rdmtheo

RDM

Complments thoriquesBibliographie

Yves DEBARD

Institut Universitaire de Technologie du MansDpartement Gnie Mcanique et Productique

Yves DEBARD juin 2002

Institut Universitaire de TechnologieDpartement Gnie Mcanique et ProductiqueAvenue Olivier Messiaen72085 Le Mans Cedex 9

Tel 02 43 83 34 64Fax 02 43 83 31 49

E-mail : [email protected]

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogihttp://iut.univ-lemans.fr/gmp/cours/rdmyd

RDM

Complments thoriquesBibliographie

Sommaire :

Pages

1 Elasticit

25 Section droite

32 Calculs

43 Maillage dun domaine plan : triangulation de Delaunay

48 Bibliographie

Elasticit 1

Elasticit

Nous rappelons dans ce texte, les principaux rsultats de la thorie de l'lasticit. Le matriau esthomogne et isotrope. Son comportement est linaire et lastique. Les dplacements sont petits.

A - Contraintes autour dun point

I - Dfinitions

En chaque point M d'un solide, il existe des forces intrieures que l'on met en vidence en effectuantune coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B.

La partie A, par exemple, est en quilibre sous l'action des forces extrieures qui lui sont directementappliques et des forces intrieures rparties sur la coupure.

Considrons un point M de S. Soit dS un lment infinitsimal de la surface S, entourant M etrn le

vecteur unitaire, perpendiculaire en M S et dirig vers l'extrieur de la partie A.

Nous appellerons " facettern en M" cet lment de surface.

Soit dFrla force qui s'exerce sur cette facette. On appelle contrainte en M et dans la direction

rn , la

quantit :

r rr

( , ) limM n dFdSdS

=

0

On a :r r r r ( , ) ( , )M n M n = ( galit de l'action et de la raction ).

B

A

S

A

dS

n

dFS

2 RDM - Complments thoriques

Le vecteur contrainte peut tre dcompos en sa composante suivantrn et sa projection sur la facette :

r r r r( , )M n n= + .

On a donc = r r rn M n( , ) .

est la contrainte normale etr est le vecteur cisaillement.

est une valeur algbrique positive ( traction ) ou ngative ( compression ).

II - Etat de contrainte en un point

1 - Dfinitions

Les vecteurs unitaires ( z,y,xrrr) associs au repre orthonorm { O , x y z } dfinissent en un point

M du solide trois facettes perpendiculaires entre elles.

Les contraintes qui s'exercent sur chacune de ces faces sont dfinies par leurs composantes dans lerepre { O , x y z } :

facette xr: zyx)x,M( xzxyxx

rrrrr++=

facette yr: zyx)y,M( yzyyyx

rrrrr++=

facette zr: zyx)z,M( zzzyzx

rrrrr++=

Remarque : sur la facette xr, la contrainte normale est gale :

xx)x,M(x ==rrr

et le vecteur cisaillement est gal :

zy xzxyrrr

+= .

(M,n)

n

(M,x)

(M,y)

(M,z)

x

y

z

y

z

x

O

M

xx

xy

xz

x

(M,x)

Elasticit 3

2 - Contrainte sur une facette quelconque : tenseur des contraintes

Considrons la facettern en M. Soit a, b et c les cosinus directeurs de

rn .

La contrainte sur la facettern est gale :

n)M()z,M(c)y,M(b)x,M(a)n,M(rrrrrrrrr =++=

Sous forme matricielle :

]n[)]M([)]n,M([ = r

o [(M)], appel tenseur des contraintes en M, a pour expression :

)z,M(

)y,M(

)x,M(

)]M([

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

rr

rr

rr

=

3 - Rciprocit des contraintes tangentielles

On a les relations suivantes : yzzyzxxzyxxy ,, ===

4 - Etat de contrainte en un point

Dans un solide, la distribution des contraintes autour dun point M est entirement dfinie par ladonne du repre { M , x y z } et des six quantits : )( yzxzxyzzyyxx . Nous appellerons

cet ensemble tat de contrainte en M.

5 - Contrainte normale dans une direction quelconque

yzxzxyzz2

yy2

xx2T cb2ca2ba2cba]n[)]M([]n[)n,M(n +++++===

rrr

x y

n

z

(M,n)

M

xx

y

z

x xy

xz

yy

yx

yz

zz

zx

zy

Composantes du tenseur des contraintes


III - Faces et contraintes principales

Existe t-il en M une facettern telle que le vecteur contrainte soit

colinaire avecrn ? Dans ce cas, le vecteur cisaillement est nul sur cette

facette et le vecteur contrainter r( , )M n satisfait la relation :

nn)M()n,M(rrrr

==

soit sous forme matricielle : ]n[]n[)]M([ = .

est alors valeur propre du tenseur des contraintes etrn est le vecteur propre associ.

( M ) est une matrice symtrique coefficients rels. Elle a trois valeurs propres relles ( distinctesou confondues ). Si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres associs sontperpendiculaires entre eux.

Il existe donc en M un repre orthonorm { M , X Y Z } tel que sur les facettes X,Y et Z le vecteurcisaillement est nul.

Soit X , Y , Z les contraintes normales associes.

Remarque : les trois contraintes principales sont les solutions de lquation : 0)]I[)]M([(dt =o [I] est la matrice unit.

Dans le repre { M , X Y Z }, le tenseur des contraintes s'crit :

=

Z

Y

X

00

00

00

)]M([

Les facettes X , Y , Z sont appeles faces principales.

Les quantits X , Y et Z sont les contraintesprincipales.

Dans le repre principal { M , X Y Z }, le vecteur contrainte sur la facettern a pour expression :

=

=

Z

Y

X

Z

Y

X

c

b

a

)n,M(rr

o a, b et c sont les composantes dern .

De la formule prcdente et de la relation a2 + b2 + c2 = 1, on dduit :

12Z

2Z

2Y

2Y

2X

2X

=

+

+

.

Quandrn varie, l'extrmit du vecteur

r r( , )M n se dplace sur l'ellipsode d'axes ( X , Y , Z ) appelellipsode de Lam.

x y

n

z

(M,n)

?

x

y

zX

Y

Z

M

XY

Z

Elasticit 5

IV - Cercles de Mohr des contraintes

En M, prenons comme repre, les axes principaux X, Y et Z. Considrons la famille de facettespassant par la direction principale Z. Soit

rn ( a , b , 0 ), une de ces facettes. Sur cette facette, le vecteur

contrainte est gal :

0

b

a

Y

X

avec a2 + b2 = 1.

Le vecteur contrainter r( , )M n est donc situ dans le plan { M , X Y }.

Soitrt le vecteur unitaire, situ dans le plan { M , X Y } et faisant avec

rnun angle gal /2 .

Projetons le vecteur contrainte sur les axesrn et

rt :

r r r r( , )M n n t= +

Si nous appelons l'angle que fait direction rn avec la direction principale X, et s'crivent :

+=+=sincossincos

sincos

YX

2Y

2X soit

= +

=

d r

r

cos( )

sin( )

2

2

avec )(d YX21 += et )(r YX2

1 =

A chaque facettern , nous pouvons donc associer un point dans le repre ( , ) orthonorm. Lorsque

langle varie, ce point dcrit le cercle de rayon r et centre (0,d).

Remarque : si la facettern fait un angle avec la facette X, son

point reprsentatif sur le cercle de Mohr fait un angle -2 avec lepoint reprsentatif de la facette X.

Les trois directions principales nous permettent de construire troiscercles.

On montre que le point reprsentatif ( =r

, ) d'une facette

quelconque en M reste l'intrieur du domaine limit par les troiscercles.

X

t

n

Y

M

(M,n)

XY

r

(d,0)

facette n

-2 facette X

facette Y

XZ Y

Cercles de Mohr en M

,


V - Etats de contraintes particuliers

1 - Etat de contrainte uniaxial : traction ou compression simple

L'tat de contraintes en un point M est uniaxial si, dans le repre principal { M , X Y Z }, le tenseurdes contraintes se rduit :

=

000

000

00

)]M([

Cet tat de contraintes est appel tat de traction simple si est positif et tat de compression simplesi est ngatif.

2 - Etat de cisaillement simple

Soit en M un repre orthonorm { M , x y z }. L'tat de contraintes en M est un tat de cisaillementsimple par rapport aux deux directions x et y, si le tenseur des contraintes se rduit :

=000

00

00

)]M([

Dans le repre principal { M , X Y Z }, le tenseur des contraintes est gal :

=000

00

00

)]M([

3 - Etat de contrainte isotrope

L'tat de contraintes en un point M est isotrope si, quelque soit la facettern , on a

r r rT M n n( , ) = .

Les trois contraintes principales sont alors gales et le tenseur des contraintes en M a pourexpression ( quelque soit le repre ) :

=00

00

00

)]M([

Toute facettern est face principale. En M, les cercles de Mohr des

contraintes se rduisent un point.

x

y

x

y

-

-

-

Elasticit 7

4 - Etat de contrainte plan

En un point M, l'tat de contrainte est dit plan s'il existe un repre orthonorm { M , x y z } tel que letenseur des contraintes soit de la forme :

=000

0

0

)]M([ yyxy

xyxx

L'axe z est donc direction principale et la contrainteprincipale correspondante est nulle.

VI - Equations d'quilibre

1 - Forces de volume

Soit fr, de composantes ( fx , fy , fz ), la force par unit de volume applique au point M du solide. Les

quations d'quilibre en M s'crivent :

=+

+

+

=+

+

+

=+

+

+

2

2

zzzzyzx

2

2

yyzyyyx

2

2

xxzxyxx

t

wf

zyx

t

vf

zyx

t

uf

zyx

o u,v et w sont les composantes du vecteur dplacement du point M et la masse volumique dumatriau.

2 - Forces de surface

Considrons en M, une facette nrappartenant la frontire d'un solide. Soit a, b et c les cosinus

directeurs dern . Soit

rp de composantes ( px , py , pz ) la force par unit de surface, qui sexerce sur la

facette.

Les quations d'quilibre en M s'criventr r r( , )M n p= soit :

=

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

p

p

p

c

b

a

o ( ) xx yy zz xy xz yz est l'tat de contrainte en M.

XY Z


B - Dformations autour dun point

Sous l'action des forces extrieures, le solide se dforme. Il en rsulte pour tous les points du solide undplacement que nous supposerons petit.

I Vecteur dplacement

Soient { O , x y z } un repre orthonorm et M(x,y,z) un pointdu solide. Au cours de la mise en charge, le point M vient enM'.

On appelle vecteur dplacement du point M le vecteur 'MM .

Nous noterons ses composantes :

u x y z

v x y z

w x y z

( , , )

( , , )

( , , )

Soit N un point du solide voisin de M :

=

dz

dy

dx

MN . Au cours de la mise en charge N vient en N. Le

dplacement du point N est gal

+++

+++

+++

=

)dzz,dyy,dxx(v

)dzz,dyy,dxx(v

)dzz,dyy,dxx(u

'NN soit

MN]D['MM

dz

dy

dx

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

w

v

u

dzz

wdy

y

wdx

x

w

dzz

vdy

y

vdx

x

v

dzz

udy

y

udx

x

u

)z,y,x(v

)z,y,x(v

)z,y,x(u

'NN +=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

En dcomposant la matrice [D] en sa partie symtrique )]D[]D[(2

1]E[ T+= et sa partie

antisymtrique )]D[]D[(2

1][ T= , il vient:

MN]E[MN]['MM'NN ++= avec :

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

]E[ et

=0

0

0

][

xy

xz

yz

o lon a pos :

=

=

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

y

u

x

v

2

1

x

w

z

u

2

1

z

v

y

w

2

1

z

v

y

w

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

z

w

y

v

x

u

zyx

yzxzxyzzyyxx

x y

MM

z

ON N

Elasticit 9

Le dplacement du point N scrit finalement : MN]E[MN'MM'NN ++=r

Si [] et [E] sont nuls, le dplacement de N se rduit 'MM'NN = et tous les points situs auvoisinage de M subissent la mme translation.

Si 'MM et [E] sont nuls le dplacement de N se rduit : MN'NN =r

. Si de

plus =r

est petit (les drives du vecteur dplacement sont petites), tous les

points situs au voisinage de M subissent une rotation dintensit autour de laxe

)'MM(rot2

1=

rdont lorigine est situe en M.

La matrice [E] qui reprsente les dformations du solide en M est appele tenseurdes dformations.

Remarque : des relations ci-dessus, on dduit :

MN)]E[][]I[(MN)]D[]I[(MN]E[MN][MNMN]D[MN'N'M ++=+=++=+=

MN])E[]([MN]E[MN][MN]D[MN'N'MMN +=+===

II Etat de dformation en un point

1 - Allongement unitaire ou dilatation

Considrons deux points M et N du solide voisins l'un del'autre. Au cours de la mise en charge, le point M vient en M' etle point N en N'. Soit

rn le vecteur unitaire li la direction

MN .

On appelle allongement unitaire en M dans la directionrn , la

quantit :

MN

)MN(lim

MN

MN'N'Mlim)n,M(

MNMN

=

=

r

Soient a , b , c les composantes de nret l la longueur de la fibre MN do : ]n[l

c

b

a

lnlMN =

==

r.

Evaluons la quantit (MN2) : )n,M(l2ll2l)MN( 222 r===

Dautre part : ]n[]E[]n[l2MN.MNMN.MN)MN.MN()MN( T22 =+==

On obtient finalement :

yzxzxyzz2

yy2

xx2T cb2ca2ba2cba]n[]E[]n[)n,M( +++++==

r

Remarque : si xnrr

= , on obtient : xx)x,M( =r

. De mme : yy)y,M( =r

et zz)z,M( =r

. Les

quantits xx , yy et zz reprsentent donc respectivement lallongement unitaire en M dans lesdirections zety,x

rrr.

xy

M

My

ON

N

n

M

N

N


2 - Glissement ou dformation angulaire

Soient deux points N1 et N2 voisins de M et tels que les

directions 1MN et 2MN soient orthogonales. Soient 1nr

et 2nr

les vecteurs unitaires associs ces deux directions. Au coursde la mise en charge les points M, N1 et N2 viennentrespectivement en M', N1' et N2'. Soit l'angle que font entre

eux les deux vecteurs 1'MN et 2'MN .

On appelle glissement en M dans les directionsrn1 et

rn2 , la

quantit :

)2(lim)n,n,M(

NNNN

21

2

1

=

rr

Posons :

=

===

2

2

2

2

1

1

1

12211

c

b

a

n

c

b

a

nlMNlMNrr

.

On a donc :

==

==

2

2

2

2222

1

1

1

1111

c

b

a

lnlMN,

c

b

a

lnlMNrr

Soit langle que font entre eux les vecteurs 1MN et 2MN .

Evaluons la quantit )MN.MN( 21 :

)n,n,M(llsinllcos)ll()cosll()MN.MN( 212121212121rr=== car

2

= .

Dautre part : ]n[]E[]n[ll2MN.MNMN.MN)MN.MN( 2T

121212121 =+= .

On en dduit ]n[]E[]n[2)n,n,M( 2T

121 =rr

soit :

)]baba()baba()baba(ccbbaa[2)n,n,M( 3113xz2332yz1221xy21zz21yy21xx21 ++++++++=rr

Remarque : si xn1rr

= et yn 2rr

= , lexpression ci-dessus se rduit : xyxy 2)y,x,M( ==rr

. De

mme : xzxz 2)z,x,M( ==rr

et yzyz 2)z,y,M( ==rr

. Les quantits xy , xz et yz reprsententdonc respectivement le glissement en M dans les directions ( ) ( ) ( )z,yetz,x,y,x rrrrrr .

3 - Etat de dformation en un point

La distribution des dformations autour d'un point M est entirement dfinie par la donne des sixquantits : )( yzxzxyzzyyxx .

Nous appellerons cet ensemble tat de dformation en M.

xy

M

My

ON1

N1

n1

N2

N2

n2

Elasticit 11

III - Faces principales

En M, dans le repre principal { M , X Y Z }, on a : XY = 0 , XZ = 0 , ZY = 0 et le tenseur desdformations se rduit :

=

Z

Y

X

00

00

00

]E[

Les quantits X , Y et Z sont appeles dformations principales.

IV - Cercles de Mohr des dformations

En M, prenons comme repre, le repre principal { M , X Y Z }. Considrons la famille de facettespassant par la direction principale Z. Soit

rn ( a , b , 0 ), une facette appartenant cette famille et

rt le

vecteur unitaire, situ dans le plan { M , X Y } et faisant avecrn un angle gal /2.

A chaque facettern , nous pouvons associer deux quantits et dfinies par :

= ( , )M nr

et = ( , , )M n trr

.

Si nous appelons l'angle que fait direction rn avec la direction X, on a :

+=+=

sincos2sincos2

sincos

YX

2Y

2X soit

=+=)2sin(r2

)2cos(rdavec

=

+=

)(r

)(d

YX21

YX21

A chaque facettern , nous pouvons associer un point ( , /2 ) dans un repre orthonorm. Lorsque

varie, ce point dcrit le cercle de rayon r et centre ( 0 , d ).

Les trois directions principales nous permettent de construire trois cercles.

X

t

n

Y

M

/2

/2

XY

r

(d,0)

facette n

-2


C - Loi de comportement

I - Bases exprimentales

Considrons une barre de section droite constante et rectangulaire. L'axe X est la ligne moyenne de labarre. Soit O un point quelconque du solide. La barre, constitue d'un matriau homogne et isotropeest soumise suivant l'axe X un effort de traction uniformment rparti chaque extrmit.

Le repre orthonorm { O , X , Y , Z } est le repre principal en O.

Faisons crotre la force de traction partir de 0. L'exprience montre que :

1 - Loi de Hooke

On a : X = E X o E est le module d'lasticit longitudinal ( module d' Young ) du matriau.

La relation prcdente est vrifie si la contrainte XX ne dpasse pas une certaine valeur E appelelimite lastique en traction.

2 - Loi de Poisson

L'allongement de la barre suivant la direction x, s'accompagne d'une contraction suivant les directionsy et z :

Y = - X , Z = - X o est le coefficient de Poisson du matriau ( 0 < < 0.5 ).

II - Notations

L'tat de contrainte en un point sera reprsent par un vecteur six composantes [] dfini par :

][][ yzxzxyzzyyxxT =

L'tat de dformation en un point sera reprsent par un vecteur six composantes [] dfini par :

][][ yzxzxyzzyyxxT =

Z

Y

XX-X

Elasticit 13

III - Loi de comportement

Le vecteur contrainte [] et le vecteur dformation [] sont lis par la relation :

][][]D[][ TH+=

La matrice [D] des coefficients lastiques est gale :

+

++

=

00000

00000

00000

0002

0002

0002

]D[ avec

=

+

=

+

E

E( )( )

( )

1 1 2

2 1

o E et sont respectivement le module d'Young et le coefficient de Poisson du matriau.

et sont les coefficients de Lam.

Remarque : Le module de glissement G est gal .

[TH] reprsente les contraintes d'origine thermique et est gal :

=

0

0

0

1

1

1

21

)TT(E][ oTH

o est le coefficient de dilatation thermique et To la temprature de rfrence (temprature demontage).

IV - Dformation volumique

Soit V, un lment de volume infiniment petit entourant le point M. Au cours de la dformation Vaugmente de dV. On appelle dformation volumique la quantit :

)(E

)21(

V

dVzzyyxxzzyyxxV ++

=++==

D - Energie de dformation

Soit dV = dx dy dz un lment de volume, infiniment petit, entourant le point M. Au cours de la miseen charge l'nergie potentielle de dformation accumule dans cet lment de volume est gale :

dV][]D[][dV][][dW T21T

21 ==


E - Problmes particuliers dlasticit

I - Contraintes planes

Dfinition : Un solide est en tat de contraintes planes parrapport au plan { O , x y }, s'il existe un repre { O , x y z }, liau solide, tel qu'en tout point M du solide, le tenseur descontraintes soit de la forme :

=000

0

0

)]M([ yyyx

xyxx

o xx , yy et xy sont indpendants de z.

L'axe z est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principaleassocie est nulle. On en dduit:

)(E

0 yyxxzzyzxz +

===

L'tat de dformation est donc entirement dfini par les trois quantits : xx , yy et xy.

La loi de comportement scrit :

=

0

1

1

1

)TT(E

2/)1(00

01

01

1

E o

xy

yy

xx

2

xy

yy

xx

Les dformations et les contraintes ne dpendent que des dplacements u( x, y ) et v( x, y ) paralllesaux axes x et y.

Domaine d'application : L'approximation contraintes planes convient aux plaques minces sollicitesdans leur plan. Le plan { O, x y } est alors le plan moyen de la plaque.

II - Dformations planes

Dfinition : Un solide est en tat de dformations planes par rapport au plan { O , x y }, s'il existe unrepre { O x y z }, li au solide, tel qu'en tout point du solide, le champ de dplacement soit de laforme :

u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) , w = 0

On en dduit : )(000 yyxxzzyzxzzz +====

En tout point du solide, la direction z est donc direction principale. Les dformations et les contraintessont indpendantes de z.

y

z

x

Elasticit 15

Le tenseur des contraintes est alors de la forme :

=

zz

yyxy

xyxx

00

0

0

)]M([


+

+=

0

1

1

21

)TT(E

00

02

02o

xy

yy

xx

xy

yy

xx

Domaine d'application : L'tat de dformations planes se prsente lorsqu'on a affaire un cylindred'axe Oz trs long satisfaisant aux conditions suivantes :

- les bases du cylindre sont fixes.- les forces appliques au solide sont normales l'axe Oz et indpendantes de z.

III - Problme axisymtrique

Le solide considr est de rvolution. Il en va de mme du chargement et des conditions aux limites.Soit z l'axe de rvolution. Un point du solide est repr par ses coordonnes cylindriques ( r , , z ).La solution est axisymtrique. Chaque point du solide se dplace dans son plan mridien ( r , z ). Deplus le champ de dplacement est indpendant de la coordonne .

On a donc :

- dplacement radial : u = u ( r , z )- dplacement orthoradial : v = 0- dplacement axial : w = w ( r , z )

On en dduit les dformations :

0r

w

z

u

z

w

r

u

r

uzrrzzzrr ==

+

=

==

=

La direction est direction principale.

Le tenseur des contraintes est gal :

= zzrz

rzrr

0

00

0

)]M([

M

x

y

r

z

z

r

z



+

++

=

0

1

1

1

21

)TT(E

000

02

02

02

o

rz

zz

rr

rz

zz

rr

IV - Flexion des plaques

Dfinitions :

Une plaque est un corps solide limit par deux faces planesparallles et par une surface cylindrique perpendiculaire celles-ci.

L'paisseur e de la plaque est la distance entre les deux faces.

Le plan quidistant des deux faces est le plan mdiant ousurface moyenne.

Soit { O , x y z } un repre orthonorm tel que le plan { O , x y } soit le plan moyen. L'axe z estdonc normal au plan moyen.

Le plan situ z = e/2 est la peau suprieure de la plaque.Le plan situ z = -e/2 est la peau infrieure de la plaque.

Une fibre normale est l'ensemble des points du solide situs sur une normale au plan mdiant. Elleest caractrise par la donne de ses coordonnes ( x , y ).

Une plaque est dite mince si son paisseur est petite par rapport aux autres dimensions.

Hypothses :

La plaque est sollicite par des forces perpendiculaires au plan moyen et des couples de composantes(mx , my , 0).

La contrainte normale zz est ngligeable par rapport aux autres composantes du tenseur descontraintes.

Les phnomnes de membrane et de flexion sont dcoupls. Compte-tenu des conditions dechargement, les phnomnes de membrane sont nuls.

Au cours de la dformation, une fibre normale reste droite mais ne reste pas perpendiculaire au planmoyen.

y

z

x

Elasticit 17

Champ de dplacement :

Considrons une fibre normale ( x , y ). Soit Mo le point d'intersection de cette fibre avec le planmdiant et M(x,y,z) un point quelconque de cette fibre.

Le vecteur dplacement ( u , v , w ) en M est gal :

=

==

)y,x(w)z,y,x(w

)y,x(z)z,y,x(v

)y,x(z)z,y,x(u

x

y

o

- w est le dplacement du point Mo suivant z. w est la flche en Mo.- x est la rotation de la fibre normale suivant x.- y est la rotation de la fibre normale suivant y.

Le champ de dplacement dans le solide est donc dfini par la connaissance de ( w , x , y ) en toutpoint ( x , y ) du plan moyen.

De l'expression du champ de dplacement, on dduit les dformations :

+=

+=

=

=

=

y

w,

x

wyy

z

yz,

xz

xyzyxz

xyxy

xyy

yxx


=

yz

xz

xy

yy

xx

2

yz

xz

xy

yy

xx

2/)1(0000

02/)1(000

002/)1(00

0001

0001

1

E

Remarque : Avec les hypothses prcdentes, le cisaillement transverse est pris en compte. En effetles contraintes xz et yz sont diffrentes de zro.

w wx

y

y

z

x y

x

z

Mo


Si on nglige le cisaillement transverse ( hypothse de Kirchhoff ), on a les relations suivantes :

xw

,yw

yx

=

=

Les fibres normales restent alors perpendiculaires au plan moyen, au cours de la dformation.

Rsultantes et moments :

Considrons un lment de plaque infiniment petit, limit par un cylindre perpendiculaire au planmoyen, de section droite rectangulaire et dont les faces sont parallles x ou y.

La face AB est soumise :

- un moment de flexion ( a Mxx ).

- un moment de torsion ( a Mxy ).

- une force de cisaillement : ( a Qxz ).

La face CB est soumise :

- un moment de flexion ( b Myy ).

- un moment de torsion ( b Myx ).

- une force de cisaillement : ( b Qyz ).

avec :

===2/e

2/e

xyxy

2/e

2/e

yyyy

2/e

2/e

xxxx dzzMdzzMdzzM

===2/e

2/e

yzyz

2/e

2/e

xzxz

2/e

2/e

yxyx dzQdzQdzzM

On en dduit :

xx = z Mxx / I , yy = z Myy / I , xy = z Mxy / I avec I = e3 / 12.

x

y

z

QyzQxz

Mxx

Mxy Myy

Myx

a

b

Elasticit 19

F - Critres de limite lastique

Soit X , Y et Z les trois contraintes principales en un point M d'un solide. Nous supposerons que lalimite lastique en traction simple est gale la limite lastique en compression simple. Soit E cettelimite lastique .

Comment vrifier, dans un tat de contrainte complexe, que la limite lastique n'est pas dpasse ? Onadmet que la limite lastique est atteinte lorsqu'une certaine fonction f des contraintes principales estgale limite lastique du matriau en traction simple :

f (X , Y , Z ) = E.

Le domaine lastique en un point du solide est donc dfini par la relation :

f ( X , Y , Z ) < E.

Nous examinons dans ce chapitre plusieurs critres de limite lastique.

I - Critre de Rankine ou de la contrainte normale maximale

1 - Enonc :

La fonction f est gale : f (X , Y , Z ) = sup ( X , Y Z ).

2 - Validit :

Dans un tat de traction simple, le critre est satisfaisant. Dans un tatde cisaillement pur, le critre impose E = E o E est la limitelastique au cisaillement pur.

3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ) :

Le domaine lastique a la forme suivante dans le plan {X , Y } :

II - Critre de Tresca ou du cisaillement maximal

1 - Enonc :

On vrifie que le cisaillement maximal est plus petit que la moiti de la limite lastique en tractionsimple :

f (X , Y , Z ) = 2 max < E.

La quantit f est appele contrainte quivalente de Tresca .

X

Y

E

E

-E

-E


2 - Validit :

Ce critre est satisfaisant dans un tat de traction simple, mais ilimpose E = 2E dans un tat de cisaillement pur.

3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ):


III - Critre de Von Mises

1 - Enonc :

On vrifie ( X - Y )2 + ( X - Z )2 + ( Y - Z )2 < 2 E2 .

La quantit f = ])()()[(2

1 2ZY

2ZX

2YX ++ est appele contrainte quivalente de

Von Mises.

2 - Validit :

Ce critre est satisfaisant dans un tat de traction simple, et il impose E = 0.57 E dans un tat decisaillement pur.

3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ):


X

Y

E

E

-E

-E

X

Y

E

-E

E

-E

Elasticit 21

G - Dpouillement des rosettes

Une rosette est un ensemble de trois jauges colles en un point Mdun solide et faisant entre elles un angle gal . Langle est gal 45 , 60 ou 120.

Soitrz le vecteur unitaire normal la surface et dirig vers

l'extrieur du solide et { M, x y z } le repre orthonorm tel quelaxe x soit colinaire avec la jauge

r2 .

La directionrz est direction principale et la contrainte principale correspondante est nulle (en

labsence de pression extrieure) : en M l'tat de contrainte est plan. Le tenseur des contraintes et letenseur des dformations ont pour expression:

=000

0

0

)]M([ yyyx

xyxx

,

=

zz

yyyx

xyxx

00

0

0

)]M(E[

On mesure les allongements unitaires dans les trois directionsr1 ,

r2 et

r3 .

Posons : )3,M(,)2,M(,)1,M( 321rrr

=== .

Les trois mesures effectues vont nous permettre de calculer les composantes du tenseur descontraintes en M.

Posons : c = cos () et s = sin ().

Des relations :

++==

+=

cssc

cssc

xy2

yy2

xx3

xx2

xy2

yy2

xx1

on dduit les composantes du tenseur des dformations :

+

=

=

+=

=

)(1

cs2

s2

c2

yyxxzz

13xy

2

2231

yy

1xx

x

z y

12

3

x

y

1

2

3

-

X


puis les composantes du tenseur des contraintes :

+

=

+

=

+

=

xyxy

xxyy2yy

yyxx2xx

)1(2

E

)(1

E

)(1

E

o E et sont les caractristiques lastiques du matriau.

On en dduit les contraintes principales :

=

=

+=

0

rd

rd

Z

Y

X

avec2

d yyxx+

= et 2xy

2yyxx2

2r +

=

les dformations principales :

=+

=

=

=

zzYXZ

XYY

YXX

)(E

)(E

1

)(E

1

et la position angulaire de la direction principale X par rapport laxe x :

=

=

xy

yyxx

)2sin(r2

)2cos(r

Elasticit 23

Section droite

Considrons une section droite dune poutre.

Soit { Y et Z } le repre central principal. L'axe X est l'axe neutre de la poutre. Le point ( Y = 0 ,Z = 0 ) est le centre lastique de la section. On a les relations suivantes :

=== AAA 0dAZY)Z,Y(E0dAZ)Z,Y(E0dAY)Z,Y(E

o E(Y,Z) est le module d'Young du matriau.

Les caractristiques homognises de la section sont :

- la rigidit de membrane :

=>< A dA)Z,Y(EEA

- les rigidits principales de flexion :

=>< A2

ZA

2Y dAY)Z,Y(EEIdAZ)Z,Y(EEI

- la rigidit de cisaillement transversal :

=>< A dA)Z,Y(GGA

- la rigidit de torsion :

dAZYY

ZZ

Y)Z,Y(GGJ 22A

++

=><

Dans ces formule G(Y,Z) est le module de cisaillement du matriau et la fonction degauchissement de torsion.

Z

YC

y

z


La force lastique sur la section droite a pour expression :

[ ]ZYXZYX MMMTTN

L'nergie de dformation linique est gale :

>

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