. Triángulos: clasificación

Propiedades básicas importantes En todo triangulo se verifica: 1.- la suma de los ángulos interiores es 180º 2.- la suma de los ángulos exteriores es 360º 3.-un Angulo exterior es siempre igual a la suma de los interiores no adyacentes. 4.-en un triangulo rectángulo la suma de los dos ángulos agudos es 90º. 5.-en un mismo triangulo a mayor lado se opone mayor Angulo. 6.-la suma de las medidas de dos lados es siempre mayor que el tercer lado. 7.- la diferencia de las medidas de dos lados es siempre menor que el tercer lado. Postulados de congruencia de triángulos (igualdad) Dos o más triángulos son congruentes ssi: 1.- tienen sus tres lados respectivamente congruentes (L.L.L)

2.- dos lados y el Angulo comprendido congruente (L.A.L

3.- dos Angulo y el lado común congruente (A.L.A)

IMPORTANTE: LA RELACION DE CONGRUENCIA ES UNA RELACION DE EQUIVALENCIA, esto es porque es 1º reflexiva: todo triangulo es congruente con el mismo. 2º simétrica: si un triangulo es congruente con otro, este ultimo es congruente con el primero. 3ºtransitiva: si un triangulo es congruente con un segundo, y este es a la vez congruente con un tercero, entonces este ultimo es congruente con el primero. Aplicando la congruencia de triángulos se pueden establecer otras relaciones métricas en los triángulos y cuadriláteros. 1.-las alturas en un triangulo equilátero son congruentes. 2.- las alturas a los lados iguales en un triangulo isósceles son congruentes. 3.- la altura a la base en un triangulo isósceles divide al triangulo en dos triángulos rectángulos congruentes.

4.-las tres alturas de un triangulo equilátero divide a este en seis triángulos rectángulos congruentes. 5.-los ángulos agudos de los triángulos anteriormente mencionados están en la razón 2:1 6.-las diagonales de un cuadrado son congruentes.miden cada una el lado por raíz de dos. 7.- las diagonales de un rectángulo son congruentes. 8.-las diagonales de un cuadrado se dimidian perpendicularmente. 9.- las diagonales de un rectángulo solo se dimidian. 10.-las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. 11.-cada una de las diagonales de un rombo divide a la otra en dos trazos congruentes. Además se verifica: 12.-Teorema de la mediana.-todo trazo que une los puntos medios de dos lados en un triangulo es paralelo y equivale a la mitad del lado opuesto.

13.- si en el triangulo anterior se traza la altura al lado sobre el cual se ha trazado la mediana, entonces la altura se dimidia.

14.-las transversales de gravedad se cortan en la razón 2:1.

15.- EN TODO TRIANGULO SE VERIFICA: el área es igual a la base por la altura a la base.

A=2

*

2

*

2

* cba hchbha==

16.-Las simetrales se cortan o concurren a un mismo punto denominado circunscentro. Genera la circunferencia circunscrita. (El circunscentro puede ser un punto interior o exterior al triangulo) 17.- las tres bisectrices concurren o se cortan en un mismo punto denominado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo. (El incentro es siempre un punto interior al triangulo) 18.-las tres transversales de gravedad se cortan o concurren en un mismo punto siempre interior denominado baricentro. 19.-las rectas notables trazadas a la base de un triangulo isósceles son congruentes. 20, Las rectas notables trazadas sobre cada uno de los lados de un triangulo equilatero son todas congruentes. 21.-los puntos notables en el triangulo equilátero son todos coincidentes. 22.-en todo triangulo equilátero las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas (de centro común)

Relaciones métricas generales: Para cualquier tipo de triangulo. 1.- teorema general de Pitágoras: el cuadrado del lado opuesto a un Angulo agudo equivale a la suma de los otros dos lados menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

Si el Angulo es obtuso la proyección se suma: esto es,

2.- una de las alturas HC =

a

2))()(( cpbpapp −−− donde p=

2

cba ++

Y axial cada una de las otras alturas. 3.-el área esta dada por A= ))()(( cpbpapp −−− formula de Heron.- 4.- el radio de la circunferencia inscrita esta dada por:

Rp

Ai =

5.- el radio de la circunferencia circunscrita esta dada por:

RA

cbae *4

**

6.-Teorema de los senos:γβα sen

c

sen

b

sen

a ==

7.-teorema de los cosenos: a αcos2222 −+= cb 8.- el área también se puede calcular atendiendo a la formula trigonometrica:

A = αsencb **2

1 y las otras dos variaciones de la misma.

8.- por otro lado también se puede establecer que:

γβα sen

c

sen

b

sen

a == =2Re

Formulas particulares. Triangulo rectángulo: 9.- teorema particular de Pitágoras. A 222 cb +=

Teoremas de Euclides: h2 =p*q

a2 =c*q b2 =c*p

h=c

ba *

además en el triangulo rectángulo:

senα =c

a =cosβ

cosα =c

b =senβ

tagα =c

a =cotgβ

edemas :sen2 +cos2 =1

10.-teorema de la bisectriz interior (valida para cualquier tipo de triangulo).

n

a

m

b =

n

a

nnm

ba =++

n

a

c

ba =+

11.-Teorema de la bisectriz exterior:

p

a

pc

b =+

Circulo de Apolonio.

12.-Semejanza. Dos o mas triángulos son semejantes si se cumple que 1º.los ángulos son respectivamente iguales 2º los lados son respectivamente proporcionales.

''' c

c

b

b

a

a ==

13.-teorema general de Thales.

14.- caso particular.

15 en el caso particular de la figura que se indica la proporción correcta es:

16.- un caso especial son las diagonales de un trapecio

Elementos en el círculo.

Distancia entre centros.

Arco: porción de circunferencia: se mide en grados (medida angular) Se mide en unidades de longitud (Medida lineal). Ángulos. Central: mide lo mismo que el arco.

Inscrito .mide la mitad del arco subtendido

Interior. Mide el promedio de los arcos subtendidos por los lados y las prolongaciones del mismo

Exterior: mide la sem.-diferencia de los arcos subtendidos por las intersecciones de los lados del Angulo con la circunferencia-

División de trazos en la circunferencia; Cuerdas

Secantes.

Tangente (potencia de un punto a una circunferencia)

Espero que esto no se le olvide, memorícelo y discrimine correctamente cuando lo debe aplicar. En matemática no es recomendable aprender cosas de memoria, lo importante es deducir y aplicar, pero hay relaciones que por el uso frecuente se memorizan y ayudan mucho. ATTE. MONTOYA.-