4/9/2012

1

1

Rekapitulacija jednodimenzionalnestatistike

Prof. dr Emina ResiPRIMJERI

Primjer 1

U sljedeoj tabeli prikazana jestatistika distribucija frekvencijaza neto platu u jednoj kompaniji:

Nacrtati poligon apsolutne rastuekumulante.

Izraunati i objasniti medijanu. Izraunati prosjenu neto platu. Izraunati i objasniti standardnu

devijaciju. Izraunati i objasniti koeficijent

varijacije.

Iznosnetoplate

Brojradnika

500-600 12

600-700 17

700-800 16

800-900 10

900-1000 5

ukupno 60

Rjeenje radna tabela

ix if ic i ic f 2i ic f iS 500-600 12 550 6600 3630000 12600-700 17 650 11050 7182500 29700-800 16 750 12000 9000000 45800-900 10 850 8500 7225000 55900-1000 5 950 4750 4512500 60

ukupno 60 42900 31550000

a) Poligon apsolutne rastuekumulante

0

10

20

30

40

50

60

70

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050

gornja granica intervala

rast

ua

apso

lutn

a ku

mul

anta

b) Medijana

30 452 eMN S 700 800 eM

1

130 292 700 100 706,25( ) 16

e

e e

e

M

e M MM

N SM L a f R

50% zaposlenih ima neto platu niu ilijednaku 706,25 KM, a 50% viu.

4/9/2012

2

c) Prosjena neto platad) Standardna devijacija

42900 71560

231550000 715 14608,360

i ic fXN

Prosjena neto plata iznosi 715 KM.

22 21

1

N

i ii

c f XN

120,86

Prosjeno linearno odstupanje od prosjene neto plateiznosi 120,86 KM.

e) Koeficijent varijacije

%,, 916100715

86120 100X

V

Relativno variranje oko prosjene neto plate iznosi16,9%.

Primjer 2

42 48 46 47 4947 40 45 43 4843 41 46 48 4244 46 45 47 40

Da bi se utvrdilo potrebno vrijeme izrade nekog tipa rjeenja uupravnom postupku izmjereno je utroeno vrijeme kod 20 rjeenja(izraeno u danima) i dobijeni podaci:

a) Formirati odgovarajuu distribuciju frekvencija (intervali amplitude2).

b) Izraunati prosjeno vrijeme utroeno za izradu nekog tipa rjeenja istandardnu devijaciju. Objasniti.

c) Izraunati i objasniti kvartile (prvi i trei).d) Ako je , ta moete zakljuiti o obliku date distribucije

frekvencija. Skicirati.3 4,992

a) Distribucija frekvencija

Utroenovrijeme za

izradu nekogtipa rjeenja -

ix

Broj rjeenja- if

40-42 342-44 444-46 346-48 648-50 4

20

Intervali irine 2.

Najnii podatak 40, najvii podatak 49.

b) Radna tabela

Utroenovrijeme za

izradu nekogtipa rjeenja -

ix

Broj rjeenja- if

ic i ic f 2i ic f iS

40-42 3 41 123 5043 342-44 4 43 172 7396 744-46 3 45 135 6075 1046-48 6 47 282 13254 1648-50 4 49 196 9604 20

20 908 41372

b) Prosjeno vrijeme utroeno zaizradu rjeenja i standardnadevijacija

i ic fXN

908 45,420

Prosjeno vrijeme utroeno za izradu nekogtipa rjeenja je 45,4 dana.

241372 45, 4 7, 4420

22 21

1

N

i ii

c f XN

2,73

Prosjeno linearno odstupanje od aritmetike sredine je2,73 dana.

4/9/2012

3

c) Kvartil prvi

15 7

4 QN S 1 42 44 Q

1

1 1

1

1

1 15 34 42 2 43( ) 4

QQ Q

Q

N SQ L a f R

25% rjeenja uradi se za 43 dana ili manje, a75% rjeenja za vie od 43 dana.

c) Kvartil trei

3

3 15 164 QN S 3 46 48 Q

3

3 3

3

1

3 1

315 104 46 2 47,67( ) 6

QQ Q

Q

N SQ L a f R

75% rjeenja uradi se za 47,67 dana ili manje,a 25% rjeenja za vie od 47,67 dana.

d) Mjera asimetrije

3 4,992 2,73

33 3 3

4,992 0, 242,73

negativna (lijeva) asimetrija

22,53

3,54

4,55

5,56

6,5

40 42 44 46 48 50

empirijskadistribucija

normalnadistribucija

Primjer 3U jednoj raunovodstvenoj slubikoristi se kopir-aparat. Pratili smobroj neuspjelih kopija na svakih 100kopiranih strana i za 50 takvihuzoraka od po 100 kopiranih stranadobili smo sljedeu distribucijufrekvencija:

a) Nacrtati histogram.b) Izraunati i objasniti modus.c) Izraunati prosjean broj neuspjelih

kopija na 100 strana.d) Izraunati i objasniti raspon

varijacije i standardnu devijaciju.e) Ako je i

analizirati oblik takve distribucijefrekvencija. Skicirati.

Broj neuspjelihkopija na 100

kopiranih strana

Broj uzoraka

0-2 182-4 204-6 66-8 48-10 2

3 536,37i ic X f 4 3819,46i ic X f

a) Histogram

02468101214161820

broj uzoraka

0-2 2-4 4-6 6-8 8-10

broj neuspjelih kopija

b) Modus

Intervali iste irine

max 20f 2 4 oM

11

1 1

20 182 2 2, 2520 18 (20 6)

o o

o o

o o o o

M Mo M M

M M M M

f fM L a f f f f

Najee se javlja 2,25 kao broj neuspjelih kopijana 100 strana.

4/9/2012

4

c) Radna tabela

ix if ic i ic f 2i ic f0-2 18 1 18 182-4 20 3 60 1804-6 6 5 30 1506-8 4 7 28 1968-10 2 9 18 162

154 706

c) Prosjean broj neuspjelihkopija na 100 strana

i ic fXN

154 3,0850

U prosjeku se na 100 kopiranih strana nae3,08 neuspjelih kopija.

d) Raspon varijacije i standardnadevijacija

max min RV x x 10 0 10 Raspon variranja izmeu najveeg i najmanjeg brojaneuspjelih kopija na 100 strana je 10 neuspjelih kopija.

2,15 2706 3,08 4,633650

22 21

1

N

i ii

c f XN

Prosjeno linearno odstupanje od aritmetikesredine je 2,15 neuspjelih strana.

e) Oblik distribucije

3 536,37i ic X f 4 3819,46i ic X f 2,15

33 3 3

10,73 1,08 02,15

33

i ic X fN

536,37 10,7350

desna asimetrija

izduen (uzak) raspored44 4 476,39 3,575 32,15

3819,46 76,3950

44 i ic X fN

e) Oblik distribucije, skica

246810121416182022

0 2 4 6 8 10

empirijskadistribucija

normalnadistribucija

Primjer 4

U 20 filijala jednog drutva za osiguranje posmatran jebroj obraenih teta u jednom danu. Podaci su kakoslijedi:

a) Iz zadate bruto serije podataka formirati distribucijufrekvencija. Zadatu seriju podataka grafiki predstaviti.

b) Izraunati prosjean broj obraenih teta u jednom danu.c) Odrediti i objasniti mod i medijanu.d) Izraunati i objasniti varijansu i standardnu devijaciju.

3 1 7 4 4 6 3 2 5 42 7 4 5 3 6 1 4 5 1

4/9/2012

5

a) Distribucija frekvencija

Prekidna serija, malibroj modaliteta neintervalnogrupisana statistikadistribucijafrekvencija

xi fi1 32 23 34 55 36 27 2

20

a) Grafikon

Grafikon stubaca

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7

broj teta

broj

dan

ab) Radna tabela

xi fi i ix f iS 2i ix f1 3 3 3 32 2 4 5 83 3 9 8 274 5 20 13 805 3 15 16 756 2 12 18 727 2 14 20 98

20 77 363

b) Prosjean broj obraenih tetau jednom danu

77 3,8520

i ix fXN

Prosjean broj obraenih teta u jednom danu je 3,85.

c) Mod i medijana

max 5f 4 oMBroj obraenih teta u jednom danu koji se najeejavlja je 4 tete.

10 132

N 4 eM (odgovarajue empirijsko 13 0,65)20iF

Za 65 % dana je broj obraenih teta u jednom danumanji ili jednak 4, a za 35% dana vei.

d) Varijansa i standardnadevijacija

22 2 i ix f X

N2363 3,85 3,3275

20

2 3,3275 1,82

Prosjeno linearno odstupanje od aritmetike sredineiznosi 1,82 tete u jednom danu.

4/9/2012

6

PITANJA

Populacija predstavlja:

1. Sve pojedince u dravi koja se analizira2. Sve koji su ukljueni u uzorak3. Sve objekte, pojedince ili elemente koji

posjeduju karakteristiku koja se prouava4. Sve objekte, pojedince ili elemente koji

su dostupni u toku istraivanja

Statistika je:

1. pojava koja se manifestuje na velikombroju objekata

2. karakteristika po kojoj se razlikujustatistike jedinice

3. pojava koja se manifestuje na vrlo malombroju objekata

4. nauka koja prouava masovne pojave

Podaci koje je neko drugi prikupio iobjavio a korisni su u naemistraivanju su:

1. Informacije2. Primarni podaci3. Sekundarni podaci

Ukoliko neka osoba prikuplja podatke obroju automobila koji prou kroz raskrsnicuu odreenom vremenskom periodu, kojumetodu prikupljanja podataka koristi?

1. Posmatranje2. Intervju3. Indirektnu metodu sakupljanja podataka iz

sekundarnih izvora

Modalitet jedne statistike varijable je:

1. Neki parametar iz populacije2. Funkcija koja svakoj statistikoj jedinici

pridruuje jednu vrijednost3. Vrijednost koju moe uzeti statistika

varijabla

4/9/2012

7

Kada radimo sa kvantitativnommjernom skalom i nula ne znaiodsustvo pojave, rije je o:

1. Nominalnoj skali2. Ordinalnoj skali3. Intervalnoj skali4. Metrikoj skali

Ako u analizi neke pojave, podatkedobijamo prebrojavanjem,odgovarajua statistika varijabla je:

1. Kvalitativna ordinalna2. Kvantitativna diskretna3. Kvalitativna nominalna4. Kvantitativna kontinuirana

Mjerili smo teinu proizvoda za 30 proizvodajedne serije. U tom primjeru, teinaproizvoda predstavlja:

1. Kvalitativnu ordinalnu varijablu2. Kvantitativnu diskretnu varijablu3. Kvalitativnu nominalnu varijablu4. Kvantitativnu kontinuiranu varijablu

Broj ponavljanja (pojavljivanja) datogmodaliteta u seriji podataka je:

1. Apsolutna frekvencija2. Relativna frekvencija3. Procentualna frekvencija4. Kumulativna frekvencija

Zbir apsolutnih frekvencija u jednojempirijskog distribuciji frekvencijamora biti jednak:

1. n2. N3. 04. 1

Formula za izraunavanje rastueapsolutne kumulativne frekvencije glasi:

11 .

i

i jj

S f

12 .

n

i jj i

S f

13 .

i

i jj

S p

4/9/2012

8

Statistika distribucija frekvencija je:

1. Serija podataka koji su ureeni po veliini2. Forma sreivanja podataka tako da svakom

modalitetu ili intervalu odgovara njegovaapsolutna frekvencija

3. Serija sa orginalnim bruto nesreenimpodacima

Imamo informaciju da 76% studenata I godinePoslovne kole ima 21 godinu ili manje. Nabazi kojeg tipa frekvencije smo dobili takvuinformaciju?

1. Relativna frekvencija2. Rastua relativna kumulativna frekvencija3. Rastua apsolutna kumulativna frekvencija

ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli zaizraunavanje aritmetike sredine za intervalnogrupisanu distribuciju frekvencija

1. pi2. fi3. Fi

1

1 ni

icX

N

Ako svaki podatak u nizu uveamo za istukonstantu, aritmetika sredina novog nizapodataka je jednaka:

1. Zbiru konstante i aritmetike sredine poetnogniza podataka

2. Aritmetikoj sredini poetnog niza podataka3. Proizvodu konstante i aritmetike sredine

poetnog niza podataka

Ako imamo seriju podataka takvu da je svakipodatak jednak konstanti c, aritmetikasredina takvog niza je jednaka:

1. 12. 03. c4. N

Za izraunavanje aritmetike sredinekoristimo sve podatke u statistikojseriji.

1. Da2. Ne3. Ponekad

4/9/2012

9

Geometrijska sredina je jednaka:

1. Koliniku izmeu zbira svih podataka i brojapodataka.

2. Recipronoj vrijednosti aritmetike sredinerecipronih vrijednosti podataka.

3. N-tom korijenu iz proizvoda svih podataka.4. Podatku sa najveom apsolutnom ili relativnom

frekvencijom.

Medijana se odreuje na bazi:

1. Rastue kumulativne frekvencije2. Opadajue kumulativne frekvencije3. Apsolutne frekvencije

ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli zaizraunavanje medijane

1. N/42. N/23. 3N/4

11

e

e e

e

Me M M

M

SM L l f

Modalni podatak se ita na bazi:

1. Najnie frekvencije2. Najvie frekvencije3. Frekvencije u sredini distribucije

frekvencija

Formula za izraunavanje moda za intervalnogrupisanu distribuciju frekvencija glasi:

1

121 .

o

o o

o

M

o M MM

N SM L l f

11 1 13 . o oo o o o o oM M

o M MM M M M

f fM L l f f f f

11 12. o oo o o o oM M

o MM M M M

f fM l f f f f

Mod se grafiki odreuje na:

1. histogramu2. strukturnom krugu3. poligonu rastue kumulante

4/9/2012

10

Disperzija (varijabilitet) mjeri:

1. Asimetriju podataka2. Zaobljenost podataka3. Odstupanja podataka od prosjeka

ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli zaizraunavanje standardne devijacije

1. fi2. xj

21

1 ni i

ix f

N

3 . X

Varijansa je jednaka:

1. Sumi kvadrata odstupanja podataka iz nizaod aritmetike sredine

2. Aritmetikoj sredini kvadrata odstupanjapodataka iz niza od aritmetike sredine

3. Aritmetikoj sredini odstupanja podataka izniza od aritmetike sredine

4. Sumi odstupanja podataka iz niza odaritmetike sredine

Aritmetika sredina niza standardiziranihvrijednosti analizirane varijable (i=1,...,N)jednaka je:

1. 02. 13. Aritmetikoj sredini orginalnog niza za

analiziranu varijablu

ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli zaizraunavanje standardizirane z vrijednosti

1. Mo

3. Me

ii

xz

2. X

Studenti su radili ispit iz Statistike. Za tristudenta A, B i C standardizirane vrijednostiocjene bile su: .Od njih trojice koji ima najbolju pozicijumeu rezultatima ispita:

1. Student A2. Student B3. Student C

0, 5, 1, 4 i 0, 4A B Cz z z

4/9/2012

11

Ako je , distribucija frekvencija je:

1. Lijevo asimetrina2. Simetrina3. Desno asimetrina

3 0Formula za izraunavanje koeficijenta

asimetrije glasi:

33 33 .

2. 100VX

44 41.

ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli zaizraunavanje koeficijenta zaobljenosti

43. 22.

1. 4

4

34.

U sluaju lijevo asimetrine distribucijefrekvencija, znak koeficijentaasimetrije je:

1. Pozitivan2. Negativan3. Moe biti i pozitivan i negativan

HVALA NA PANJI