )N( )

EDS 1k

k k

k Pe

a PeD e

=−

(3.45)

a u ovom radu je on definiran prema (3.37) uz ( )( ) ( ) ( )( )n

2k k kkD = Γ S sΔ u obliku:

( )( )N

( )EDSI

1 (1 )k

kk

a A PeD

= − − (3.46)


32

Lako se može pokazati da se uvrštavanjem izraza (3.32) u (3.46) dolazi do izraza (3.45). Postoji i polinomna shema diferencije koja izraz za koeficijent EDS sheme diferencije aproksimira polinomom petog stupnja. Ovdje se također aproksimira izraz za koeficijent EDS sheme diferencije i to temeljem aproksimacije (3.33) za veličinu A, ali se neće zbog toga mijenjati ime shemi. Dakle u ovom radu će se i dalje ta shema zvati EDS. Opravdanje za to se može naći i usporedbom izraza (3.45) i (3.46), koja je prikazana na Slici 3.3, i iz koje je očito da je aproksimacija praktički identična originalu.

Slika 3.3 Usporedba bezdimenzijskih koeficijenata prema egzaktnom rješenju i aproksimaciji

3.3.6.3 Aproksimacija usmjerenih derivacija

Iz izraza (3.38) i (3.39) je očito da konvekcijski protoci sadrže usmjerene derivacije u čvorovima mreže u pravcu spojnice sa susjednim čvorom. Te usmjerene derivacije se izračunavaju preko nepoznatih vrijednosti varijable Φ u čvorovima.

Usmjerena derivacija u čvoru C se može napisati na sljedeći način:

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

CC CC

d dd / d

kk kk k k k

j jj j

Φ Φ Φ Φs s n s nn s n x x

⎛ ⎞∂ ∂= = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(3.47)

-10 -5 0 5 10Pe

0

2

4

6

8egzaktno rj.aproksimacija


33

gdje Cj

Φx∂∂

označuje komponente gradijenta varijable Φ u čvoru C. Taj se gradijent

računa primjenom Gaussovog teorema koji glasi:

C

d djjV S

Φ V Φn SxΔ ΣΔ

∂=

∂∫ ∫ (3.48)

a nakon aproksimacije volumenskog i površinskih integrala dobije se:

( )( ) ( ) ( )C n

( ) 1C

nbnl l l

jlj

Φ V Φ n Sx =

∂Δ = Δ

∂ ∑ (3.49)

Vrijednost varijable ( )n

lΦ u točki n površine ΔS(l) se aproksimira s prva dva člana jednadžbe (3.34), odnosno:

( )( ) ( )n C N1l lΦ AΦ A Φ= + − (3.50)

Nakon uvrštavanja u prethodni izraz dobije se konačni izraz za gradijent varijable Φ u čvoru C:

( )( )( ) ( ) ( )C N

( ) 1CC

1 1nbn

l l lj

lj

Φ AΦ A Φ n Sx V =

∂ ⎡ ⎤= + − Δ⎣ ⎦∂ Δ ∑ (3.51)

Treba primijetiti da su gradijenti potrebni za izračunavanje korekcijskih protoka definirani preko čvornih vrijednosti varijable Φ koje tek treba izračunati, te će numerički postupak imati iterativni karakter i kod rješavanja linearnih problema. Direktna primjena gradijenata izračunatih prema izrazu (3.51) može posredno dovesti do negativnih koeficijenata, tako da se može pojaviti oscilirajuće numeričko rješenje. Da bi se to izbjeglo pristupa se korekciji numeričkih derivacija definiranih preko gradijenata izračunatih po izrazu (3.51), kako će biti opisano u nastavku.

3.3.6.4 Korekcija usmjerenih derivacija

U uvjetima diskontinuirane promjene polja Φ može se dogoditi da je uzvodni gradijent u čvoru C velik, tako da bi vrijednost ( )

nkΦ prema izrazu (3.34) bila izvan intervala

vrijednosti (ΦC, ( )NkΦ ), što bi dovelo do nefizikalnog oscilirajućeg rješenja. Da bi se to

izbjeglo uvodi se korekcija usmjerenih derivacija, koja se izvodi iz zahtjeva da vrijednost ( )

nkΦ uvijek mora biti u intervalu vrijednosti (ΦC, ( )

NkΦ ), kako je to shematski

prikazano na Slici 3.4.

Iz tog se uvjeta izraz za korekciju usmjerene derivacije može kompaktno zapisati u obliku:


34

( )( )

( )

( ) ,( )( )N C

,( )C C

C

d dmin 1, max 0,d / d /d

d /

k izr kk

izr k

Φ ΦΦ Φn s n sΦ

n s

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟−

= ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.52)

gdje je ( )

,( )

C

dd /

izr kΦ

n s gradijent usmjerene derivacije na temelju gradijenata dobivenih

prema izrazu (3.51).

Slika 3.4 Dopušteni interval vrijednosti za ( )nkΦ

3.3.7 Podrelaksacija

Pri rješavanju nelinearnih problema moguća je pojava divergencije numeričkog postupka. Mogućnost divergencije se smanjuje uvođenjem podrelaksacije, kojom se usporava promjena rješenja unutar iterativnog koraka. Ako se s Φm označi vrijednost u m-toj iteraciji, a s Φm+1 u sljedećoj iteraciji za koju vrijedi:

C Nns s

(ξ=n/s=0)(ξ=-1) (ξ=1)

( )N

kΦ

( )n

kΦ CΦ

( ) ( )n N

k kΦ Φ=

C Nn s s

(ξ=n/s=0) (ξ=-1) (ξ=1)

( )N

kΦ

CΦ ( ) ( )n N

k kΦ Φ=

C Nn s s

(ξ=n/s=0) (ξ=-1) (ξ=1)

( )N

kΦ

CΦ


35

( )1 ( ) ( ), 1C C N N

( ) 1

nbnm k k m

k

a Φ a Φ b+ +

=

= +∑ (3.53)

tada se promjena 1C C C

m mΦ Φ Φ+Δ = − podrelaksira u obliku:

1C C Cm mΦ Φ Φα+ = + (3.54)

gdje je α faktor podrelaksacije manji od jedan. Uvrštavanjem izraza (3.53) u izraz za CΦΔ , slijedi:

( )1 ( ) ( ), 1C C N N

( ) 1

nbnm k k m

k

a Φ a Φ b+ +

=

= +∑ (3.55)

gdje su:

CC

aaα

= (3.56)

C1 mb b a Φαα−

= + (3.57)

Prema tome, podrelaksacija se svodi na korekciju centralnog koeficijenta i izvornog člana. Očito je da se centralni koeficijent povećava pri čemu okolni koeficijenti ostaju isti, što vodi povećanju dijagonalne dominantnosti matrice sustava, odnosno stabilnosti numeričkog postupka.

Jasno je da uz primjenu EDS sheme diferencije za rješavanje linearnih problema faktor podrelaksacije treba biti jednak jedinici. U tom bi se slučaju rješenje dobilo u prvoj iteraciji. Ako bi se smanjio faktor podrelaksacije, tada bi trebalo više iteracija za postizanje krajnjeg rješenja. Broj iteracija numeričkog postupka ovisi o faktoru podrelaksacije, ali se njegova optimalna vrijednost ne može propisati unaprijed, nego se zadaje iskustveno.

3.3.8 Kriterij završetka iterativnog postupka

Rješavanje nelinearnih problema i/ili primjena EDSI sheme diferencije zahtijeva iterativni numerički postupak. U takvim situacijama je potrebno ustanoviti kriterij završetka tog iterativnog postupka. U ovom radu se koristi sljedeći kriterij po kojem suma odstupanja rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi mora biti:

( )( )C C N N

( ) 1

C

nb

i

i

nk

N k

ref

Ni

a Φ a Φ b

Φa

N

ε=

− −<

∑ ∑

∑ (3.58)


36

gdje je Ni broj čvorova u unutrašnjosti područja proračuna, Ci

iN

a N∑ prosječna

vrijednost centralnog koeficijenta , refΦ referentna vrijednost (obično razlika maksimalne i minimalne vrijednosti varijable Φ u području proračuna), a ε zadana točnost (obično mali broj, npr. 10-4).

3.4 UGRADNJA GRANIČNIH UVJETA

Pri rješavanju nestacionarnih problema, potrebno je zadati početne uvjete. To znači da je potrebno poznavati vrijednosti varijable Φ u svim čvorovima u početnom vremenskom trenutku.

Granični uvjeti se moraju zadati kod proračuna i nestacionarnih i stacionarnih problema.

Fizikalno gledajući, granični uvjeti su ravnina simetrije, zid, ulazna i izlazna granica. Svaki od tih fizikalnih graničnih uvjeta je povezan s numeričkim graničnim uvjetom za svaku varijablu koja se računa.

Granični uvjeti mogu se zadati propisivanjem vrijednosti varijable po granici (Dirichletov granični uvjet), vrijednosti normalne derivacije varijable po granici (Von Neumannov granični uvjet) ili zadavanjem kombinacije vrijednosti i normalne derivacije (mješoviti granični uvjet).

U svakom od ovih slučajeva zadavanja graničnih uvjeta cilj je izračunati protok J(k) kroz površinu kontrolnog volumena uz granicu područja proračuna.

Slika 3.5 Čvor na granici

nj

ΔVNΔVB

ns s

ΔS

NB


37

Slika 3.5 prikazuje dio granice područja proračuna s čvorom B na granici i čvorom N, koji leži u unutrašnjosti područja proračuna. Budući da je jedna od mogućnosti zadavanja graničnih uvjeta pomoću usmjerene derivacije polja Φ (u smjeru normale na granicu), zahtijevat će se da čvor N leži na okomici na granicu. Ako je smjer normale na granicu definiran spojnicom čvorova B i N, koji su udaljeni za 2s, tada se usmjerena derivacija polja Φ u polovištu spojnice može definirati ili pomoću čvornih vrijednosti polja Φ ili pomoću derivacija u čvorovima, te vrijedi:

( ) ( )N B

B N

12 2 / /

Φ Φ Φ Φs s n s n s

⎛ ⎞− ∂ ∂= +⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.59)

Usmjerena derivacija ( )

N/Φ

n s∂

∂ se određuje prema prije definiranom pravilu i smatra se

poznatom. Iz gornje je jednadžbe moguće odrediti vrijednost polja ΦB na granici za slučaj da je zadana normalna derivacija, i obratno, ako je zadano ΦB, iz gornjeg se izraza određuje [∂Φ/∂n]|B. Ako je čvor na granici spojen s više čvorova u unutrašnjosti, bit će nužno određivati usmjerene derivacije na granici područja proračuna u različitim smjerovima, što znači da se na granici moraju poznavati obje komponente gradijenta polja Φ, za čije je određivanje potrebna još jedna jednadžba. Stoga se uvodi dodatna pretpostavka da je usmjerena derivacija u smjeru tangente na granicu jednaka u čvoru na granici i u prvom čvoru do granice, koji leži na spojnici čvorova okomitoj na granicu, tj. vrijedi:

B N

j jj j

Φ Φt tx x∂ ∂

=∂ ∂

(3.60)

gdje su tj komponente jediničnog vektora tangente na granicu, koje je vrlo jednostavno odrediti iz komponenti jediničnog vektora normale. Kao granični uvjet može se zadati protok polja Φ kroz granicu:

( )B B B B

B/ΦJ F Φ D

n s∂

= −∂

(3.61)

Tada se do vrijednosti ΦB i usmjerene derivacije ( )

B/Φ

n s∂

∂ dolazi rješavanjem sustava

jednadžbi (3.59) i (3.61), a nakon toga uz jednadžbu (3.60) i do kartezijskih komponenti

gradijenta varijable Φ na granici. Nakon što se odrede vrijednosti ΦB i ( )

B/Φ

n s∂

∂ na

granici vrši se određivanje protoka kroz površinu ΔS prema prije opisanom postupku.


38

3.5 METODA RJEŠAVANJA SUSTAVA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI

Rezultat procesa diskretizacije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi u metodi kontrolnih volumena je sustav algebarskih jednadžbi. Matrice koeficijenata sustava dobivene diskretizacijom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi su uvijek rijetke, tj. većina njihovih elemenata je jednaka nuli. Ako je diskretizacija područja proračuna izvršena pomoću strukturirane geometrijske mreže, onda i matrice koeficijenata sustava imaju definiranu strukturu, tj. svi elementi različiti od nule leže na malom broju dobro definiranih dijagonala. Za rješavanje tako dobivenih sustava algebarskih jednadžbi postoje posebne metode koje koriste prednosti strukture dobivenih matrica. Samo neke od tih metoda, nakon modificiranja, se mogu primijeniti za rješavanje sustava dobivenih diskretizacijom na nestrukturiranim mrežama, jer njihove matrice koeficijenata nemaju definiranu dijagonalnu strukturu. Za ovakve sustave algebarskih jednadžbi se razvijaju posebne metode.

Bilo koji sustav algebarskih jednadžbi se može teorijski riješiti direktnim metodama kao što su Gaussova eliminacija ili LU-dekompozicija. Ovim metodama se izračunava točno rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi nakon konačnog broja koraka. U slučaju nelinearnih polaznih diferencijalnih jednadžbi se moraju koristiti iterativni postupci koji podrazumijevaju pretpostavljanje rješenja, lineariziranje jednadžbi oko tog rješenja i poboljšavanje rješenja. Proces se ponavlja do dobivanja izkonvergiranog rješenja.

Nažalost, trokutaste matrice dobivene LU-dekompozicijom neke rijetke matrice nisu rijetke, tako da je primjena direktnih metoda na rijetke matrice vrlo skupa. S druge strane, pri iterativnom rješavanju nelinearnih problema nije u svakoj iteraciji nužno sustav riješiti do računalne točnosti.

Sve su ovo razlozi za primjenu iterativnih metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi u metodi kontrolnih volumena. Obično se u svakom iterativnom koraku numeričkog postupka propisuje broj koraka iterativnog postupka rješavanja linearnog sustava algebarskih jednadžbi ili se propisuje do koje točnosti se sustav rješava, pri čemu treba osigurati da u zadnjem iterativnom koraku numeričkog postupka sustav linearnih algebarskih jednadžbi bude riješen dovoljno točno.

U ovom će se radu koristiti Gauss-Seidelova metoda iterativnog rješavanja sustava linearnih jednadžbi, koja se ukratko opisuje u nastavku.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi nastao diskretizacijom jednadžbi po svim kontrolnim volumenima u području proračuna i ugradnjom graničnih uvjeta možemo prikazati matričnom jednadžbom:

=AΦ b (3.62)

gdje je:

A matrica koeficijenata,

b vektor desna strane jednadžbe,

Φ vektor nepoznatih vrijednosti tražene varijable.

Jedan korak Gauss-Seidelove metode predstavlja prolaz po svim jednadžbama sustava, pri čemu se kod svake jednadžbe korigira vrijednost jedne nepoznanice (uz koeficijent


39

na dijagonali) na način da ta jednadžba bude točno zadovoljena. Pri tome se koriste već korigirane vrijednosti nepoznanica.

Ako se matrica A prikaže zbrojem matrica:

= + +A D L U (3.63)

gdje je:

D dijagonala matrice A,

L donja trokutasta matrica matrice A,

U gornja trokutasta matrica matrice A.

onda se jedan korak ove metoda može kratko zapisati na sljedeći način:

( ) ( )1 11m m− −+ = − + + +Φ D L U Φ D L b (3.64)

pri čemu je mΦ vektor nepoznatih vrijednosti tražene varijable iz m-te iteracije, a 1m+Φ iz slijedeće iteracije.

Budući da usvojena shema diferencije rezultira dijagonalno dominantnom matricom sustava linearnih algebarskih jednadžbi, metoda će brzo konvergirati, naročito pri rješavanju nestacionarnih problema, kada se centralnom koeficijentu (koji se nalazi na glavnoj dijagonali matrice A) dodaje koeficijent iz vremenskog člana.

40

4 GENERIRANJE GEOMETRIJSKE MREŽE

4.1 UVOD

Početna faza svake numeričke simulacije strujanja fluida je stvaranje odgovarajuće geometrijske mreže. Tradicionalno se za diskretizaciju područja proračuna kod metode kontrolnih volumena koriste strukturirane mreže koje se sastoje od regularnih polja četverostranih, odnosno heksaedarskih kontrolnih volumena u dvije, odnosno tri dimenzije. Opisivanje područja strujanja složene geometrije uz pomoć strukturirane mreže predstavlja ozbiljan izazov. Jedan od načina rješavanja tog problema je primjenom blok-strukturirane mreže, tj. podjelom područja proračuna na pravokutne blokove, tako da se u svakom bloku može lako generirati strukturirana mreža. Automatizacija podjele na blokove i generiranja mreže je težak zadatak, a postupak automatizacije se stalno poboljšava.

Nestrukturirane mreže su se dugo koristile u metodi konačnih elemenata, ali se sve češće primjenjuju i u metodi kontrolnih volumena. Nestrukturirane mreže su razvijene kao alternativa strukturiranim ili blok-strukturiranim mrežama za diskretizaciju složenih geometrija. Kod ovih mreža se koriste jednostavni elementi (trokuti u dvije dimenzije, tetraedri u tri dimenzije) ili elementi različitih tipova s neregularnom međusobnom povezanošću. Ovo osigurava veću fleksibilnost kod diskretizacije područja strujanja složene geometrije, ali također i jednostavnu prilagodbu mreže rješenju, pri čemu se čvorovi mogu dodavati, uklanjati ili pomicati radi povećanja točnosti rješenja, uz promjenu samo lokalnih veza. Generiranje nestrukturiranih mreža je lakše automatizirati nego generiranje blok-strukturiranih mreža.

Računalna mreža se može formirati na dva osnovna načina. Prvi način podrazumijeva podjelu područja proračuna na kontrolne volumene i postavljanje čvorova u centre kontrolnih volumena, a drugi postavljanje čvorova, te formiranje kontrolnih volumena oko njih. U ovom radu se primjenjuje drugi način jer se time mogu zadovoljiti zahtjevi koji proizlaze iz diskretizacije jednadžbi.

Najčešće metode za generiranje nestrukturiranih mreža su: Advancing-front metoda [1] i Delaunay-based metoda [24]. Na temelju ovih metoda su razvijeni uspješni alati za generiranje dvodimenzijskih i trodimenzijskih mreža za proizvoljnu geometriju koji pokazuju i određene nedostatke, koji se nastoje ispraviti razvojem hibridnih ili sasvim novih metoda. Još uvijek ne postoji dobra definicija optimalne mreže u odnosu na numeričke osobine metode rješavanja i zbog toga ne postoje standardne tehnike za generiranje optimalne mreže.

Mnogi uspješni algoritmi za generiranje nestrukturiranih mreža potječu iz računalne geometrije. To je teorijska znanost koja se bavi definiranjem specifičnih geometrijskih konstrukcija, algoritama podjele za generiranje navedenih konstrukcija i analizom složenosti algoritama. Na primjer, algoritam Delaunay trokutizacije prikazuje osnovnu konstrukciju računalne geometrije na temelju koje su razvijeni mnogi drugi algoritmi.

4 Generiranje geometrijske mreže

41

Nažalost, računalna geometrija je većinom ograničena na dvodimenzijsku trokutizaciju koja je lagana za analizu. Koncept optimalne trokutizacije sa stajališta računalne geometrije nije uvijek u suglasju s osobinama dobivenim sa stajališta CFD-a, te zbog toga većina rezultata računalne geometrije ima malu primjenu u području generiranja nestrukturiranih mreža. Veliki napredak u generiranju nestrukturiranih mreža napravljen je pronalaženjem iskustvenih algoritama. U određenom je smislu inženjersko polje generiranja mreža ispred teorijskog polja računalne geometrije, naročito za trodimenzijske konstrukcije. Međutim, dok iskustveni algoritmi mogu raditi dobro u većini praktičnih slučajeva, nedostatak bilo kakve teorijske podloge tih algoritama ostavlja mogućnost pojave situacija koje rezultiraju neuspjehom ili velikim porastom složenosti algoritma. Zbog toga se razvoj efikasne i naročito robusne metode generiranja nestrukturirane mreže može ostvariti jedino algoritmom koji počiva na dobrim teorijskim temeljima.

4.2 ZAHTJEVI NA GENERATOR GEOMETRIJSKE MREŽE

Generator mreže treba omogućiti što precizniji opis područja proračuna i kontrolu gustoće čvorova u pojedinim dijelovima područja proračuna. To se prvenstveno odnosi na mogućnost zadavanja podjele po granici područja proračuna na različite načine uz ravnomjernu promjenu udaljenosti među susjednim čvorovima na granici.

Iz analize metode kontrolnih volumena su proizišli posebni zahtjevi koje treba zadovoljiti generator geometrijske mreže kako bi omogućio jednostavniju i točniju primjenu odabrane sheme diferencije i jednostavniju ugradnju graničnih uvjeta. Ti zahtjevi su:

1. Dio površine kontrolnog volumena između dva susjedna kontrolna volumena treba biti okomit na spojnicu odgovarajućih susjednih čvorova. Zadovoljenjem ovog uvjeta se osigurava da protok tražene varijable kroz granicu dvaju susjednih kontrolnih volumena ima samo normalnu komponentu, koja se tada definira preko vrijednosti tražene varijable u tim susjednim čvorovima.

2. Dio površine kontrolnog volumena između dva susjedna kontrolna volumena treba prolaziti središtem spojnice odgovarajućih susjednih čvorova. Iz metode konačnih razlika je poznato da je ista shema diferencije točnija za red veličine na ravnomjernoj nego na neravnomjernoj mreži. Zadovoljenjem ovog uvjeta pojednostavljuje se izraz za analitičko rješenje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe za jednodimenzijsku situaciju, koji predstavlja osnovu korištene sheme diferencije.

3. Čvor u prvom redu do granice se treba nalaziti na okomici na granicu povučenoj kroz čvor na granici. Ovaj uvjet, uz zadovoljenje prethodna dva, omogućava ugradnju graničnih uvjeta zadanih normalnom derivacijom.

4. Čvor u unutrašnjosti područja proračuna se treba nalaziti u težištu kontrolnog volumena. Time se osigurava najtočnija aproksimacija volumenskog integrala po kontrolnom volumenu.

5. Spojnica susjednih čvorova treba prolaziti kroz težište dijela površine kontrolnog volumena između dva susjedna kontrolna volumena. Time se osigurava najtočnija aproksimacija površinskog integrala po dijelu površine između dva susjedna kontrolna volumena.


42

4.3 OPIS GENERATORA GEOMETRIJSKE MREŽE

Na temelju gore navedenih zahtjeva u ovom radu je razvijena vlastita metoda generiranja geometrijske mreže, koja se provodi kroz sljedeće korake:

1. Definiranje granice područja proračuna, bilo analitičkom funkcijom, bilo gusto raspoređenim točkama između kojih je položaj svih točaka na granici dovoljno dobro opisan linearnom interpolacijom. Definiranje s koje se strane granice nalazi područje proračuna: s lijeve, s desne ili s obje strane. Definiranje parametara kojima se određuje broj čvorova po granicama i način njihovog raspoređivanja.

2. Raspoređivanje čvorova po granicama mreže.

3. Raspoređivanje čvorova u unutrašnjosti područja proračuna po pravcima okomitim na granice područja. Svakom tako postavljenom čvoru se dodjeljuje redni broj (mbr), koji se povećava udaljavanjem od granice, s tim da čvor na granici ima redni broj nula.

4. Brisanje istovjetnih i bliskih čvorova s većim rednim brojem mbr.

5. Formiranje kontrolnog volumena oko svakog od preostalih čvorova uz dodatno brisanje pojedinih čvorova. Kriterij za brisanje čvorova je njihov redni broj mbr. Brišu se svi čvorovi kojima makar jedan susjedni čvor ima redni broj manji za dva od njegovog rednog broja.

6. Ujednačavanje mreže radi što boljeg zadovoljavanja posljednja dva od gore nabrojanih zahtjeva na generator geometrijske mreže.

7. Računanje geometrijskih karakteristika potrebnih za metodu kontrolnih volumena.

U nastavku će se detaljnije objasniti svaki korak pri generiranju geometrijske mreže.

4.3.1 Zadavanje potrebnih podataka

Podaci potrebni za generiranje mreže se unose u posebnu tekstualnu ulaznu datoteku iz koje ih program učitava prilikom izvršavanja. Prvo se zadaje broj granica koji označuje broj zatvorenih krivulja koje omeđuju područje proračuna, tj. područje u kojem je potrebno generirati mrežu. To područje može sadržavati šupljine. Granica se, kao zatvorena krivulja, uvijek zadaje u matematički pozitivnom smjeru. Za svaku je granicu potrebno zadati sljedeće:

Tip granice koji pokazuje s koje strane granice se nalazi područje proračuna. Postoje tri tipa granice. Kod prvog tipa se područje proračuna nalazi s unutarnje strane, kod drugog s vanjske, a kod trećeg s obje strane. Time je omogućen opis vanjskog ruba područja, ruba šupljine i granice između fluida i čvrstog tijela.

Broj dijelova svake granice. Podjela granice se vrši iz geometrijskih razloga (na mjestu diskontinuiteta nagiba tangente na graničnu krivulju) ili zbog drugačijih graničnih uvjeta na pojedinim dijelovima.

Faktor promjene veličine granice i točku u odnosu na koju se vrši ta promjena. Pomoću ovih podataka se omogućuje jednostavno povećanje ili smanjenje neke granice u određenom omjeru.


43

Kut rotacije u matematički pozitivnom smjeru i točku oko koje se vrši rotiranje granice za taj kut.

Vektor paralelnog pomaka zadan svojim projekcijama u čijem pravcu se vrši paralelno pomicanje cijele granice.

Svakoj granici se prvo promijeni veličina, zatim ju se zarotira i na kraju paralelno pomakne na željenu poziciju. Za svaki dio granice se zadaju sljedeći podaci:

Podaci koji se zadaju za potrebe raspoređivanja čvorova po dijelu granice (vidjeti Sliku 4.1):

Δs1 udaljenost između čvorova na početnom dijelu granice,

Δs2 udaljenost između čvorova na krajnjem dijelu granice,

k1 faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova na početnom dijelu granice,

k2 faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova na krajnjem dijelu granice,

N1 broj koji definira Δs1 kao omjer ukupne duljine dijela granice i broja N1,

N2 broj koji definira Δs2 kao omjer ukupne duljine dijela granice i broja N2,

n0 ukupan broj čvorova na dijelu granice uvećan za jedan.

- točke kojima je definirana granica

- specijalni čvorovi (na početku i kraju dijela granice)

- čvorovi mreže postavljeni po granici i u unutrašnjosti geometrijske mreže

Slika 4.1 Dio granice područja proračuna

Podaci potrebni za raspoređivanje čvorova unutar područja u blizini dijela granice:

δ1 udaljenost prvog čvora u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu na prednjem dijelu granice,

δ2 udaljenost prvog čvora u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu na krajnjem dijelu granice,

1sΔ 1 1k sΔ

21 1k sΔ 2

2 2k sΔ 2sΔ

2 2k sΔ... ...

1nk δ

1δ 2δ

2nk δ


44

kn faktor povećavanja (smanjivanja) udaljenosti između čvorova u unutrašnjosti područja proračuna okomito na granicu.

Broj i koordinate točaka kojima se definira dio granice. Točke moraju biti zadane tako da je linearna interpolacija između svake dvije susjedne točke unutar željene točnosti. Položaj čvorova koji se raspoređuju na granici određuje se linearnom interpolacijom između točaka kojima je granica definirana.

Kako bi se osigurala neprekidnost granice, prva točka na dijelu granice se mora poklapati s posljednjom točkom prethodnog dijela, a posljednja s prvom točkom sljedećeg dijela. Te točke kasnije postaju specijalni čvorovi. Specijalni čvorovi su spojne točke susjednih dijelova granice i ne koriste se u numeričkoj metodi, tj. oko njih se ne formiraju kontrolni volumeni, niti se u njima zadaju granični uvjeti. Kut između pravaca koji prolaze kroz specijalni čvor može imati različite vrijednosti i o njegovoj veličini ovisi način popunjavanja čvorova u unutrašnjosti mreže u blizini tog specijalnog čvora.

Nakon zadavanja ovih podataka izračunava se duljina sd svakog dijela granice (kao zbroj udaljenosti između točaka na dijelu granice), te se prelazi na raspoređivanje čvorova po granicama područja proračuna.

4.3.2 Postavljanje čvorova po granicama

Slika 4.2 Općeniti raspored čvorova po dijelu granice

Općeniti slučaj rasporeda čvorova po dijelu granice računske duljine sr prikazan je na Slici 4.2. Na početak i kraj dijela granice se postavljaju specijalni čvorovi. Prvi čvor se postavlja na udaljenosti Δs1 od specijalnog čvora na početnom dijelu granice, drugi na udaljenosti k1Δs1 od prvog čvora, treći na 2

1 1k sΔ od drugog i tako se postavlja n1 čvorova. Slično se od specijalnog čvora na krajnjem dijelu granice postavlja n2 čvorova, pri čemu se posljednji čvor s krajnjeg dijela poklapa s posljednjim čvorom s početnog dijela. Ukupni broj čvorova na dijelu granice iznosi n0 - 1, gdje je:

0 1 2n n n= + (4.1)

Iz opisanih podataka koji se zadaju za potrebe raspoređivanja čvorova po granicama je očito da ih ima više nego je potrebno. Ovo je uvedeno s ciljem lakšeg zadavanja različitih rasporeda čvorova po granici. Ako neki od parametara poprima vrijednost nula, to ima značenje kao da parametar nije niti zadan, a ukoliko se zadaju svi parametri

1sΔ 1 1k sΔ 21 1k sΔ ... 1 1

1 1nk s− Δ 2 1

2 2nk s− Δ ... 2

2 2k sΔ 2 2k sΔ 2sΔ sr

n2

n1 n1-1 3 2 1

1 2 3 ... ... n2-1


45

(što znači da je raspored preodređen) uzima se u obzir njihov prioritet. Najveći prioritet ima zadavanje udaljenosti Δs1 i Δs2. Ako su one zadane, tada se ne uzimaju u obzir parametri N1 i N2. Parametri k1 i k2 se uzimaju u obzir samo ako su zadane vrijednosti za Δs1 i Δs2 (odnosno N1 i N2). Postoje sljedeći načini zadavanja rasporeda čvorova po dijelu granice:

1. Zadano samo n0: definira ravnomjernu raspodjelu n0 – 1 čvorova po dijelu granice, pri čemu je: 1 2 0ds s s s nΔ = Δ = Δ = .

2. Zadano Δs1 (ili N1 pa je 1 1ds s NΔ = ), Δs2 (ili N2 pa je 2 2ds s NΔ = ) i n0: definira neravnomjernu raspodjelu uz zadani broj čvorova pri čemu se računaju faktori geometrijske progresije k1 i k2.

3. Zadano Δs1 (ili N1) i Δs2 (ili N2): definira neravnomjernu raspodjelu pri čemu se određuju k1, k2 i n0 tako da se dobije što ravnomjernija geometrijska progresija udaljenosti između čvorova.

4. Zadano Δs1 (ili N1), Δs2 (ili N2), k1 i k2: definira neravnomjernu raspodjelu s brojem čvorova n0 koji se izračunava na temelju ovih podataka.

U nastavku se opisuje način izračunavanja traženih veličina u pojedinim varijantama zadavanja raspodjele čvorova po dijelu granice. Prva je varijanta najjednostavnija, jer se u njoj izračuna korak 0ds s nΔ = na temelju kojeg se raspoređuju čvorovi. Treba naglasiti da se za slučaj zakrivljene granice raspoređivanje vrši na temelju duljine sd određene zbrajanjem udaljenosti između točaka koje definiraju granicu i koje tada trebaju biti gusto raspoređene, posebno kod velikih zakrivljenosti granice.

U slučaju neravnomjernog raspoređivanja čvorova različitim korakom s početne i krajnje strane dijela granice (druga varijanta) treba voditi računa da završne udaljenosti između čvorova budu jednake kako ne bi došlo do velike neravnomjernosti u rasporedu čvorova. Uvjet koji osigurava jednakost tih udaljenosti dan je izrazom:

1 21 11 1 2 2n nk s k s− −Δ = Δ (4.2)

Ukupna računska duljina dijela granice definirana je zbrojem pojedinih udaljenosti između čvorova:

1 21 12 21 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2... ...n n

rs k s k s k s k s k s k s s s− −Δ + Δ + Δ + + Δ + Δ + + Δ + Δ + Δ = (4.3)

odnosno, iskoristivši pravilo za zbroj geometrijskog niza:

1 21 2

1 21 2

1 11 1

n n

rk ks s sk k

− −Δ + Δ =

− − (4.4)

Izrazi (4.2) i (4.4) predstavljaju osnovne izraze za izračunavanje parametara.

Postoje dva slučaja postavljanja prvih čvorova na početnom i krajnjem dijelu granice: jednom na udaljenost Δs1/2, odnosno Δs2/2, a drugi puta na udaljenost Δs1, odnosno Δs2. U tom smislu veličina sr je jednaka ili duljini sd izračunatoj kao zbroj udaljenosti između točaka kojima je granica zadana, ili duljini sd uvećanoj za Δs1/2, odnosno Δs2/2.


46

Kada je zadan ukupni broj čvorova n0, onda se brojevi čvorova koji se postavljaju s početnog, odnosno krajnjeg dijela granice (n1 i n2) određuju iz sljedeće iskustvene relacije i izraza (4.1):

01 1/3

1

2

1

nnss

=⎛ ⎞Δ

+ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

(4.5)

koja definira brojeve n1 i n2 na način da se dobiju glatki prijelazi između udaljenosti postavljenih čvorova s obje strane.

Za treći i četvrti slučaj zadavanja raspodjele čvorova po dijelu granice, kada nije zadan ukupni broj čvorova n0, brojevi n1 i n2 se izračunavaju iz izraza (4.2) i (4.4), koji se rješavaju metodom bisekcije.

Za svaki navedeni slučaj se nakon ovoga još jednom rješava sustav jednadžbi (4.2) i (4.4) metodom bisekcije radi računanja ili korekcije već izračunatih vrijednosti faktora k1 i k2.

Time je završeno računanje parametara za postavljanje čvorova po dijelu granice.

Na Slici 4.3 je prikazan primjer područja proračuna s postavljenim čvorovima po granicama gdje se vide različiti načini raspoređivanja čvorova.

Slika 4.3 Primjer područja proračuna s definiranim čvorovima po granicama


47

4.3.3 Postavljanje čvorova u unutrašnjosti područja proračuna

Nakon što su raspoređeni čvorovi po granici, pristupa se postavljanju čvorova u unutrašnjosti područja proračuna. Na Slici 4.4 su prikazani karakteristični parametri i način postavljanja čvorova u unutrašnjosti područja proračuna. Kroz svaki čvor na granici se povuče okomica na spojnicu dvaju njemu susjednih čvorova na granici. Zatim se u području proračuna koje se, ovisno o tipu granice, nalazi s unutarnje, s vanjske ili s obje strane granice, pronađe najbliža točka presjeka te okomice s nekim dijelom iste ili druge granice. Čvorovi se postavljaju duž okomice do 90% udaljenosti do najbliže točke presjeka.

Prvi čvor se postavlja na udaljenosti δn od čvora na granici, a ta udaljenost se računa linearnom interpolacijom:

( ) 2 11 1

1 2n n

r

s ss s s

δ δδ δ −= + −Δ

−Δ −Δ (4.6)

gdje je sn ukupna udaljenost n-tog čvora od početka dijela granice.

Slika 4.4 Karakteristični parametri i način postavljanja čvorova u unutrašnjosti područja proračuna

Udaljenost svakog sljedećeg čvora se množi faktorom kn. Ako je predviđeno, postavljanje se vrši i s druge strane granice.

Posebna pozornost se posvećuje čvorovima uz specijalne čvorove.

U tipičnim situacijama na početku i kraju dijela granice čvorovi se do specijalnih čvorova postavljaju na udaljenosti Δs1/2, odnosno Δs2/2, kako je prikazano na Slici 4.5. Naime, ovakva praksa osigurava ravnomjernost raspodjele čvorova za slučaj podjele ravne granice zbog promjene graničnih uvjeta. Budući da specijalni čvor nije dio geometrijske mreže, jasno je da će raspodjela ostati ravnomjerna, kao što se vidi na Slici 4.5 a). Slična je situacija i za slučaj specijalnog čvora u kutu pri φ > 180°, što je prikazano na Slici 4.5 b).

1nk δ

sr

1sΔ

2s

ns

2sΔ 1 1k sΔ 1δ 2δ

2nk δ n nk δ

nδ n0 - 1 1 2 n . . . . . .


48

Slika 4.5 Raspodjela čvorova oko specijalnog čvora

Problem se komplicira za slučaj spoja dijelova granice pod kutom φ < 180°. Naime, u tom se slučaju može dogoditi da se pri postavljanju čvorova u unutrašnjost područja proračuna spojnice čvorova presijeku, kao što je prikazano na Slici 4.6 ,što je nepoželjno. Ovo se prvo pokušava riješiti pomicanjem prvog čvora na punu udaljenost Δs1, odnosno Δs2, a ako to ne riješi problem pristupa se smanjenju zadane veličine δ1, odnosno δ2. U tu svrhu se definiraju vrijednosti graničnog kuta φgr1 i maksimalne udaljenosti δmax1, kao što je prikazano na Slici 4.7.

Slika 4.6 Nedopušten slučaj postavljanja čvorova unutar područja proračuna

1 2sΔ

2

2sΔ

2δ

1δ

2sΔ sΔ

180ϕ = °

2sΔ sΔ

2sΔ

sΔ

180ϕ > °

2sΔ sΔ

a)

b)


49

Slika 4.7 Definiranje maksimalne udaljenosti δmax1 i graničnog kuta φgr1

Postoje tri slučaja na temelju kojih se prvi čvor na dijelu granice postavlja ili na udaljenost Δs1/2 ili Δs1, odnosno kada se veličina δ1 smanjuje na vrijednost δmax1.

1. Ako je φgr1 ≤ φ čvor se smješta na udaljenost Δs1/2, a δ1 ostaje nepromijenjen, kao što je prikazano na Slici 4.8 s primjerom rezultirajuće mreže.

2. Ako je φgr1 > φ i δmax1 ≥ δ1 čvor se smješta na udaljenost Δs1, a δ1 ostaje nepromijenjen, kao što je prikazano na Slici 4.9 s primjerom rezultirajuće mreže.

3. Ako je φgr1 > φ i δmax1 < δ1 čvor se smješta na udaljenost Δs1, a δ1 se smanjuje na δmax1. Ovaj slučaj s pripadajućim primjerom rezultirajuće mreže je prikazan na Slici 4.10.

Slika 4.8 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ≤

max1 1 tan2

s ϕδ ⎛ ⎞= Δ ⎜ ⎟⎝ ⎠

1sΔ

max1δ

2ϕ

11

1

22arctangr sδϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

1 2sΔ

1δ

1 2grϕ

1 2sΔ

1δ

2ϕ 1 2grϕ


50

Slika 4.9 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ> i max1 1δ δ≥

Slika 4.10 Postavljanje prvog čvora u kutu mreže za slučaj 1grϕ ϕ> i max1 1δ δ<

U slučaju spoja dijelova granice pod kutom φ > 180°, postavljanje čvorova samo duž okomica na granicu rezultira jednim dijelom područja proračuna u kojem nema čvorova. U ovakvom slučaju je predviđeno dodatno postavljanje čvorova po kružnim lukovima, kao što je prikazano na Slici 4.11.

Središte P kružnih lukova se nalazi u točki presjeka okomica povučenih kroz dva čvora na granici koja su najbliža specijalnom čvoru. Budući da se u specijalnom čvoru sastaju kraj jednog i početak drugog dijela granice, koji u općem slučaju imaju različito definirane vrijednosti veličina Δs, δ i kn, te se parametri potrebni za postavljanje čvorova po kružnim lukovima određuju harmonijskom interpolacijom, vrijedi:

1 2sΔ 1 2sΔ

max1δ1δ

2ϕ 1 2grϕ

1 1grϕ ϕ>

1 2sΔ 1 2sΔ

max1δ1δ

2ϕ 1 2grϕ

1 1grϕ ϕ>

1 max1δ δ>


51

1 2rs s sΔ = Δ ⋅Δ , 1 2rδ δ δ= ⋅ i 1 2r n nk k k= ⋅ , gdje su δr i kr definirani na Slici 4.11. Kružni lukovi se postavljaju do 90% udaljenosti do najbliže granice. Ta se udaljenost određuje traženjem presjeka pravaca povučenih iz točke P pod kutovima s korakom od 5°. Duljina svakog luka se dijeli s vrijednošću Δsr i zaokružuje na cijeli broj čime je određen broj čvorova koji se postavlja duž kružnog luka. U tom smislu se stvarna udaljenost Δsr

stv malo razlikuje od prije izračunate vrijednosti Δsr.

Slika 4.11 Postavljanje čvorova u kutu mreže za slučaj φ > 180°

Na Slici 4.12 su prikazani postavljeni čvorovi u unutrašnjosti područja proračuna čije su granice prikazane na Slici 4.3.

Δs1/2k1 Δs1

δr kr δr kr2 δr

Δsrstv

Δs1/2+δr

P


52

Slika 4.12 Primjer područja proračuna sa Slike 4.3 s postavljenim čvorovima unutar područja proračuna

4.3.4 Brisanje istovjetnih i bliskih čvorova

Postavljanje čvorova u unutrašnjosti područja proračuna se vrši neovisno za svaki dio granice, tako da se mogu pojaviti dva ili više čvorova na istom mjestu ili vrlo blizu. Bliski čvorovi su oni čvorovi čija međusobna udaljenost nije veća od minimalne udaljenosti. Ona se računa jedinstveno za cijelu mrežu, na temelju minimalne udaljenosti između čvorova na granicama umanjene iskustvenim faktorom.

Od dva bliska čvora briše se onaj s većim rednim brojem mbr, a ako imaju isti mbr, onda se zamjenjuju s jednim čvorom na sredini između njih. Na Slici 4.13 je prikazan izgled područja proračuna s preostalim čvorovima nakon brisanja istovjetnih i bliskih čvorova sa Slike 4.12. Definirani način brisanja čvorova (uvijek s većim mbr) osigurava da u blizini granice ostaju oni čvorovi koji su postavljeni temeljem podataka za pripadajući dio granice.


53

Slika 4.13 Primjer područja proračuna sa Slike 4.12 s preostalim čvorovima nakon brisanja istovjetnih i bliskih čvorova

4.3.5 Formiranje kontrolnih volumena

Formiranje kontrolnih volumena se vrši po posebnoj proceduri koja obuhvaća sve čvorove, a kreće od unutarnjih čvorova s najmanjim rednim brojem (mbr =1) prema onima s najvećim rednim brojem. Na kraju se formiraju kontrolni volumeni oko čvorova na granici prema nešto izmijenjenoj proceduri koja će biti objašnjena na kraju ovog poglavlja.

Prvi korak u proceduri je pronalaženje potencijalnih susjednih čvorova. Oni se izabiru temeljem udaljenosti od promatranog čvora. Na Slici 4.14 je prikazan čvor C oko kojeg se želi formirati kontrolni volumen. Potencijalni susjedi čvora C su svi čvorovi unutar kruga unaprijed propisanog polumjera rmax. Ovaj polumjer se u početku propisuje na temelju maksimalne udaljenosti dvaju susjednih čvorova na granici uvećane iskustvenim faktorom (npr. 4). Efikasnost procedure formiranja kontrolnih volumena uveliko ovisi o veličini rmax. Ako je taj polumjer prevelik, bit će prevelik i broj potencijalnih susjednih čvorova, što povećava vrijeme izvršavanja procedure. Ako je rmax previše mali, onda se događa da neki od stvarnih susjednih čvorova ne ulazi u krug potencijalnih, te se ne može završiti formiranje kontrolnog volumena (kontrolni volumen ostaje otvoren, što ukazuje da treba povećati rmax).


54

Nakon što su određeni potencijalni susjedni čvorovi pronalazi se najbliži čvor, koji se uzima za referentni, te se u odnosu na spojnicu čvora C i referentnog čvora vrši sortiranje ostalih čvorova po kutu i udaljenosti od čvora C. Sortiranje po kutu je u matematički pozitivnom smjeru (referentnom čvoru je pridružena vrijednost kuta nula). Ukoliko ima više čvorova na istom kutu, oni se sortiraju po udaljenosti od najmanje prema najvećoj. Kako bi se mogla završiti procedura formiranja kontrolnog volumena, na kraj tog niza ponovo se zapisuje referentni čvor (ovaj put mu se pridružuje vrijednost kuta 2π).

Procedura pronalaženja vrhova kontrolnog volumena započinje i završava s referentnim čvorom, koji je susjedni čvor čvoru C. U proceduri se traži presjek simetrala spojnica čvora C i dva uzastopna potencijalna susjedna čvora. Ta točka presjeka je potencijalni vrh kontrolnog volumena. Kutovi spojnica čvora C s vrhovima kontrolnog volumena također moraju činiti rastući niz, a očekuje se da svaki vrh kontrolnog volumena bude unutar kruga polumjera rmax.

Slika 4.14 Primjer formiranja kontrolnog volumena

Primjer formiranja kontrolnog volumena prikazan je na Slici 4.14 na kojoj se vidi da je referentni čvor N(1) jer je najbliži čvoru C. Ostali potencijalni susjedni čvorovi sortirani po navedenom kriteriju su označeni brojevima N(2) do N(10). Procedura počinje traženjem točke presjeka simetrala spojnica (1)CN i (2)CN . Ova točka presjeka je označena s e(2) i kao što je prikazano na slici, ta točka je izvan kruga polumjera rmax, te se zaključuje da čvor N(2) neće biti susjed čvoru C. Stoga se prelazi na traženje točke

N(1)

N(3)

N(5)N(7)

N(9)

N(10)

N(6)

N(8)

N(2)

e(4)

e(5)

e(3)

e(2)

rmaxC

N(4)

e'(5)

e(7)

e(9)

e(10)

e(1)


55

presjeka simetrala spojnica (1)CN i (3)CN . Ova je točka presjeka označena s e(3) i kako je unutar kruga polumjera rmax, čvor N(3) ostaje potencijalni susjed čvoru C. Sada se čvor N(3) proglašava za trenutni referentni čvor, te se traži točka presjeka simetrala spojnica

(3)CN i (4)CN . Ova točka označena s e(4) je također potencijalni vrh kontrolnog volumena. Stoga se provjerava da li kutovi spojnica (3)Ce i (4)Ce čine rastući niz. U ovom primjeru je to slučaj, te se sada čvor N(4) proglašava za trenutni referentni čvor, a čvor N(3) uvrštava u listu susjeda. U nastavku se traži točka presjeka simetrala spojnica

(4)CN i (5)CN , označena s e'(5). Sada je jasno da je kut spojnice (5)Ce' manji od kuta (4)Ce , što znači da čvor N(4) ispada iz liste susjednih čvorova, a za trenutni referentni

čvor se proglašava čvor N(3), te se ponovo traži točka presjeka simetrala spojnica (3)CN i (5)CN . Ova točka presjeka je označena s e(5), a očito je da kutovi spojnica (3)Ce i

(5)Ce čine rastući niz. Po istom principu se nastavlja procedura do čvora N(10) i na kraju završi ponovo s čvorom N(1) kada se određuje završni vrh e(1) kontrolnog volumena.

Procedura formiranja kontrolnog volumena za čvorove na granici je vrlo slična proceduri za čvorove u unutrašnjosti, s jedinom razlikom da se u ovoj proceduri polazi i završava s vrhom kontrolnog volumena, koji se nalazi u središtu spojnice promatranog čvora na granici s njemu susjednim čvorovima s granice. Stranica koja zatvara kontrolni volumen upravo spaja ta dva središta, kao što je prikazano na Slici 4.15.

- vrhovi kontrolnih volumena u polovištu spojnice dva susjedna čvora na granici

- vrhovi kontrolnih volumena

- čvorovi mreže postavljeni po granici i u unutrašnjosti područja proračuna

Slika 4.15 Kontrolni volumeni za čvorove na granici

Prilikom prvog formiranja kontrolnih volumena se izvrši još jedno dodatno brisanje čvorova u unutrašnjosti geometrijske mreže. Ovo brisanje obuhvaća čvorove koji su stvarni susjedni čvorovi (nakon završetka formiranja kontrolnog volumena oko centralnog čvora), a imaju mbr veći za dva (ili više) od centralnog čvora. Nakon toga se mbr susjednih čvorova može razlikovati samo za jedan.


56

Slika 4.16 Primjer područja proračuna sa Slike 4.13 nakon formiranja kontrolnih volumena

Na Slici 4.16 su prikazani formirani kontrolni volumeni za primjer područja proračuna sa Slike 4.13.

4.3.6 Ujednačavanje geometrijske mreže

Nakon formiranja kontrolnih volumena i dodatnog brisanja susjednih čvorova po kriteriju rednog broja mbr, u geometrijskoj mreži još uvijek mogu ostati bliski čvorovi. Na Slici 4.16 se točno može uočiti od koje granice potječe svaki čvor u unutrašnjosti mreže kao i bliski čvorovi koji potječu od različitih dijelova mreže. Jednom kada su formirani kontrolni volumeni, može se svakom kontrolnom volumenu izračunati maksimalna i minimalna udaljenost centralnog čvora od njemu susjednih, te njihov omjer. Za kontrolne volumene kod kojih je taj odnos veći od unaprijed zadanog vrši se zamjena dva najbliža čvora jednim u polovištu njihove spojnice. Ovo pridonosi ravnomjernijem rasporedu čvorova.

Nakon prvog formiranja kontrolnih volumena i svih brisanja čvorova u unutrašnjosti područja proračuna, pojedini čvorovi leže daleko od težišta pripadajućeg kontrolnog volumena, a neke spojnice susjednih čvorova prolaze daleko od središta stranica kontrolnog volumena, što nije u suglasju s četvrtim i petim zahtjevom koji treba ispunjavati generator mreže. Ovi nedostaci se ublažuju postupkom ujednačavanja geometrijske mreže.


57

Ujednačavanje geometrijske mreže podrazumijeva pomicanje čvorova mreže u težište mnogokuta kojeg čine njemu susjedni čvorovi. Procedura pomicanja je realizirana tako da se obilaze čvorovi jedan po jedan, pri čemu je moguće izostaviti čvorove određenog rednog broja mbr. Potrebno je izostaviti pomicanje čvorova u unutrašnjosti najbližih granici kako bi se zadovoljio treći zahtjev koji treba ispunjavati generator mreže vezan uz zadavanje graničnih uvjeta. Budući da se pomicanje vrši čvor po čvor, procedura se ponavlja više puta (broj zadaje korisnik), a također je poželjno nakon nekoliko pomicanja ponovo formirati kontrolne volumene, jer je pri pomicanju moguća promjena liste susjednih čvorova. Nakon prvog formiranja kontrolnih volumena raspolažemo s puno točnijom vrijednosti polumjera rmax (određenog za svaki čvor), tako da je svako sljedeće formiranje kontrolnih volumena vrlo efikasno.

Ujednačavanjem geometrijska mreža teži k ravnomjernoj, te treba naći pravu mjeru između zadovoljavanja posebnih zahtjeva koje treba ispunjavati generator mreže i potrebe za neravnomjernom mrežom u pojedinim dijelovima područja proračuna.

Konačni izgled geometrijske mreže, dobiven nakon ujednačavanja mreže sa Slike 4.16, je prikazan na Slici 4.17.

Slika 4.17 Konačni izgled područja proračuna sa Slike 4.16 nakon ujednačavanja geometrijske mreže


58

4.3.7 Računanje geometrijskih karakteristika

Kada je geometrijska mreža potpuno definirana, potrebno je izračunati i zapisati sve geometrijske karakteristike koje će biti korištene u metodi kontrolnih volumena za proračun strujanja unutar područja proračuna. Karakteristike mreže su:

ukupni broj čvorova u mreži,

broj čvorova na granicama mreže i

ukupni broj stranica svih kontrolnih volumena u mreži.

Geometrijske karakteristike vezane za čvor kontrolnog volumena su:

koordinate čvora,

veličina kontrolnog volumena,

broj susjednih čvorova i

indeksi susjednih čvorova.

Za stranicu kontrolnog volumena su vezane sljedeće geometrijske karakteristike:

indeksi čvorova između kojih se nalazi stranica,

veličina površine stranice,

duljina spojnice okomite na stranicu i

vektor normale na stranicu (u smjeru čvora s većim indeksom).

4.4 PRIMJENA GENERATORA GEOMETRIJSKE MREŽE

Opisani način generiranja geometrijske mreže vrlo dobro ispunjava prije navedene zahtjeve i omogućuje opis geometrijski složenih područja. Naknadno dodavanje i brisanje čvorova u području velikih gradijenata je jednostavno, a također je na temelju fine mreže jednostavno definirati grublju mrežu, što se koristi u višemrežnim metodama.

Primjer primjene generatora geometrijske mreže na geometrijski složeno područje proračuna je prikazan na Slici 4.18.


59

Slika 4.18 Primjer generiranja geometrijske mreže u geometrijski složenom području proračuna

A

L

M

K J

I H

G

N

F

E B C D

60

5 TESTIRANJE I PRIMJENA METODE

Svrha ovog poglavlja je testiranje razvijene metode za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe u tipičnim stacionarnim i nestacionarnim situacijama koje se najčešće susreću u literaturi. Također se vrši usporedba rješenja dobivenih uz primjenu poboljšane EDSI sheme diferencije sa polaznom EDS shemom. Testovi su podijeljeni u tri skupine u kojima se pojavljuje samo konvekcijski, samo difuzijski i konvekcijsko-difuzijski prijenos. Budući da je u radu razvijena metoda u kojoj se pretpostavlja poznato polje brzine (ne rješava se kompletni sustav jednadžbi koji opisuje strujanje fluida), ovako razvijen program se može direktno primijeniti na rješavanje difuzijskih problema kao što su npr. problemi provođenja topline opisani temperaturnom jednadžbom (Φ T≡ ).

U nastavku se daje usporedba rezultata za pojedine situacije, te primjer moguće primjene programa.

5.1 TESTIRANJE METODE NA STACIONARNIM PROBLEMIMA

Na stacionarnim problemima se testiraju konvekcijski i difuzijski član u polaznoj jednadžbi, pri čemu je nestacionarni član jednak nuli. Ova dva člana se prvo testiraju pojedinačno, a zatim istovremeno. U uvjetima samo konvekcijskog prijenosa izabrani su problemi u kojima se pojavljuju diskontinuiteti u profilu tražene varijable, što je vrlo zahtjevno sa stajališta numeričkog rješavanja. Na diskontinuiranom profilu se najbolje očituju dvije karakteristične pojave: oscilirajuće rješenje i lažna difuzija, temeljem kojih se može zaključivati o valjanosti sheme diferencije, odnosno modeliranja konvekcijskog člana u toj shemi. Ocjenjivanje točnosti modeliranja difuzijskog člana se vrši na primjeru provođenja topline u dvodimenzijskoj situaciji s poznatim analitičkim rješenjem. Na kraju se metoda testira u uvjetima konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana s pozitivnim koeficijentom, što je također zahtjevniji slučaj sa stajališta numeričkog rješavanja.

5.1.1 Konvekcijski prijenos

5.1.1.1 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na ravnomjernoj mreži

U ovom testu se analizira čisto konvektivni prijenos varijable T uz nulti izvorni član. Pri tome je koeficijent difuzije jednak nuli, a to znači da kod točnog rješenja nema

5 Testiranje i primjena metode

61

promjene profila varijable T duž strujnica. Bezdimenzijska je gustoća jedinična. Ovo je test-problem s očitim i jednostavnim rješenjem, koji se često koristi za procjenu točnosti sa stajališta numeričke difuzije. Testiranje se vrši u kvadratnom području proračuna veličine 1x1 na dvije ravnomjerne mreže 25x25 i 50x50 kontrolnih volumena. Bezdimenzijska brzina strujanja je jednaka jedinici u čitavom području proračuna i usmjerena je pod kutom α u odnosu na x-os, kao što je prikazano na Slici 5.1. U ovom testu se koriste tri različite vrijednosti kuta α = 15°, 30°i 45°.Na donjoj ulaznoj granici je zadano T = Tmin = 0, na lijevoj T = Tmax = 1, a preostale dvije granice su izlazne i na njima nije potrebno ništa zadavati (nizvodne parabolične granice).

Slika 5.1 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju

Točno rješenje ovog test-problema je stepeničasti profil unutar čitavog područja proračuna od ulazne do izlazne granice u pravcu strujanja. Takvo rješenje bi se dobilo za beskonačni broj kontrolnih volumena, kada njihova veličina teži k nuli. Za konačni broj kontrolnih volumena, u točnom rješenju se može pojaviti maksimalna derivacija varijable T koja je razmjerna veličini kontrolnog volumena. Zbog pojave numeričke difuzije kao posljedice modeliranja konvekcijskog člana dolazi do razlijevanja stepeničastog profila preko više kontrolnih volumena.

Kriterij usporedbe shema je prosječna apsolutna pogreška definirana na sljedeći način:

1

1 i ni i

sr exact numi

T Tn

ε=

=

= −∑ (5.1)

gdje je iexactT jednako Tmax, odnosno Tmin, zavisno s koje se strane strujnice koja označuje

pravac diskontinuiteta nalazi čvor i. Na Slici 5.2 je prikazano egzaktno rješenje za α = 45°.

0 1X

0

1Y

T = Tmin

T = Tmax

izlazna granica

izlazna granica

α

V


62

Tablica 5.1 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na mreži 25x25 kontrolnih volumena

α 15° 30° 45°

shema EDSI EDS EDSI EDS EDSI EDS

εsr 0.03141 0.05765 0.07677 0.09496 0.05243 0.12366

Tmax 1.000012 1.0 1.000008 1.0 1.005382 1.0

Tmin 0.0 0.0 -0.00000154 0.0 -0.00539229 0.0

Tablica 5.2 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na mreži 50x50 kontrolnih volumena

α 15° 30° 45°

shema EDSI EDS EDSI EDS EDSI EDS

εsr 0.02062 0.04224 0.02574 0.06940 0.03216 0.09373

Tmax 1.000026 1.0 1.000025 1.0 1.003598 1.0

Tmin 0.0 0.0 -0.00000323 0.0 -0.00359638 0.0

U Tablicama 5.1 i 5.2 su prikazane srednje apsolutne pogreške, maksimalne Tmax i minimalne Tmin vrijednosti varijable T dobivene uz primjenu dviju shema diferencije na dvjema mrežama. Kontrola maksimalne i minimalne vrijednosti varijable T u numeričkom rješenju ima za cilj provjeru da li shema daje oscilirajuće rješenje (veće vrijednosti od Tmax i manje od Tmin pri nultom izvornom članu).

Iz prikazanih podataka u ovim tablicama je očito da je EDSI shema barem dvostruko točnija od EDS sheme, te da se profinjavanjem mreže pogreška brže smanjuje primjenom EDSI nego EDS sheme. Budući da je u ovom slučaju EDS shema identična uzvodnoj (upwind) shemi, jasno je da se oscilacije u rješenju ne mogu pojaviti. EDSI shema pokazuje zanemarivo male oscilacije, jer se pojavljuju vrijednosti Tmax veće od jedan i Tmin manje od nule.

Na Slikama 5.3 do 5.5 su prikazana numerička rješenja dobivena uz primjenu EDSI i EDS sheme diferencije na mreži 25x25 kontrolnih volumena pri kutu α = 15°, 30° i 45°. Na Slikama je vidljiva superiornost EDSI sheme diferencije, jer unosi puno manje numeričke difuzije u krajnje rješenje. Rješenja istih slučajeva dobivena na mreži 50x50 kontrolnih volumena prikazana su na Slikama 5.6 do 5.8, na kojima se još zornije vidi superiornost EDSI sheme diferencije. Kao glavne nedostatke EDSI sheme treba spomenuti njenu nelinearnost i sklonost blagim oscilacijama. U ovom slučaju, uz primjenu EDS sheme diferencije rezultat se dobiva u prvoj iteraciji, dok je uz primjenu EDSI sheme potrebno dvadesetak iteracija (ovisno o kutu α) za postizanje konvergentnog rješenja. Pri rješavanju nelinearnih problema ovaj nedostatak gubi na značaju, kako će biti poslije pokazano. Što se tiče pojave blagih oscilacija u rješenju, u realnim će situacijama vrijednost koeficijenta difuzije uvijek biti različita od nule, te će postojati fizikalna difuzija koja će u potpunosti prigušiti oscilacije uslijed EDSI sheme diferencije.


63

Slika 5.2 Egzaktno rješenje problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na mreži 50x50 kontrolnih volumena pri kutu α = 45°

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

Pogled A

Pogled A


64

a) EDSI

b) EDS

Slika 5.3 Numerička rješenja konvekcijskog pravocrtnog prijenosa stepeničastog profila na mreži 25x25 kontrolnih volumena pri kutu α = 15°

0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


65

a) EDSI

b) EDS


0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


66

a) EDSI

b) EDS


0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


67

a) EDSI

b) EDS


0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


68

a) EDSI

b) EDS


0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


69

a) EDSI

b) EDS


0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1

T

00.25

0.50.75

1

X0

0.25

0.5

0.75

Y0

0.25

0.5

0.75

1 T


70

5.1.1.2 Konvekcijski pravocrtni prijenos stepeničastog profila na neravnomjernoj mreži

U literaturi se testiranje metode i sheme diferencije najčešće provodi na ravnomjernoj pravokutnoj mreži. Takve jednostavne mreže omogućavaju i formulaciju složenijih shema diferencije koje su tada vrlo točne, ali neprimjenjive u složenijim geometrijama. Budući da se ovdje radi o rješavanju opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe na nestrukturiranoj mreži, potrebno je pokazati da je metoda točna i na mreži sastavljenoj od različitih mnogokuta. U tu svrhu se problem definiran u prethodnom poglavlju rješava na nestrukturiranoj mreži, koja je prikazana na Slici 5.9. Numeričko rješenje problema dobiveno uz primjenu EDSI sheme diferencije dano je na Slici 5.10. Prikaz istog rješenja u pogledu koji omogućuje procjenu lažne difuzije dan je na Slici 5.11 a), a rješenja dobivenog uz primjenu EDS sheme na Slici 5.11 b). I u ovom slučaju je rješenje dobiveno uz primjenu EDSI sheme diferencije puno točnije sa stajališta numeričke difuzije i ne pojavljuju se vidljive oscilacije u profilu varijable T.

Slika 5.9 Nestrukturirana mreža za problem konvekcijskog prijenosa

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5X

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Y


71

Slika 5.10 Trodimenzijski prikaz numeričkog rješenja problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na nestrukturiranoj mreži (EDSI)

a) EDSI b) EDS

Slika 5.11 Profili varijable T dobiveni numeričkim rješavanjem problema konvekcijskog prijenosa stepeničastog profila na nestrukturiranoj mreži

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

-0.5-0.25

00.25

X-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Y

0

0.25

0.5

0.75

1 T

0

0.25

0.5

0.75

1 T


72

5.1.1.3 Smith-Huttonov problem

U prethodnim primjerima je analiziran konvekcijski prijenos u paralelnom strujanju. Ovo je također jedan tipičan test s prostorno promjenjivim poljem brzine. Fluid struji u pravocrtnom području veličine 2x1, prema Slici 5.12, pri čemu je polje brzine definirano sljedećim izrazima, prema [32]:

( )22 1u y x= − (5.2)

( )22 1 2v x y= − − (5.3)

Lijeva (x = -1, 0 < y < 1), gornja (-1 < x < 1, y = 1) i desna granica (x = 1, 0 < y < 1) su zidovi, donji lijevi dio granice (-1 < x < 0, y = 0) je ulazna granica, a donji desni dio (0 < x < 1, y = 0) izlazna granica. Na ulaznoj granici je zadan profil varijable T u obliku:

( )1 th 10 1 2T x= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.4)

Slika 5.12 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za Smith-Huttonov problem

S obzirom da je koeficijent difuzije jednak nuli, te da su strujnice simetrične krivulje u odnosu na y-os, kod egzaktnog rješenja je profil varijable T na izlaznoj granici simetričan profilu na ulaznoj granici.

Zbog pojave numeričke difuzije, izlazni profil se razlikuje od ulaznog. Što je veća numerička difuzija, to je nagib profila na izlazu manji, a sam profil se širi preko više kontrolnih volumena.

Na Slikama 5.13 i 5.14 je prikazan prostorni prikaz rezultata dobivenih uz primjenu EDSI, odnosno EDS sheme diferencije. Uočava se da EDSI shema bolje zadržava ulazni profil varijable T i da ne daje oscilirajuće rješenje. Slika 5.15 prikazuje profil varijable T na izlaznoj granici. Očito je da EDSI shema unosi puno manje numeričke difuzije u rješenje u odnosu na EDS shemu.

-1 0 1X

0

1Y

izlazna granica ulazna granica

zid zid

zid


73

Slika 5.13 Numeričko rješenje Smith-Huttonovog problema (EDSI)

Slika 5.14 Numeričko rješenje Smith-Huttonovog problema (EDS)

0.5

1

1.5

2T

-1

-0.5

0

0.5

1

X0

0.5

1Y

0.5

1

1.5

2T

-1

-0.5

0

0.5

1

X0

0.5

1Y


74

Slika 5.15 Usporedba profila varijable T na izlaznoj granici za Smith-Huttonov problem

5.1.2 Difuzijski prijenos – provođenje topline

U prethodnoj skupini testova pretpostavljen je samo konvekcijski prijenos pri skokovitoj promjeni graničnih uvjeta. U takvim okolnostima i rješenje ima oblik stepeničastog profila, na kojem se lako uočava utjecaj numeričke difuzije. Za slučaj samo difuzijskog prijenosa rješenje će biti glatko i kada su granični uvjeti diskontinuirani. Zbog toga pri rješavanju ovakvih problema pred shemom diferencije stoje puno manji zahtjevi.

Izabrani test se odnosi na provođenje topline u kvadratnoj ploči dimenzija 1x1 konstantnih fizikalnih svojstava, pri čemu je temperatura gornje strane ploče različita od temperature na ostalim stranama, kako je prikazano na Slici 5.16 Prema zadanim graničnim uvjetima do skokovite promjene temperature dolazi u gornjem lijevom i desnom vrhu, te će i u numeričkom rješenju gradijent temperature biti najveći u okolici tih točaka.

Analitičko rješenje je dano sljedećim izrazom, prema [14]:

( ) ( )( )

11

12 1

1 1 sinh /( , ) 2( , ) sin( / )sinh

n

n

n y WT x y Tx y n x LT T n n H L

πθ π

π π

+∞

=

− +−= =

− ∑ (5.5)

0 0.5 1X

0

0.5

1

1.5

2T

ExactEDSIEDS


75

Slika 5.16 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za stacionarni problem provođenja topline

Problem je riješen na ravnomjernoj mreži 20x20 kontrolnih volumena, uz primjenu obiju shema. Na Slikama 5.17 i 5.18 su dane izobare i prostorni prikaz polja temperature dobivene uz primjenu EDSI sheme diferencije. Prostorna razdioba pogrešaka dobivenih uz primjenu EDSI i EDS shema diferencije prikazana je na Slikama 5.19 i 5.20. Relativna pogreška εr je definirana izrazom:

100%exact numr

exact

T TT

ε −= ⋅ (5.6)

Maksimalna pogreška uz primjenu EDSI sheme diferencije iznosi 0.22%, a uz primjenu EDS sheme 0.72%. Iako je EDSI shema točnija, s inženjerskog stajališta se može reći da je i EDS shema dovoljno točna u uvjetima samo difuzijskog prijenosa, jer je nominalno drugog reda točnosti. Ovo je u skladu sa [44], gdje je zaključeno da je korekcija EDS sheme potrebna samo u situacijama s dominantnim konvekcijskim prijenosom.

0 1X

0

1Y

T1 = T min

T2 = T max

T1 = T min T1 = T min


76

Slika 5.17 Izoterme dobivene numeričkim rješavanjem (EDSI) problema stacionarnog provođenja topline

Slika 5.18 Polje temperature dobiveno numeričkim rješavanjem (EDSI) problema stacionarnog provođenja topline

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

00.25

0.50.75

X0

0.25

0.5

0.75

1

Y

0 0.25 0.5 0.75 1

X

0

0.25

0.5

0.75

1Y

0.05

0.15

0.25

0.35

0.450.55

0.650.75

0.850.95


77

Slika 5.19 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDSI) za problem stacionarnog provođenja topline

Slika 5.20 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDS) za problem stacionarnog provođenja topline

-0.2-0.100.10.2

T

0

0.25

0.5

0.75

X

0

0.25

0.5

0.75

1

Y

ε r /

%

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

T

0

0.25

0.5

0.75

X

0

0.25

0.5

0.75

1

Y

ε r /

%


78

5.1.3 Konvekcijsko-difuzijski prijenos u prisutnosti izvornog člana

U dosadašnjim testovima je analiziran ili samo konvekcijski ili samo difuzijski prijenos i to pri nultom izvornom članu. Ovdje će se rješavati primjer istovremenog konvekcijskog i difuzijskog prijenosa uz postojanje izvornog člana s pozitivnim koeficijentom, koji zavisi od traženog rješenja, što je sa stajališta numeričkog rješavanja najneugodniji slučaj, prema [43]. Problem je jednodimenzijski, ali se rješava u zarotiranom koordinatnom sustavu prema Slici 5.21 kao dvodimenzijski.

U jednodimenzijskoj situaciji je problem istovremenog konvekcijskog i difuzijskog prijenosa uz postojanje izvornog člana s pozitivnim koeficijentom opisan jednadžbom:

2 2.32dT d Tv Γ T

dx dxρ − = (5.7)

Rješenje gornje jednadžbe za ρv = 1 i Γ = 1/280 uz granične uvjete T(0) = 1 i T(2) = 103.48 je:

2.31921( ) xT x e ⋅= (5.8)

U zarotiranom koordinatnom sustavu (α = 30°) rješenje (5.8) prelazi u oblik:

( )2.31921 cos sin( , ) x yT x y e α α+= (5.9)

Problem se rješava na ravnomjernoj mreži 28x28 kontrolnih volumena, tako da je

lokalni Pecletov broj 14V xPeΓ

ρ Δ= = , što označuje slučaj dominantnog konvekcijskog

prijenosa, te na izlaznim granicama nije potrebno zadavati vrijednosti polja T (parabolični granični uvjeti). Na ulaznim su granicama zadane vrijednosti polja T prema jednadžbi (5.9).

Slika 5.22 prikazuje prostornu raspodjelu polja T dobivenu uz primjenu EDSI sheme diferencije. Za kriterij usporedbe točnosti shema je izabrana relativna pogreška definirana izrazom (5.6). Slika 5.23 prikazuje prostornu raspodjelu relativne pogreške dobivenu uz primjenu EDSI sheme diferencije, a Slika 5.24 istu pogrešku dobivenu uz primjenu EDS sheme. Očito je relativna pogreška dobivena uz primjenu EDSI sheme diferencije za red veličine manja nego uz primjenu EDS sheme, što se i očekivalo u uvjetima dominantnog konvekcijskog prijenosa.

U uvjetima pozitivnog koeficijenta uz T u izvornom članu, on se tretira eksplicitno, tj. ne obračunava se kroz koeficijent aC u diferencijskoj jednadžbi, te numerički postupak ima iterativni karakter. Zato se ni uz primjenu EDS sheme diferencije numeričko rješenje ne može dobiti u jednoj iteraciji. Na Slici 5.25 je prikazana promjena sume odstupanja prema izrazu (3.58), koja služi kao kriterij završetka iterativnog postupka, u ovisnosti o broju iteracija. Obično se za željenu točnost ne uzima broj manji od 10-4, te se može zaključiti da je broj iteracija za postizanje željene točnosti praktički jednak za obje sheme.


79

Slika 5.21 Shematski prikaz područja proračuna i graničnih uvjeta za problem konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana

Slika 5.22 Numeričko rješenje (EDSI) polja T za problem konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana

0 1.4X

0

1.4Y

izlazna granica

izlazna granica

α = 30°

V

ulazna granica

ulazna granica

v

u

x

0

20

40

60

80

T

0

0.4

0.8

1.2

X0

0.4

0.8

1.2

Y


80

Slika 5.23 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDSI) problema konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana

Slika 5.24 Raspodjela pogreške u numeričkom rješenju (EDS) problema konvekcijsko-difuzijskog prijenosa u prisutnosti izvornog člana

0

2

4

6

8

10

0.4

0.8

1.2

X0

0.4

0.8

1.2

Y

ε r /

%

-1

0

0

0.4

0.8

1.2

X0

0.4

0.8

1.2

Y

ε r /

%


81

Slika 5.25 Promjena sume odstupanja prema (3.58) u ovisnosti o broju iteracija

1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

0 5 10 15 20 25 30 35

Broj iteracija

Sum

a od

stup

anja

EDSI

EDS


82

5.2 TESTIRANJE METODE NA NESTACIONARNIM PROBLEMIMA

U poglavlju 5.1 provedeni su se testovi odnosili na stacionarne probleme kojima je bila svrha testirati konvekcijski i difuzijski član. Svrha ovog poglavlja je testiranje točnosti modeliranja nestacionarnog člana u polaznoj jednadžbi. Pri tome se koriste testovi samo konvekcijskog prijenosa u kojima su početni uvjeti za polje T zadani s diskontinuitetom. Na kraju se analizira nestacionarni problem pri samo difuzijskom prijenosu.

5.2.1 Konvekcijski prijenos

5.2.1.1 Konvekcijski prijenos stožastog profila u paralelnom strujanju

Budući se razmatra samo konvektivni prijenos, pretpostavlja se da je koeficijent difuzije jednak nuli zbog čega je i difuzijski član jednak nuli. Zbog jednostavnosti se pretpostavlja da je vrijednost bezdimenzijske gustoće jednaka jedinici. Bezdimenzijska brzina strujanja je po veličini jednaka jedinici u čitavom području proračuna i usmjerena je pod kutom od 45° u odnosu na x-os.

Područje proračuna je veličine 2x2 s ravnomjernom mrežom 50x50 kontrolnih volumena. Početni uvjeti su zadani stožastim profilom polja T, pri čemu je visina stošca jednaka jedinici, a polumjer osnovice je 0.4, kako je prikazano na Slici 5.26. Vrh stošca se nalazi u točki x = -0.5, y = -0.5. Lijevi i donji dio granice područja proračuna su ulazni, a desni i donji izlazni. Po ulaznim granicama vrijednost varijable T je jednaka nuli i konstantna je u vremenu.

Točno rješenje je pravocrtno paralelno pomicanje početnog stožastog profila područjem proračuna u smjeru brzine strujanja fluida. Ukupno vrijeme integracije je izabrano tako da stožasti profil ostane u području proračuna, tj. da mu se središte pomakne do pozicije x = 0.5, y = 0.5, pri čemu je prevaljeni bezdimenzijski put jednak 2 , te je ukupno bezdimenzijsko vrijeme integracije int 2t = . Integracija se vrši s tri vremenska koraka izabrana tako da Courantov broj Co V t x= Δ Δ bude jednak 0.5, 1 i 5, a sama integracija je izvršena uz primjenu potpuno implicitne (g = 1) i Cranck-Nicholsonove (g = 0.5) sheme vremenske diskretizacije.

Na Slikama 5.27 i 5.28 su prikazana numerička rješenja dobivena uz primjenu EDSI, odnosno EDS sheme diferencije u dva vremenska trenutka (t = tint/2 i t = tint). Integriranje je provedeno Cranck-Nicholsonovom shemom (g = 0.5) pri Courantovom broju Co = 1/2. Sa Slika je očito da se zbog numeričke difuzije smanjuje visina stošca, dok mu se osnovica povećava. Ovaj trend je izraženiji kod EDS sheme koja je prvog reda točnosti. U Tablici 5.3 su prikazane minimalne i maksimalne vrijednosti polja T unutar područja proračuna u izabranim vremenskim trenucima. Očito je da EDSI shema diferencije daje puno točnije rezultate, sa stajališta maksimalnih vrijednosti uz zanemarivo male oscilacije (minimum je negativna veličina). U početnom trenutku maksimalna vrijednost polja T nije jednaka jedinici, budući da se tada vrh stošca nalazi


83

između čvorova mreže. Jasno je da ni jedna neoscilatorna shema diferencije više ne može rekonstruirati originalnu visinu stošca, te bi vrijednost 0.929 bila referentna maksimalna vrijednost za ocjenu točnosti shema diferencije. U tom smislu bi i dobiveni rezultati bili nešto bolji.

Tablica 5.3 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju (Co = 1/2, g = 1/2)

t 0 tint /2 tint

Shema Min Max Min Max Min Max

EDSI 0.0 0.9293 -8.727·10-6 0.8121 -1.149·10-5 0.7662

EDS 0.0 0.9293 0.0 0.5609 0.0 0.4047

Slika 5.26 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju

Na Slici 5.29 je prikazan profil polja T u dva prije spomenuta vremenska trenutka na dijagonali područja proračuna (duž osi z prema Slici 5.1), tj. u smjeru brzine, odnosno smjeru pomaka stošca. Očito je točnost EDSI sheme diferencije puno veća od točnosti EDS sheme, uz mali nedostatak da profil polja T dobiven uz primjenu EDSI sheme diferencije nije simetričan za razliku od profila dobivenog uz primjenu EDS sheme.

Prosječna apsolutna pogreška numeričkog rješenja u odnosu na egzaktno (definirana izrazom (5.1)) iznosi u krajnjem vremenskom trenutku za EDSI shemu εsr = 0.0052, a za EDS shemu εsr = 0.0261.

Na Slici 5.30 je prikazan profil polja T na dijagonali područja proračuna dobiven uz primjenu potpuno implicitne (g = 1) i Cranck-Nicholsonove (g = 0.5) sheme vremenske diskretizacije. Prema očekivanju Cranck-Nicholsonova shema, koja je drugog reda točnosti, daje bolje rezultate, te se u nastavku samo ona primjenjuje.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

z

45°

V


84

Na Slici 5.31 je prikazan utjecaj vremenskog koraka na točnost rezultata. Izabrani su vremenski koraci t Co x VΔ = Δ , koji odgovaraju Courantovom broju Co = 1/2, 1 i 5. Iako se u radu koristi Cranck-Nicholsonova shema koja nema ograničenje pri odabiru veličine vremenskog koraka kao što ima implicitna shema, ipak će točnost rezultata ovisiti o veličini vremenskog koraka integracije. Iz slike je vidljivo da su rezultati za Co = 1/2 i 1 praktički identični, a da točnost rezultata naglo opada pri povećanju Co broja. U nastavku se ne uzimaju vrijednosti Co broja veće od jedan.

a) t = tint /2 b) t = tint

Slika 5.27 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDSI, Co = 1/2, g = 1/2)


Slika 5.28 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDS, Co = 1/2, g = 1/2)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


85

Slika 5.29 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u paralelnom strujanju (Co = 1/2, g = 1/2)

Slika 5.30 Utjecaj sheme vremenske diskretizacije na točnost rezultata (EDSI, Co = 1/2)

Z0

0.25

0.5

0.75

1TExactEDSIEDS

t = 0 t = t /2 t = tint int

Z0

0.25

0.5

0.75

1T

Exactg=0.5g=1.0



86

Slika 5.31 Utjecaj vremenskog koraka integracije na točnost rezultata (EDSI, g = 1/2)

5.2.1.2 Konvekcijski prijenos prizmatičnog profila u paralelnom strujanju

Ovaj test je vrlo sličan prethodnom pri čemu se javlja jači diskontinuitet u početnom profilu polja T, jer se umjesto stožastog pojavljuje prizmatični profil. Shematski prikaz problema je dan na Slici 5.32. Polje brzine je jednoliko, a vektor brzine je po veličini jednak jedinici i usmjeren pod kutom 45° u odnosu na os x. Granični uvjeti su konstantni u vremenu, a na ulaznim granicama je vrijednost varijable T postavljena na nulu. Središte prizmatičnog profila je u početnom trenutku na poziciji x = -0.5, y = -0.5, a stranica kvadratne prizme je duljine 0.8. Ukupno bezdimenzijsko vrijeme integracije, za koje se središte prizmatičnog profila pomakne na poziciju x = 0.5, y = 0.5, iznosi

int 2t = . Problem je integriran uz primjenu obiju shema diferencije uz g = 1/2 i 1 2Co V t x= Δ Δ = .

Prostorni prikaz polja T u dva vremenska trenutka je dan na Slici 5.33 za EDSI shemu i na Slici 5.34 za EDS shemu. I ovdje je uočljiva puno veća točnost rješenja dobivenog uz primjenu EDSI sheme diferencije. Prosječna apsolutna pogreška u numeričkom rješenju dobivenom uz primjenu EDSI sheme je 0.0491, a EDS sheme 0.094. Kod ovako strmog profila, pogreška uz primjenu EDSI sheme je oko dva puta manja, dok je kod stožastog profila bila oko pet puta manja.

Dominantnost EDSI sheme diferencije je očita i sa Slika 5.35 i 5.36 koje prikazuju profile polja T na dijagonali područja proračuna u vremenskom trenutku t = tint/2, odnosno t = tint.

Z0

0.25

0.5

0.75

1TExactCo=0.5Co=1.0Co=5.0



87

Tablica 5.4 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju

t 0 tint /2 tint

Shema Min Max Min Max Min Max

EDSI 0.0 1.0 -8.125·10-7 1.000014 0.0 1.000014

EDS 0.0 1.0 0.0 0.9921 0.0 0.9126

Slika 5.32 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

z

45°

V


88


Slika 5.33 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDSI)


Slika 5.34 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju u dva vremenska trenutka (EDS)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T-1

-0.50

0.51

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


89

Slika 5.35 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju (t = tint /2)

Slika 5.36 Profil polja T na dijagonali područja proračuna za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u paralelnom strujanju (t = tint)

Z0

0.25

0.5

0.75

1T

ExactEDSIEDS

Z0

0.25

0.5

0.75

1

T

ExactEDSIEDS


90

5.2.1.3 Konvekcijski prijenos stožastog profila u rotacijskom gibanju

U ovom testu se ponovno analizira konvekcijski prijenos početnog stožastog profila polja T, ali pri rotacijskom gibanju fluida kao krutog tijela. Polje brzine v je zadano izrazom v rω= × , gdje je ω vektor kutne brzine rotacije okomit na područje proračuna, a r je vektor položaja mjeren od središta područja proračuna prikazanog na Slici 5.37.

U cilju usporedbe s objavljenim rezultatima, podaci za test-problem su preuzeti iz [34]. Tako je za ω = 1 bezdimenzijsko polje brzine zadano komponentama u = -y i v = x, područje proračuna je veličine 2x2 i podijeljeno na 50x50 jednakih kontrolnih volumena. Početni stožasti profil je visine 1 i polumjera osnovice 0.4. U početnom trenutku je središte stošca na poziciji x = -0.5, y = 0. Po svim ulaznim dijelovima granica je T = 0 = konst.

Točno rješenje problema se može shvatiti poput rotacije početnog stožastog profila na gramofonskoj ploči. Ukupno vrijeme integracije je izabrano tako da stožac opiše puni krug, tj. int 2t π ω= . Izabran je bezdimenzijski vremenski korak integracije Δt = 0.005, što osigurava da je Courantov broj Co u t x= Δ Δ manji od jedinice za sve kontrolne volumene. Za analizu su izabrana četiri karakteristična vremenska trenutka t = tint/4 (što osigurava kut zakreta stošca φ = π/2), t = tint/2 (φ = π), t = 3tint/4 (φ = 3π/2) i t = tint (φ = 2π).

U Tablici 5.5 su prikazane minimalne i maksimalne vrijednosti polja T u numeričkom rješenju, dobivene uz primjenu EDSI i EDS sheme diferencije, a također i rezultate Schiffermüllera dobivene uz primjenu uzvodne (Upwind/Hybrid), BQDS (Bounded QUICK Differencing Scheme), TVD-Minmod, SMART [9], LUDS (Linear Upwind Differencing Scheme), HLPA [45], QUICK [20], TVD-Superbee i CDS sheme (Central Differencing Scheme). Iz prikazanih podataka u ovoj tablici je vidljivo da su rezultati dobiveni uz primjenu EDSI sheme diferencije vrlo slični rezultatima dobivenim uz primjenu SMART sheme, pri čemu je tendencija k oscilirajućem rješenju manja nego kod većine shema prikazanih u tablici (osim EDS, uzvodne i TVD-Minmod sheme). U uvjetima samo konvekcijskog prijenosa se EDS shema svodi na uzvodnu shemu, te bi rezultati tih dviju shema morali biti isti, što dobrim dijelom potvrđuju i podaci u tablici.

Prosječna apsolutna pogreška u numeričkom rješenju definirana izrazom (5.1) u krajnjem vremenskom trenutku, odnosno nakon pune rotacije, iznosi εsr = 0.009 uz primjenu EDSI sheme diferencije, a 0.0368 uz primjenu EDS sheme. Pogreška je oko četiri puta manja za EDSI shemu.

Slike 5.38 i 5.39 prikazuju numerička rješenja dobivena uz primjenu EDSI, odnosno EDS sheme diferencije u četiri karakteristična vremenska trenutka. U numeričkom rješenju dobivenom uz primjenu EDSI sheme diferencije oblik stožastog profila je relativno dobro sačuvan, dok je u rješenju dobivenom EDS shemom diferencije stožasti profil degenerirao u zvonastu površinu.

Slike 5.40 i 5.41 prikazuju profil varijable T u ravnini koja prolazi središtem stošca i paralelna je vektoru brzine u tom središtu. Slika 5.40 prikazuje usporedbu numeričkih rezultata s egzaktnim rješenjem za kut φ = π, a Slika 5.41 istu usporedbu za kut φ = 2π. Osnovna zamjerka rješenju dobivenom uz primjenu EDSI sheme diferencije je njegova nesimetričnost.


91

Slike 5.42 i 5.43 daju profil polja T u ravninama koje prolaze središtem stošca za svaku shemu pojedinačno za četiri karakteristična vremenska trenutka. Iz Slike 5.42, koja vrijedi za EDSI shemu diferencije, je očito da se profil relativno sporo mijenja za razliku od profila prikazanog na Slici 5.43, koji se odnosi na EDS shemu diferencije.

Tablica 5.5 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju

Kut π/2 π 3π/2 2π

Shema Min Max Min Max Min Max Min Max

EDSI -9.33·10-7 0.8145 -1.48·10-6 0.7727 -1.74·10-6 0.7368 -1.93·10-6 0.7053

EDS 0.0 0.5654 0.0 0.4141 0.0 0.3245 0.0 0.2669

Upwind/ Hybrid 1.41·10-22 0.5691 1.13·10-11 0.4179 2.119·10-8 0.3288 8.144·10-7 0.2647

BQDS -0.002017 0.6847 -0.00159 0.5608 -0.00118 0.4849 -0.00059 0.4048

TVD-Minmod -3.68·10-31 0.7570 -2.77·10-20 0.6650 -1.01·10-15 0.6248 -1.9·10-13 0.5810

SMART -0.001732 0.8213 -0.0017 0.7784 -0.00184 0.7414 -0.00163 0.7188

LUDS -0.02574 0.8279 -0.0334 0.7698 -0.04259 0.7529 -0.04895 0.7198

HLPA -0.01881 0.8338 -0.02074 0.7998 -0.02450 0.7623 -0.02622 0.7373

QUICK -0.01195 0.8681 -0.01283 0.8257 -0.01481 0.8020 -0.01447 0.7739

TVD-Superbee -0.000138 0.8493 -0.00019 0.8213 -0.00024 0.8032 -0.00029 0.7874

CDS -0.03806 0.8745 -0.04685 0.8084 -0.04525 0.8100 -0.04451 0.7880

Slika 5.37 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


92

a) φ = π/2 b) φ = π

c) φ = 3π/2 d) φ = 2π

Slika 5.38 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDSI)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T-1

-0.50

0.51

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


93

a) φ = π/2 b) φ = π

c) φ = 3π/2 d) φ = 2π

Slika 5.39 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDS)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T-1

-0.50

0.51

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


94

Slika 5.40 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (φ = π)

Slika 5.41 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (φ = 2π)

-1 -0.5 0 0.5 1Y

0

0.25

0.5

0.75

1T

ExactEDSIEDS

-1-0.500.51Y

0

0.25

0.5

0.75

1T

ExactEDSIEDS


95

Slika 5.42 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (EDSI)

Slika 5.43 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa stožastog profila u rotacijskom gibanju (EDS)

Y, X0

0.25

0.5

0.75

1T

Exact90

180270360

Exact π/2 π

3π/2 2π

Y, X0

0.25

0.5

0.75

1TExact90

180270360

Exact π/2 π

3π/2 2π


96

5.2.1.4 Konvekcijski prijenos prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju

U ovom testu se rješava problem konvekcijskog prijenosa početnog prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju. Prizmatični profil ima jače izražen diskontinuitet profila na rubovima, što je nepovoljnije sa stajališta numeričkog rješavanja. Na Slici 5.44 je prikazan izgled i veličina područja proračuna, te početni profil polja T u obliku prizmatičnog profila visine 1, duljine stranice 0.8 i položaja središta x = -0.5, y = 0. Područje proračuna je veličine 2x2 sa ravnomjernom mrežom 50x50 kontrolnih volumena. Kao i u prethodnom testu, bezdimenzijsko polje brzine je definirano s u = -y i v = x. Po svim ulaznim dijelovima granica je T = 0 = konst.

Karakteristični vremenski trenuci odgovaraju kutovima rotacije prizmatičnog profila φ = π/2, π, 3π/2 i 2π. Bezdimenzijski vremenski korak integracije je isti kao u prethodnom testu Δt = 0.005 i osigurava da je Co < 1.

Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T dobivene numeričkim rješavanjem nestacionarnog problema uz primjenu poboljšane EDSI i standardne EDS sheme diferencije su prikazane u Tablici 5.6. Iz podataka prikazanih u ovoj tablici je vidljivo da su maksimalne i minimalne vrijednosti polja T dobivene uz primjenu EDS sheme diferencije unutar graničnih vrijednosti početnog profila, što se i očekuje s obzirom da je ova shema prvog reda točnosti. Uz primjenu EDSI sheme diferencije se pojavljuju nešto veće maksimalne vrijednosti i nešto manje minimalne vrijednosti od odgovarajućih graničnih vrijednosti početnog profila, ali je ova razlika vrlo mala.

Prosječna apsolutna pogreška u numeričkom rješenju (izraz (5.1)) u krajnjem vremenskom trenutku, odnosno nakon pune rotacije prizmatičnog profila je εsr = 0.0573 uz primjenu EDSI sheme diferencije, a 0.1296 uz primjenu EDS sheme. Kao i kod problema pri pravocrtnom gibanju strmog prizmatičnog profila, pogreška je uz primjenu EDSI sheme oko dva puta manja od pogreške uz primjenu EDS sheme.

Na Slici 5.45 su prikazana numerička rješenja u četiri odabrana karakteristična vremenska trenutka dobivena uz primjenu EDSI sheme diferencije, a na Slici 5.46 numerička rješenja dobivena uz primjenu EDS sheme. Uz primjenu EDSI sheme se zadržava približan prizmatični oblik profila i nakon pune rotacije, dok uz primjenu EDS sheme profil gubi oštre rubove već nakon četvrtine vremena integracije, a nakon polovice vremena integracije poprima približni oblik kružnog stošca kojemu se dalje smanjuje visina. Deformacija profila u sredini područja proračuna je uočljiva kod primjene EDSI sheme, a jako izražena kod primjene EDS sheme. Ova deformacija je posljedica činjenice da je u toj točki brzina jednaka nuli.

Usporedba profila varijable T (u ravnini koja prolazi središtem stošca i paralelna je vektoru brzine u tom središtu) dobivenih uz primjenu dviju shema je prikazana na Slici 5.47 za kut φ = π, a na Slici 5.48 za kut φ = 2π. Na ovim slikama se ponovno može uočiti nesimetričnost profila dobivenog uz primjenu EDSI sheme, ali i dominantnost EDSI sheme u pogledu zadržavanja početnog profila.

Promjena profila za svaku shemu pojedinačno prikazana je na Slikama 5.49 i 5.50. Na Slici 5.49 koja se odnosi na EDSI shemu diferencije je vidljiva spora promjena profila u smjeru strujanja i njegova nesimetričnost, dok se na Slici 5.50 uočava brzo deformiranje i smanjivanje visine profila pod utjecajem numeričke difuzije.


97

Tablica 5.6 Minimalne i maksimalne vrijednosti polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju

Kut π/2 π 3π/2 2

Shema Min Max Min Max Min Max Min Max

EDSI -1.38·10-6 1.000024 -1.59·10-6 1.000024 -2.1·10-6 1.000019 -2.89·10-6 0.9999

EDS 0.0 0.9999 0.0 0.9964 0.0 0.8546 0.0 0.7669

Slika 5.44 Područje proračuna i početno polje T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


98

a) φ = π/2 b) φ = π

c) φ = 3π/2 d) φ = 2π

Slika 5.45 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDSI)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T-1

-0.50

0.51

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


99

a) φ = π/2 b) φ = π

c) φ = 3π/2 d) φ = 2π

Slika 5.46 Numeričko rješenje za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju u četiri vremenska trenutka (EDS)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T-1

-0.50

0.51

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

-1-0.5

00.5

1

X-1

-0.5

0

0.5

1

Y


100

Slika 5.47 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (φ = π)

Slika 5.48 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (φ = 2π)

-1 -0.5 0 0.5 1Y

0

0.25

0.5

0.75

1T

ExactEDSIEDS

-1-0.500.51Y

0

0.25

0.5

0.75

1

T

ExactEDSIEDS


101

Slika 5.49 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (EDSI)

Slika 5.50 Profil polja T za problem konvekcijskog prijenosa prizmatičnog profila u rotacijskom gibanju (EDS)

-1 -0.5 0 0.5 1X, Y

0

0.25

0.5

0.75

1T

Exact90

180270360

Exact π/2 π

3π/2 2π

X, Y0

0.25

0.5

0.75

1

T

Exact90

180270360

Exact π/2 π

3π/2 2π


102

5.2.2 Nestacionarni difuzijski prijenos

Primjer nestacionarnog difuzijskog prijenosa je problem nestacionarnog provođenja topline u zidu konstantnih fizikalnih svojstava, pri čemu se početna temperatura razlikuje od konstantnih temperatura lijeve i desne strane zida. Ako se konstantna temperatura lijeve strane zida (x = 0 m) označi s T1, desne (x = L = 1 m) s T2, a početna jednolika temperatura zida s Ti, tada je analitičko rješenje za vremensku promjenu

bezdimenzijske temperature 1

i

i

T TT T

θ −=

− izraženo preko bezdimenzijske koordinate

X = x/L i Fourierovog broja Fo = at/L2 (bezdimenzijsko vrijeme) dano izrazom, prema [14]:

( ) ( ) ( ) ( )2

21 2

11 1

2 1, 1 1 1 sinn n Foi

ni i

T TT TX Fo X e n XT T n T T

πθ ππ

∞− ⋅

=

⎡ ⎤−−= − + − − − ⋅ ⋅⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∑ (5.10)

Problem je riješen numerički na ravnomjernoj mreži 25x5 kontrolnih volumena, uz T1 = 100 °C, T2 = 20 °C i Ti = 0 °C. Koeficijent temperaturne vodljivosti ima vrijednost a = λ/(ρc) = 0.03. Kriterij stabilnosti za eksplicitnu shemu vremenske diskretizacije je definiran sljedećim izrazom 2 0.5Fo a t xΔ = Δ Δ ≤ , pri čemu je Δt vremenski korak integracije, a Δx karakteristična dimenzija mreže. Problem je integriran s dva različita bezdimenzijska vremenska koraka integracije: ΔFo = 0.469 i ΔFo = 2.34.

Na Slici 5.51 je prikazana usporedba analitičkog i numeričkog profila temperature u četiri odabrana vremenska trenutka. Numerički se rezultati vrlo dobro podudaraju s analitičkim, čak i za veći bezdimenzijski vremenski korak integracije koji ne zadovoljava kriterij stabilnosti za eksplicitnu shemu.

Slika 5.51 Usporedba analitičkog i numeričkog rješenja (EDSI) za problem nestacionarnog difuzijskog prijenosa

θ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

Fo = 0.15

Fo = 0.1125

Fo = 0.075

Fo = 0.0375

- analitičko rješenje - ΔFo = 0.469 - ΔFo = 2.340

T2 = 20°C

T1 = 100°C

Ti = 0°C


103

5.3 PRIMJENA METODE NA RJEŠAVANJE TEMPERATURNE JEDNADŽBE

Provedeni testovi u stacionarnim i nestacionarnim uvjetima konvekcijskog i/ili difuzijskog prijenosa potvrđuju valjanost razvijene metode, odnosno računalnog programa. Predložena EDSI shema diferencije pokazuje se bitno točnijom u uvjetima dominantnog konvekcijskog prijenosa. U uvjetima samo difuzijskog prijenosa EDS shema difuzije je dovoljno točna gledano sa stajališta prakse. Budući da se u razvijenoj varijanti programa ne mogu određivati komponente polja brzine, ovako razvijeni program može se praktično primijeniti samo na rješavanje problema provođenja topline opisanih temperaturnom jednadžbom.

Kao primjer praktične primjene razvijene metode izračunat će se temperaturno polje u jednom strojnom dijelu, čiji je oblik dan na Slici 4.18. Pretpostavljeno je da je strojni dio grijan na površini E-F-G-H-I-J-K temperature T1 = 100 °C. Granice K-A, E-D i C-B su adijabatske, granica A-B je temperature T2 = 20 °C, granice C-D, L i M su temperature T3 = 80 °C, a granica N je temperature T4 = 60 °C. Koeficijent temperaturne vodljivosti 5 2/( ) 1.48 10 1/( )a c m sλ ρ −= = ⋅ , a karakteristična dimenzija A-K iznosi 60 mm.

Područje proračuna prikazano na Slici 4.18 je podijeljeno na 3287 kontrolnih volumena. Izoterme dobivene numeričkim rješavanjem uz primjenu EDSI sheme diferencije su prikazane na Slici 5.52.


104

Slika 5.52 Izoterme dobivene numeričkim rješavanjem (EDSI) problema provođenja topline u području proračuna prema Slici 4.18

27.532.537.542.547.5

52.557.5

62.567.572.577.582.587.5

92.5

82.5 82.5

87.5

87.5

T2

T2

T1

T2

T1 T4

T3

T3

T3

A

L

M

K J

I H

G

N

F

E B C D

Adijabatska granica

Adi

jaba

tska

gra

nica

T1

T1

T1

T2

T1

105

6 ZAKLJUČAK

1. Razvijena je metoda kontrolnih volumena za rješavanje opće konvekcijsko-difuzijske jednadžba na dvodimenzijskoj nestrukturiranoj mreži.

2. U metodi je primijenjena eksponencijalna shema diferencije (EDS), temeljena na jednodimenzijskom analitičkom rješenju opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe s nultim izvornim članom, te je predloženo njeno poboljšanje temeljeno na uključivanju izvornog člana u analitičko rješenje (EDSI).

3. Razvijen je odgovarajući generator nestrukturirane geometrijske mreže, koji zadovoljava sve bitne zahtjeve postavljene sa stajališta numeričkog postupka, a omogućava diskretizaciju dvodimenzijskog geometrijski složenog područja.

4. Razvijeni su odgovarajući paketi računalnih programa.

5. Metoda i program su testirani u standardnim situacijama stacionarnih i nestacionarnih konvekcijskih i/ili difuzijskih problema. Provedeni testovi su potvrdili valjanost metode i ispravnost računalnog programa, a posebno se mogu istaknuti sljedeći zaključci:

Predložena EDSI shema diferencije se pokazala puno točnijom od standardne EDS sheme pri rješavanju problema s dominantnim konvekcijskim prijenosom.

Primjena EDSI sheme diferencije i na testove s diskontinuiranim profilom nije rezultirala pojavom značajnih oscilacija u krajnjem rješenju.

U situacijama samo difuzijskog prijenosa EDS shema diferencije daje dovoljno točne rezultate.

Nedostatak EDSI sheme diferencije se ogleda u njenoj nelinearnosti i potrebi za iterativnim postupkom i pri rješavanju linearne opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe.

U nedostatke EDSI sheme diferencije spada i nesimetričnost profila traženog polja u smjeru strujanja, što je posljedica načina izračunavanja korekcijskog izvornog člana u shemi diferencije.

Superiornost EDSI sheme diferencije naročito dolazi do izražaja u situacijama s izvornim članom (kakve su bliže realnoj primjeni), a tada je broj iteracija u numeričkom postupku približno jednak za obje sheme.

Prema očekivanjima, potvrđena je veća točnost rezultata uz primjenu Cranck-Nicholsonove nego uz primjenu potpuno implicitne sheme.

Metoda se pokazala stabilnom i kod većih koraka vremenske integracije, ali je tada smanjena točnost numeričkog rješenja. Ovo je posebno izraženo u problemima s dominantnom konvekcijom.

6 Zaključak

106

U budućim istraživanjima bi trebalo:

1. Poboljšati izračunavanje korekcijskih protoka u EDSI shemi diferencije s ciljem dobivanja simetričnih rješenja.

2. Primijeniti razvijenu metodu na rješavanje problema strujanja, dakle problema opisanih sustavom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, od kojih je svaka oblika opće konvekcijsko-difuzijske jednadžbe.

3. Razviti generator geometrijske mreže za trodimenzijska područja.

107

LITERATURA

[1] G. A. Ashford: An Unstructured Grid Generation and Adaptive Solution Technique for High-Reynolds-Number Compressible Flows, Ph. D. Thesis, University of Michigan, 1996.

[2] C. J. Bathe: Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey, 1996.

[3] Y. Chen, R. A. Falconer: Advection-Diffusion Modelling Using the Modified QUICK Scheme, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 15, 1171-1196, 1992.

[4] J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.

[5] J. H. Ferzinger, M. Perić: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1996.

[6] C. A. J. Fletcher: Computational Techniques for Fluid Dynamics 1, Springer-Verlag, New York, 1988.

[7] C. A. J. Fletcher: Computational Techniques for Fluid Dynamics 2, Springer-Verlag, New York, 1988.

[8] R. H. Gallagher, O. C. Zienkiewicz, J. T. Oden, M. M. Cecchi, C. Taylor: Finite Elements in Fluids-Vol. 3, John Wiley and Sons, New York, 1978.

[9] P. H. Gaskell, A. K. C. Lau: Curvature-Compensated Convective Transport: SMART, a New Boundedness-Preserving Transport Algorithm, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 8, 617-641, 1988.

[10] W. J. Gordon, C. A. Hall: Construction of Curvilinear Co-ordinate Systems and Applications to Mesh Generation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 7, 461-477, 1973.

[11] A. Harten: High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, Journal of Computational Physics, Vol. 49., 357-393, 1983.

[12] C. Hirsch: Numerical Computation of Internal and External Flows, John Wiley and Sons, New York, 1988.

[13] G. S. Hufford, C. R. Mitchell: The Generation of Hybrid and Unstructured Grids Using Curve and Area Sources, 33rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA-95-0215, 1-13, Reno, January 9-12 1995.

[14] F. P. Incropera, D. P. DeWitt: Introduction to Heat Transfer, John Wiley and Sons, New York, 1996.

[15] H. Jasak: Improving the Accuracy of Numerical Solution Procedures in Computational Fluid Dynamics, Ph. D. Thesis, Department of Mechanical Engineering, Imperial College of Science, Technology and Medicine, 1995.

[16] H. Jasak, H. G. Weller, A. D. Gosman: High Resolution NVD Differencing Scheme for Arbitrarily Unstructured Meshes, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1999., Vol. 31, No. 2, 431-449, 1999.

Literatura

108

[17] R. B. Kinney, H. S. Mahdi: A New Finite-Volume Approach with Adaptive Upwind Convection, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1988., Vol. 26, 1325-1343, 1988.

[18] P. Knupp, S. Steinberg: Fundamentals of Grid Generation, CRC Press, Florida, 1994.

[19] C. B. Laney: Computational Gasdynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[20] B. P. Leonard: A Stable and Accurate Convection Modelling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 19, 59-98, 1979.

[21] B. P. Leonard: Simple High-Accuracy Resolution Program for Convective Modelling of Discontinuities, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1998., Vol. 8, 1291-1318, 1998.

[22] J. P. Maruszewski, R. S. Amano: Grid Generation and Its Application to Separated Flows, Numerical Heat Transfer, Part B, 1992., Vol. 21, 183-197, 1992.

[23] D. J. Mavriplis: Unstructured Grid Techniques, Annual Reviews Fluid Mechanics, 1997., 29, 473-514, 1997.

[24] D. J. Mavriplis: Unstructured Mesh Generation and Adaptivity, ICASE Report No. 95-26, NASA Langley Research Center, Hampton, 1995.

[25] D. J. Mavriplis: Multigrid Techniques for Unstructured Meshes, ICASE Report No. 95-27, NASA Langley Research Center, Hampton, 1995.

[26] C. R. Mitchell: Improved Reconstruction Schemes for the Navier Stokes Equations on Unstructured Meshes, 32nd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA-94-0642, 1-15, Reno, January 10-13 1994.

[27] S. V. Patankar: Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publishing Corporation, Washington-New York-London, 1980.

[28] M. K. Patel, N. C. Markatos, M Cross: A Critical Evaluation of Seven Discretization Scheme for Convection-Diffusion Equations, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1985., Vol. 5, 225-244, 1985.

[29] P. F. Peterson: A Method for Predicting and Minimizing Numerical Diffusion, Numerical Heat Transfer, 1992., Vol. 21, 343-366, 1992.

[30] C. Prakash: Application of the Locally Analytic Differencing Scheme to Some Test Problems for the Convection-Diffusion Equation, Numerical Heat Transfer, 1984., Vol. 7, 165-182, 1984.

[31] P. J. Roache: Computational Fluid Dynamics, Hermosa Publishers, Albuquerque, 1973.

[32] A. K. Runchal: CONDIF: A Modified Central-Difference Scheme with Unconditional Stability and Very Low Numerical Diffusion, Proceedings of the Eight International Heat Transfer Conference, Vol. 2, 403-408, San Francisco, 1986.

Literatura

109

[33] A. K. Runchal: Convergence and Accuracy of Three Finite Difference Schemes for a two-dimensional Conduction and Convection Problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1972., Vol. 4, 541-550, 1972.

[34] H. Schiffermüller: Higher Order Differencing Schemes and their Application to Multi-Dimensional Flow Problems, Ph. D. Thesis, Fakultät für Mathematik, Technische Universität Graz, 1993.

[35] D. B. Spalding: A Novel Finite-Difference Formulation for Differential Expressions Involving Both First and Second Derivatives, Int. J. Num. Methods Eng., Vol. 4, 551., 1972.

[36] C. R. Swaminathan, V. R. Voller: Streamline Upwind Scheme for Control-Volume Finite Elements, Part II. Implementation and Comparison with the SUPG Finite-Element Scheme, Numerical Heat Transfer, 1992., Part B, Vol. 22, 109-124, 1992.

[37] M. Šavar: Smanjenje numeričke difuzije pri proračunu nestacionarnog jednodimenzijskog strujanja fluida, Doktorska disertacija, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu, 1996.

[38] P. Tamamidis, D. N. Assanis: Evaluation of Various High-Order-Accuracy Schemes with and without Flux Limiters, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1993., Vol. 16, 931-948, 1993.

[39] Y. Y. Tsui: A Study of Upstream-Weighted High-Order Differencing for Approximation to Flow Convection, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1991., Vol. 13, 167-199, 1991.

[40] C. P. Tzanos: Central Difference-Like Approximation for the Solution of the Convection-Diffusion Equation, Numerical Heat Transfer, 1990., Part B, Vol. 17, 97-112, 1990.

[41] V. Venkatakrishnan: Perspective on Unstructured Grid Flow Solvers, AIAA Journal, 1996., Vol. 34, No. 3, 533-547, March 1996.

[42] Z. Virag: Automatizacija postupka numeričkog rješavanja ravninskog turbulentnog strujanja, Magistarski rad, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu, 1985.

[43] Z. Virag: Proračun strujanja fluida u složenim geometrijama metodom konačnih volumena, Doktorska disertacija, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu, 1991.

[44] Z. Virag, G. Trincas: An Improvement of the Exponential Differencing Scheme for Solving the Convection-Diffusion Equation, Advances in Engineering Software, 1994., 19, 1-19, 1994.

[45] J. Zhu: A Low-Diffusive and Oscillation-Free Convection Scheme, Communications in Applied Numerical Methods, Vol. 7, 225-232, 1991.

[46] J. Zhu: On the Higher-Order Bounded Discretization Schemes for Finite Volume Computations of Incompressible Flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 98, 345-360, 1992.

110

ŽIVOTOPIS

Prezime, ime: Džijan, Ivo

Datum rođenja: 6. travanj 1969.

Mjesto rođenja: Bok, BiH

Bračno stanje: Neoženjen

Osnovna škola: 1976. – 1984. Osnovna škola u Boku

Srednja škola: 1984. – 1988. Školski centar u Orašju

Strojarski tehničar

Vojni rok: 1988. – 1989.

Studij: 1989. – 1993. Sveučilište u Novom Sadu

Fakultet tehničkih znanosti

Studij strojarstva

Smjer: Mehanika i strojarske konstrukcije

1993. – 1996. Sveučilište u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Studij strojarstva

Smjer: Strojarske konstrukcije

Diplomirani inženjer strojarstva

Poslijediplomski studij: 1996. - Sveučilište u Zagrebu


Poslijediplomski studij

Smjer: Teorija konstrukcija

Namještenje: Listopad 1996. – Sveučilište u Zagrebu


Asistent na Katedri za mehaniku fluida

Znanje jezika: Engleski - Dobro

111

BIOGRAPHY

Family name, Forename: Džijan, Ivo

Date of birth: 6 April, 1969

Place of birth: Bok, BiH

Marital status: Single

Primary school: 1976. – 1984. Primary school in Bok

Secondary school: 1984. – 1988. Secondary school in Orašje

Technician in Mechanical Engineering

Military service: 1988. – 1989.

Study: 1989. – 1993. University of Novi Sad

Faculty of Technical Science

Study of Mechanical Engineering,

Mechanics and Machine Design

1993. – 1996. University of Zagreb

Faculty of Mechanical Engineering

and Naval Architecture

Study of Mechanical Engineering,

Machine Design

B. Sc. in Mechanical Engineering

Postgraduate study: 1996. - University of Zagreb



Postgraduate Study,

Theory of Design

Employment: October 1996. – University of Zagreb



Assistant at the Department of Fluid Mechanics

Foreign language: English - Good

Documents

RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA NA ...repozitorij.fsb.hr/155/1/07_07_2006_Ivo_Dzijan...SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE RAZVOJ METODE KONTROLNIH VOLUMENA