1

Primjer 1

Analiziraju se ukupni troškovi proizvodnje metalnih odljevaka u poduzeću G&M u periodu od 11 kvartala. Podaci o proizvodnji u

tonama (nezavisna varijabla X) i ukupnim troškovima u tisućama kuna (zavisna varijabla Y) navedeni su u slijedećoj tabeli:

Konstruirajte dijagram rasipanja.

2

a) Pomoću podataka iz tabele izračunajte jednadžbu regresijskog

pravca koja opisuje vezu između ukupnih troškova i proizvodnje u promatranom periodu.

Proizvodnja Troškovi

ix iy 2

ix ii yx 2

iy

352 146 123904 51392 21316

373 153 139129 57069 23409

411 177 168921 72747 31329

441 191 194481 84231 36481

462 205 213444 94710 42025

490 208 240100 101920 43264

529 227 279841 120083 51529

577 238 332929 137326 56644

641 268 410881 171788 71824

692 274 478864 189608 75076

743 300 552049 222900 90000

5711 2387 3134543 1303774 542897

Rješenje:

Neocjenjeni model: Ocjenjeni model:

Zavisna varijabla: Nezavisna varijabla:

Procjenitelji parametara i procjene:

xy

xnx

yxnyx

n

i

i

n

i

ii

ˆˆ ,ˆ

1

22

1

1818181.519 1

n

x

x

n

ii

217 1

n

y

y

n

ii

3

46997.1918182.519380464.0217ˆ

380464.06156.169495

99566.64486 ˆ

ˆ ˆ

Model s procijenjenim parametrima:

y

xy

ˆ

ˆˆˆ

Interpretacija: Konstantni član iznosi 19.46997. To je procijenjena ili regresijska vrijednost ukupnih troškova ako je vrijednost proizvodnje jednaka nuli (x=0). Regresijski koeficijent iznosi 0.3805. To znači da će se za povećanje proizvodnje za 1 tonu procijenjena ili regresijska vrijednost ukupnih troškova povećati za 0.3805 tisuća kuna. Alternativno, s obzirom da očekivana vrijednost zavisne varijable leži na regresijskom pravcu, može se reći da će se za jedinično povećanje proizvodnje (za 1 tonu) ukupni troškovi u prosjeku povećati za 0.3805 tisuća kuna. SAS PRINTOUT1 Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| 95% Confidence Limits

Intercept 1 19.46997 8.45858 2.30 0.0469 0.33534 38.60460

Proizvodnja 1 0.38046 0.01585 24.01 <.0001 0.34462 0.41631 Regresijske vrijednosti i rezidualna odstupanja :

Residual

Predicted of

Obs Proizvodnja Troskovi Troskovi Troskovi

1 352 146 153.393 -7.39332

2 373 153 161.383 -8.38307

3 411 177 175.841 1.15930

4 441 191 187.255 3.74537

5 462 205 195.244 9.75563

1 DF=broj stupnjeva slobode; Parameter Estimates = procjene parametara; Standard Error =

standardna pogreška ; t Value= t-vrijednost; Pr > |t|= empirijska razina signifikantnosti (p-vrijednost); Standardized Estimate=standardizirana procjena; Intercept=konstantni član; 95% Confidence Limits = 95% granice intervala pouzdanosti. Obs. = opažanje: Predicted (ime varijable)= regresijske ili procijenjene vrijednosti; Residual = rezidualna odstupanja.

4

6 490 208 205.897 2.10263

7 529 227 220.735 6.26453

8 577 238 238.998 -0.99774

9 641 268 263.347 4.65256

10 692 274 282.751 -8.75111

11 743 300 302.155 -2.15478

.

383.161373380464.046997.19y 373 xˆˆˆ

393.153352380464.046997.19y 352 xˆˆˆ

2222

1111

itd

xy

xy

Rezidualna odstupanja:

itd

eyye

eyye

38304.838304.161153ˆ ˆˆ

39330.739330.153146ˆ ˆˆ

2222

1111

Analiza varijance2:

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 1 24535 24535 576.52 <.0001

Error 9 383.01339 42.55704

Corrected Total 10 24918

Root MSE 6.52358 R-Square 0.9846

Dependent Mean 217.00000 Adj R-Sq 0.9829

Coeff Var 3.00626

ST=SP+SR

2491821711542897)(22

1

22

1

ynyyySTn

ii

n

ii

2 Analysis of Variance = analiza varijance; Source = izvor (varijacija); Model= odstupanja

protumačena modelom; Error = neprotumačena odstupanja; Corrected Total= suma kvadrata ukupnih odstupanja; DF=broj stupnjeva slobode; Sum of Squares = sume kvadrata; Mean Square = sredina kvadrata; F Value = F-omjer; Pr > F = empirijska razina signifikantnosti (p-vrijednost); Root MSE= procijenjena standardna devijacija regresije; Dependent Mean= aritmetička sredina zavisne varijable; Coeff Var = koeficijent varijacije regresije; R-Square= koeficijent determinacije; Adj R-Sq =korigirani koeficijent determinacije;

5

88953.24534217111303774380464.0238746997.19

ˆˆ)ˆ(

2

2

11

2

1

ynyxyyySP i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

SR=ST-SP=

11047.3831303774380464.0238746997.19542897

ˆˆ

)ˆˆ()()ˆ(

111

2

2

11

2

1

22

1

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

yxyy

ynyxyynyyySR

Procjena varijance:

55704.42

2ˆ 2

n

SR

Procjena standardne devijacije:

52358.655704.422

ˆ

n

SR

Procjena koeficijenta varijacije:

00626.3100

100ˆˆ y

V

Koeficijent determinacije:

10 98463.0

)(

)ˆ(2

1

2

1

2

2

rST

SP

yy

yy

rn

ii

n

ii

Koeficijent determinacije je udio varijacija zavisne varijable

protumačenih modelom. Modelom je protumačeno 98.463% svih odstupanja.

Korigirani koeficijent determinacije:

9829.0)98463.01(9

101)1(

2

11

22

r

n

nr

Koeficijent linearne korelacije:

6

)ˆsign(sign(r) 0.99228 0.98463 1

2 rr

99228.0249186169495.615

664486.9956

,),(

1

22

1

22

1

n

ii

n

ii

n

iii

yx ynyxnx

yxnyx

ryxCov

r

Interpretacija:

Izračunajte intervalnu procjenu parametra . Pouzdanost

procjene je 0.95.

Rješenje:

Veličina uzorka: n=

Linearna regresijska jednadžba glasi:

(0.01585)

380464.046997.19y x

Procjena parametra jednim brojem: =

Koeficijent pouzdanosti:

262.2 92-11df 2-ndf 95.01 025.0025.02/ ttt

Standardna pogreška: 01585.06156.169495

5504.42ˆ

1

22

2

ˆ

n

i

i xnx

7

Intervalni procjenitelj:

1ˆˆˆ2/ˆ2/ ttP

95% interval procjene parametra glasi:

95.0)41631.034462.0(

95.0)01585.0262.2380464.001585.0262.2380464.0(

P

P

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| 95% Confidence Limits

Intercept 1 19.46997 8.45858 2.30 0.0469 0.33534 38.60460

Proizvodnja 1 0.38046 0.01585 24.01 <.0001 0.34462 0.41631

Interpretacija:

b) Je li varijabla proizvodnja signifikantna u regresijskom modelu?

Razina signifikantnosti 5%.

Rješenje:

Veličina uzorka:

Linearna regresijska jednadžba glasi:

(0.01585)

380464.046997.19y x

Procjena parametra jednim brojem:

Razina signifikantnosti i koeficijent signifikantnosti:

8

833.1 92-11df 2-ndf 05.0 05.005.0 ttt

Testovna veličina:

01.24 ˆ

ˆ

t

Test na gornju granicu:

0:

0:

1

0

H

H

Zaključak:

1)2( Hntt

Ili:

1 vrijednost-p H

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| 95% Confidence Limits

Intercept 1 19.46997 8.45858 2.30 0.0469 0.33534 38.60460

Proizvodnja 1 0.38046 0.01585 24.01 <.0001 0.34462 0.41631

c) Polazeći od rezultata iz primjera 2 odgovorite na slijedeće pitanje:

Ako se proizvodnja poveća na 500 tona koliki se troškovi očekuju na osnovi procijenjenog modela?

Rješenje:

Pretpostavljena vrijednost varijable PROIZVODNJA :

9

Procjena jednim brojem od fy je:

500380464.046997.19ˆ fy fy =209.702

Koeficijent pouzdanosti:

262.2 92-11df 2-ndf 95.01 025.0025.02/ ttt

Standardna pogreška prognostičke vrijednosti:

n

ii

f

y

xx

xx

nf

1

2

2

ˆ

)(

)(11 =

820897.66156.169495

)18182.519500(

11

1152358.6

2

95% prognostički interval:

95.0)6,820897262.2702.209820897.6262.2702.209( fyP

95.0)13089.22527313.194( fyP

Interpretacija: