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7/31/2019 relatorio_cientifico_fapesp
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
Relatrio Final referente ao Processo FAPESP 2009/01577-4
Anderson Ricardo Justo de Arajo
Orientador: Prof. Dr. Srgio Kurokawa
Ilha Solteira, 14 de outubro de 2010
REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO POR MEIO DEUMA CASCATA DE CIRCUITOS :
ANLISE DA PERFORMANCE DESTE MODELO POR MEIO DECOMPARAES COM O UNIVERSAL LINE MODEL
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NDICE
Apresentao I
1 Resumo do plano inicial II
2 Resumo das atividades que foram desenvolvidas entre
01/02/2010 e 31/08/2010 IV
3 Anlise dos progressos realizados e dos resultados parciais obtidos VI
4 Assinaturas VI
Anexos:
Anexo 1: Histrico escolar
Anexo 2: Comprovantes de participaes em congressos cientficos e em concursos de
papers
Anexo 3: Prmios recebidos
Anexo 4: Trabalhos aceitos e/ou submetidos
Anexo 5: Relatrio de pesquisa
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II
1 Resumo do plano inicial
O plano inicial tinha como principal objetivo fazer um estudo a respeito das
equaes diferenciais que modelam a linha de transmisso, solues das equaes
diferenciais para os casos clssicos de modo a conhecer os fenmenos de propagao das
ondas de tenso e de corrente, estudo dos parmetros da linha de transmisso e, em seguida,
desenvolver um algoritmo computacional que resolva as equaes diferencias no domnio
do tempo.
O projeto foi previsto para ser desenvolvido em 08 etapas, conforme mostrado em
seguida.
Etapa 1: Estudo das equaes diferencias da linha de transmisso.
Etapa 2: Estudo qualitativo dos fenmenos de propagao de ondas em linhas ideais,
tomando como base as solues das equaes de propagao.
Etapa 3: Clculo das correntes e tenses nos terminais da linha no domnio da freqncia.
Etapa 4: Estudos e implementao de um algoritmo que calcula numericamente a
transformada inversa de Laplace.
Etapa 5: Implementao do Universal Line Model.
Etapa 6: Representao da linha por meio de uma cascata de circuitos .
Etapa 7: Comparao dos modelos.
Etapa 8: Anlise de resultados e elaborao de relatrio.
As etapas mencionadas anteriormente foram ser desenvolvidas de acordo com o
cronograma mostrado na tabela 1.
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5/122
III
Tabela 1 - Cronograma de execuo do projeto.
Na tabela 1, as atividades 1-4 foram desenvolvidas e descritas no primeiro
relatrio parcial entregue em fevereiro de 2010. Neste relatrio parcial sero descritas as
atividades 5-8.
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IV
2 Resumo das atividades que foram desenvolvidas entre 01/02/2010 e
31/08/2010
Foram desenvolvidas as seguintes atividades.
Atividades desenvolvidas na etapa 5:
Utilizando o algoritmo e o programa computacional citado na 1a
etapa, o aluno
implementou o Universal Line Model (ULM)para obter as correntes e tenses na linha de
transmisso, simulando diversas condies para a mesma. Foi verificado que as respostas
obtidas com ULM estavam de acordo com a teoria, assim o modelo pode ser utilizado para
estudo de transitrios eletromagnticos em linhas de transmisso.
Atividades desenvolvidas na etapa 6:
Nesta etapa a linha de transmisso foi representada utilizando circuitos conectados
em cascata, sendo que o modelo utiliza o conceito de variveis de estado que descrevem ocomportamento das tenses e correntes na mesma. Foi elaborada uma regra de formao
para as matrizes de estado da linha, sendo possvel a montagem destas matrizes por
inspeo para a linha em aberto, com carga resistiva e em curto-circuito. Foram mostrados
o comportamento das correntes e tenses em uma linha de transmisso monofsica
energizada com tenso constante e a influncia da quantidade de circuitos conectados em
cascata que representam a mesma para diversas condies. Para as quantidades em torno de
50 a 100 circuitos conectados em cascata, foram obtidas respostas que apresentaram o
comportamento esperado para cada condio estabelicida no terminal B da linha, conforme
a teoria.
Atividades desenvolvidas na etapa 7:
Nesta etapa foram realizadas comparaes entre os modelos Universal Line Model e
cascata de circuitos para estudar o comportamento da corrente e da tenso numa linha de
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7/122
V
transmisso monofsica no processo de energizao. Foram obtidas as correntes e tenses
da linha para diversas condies no terminal B da mesma. Comparando o modelo Universal
Line Model com o modelo da cascata de circuitos , este representa adequadamente (se as
oscilaes forem desconsideradas) o comportamento de uma linha monofsica submetida
ao processo de energizao. Pode-se verificar que para quantidades em torndo de 50
circuitos conectados em cascatas para representar uma linha de 100 km, podemos
representar de maneira fiel o comportamento transitrio das correntes e tenses nas linhas
de transmisso. As oscilaes observadas decorrem do fato de representarmos um pequeno
segmento de linha, cujos parmetros so distribudos, por um circuito com elementos
discretos de circuitos. Assim o modelo da cascata de circuitos
pode ser utilizado paraestudar o transitrio eletromagntico de uma linha de transmisso monofsica submetida ao
processo de energizao.
Atividades desenvolvidas na etapa 8:
Os resultados foram analisados e documentados na forma de relatrio cientfico, de
modo tal a servir como referncia para a continuidade da pesquisa. Os resultados foram
divulgados congressos/reunies de iniciao cientfica.
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ANEXO 1
Histrico escolar
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ANEXO 2
comprovantes de participaes em congressos cientficos e em concursos de papers
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14/122
Relao dos eventos e trabalhos
1 Participao no Encontro de Pesquisadores em Sistemas de Potncia, SisPot, com o
trabalho Anlise da Propagao de ondas em Linhas de Transmisso utilizando a
Transforamada Inversa de Laplace realizado nos dias 29 a 31 de maro setembro de
2010, na Faculdade de Engenharia Eltrica e de Computao da Universidade Estadual
de Campinas, UNICAMP, Campinas, So Paulo.
2 Participao no XXII Congresso de Iniciao Cientfica de Ilha Solteira, trabalho
Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e
Conseqncia desta Aproximao realizado nos dias 15 e 16 de setembro de 2010, Ilha
Solteira, So Paulo.
3 Classificao para a 2a fase do Congresso de Iniciao Cientfica, com trabalho
Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e
Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em Marlia nos dias 13 a 15 de
novembro de 2010.
4 Classificao para o 18o Simpsio internacional de iniciao cientfica da USP
(SIICUSP 2010), com trabalho Representao de Linhas de Transmisso por meio de
Parmetros Discretos e Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em So
Paulo nos dias 16 a 19 de novembro de 2010.
5 Participao no Concurso de Papers IEEE 2010, com o trabalho Comparao entre
Mtodos Numricos para o Estudo de Transitrios Eletromagnticos em Linha de
Transmisso.
6 Classificao para o IEEE/PES T&D 2010 Latin Amrica, com trabalho
Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e
Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em So Paulo nos dias 8 a 10 de
novembro de 2010.
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17/122
IICUSP - Cadastro de Orientador.
Assunto: 18 SIICUSP - Cadastro de Orientador.
Data: Thu, 26 Aug 2010 14:02:00 -0300 (BRT)
Para: [email protected]
Prezado(a) Professor(a),
Sergio Kurokawa
O Sr(a). foi incluido como Orientador(a) no 18 SIICUSP - Simpsio Internacional deIniciao Cientfica da Universidade de So Paulo, no trabalho apresentado pelo
aluno(a)Anderson Ricardo, sob o ttulo Representao de Linhas de Transmisso por meio
de Parmetros Discretos e Consequncias desta Aprox.
Informamos a necessidade da validao por parte de Vossa Senhoria, da inscrio e do
trabalho apresentado at a data de 14 de setembro de 2010, para isso o senhor dever
entrar com o usurio e senha abaixo informado no site http://sistemas.usp.br/siicusp.
Usuario: 08509462801
Senha : bf2b4
Caso o Senhor(a) no concorde com os dados apresentados, antes da validao dever
solicitar ao seu aluno(a) a reviso, e aps alterao, o Senhor receber novo e-mail
para validao.
Informamos ainda que a no validao impedir a participao/apresentao do trabalho.
Salientamos que de responsabilidade o Aluno(a)/Orientador(a) os dados informados na
inscrio.
Maiores esclarecimentos:
e-mail: [email protected]
Tel (11) 3091-3198 ou 3091-2035
Fax (11) 3816-7831
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t of paper submission #979 for T&D 2010
Assunto: Result of paper submission #979 for T&D 2010
Data: Wed, 06 Oct 2010 16:12:50 -0300
Para: [email protected], [email protected],
Seu artigo foi aceito.
PID979
Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e Consequncias
desta Aproximao
Caro autor,
Temos a felicidade de informar que seu artigo foi aceito para apresentao no
IEEE/PES T&D 2010 - Latin America que acontecer entre 8 e 10 de Novembro de 2010 em
So Paulo.
O seu artigo foi revisado e seguem abaixo os comentrios dos revisores.
Mudanas no artigo podem ser feitas com base nos comentrios dos revisores e reenviadas
atravs do site de submisso http://www.t-dlamerica2010.pea.usp.br/ieee/openconf.php
at 06 de Outubro.
Gostaramos de lembrar que a inscrio est disponvel no site do congresso em:
http://www.ieee.org.br/t-dlamerica2010/form_registro.htm e que a publicao est
condicionadaa inscrio de pelo menos um autor no congresso.
Para maiores informaes sobre data, local e horrio da apresentao estaro
disponveis
no site oficial http://www.ieee.org.br/t-dlamerica2010/index2.html
Havendo qualquer problema, entre em contato conosco.
Atenciosamente,
Charmain
Jos Antonio Jardini.
Recomendo aprovao na forma como est.
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ANEXO 3
Prmios recebidos
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1 Meno honrosa recebida no XXII Congresso de Iniciao Cientfica de Ilha Solteira,
com trabalho Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros
Discretos e Conseqncia desta Aproximao realizado nos dias 15 e 16 de setembro
de 2010, Ilha Solteira, So Paulo.
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ANEXO 4
trabalhos aceitos e/ou submetidos
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1 Artigo aceito para publicao no informativo PET/CA/IEEE, com o ttulo
Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e
Conseqncia desta Aproximao que ser editado no ms de novembro de 2010.
2 Artigo a ser submetido para a revista eletrnica IEEE Amrica Latina, com o ttulo
Influncia do uso de Parmetros Discretos em Representao de Linhas de
Transmisso.
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ANEXO 5
Relatrio de pesquisa cientfica
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
Relatrio Final de Pesquisa
Processo FAPESP 09/01577-4
Anderson Ricardo Justo de Arajo
Orientador: Prof. Dr. Srgio Kurokawa
Ilha Solteira, 01 de outubro de 2010
REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO POR MEIO DE
UMA CASCATA DE CIRCUITOS : ANLISE DA PERFORMANCEDESTE MODELO POR MEIO DE COMPARAES COM O UNIVERSAL
LINE MODEL
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SUMRIO
Captulo 1 Transformada de Laplace1.1 Introduo 01
1.2 Definio da Transformada de Laplace 01
Captulo 2 Universal Line Model
2.1 Introduo 03
2.2 Equaes de correntes e tenses da linha no domnio da frequncia 03
2.3 Universal Line Model 06
2.3.1 Aplicao do ULM na energizao da linha em aberto 06
2.3.2 Aplicao do ULM na energizao da linha em curto-circuito 09
2.3.3 Energizao da Linha com uma Carga ZC 11
2.4- Concluso 14
2.5- Softwares desenvolvidos 14
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos3.1 Introduo 18
3.2 Representao de uma linha por meio de uma cascata de circuitos 18
3.3 Descrio da linha atravs de variveis de estado 20
3.4 Descrio das correntes e tenses por meio de variveis de estado 20
3.4.1Representao da linha em aberto 20
3.4.2 Representao da Linha em Curto-Circuito 26
3.4.3 Representao da Linha em Carga resistiva Ro 32
3.5 Concluses 37
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de
transmisso
4.1 Introduo 38
4.2 Resultados obtidos para linha representada por parmetros discretos. 38
4.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto. 39
4.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito 45
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27/122ii
4.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga
igual impedncia caracterstica da linha. 51
4.3 Concluses 57
4.4- Softwares desenvolvidos 57
Captulo 5 Anlise da perfomance do modelo e do universal line model.
5.1 Introduo 69
5.2 Resultados obtidos das comparaes entre modelos. 69
5.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto. 70
5.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito. 78
5.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga resistiva |ZC| 85
5.3 Concluses. 92
Concluses 93
Referncias Bibliogrficas
Assinaturas
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28/122
Captulo 1 Transformada de Laplace
1
1TRANSFORMADA DE LAPLACE.
1.1-Introduo.
Na anlise de circuitos eltricos, as correntes e tenses em seus elementos podem
ser descritos por meio de equaes diferenciais no domnio do tempo. A soluo destas
equaes diferenciais podem ser de difcil resoluo no domnio do tempo. Aplicando a
tcnica da transformada de Laplace, as equaes ntegro-diferenciais so convertidas em
um conjunto de equaes algbricas, ou seja, transporta-se a anlise do domnio do tempo
para o domnio da frequncia, onde esta nova equao pode ser resolvida. Aplicando a
tcnica da transforma inversa de Laplace a soluo desta equaces convertida para o
domnio do tempo.
1.2- Definio da Transformada de Laplace.
A transformada de Laplace de uma funo f(t) definida pela equao.
Onde s a frequncia complexa, escrita como sendo:
e assume que a f(t) possui a seguinte propriedade
importane notar que as condies iniciais dizem a respeito do funcionamento do
circuito antes do instante t=0, e portanto nossa anlise descrever a operao do circuito
para t0.Para que a exista a transformada de Laplace a funo f(t) deve satisfazer a
condio:
L dtetfsFtf ts
0
(1.1)
s = + j (1.2)
0)( tf , 0t (1.3)
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29/122
Captulo 1 Transformada de Laplace
2
A equao (1.4) deve ser obedecida para algum valor de .
Devido ao fator de convergncia tse , existe um nmero importante de funes que
tm a transformada de Laplace.Uma vez obtida a resposta no domnio da frequncia utliza-
se a transformada inversa de Laplace, definida por (1.5), para obter a resposta temporal da
equao diferencial.
Na equao (1.5) o termo L 1 [F(s)] corresponde tranformada inversa de Laplace
da funo F(s). O termo 1 real e deve obedecer seguinte condio:
Assim as equaes diferenciais no domnio do tempo podem ser resolvidas no
domnio da frequncia utilizando a transformada de Laplace ,cuja as solues so mais
simples. Em seguida, a transformada inversa de Laplace aplicada nas equaes de modoa obter as solues no domnio do tempo.
dttfe
t
0
(1.4)
L 1 dsesFj
tfsFts
j
j
1
1
2
1
(1.5)
1 (1.6)
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Captulo 2 Universal Line Model
3
2UNIVERSAL LINE MODEL
2.1 Introduo.Uma linha de transmisso caracterizada pelo fato de seus parmetros serem
distribudos ao longo de seu comprimento. Este fato faz com que as tenses e correntes ao
longo da linha comportem-se como ondas e estas so descritas por equaes diferenciais.De
modo geral, as equaes diferenciais mencionadas so de difcil soluo no domnio do
tempo, devido presena de integrais de convoluo, mas no domnio da frequncia estas
equaes se tornam mais simples e suas solues so conhecidas.
A soluo no domnio da freqncia genrica e pode ser aplicada para qualquer
condio da linha, considerando os parmetros fixos e/ou variveis em funo dafreqncia. Quanto soluo no domnio do tempo, a mesma depende de integrais de
convoluo cujas solues no so facilmente obtidas. Uma alternativa consiste em
transformar as equaes de correntes e tenses temporais em equaes algbricas utilizando
a Transformada de Laplace, encontrar as solues das mesmas e em seguida, aplicando a
Transformada Inversa de Laplace, que pode ser implementada por mtodos numricos [11].
Quando a Transformada Inversa de Laplace aplicada nas equaes de correntes e tenses
de uma linha monofsica, escritas no domnio da frequncia, obtm-se um modelo de linha
denominado Universal Line Model (ULM).
2.2 Equaes de correntes e tenses da linha no domnio da frequncia.Nas equaes diferenciais da linha, considera-se que os parmetros da mesma so
constantes. No entanto, os parmetros longitudinais geralmente so variveis em funo da
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Captulo 2 Universal Line Model
4
freqncia, aumentando deste modo a dificuldade em se obter as solues das mesmas.
Considere uma linha de transmisso de comprimento d, conforme mostra a figura 2.1:
Figura 2.1: Linha de transmisso de comprimento d.
A linha mostrada na figura 2.1 possui uma impedncia e uma admitncia dada por:
LjRZ (2.1)
CjGY (2.2)
Onde R e L so os parmetros longitudinais, C e G so os parmetros transversais
da linha por unidade de comprimento. Na figura 01 IA() e IB() so as correntes nos
terminais A e B da linha, enquanto que VA() e VB() so as tenses nestes terminais. As
equaes das correntes no domnio da frequncia so dadas por:
Onde os termos YAA(), YAB(), YBA() e YBB () so calculados por :
))((cosh dYAA (2.5)
))(( dsenhZY CAB (2.6)
))((1
dsenhZ
YC
BA (2.7)
))((cosh dYBB (2.8)
BABBAAA IYVYV )( (2.3)
BBBBBAA IYVYI )( (2.4)
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Captulo 2 Universal Line Model
6
2.3 Universal Line Model.
As equaes (2.3) e (2.4) permitem calcular as correntes e tenses nos terminais da
linha no domnio da frequncia. Para obter estas correntes e tenses no domnio do tempo,
em [11] proposto a aplicao da transformada inversa de Laplace nestas equaes,
resultando em um modelo denominado Universal Line Model (ULM). Ento, aplicando a
transformada inversa de Laplace nas equaes (2.3) e (2.4) obtm-se:
O clculo das correntes e tenses, por meio das equaes (2.12) e (2.13), realizado
utilizando o algortmo proposto em [11].
2.3.1 Aplicao do ULM na energizao da linha em aberto.
A figura 2.2 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e o terminal B esteja em aberto.
Figura 2.2 - Energizao da linha com extremidade aberta.
Na figura 2.2, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de
valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor infinito
deEYdeEYILti tjj
jBAB
tjj
jAAAAA
.2
1)()(
2
11 (2.12)
deEYdeEYILti tj
j
jBBB
tj
j
jABABB
.2
1)()(211 (2.13)
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34/122
Captulo 2 Universal Line Model
7
(RCARGA infinita ), teremos que a corrente no terminal B (corrente IB) ser nula. Aplicando
esta condio nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis VB () e IA () obtemos:
As equaes (2.14) e (2.15) descrevem as correntes e tenses no domnio frequncia
para uma linha em aberto. Aplicando a Transformada Inversa de Laplace nas equaes
(2.14) e (2.15) obtemos:
As equaes (2.16) e (2.17) representam tenso no terminal B e a corrente no
terminal A no domnio do tempo para uma linha em aberto. Devido a dificuldade de
resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes hiperblicas e
integrais, sero utilizadas as equaes (2.14) e (2.15) que esto no domnio da frequncia.
Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11] e em seguida,
aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no domnio do
tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.14), temos que a tenso no terminal B da linha
de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.3:
))((cosh
)(d
VV A
B
(2.14)
AC
AVd
ZI ))((tanh
1)(
(2.15)
j
j
tjA
BBde
d
VVLtv
))((cosh2
1)]([)( 1
(2.16)
j
j
tj
A
C
AAdeVd
ZILti
))((tanh
1
2
1)]([)( 1
(2.17)
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Captulo 2 Universal Line Model
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
tempo (ms)
tenso
(kV)
Figura 2.3: Tenso no terminal B obtida pelo ULM.
Pode-se verificar que a tenso no terminal B da linha tem inicialmente seu valor
inicial duplicado e em seguida, devido a resitncia da linha de transmisso, decresce at
atingir o valor de 20kV em regime estacionrio. Na equao (2.15), temos que a corrente
no terminal A da linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.4:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
tempo (ms)
Corrente(A)
Figura 2.4: Corrente no terminal A obtida pelo ULM.
Pode-se verificar que a corrente no terminal A da linha tem o valor inicial de 66 A e
diminui at atingir o valor de 0 A em regime estacionrio, devido a resitncia da linha de
transmisso.
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Captulo 2 Universal Line Model
9
2.3.2 Aplicao do ULM na energizao da linha em curto-circuito.
A figura 2.5 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e o terminal B esteja em curto-circuito.
Figura 2.5 - Energizao da linha com extremidade em curto-circuito.
Na figura 2.5, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de
valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor nula
(RCARGA nula ), teremos que a tenso no terminal B (VB) ser nula. Aplicando esta
condio nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis IA () e IB () obtemos:
As equaes (2.18) e (2.19) descrevem as correntes nos terminais A e B no domnio
da frequncia para uma linha em curto-circuito. Aplicando a Transformada Inversa de
Laplace nas equaes (2.18) e (2.19) obtemos:
AC
AVd
ZI ))((coth
1)(
(2.18)
AC
BVdh
ZI ))((csc
1)(
(2.19)
j
j
tj
A
C
AAdeVd
ZILti
))((coth
1
2
1)]([)(
1
(2.20)
j
j
tj
A
C
BBdeVdh
ZILti
))((csc
1
2
1)]([)( 1
(2.21)
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Captulo 2 Universal Line Model
10
As equaes (2.20) e (2.21) representam as correntes nos terminais A e B
respectivamente da linha de transmisso em curto-circuito. Devido a dificuldade de
resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes hiperblicas e
integrais, sero utilizadas as equaes (2.18) e (2.19) que esto no domnio da frequncia.
Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11] e em seguida,
aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no domnio do
tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.18), temos que a corrente no terminal A da
linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.6:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
100
200
300
400
500
600
700
800
tempo (ms)
Corrente(A)
Figura 2.6: Corrente no terminal A obtida pelo ULM.
Pode-se verificar que a corrente no terminal A da linha tem inicialmente o valor de
66 A e em seguida cresce at atingir o valor de 4000 A no regime estacionrio. Na equao
(2.19), temos que a corrente no terminal B da linha de transmisso apresenta o
comportamento conforme a figura 2.7:
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Captulo 2 Universal Line Model
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
Corrente(A)
Figura 2.7: Corrente no terminal A obtida pelo ULM.
Na figura 2.7 a corrente no terminal B da linha tem o valor inicial de 0 A e em
seguida diminui at atingir o valor de regime estacionrio.
2.3.3 Energizao da Linha com uma Carga ZC.
A figura 2.8 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e no terminal B est conectada uma carga resistiva cujo o valor
corresponde ao mdulo da impedncia caracterstica da linha (|ZC |).
Figura 2.8: Energizao da linha com uma carga resistiva |ZC |.
.
Na figura 2.8, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de
valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0.05 /km, L= 1
mH/km, G=0.1nS/km e C= 11.11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
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Captulo 2 Universal Line Model
12
no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor igual ao mdulo da
impedncia caracterstica |ZC |.A tenso no terminal da carga pode ser determinada usando
a equao (2.22).
Aplicando a equao (2.22) nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis VB ()
e IB () obtemos:
As equaes (2.23) e (2.24) descrevem o comportamento da tenso e corrente no
terminal B da linha, quando conectada a carga resistiva equilavente ao mdulo da
impedncia caracterstica da linha. Aplicando a Transformada Inversa de Laplace nas
equaes (2.23) e (2.24) obtemos:
As equaes (2.25) e (2.26) representam a tenso e a corrente no terminal B da
linha de transmisso conectada a uma carga resistiva no domnio do tempo. Devido a
dificuldade de resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes
hiperblicas e integrais, sero utilizadas as equaes (2.23) e (2.24) que esto no domnio
da frequncia. Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11]
e em seguida, aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no
domnio do tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.23), temos que a corrente no
terminal A da linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.9:
)(B
V C
Z )(B
I (2.22)
)))((())(cosh((
)(dsenhd
VV A
B
(2.23)
)))((())(cosh((
1)(dsenhd
VZ
I A
C
B
(2.24)
j
j
tjA
BBde
dsenhd
VVLtv
)))((())(cosh((2
1)]([)( 1
(2.25)
j
j
tjA
C
BBde
dsenhd
V
ZILti
)))((())(cosh((
1
2
1)]([)( 1
(2.26)
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Captulo 2 Universal Line Model
13
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-5
0
5
10
15
20
25
30
tempo (ms)
Tenso(kV)
Figura 2.9: Tenso no terminal B para umacarga resistiva resistiva |ZC |.Pode-se verificar que a tenso no terminal B da linha mantm seu valor em 20 kV
em todo o comprimento da linha de transmisso. O tempo correspondente para a tenso
variar de 0 at 20 kV corresponde ao tempo de viagem da onda de tenso que percorre a
linha de transmisso com a velocidade aproximadamente a da luz.
Na equao (2.24), temos que a corrente no terminal A da linha de transmisso
apresenta o comportamento conforme a figura 2.10:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
tempo(ms)
corrente(A)
Figura 2.10: Corrente no terminal B para uma carga resistiva resistiva |ZC |.A corrente no terminal B da linha tem o valor inicial de 0 A e em seguida diminui
at atingir o valor de -66 A e este valor se mantm constante no regime estacionrio.
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Captulo 2 Universal Line Model
14
2.4- Concluso.As equaes diferenciais das correntes e tenses que modelam uma linha de
transmisso geralmente so de difceis solues devido a presena de integrais de
convoluo. Uma alternativa consiste em aplicar a transformada de Laplace nas mesmas e
obter equaes algbricas no domnio da freqncia, encontrar as solues e em seguida
converte-las no domnio do tempo utilizando a Transforma inversa de Laplace que pode ser
implementada utilizando mtodos numricos de resoluo. Utilizando o modelo ULM
pode-se verificar que o mesmo implementa as equaes no domnio da freqncia e
utilizando o algoritmo proposto obtm-se as respostas temporais das correntes e tenses na
linha conforme o esperado. Assim este modelo valido no estudo de transitrios
eletromagnticos e ser utilizado para comparao de resultados obtidos por outros
modelos de linhas de transmisso.
2.5 Softwares desenvolvidos para resoluo das equaes das correntes e tenses em
uma linha monofsica.
Todos os softwares utilizados nas simulaes foram desenvolvidos na plataforma
MATLAB
. Em seguida so mostrados os softwares desenvolvidos.
2.5.1-Software utilizado no item 2.3.1 (clculo da tenso e corrente no terminal B da
linha em aberto).
A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes e tenses
na linha de transmisso considerando o terminal B da linha em aberto.
T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;c=log(N^2)/T;t=dt*[0:N-1];m=[1:2:2*N];
s=c+i*m*dw;n=[0:N-1];Cn=(N*2*dw/pi)*exp(c*dt+i*pi/N).^n;
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Captulo 2 Universal Line Model
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%%%%% parmetros de linha
r =7;%resistencia (ohm/km)%r=0.05l = 1e-3;%indutancia (henry/km)g = 0.1e-9;%condutancia (siems/km)cap =11.11*1e-9; %capacitancia (faraday/km)
z = (r*s./s) + (s*l);y = (g*s./s) + (s*cap);gama = sqrt(z.*y);d=100;% comprimento da linha em km
zc = sqrt(z./y); %Impedancia caracteristica;
%funtion in the s-dominiantau=0;va = 20000./s;
%%%%%circuito aberto em b
%Tenso no terminal B da linha em aberto eb=va./(cosh(gama*d));%Corrente no terminal A da linha em aberto
Ibc=va.*(1./zc).*tanh(gama*d);
Fs= va./(cosh(gama*d));
%choose a window function
sigma =0.42+0.5*cos(0.5*pi*m/N)+0.08*cos(pi*m/N);%Blackman
%function in the time domain through NLT
Fs=Fs.*sigma;ftd=ifft(Fs);ftd=(Cn.*ftd);
x=find(t>=tau);rotina_vetor_degrau;
Np=floor(N*0.95);fclose('all');plot(t(1:Np)*1000,1*real(ftd(1:Np)))
2.5.2-Software utilizado no item 2.3.2 (clculo das correntes nos terminais A e B da
linha em curto-circuito).
A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes nos
terminais A e B da linha de transmisso considerando o terminal B em curto-circuito.
T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;c=log(N^2)/T;t=dt*[0:N-1];
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Captulo 2 Universal Line Model
16
m=[1:2:2*N];
s=c+i*m*dw;n=[0:N-1];Cn=(N*2*dw/pi)*exp(c*dt+i*pi/N).^n;
%%%%% parmetros de linha
r =7;%resistencia (ohm/km)%r=0.05l = 1e-3;%indutancia (henry/km)g = 0.1e-9;%condutancia (siems/km)cap =11.11*1e-9; %capacitancia (faraday/km)
z = (r*s./s) + (s*l);y = (g*s./s) + (s*cap);gama = sqrt(z.*y);d=100;% comprimento da linha em km
zc = sqrt(z./y); %Impedancia caracteristica;
%funtion in the s-dominiantau=0;va = 20000./s;%%%%% curto-circuito em b%Corrente no terminal B da linha em curto
Ibc=-va.*(1./zc).*(csch(gama*10));%Corrente no terminal A da linha em curto
Iac=(va).*(1./zc).*(coth(gama*100));
Fs= (va).*(1./zc).*(coth(gama*100));
%choose a window function
sigma =0.42+0.5*cos(0.5*pi*m/N)+0.08*cos(pi*m/N);%Blackman
%function in the time domain through NLT
Fs=Fs.*sigma;ftd=ifft(Fs);ftd=(Cn.*ftd);
x=find(t>=tau);rotina_vetor_degrau;
Np=floor(N*0.95);fclose('all');plot(t(1:Np)*1000,1*real(ftd(1:Np)))
2.5.3-Software utilizado no item 2.3.3 (clculo das correntes nos terminais A e B da
linha em curto-circuito).A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo da tenso e a corrente
no terminal B da linha de transmisso conectada a uma carga resistiva equivalente ao
mdulo da impedncia caracterstica da mesma.
T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
18
3REPRESENTAODALINHADETRANSMISSO
UTILIZANDOPARMETROSDISCRETOS
3.1 Introduo.
A soluo das equaes diferenciais das correntes e tenses de uma linha de
transmisso so, de modo geral, de difcil obteno, devido a presena das integrais de
convoluo nas mesmas. Uma forma alternativa de estudar o comportamento destas
grandezas consiste em representar uma linha de transmisso por uma grande quantidade de
circuitos conectados em cascata. Esse modelo permite que sejam levadas em
considerao as perdas, o efeito da freqncia e o efeito corona [7]. Neste captulo, ser
mostrada a representao da linha por meio de uma cascata de circuitos , bem como as
tcnicas de obteno das correntes e tenses na linha de transmisso utilizando equaes de
estado. O modelo utiliza o conceito de variveis de estado, cujas matrizes de estado sero
obtidas a partir de uma cascata de circuitos . Ser feito um estudo visando descobrir uma
regra de formao para as matrizes de estado da linha, de modo que seja possvel montar
estas matrizes atravs de inspeo. A determinao das regras de montagem das matrizes
ser possibilita que o modelo possa ser implementado em qualquer linguagem de
programao computacional.
3.2 Representao de uma linha por meio de uma cascata de circuitos .Sabe-se que uma linha de transmisso de comprimento d pode ser representada, de
maneira aproximada e obedecendo a uma srie de restries, como sendo uma cascata de n
circuitos , conforme mostra a Figura 3.1.
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
19
Figura 3.1: Linha de transmisso representada por uma cascata de circuitos .
Na Figura 3.1, os parmetros R e L so, respectivamente, a resistncia e a indutncia
longitudinais de cada segmento de linha representado por um nico circuito . Os
parmetros G e C so, respectivamente, a condutncia e a capacitncia do segmento de
linha. Os parmetros R, L, G e C so escritos como sendo:
n
dRR '
(3.1)
n
dLL '
(3.2)
n
dGG '
(3.3)
n
dCC '
(3.4)
Nas equaes (3.1), (3.2), (3.3), e (3.4), os termos R', L',C'e G' so os parmetros da
linha, por unidade de comprimento. O modelo mostrado na Figura 3.1 no considera o
efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais da linha.
O modelo mostrado na Figuras 3.1 e fornecem as correntes e tenses da linha
diretamente no domnio do tempo, sem o uso de integrais de convoluo, e podem ser
facilmente implementado em programas do tipo EMTP. Devido ao fato de que programas
do tipo EMTP no so de fcil utilizao, diversos autores [NELMES,MAMIS] sugerem
descrever as correntes e tenses na cascata de circuitos por meio de variveis de estado.
As equaes de estado so, ento, transformadas em equaes de diferenas e podem ser
resolvidas utilizando qualquer linguagem computacional.
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
20
A representao da linha por meio de variveis de estado pode ser utilizada no
ensino de conceitos bsicos de propagao de ondas em linhas de transmisso, na anlise da
distribuio de correntes e tenses ao longo da linha e na simulao de transitrios
eletromagnticos em linhas de transmisso que tenham elementos no lineares.
3.3 Descrio da linha atravs de variveis de estado.
A linha mostrada na figura 3.1 pode ser representada utilizando variveis de
estado. Deste modo, as equaes de corrente e tenso ao longo da linha sero escritas sob a
forma:
Onde:
Na expresso (3.5) x um vetor constitudo das correntes nos elementos R e L de
cada circuito da cascata e das tenses nos elementos G e C. As matrizes A e B so as
matrizes de estado da linha e o vetor u(t) a tenso aplicada em um terminal da linha.
Em seguida, sero desenvolvidas as equaes de estado para a linha, considerando
diversas condies de carga da mesma.3.4 Descrio das correntes e tenses por meio de variveis de estado.
3.4.1Representao da linha em aberto.
Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em aberto,
representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . Para que seja possvel
encontrar uma regra de formao para as matrizes considerando uma quantidade genrica
de elementos , o desenvolvimento ser feito inicialmente para um circuito , depois para
2, 3,...n, at que seja possvel montar as matrizes atravs de inspeo.
uBxAx (3.5)
dt
dxx
(3.6)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
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A figura 3.2 mostra uma linha representada utilizando um nico circuito .
Figura 3.2 Linha de transmisso representada por 01 circuito .
Aplicando a lei das tenses nas malhas de Kirchhoff na figura 3.2 obtm-se:
Sendo que:
Substituindo as equaes (3.9) e (3.10) nas equaes (3.7) e (3.8) obtm-se:
Logo da equao (3.11) tem-se:
Utilizando a notao para a derivada:
0)( 11
1 v
dt
diLiRtu
dtiC
vb
21
(3.7)
(3.8)
abiii 1
2
1 Gvia
(3.9)
(3.10)
dtvG
iC
v )2
(2
111 (3.11)
111 2
vC
Gi
Cdt
dv
(3.12)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
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Aplicando esta notao nas equaes (3.11) e (3.12).
Das equaes (3.13) e (3.14) tem-se:
O sistema mostrado na equao (3.15) representa a linha mostrada na figura 3.2
utilizando variveis de estado. A figura 3.3 mostra uma linha representada por 02 circuitos
conectados em cascata.
Figura 3.3 Linha de transmisso representada por 02 circuitos conectados em cascata.
A partir da figura 3.3 obtm-se as seguintes equaes:
edt
dii
1
1
dt
dvv
11
uLvLiLRi
/1/1/ 111 (3.13)
uvCGiCv
0//2 111 (3.14)
uL
v
i
CGC
LLR
v
i
0
/1
//2
/1/
1
1
1
1
(3.15)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
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Utilizando a notao para a derivada:
Das equaes (3.20) at (3.23) obtm-se:
O sistema mostrado na equao (3.24) representa a linha mostrada na figura 3.3
atravs de variveis de estado. A figura 3.4 mostra uma linha representada atravs de 03
circuitos conectados em cascata.
011
1 vdt
diLiRu
(3.16)
dtvGiC
v )(1
111
(3.17)
022
21 vdt
diLiRv
(3.18)
dtvG
iC
v )2
(2 2
22
(3.19)
Para n = 1, 2 e dt
dii
n
n
e dt
dvv
n
n
tm-se:
uLvvLiiLRi /10/10/ 21211 (3.20)
uvvCGiCiCv
00//1/1 21211 (3.21)
uvLvLiLRii 0/1/1/0 21212 (3.22)
uvCGviCiv
0/0/20 21212 (3.23)
u
L
v
i
v
i
CGC
LLRL
CCGC
LLR
v
i
v
i
0
0
0
/1
//200
/1//10
0/1//1
00/1/
2
2
1
1
2
2
1
1
(3.24)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
24
Figura 3.4 Linha de transmisso representada utilizando 03 circuitos conectados em
cascata.
Da figura 3.4 obtm-se as seguintes equaes:
0111 vdt
diLiRu
(3.25)
dtvGiC
v )(1
111
(3.26)
022
21 vdt
diLiRv
(3.27)
dtvGiiC
v )(1
2322
(3.28)
033
32 vdt
diLiRv
(3.29)
dtvG
iC
v )2
(2 3
33
(3.30)
Para n = 1, 2, 3 e dt
dii
n
n
e dt
dvv
n
n
tm-se:
(3.31)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
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Das equaes (3.32) e (3.37) obtm-se:
O sistema mostrado na equao (3.38) representa a linha mostrada na figura 3.4
atravs de variveis de estado. Com base na representacao da linha utilizando 1, 2 e
3circuitos , pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio
de n circuitos conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d
representada por meio de n circuitos , as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritas
como sendo:
uLvvvLiiiLRi /100/100/ 3213211 (3.32)
uvvvCGiiCiCv
000/0/1/1 3213211 (3.33)
uvvLvLiiLRii 00/1/10/0 3213212 (3.34)
uvvCGviCiCiv
00/0/1/10 3213212
(3.35)
uvLvLviLRiii 0/1/10/00 3213213 (3.36)
uvCGvviCiiv
0/00/200 3213213
(3.37)
u
L
v
i
v
i
v
i
CGC
LLRL
CCGC
LLRL
CCGC
LLR
v
i
v
i
v
i
0
0
0
0
0
/1
//20000
/1//1000
0/1//100
00/1//10
000/1//1
0000/1/
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
(3.38)
CGC
LLRL
CCGC
LLR
A
//2
/1//1
/1//1
/1/
(3.39)
TL
L
0000
1
(3.40)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
26
Analogamente, podem-se escrever os vetores [x] e [
x ] como sendo:
As equaes de (3.39) e (3.40) mostram que, quando uma linha de transmisso em
aberto representada por meio de uma cascata de n circuitos , a matriz de estado [A] dessa
linha uma matriz tridiagonal de dimenso 2n. A matriz de estado [B] possui dimenso 2n
x 1. Verifica-se, tambm, que as matrizes [A] e [B] podem ser montadas por inspeo, pois
as mesmas obedecem a uma regra de formao. Em um circuito de n circuitos , a matriz A
quadrada e possui dimenso 2n. Os elementos da superdiagonal (elementos A (2n,2n+1))
alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os elementos na subdiagonal (elementos A (2n, 2n-1))
alternam entre (1/L) e (1/C). Os elementos da diagonal principal alternam entre (-R/L) e (-
G/C). O ltimo elemento da subdiagonal ser (2/C).
A matriz B possui uma nica coluna com 2n elementos onde o primeiro elemento
(1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-se a descrio sob a forma de variveis
de estado de uma linha de transmisso aberta.
3.4.2 Representao da Linha em Curto-Circuito.
Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em curto-
circuito, representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . A figura 3.5mostra uma linha em curto-circuito representada atravs de um nico circuito .
Tnntvtitvtitvtix )()()()()()( 2211
(3.41)
Tnntvtitvtitvtix )()()()()()( 2211
(3.42)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
27
Figura 3.5 Linha de transmisso em curto-circuito representada utilizando 01 circuito .
Sabendo-se que v1=0 devido ao curto-circuito, e a partir da figura 3.5, obtm-se:
Sendo, ib = ia= 0, ic =i1, e para dt
dii
11
tem-se:
Da equao (3.44) observa-se:
O sistema mostrado na equao (3.45) representa a linha mostrada na figura 3.5
utilizando variveis de estado. A figura 3.6 mostra uma linha em curto-circuito
representada atravs de 02 circuitos conectados em cascata.
Figura 3.6 Linha de transmisso em curto-circuito representada utilizando 02 circuitos
conectados em cascata.
0)( 11 dt
diLiRtu
(3.43)
uLiLRi /1/ 11 (3.44)
uLiLRi /1/ 11 (3.45)
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55/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
28
Sabendo-se que v2=0 devido ao curto-circuito, e a partir da figura 3.6 obtm-se as
seguintes equaes:
Para n = 1, 2 e dt
dii
n
n
e dt
dvv
11
tm-se:
Das equaes (3.49)-(3.51) obtm-se:
O sistema mostrado na equao (3.52) representa a linha mostrada na figura 3.6
usando de variveis de estado.
A figura 3.7 mostra uma linha em curto-circuito representada atravs de 03
circuitos conectados em cascata.
011
1 vdt
diLiRu
(3.46)
dtvGiC
v )(1
111
(3.47)
0221 dt
diLiRv
(3.48)
uvLiLRii 0/1/0 1212 (3.49)
uvLiLRii 0/1/0 1212 (3.50)
uvCGiCiCv
0//1/1 1211 (3.51)
u
L
i
v
i
LRL
CCGC
LLR
i
v
i
0
0
/1
//10
/1//1
0/1/
2
1
1
2
1
1
(3.52)
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56/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
29
Figura 3.7 Linha de transmisso em curto-circuito representada atravs de 03 circuitos
conectados em cascata.
Observa-se que v3=0 e a partir da figura 3.7 obtm-se as seguintes equaes:
Para dt
dii
n
n
e dt
dvv
k
k
,onde n = 1, 2, 3 e k=1, 2, tm-se:
011
1 vdt
diLiRu
(3.53)
dtvGiC
v )(1
111
(3.54)
022
21 vdt
diLiRv
(3.55)
dtvGiiC
v )(1
2322
(3.56)
0332 dt
diLiRv
(3.57)
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57/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
30
Das equaes (3.58) - (3.62) tem-se:
O sistema mostrado na equao (3.63) representa a linha mostrada na figura 3.7
utilizando variveis de estado. Pode-se notar que apenas o ultimo circuito conectado em
cascata modificado, logo a modificao na matriz A imediata para o caso de n circuitos
conectados em cascata.
A figura 3.8 mostra uma linha em curto-circuito representada utilizando n
circuitos conectados em cascata.
Figura 3.8 Linha em curto-circuito representada porn circuitos conectados em cascata.
uLvvLiiiLRi /10/100/ 213211 (3.58)
uvLvLiiLRii 0/1/10/0 213212 (3.59)
uvLviLRiii 0/10/00 213213 (3.60)
uvvCGiiCiCv
00/0/1/1 213211
(3.61)
uvCGviCiCiv
0/0/1/10 213212
(3.62)
u
L
i
v
i
v
i
LRL
CCGC
LLRL
CCGC
LLR
i
v
i
v
i
0
0
0
0
/1
//1000
/1//100
0/1//10
00/1//1
000/1/
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
(3.63)
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58/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
31
O sistema mostrado na equao (3.63) representa a linha mostrada na figura 3.7 utilizando
variveis de estado. Com base na representao da linha utilizando 1, 2 e 3 circuitos ,
pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio de n circuitos
conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d representada por meio
de n circuitos , as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritas como sendo:
Analogamente, podem-se escrever os vetores [x] e [
x ] como sendo:
As equaes de (3.64) e (3.65) mostram que, quando uma linha de transmisso em
em curto- cricuito representada por meio de uma cascata de n circuitos ,considerando
como variveis de estado as correntes no indutor e as tenses no capacitor , obtm-se n
equaes de corrente e (n-1) equaes de tenso, pois a tenso no ltimo capacitor ser
nula. Portanto, o sistemas ser descrito por (2n-1) variveis de estado e a matriz [A] ser de
dimenso (2n-1)x(2n-1) e a matriz [B] ser de dimenso de (2n-1)x1.Verifica-se, tambm,
que as matrizes [A] e [B] podem ser montadas por inspeo, pois as mesmas obedecem a
uma regra de formao. Em um circuito de n circuitos , a matriz A quadrada e os
elementos da superdiagonal (elementos A (2n, 2n+1)) alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os
elementos na subdiagonal (elementos A (2n, 2n-1)) alternam entre (1/L) e (1/C). Os
elementos da diagonal principal alternam entre (-R/L) e (-G/C). A matriz B possui uma
LRL
CCGC
CCGC
LLR
A
//1
/1//1
/1//1
/1/
(3.64)
TL
L
0000
1
(3.65)
Tnn
titvtvtitvtix )()()()()()( )()1(2211
(3.66)
Tnntitvtvtitvtix )()()()()()( )()1(2211
(3.67)
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59/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
32
nica coluna onde primeiro elemento (1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-
se a descrio sob a forma de variveis de estado de uma linha de transmisso em curto-
circuito.
3.4.3 Representao da Linha em Carga resistiva Ro.
Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em carga R,
representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . A figura 3.8 mostra uma
linha com carga R0 representada com um nico circuito .
Figura 3.8 Linha de transmisso em carga R representada com 01 circuito .
Da figura 3.8 obtm-se as seguintes equaes:
Sendo, Cabiiii
1 , 2
1 Gvia
e 0
1
R
viC
tem-se:
Logo da equao (3.70) obtm-se:
0)( 11
1 vdt
diLiRtu
(3.68)
dtiC
vb
21
(3.69)
dtR
vv
Gi
Cv )
2(
2
0
1111
(3.70)
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60/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
33
Paradt
dii
11
edt
dvv
11
tm-se:
Das equaes (3.72)- (3.73) tem-se:
O sistema mostrado na equao (3.74)representa a linha mostrada na figura 3.8
utilizando as variveis de estado.A figura 3.9 mostra uma linha com carga R0 representada
utilizando 02 circuitos conectados em cascata.
Figura 3.9 Linha de transmisso em carga R representada utilizando 02 circuitos
conectados em cascata.
A partir da figura 3.9 obtm-se as seguintes equaes:
1
0
01
1 22v
RC
RGi
Cdt
dv
(3.71)
uLvLiLRi /1/1/ 111
(3.72)
uvRC
RGiCv
02/2 10
011
(3.73)
uL
v
i
RCRGC
LLR
v
i
0
/1
/)2(/2
/1/
1
1
001
1
(3.74)
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61/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
34
Para n = 1, 2 tem-se quedt
dii
n
n
edt
dvv
n
n
, logo:
Das equaes (3.79)- (3.82), tem-se:
011
1 v
dt
diLiRu
(3.75)
dtvGiC
v )(1
111
(3.76)
022
21 vdt
diLiRv
(3.77)
dtR
vvGi
Cv )
2(
2
0
2222
(3.78)
uLvvLiiLRi /10/10/ 21211
(3.79)
uvvCGiCiCv
00//1/1 21211
(3.80)
uvLvLiLRii 0/1/1/0 21212
(3.81)
uvRC
RGviCiv
02
0/20 20
01212
(3.82)
u
L
v
i
v
i
RCRGC
LLRL
CCGC
LLR
v
i
v
i
0
0
0
/1
/)2(/200
/1//10
0/1//1
00/1/
2
2
1
1
002
2
1
1
(3.83)
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62/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
35
O sistema mostrado na equao (3.83) representa a linha mostrada na figura 3.9
utilizando variveis de estado.A figura 3.10 mostra uma linha com carga R0 representada
por 03 circuitos conectados em cascata.
Figura 3.10 Linha de transmisso em carga R0 representada atravs de 03 circuitos
conectados em cascata.
Por inspeo pode-se notar que apenas o elemento ),( nn da matriz G diferente,
em relao representao da linha em aberto, pois somente o ltimo circuito
modificado. Logo a representao atravs de variveis de estado fica:
O sistema mostrado na equao (3.84) representa a linha mostrada na figura 3.10
utilizando variveis de estado. Com base na representao da linha utilizando 1, 2 e 3
circuitos , pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio de
n circuitos conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d
representada por meio den
circuitos
, as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritascomo sendo:
u
L
v
i
v
i
v
i
RCRGC
LLRL
CCGC
LLRL
CCGC
LLR
v
i
v
i
v
i
0
0
0
0
0
/1
/)2(/20000
/1//10000/1//100
00/1//10
000/1//1
0000/1/
3
3
2
2
1
1
003
3
2
2
1
1
(3.84)
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Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
36
Analogamente, podem-se escrever os vetores [x] e [
x ] como sendo:
As equaes de (3.85) e (3.86) mostram que, quando uma linha de transmisso em
com uma carga resistiva conectada no terminal da mesma representada por meio de uma
cascata de n circuitos , considerando como variveis de estado as correntes no indutor e as
tenses no capacitor , obtm-se n equaes de corrente e n equaes de tenso. Portanto , o
sistemas ser descrito por 2n variveis de estado e a matriz [A] ser de dimenso 2n x 2n e
a matriz [B] ser de dimenso de 2n x 1.Verifica-se, tambm, que as matrizes [A] e [B]
podem ser montadas por inspeo, pois as mesmas obedecem a uma regra de formao. Em
um circuito de n circuitos , a matriz A quadrada e os elementos da superdiagonal
(elementos A (2n,2n+1)) alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os elementos na subdiagonal
(elementos A (2n, 2n-1)) alternam entre (1/L) e (1/C). Os elementos da diagonal principal
alternam entre (-R/L) e (-G/C) e o ltimo elemento da diagonal principal
00/)2( RCRG .O ltimo elemento da subdiagonal ser (2/C). A matriz B possui uma
nica coluna onde primeiro elemento (1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-
se a descrio sob a forma de variveis de estado de uma linha de transmisso em curto-
circuito.
00/)2(/2
/1//1
/1//1
/1/
RCRGC
LLRL
CCGC
LLR
A
(3.85)
TL
L
0000
1
(3.86)
Tnntvtitvtitvtix )()()()()()( 2211
(3.87)
Tnntvtitvtitvtix )()()()()()( 2211
(3.88)
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64/122
Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos
37
3.5 Concluses
Neste captulo foi mostrado o desenvolvimento de um modelo de linha de
transmisso desenvolvido diretamente no domnio do tempo. A representao da linha foi
feita utilizando circuitos conectados em cascata, sendo que o modelo utiliza o conceito de
variveis de estado. Foi elaborada uma regra de formao para as matrizes de estado da
linha, sendo possvel a montagem destas matrizes por inspeo para a linha em aberto, com
carga resistiva e em curto-circuito.
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65/122
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
38
4INFLUNCIA DO USO DE PARMETROS DISCRETOS EM
REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO
4.1 Introduo.
As solues das equaes diferenciais de uma linha de transmisso so, de modo
geral, de difcil obteno devido a manipulao matemtica necessria, quando se levam
em considerao as perdas da linha. Devido a esta caracteristica diversos modelos foram
propostos para a linha com perdas. Esses modelos no so representaes exatas da linha,
mas, sim, representaes aproximadas.
Um modelo bastante utilizado para uma linha de transmisso o que considera a
mesma como sendo constituda por uma grande quantidade de circuitos conectados em
cascata. Esse modelo permite que considerar as perdas, o efeito da freqncia e o efeito
corona. No captulo anterior, foram demonstradas as equaes de estados para as correntes
e tenses em uma linha de transmisso considerando a mesmo em aberto, curto-circuito e
com uma carga resistiva conectada ao seu terminal. Ser mostrada a influncia da
quantidade de circuitos conectados em cascata de modo a verificar o comportamento das
correntes e tenses na mesma. As equaes de estado so, ento, transformadas em
equaes de diferenas e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem
computacional.
4.2 Resultados obtidos para linha representada por parmetros discretos.
Para verificar a performance do modelo da cascata de circuitos , ser realizado um
estudo da influncia da quantidade de circuitos por unidade de comprimento em uma
linha de transmisso. Como ilustrao sero estudados os casos em que a linha est
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66/122
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
39
submetida ao processo de energizao por uma fonte de tenso constante e o termianal B da
mesma est em aberto, curto-circuito e com uma carga resistiva igual ao |Z C|
respectivamente.Como ilustrao, sero mostrados resultados da simulao da energizao
de uma linha monofsica de 100 km de comprimento, conforme mostra a figura 4.1.
Figura 4.1: Linha de transmissorepresentada por cascatas de circuitos .
Na figura 4.1, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de
valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km. A linha mostrada na figura 4.1 foi representada
por meio de uma cascata de circuitos , considerando diversas quantidades de elementos .
Foram obtidos resultados para a linha com o terminal B em aberto, curto circuito e com
uma carga resistiva, cujo mdulo equivalente a |ZC| conectada.
4.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto.
A figura 4.2 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e o terminal B esteja em aberto.
Figura 4.2 - Energizao da linha com extremidade aberta.
Na figura 4.2, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de
valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
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67/122
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
40
no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor infinito
(RCARGA infinita ), teremos que a corrente no terminal B (corrente IB) ser nula. Os valores
das correntes e tenses na linha sero obtidos para as quantidades de 5, 10, 50 e 100
circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.3 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
tenso(kV)
N5
Figura 4.3 - Tenso no terminal B da linha em aberto com 5 circuitos .
A figura 4.3 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso apresenta grande distoro, devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A tenso inicialmente tem o seu valor
duplicado e em seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.
A figura 4.3 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 10 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.4 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 40 kV e de 40kV para 0 V,
comparada em relao a figura 4.3. Na figura 4.4 a tenso inicialmente tem o seu valor
duplicado e em seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
41
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
tenso(kV)
N10
Figura 4.4 - Tenso no terminal B da linha em aberto com 10 circuitos .
A figura 4.5 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
tenso(kV)
N50
Figura 4.5 - Tenso no terminal B da linha em aberto com 50 circuitos .
A figura 4.5 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 40 kV e vice-versa, sendo
que as amplitudes menores a cada subintervalos, comparada com a figura 4.4. Na figura
4.5 pode-se visualisar de forma mais clara o comportamento da tenso no terminal B, sendo
7/31/2019 relatorio_cientifico_fapesp
69/122
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
42
que esta inicialmente tem o seu valor duplicado e em seguida dever descrescer at atingir
o valor de regime estacionrio.
A figura 4.6 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 100 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
tenso(kV)
N100
Figura 4.6 - Tenso no terminal B da linha em aberto com 100 circuitos .
A figura 4.6 representa de modo mais prximo o comportamento da tenso no
terminal B, sendo que esta inicialmente tem o seu valor duplicado e em seguida dever
descrescer at atingir o valor de regime estacionrio. Na figura 4.6 apresenta o mesmo
comportamento da que a figura 4.5, sendo para a quantidade em torno de 50 circuitos pi
pode representar com maior fidelidade o comportamento da tenso no terminal B da linha
em aberto.
A figura 4.7 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.7 mostra que a forma de onda da corrente no terminal A da linha de
transmisso apresenta grande distoro, devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A corrente possui inicialmenteo valor de
aproximadamente 66 A e em seguida dever descrescer at atingir o valor de regime
estacionrio.
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
43
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
tempo(ms)
corrente(A)
N5
Figura 4.7 Corrente no terminal A da linha em aberto com 5 circuitos .
A figura 4.8 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 10 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-150
-100
-50
0
50
100
tempo(ms)
corrente(A)
N10
Figura 4.8 Corrente no terminal A da linha em aberto com 10 circuitos .
A figura 4.8 mostra que a forma de onda da corrente no terminal A da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 66A e de 66A para 0 A,
comparada em relao a figura 4.7.Na figura 4.8 a corrente inicialmente tem o valor de 66
A e em seguida dever descrescer at atingir o valor de regime estacionrio.
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
44
A figura 4.9 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
tempo(ms)
corrente(A)
N50
Figura 4.9 Corrente no terminal A da linha em aberto com 50 circuitos .
A figura 4.9 mostra que a forma de onda da corrente no terminal A da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes com as amplitudes menores em cada intervalo,
comparada com a figura 4.8.Na figura 4.9 a corrente inicialmente tem o valor de 66 A e em
seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.A figura 4.10 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 100 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
tempo(ms)
corrente(A)
N100
Figura 4.10 Corrente no terminal A da linha em aberto com 100 circuitos .
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72/122
Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
45
A figura 4.10 mostra que a forma de onda corrente no terminal A da linha de
transmisso apresenta um comportamente anlogo a figura 4.9. Pode-se verificar mais
oscilaes nas transies nos degraus e os mesmos podem ser melhor visualizados
utilizando cerca de 100 de circuitos e a resposta do modelo representa de modo prximo
ao comportamento esperado.
4.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito.
A figura 4.11 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e o terminal B est em curto-circuito.
Figura 4.11 - Energizao da linha com terminal B em curto-circuito.
Na figura 4.11, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso devalor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
no terminal B da mesma existe um curto-circuito, ento a tenso no terminal B (tenso VB)
ser nula. Os valores das correntes nos terminais A e B da linha sero obtidos para as
quantidades de 5,10, 50 e 100 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.12 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.12 mostra que a forma de onda da corrente no terminal A da linha de
transmisso apresenta grande distoro, devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A corrente inicial aproximadamente de
66 A e em seguida dever aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tempo (ms)
corrente(A)
N5
Figura 4.12 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 5 circuitos .
A figura 4.13 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 10 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tempo (ms)
corrente(A)
N10
Figura 4.13 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 10 circuitos
.
A figura 4.13 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares presentes na figura.A
corrente inicial aproximadamente de 66 A e aumentar at atingir o valor de regime
estacionrio.
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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A figura 4.14 mostra o comportamento da corrrente no terminal A da linha para a
quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tempo(ms)
corrente(A)
N50
Figura 4.14 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 50 circuitos .
A figura 4.14 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem
ser melhor visualizados utilizando cerca de 50 de circuitos . As oscilaes apresentam
menores amplitudes, quanto comparada a figura 4.13. Verifica-se na figura 4.14 que cada
degrau de corrente tem a durao de aproximadamente 0.6 ms, sendo que este intervalo
representa o tempo necessrio para que a onda de corrente viaja at o terminal B e retorne
para o terminal A da linha. A corrente inicial aproximadamente de 66 A e aumentar at
atingir o valor de regime estacionrio.
A figura 4.15 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 100 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.15 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta um comportamente anlogo a figura 4.14. Pode-se verificar mais
oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem ser melhor visualizados
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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utilizando cerca de 100 de circuitos e a resposta do modelo representa de modo prximo
ao modelo considerado ideal.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tempo (ms)
corrente(A)
N100
Figura 4.15 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 100 circuitos .
A figura 4.16 mostra o comportamento da corrente no terminal B da linha para a
quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tempo(ms)
corrente(A)
N5
Figura 4.16 Corrente no terminal B da linha em curto-circuito com 5 circuitos .
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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A figura 4.16 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de
transmisso apresenta grande distoro, devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A corrente possui inicialmente o valor de
zero e em seguida dever aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.
A figura 4.17 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a
quantidade de 10 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tempo(ms)
corrente(A)
N10
Figura 4.17 Corrente no terminal B da linha em curto-circuito com 10 circuitos .
A figura 4.17 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares presentes na figura. A
corrente inicial zero A e aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.pode-se
verificar que o tempo de viagem da onda de corrente at o terminal B de
aproximadamente 0.3 ms.
A figura 4.18 mostra o comportamento da corrrente no terminal B da linha para a
quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.18 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem
ser melhor visualizados utilizando cerca de 50 de circuitos . As oscilaes apresentam
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
50
menores amplitudes, quanto comparada a figura 4.17. A corrente inicial zero e aumentar
at atingir o valor de regime estacionrio.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tempo(ms)
corrente(A)
N50
Figura 4.18 Corrente no terminal B da linha em curto-circuito com 50 circuitos .
A figura 4.19 mostra o comportamento da corrente no terminal B da linha para a
quantidade de 100 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tempo(ms)
corrente(A)
N100
Figura 4.19 Corrente no terminal B da linha em curto-circuito com 100 circuitos .
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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A figura 4.19 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de
transmisso apresenta um comportamente anlogo a figura 4.18. Pode-se verificar mais
oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem ser melhor visualizados
utilizando cerca de 100 de circuitos e a resposta do modelo representa de modo prximo
ao modelo considerado ideal.
4.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga igual impedncia
caracterstica da linha.
A figura 4.20 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte
de tenso contnua V e o terminal B est conectada uma carga resistiva.
Figura 4.20 - Energizao da linha com terminal B com uma carga resistiva.
Na figura 4.20, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso devalor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1
mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que
no terminal B da mesma existe uma carga resistiva equivalente ao mdulo da impedncia
caracterstica |ZC| cujo o valor de 301,23 , sero determinados a tenso na carga ( tenso
no terminal B, VB) e a corrente na carga (corrente no terminal B, IB) para as quantidades de
5, 10, 50 e 100 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.21 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.
A figura 4.21 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso apresenta pequena oscilao, mesmo devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A tenso apresenta o valor de 20kV em
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da impedncia
caracterstica da linha, neste caso no ocorre a reflexo da onda de tenso pela linha.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
tempo(ms)
tenso(kV)
N5
Figura 4.21Tenso no terminal B da linha considerando 5 circuitos .
A figura 4.22 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 10 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
tempo(ms)
tenso(kV)
N10
Figura 4.22Tenso no terminal B da linha considerando 10 circuitos .
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Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso
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A figura 4.22 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso possui mais oscilaes comparada com a figura 4.23, mesmo devido a
pequena quantidade de circuitos conectados em cascata para representar a mesma. A
tenso apresenta o valor de 20kV em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual
ao mdulo da impedncia caracterstica da linha.
A figura 4.23 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
tempo(ms)
tenso(kV)
N50
Figura 4.23Tenso no terminal B da linha considerando 50 circuitos .
A figura 4.23 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de
transmisso possui mais oscilaes comparada com a figura 4.22. A tenso apresenta o
valor de 20kV em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da
impedncia caracterstica da linha.
A figura 4.24 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a
quantidade de 100 circuitos conectados em cascatas.
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A figura 4.25 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de
transmisso apresenta pequena oscilao, devido a pequena quantidade de circuitos
conectados em cascata para representar a mesma. A corrente apresenta o valor de 66A em
regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da impedncia
caracterstica da linha, neste caso no ocorre a reflexo da onda de corrente pela linha.
A figura 4.26 mostra a corrente no terminal B da linha para a quantidade de 10
circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tempo(ms)
corrente(A)
N10
Figura 4.26 Corrente no terminal B da linha considerando 10 circuitos.
A figura 4.26 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes, comparada com a figura 4.25. A corrente apresenta
o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da
impedncia caracterstica da linha.
A figura 4.27 mostra a corrente no terminal B da linha para a quantidade de 50
circuitos conectados em cascatas.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tempo(ms)
corrente(A)
N50
Figura 4.27 Corrente no terminal B da linha considerando 50 circuitos.
A figura 4.27 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes, devido a maior quantidade de circuitos . A corrente
apresenta o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao
mdulo da impedncia caracterstica da linha.
A figura 4.28 mostra a corrente no terminal B da linha para a quantidade de 100
circuitos conectados em cascatas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tempo(ms)
corrente(A)
N100
Figura 4.28 Corrente no terminal B da linha considerando 100 circuitos.
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A figura 4.28 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de
transmisso apresenta mais oscilaes, devido a maior quantidade de circuitos . A corrente
apresenta o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao
mdulo da impedncia caracterstica da linha. Pode-se verificar que para uma quantidade
em torno de 50 a 100 circuitos , foram obtidas respostas que apresentaram
comportamentos esperado conforme [7].
4.3 Concluses.
Neste captulo foram mostrados o comportamento das correntes e tenses em uma
linha de transmisso monofsica energizada com tenso constante e a influncia da
quantidade de circuitos conectados em cascata que representam a mesma. Para as
quantidades em torno de 50 a 100 circuitos conectados em cascata, foram obtidas
respostas que apresentaram o comportamento esperado para cada condio estabelicida no
terminal B da linha, conforme [fucks]. No prximo captulo, sero comparadas as respostas
obtidas para cascatas de circuitos e o modelo ULM para as mesmas condies
estabelicidas.
4.4 Softwares desenvolvidos para resoluo das equaes das correntes e tenses emuma linha monofsica.
Todos os softwares utilizados nas simulaes foram desenvolvidos na plataforma
MATLAB
. Em seguida so mostrados os softwares desenvolvidos para o clculo das
correntes e tenses na linha de transmisso considerando as condies no terminal B da
linha.4.4.1 Programa para o clculo das tenses e correntes para a linha em aberto.
A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes e tenses
na linha de transmisso considerando o terminal B da linha em aberto.
%programa que calcula tenses e correntes para uma linha em aberto
clear allclc
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elseif (i+1 == j)&(rem(i,2)==