Embed Size (px)
Citation preview
REPUBLIKA E SHQIPËRISË
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR
PROGRAMI I STUDIMIT: METODAT PROBABILITARE,
STATISTIKE DHE METODAT E ANALIZËS NUMERIKE
INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK ME ZBATIM DHE PËRAFRIMI
MË I MIRË NË HAPËSIRAT C DHE Lp ME ANË TË SHUMAVE
FURIE
TEZË DOKTORATE
Punoi: Udhëhehqësit shkencorë:
Shpëtim Rexhepi Prof. Dr. Fevzi Berisha
Prof. Dr. Fatmir Hoxha
Tiranë, 2017
ii
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR
PROGRAMI I STUDIMIT: METODAT PROBABILITARE,
STATISTIKE DHE METODAT E ANALIZËS NUMERIKE
DISERTACION I PARAQITUR NGA
MR. SC. SHPËTIM REXHEPI
PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE
DOKTOR
TEMA:
INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK ME ZBATIM DHE PËRAFRIMI
MË I MIRË NË HAPËSIRAT C DHE Lp ME ANË TË SHUMAVE
FURIE
Mbrohet më datë ____. ____. _______ para jurisë:
1. ___________________________________ Kryetar
2. ___________________________________ Anëtar (oponent)
3. ___________________________________ Anëtar (oponent)
4. ___________________________________ Anëtar
5. ___________________________________ Anëtar
iii
Mirënjohje
Falë ndihmesës së pakushtëzuar për realizimin e këtij punimi, shpreh konsideratën, mirënjohjen
dhe falënderimin për udhëheqësin dhe bashkëudhëheqësin tim shkencor Prof. Dr. Fevzi
Berishën dhe Prof. Dr. Fatmir Hoxhën të cilët me angazhimet e tyre të palodhura dhe
vazhdueshme më ofruan ndihmë shumë të çmuar profesionale, këshilla, sugjerime dhe
vërejtje të dobishme, qëllimmira si dhe inkurajuese në nxitjen e kërkimit shkencor po ashtu
edhe në shlyerjen e obligimeve në kohë.
U jam mirënjohës atyre kolegëve e shokëve që më mbështetën në mënyra të ndryshme si në
pajisje po ashtu edhe në kërkimimin elektronik të bibliografisë, përpunimin e tekstit, figurave,
tabelave etj.
Gjithashtu shpreh falënderimin dhe dashurinë për familjen time që më përkrahën
materialisht dhe moralisht gjatë gjithë kohës së studimit.
Shpëtim Rexhepi
iv
Abstrakti. Teoria e përafrimit ka të bëjë me atë se si funksionet më së miri mund të përafrohen me
anë të funksioneve më të thjeshta për aplikim të karakterizuara dhe me madhësi sa më të vogël të
gabimit. Me qëllim për të kuptuar problematikën që shqyrtojmë në punim si dhe duke patur parasysh
që aparatet e përafrimeve të funksioneve paraqesin operator linear, në fillim japim njohuri dhe
koncepte rreth analizës analizës funksionale si dhe paraqesim disa klasa klasike dhe të reja te
funksioneve periodike.
Kemi dhënë kushtet për kalimin nga interpolimi algjebrik në interpolimin trigonometrik ,kushtet e
konvergjencës te procesi i interpolimit trigonometrik [78], kemi dhënë formën rekursive të metodës
së Nevillit si dhe adaptimin e kësaj metode te interpolimi trigonometrik duke dhënë ilustrime edhe me
shembuj numerikë [12].
Në [72] kemi dhënë disa vlerësime në lidhje me splajnin racional trigonometrik kubik me parametra
kontrollues, duke aritur të ngushtojmë zonën interpoluese të funksionit.
Kemi bërë disa zbatime të serive dhe transformimeve Furie njëdimensionale dhe dydimensionale te
qarqet elektrike, te përpunimi i imazhit duke aplikuar në to filtra të ndryshëm[76], si dhe zbatim në
zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme.
Kemi ndërtuar një varg të polinomeve uniformisht konvergjente ne hapësirën C, të caktuar nga vlera
të fundme të funksionit f si dhe disa vlerësime të konstantave dhe shumave të Favardit me modulin e
vazhdushmërisë , formulën rekursive për caktimin e tyre dhe lidhjen e tyre numerike me seritë
Furie[73].
Në [74] dhe [75] kemi përmbledhur rezultate në lidhje me hapësirën e Lorencit, vargjet kuazi
monotone, derivatin e Weylit, funksionet periodike të cilët i përkasin hapësirës së Lorencit me
koeficientë Furie kuazi-monoton . gjithashtu kemi dhënë lidhjet në mes përafrimit më të mirë dhe
ekzistencën e derivatit të Weylit për këtë klasë funksionesh.
Abstract. Approximation theory has to do with how functions can best be approximated by simpler
functions for application ,characterized with the smallest error. In order to understand the problems
that are considered in the paper, firstly we provide knowledge and concepts of functional analysis and
present some classic and new classes of periodic functions.
We have provided the conditions for the transfer from the algebraic to trigonometric interpolation,
conditions of convergence in the process of trigonometric interpolation [78], have given the recursive
Neville method and its adoption to trigonometric interpolation illustrated with numerical examples
[12].
In [72] are given some estimations for trigonometric rational cubic spline with controll parameters,
and isolated the interpolation area of the function.
We made some applications of the Fourier series and transform related to electrical circuits, image
processing applied different filters [76], as well as application in solving partial differential equations.
We have constructed a sequence of uniformly converging polynomials in the space C, set the value of
the finite function f and some estimates of constants and Favard constants with module of continuity,
recursive formula and their relationship numerical Fourier series [73].
In [74] and [75] have summarized results concerning Lorentz space, quasi-monotone coefficients ,
derivative of Weyl, periodic functions belonging Lorentz space with quasi-monotone Fourier
coefficients. We also provide links between the best approximation and the existence of Weyl
derivative for this class of functions.
v
Përmbajtja
Hyrje ............................................................................................................................................... vii
I. DISA KLASA TË FUNKSIONEVE PERIODIKË .........................................................................................9
1.1. Hapësirat vektoriale. Përkufizimi i përafrimit më të mirë ............................................... 9
1.2. Konvergjenca e vargut të funksionalëve linear pozitiv dhe teoremat e Korovkinit ......... 11
1.3. Konvergjenca e vargut të operatorët linearë pozitiv dhe teoremat e Korovkinit ................ 13
1.4. Funksionet e shumueshme 2 periodike. Koeficientët Furie ....................................... 15
1.5. Moduli i vazhdueshmërisë në hapësirat C dhe Lp ........................................................ 20
1.6. Klasat ,a b H ,Hω ω dhe Hω
p
.......................................................................... 22
1.7. Klasat e funksioneve të diferencueshme ............................................................................ 24
1.8. Funksionet e konjuguara dhe klasat e tyre.......................................................................... 26
1.9. Klasat e Weyl-Nagy .......................................................................................................... 27
1.10. Klasat L B
dhe C B
............................................................................................ 28
1.11. Klasat
L B
.................................................................................................................... 31
II. INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK .................................................................................................... 33
2.1. Koncepti i interpolimit ...................................................................................................... 33
2.2. Shtrimi i problemit të interpolimit. Polinomet interpoluese të Lagranzhit dhe Njutonit .... 34
2.3. Interpolimi trigonometrik ................................................................................................... 38
2.4. Mbi kalimin nga interpolimi algjebrik në interpolim trigonometrik .................................. 41
2.5. Lidhja ndërmjet koeficientëve Furie dhe koeficientëve të Furie-Lagranzhit ..................... 47
2.6. Mbi përshtatjen e formulave të Hermitit te Interpolimi trigonometrik ............................... 50
2.7. Mbi përparësitë e metodës së Nevillit dhe adaptimi i kësaj metode te interpolimi
trigonometrik ............................................................................................................................. 53
2.8. Interpolimi i polinomit racional trigonometrik, derivati i të cilit është i vazhdueshëm,
me anë të splajnit kubik ............................................................................................................. 59
III. DISA ZBATIME TË SERIVE DHE TRANSFORMIMEVE FURIE ............................................................. 69
3.1. Fillimi i zhvillimit të Analizës Furie .................................................................................. 69
3.2. Fakte ndihmëse. Analiza Furie te sinjalet ........................................................................... 70
vi
3.3. Zbatimi i serive Furie për analizimin e qarqeve elektrike .................................................. 72
3.4. Disa aplikime të transformimeve Furie dy-dimensionale te përpunimi i imazhit ............. 78
3.5. Zbatimi i serive Furie te zgjidhja e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme ..... 82
IV. DISA VËREJTJE MBI PËRAFRIMIN MË TË MIRË NË HAPËSIRAT C dhe Lp ME ANË TË SHUMAVE
FURIE ............................................................................................................................................... 86
4.1. Njohuri paraprake .............................................................................................................. 86
4.2. Rezultatet e drejta dhe të anasjella .................................................................................... 88
4.3. Mbi vlerësimin e koeficienteve Furie me anë të përafrimit më të mirë dhe modulit integral
të funksionit në hapësirën C ...................................................................................................... 91
4.4. Disa veti të përafrimit më të mirë në hapësirën C .............................................................. 95
4.5. Disa vërejtje mbi metodën e Favard-it te përafrimi i funksioneve në hapësirën C .......... 102
4.6. Përafrimi më i mirë i funksionit dhe konvergjenca uniforme e serisë Furie .................... 109
4.7. Vlerësimi reciprok ndërmjet modulit të lëmueshmërisë, koeficientëve Furie të funksionit
në metrikën dhe përafrimit më të mirë ............................................................................. 114
4.8. Mbi përafrimin e funksionit në hapësirën pL , (0<p<1) ............................................... 118
4.9.Lidhja ndërmjet përafrimit më të mirë dhe derivatin e Weyl-it të funksioneve në hapësirën e
Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton ....................................................................... 121
Përfundime .................................................................................................................................... 126
Referencat ..................................................................................................................................... 127
pL
vii
Hyrje
Në matematikë, teoria e përafrimit ka të bëjë me atë se si një funksion mund të përafrohet më
mirë me funksione të thjeshta, që shpeshherë përzgjedhja e funksioneve të tilla varet dhe nga
aplikimi.
Problemi themelor në teorinë e përafrimeve është përcaktimi i vetive të karakteristikave
përafruese të funksionit bazuar në vetitë aksiomatike të funksionit, përkatësisht lidhja ndërmjet
karakteristikave strukturale të një funksioni (diferencueshmëria e tij, vetitë e modulit të tij të
lëmueshmërisë, kufizueshmëria nga sipër e funksionit, plotësimi i kushtit Lipschitz etj.) dhe
karakteristikave konstruktive të atij funksioni (shpejtësisë së tentimit në zero të vargut të
përafrimeve më të mira të tij me polinome algjebrike ose trigonometrike, konvergjencën e serisë
Furie, përafrimin me anë të polinomeve të gjeneruara me anë të metodave lineare të shumimit të
serive Furie, përafrimin me anë të polinomeve interpoluese etj.).
Temë tjetër lidhur ngushtë me teorinë e përafrimeve paraqet përafrimi i funksioneve me anë të
serive të përgjithësuara Furie, d.m.th., përafrimet bazuar në shumimin e serive me terme që
përmbajnë polinome ortogonale.
Me qëllim të kuptuarit të problematikës, në fillim të kapitullit të parë fillimisht janë dhënë
kuptime dhe ide themelore të analizës funksionale, e cila ka lidhje të ngushtë me teorinë e
përafrimeve meqenëse të gjitha aparatet e njohura të përafrimeve të funksioneve me anë të
polinomeve algjebrike, apo në rastin e shqyrtimit tonë polinomeve trigonometrike në thelb
paraqesin operatorë linear.
Meqenëse pas punimeve të D. Xhekson [15] dhe S.N. Bernsnshtajn [66.67] ku u vërtetuan
teoremat e rëndësishme në teorinë e përafrimeve, që sot njihen si teorema e drejtë dhe inverse te
përafrimet, u bë e qartë që mundësia e përafrimit të funksioneve me anë të polinomeve algjebrike
apo trigonometrike, përcaktohet nga disa veti që janë të njohura si veti të lëmueshmërisë (modulet
e lëmueshmërisë [50,64, 83], në vazhdim të kapitullit të parë kemi dhënë disa përkufizime dhe
pohime, të disa klasave të funksioneve tradicionale në teorinë e përafrimeve si dhe klasa të
funksioneve periodike të klasifikuara në bazë të vetive të modulit të lëmueshmërisë,
diferencueshmërisë, kufizueshmërisë, koeficientët Furie, etj .
Në kapitullin e dytë do përqëndrohemi te interpolimi, vecanërisht interpolimi trigonometrik. Me
metodat numerike funksioni i dhënë zakonisht zëvendësohet me ndonjë funksion nga klasat e
përkufizuara dhe studijuara më parë, më të përshtatshme për tu trajtuar nga programe të ndryshme
kompjuterike ose vlerat e të cilëve mund të llogariten në mënyrë më të thjeshtë, pra në këtë
mënyrë do trajtohet dhe problem i interpolimit dhe ndërlidhja e tij me problematikën më të gjërë
që është përafrimi, përkatësisht ndërlidhja e koeficientëve të Furie-Lagranzhit me koeficientët
Furie.
Në vazhdim të kapitullit të dytë jepen ndërlidhje të interpolimeve të ndryshme si kalimi nga
interpolimi algjebrik në atë trigonometrik, adaptimi i metodës së Nevillit dhe formulave të
Hermitit në interpolimin trigonometrik, duke diskutuar mbi avantazhet e këtyre metodave të
ilustruar me shembuj numerikë duke përdor Matlab-in si dhe diskutohet interpolimi racional
trigonometrik me anë të splajnit kubik.
viii
Meqenëse seritë trigonometrike paraqesin një klasë të serive funksionale, e cila pas asaj të serive
polinomiale, është klasa më e rëndësishme, si nga pikëpamja teorike, ashtu edhe nga ajo
praktike, në kapitullin e tretë do japim disa zbatime të serive dhe transformimeve Furie.
Ekzaminohet riparaqitja e sinjaleve periodike jo-sinusoidale, që mund të paraqesin rrymën,
tensionin, zërin, imazhin etj., mund të paraqitet si shumë të serive të pafundme që përmbajnë
terme të sinusit dhe kosinusit, Në vazhdim të kapitullit të tretë jepen disa aplikime dhe
modelime në qarqet elektrike të ilustruar me shembuj numerikë, aplikim të transformimeve Furie
dy-dimensionale te përpunimi i imazhit duke përdorur filtra të ndryshme. Gjithashtu jepet zbatim
i serive dhe transformimeve Furie te zgjidhja e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme.
Në kapitullin e katërt jepen lidhjet ndërmjet disa karakteristikave të funksionit dhe përafrimit më
të mirë të tij ne kontekst të koeficientëve Furie, në hapësirat C dhe pL . Bëhet analizimi i
konditave të konvergjencës absolute të serisë Furie në qasje me kuptimin e përafrimit më të mirë
të funksionit e që ka këtë karakter: për të gjitha funksionet për të cilat moduli i vazhdueshmërisë
tenton mjaft „‟shpejt‟‟ në zero ose përafrimi më i mirë i të cilëve tenton mjaft „‟shpejt‟‟ në zero,
atëherë sigurohet konvergjenca absolute e serive Furie të këtyre funksioneve.
Si përparësi të polinomeve interpoluese, mund të përmendet fakti se ata përcaktohen nga numër i
fundëm vlerash të funksionit të përafruar, gjë që është e nevojshme për realizime praktike dhe
zakonisht vetitë përafruese të shumave Furie nuk janë shumë më të mira se sa vetitë
koresponduese të polinomeve interpoluese. Si në rastin e shumave Furie, po ashtu edhe vargu i
polinomeve nuk mund të jetë konvergjent në gjithë klasën C të funksioneve të vazhdueshme 2 -
periodike ( 2,0C ), pra bëhet ndërtimi i vargut të polinomeve uniformisht konvergjente ne
hapësirën C, të caktuar nga vlera të fundme të funksionit f.
Gjithashtu në vazhdim të kapitullit jepet lidhja në mes të përafrimit më të mirë dhe ekzistencës së
derivatit të Weyl-it të funksioneve nga klasa e Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton.
9
I. DISA KLASA TË FUNKSIONEVE PERIODIKË
1.1. Hapësirat vektoriale. Përkufizimi i përafrimit më të mirë
Teoria e përafrimeve ka lidhje të ngushtë si me shkencat matematike, po ashtu dhe me ato
teknike dhe aplikative. Zhvillimi i teorisë së përafrimeve ka ndikim në zhvillimin e
shkencave tjera matematike si dhe përkufizimin e kuptimeve të reja në drejtimet e
matematikës bashkëkohore.
Lidhja ndërmjet teorisë së përafrimeve dhe analizës funksionale është shumë e ngushtë,
pasi që të gjitha aparatet e njohura të përafrimeve të funksioneve me polinome algjebrike
ose polinome trigonometrike, në thelb paraqesin operatorë linearë, që do i shqyrtojmë në
vijim.
Përkufizim 1.1. Struktura e hapësirës vektoriale , , ,...X x y z mbi fushën
, , ,...F përkufizohet me ndihmën e funksioneve:
1) ,x y x y pra X X X
2) , x x pra F X X
Funksioni 1), pra mbledhja në X plotëson këto veti për , ,x y z X
i x y z x y z
ii 0 0x x x
iii për , !x X x X ashtu që 0x x x x
vi për ,x y X , x y y x .
Funksioni 2), prodhimi skalar plotëson këto vëti për ,x y X dhe , F
i x y x y
ii x x x
iii x x
vi 1 x x
Elementet e hapësirës vektoriale quhen vektorë, kurse elementet e fushës F quhen
skalar (numra).
Përkufizim 1.2. Për dy hapësira vektoriale X dhe Y mbi të njejtën fushë F themi
se janë izomorfe në qoftë se ekziston bijeksioni :A X Y i tillë që për skalarë
, F dhe për të gjithë vektorët ,x y X vlen:
10
A x y A x A y
Funksioni :A X Y është
i aditiv, në qoftë se A x y A x A y
ii
homogjen, në qoftë se A x A x
iii linear, në qoftë se ai është aditiv dhe homogjen
vi antilinear, nëse ai është aditiv dhe vlenë A x A x ku ,x y X dhe
, F
Funksioni :A X Y ku X dhe Y janë hapësira vektoriale quhet operator.
Funksioni :A X F ku X është hapësirë vektoriale dhe F është fushë quhet
funksional.
Nëse , dhe X Y W janë hapësira vektoriale mbi fushën F dhe :A X Y dhe
:B Y W janë operatorë linearë, atëherë kompozimi B A është operator linear nga
X në W dhe quhet produkt i operatorëve B dhe A dhe shënohet me BA .
Pasqyrimi identik :XI x x i hapësirës X në X është operator linear [45].
Përkufizim 1.3. Pasqyrimi p i hapësirës vektoriale X , në bashkësinë e numrave
realë jonegativë, quhet gjysmënormë nëse plotësohen vetitë:
i p x y p x p y për ,x y X
ii Nëse , x X atëherë p x p x .
Nëse gjysmënorma p , plotëson kushtin: nëse nga 0p x rrjedh se 0x atëherë
gjysmënorma p quhet normë dhe simbolikisht shënohet me . Nëse për vargun
nx vlenë lim 0nn
p x x
atëherë vlenë: lim nn
p x p x
. Kjo veti e
gjysmënormës quhet vazhdueshmëri. Cifti i renditur ,X x , i hapësirës vektoriale
X dhe normës x x të përkufizuar në X quhet hapësirë e normuar vektoriale.
Funksioni normë është funksion i vazhdueshëm në çdo hapësirë të normuar
vektoriale.
Japsim disa shembuj të hapësirave të normuara:
1. Hapësira ,C a b paraqet hapësirën e gjitha funksioneve të vazhdueshme në
intervalin ,a b maxp a x b
f f x
.
2. Hapësira ,pL a b paraqet hapësirën e gjitha funksioneve të integrueshme sipas
Lebegut në intervalin , ,1a b p ,
1b p
p
p
a
f f x dx
.
Përkufizim 1.4. Le të jetë dhënë hapësira vektoriale C ku është përkufizuar
gjysmënorma p . Thuhet se p është e klasës A , nëse plotësohen kushtet:
11
i Ekziston konstantja M që nuk varët nga f , ashtu që p f M f , për çdo
f C .
ii Për çdo f C dhe ,g h
p f g h p f .
Është e qartë që vetë norma f i takon klasës A . Hapësira vektoriale C , në të cilën
është përkufizuar gjysmënorma p , që i takon klasës A , do ta quajmë hapësirë .pC
Përkufizim 1.5. Le të jetë pf C , 1n N . Përafrimi më i mirë i rendit n i funksionit
f në hapësirën pC , quhet madhësia inf
nn
T TE f p f T
ku
nT bashkësi polinomesh të
shkallës n. Polinomi nT T , për të cilin plotësohet barazimi: np f T E f quhet
polinom i përafrimit më të mirë të rendit n .
1.2. Konvergjenca e vargut të funksionalëve linear pozitiv dhe teoremat e
Korovkinit
Përkufizimi 2.1. Themi se në bashkësinë F të funksioneve f x është përcaktuar
funksionali x , nëse secilit funksion f x F i korrenspodon një numër real
f , dhe F quhet zona e përcaktimit të funksionalit.
Pëkufizimi 2.2. Funksionali f quhet linear në qoftë se zona e përcaktimit të tij
bashkë me funksionet f x dhe x e përmbanë edhe funksionin a f x b x
dhe vlenë a f x b x a f x b x ku ,a b .
Shembull: 1
n
i i
i
f A f x
është funksional i përcaktuar në bashkësinë F të
funksioneve f x të përkufizuara në pikat 1 2, ,..., nx x x . Nga barazimi
1
1 1
n
i i i
i
n n
i i i i
i i
a f b A a f x b x
a A f x b A x a f b
rrjedh lineariteti i funksionalit.
Përkufizimi 2.3. Funksionali linear x , quhet pozitiv nëse 0x , për çdo funksion
pozitiv f x . Në këtë rast funksionali x gjithmonë është funksional monoton rritës.
12
Do shqyrtojmë konvergjencën e vargut n f te funksionali pozitiv, posacërisht
kushtet që duhet plotësuar barazimin:
lim n
nf f
2.1
dhe se a është i vertetë ky barazim p.sh për të gjithë funksionet f x të vazhdueshme në
pikën x dhe të kufizuara në boshtin real.
Teorema 2.1.[24,46,64] Nëse për vargun n f të funksionalëve linearë pozitive
plotësohen dy kushte:
1 1n , 0n për n 2.2
Ku 2
x x atëherë vlen barazimi: lim nn
f f
për çdo funksion f x të
vazhdueshëm në pikën x dhe të kufizuar.
Në mënyrë të ngjashme si kjo teoremë vlenë ky pohim:
Pohim 2.1. Nëse për vargun e funksionalëve linearë pozitive n f plotësohen këto
kushte:
1 1n , n x dhe 2 2
n x 2.3
atëherë për çdo funksion f x të kufizuar në boshtin real dhe të vazhdueshëm në pikën
x , vargun n f konvergjon te f .
Vërtetim: Nga 2 2 22x x x x dhe relacioni (2.3) kemi
2 2 2 22 1 2 0,n n n nx x d.m.th plotësohen konditat
e teoremës 2.1 dhe kemi vërtetimin e pohimit.
Teorema 2.2. [24,46,64] Le të jetë f x funksion 2 - periodik, i vazhdueshëm në
pikën x dhe i kufizuar në boshtin real. Nëse vargu i funksionalëve real pozitiv
n f i plotëson kushtet:
1 1n , 0n 2.4
ku 2sin2
xx
atëherë vlen barazimi lim n
nf f
.
Në mënyrë të ngjashme me teoremën 2.2 vlenë ky pohim:
13
Pohim 2.2. Nëse për vargun e funksionalëve linearë pozitive plotësohen kushtet:
1 1n , cos cosn x , sin sinn x 2.5
atëherë vlenë: n f f nëse funksioni periodik f x është i vazhdueshëm dhe i
kufizuar në pikën x .
Vërtetim: marrim 2
1 cos 1 cos cos sin sinsin
2 2 2
xx x xx
.
Nga 2.5 dhe lineariteti i f , kemi:
2 21 11 cos cos sin sin 1 cos sin 0
2 2n n n nx x
d.m.th plotësohen kushtet e teoremës 2.2 dhe rrjedh vërtetimi i rrjedhimit.
1.3. Konvergjenca e vargut të operatorët linearë pozitiv dhe teoremat e
Korovkinit
Pëkufizimi 3.1. Themi se në bashkësinë F të funksoneve f t është përcaktu
operatori , ,H f x H f t x nëse secilit funksion f t nga bashkësia F i vihet
në korospodencë funksioni ,x H f x .
Ndryshimi i operatorit dhe funksionit qëndron në atë se zona e përcaktimit dhe
vlerave të operatorit janë bashkësia e funksioeve, ndërsa zona e përcaktimit të
funksioneve janë bashkësia e pikave.
Përkufizimi 3.2. Operatori ,L f x quhet linear nëse në zonën e përcaktimit të tij në
bashku me funksionet f t dhe t janë të përkufizuara dhe funksionet
a f t b t dhe vlen barazimi , ,L a f b a L f x b L x ku
,a b .
Përkufizimi 3.3. Operatori ,nL f x paraqet polinom, nëse vlera e tij për çdo
funksion f x është polinom algjebrik ose polinom trigonometrik i shkallës jo më të
lartë se n .
Përkufizimi 3.4. Operatori linear ,L f x quhet pozitiv në bashkësinë E , nëse
plotësohet mosbarazimi , 0L f x , x E për çdo funksion 0f t .
Shqyrtojmë kushtet që duhet të plotësoje vargu i operatorëve linearë ,L f x , në
segmentin ,a b ashtu që ky varg të konvergjojë uniformisht te funksioni f x , i cili
14
është i vazhdueshëm djathtas në pikën b dhe majtas në pikën a si dhe i kufizuar në
tërë boshtin real. Në fillim japim këtë lemë dhe këtë teoremë.
Lema 3.1. Nëse funksioni f x është vazhdueshëm në ,a b , d.m.th i vazhdueshëm
nga e majta në pikën a dhe nga e djathta në pikën b atëherë për çdo 0 mund të
gjendet 0 i tillë që të plotësohet mosbarazimi: f y f x , nëse ,y x
a x b .
Teorema 3.1.[6] Nga çdo varg numerik të kufizuar nx , mund të nxjerrim një
nënvarg konvergjent.
Teorema 3.2. [24,46,64] Nëse vargi i operatorëve linearë pozitive ,nL f x i
plotëson kushtet:
1, 1n nL x x , ,n nL t x x x , 2 2,n nL t x x x 3.1
Ku , , n n nx x x uniformisht tentojnë në zero në segmentin ,a b , nëse
f x është i kufizuar, i vazhdueshëm në ,a b , i vazhdueshëm nga e majta në pikën
a , ndërsa nga e djathta në pikën b , atëherë vargu ,nL f x konvergjon uniformisht
te funksioni f x në segmentin ,a b .
Pohim 3.1. Nëse vargu i operatorëve linearë pozitiv ,nL f x i plotëson kushtet:
1, 1n nL x x , cos , cosn nL t x x x , sin , sin 3.2n nL t x x x
ku , , n n nx x x tentojnë uniformisht në zero në segmentin ,a b , atëherë
vargu ,nL f x konvergjon uniformisht te funksioni f x në segmentin ,a b , nëse
f x është i kufizuar ka periodë 2 i vazhdueshëm në intervalin ,a b i
vazhdueshëm nga e majta në pikën a dhe nga e djathta në pikën b .
Vërtetim: Për 2sin2
t xt
, a x b , t dhe 2sin
2
vlenë:
2 2
2 21, , , 1, 1, , 3.3
sin sin2 2
n n n n n n
M ML x L x L f x L x f x L x L x
Nga 1
1 cos cos sin sin2
x x t x t , kemi:
15
2 2
1, 1, cos cos , sin sin ,
2
11 cos cos sin sin
2
1cos sin
2
n n n n
n n n
n n n n
L x L x xL t x xL t x
x x x x x x x
x x x x x x
ku n x tenton uniformisht në zero në segmentin ,a b .
Nga ky mosbarazim dhe kushtet e rrjedhimit rrjedh se ana e majtë e mosbarazimit
3.3 tenton në , ndërsa e djathta në . Prandaj N ashtu që
2 , 1, 2n nL f x f x L x nëse n N , a x b .
Rrjedhimisht , 1,n n nL f x f x L x x tenton uniformisht në zero në
segmentin ,a b dhe kemi:
, 1, 1, 1n n n n n n nL f x f x L x x f x L x x f x x x ,
ku n x tenton uniformisht në zero në segmentin ,a b , d.m.th. se vargu ,nL f x
konvergjon uniformisht te funksioni f x në segmentin ,a b .
1.4. Funksionet e shumueshme 2 periodike. Koeficientët Furie
Përkufizimi 4.1. Le të jetë 0T . Funksioni f i dhënë në bashkësinë e numrave real
R , quhet periodik me periodën T , nëse për çdo x R , vlen barazimi:
f x T f x 4.1
Funksionet me periodë 2 quhet funksione 2 periodike .
Përkufizimi 4.2. Me 0,2L shënojmë bashkësinë e funksioneve 2 periodike të
shumueshme në 0,2 , përkatësisht të integrueshme sipas Lebegut në cfarëdo
segment të fundëm.
Hapësirat kryesore funksionale që janë nënbashkësi të 0,2L janë:
i Hapësira C e funksioneve 2 periodike f t , të vazhdueshëm në gjithë boshtin
real të përkufizuar me normën maxc t
f f t ;
ii Hapësira M e funksioneve 2 periodike të kufizuara me vetinë e supremumit
esencial të përkufizuar me normën supM
t
f f ess f t
e që paraqet numrin
16
më të vogël nga numrat M ashtu që ka vetinë 0,2 : 0m t f t M , m -
masa e bashkësisë.
)iii Hapësira pL , 1 p e funksioneve 2 periodike f t , të shumueshëm
sipas shkallës së p -të të përkufizuara në normën
12
0p
pp
L pf f f t dt
.
Shihet qartë se vlenë:
q pC M L L L L ku 1 p q 4.2
Përkufizimi 4.3. Shënojmë me X njërën nga hapësirat C ose pL , 1 p .
Klasifikimi më i thjeshtë i funksioneve f x nga X është si në vijim:
Me XS shënojmë rruzullin me rreze , 0 , në X .
:X X
S f f 4.3
Atëherë çdo vlerë i shoqërohet me bashkësi të caktuar funksionesh që i përkasin
rruzullit XS . Pra hapësira X ndahet (copëtohet) në bashkësi XS , që quhen klasë.
Nëse 0 p p atëherë X XS S .
Për 1 ndonjëherë në vend të XS do shënojmë XS dhe pS në vend të pLS .
Lema 4.1. Nëse f L atëherë për çdo a R , vlen barazimi:
2a
a
f x dx f x dx
4.4
Vërtetim: Kemi 2 2a a
a a
f f f f
nga periodiciteti fitohet
2
2
a
a
f x dx f y dy f y dy
2a
a a
f f
2a
a
f x dx f x dx
.
Vërejtje 4.1. Nëse funksioni 2 periodike pothuajse kudo në R ka derivate të
rendit të parë, atëherë derivati i tij gjithmonë është 2 periodike , ndërsa funksioni
primitiv tij nuk do të thotë të jetë 2 periodike .
17
Rrjedhim 4.1. Nëse f L dhe 1
2f f
atëherë për çdo a R , funksioni
x
a
F x f f , është gjithashtu funksion periodik.
Vërtetë
2 2 2
2 2
x x x x
a a x x
F x f f f f f f F x f f F x
Përkufizimi 4.4. Nëse për funksionet f dhe g të dhënë në segmentin ,a b , vlen
barazimi 0
b
a
f g , atëherë themi se funksionet f dhe g janë ortogonal në
segmentin ,a b . Te sistemi trigonometrik
1, cos x , sin x , cos2x . sin 2x , … , cosnx , sin nx 4.5
funksionet dy nga dy janë ortogonal në , .
Përkufizimi 4.5. Funksionin e trajtës
1
cos sinn
k k
k
T x A a kx b kx
4.6
ku , ,k kA a b R e quajmë polinom trigonometrik të shkallës n . Polinomin
trigonometrik i shkallës zero është konstanta. Bashkësia e gjithë polinomeve
trigonometrike të shkallës n e shënojmë me nT .
Serinë funksionale të trajtës
1
cos sink k
k
A a kx b kx
4.7
ku , ,k kA a b R e quajmë seri trigonometrike, ndërsa , ,k kA a b quhen koeficientë të
serisë trigonometrike. Shprehja 1
cos sinn
n k k
k
S x A a kx b kx
quhet shumë e
pjesshme.
Pohim 4.1. Le të konvergjojë seria trigonometrike 4.7 pothuajse kudo në R te
funksioni f , ku shumat e pjesshme e kanë të shumueshme mazhorantën e saj, d.m.th.
ekzistojnë funksionet e tilla L , për çdo n N dhe pothuajse të gjith x R ,
18
plotësohet mosbarazimi nS x x . Atëherë koeficientët e serisë 4.7
njëvlerësisht përcaktohen nga funksioni f me anë të formulave:
1
2A f x dx
, 1
cosna f x nxdx
, 1
sinnb f x nxdx
4.8
Vërtetim: Nga teorema e integrimit term për term kemi:
1
cos sink k
k
f x dx Adx a kxdx b kxdx
.
Nga lema 4.1, të gjitha integralet në të djathtë të barazimit përvec integralit të parë
janë të barabarta me zero. Prandaj kemi:
2f x dx A
që në fakt është formula e parë e 4.7 . Tani barazimin
1
cos sink k
k
f x A a kx b kx
në të dy anët e shumëzojmë me cosnx dhe
integrojmë term për termi:
0
1
1cos cos cos cos cos sin ,
2k k n
k
f x nxdx a nxdx a nx kxdx b nx kxdx a
rrjedhimisht 1
cosna f x nxdx
, 1,2,3,...n Në mënyrë të ngjashme
1
sinnb f x nxdx
, 1,2,3,...n
Përkufizimi 4.6. Le të jetë f L . Numrat e përcaktuar me anë të formulave:
1
coska f x kxdx
, 1
sinkb f x kxdx
quhen koeficientë Furie të funksionit
f , ndërsa seria
0
1 0
1cos sin ,
2k k v
k v
S f a a kx b kx A f x
quhet seri Furie e funksionit f .
00 ,
2
aA f x , , cos sink k kA f x a kx b kx .
Për funksionin f shumë të pjesshme të serisë Furie apo shumë Furie quhet shprehja
0
,n
n v
v
S f A f x
.
Nga barazimi i njohur i Eulerit cos sin ,ixe x i x x R seria 4.7 merr trajtën:
19
inx
nC e
, ku 00
2
aC ,
2
n nn
a ibC
2
n nn
a ibC
, 1,2,3,...n
si dhe n
ivx
n v
v n
S f C e
.
Seria inx
nC e
quhet trajta komplekse e serisë trigonometrike.
Pohim 4.2. Nëse f L atëherë
2 1sin
1 2
2sin
2
n
nu
S f x f x u duu
.
Vërtetim: 0
1
2A f c f u du
dhe për k N kemi:
1 1
cos cos sin sin coskA f x f u ku kx ku kx du f u k u x du
.
Tani zëvendësojmë t u x dhe nga lema 4.1 dhe zëvendësimi i t me u kemi:
1cos , 1
1, 0
2
k
f x u kudu k
A f x
f x u du k
Pra 1
2 1sin
1 1 1 2cos2
sin2
n
n
k
nu
S f x f x u ku du f x u duu
.
Përkufizimi 4.7. Funksioni
2 1sin
2
2 sin2
n
nu
D uu
quhët bërthamë e Dirikles dhe vlenë
barazimi 1nD u du
.
20
1.5. Moduli i vazhdueshmërisë në hapësirat C dhe Lp
Klasifikim tjetër të funksioneve mund të bëhet edhe sipas modulit të
vazhdueshmërisë.
Përkufizim 5.1. Moduli i vazhdueshmërisë për funksionin f x , të vazhdueshëm në
segmentin ,a b , ,a bf C , është funksioni ,t f t , 0,t b a i
përkufizuar si
0
, sup max supa x b kk t
t f t f x k f x f x f x
,
x x t , , ,x x a b
5.1
Pohim 5.1. Japim disa veti të modulit të vazhdueshmërisë
i 0 0 ;
ii t nuk është zvogëlues në 0,b a ;
iii t është gjysmëmbledhës d.m.th., 1 2 1 2t t t t ,
1 2 0,t t b a ;
vi t është i vazhdueshëm në 0,b a .
Vërtetim:
1 2
1 1 2 2
1 2 1 20
1 2 2 2 1 20 0
) sup sup
sup sup
k t t
k t k t
iii t t f x k f x f x k k f x
f x k k f x k f x k f x t t
vi Nëse 1 20 t t b a atëherë kemi:
2 2 1 1 1 2 1t t t t t t t , përkatësisht 2 1 2 1t t t t
d.m.th. për çdo , 0,t t t b a kemi:
t t t t 5.2
Megjithatë nga vazhdueshmëria uniforme e funksioneve të vazhdueshme në segment,
kemi lim 0x o
x
.
Pra funksioni t është i vazhdueshëm në të djathtë në pikën 0t . Pra nga kjo dhe
5.2 u vërtetua vazhdueshmëria e t për çdo t ab a .
Pohim 5.2. Për n vlenë ,n t n t dhe për çdo 0, 1 0, ,t b a
vlenë
1t t .
21
Vërtetim: Për 1n vlenë. Supozojmë se vlenë edhe për n k . Për 1n k kemi
1 1k t kt t t k . Pra vlenë për çdo n . Me shënojmë
pjesën e plotë të dhe kemi
1 1 1t t t t .
Pohim 5.3. Nëse t është i mysët në 0,c pra d.m.th. nëse
1 21 2
1
2 2
t tt t
atëherë raporti
t
t
nuk është rritës.
Pra çdo funksion t i mysët për 0,t c , 0 0 , është moduli i
vazhdueshmërisë. Japim shembull të modulit të vazhdueshmërisë që nuk është funksion
i mysët. Supozojmë që 0,1 , 2h , dhe
1
1
, 0,
1, ,1
1 , 1,1
2, 1 ,
t t
tt
t t
t h
Teorema 5.1.[58,22,83] Për çdo modul vazhdueshmërie 0t të përkufizuar në
0,c ekziston moduli i vazhdueshmërisë i mysët 1 t ashtu që për çdo 0,t c të
vlejë 1 2t t t .
Teorema 5.2.[3,83] Nëse f x është funksion i mysët në segmentin ,a b , atëherë ai
shprehet në trajtën x
a
f x a t dt , ku t është funksion jo rritës në ,a b .
Vlenë dhe e anasjella.
Rrjedhim 5.1.[83] çdo modul i vazhdueshmërisë i mysët t mund të shprehet si
0
t
t u du , ku u është funksion jo rritës dhe vlenë w t t pothuajse
kudo.
Nëse funksioni f x është 2 periodik atëherë vlenë , ,f t f për t .
Vertetë le të jenë x dhe x pika të cfardoshme të boshtit real. Është e qartë që ekziston
numri i plotë k dhe pika 0x ashtu që 0x x dhe 0 2x x k . Për t kemi
22
0
0sup supx x t x x
t f x f x f x f x
. (5.3)
Pra për f C , moduli i vazhdueshmërisë ka trajtën
, 0, 5.4
,
t tf t
t
Përkufizim 5.4. Moduli i vazhdueshmërisë për funksionin pf x L , 1 p në
Hapësirën pL është funksioni , sup ,0p p p
k t
t f t f x k f x t
.
Funksioni ,p f t , pf L i posedon gjithë vetitë e , t , ku C .
Në mënyrë të ngjashme me barazimin 5.4 për funksionin 2 periodik pf L ,
1 p kemi:
, 0,
, p
t tf t
t
5.5
1.6. Klasat ,a b H ,Hω ω dhe Hω
p
Përkufizimi 6.1. Le të jetë ,a bC bashkësia e funksioneve f x të vazhdueshëm në
segmentin ,a b dhe le të jetë t një modul vazhdueshmërie i çfarëdoshëm i
përcaktuar në segmentin 0,b a . Thuhet se funksioni ,a bf C i takon klasës ,H a b
nëse moduli i vazhdueshmërisë së tij ,f t plotëson kushtin:
,f t t , 0,t b a 6.1
E gjithë bashkësia ,a bC mund të ndahet në klasë ,wH a b . Në këtë rast vlenë ky pohim:
Pohimi 6.1.[34]
i Nëse 1 2
, ,H a b H a b atëherë 1 2t t për çdo 0,t b a 6.2
i i ,f H a b atëherë dhe vetëm atëherë kur 1 2, ,t t a b vlen
1 2 1 2f t f t t t 6.3
23
Pjesa e dytë, vlenë meqë 1 2 1 2
1 2 1 2, sup supt t t t t t
f t f t f t t t t
.
Kjo nënkupton që ,H a b është klasë e funksioneve që e plotësojnë kushtin 6.3 në
segmentin ,a b .
Përkufizim 6.2. Në rastin kur t At , ku 0,1 dhe A është konstantë pozitive,
klasa ,H a b quhet klasa Holder (ose Lipschitz) e rendit dhe simbolikisht shënohet
me ,AH a b (ose LipA ) në vend të ,H a b .
Pohimi 6.2. Për 1 , klasa 1 ,AH a b përputhet me klasën e funksioneve f x
absolutisht të vazhdueshëm në ,a b për të cilët vlenë f x A pothuajse kudo.
Vertetim: Le të jetë 1 ,f AH a b . Për çdo 0 dhe çdo bashkësi segmentesh të
palidhura , ,k ka b a b ku 1
n
k k
k
b aA
, kemi
1 1
n n
k k k k
k k
f b f a A b a
. Kjo nënkupton që f x është funksion
absolutisht konvergjent pothuajse kudo në ,a b dhe ka derivate të fundëm që plotëson
mosbarazimin (në pikat ku ekziston)
0 0lim limx x
f x x f x A xf x A
x x
.
Rrjedhimisht për çdo 1 2, ,x x a b kemi:
2
1
1 2 1 2
x
x
f x f x f t dt A x x d.m.th. 1 ,f AH a b .
Në mënyrë të ngjashme si hapësira C , gjithashtu dhe hapësira pL , 1 p mund të
ndahet në klasa p
H si në vijim: Le të jetë t modul i vazhdueshmërisë i përcaktuar për
0 t . Atëherë klasa p
H përmban funksionet pf L për të cilit ,p f t t . Nga
relacioni 5.5 mjafton që moduli i vazhdueshmërisë t të përcaktohet vetëm në
segmentin 0,t .
24
1.7. Klasat e funksioneve të diferencueshme
Përkufizim 7.1. Ndarja në klasë e bashkësisë A të funksioneve absolutisht të
vazhdueshëm bëhet nëpërmjet ekzistimit të një numri të caktuar të derivatit si në vijim:
Le të jetë rA bashkësia e funksioneve 0,2f L që kanë derivate absolutisht të
vazhdueshëm deri në rendin 1r r dhe le të jetë B le të jetë klasë funksionesh
nga 0,2L të shqyrtuara në njësit e mëparshme. Në këtë rast në qoftë se rf A ,
r dhe rf B , atëherë themi se funksioni f x i takon klasës rA B .
Shembull. r
MA S është klasë e funksioneve 2 periodike , derivati i tër i të cilëve
nuk e kalon njëshin në modul pothuajse kudo. Kjo klasë zakonisht shnohet me rW .
r
wA H është klasë e funksioneve 2 periodike , derivati i tër i të cilëve i takon
klasës wH . Kjo klasë zakonisht shënohet me r
wW H .
Për 0r me përkufizim merret A B B .
Me L shënojmë bashkësinë e funksioneve 0,2f L për të cilët vlenë 0f t dt
.
Teorema 7.1. Bashkësia rA , r , përputhet me bashkësinë rA të funksioneve
0,2f L që mund të shprehet në trajtën
0
1
1 2cos
2 2ri
a f r itf x x t dt
i
, x 7.1
ku 0
1a f f t dt
dhe x L .
Vërtetim: Së pari vërtetojmë përfshirjen r rA A . Supozojmë që rf A dhe
0
1 0
cos sin ,2
k k k
k k
a fS f a f kx b f kx A f x
është seria Furie e këtij
funksioni.
Është e qartë që kjo seri konvergjon për çdo x , d.m.th. S f f x . Duke kryer
integrimin me pjesë ku për koeficientë Furie vlenë
25
1
cosk ka a f f t ktdt
, 1
sink kb b f f t ktdt
7.2
fitojmë
0 ( )
21
1 2cos
2 2
r
i
a f r itf x f x t dt
i
7.3
Meqë rf L për çdo rf A , fituam që
r rA A . Për vertetimin e të anasjellës japim
këto dy rezultate të njohura:
Lema 7.1. [28]Në qoftë se funksioni f C ka varacion të kufizuar në periodë atëherë
seria Furie e tij S f konvergjon uniformisht te f x .
Lema 7.2. Shuma e serive të integraleve të termeve të serisë Furie S f gjithmonë është
e barabartë me integralin e funksionit f .
Le të jetë 0
02
a fF x f t dt
. Funksioni F x është 2 periodike dhe
absolutisht i vazhdueshëm, si i tillë ka variacion të kufizuar në periodë.
Nga lema 7.1 seria Furie e këtij funksioni konvergjon uniformisht te funksioni d.m.th.
0
1
cos sin2
k k
k
a FF x a F kx b F kx
,kemi
22 2
0
0 00
2
0
1 1 sin 1cos sin
2
1sin .Ngjajsh m fitohet ,
k
k k
k
a fkta F F t ktdt F t f t ktdt
k k
b f a Ff t ktdt ë b F pra
k k k
0
1
1sin cos
2k k
k
a FF x a f kx b f kx
k
. Duke zëvendësuar 0x , gjejmë se
0
12
k
k
a F b f
k
. Pra për x kemi: 1
1sin 1 cosk k
k
F x a f kx b f kxk
Pra lema 7.2 u vërtetua. Nga relacioni 7.1 kemi
0
10
0
1
1sin cos
2
1 2cos
2 2
x
i i
i
i
a FF x t dt a ix b ix
i
a F itx t dt
i
7.4
Duke krahasuar relacionet 7.1 dhe 7.4 , për 1r funksioni f x i përkufizuar në
7.1 është absolutisht konvergjent, d.m.th. 1 1A A . Për 1r nga vetia e konvergjences
26
uniforme të serisë në 7.4 funksioni f x i përkufizuar në 7.1 mund të diferencohet
1r here.
Për më shumë 1 1rf A
që tregon se
r rA A . Pra u vërtetua që r rA A .
Kjo tregon që në bashkësinë rA operatori i diferencimit rD i rendit r N gjithashtu
mund të përkufizohet si operator që çdo funksioni rf A i shoqëron një funksion L .
Përkufizim7.2. Për 0r të fiksuar, bashkësinë e funksioneve 0,2f L për të cilët
S f përputhet me anën e djathtë të shprehjes 6.3 e shënojmë me r
rT dhe do e quajmë
bashkësi integralesh periodike të rendit të r të funksioneve L . Në bashkësinë r
rT
përkufizojmë operatorin r
rD që funksionit r
rf T i shoqërojmë funksionin L me
relacionin
0
0
1 2cos
2 2ri
a f r itS f x t dt
i
. Në këtë rast funksionin
quhet derivati i tër i Weyl-it i funksionit f dhe shënohet si r r
r rx D f f x .
Nëse r
rf T i takon klasës r
rT B .
Shembull. r
r wT H është klasë funksionesh f x , për të cilët r
r wf H .
r
r MT S është klasë funksionesh për të cilët vlenë 1r
rf x pothuajse kudo.
1.8. Funksionet e konjuguara dhe klasat e tyre
Le të jetë 0,2f L dhe
0
1
cos sin 8.12
k k
k
a fS f a f kx b f kx
seri Furie e tij. Konsiderojmë seritë fuqi
0
1
8.22
k
k k
k
a fa f ib f z
në rrethin njësi xz e , koeficientet ka f dhe kb f të së cilës janë koeficientë të
serisë 8.1 . Seria 8.1 është pjesa reale e serisë 8.2 , ndërsa seria
1
sin cosk k
k
S f a f kx b f kx
8.3
është pjesa imagjinare e serisë 8.2 dhe quhet seri e konjuguar e serisë 8.1 . Seria e
konjuguar e serisë S f është seria S f , pa anëtarin e lire.
Përkufizim 8.1. Funksioni 0,2f L për të cilin S f S f quhet funksion
trigonometrikisht i konjuguar ose thjesht i konjuguar i f x , dhe këtë lidhje
27
1
cos2 2
tf x f x t t dt
8.4
Teorema 8.1.[3,55] Le të jetë wf H dhe
1
1
0
t w t dt atëherë seritë S f dhe
S f konvergjojnë uniformisht në f dhe f përkatësisht. Për më tepër funksioni f x
është i vazhdueshëm dhe vlenë barazimi S f S f
8.5.
Barazimi 8.5 vlenë nëse f x dhe f x i takojnë 0,2L .
Teorema 8.2.[3,55] Nëse f KH , 0,1 , d.m.th. nëse
1 2 1 2f x f x K x x , 1 2,x x R … 8.5 ku K është konstantë e fiksuar, atëherë
f x gjithashtu e plotëson relacionin 8.5 me konstantë të ndryshme 1K . Për 1 ,
vlenë 1ln
t
w f t Ot
kur t . Klasat e funksioneve të konjuguara paraqiten
sipas këtij parimi.
Nëse D është klasë e funksioneve 2 periodike , atëherë me D shënojmë klasën e
funksioneve f x ku f D . Nëse 0,2f L , atëherë vlenë:
1
1 2cos
2ri
it rS f S f x t dt
i
, f L 8.6
Për r
rT paraqet bashkësinë e funksioneve seria Furie e të cilëve ka trajtën 8.6 .
klasa r
rT B paraqet klasën e funksioneve që seria Furie e ka trajtën 8.6 dhe B , ku
B është klasa e caktuar e njohur më pare.
1.9. Klasat e Weyl-Nagy
Konsiderojmë bashkësitë rT të funksionëve f x , ashtu që për 1r të fiksuar dhe
R vlenë:
28
0
1
0
1
1
1 1 2cos
2 2
1 1 2cos cos
2 2 2
1 1 2sin cos
2 2
ri
ri
ri
a f itS f x t dt
i
a f r r itx t dt
i
r it rx t dt
i
9.1
ku L . Me rD shënojmë operatorin që vepron nga
rT në L , sipas barazimit të më
sipërm. Për 2k r , k Z bashkësia rT përputhet bashkësinë r
rT . Për vlera tjera të
funksionet nga bashkësia rT janë kombinime lineare të funksioneve të konjuguara
nga r
rT dhe 1
r
rT përkatësisht.
Bashkësitë rT së pari u shqyrtuan nga Nagy. Për këtë shkak funksioni nga 9.1
quhet ,r - derivat sipas Weyl – Nagy dhe shënohet me rf , d.m.th.
r rf D f dhe
vlenë 1
2 2cos sin
2 2
r r
i i
i
ix ixS f i a f b f
9.2
Pra për 0r dhe R kemi r r rT f x D f f x L
.
Klasat e funksioneve të diferencueshme sipas Weyl – Nagy paraqiten në këtë mënyrë:
nëse rf T dhe
rf B ku B - klasë e njohur më parë, themi se f i takon klasës rT B .
Është e qartë që r r
rT B T B për 2r i , i Z dhe r r r
r B rT B T B T B për
1 2 .r i
1.10. Klasat L B
dhe C B
Në mënyrë që të arrihet përafrim më i mire për funksonin e dhënë f x është ngushtimi
i bashkësisë në të cilën do përmbahet si funksion. Për këtë qëllim konsiderojmë
përgjithësimin e operatorit të diferencimit dhe kjo thjeshtëzohet që në shprehjet 9.1 dhe
9.2 shumëzuesin ri e zëvendësojmë me shumëzuesin i , i N thënë ndryshe me
funksion të çfarëdoshëm me ndryshore nga numrat natyrorë.
29
Përkufizim 10.1. Le të jenë 0,2f L , S f seria Furie e këtij funksioni, i
funksion me variabla natyror dhe numër i fiksuar real.
Supozojmë që seria
1
1 2 2cos sin
2 2i i
i
ix xia f b f
i
10.1
është seri Furie e disa funksioneve nga 0,2L . Këtë funksion e shënojmë me f x
dhe e quajmë , - derivate i funksionit f x . Bashkësia e funksioneve që plotëson
këtë kusht shënohet me L .
Nëse f L nga lema 7.2 fitohet
0
1
1 2cos 10.2
2 2i
a f iti f x t dt
Nga ana tjetër çdo funksion f x , që ka serinë Furie
0
1
2cos
2 2i
a f i itS f x t dt
10.3
ku L , i takon bashkësisë L . Bashkësia L përputhet me bashkësinë L
të
funksionëve nga 0,2L seria Furie e të cilave është e trajtës 10.3 ku L dhe
paraqet , - derivatin e f . Në këtë rast operatori që pasqyron L në L sipas
relacionit 10.3 dhe shënohet me D
, pra D f f
.
Është e qartë që nëse ri i , 0r , atëherë L T
. Nëse seria 10.2 konvergjon
dhe shuma e saj i takon bashkësisë L , atëherë r N dhe vlenë rL A
.
Përkufizim 10.2. Le të jetë B nënbashkësi e funksioneve nga 0,2L . Nëse f L
dhe f B
atëherë themi se funksioni f x i takon klasës L B
. Për ri i , r N
vlenë L B T B
.
Me C
shënojmë nënbashkësinë e funksioneve të vazhdueshme f L dhe me C B
shënojmë klasën e funksioneve f C
ashtu që f B
.
Përkufizim 10.3. Funksioni f quhet konvulicion i dy funksioneve h dhe g nga
0,2L nëse ai mund të shprehet në trajtën 1
f x h x t g t dt
që simbolikisht
shënohet f h g . Në këtë rast g t quhet bërthama e konvulicionit.
30
Teorema 10.1.[3,9] Le të jetë , 0,2h g L , atëherë edhe 0,2f L , ku f h g .
Për më tepër nëse 0
1
cos sin2
k k
k
aS h a kx b kx
dhe
0
1
cos sin2
k k
k
aS g a kx b kx
, atëherë
0 0
1
cos sin2
k k k k k k k k
k
a aS f a a b b kx a b a b kx
10.4
Teorema 10.2.[3,9,20] Në qoftë se seria 1
2cos
2i
ixi
është seri Furie e
funksionit , 0,2D L , atëherë elementet e bashkësisë L ndryshojn nga funksionet
të paraqitura me konvulicionin ,
1f x x t D t dt
vetëm për nga anëtari i
lire dhe x përputhet me f x
pothuajse kudo.
Teorema 10.3.[20] Le të jetë dhënë funksioni k , k ashtu që lim 0k
k
dhe
2 1 2 1 0k k k k , atëherë seria 1
cosk
k kx
10.5
konvergjon kudo, përvec pikes 0x , te ndonjë funksioni 0,2f L dhe është seri
Furie e atij funksioni.
Teorema 10.4.[3,63] Le të jetë dhënë funksioni i , i N ashtu që lim 0i
i
,
atëherë shuma g x e serisë 1
sini
i ix
10.6
është e integrueshme atëherë dhe vetëm atëherë kur 1
1
.i
i i
10.7
Nëse ky kusht plotësohet atëherë 10.6 është seri Furie e funksionit g x dhe 10.5
është seri e ndonjë funksioni 0,2f L .
Teorema 10.5.[3,20] Le të jetë dhënë funksioni i , i N ashtu që lim 0i
i
dhe
plotësohet kushti 10.7 , atëherë për N , elementet f x të bashkësisë L mund të
shprehen si
0
,
1
2
a ff x x t D t dt
10.8
ku L , përputhet me f pothuajse kudo.
31
Teorema 10.6.[3,20,63] Le të jetë dhënë funksioni i , i N , R ashtu që seria
seria 1
2cos
2i
ixi
është seri Furie e funksionit , pD L , 1 p dhe
pB L , 1 1
1p p
, atëherë bashkësia C B
përbëhet nga funksione që mund të
paraqiten
0
,
1
2
a ff x f x t D t dt
ku x . 10.9
1.11. Klasat
L B
Në përkufizim e bashkësive L dhe klasëve L B
parametri mund të merrte saktësisht
një vlerë nga 1R . Tani konsiderojmë bashkësitë L
dhe klasat L B
që përcaktohen nga
dy funksione me variabla natyrorë dhe atë nga funksioni i i përkufizuar si më pare
dhe funksioni ii , k , pra numri në 10.1 zëvendësohet me numrat .i
Funksioni 0,2f L për të cilën
0
1
cos sin2
k k
k
a fS f a kx b kx
11.1
i takon bashkësisë L
nëse seria
1
2 21cos sin
2 2
i ii i
i
ix ixa f b f
i
11.2
paraqet seri Furie për ndonjë funksion f
nga 0,2L .
Përkufizim 11.1. Nëse f L
dhe f B
themi se f i takon klasës L B
.
Teorema 11.1. [20] Bashkësia L
përputhet me bashkësinë e funksioneve L
nga
0,2L , seria Furie e të cilëve ka trajtën
0
1
2cos
2 2
i
i
a f i itS f x t dt
11.3
ku L .
32
Përkufizim 11.2. Nëse funksioni f x plotëson barazimin 11.3 , atëherë funksion
x quhet , - derivat i funksionit f x dhe operatori që pasqyron L
në L
shënohet me D
, d.m.th. f D f
.
Teorema 11.2.[20,63] Në qoftë se seria 1
cos2
k
k
k kx
është seri Furie për
funksion ,
D x
atëherë elementet e bashkësisë L
mund të shprehen në trajtën
0
,
1
2
a ff x x t D t dt
ku L dhe përputhet me f x
pothuajse
kudo.
Përkufizim 11.3. Nënbashkësinë e funksioneve të vazhdueshme nga L
e shënojmë
me C
dhe klasën e funksioneve f C B
ku f B
e shënojmë me C B
.
Përkufizim 11.4. Themi se funksioni 2 periodik f i takon klasës Nikolsky
, ,H p k , 1 p në qoftë se:
1. pf L
2. ,k pf C ashtu që është funksion pozitiv dhe i vazhdueshëm në 0,1 ,
1 ,1 2C ku 1 2 dhe
1 2, 0,1 dhe ,22 C për 1
0,2
11.1
ku ,1 ,2, ,C C C janë konstante që nuk varen nga 1 2, dhe .
33
II. INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK
2.1. Koncepti i interpolimit
Me rastin e shqyrtimit të ndonjë problemi matematikor, qoftë nga pikëpamja teorike apo praktike,
shpesh herë paraqitet nevoja që me një shkallë të caktuar të saktësisë , funksioni i caktuar të
zëvendësohet (përafrohet) me një funksion tjetër më të përshtatshëm ose më thjesht me një
funksion konkretisht të njohur.
Ndonjë funksion më i komplikuar f x zakonisht përafrohet me funksion të trajtës
0( ; , . . . , )nx a a ku 0 , . . . , na a
paraqesin parametrat që duhet të caktohen dhe karakterizojnë
përafrimin më të mirë të funksionit f x .Në varshmëri të sensit se si kryhet përafrimi,
ekzistojnë tre lloje të qasjeve:
a) Përafrimi interpolativ: Parametrat ia zgjidhen që për bashkësinë e dhënë të pikave
, 0,1,...,ix i n të vlejë relacioni 0( ; , . . . , )i n ix a a f x .Disaherë, për më tepër
kërkojmë që, për çdo i, ir derivatet e para të përputhen me të atyre të f në
, 0,1,...,ix i n.
b) Përafrimi me katrorët më të vegjël: Parametrat ia zgjidhen ashtu që të minimizohet vlera
02
( ; , . . . , )nx a a f x
c) Përafrimi me Min-Max: Parametrat ia zgjidhen ashtu që të minimizohet vlera
0( ; , . . . , )nx a a f x
.
Në këtë kapitull do shqyrtojmë përafrimin interpolativ trigonometrik. Interpolimi është një nga
teknikat numerike më të të përdorshme, me anë të së cilit përfitohen metoda të fuqishme dhe
efikase për zgjidhjen e problemeve të teorisë së përafrimeve të funksioneve, të diferencimit dhe
integrimit numerik, për zgjidhje numerike të ekuacioneve diferenciale të zakonshme ose me
derivate të pjesshme, për zgjidhje të barazimeve algjebrike, transhedente e të tjera. Ai përbën
mjetin e pazëvendësueshëm gjatë punës me funksione të dhëna në mënyrë tabelare ose grafike.
Le të jetë dhënë funksioni f i përcaktuar në segmentin ,a b dhe F klasë e funksioneve të
„‟thjeshta‟‟. Këtu do të shqyrtojmë funksionet e tilla g F të cilat në ndonjë mënyrë kanë dicka
të përbashkët me funksionin f (funksionin interpolues), ose janë „‟më të përafërta „‟ me
funksionin f në krahasim me funksionet tjera nga klasa F . Me metodat numerike funksioni i
dhëne f zakonisht zëvendësohet me ndonjë funksion nga klasa e përkufizuar dhe e njohur që
34
më parë F . Kjo klasë e funksioneve është më e përshtatshme për shqyrtime të nevojshme, për të
cilën klasë edhe ekzistojnë tabelat e vlerave të funksioneve përkatëse, programet e ndryshme
kompjuterike ose edhe vlerat e tyre mund të llogariten në mënyrë më të thjeshtë.
Detyrat e një natyre të tillë i hasim me rastin e fitimit të njohurive nga analiza matematike. P.sh.,
le të jetë dhënë funksioni f në intervalin ,a b , i cili në pikën 0 ,x a b ka derivate të rendit të
n -të. Duhet të gjendet polinomi nP x i shkallës jo më të lartë se n , që së bashku me derivatet
e tij deri në rendin e n -të ka vlera të barabarta në pikën 0x , përkatësisht me vlerat e
funksionitdhe derivatet e tij, pra:
0 0
0 0 , 0,1,2,..., ; ; ,k k
n n nP x f x k n f f P P (1.1)
Ku në këtë rast konkret klasa F përbëhet nga të gjitha polinomet e shkallës jo më të lartë se n .
Në përgjithësi, funksionet e klasës F kanë të përbashkët me funksionin e dhënë f vetinë e
përcaktuar me (1.1). Sic dihet , polinomi i tillë çdoherë ekziston dhe është i vetëm si dhe
paraqetpjesën kryesore të polinomit të Tejlorit të shkallës n , në pikën 0x , d.m.th.:
20 0 0
0 0 0 0...1! 2! !
nn
n
f x f x f xP x f x x x x x x x
n
(1.2)
Vërejme se polinomi (1.2) paraqet zgjidhjen edhe të një problemi të rëndësishëm. Ndër të gjitha
polinomet e shkallës jo më të lartë se n ai paraqet përafrimin më të mirë të funksionit të dhënë f
kur x tenton në 0x
, përkatësisht për polinomin nP x të dhënë me barazimin (1.2) vlenë
barazimi:
0 0,
n
nf x P x o x x x x (1.3)
Në anën tjetër nuk eksiston polinom i shkallës jo më të lartë se n , i ndryshëm nga polinomi i
përcaktuar në (1.2), që e plotëson kushtin (1.3)
2.2. Shtrimi i problemit të interpolimit. Polinomet interpoluese të Lagranzhit
dhe Njutonit
Shtrojmë problemin e interpolimit në këtë trajtë:
Në segmentin ,a b janë dhënë vlerat e funksionit y f x në 1m pika të ndryshme , që
paraqesin nyje të interpolimit :
1 2 3 1... , , 1,2,..., 1m i ix x x x y f x i m (2.1)
35
Duhet gjetur polinom nP x i shkallës jo më të lartë se n i cili në mënyrë të përafërt e shpreh
funksionin y f x dhe të ketë të njejtat vlera me vlerat përkatëse të funksionit y f x ,
d.m.th. të plotësojnë kushtin:
, 1,2,..., 1k k kf x P x k m (2.2)
Një përafrim i tillë i funksionit quhet interpolim, ndërsa polinomi i tillë nP x quhet polinom
interpolues. Me nP do të shënojmë bashkësinë e të gjithë polinomeve të shkallës jo më të lartë se
n , d.m.th. bashkësinë e gjithë funksioneve të trajtës:
0 1 ... , , 1,2,...,n
n n iP x a a x a x a R i n (2.3)
Për të shqyrtuar ekzistencën e polinomit nP x P që plotëson kushtin (2.2), polinomin e tillë e
marrim si polinom të trajtës (2.3) dhe me zëvendësimin e tij në (2.2) fitohet sistemi:
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
...
...........................................
...........................................
...
n
n
n
m n m m
a a x a x f x
a a x a x f x
(2.4)
Vërehet se përcaktori i koeficientëve të këtij sistemi që ndodhen në k rreshta të parë dhe k
shtylla të para paraqet përcaktorin e Vandermondit, që në këtë rast ndryshon nga zero meqë nyjet
e interpolimit janë të ndryshme. Për këtë arsye rangu i matricës së sistemit (2.4) është i barabartë
me më të voglin prej dy numrave 1n dhe 1m ( 1n -numri i shtyllave, 1m -numri i
rreshtave). Nëse m n , atëherë sistemi (2.4) nuk ka zgjidhje. Nëse m n , atëherë sistemi i
ekuacioneve ka zgjidhje të pafundme. Në këtë mënyrë numri natyror minimal për të cilin ka
zgjidhje problem i interpolimit (2.2) me kushtin nP x P , duhet të jetë jo më i vogël se numri i
nyjeve interpoluese i zvogluar për një d.m.th. duhet të jetë .m n
Me zgjidhjen e sistemit (2.4) për m n ( për këtë rast vlenë uniciteti), polinomi interpolues
nP x P quhet polinom interpolues i Lagranzhit , i cili mund të shënohet në trajtën:
11 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1
... ...
... ...
nk k n
k
k k k k k k k k k
x x x x x x x x x xP x f x
x x x x x x x x x x
(2.5)
dhe paraqet polinom të shkallës jo më të lartë se n e që plotëson kushtet (2.2) dhe është i vetëm.
marrim shënimet:
36
1
1 , supn
na x b
M a b f x
, 1
1
n
i
i
w x x x
,
1 1 1 1.... ...i i i i i i i nw x x x x x x x x x
dhe (2.5) merr trajtën
1
1
n
i
i i i
w xP x f x
x x w x
. Tani gjejmë diferencën ndërmjet
y f x dhe P x për një pikë të cfarëdoshme ,x a b dhe , 1,2,..., 1ix x i n .
Shqyrtojmë funksionin:
G x f x P x Rw x ku R është një konstantë që përcaktohet nga kushti 0G x .
Meqë 0, 1,2,..., 1iG x i n dhe funksioni ka derivate deri në rendin e 1n , duke përdorur
teoremën e Roles në mënyrë të përsëritur , ekziston pika ,a b për të cilën 1
0n
G
.
Por 1 1
1 !n n
G f R n
prej nga
1
1 !
nf
Rn
. Atëherë gabimi i trungëzimit do
të jetë
1
1 !
nf
E x w xn
. Pra kemi vlerësimi për gabimin me rastin e interpolimit të
funksionit y f x sipas (2.5)
1 ,max
( 1)!
n
a x b
M a bR w x
n
. Nga kjo formulë shihet se nëse
duam të zvogëlojmë gabimin me rastin e interpolimit ateherë mjafton që të zgjedhim nyjet e
interpolimit , në atë mënyrë që madhësia maxa x b
w x
të jetë sa më e vogël. Në rastin për
1, 1a b polinomet w x , për të cilët madhësia max
a x bw x
arrinë vlerë më të vogël, quhen
polinome të Cebishevit dhe shënohen në trajtën: 1
1cos 1 arccos , 1,2,....
2n n
T x n x n .
Rrënjët e polinomit të Cebishevit nT k paraqiten me barazimin
,
2 1cos , 1,2,...; 1,2,...
2k n
kx k n
n
. Ndërmjet dy rrënjëve fqinje ,k nx dhe 1,k nx të
polinomit nT x ndodhet një dhe vetëm një rrënjë e polinomit 1 , 1,2,...nT x n [1, 17,
46,81,82].
Shembull . Me metodën e Lagranzhit të interpolohet funksioni y f x nëse
2 0, 1 2,f f 2 0f dhe 4 4f .
Menjëherë nga relacioni (2.5) kemi 3 213 4 12 .
3f x P x x x x
37
Paraqesim tani trajtën tjetër të polinomit interpolues. Polinomin e interpolimit të
Lagranzhit P x , për rastin e vecantë me nyje të baraslaguara, kjo d.m.th. kur:
1 1 2, 2,3,..., 1, , .i i
b ax x i n x a x b
n
Për këtë arsye japim kuptimin e diferencës
,k
h x f të funksionit f x me hapin h . Le të jetë h numër i fiksuar , atëherë sipas
përkufizimit:
0,h x f f x
1,
.......................................................
h h x f f x h f x
1
11 1
1
0
, , , 1k
k jk k j
h h h k
j
x f x x f C f x jh
Vërehet se vlerat e funksionit f x në pikat , 0,1,2,...,x kh k n shprehen si kombinim linear
i vargut të fundëm të diferencave në pikën fillestare ,x
0
, , 0,1,2,..., .k
jj
k h
j
f x kh C x f k n
Në segmentin ,a b zgjedhim nyjet interpoluese të baraslarguara:
1 , 1,2,..., 1, .k
b ax a k h k n h
n
Atëherë polinomi interpolues P x që plotëson kushtet (2.2) për m n me anë të diferencave,
mund të shkruhet në trajtën:
1
... 1,
!
knh
kk
x a x a h x a k ha fP x
h k
(2.6)
Dhe paraqet polinomin interpolues të Njutonit, i cili është më i thjeshtë dhe më i përshtatshëm
për llogaritje sesa polinomi interpolues i Lagranzhit [17, 46].
Shembull. Me formulën interpolative të Njutonit të përafrohet funksioni siny x në mënyrë që
grafiku i polinomit P x të kalojë nëpër ato pika të sinusoidës që kanë abshisat: 0 10, ,
2x x
3 4
3, 2
2x x
.
Kemi 0 1, , 1,2,3,4
2k ks x x x h x x k
0 1 2 11, 1, 1, 1,y y y y
2 2 2 3 3 4
0 1 2 0 1 02, 0, 2, 2, 2, 0y y y y y y
38
Duke zëvendësuar këto vlera në (2.6) fitojmë polinomin interpolativ të Njutonit për funksionin
siny x në segmentin 0,2 , fitohet 2
2
8 2 3sin 2
3
x x xx
.
Japim përgjithësimin e problemit e parashtrimit të interpolimit. Në segmentin ,a b le të jetë
dhënë sistemi i funksioneve të vazhdueshme 1 2, ,..., nx x x . Me anë të këtyre
funksioneve do realizojmë interpolimin me funksionin e trajtës 1
n
i i
i
x x
. Detyra
interpoluese për funksionin e dhënë f x në segmentin ,a b , me nyjet interpoluese të dhëna
, 1,2,...,ix i n qëndron në kërkimin e numrave , 1,2,...,i i n në mënyrë që
, 1,2,...,i if x x i n . Që ky problem interpolues të ketë zgjidhje, madje të vetme për
cfarëdo funksion f x , konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme është që përcaktori:
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
1 2
...
..., ,...,
... ... ... ...
...
n
n
n
n n n n
x x x
x x xD
x x x
(2.7)
Të ndryshojë nga zero në rastin kur të gjitha nyjet dy nga dy ndryshojnë ndërmjet veti. Ky kusht
është ekuivalent me problemin që secili funksion i përgjithësuar 1
n
i i
i
x x
identikisht jo
i barabartë me zero, tenton në zero në segmentin ,a b në jo më shumë se 1n pika të ndryshme.
Sistemin e tillë të funksioneve e quajmë sistem i Cebishevit.
Sistemi eksponencial 2 11, , ,..., nx x x paraqet sistem të Cebishevit, meqë përcaktori
2 11, , ,..., nD x x x është përcaktori i Vandermondit dhe plotëson kërkesat e parashtruara. Në
vazhdim do paraqesim rastin kur i x janë funksione trigonometrike, përkatësisht funksionet e
sinusit dhe kosinusit të këndit.
2.3. Interpolimi trigonometrik
Në përgjithësi në probleme të ndryshme praktike hasim në funksione periodike, d.m.th.
funksione që plotësojnë vetinë , Rf x T f x x , për 0T , për interpolimin e të
cilëve shfrytëzohen polinomet trigonometrike, meqenëse polinomet algjebrike nuk janë të
përshtatshme pasi që nuk janë periodike.
Në [78] në pjesën hyrëse kemi përmbledhur këto njohuri në lidhje me interpolimin
trigonometrik.
Duhe mos humbur nga përgjithësimi supozojmë se 2T , dhe le të jetë dhënë bashkësia e
pikave (nyjeve të interpolimit);
39
1 2 3 2 10 ... 2nA x x x x
dhe bashkësia e cfarëdoshme e numrave real B = {𝑦1 ,𝑦2, … , 𝑦2𝑛+1}
Polinomi trigonometrik 𝑇𝑛 𝑥 = 𝑇𝑛 𝐵, 𝐴, 𝑥 që merr vlerat 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2𝑛 + 1 , për pikat
𝑥𝑖 , d.m.th.:
( ) , 1,2 1n i iT x y i n (3.1)
quhet polinom interpolues trigonometrik për bashkësinë e dhënë B në lidhje me sistemin e
nyjeve A. Polinomi interpolues 𝑇𝑛 𝐵, 𝐴, 𝑥 ekziston, është i vetëm dhe në trajtë eksplicite mund
të shprehet si në vijim:
1 1 2 112 1 2 1
,1 1 1 2 11 1
sin ...sin sin ...sin2 2 2 2( , , ) , 3.2
sin ...sin sin ...sin2 2 2 2
k k nn n
n k n k kk k k k k k nk k
x x x x x xx x
T B A x y t A x yx x x x x x x x
ku 𝑡𝑛 ,𝑘(𝐴, 𝑥) është polinom i shkallës n dhe quhet polinom themelor, dhe
,
1,
0,
k
n k
k
x xt
x x
, k = 1,2𝑛 + 1
Shihet qartë se numëruesi në relacionin (3.2) është polinom trigonometrik i shkallës n,
dhe e plotëson relacionin (3.1).
Në rastin e nyjeve të baraslarguara kemi:
, ,
2, 0,2
2 1n
n n
k k k
kx x x k n
n
(3.3)
ku 𝜀 = 𝜀(𝑛) paraqet madhësi që varet prej n dhe përkufizojmë bërthamën Dirikle:
1
1sin
1 2cos
22sin
2
n
n
k
n t
D t ktt
(3.4)
Që paraqet polinom trigonometrik të shkallës t dhe
0, 1,22
2 12 1 , 0
2
t
k nk
D tt k
, përkatësisht
,
1,2,
0,2 1
k
p k p k
k
x xt x D x x
x xp
.
40
Nga (3.2) kemi se 2
0
2, ,
2 1
n
n k n k
k
A f x f x D x xn
, që në trajtë kanonike shprehet si në
vijim:
2 2
0
1
1, , cos sin , 0 3.5
2
n nn n n n n nikx
n k k k k k
k k n
A f x a a kx b kx c e a b
Duke krahasuar dy barazimet e fundit fitohen relacionet:
2
0
0
2
2 1
nn
i
i
a f xn
2
0
2cos , 0,
2 1
nn
k i i
i
a f x kx k nn
2
0
2sin , 0,
2 1
nn
k i i
i
b f x kx k nn
2
0
1, 0, 1,...,
2 1
j
nikxn
k j
j
c f x e k nn
Numrat n
ka dhe n
kb quhen koeficientë të Furie-Lagranzhit të funksionit f x që i
korrenspodon sistemit të nyjeve (3.3) dhe numrat n
kc koeficientë kompleks të Furie-Lagranzhit
të funksionit f x .
Në vazhdim propozojmë algoritmin për caktimin e koeficientëve Furie-Lagranzhit të funksionit
interplues trigonometrik f x për n te dhënat {x0, x1, x2, …,xn-1}:
If Mod[n,2]==0 then m = n/2
else m = (n-1)/2
cossum=0
sinsum=0
For[j=0, jm, j++,
ajsum = 0
bjsum = 0
For[k=0, k(n-1), k++,
ajsum = ajsum + xk Cos[j(2k)/n]
bjsum = bjsum + xk Sin[j(2k)/n]]
If j==0 then ajsum = ajsum/2
If j==m and Mod[n,2]==0 then ajsum=ajsum/2
cossum=cossum+ajsum*(2/n)Cos[jt]
sinsum=sinsum+bjsum*(2/n)Sin[jt]]
f(t) = cossum + sinsum
41
Shembull: Kryejmë intepolimin trigonometrik per te dhënat {-5,1,2,3}.
Kemi n=4, m=n/2=2. Caktojme a0, a1, a2, b1, b2
2 0 2 1 2 2 2 30 4 4 4 4
2 11 cos 0 3 cos 0 5cos 0 2cos 0
4 2a
2 0 2 1 2 2 2 30 4 4 4 4
21 sin 0 3 sin 0 5sin 0 2sin 0 0
4b
1 2 1 23, 2.25, 0.5, 0a a b b , pra
0.25 3cos 2.25cos2 0.5sin 2f t t t
2.4. Mbi kalimin nga interpolimi algjebrik në interpolim trigonometrik
Përkufizim 4.1.
Me 2C shënojmë klasën e gjitha funksioneve të vazhdueshme me periodë 2𝜋
dhe me 2PC shënojmë klasën e funksioneve pjesë-pjesë të vazhdueshme. Funksioni
: 0,2f thuhet se është pjesë-pjesë i lëmueshëm në qoftë se është pjesë-pjesë i
vazhdueshëm dhe nëse ekziston sistemi i nyjeve I ashtu që f të ketë diferencial të vazhdueshëm
në çdo interval të hapur ndërmjet dy nyjeve fqinje dhe në këto f të ketë limit të njëanshëm (me
vlerë të fundme) dhe e shënojmë me 2PS .
Teorema 4.1.[59] Le të jetë 2f x C , atëherë vargu i polinomeve trigonometrike
0 1, , , , ... , ,
1
n
sn
I f x I f x I f xU x
s
, 𝑠 ≤ 𝑛, kur s→ ∞, konvergjin uniformisht
tek funksioni f x në gjithë boshtin real.
Teorema 4.2.[6] Le të jetë 2f x C . Atëherë për çdo 𝜀> 0 ekziston polinomi trigonometrik
T x , ashtu që për çdo x, vlenë f x T x .
Duke patur parasysh që në problemet praktike më së shumti hasim në funksione periodike të cilat
më lehtë interpolohen me anë të interpolimit trigonometrik japim pohimet, të cilat do i
shfrytëzojmë për lidhje në mes të interpolimit algjebrik dhe atij trigonometrik.
Pohim 4.1. Le të jetë 2 2f x C PS ashtu që 0 2f f atëherë ekziston polinomi
trigonometrik i cili konvergjon absolutisht dhe uniformisht në segmentin 0,2 tek funksioni
.f x
42
Vërtetim: Vlenë cos sink k k ka kx b kx a b ,ku ka dhe kb paraqesin koeficientët Furie të
funksionit f. Meqenëse dhe seria 2 22 k ka b
konvergjon. Pra ekziston polinomi trigonometrik në këtë rast seria Furie e funksionit f që
konvergjon absolutisht dhe uniformisht në segmentin tek funksioni
Pohim 4.2. Polinomet trigonometrike mund uniformisht të përafrohen me anë të polinomeve në
ndonjë interval me gjatësi të fundme.
Vërtetim: Së pari dimë që polinomi trigonometrik është kombinim linear i funksioneve coska kx
dhe sinkb kx . Funksionet trigonometrike coskx dhe sin kx zbërthehen në seri fuqi
(eksponenciale) që konvergjojnë për çdo x, pra polinomi trigonometrik transformohet në seri
fuqi që konvergjon për çdo x, përkatësisht shumat e pjesshme të serive të tilla konvergjojnë
uniformisht në ndonjë interval me gjatësi të fundme. Secila nga këto shuma është polinom pra
çdo polinom trigonometrik mund të përafrohet uniformisht me anë të ndonjë polinomi në atë
interval.
Pohim 4.3. Cdo funksion i vazhdueshëm mund të përafrohet uniformisht uniformisht me anë të
ndonjë funksioni të vazhdueshëm, pjesë-pjesë të lëmueshëm në ndonjë interval të mbyllur të
fundëm.
Vërtetim: Cdo funksion i vazhdueshëm f x , i përkufizuar në intervalin a≤ 𝑥 ≤ 𝑏, mund të
përafrohet me anë të vargut të funksioneve vijë-thyer nT . Pra për çdo sistem të nyjeve A,
nT
mund të ndërtohet duke i lidhur pikat fqinje 0 0 1 1( , ( )),( , ( )),..., ( , ( )) n nx f x x f x x f x , me anë të
segmenteve; grafiku i fituar e përcakton vargun nT në interval. Nga vazhdueshmëria e funksionit
f x është e qartë që nT f x për çdo x në interval, gjithashtu nT konvergjon uniformisht te
funksioni f x .
Pra duke shfrytëzuar këto pohime dhe periodizimin mund te kalohet te interpolimi
trigonometrik.
Le të jetë f x funksion me derivate të fundëm të rendit 1r dhe i përkufizuar në segmentin
a≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Me anë të zëvendësimit 2
a b a b tx
kryhet kalimi nga funksioni f x në
funksionin 2
a b a b tF t f
të përkufizuar në segmentin -1≤ 𝑡 ≤ 1.
Për funksionin f x të përkufizuar në segmentin -1≤ 𝑥 ≤ 1 në mënyrë që të aplikohet
interpolimi trigonometrik , së pari bëhet zëvendësimi i funksionit f x
me funksion
periodik,duke zgjeruar domenin e tij në tërë boshtin real në mënyrë që të fitohet funksion jo i
vazhdueshëm periodik me periodë T=2, si në figurën e mëposhtme:
2 2f x C PS 0 2f f
0,2 .f x
43
Fig1. Funksion periodik me peroidë 2.
Prandaj në vend të funksionit f x , -1≤ 𝑥 ≤ 1 marrim në konsideratë koordinatat polare
cosF f x f (4.1)
Nga relacioni (4.1) shihet që F është funksion cift 2𝜋 – periodik, dhe 1
1
r
r
d F
d
është i
kufizuar.
Le të jenë 2
, 0, 1,..., 1 , 2 1k
kk n N n
N
, nyje të interpolimit . Meqenëse
𝑥𝑗 = cos 𝑗 për interpolimin e funksionit cift 2𝜋 – periodik F kemi:
0
cos ,sin , cosn
n k
k
Q F a k
, ku
0
0 0
2 2, cos , 1, .
1 1
n n
i k i i
i i
a f x a f x k k nn n
Teorema 4.3. Funksionet 𝑇𝑘(𝑥) të përkufizuara si 𝑇𝑘(𝑥) = cos𝑤 = cos(karccosx), k = 0,1,2,…
janë polinome të shkallës k = 0,1,2,… Vecanërisht 𝑇0(x) = 1, 𝑇1 𝑥 = 𝑥, dhe gjithë polinomet
tjera që fitohen me anë të formulës rekurente
𝑇𝑘+1 𝑥 = 2𝑥𝑇𝑘 𝑥 − 𝑇𝑘−1 𝑥 . (4.2)
Vërtetim: Është e qartë se 0 cos0 1T x dhe 𝑇1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑥.
Duke përdorur identitetin cos(k+1)𝑤 + cos(k-1)w = 2cos𝑤cosk𝑤, k = 0,1,2,…, për 𝑤 = arccosx,
fitohet relacioni (4.2). Tani me anë të induksionit shihet se për k = 0,1shkalla e polinomeve është
e dukshme. Le të fiksojmë k > 1 dhe supozojmë se për i = 0,1,2,…,k, 𝑇𝑖(𝑥) janë polinome të
shkallës i. Atëherë nga ana e djathtë e relacionit (4.2)gjithashtu 𝑇𝑘+1 𝑥 është polinom i shkallës
v .Nga relacioni (4.2) duke zëvendësuar 𝑤 = arccosx, në formulat e mësipërme fitohet
cos ,sin , ,n nQ w w F P x f ku 0
,n
n k k
k
P x f T x a
, është polinom algjebrik me shkallë
jo më të lartë se n, që përputhet me vlerat e dhëna të fuksionit në nyjet e interpolimit dhe fitohet
44
0 0
0 0
0 0
2 2,
1 1
2 2cos , 1, .
1 1
n n
i i i
i i
n n
k i i k i
i i
a f x f x T xn n
a f x kw f x T x k nn n
Duke përdorur MATLAB, në figurën e mëposhtme do paraqesim grafikun e polinomeve të cekura
në teoremën 4.6 për n=1,2,3,4
Fig.1 Polinomet Tk, k=1,2,3,4
Shembull: Do të bëjmë interpolimin e funksionit të lëmueshëm 10y x me anë të polinomeve
të shkallës 2 dhe 6!
Duke përdorur MATLAB gjejmë vlerat e koeficientëve dhe polinomet interpoluese grafikisht i
paraqesim në figurën e mëposhtme
Për n=2 fitohet
0 1 20,9547, 0,1567, 0,0598a a a
Për n=6 fitohet
0 1 2 3 4 5 60,9547, 0,1567, 0,0598, 0,0324, -0.0202, 0,0136, 0,0096a a a a a a a
45
Fig2. Polinome përfaruese të funksionit
Gjithashtu në [78] kemi shqyrtuar dhe interpolimin me anë të familjes së nyjeve këndore
për , R , të cilat janë zerot e funksionit trigonometrik 1
2 1 sin sin2 2
vT
( që nuk paraqet polinom trigonometrik në krahasim me
1
2 sin sin2 2
vT
që është polinom trigonometrik i shkallës v).
Përdorim zëvendësimin e ndryshores
1
sin , , , 0, , sin 0,12 2
x
(4.3)
, dhe me / 1,2,...,2 1j j n shënojmë zerot e 2 1nT x , si në vijim:
2 1
1 cos 1, 1,2 14 2
j j
jn j n
n
(4.4)
të cilëve u korrenspodojnë nyjet këndore
arcsin , , 1,2 1
2 2 2
j
j j n
(4.5)
d.m.th. zerot e 2 1
1sin
2 2nT
.Nga përkufizimi kemi 1
sin2
j
j
, 1 cos 0
2n
,
1 0n dhe për 1j n , 2 10j n j
, përkatësisht 2 10j n j
. Shohim që për
1 , vargu j paraqet 2 1n nyje këndore të baraslarguara në intervalin ,
dhe ky varg është i pazgjidhshëm për bashkësinë e interpolimit në
10y x
46
, 1,sin ,cos , 1,2,..., , ,nT span k k k n hapësira 2 1n dimensionale
e polinomeve trigonometrike të shkallës jo më të lartë n të kufizuar në , , [39]..
Me
2 1
2 1
n
j
j n j
T xx
x T
shënojmë polinomin algjebrik të j-të të Lagranzhit për nyjet
j , j jk . Nyjet këndore j për
1sin
2x
të përkufizuar si në relacionin (4.4),
polinomi korrenspodues i Lagranzhit mund të shënohet si 1 1n n x dhe për 1j n
2 2
2 1 2 12
sin sin1
2 sin
j j
j j j j jn j n j
j
xx x x a x b
x
ku 1 1
cos cos , cos cos2 2 2 2
2cos 2cos2 2
j j
j jj j
a b
.
Vërtetojmë pohimin e mëposhtëm:
Pohim 4.4. Polinomi interpolues trigonometrik në nyjet këndore k mund të shënohet si
2 1 2 1 2 1
1 1 1
cos2
cos2
n n no k
k k e k k k
k j k k
ku 1
sin2
x
si te
relacioni (4.4), 1
2e (pjesa cift e funksionit),
1
2o
(pjesa tek e funksionit)
.
Vërtetim: Meqë 1 1
cos cos , cos cos2 2 2 2
2cos 2cos2 2
j j
j jj j
a b
2 1
1 12 1 2 11 1
n n
k k k k n nn k n kk k
2 2 1 1
1
n
k k k n k n n
k
47
2 1 2 11
1 1
1
1 12 1
1
2 1
{
}
cos2
2 2cos
2
n
k k k k k k k kn k n kk
n
n n k k k k k
k
k k k k n nn k
nk k k k
kkk
k
n k
a x b x b x a x
x x a b
x a b x
x
x
1 1
1
2 1 2 1
1 1
2 1 2 1
1 1
cos2
2 2cos
2
cos2
2 2cos
2
cos .2
cos2
nk k k
n nkk
n nk k k k
k kkk k
n no k
e k k kkk k
x
x x
2.5. Lidhja ndërmjet koeficientëve Furie dhe koeficientëve të Furie-
Lagranzhit
Që te vimë deri te lidhja ndërmjet koeficientëve Furie dhe koeficientëve të Furie-Lagranzhit në
fillim japim këto teorema ndihmëse.
Teorema 5.1. [2,28] Në qoftë se f paraqet funksion 2 p periodik, pjesë-pjesë të lëmueshëm,
atëherë seria Furie e tij ka trajtën komplekse
/ ,iv x p
v
v
S f x C e
ku /1,
2
p
iv x p
v
p
C f x e dx v Zp
(5.1)
dhe quhen koeficientë kompleks Furie të funksionit f .
48
Shembull .
Le te jetë f funksion 2 -periodik ashtu që c o s h , , ,
2
a x a xe ef x ax x
0 , , 2 , . . .a i i . Koeficientët kompleks Furie të këtij funksioni do të jenë
22
1 1 1cosh
2 4 4
11
4 4
1 sinh 1 sinh1 1
2 2
a iv x a iv xivx ax ax ivx
v
va iv x a iv x a a a a
v v
C ax e dx e e e dx e e dx
e e e e e e
a iv a iv a iv a iv
a a a in a in
a iv a iv a iv
2 2
1 sinhv
a
a v
Pra
2 22 2
1 sinh 1sinhv v
ivx ivx
v v
a a a aS f x e e
a va v
Shembull .
Le te jetë g funksion 2 -periodik ashtu që c o s , , ,g x a x x . Koeficientët
kompleks Furie të këtij funksioni do të jenë 0, 1, 2,...a Koeficientët kompleks Furie të këtij
funksioni do të jenë:
1 1 1cos
2 4 4
1 1
4 4
1 1 si
4
a v ix a v ixivx iax iax ivx
v
a v ix a v ix a v i a v i a v i a v i
v via ia ia ia
C ax e dx e e e dx e e dx
e e e e e e
i a v a v i a v a v
ae e e e
i a v a v
2 2
n a
a v
Pra
2 22 2
1 sin 1sin.
v v
ivx ivx
v v
a a a aS g x e e
a va v
Pohimi i mëposhtëm jep lidhjen ndërmjet koeficientëve kompleks Furie dhe koeficientë të Furie-
Lagranzhit
49
Pohim 5.1. Le te jenë vC dhe
n
vc ,përkatësisht, koeficientët kompleks Furie dhe dhe
koeficientët të Furie-Lagranzhit të funksionit f , për sistemin
, ,
2, 0,1,2, ,2 ,
2 1n
n n
j j j
jx x x j n
n
Atëherë vlenë relacioni
2 1
2 1, 0, 1, 2,...,
n n im
v v m nm
c C e v n
(5.2)
Si dhe seria Furie e funksionit f në pikat ,
n
j jx x konvergjon në vlerat jf x ndërsa ana e
djathtë e barazimit të mësipërm është i barabartë me limitin e shumave të pjesshme të zbërthyera
në mënyrë simetrike.
Vërtetim. Nga relacioni
2
0
1, 0, 1,...,
2 1
j
nivxn
v j
j
c f x e v nn
kemi
2 2 2
0 0 0
2 1 j j j
n n nivx i k v x i k v xn
v j k k
j j k k j
c n f x e C e C e
.
Meqenëse 2
2 1j
jx
n
dhe
2
22 22 1
0 0
2
2 1
1 0, 2 1 ,
2 1 , 2 1 ,1
j
i j k v
jn n i k vi k v x n
j j
k v i i j k v
k v i
n
e e
e e k v n m m Z
n e k v n m m Ze
Fitohet
22 1
2 10
1, 0, 1, 2,...,
2 1
j
ni k v xn n im
v k v m nk j m
c C e C e v nn
, gjë që
duhej vërtetuar.
Meqenëse n n n
v v vc a ib dhe v v vC a ib , ku v va a f dhe v vb b f , nga teorema e
posavërtetuar kemi se
2 1 2 1 2 1 2 1
1
cos 2 1 sin 2 1 , 0,n
v v m n v m n v m n v m n vm
a a a a n m b b n m v n
Dhe
2 1 2 1 2 1 2 1
1
cos 2 1 sin 2 1 , 1,n
v v m n v m n v m n v m n vm
b b b b n m a a n m v n
Këto barazime paraqesin lidhjen në mes koeficientëve të Furie-Lagranzhit n
va dhe n
vb të
funksionit f dhe koeficientëve Furie të tij, va dhe vb .
50
2.6. Mbi përshtatjen e formulave të Hermitit te Interpolimi trigonometrik
Shpesh është e nevojshme që polinomi interpolues i një funksioni të derivueshëmtë ketë cilësi
shtesë, për shembull, vlerat e derivatit të tij në disa pika të përputhen me vlerat e derivatit të
funksionit të dhënë në këto pika. Një cilësi të tillë e plotëson polinomi interpolues i Hermitit.
Le të jenë dhënë s -nyje të interpolimit 1 2, ,..., sx x x , si dhe numrat natyrorë
1 2, ,..., s ashtu
që 1 2 ... 1s n . Duhet të gjendet polinomi P x , mundësisht i shkallës sa më të
vogël, i tillë që:
( ) , 0,1,..., 1, 1,2,...,
mm
k k kP x f x m k s
(6.1)
Në këtë rast për çdo 0,i ekziston nyja ix e cila quhet nyje e shumfishtë e rendit
i e
interpolimit. Për 1,i nyja ix quhet nyje e thjeshtë. Formulojmë detyrën e Hermitit që paraqet
përgjithësim të problemit të interpolimit shqyrtuar më parë e që fitohet për
1 2 ... 1, 1s s n .
Detyra e Hermitit gjithmonë ka zgjidhje dhe ajo zgjidhje është e vetme. Në vazhdim marrim
shënimin
1
t
s
t
t
x x x
(6.2)
Zbërthejmë më tej funksionin racional
1
!
i
ix x
k x
, regular në rrethinën e pikës ix në seri të
Tejlorit dhe shënojmë me ikl x shumën e atyre kufizave të këtij zbërthimi, në të cilat shkalla e
fuqisë ix x nuk e tejkalon 1.i k Polinomi i shkallës më të vogël që plotëson kushtet (6.1)
dhe nuk e tejkalon shkallën n quhet polinom interpolues i Hermitit dhe ka trajtën:
1
0 0
i
i
skk
i i ik
i ki
xP x f x x x l x
x x
(6.3)
Për rast të vecantë të kësaj formule për 1 2 ... 2s kemi:
1
,s
v k
v k k
w xw x x x l x
x x w x
dhe lehtë provohet se
2
k
k
k k
x x w x w xl x
x x w x
dhe nga rregulla e L‟Hopitalit kemi
lim
2 2k
k k
k kx x
k k k
x x w x w x w xl x
x x w x w x
.
51
Duke patur në konsideratë polinomet:
2
1k
k k k
k
w xA x x x l x
w x
dhe 2
k k kB x x x l x (6.4)
fitojmë: 1 1
s s
k k k k
k k
P x f x A x f x B x
Tani do japim përshtatjen e formulës së Hermitit te interpolimi trigonometrik.
Le të jetë 1 1,1 , 1pf x C p . Me jmC shënojmë koeficientët Furie të derivatit të j të
të funksionit f x ,
1 2, , 0,1,..., 1, .
2 1 2 1r
vj j i mx
m r r
r v
rC f x e x j p m v
v v
Shënojmë 0
m mC C . Le të jetë , , , 1p vT f p v le të jetë varg i polinomeve interpoluese
trigonometrike të Hermitit, d.m.th polinomet që marrin vlerat
,
2 2, 0, 1, ,
2 1 2 1
s s
p v
r rT f f s p r v
v v
(6.4)
përkufizohen në këtë mënyrë:
1 1
,
1 0
v pj
mp v j
m v j
T f x m C
ku 0, tek
1, cift
p
p
dhe funksionet e panjohura j
caktohen nga kushti që ,p vT f është e saktë për bashkësinë e funksioneve i rxe ,
1
1 2 1 ,..., 1 2 12 2
p pr v v v v
ku me x shënojmë numri më i madh
i plotë më i vogël ose i barabartë me x .
Zëvendësojmë 1
2 1 , 1 ,...., 1 , ,...,2 2
p pr n s v n v v s
dhe
fitohet
1 12 1 2 1
1 0
12 1 x
2 1
r r
v p vji x v s n i n v x i mx
j
m v j r v
e m i v s n e ev
duke marrë parasysh se 2 1
,
1
2 1
r r
vi x v n i mx
n m
r v
e ev
( ku ,n m paraqet simbolin e
52
Kronecker-it) fitohet sistemi barazimeve lineare
12 1
0
pi v s n x j
j s
j
e m m
me matricën e
Vandermondit , për caktimin e funksioneve j , ku 2 1s m i v s m .
Ndërtojmë zgjidhjen eksplicite të këtij sistemi.
Le të jenë jP x polinome themelore të Lagranzhit të shkallës 1p , të përkufizuar si
1 /2 1
,
0/2
1, ,...,
2 2
l p pl r
j j r
rl p l jl j
m x p pP x c m x j
m m
ku me ,j rc m
shënojmë koeficientët e polinomit jP x . Nga barazimet
1
, ,
0
1, , ,...,
2 2
pr
j i j r i i j
r
p pP m c m m i j
. Shohim se transpozimi i
,j rc paraqet të anasjellën e matricës së Vandermondit r
i , d.m.th vlejnë relacionet
1 /2
, ,
/2
p
s
r j r j s
r p
c m m
, 1
, ,
0
pj
r j r r s
j
c m m
dhe
1
, 1 /21
/2
1 ps j
r j s rps j
r l
l pl r
c m m m
m m
(6.5)
ku s janë koeficientët e polinomit
1 /2
0/2
p ps
s s
ss p
x m x m
.
Pra nga sistemi i barazimeve lineare ne fillim fitohet
(6.6)
gjë që arrihet deri në trajtën eksplicite të interpoluesve trigonometrik të Hermitit
1 /21 12 1
, ,
1 0 /2
pv pj i v r m x
mp v r j
m v j r p
T f x C c m e
(6.7)
1 /22 1
,
/2
pi v r m x
j r j
r p
m c m e
53
2.7. Mbi përparësitë e metodës së Nevillit dhe adaptimi i kësaj metode te
interpolimi trigonometrik
Në këtë njësi do merremi me interpolimin polynomial. Do shqyrtojmë interpolimin me
algoritmin e Nevillit që në realitet paraqet versionin e përmisuar të interpolimit polynomial klasik
të Lagranzhit.
Metoda e Nevillit mund te aplikohet në situatë kur duam të interpolojmë funksionin ( )f x në
pikën x p duke rrituar rendin(shkallën) e polinomeve interpoluse te Lagranzhit [47].
Gjithashtu do japim përshkrim të algoritmit interpolues dhe shembuj të ekzekutimit të këtij
algoritmi në software aplikativ.[12]
Duke përdorur koeficientët e pacaktuar të plolinomeve në algoritmin e Nevillit, mund të
llogaritet zbërthimi i Maklorenit i polinomit të fundit interpolues, që ndihmon në përafrime
numerike për derivatet e funksionit në origjinë. Derisa ky proces kërkon më shumë operacione
aritmetike se sa kërkohet në metodat e diferencave të fundme, zgjedhja e pikave për vlerësimin e
funksionit në asnjë mënyrë nuk është e kufizuar. Gjithashtu vërejmë që kjo metodë mund të
aplikohet në zgjidhjen e sistemeve lineare të llojit të Vandermondit[33].
Metoda e Nevillit
Polinomi i shkallës n-1 që kalon nëpër n pika 1 1 2 2, ,..., n ny f x y f x y f x me anë
të metodë klasike të Lagranzhit jepet si në vijim:
2 3 1 31 2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 2
1 2 1
1 2 1
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )... .
( )( ) ( )
n n
n n
nn
n n n n
x x x x x x x x x x x xP x y y
x x x x x x x x x x x x
x x x x x xy
x x x x x x
(7.1)
Algoritmi i interpolimit mund të impementohet drejtpërdrejtë nga formula e Lagranzhit, por kjo
nuk është një zgjedhje e mirë, pasi që algoritmi i tillë nuk ka mekanizëm për caktimin e gabimit.
Në këtë rast algoritmi i Nevillit është më i përshtatshëm.
Le të jetë 1P vlera në pikën x e polinomit unik të shkallës zero(konstantë) që kalon nëpër pikën
1 1,x y , d.m.th. 1 1P y . Në mënyrë të ngjashme caktohen pikat 1 2, ,..., nP P P . Tani
përkufizojmë pikën 1,2P si vlerë në pikën x, të polinomit unik të shkallës së parë i cili kalon nëpër
pikat 1 1,x y dhe 2 2,x y . Në mënyrë të ngjashme caktohen pikat 2,3 3,4 1,, ,..., n nP P P .
Në mënyrë të ngjashme mund të përkufizohet 1,2 ,...,nP si vlerë e plonimit unik të shkallës 1n
që kalon nëpër n-pika. Sipas kësaj strukture algoritmi i Nevillit, për 4n jepet si në skemën e
mëposhtme:
54
y1 = P1
P1,2
y2 = P2 P1,2,3
P2,3 P1,2,3,4 (7.2)
y3 = P3 P2,3,4
P3,4
y4 = P4
Tabela 1.
Lakoret e gjeneruara nga algoritmi i Nevillit quhen polinome interpoluese të Lagranzhit. Do
ilustrojmë me një shembull polinomin interpolues të Lagranzhit në figurën e mëposhtme:
Fig .1. Polinomi kubik i Lagranzhit për pikat kontrolluese: (-4,4), (4,-5), (4,5) dhe (-4,-5) , të
interpoluar në nyjet , ( 1,2,3,4)kx k k .
Vlenë kjo teoremë:
Teorema 7.1. Janë dhënë pikat afine 1 2, ,..., nP P P dhe parametrat e ndryshëm 1 2, ,..., nt t t .
Ekziston lakorja e polinomit të vetëm 1,2,...,nP t të shakllës 1n i cili interpolon pikat e dhëna në
parametrat e caktuar. D.m.th 1,2,..., , ( 1,2,.., )n k kP t P k n .
Para vërtetimit të kësaj teoreme japim këto fakte ndihmëse:
Teorema 7.2. [Taylor] Le të jëte P t polinom, deg 1P t n , .r Atëherë
2 1
1...
2! 1 !
n
nt r t rP t P r P r t r P r P r
n
.
Pohim 7.1. Le të jëte P t polinom, deg 1P t n , atëherë r paraqet rrënjë të P t nëse dhe
vetëm nëse t r paraqet faktor të P t .
Pohim 7.2. çdo polinom jozero i shkallës 1n ka më së shumti 1n rrënjë.
55
Pohim 7.3. Le të jenë P t dhe Q t dy polinome të shkallës 1n që përputhen në n vlera
parametrike. Atëherë P t Q t .
Tani bëjmë vërtetimin e teoremës 7.1.
Vërtetimin e bëjmë më anë të induksionit sipas n. Rezultati është verifikuar për 1,2,3,4n .
Supozojmë që rezultati vlenë për 1n . Sipas induksionit ekzistojnë lakoret polinomiale
1,2,..., 1nP t dhe 2,3,...,nP t të shkallës 2n që interpolojnë pikat 2 ,..., nP P në parametrat
2 ,...., nt t . Përkufizojmë 11,2,..., 1,2,..., 2 2,3,..., 1
1 1
nn n n
n n
t t t tP P t P t
t t t t
.
Lehtë përkufizohet 1,2,..., , 1,2,..,n k kP t P k n dhe meqë 1,2,..., 1nP t dhe 2,3,...,nP t të shkallës
2n nga barazimi i mësipërme kemi që 1,2,...,n kP t paraqet polinom të shkallës 1n . Tani
tregojmë unicitetin. Supozojmë që P t dhe Q t janë lakore polinomiale të shkallës 1n që
interpolojnë pikat kontolluese në nyje të caktuara. Atëherë P t dhe Q t janë polinome të
shkallës 1n që përputhen në n vlera parametrike, pra nga pohimi7. 3, P t Q t pra
polinomi interpolues është unik.
Ideja e metodës së Nevillit qëndron në përdorimin e polinomeve të Lagranzhit me shkallë më të
ulët në mënyrë rekursive me qëllim të llogaritjes së polinomeve të Lagranzhit me shkallë më të
lartë. Metoda e Nevillit bazohet në këtë metodë:
Teorema 7.3.(Neville) Le të jetë f, funksion i përkufizuar në k- pika 1 2, ,..., kx x x dhe le të jetë
ix dhe jx dy pika të ndryshme në bashkësi. Le të jetë 1,2,..., 1, 1,...,i i kP x polinom i Lagranzhit që
përputhet me funksionin f në pikat 1 2 1 1, ,..., , ,...,i i kx x x x x . Në mënyrë të ngjashme le të jetë
1,2,..., 1, 1,...,j j kP x polinom i Lagranzhit që përputhet me funksionin f në pikat
1 2 1 1, ,..., , ,...,j j kx x x x x . E dukshme që polinomet 1,2,..., 1, 1,...,i i kP x dhe 1,2,..., 1, 1,...,j j kP x janë
të shkallës 2k . Atëherë polinomi i Lagranzhit 1,2,...,kP x që kalon nëpër k-pikat points
1 2, ,..., kx x x caktohet si në vijim:
1,2,..., 1, 1,..., 1,2,..., 1, 1,...,
1,2,...,
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
j j j k i i i k
k
i j
x x P x x x P xP x
x x
(7.3)
Shembull. Për funksionin e dhënë ( ) lnf x x duke përdorur metodën e Nevillit përafrojmë
funksionin në pikën 0
21
10x , dhe gjejmë kufirin e gabimit:
Duke përdorur metodën e Nevillit , , (0 )i jQ j i , polinomi interpolues i shkallës j që kalon
nëpër ( 1)j pikat 1 1, , , ,i j i j i ix x x x jepen në tabelën e mëposhtme
-------------------------------------------------------------------------
,0 ,1 ,2 i i i ii x Q Q Q
56
--------------------------------------------------------------------------
0 2 0.693
1 22/10 0.788 0.741
2 23/10 0.832 0.744 0.742
--------------------------------------------------------------------------
Tabela 2.
Pra, 2,2 2
210.742
10Q P
. Meqë
21 21ln 0.7419
10 10f
gabimi absolute është:
2
21 210.742 0.7419 0,0001
10 10f P
.
32f x x , pra nga formula e Lagranzhit për njehësim të kufirit të gabimit kemi:
2
2
0
( )(21/10) (21/10) 0,000083.
3!i
i
ff P x x
Gjithashtu në [12] kemi shqyrtuar adaptimin e metodës së Nevillit te interpolimi trigonometrik.
Konsiderojmë funksionin y f x 2 -periodik sipas x, i përcaktuar me vlerat
0 0 1 1, ,..., n ny f x y f x y f x ku 0 1, ,..., ,nx x x atëherë polinomi
interpolues trigonometrik i tij do ketë trajtën 0
1
1cos sin
2
m
v v
v
g x a a vx b vx
ku m
varet nga mënyra e dhënies. Me , , ,i j i jy f x i j shënojmë polinomet trigonometrike që
marrin vlerat 1, ,...,i i jy y y për 1, ,...,i i jx x x , pra 0,ng x f x . Shqyrtojme rastet:
Si fillim shqyrtojmë rastin për seri jo të plota. Algoritmi vlenë në rastin kur pikat i takojnë
intervalit 0, dhe varet prej ciftesisë së funksionit.
Le të jetë 0,ix , 0,1,...,i n dhe funksioni cift. Në rastin kur m n polinomi interpolues
trigonometrik unik do jetë 0
cosn
v
v
g x a vx
dhe gjenerohet si në vijim: Vejmë
, 0,1,...,i i if x y i n atëherë
, 1 1,
,
cos cos cos cos
cos cos
i j j i j i
i j
i j
f x x x f x x xy
x x
.
Le të jetë 0,ix , 0,1, ,i n dhe funksioni tek. Në rastin kur 1m n polinomi
interpolues trigonometrik unik do jetë 1
0
sinn
k
k
g x a kx
dhe gjenerohet si në vijim:
57
Vejmë ,
sin0,..., 1
sini i i
i
xf x y i n
x atëherë
, 1 1,
,
cos cos cos cos
cos cos
i j j i j i
i j
i j
f x x x f x x xy
x x
. (7.4)
Tani shqyrtojmë rastin për seri të plota Le të jetë ,ix , 0,1, ,i n .
Në rastin kur 2n m polinomi interpolues trigonometrik unik do jetë
0
1
1cos sin
2
m
k k
k
g x a a kx b kx
që jepet me formulën
0 0,
sin2
sin2
j
nn
i
i j j i j i
x x
g yx x
[33] .
Ekuivalente me këtë rezultat është marrë nga metoda të ngjashme me metodën Nevillit me
përafrimin fillestare , 0,1,...,i i if x y i n dhe përafrimet e mëtejme nxiren nga formula
1, 1 , 1 1, 1 , 1, 1 1,
1, 11 1 1 1
sin sin sin2 2 2
i j j j i j i j i j i i
i jj i j i j i
f x f x f xy
x x x x x x
(7.5)
ku , sin sin sin
2 2 2
s k j i k sk s
x x x x x x x x
.
Me tabelë ilustrojmë rastin për 6n .
Kalkulim për seritë e plota
00
11 02
22 13 04
33 24 15 06
44 35 26
55 46
66
y
y y
y y y
y y y y
y y y
y y
y
(7.6)
Tabela 3.
Në vazhdim në Matlab kemi bërë një program në të cilin mund të futet funksioni origjinal i cili
më pastaj interpolohet. Shfrytëzuesi në fillim fut një numër të caktuar pikash nga funksioni
origjinal, të cilat për algoritmin e Nevillit konsiderohen si pika interpolimi të njohura. Përparësia
58
është se këtu funksioni origjinal shihet (i vizatuar me vijë të gjelbër), pastaj jepet një numër i
çfarëdoshëm pikash të funksionit (të shënuar me rrathë të vegjël të kuq), të cilat pastaj i kalojnë
algoritmit të Nevillit. Në fund, shfrytëzuesi jep një bashkësi të dytë pikash (kryqa të kuq ose të
kaltër) në të cilat kërkon vlerat që fitohet nga interpolimi me anë të vlerave fillestare të futura.
Si rezultat i këtij programi, shkruhen vlerat e x-it (që jepen në fillim) dhe vlerat e y-it (të
interpoluara) nga bashkësia e dytë të shënuara me shenjën “$”, si dhe vizatohet funksioni i
interpoluar me vijë të kaltër (nga xmin gjer te xmax).
Shembuj të interpolimit të funksioneve
1. 3
sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) sin( )2 3 5 6 6
x x x xy x
2.
(Fig.2.) (Fig.3.)
Në shembullin e mëposhtëm shihet se në ç'mënyrë saktësia e interpolimit varet shumë nga fakti
nëse pikat që janë zgjedhur (pika të njohura që jepen) gjenden në kalimet e funksionit apo jashtë
atyre kalimeve, si dhe nga fakti nëse janë marr kufijtë ose jo. Krahasoni figurën 4 dhe 5.
3. 6 17
sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )5 10 5 6 6 12
x x x x xy x
(Fig.4.) (Fig.5.)
cos( ) cos( ) sin( )5 6 6
x x xy
59
Përfundimet Avantazhet e funksionit interpoluar: janë përdorur vetëm operacionet +, -, *, /, në kontrast me
funksion origjinale, e cila mund të përmbajë një shumëllojshmëri të funksioneve matematikore
(sinh, ln, hark, exp ...). Kjo veti është shumë e dobishme në rastet kur shpejtësia e ekzekutimit
mund të jetë shumë i rëndësishëm.
Duke përdorur programin për funksionin e famshme origjinal është e mundur të ndryshojnë
numrin (dhe koordinatat) pikat e njohura, dhe për një problem të caktuar për të zbuluar
konfigurimin optimal të vlerave të njohura, e cila përmbush të interpolation kërkuar saktësinë.
2.8. Interpolimi i polinomit racional trigonometrik, derivati i të cilit është i
vazhdueshëm, me anë të splajnit kubik
Ndarja e segmentit të dhënë në segmente më të vegjël dhe ndërtimi i një polinomi interpolues në
çdo segment të vogël, duke patur parasysh që këta polinome do të jenë në përgjithësi të ndryshëm
midis tyre, paraqet procedurën e interpolimit pjesë-pjesë polinomial. Më i thjeshti ndër to është
interpolimi pjesë-pjesë linear, i cili grafikisht paraqet vijë të thyer që ka për kulme pikat
,i ix f x të cilat përfaqësojnë të dhënat e problemit dhe e meta e këtij interpolimi është fakti
që ai nuk garanton diferencueshmëri në pikat ix që janë skajet e segmenteve të vegjël.
Interpolimi pjesë-pjesë polynomial më i përhapur në praktikë është polinomi me splajne. Një
splajn mund të jetë një funksion i lëmueshëm që është polinom pjesë-pjesë, por mbi gjithë duhet
të jetë i lëmueshëm në të gjitha nyjet.
Njohuri dhe shembuj fillestarë në lidhje me këtë problematikë kemi dhënë në [72].
Përkufizim 8.1. Le të jetë 0 1 2: ... na x x x x b ndarje e segmentit ,a b .
Funksioni : , ,m
fS a b R m N quhet splajn i shkallës m sipas ndarjes , në qoftë se m
fS
është 1m herë i diferencueshëm, me derivate të vazhdueshëm në segmentin ,a b dhe në
qoftë se kufizimi i m
fS në çdo nëninterval 1, , 1,2,..., 1,i ix x i n n reduktohet në polinom të
shkallës më të vogël ose të barabartë me m. Me m
nS shënojmë bashkësinë e të gjitha splajneve të
shkallës m për ndonjë ndarje të caktuar të segmentit në n pjesë. m
nS paraqet hapësirë lineare me
dimension m+n.
Përkufizim 8.2. Le të jetë 0 1 2 1: ... ka x x x x b ndarje e segmentit ,a b .
Hapësira e splajneve trigonometrike përkufizohet si
1
1 1
,: | , 0,1,2,..., ,
m i i
M j j
T m i ix xS s s T i k D s x D s x
60
1,2,..., , 1,2,...,ij m m i k , ashtu që 1,..., kM m m paraqet vektor elementet e të cilit
plotësojnë relacionin 1 im m , /D d dx paraqet diferencialin dhe operatori
1
1 0span
m
m m i i iT x x
paraqet hapësirën e polinomeve trigonometrike të shkallës m,
ku , , ,k kx kx x kx k N sin , sinx x x x dhe
1
span /k
i i i i
i
A v v A R
.
Paraqesim disa shembuj të splajneve:
1. 0B splajnet:këto funksione janë splajne të shkallës 0 dhe 1B splajnet:këto funksione janë
splajne të shkallës 1, që arrijnë kulmin në pikën 1ix x dhe ka koeficient drejtimi të mysët ( të
lugët) për 1 1i ix x x x .
1
1
10 1 21 2
1 2 1
2
,
1,and ,
0, ,
0, ,
i i
ii i
i i
i i ii i
i i i i
i i
x xx x x
x x
x x x x xB x B x x x x
x x x x x
x x x
.
2. Funksionet splajne të rendeve më të larta jepen me formulën rekursive
1 111
1 1
i
n n ni i ni i
i n i i n i
x x x xB x B x B x
x x x x
3. Splajnet kubike:këto funksione janë splajne të rendit të 4 dhe ne menyrë analitike shprehen si: 2 3 ( - ) ( - ) ( - )f i i i i i i iS a b x x c x x d x x for 1,i ix x x ku
1 1 11
1 1
= = , (2 + ), , 6 2 6
i i i i i ii i i i i i i i
i i
f f h M M Ma f x f b M M c d
h h
ii fM S
paraqesin zgjidhje të sistemit të ekuacioneve lineare
1 1 ,2 1, 1i i i i i iM M v M i n
Që ndryshojnë sipas kushteve të dhëna fillestare,
1 1 1
1
, , 1 , 6 , ,ii i i i i i i i i i
i i
hh x x v f x x x
h h
.
61
4. Splajnet kubike trigonometrike: paraqiten si span 1, , sin , cos , sin 2 , cos2x x x x x . Keto
splajne kanë veti të ngjashme si B-splajnet kubike si dhe lakoret dhe sipërfaqet splajne të tyre
përkatëse mund të interpolojnë në mënyrë direkte disa pika kontrolluese pa mos e zgjidhur
sistemin e ekuacioneve ose pa mos dhënë pika kontolluese shtesë.
Në vazhdim do japim disa vlerësime në lidhje me splajnin dhe funksionin e interpoluar me të në
pohimet e mëposhtme[72]:
Pohim 8.1. Le të jetë 2 0,1f x C funksion periodik . Nëse fS paraqet interpolim me anë
të splajnit kubik i funksionit f x atëherë vlen mosbarazimi
1 11 1 1 1max 6 max , ,
if i i ii n i n
S f x x x
, ku 0 10 ... 1nx x x .
Vërtetim.
ii fM S
paraqesin zgjidhje të sistemit të ekuacioneve lineare
1 1 ,2 1, 1i i i i i iM M v M i n ku 11
1
, , 1ii i i i i i
i i
hh x x v v
h h
dhe
1 16 , ,i i i if x x x . Le të jetë 1 1max , 1, 1i k
i nM M k n
dhe meqë
, 0,1 , 1, 1i iv i n , atëherë vlenë relacioni
1 11 1 1max 2 2 max .i k k k k k k k k k k i
i n i nM M v M M v M M
Pohim 8.2 . Le të jetë ,pf x C a b dhe splajni , 2 1, , 2n
ms S m p p N p
interpolues I tij, përkatësisht , 1,i is x f x i n , që plotëson kushtet kufitare
, , 1, 1i i i i
s a f a s b f b i p
Atëherë vlenë
22 2
.
b bp p p p
a a
f x s x dx f x s x dx
Vërtetim. Kemi
22 2
2
b bp p p p
a a
f x s x dx f x s x dx R ku
b
p p p
a
R f x s x s x dx . Meqenëse ,pf x C a b dhe 1 ,ms C a b ka
derivate të vazhdueshëm të rendit m , me anë të 1p integratimeve të përsëritura, duke
përdorur kushtet kufitare dhe meqenëse 1
0m
s x
fitohet se
62
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0.
i
i
i
i
bp m
a
xnp m
i x
xn
p m
i x
R f x s x s x dx
f x s x s x dx
f x s x s x dx
Pohim 8.3. Le të jetë 0f x dhe splajni , 2 1, , 2n
ms S m p p N p interpolues i
tij, përkatësisht , 1,i is x f x i n , dhe nëse plotësohen kushtet kufitare
, , 1, 1i i i i
s a f a s b f b i p atëherë 0s .
Vërtetim. Për 0f x , nga teorema 8.1, kemi:
2 2 2
0 0 0 0
b b bp p p p
a a a
s x dx s x dx s x dx s x . Nga kushtet
kufitare dhe meqë 0, 1, 1i
s a i p kemi se 0.s
Gjithashtu ne [72] kemi arritur vlerësim në formë të mosbarazimeve duke krahasuar sipërfaqet e
formuara nga grafiku derivatit të dytë të splajnit dhe derivatit të dytë të funksionit interpoluar nga
ai splajn me boshtin a abshisës në segment të caktuar me kushte fillestare.
Pohim 8.4. Le të jetë 2 ,f x C a b dhe fS splajni kubik që interpolon funksionin f x
në nyjet 0 1 ... na x x x b dhe plotëson kushtet kufitare
,f fS a f a S b f b atëherë vlenë
b b
f
a a
S x dx f x dx .
Vërtetim. Formojmë diferencën fD x f x S x dhe kemi
22 2
2
b b b b
f f
a a a a
f x dx S x dx D x dx S x D x dx . Me anë të integrimit
me pjesë të integralit fundit fitohet b b
b
f f faa a
S x D x dx S x D x S x D x dx .
Termi i parë i anës së djathtë të barazimit është 0 për shkak të kushteve kufitare dhe termi i dytë
mund të ndahet në nënintervale, si në vijim:
1
1 1
1
1
1
4
,
0 0 0.
i
i
i i
i
i
i i
xb n
f f
ia x
x xx
f f fxx x
S x D x dx S x D x dx
S x D x dx S x D x S x D x dx
63
Pra 22 2
.
b b b b b
f f
a a a a a
f x dx D x dx S x dx S x dx f x dx
Përkufizim 8.3.[31,69] Le të jetë dhënë bashkësia e pikave , / 0, 1i it f i n , ashtu që
0 1 1... n na t t t t b . Funksioni racional kubik C1- pjesë-pjesë i vazhdueshëm,
pëkufizohet si ( )
( ) , 0, 1( )
i
i
p tP t i n
q t , ku
3
3
1
sin 1 sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 cos 1
i i i i
i i i
p t f u
v f
(8.1)
dhe
3
3
1 sin sin sin 1 3 sin cos cos 1 3 cos
cos 1
i i
i
q t
(8.2)
ashtu që
1 1, , ,2
i
i i i i i
i
t th t t t t t t
h
, 1
2,
3
i ii i i i
hu f f f
2 11
1
2
3
i i i ii i
i
h f fv f
h
and ,i 0i . Është e qartë që ky funksion racional trigonometrik
kubik plotëson relacionet 0P t , ( ) i iP t f dhe 1( ) i ii
i
f fP t
h
. Me g t shënojmë
vijën e thyer ose lakoren pjesë-pjesë lineare të përkufizuar në segmentin 0 , nt t me pikat lidhëse
, / 0, 1i it f i n dhe sistemin e nyjeve 0 1 1... n nt t t t ashtu që i if t g t
dhe P t g t ku 0, 1i n dhe 0 1, nt t t .
Supozojmë që P t g t ,
i
i
p tg t
q t
, 0i i ip t q t g t M t , përkatësisht
3
3 3
1
3
1
{ sin 1 sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 cos 1 } { 1 sin
sin sin 1 3 sin cos cos 1 3 cos
2 2cos 1 } 1 0
i i i i
i i i i
i i i
M t f u
v f
g g
ku i ig g t and 1 1i ig g t . Meqenëse
3
,1 ,2
3
,3 ,4
1 sin sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 1 cos 0
i i i i
i i i
M t A A
A A
64
,1 1 1 1
,2 ,1 1
2 1,3 ,4 ,4 ,1 1
1
2 2 21 ,
2,
3
2, .
3
i i i i i i i
ii i i i
i i i ii i i i i i
i
A f g f g f f
A A f f
h f fA A A A f f
h
Sipas relacionit të fundit kushti i mjaftueshëm që lakorja P t të shtrihet mbi vijën e drejtë g t
në segmentin 1,i it t jepet me anë të këtij pohimi [72]:
Pohim 8.5. Për bashkësinë e dhënë , , / 0 , 1i i it f g i n ashtu që
, 0, 1i if t g t i n kusht i mjaftueshëm për lakoren P t të shtrihet mbi vijën e
drejtë
g t në segmentin 1,i it t është që për paraetrat pozitiv dhei i duhet të vlejë
relacioni , 0, 1,2,3,4i kA k . Për nyje të barazlarguara relacioni ,3iA merr trajtën
,3 ,4 2 1
2
3
ii i i iA A f f
(8.3)
,dhe për kufizueshmërinë e regjionit të vendndodhjes së lakores interpoluese, kemi formuluar këtë
rezultat[72], që ngushton zonën e vendosjes së polinomit interpolues:
Teorema 8.1. Për bashkësinë e dhënë *, , , / 0 , 1i i i it f g g i n ashtu që
* , 0, 1i i ig t f t g t i n . , 0, 1i if t g t i n the kusht i mjaftueshëm për
lakoren racionale trigonometrike kubike P t të shtrihet mbi vijën e drejtë g t dhe ndër
vijën e drejtë *g t në segmentin 1,i it t është që për paraetrat pozitiv dhei i duhet të
vlejë relacioni , 0, 1,2,3,4i kA k të përkufizuar si më sipër dhe , 0, 1,2,3,4i kB k ku
* *
,1 1 1 1
,2 ,1 1
2 2 21 ,
2,
3
i i i i i i i
ii i i i
B f g f g f f
B B f f
,3 ,4 2 1 ,4 ,1 1
2, .
3
ii i i i i i i iB B f f B B f f
(8.4)
Shembull: Të dhënat interpoluese dhe parametrat pozitiv dhe , 1,2,3i i i janë dhënë në
tabelën e mëposhtme, dhe duke plotësuar kushtet nga teoremat 4 dhe 5,në mënyrë që lakorja
P t të shtrihet në mes të *g t dhe g t , që mund të shkruhen si:
65
*
0,16 0.107, 0,0.5
0,12 0.033, 0.5,1
0,08 0.167, 1,1.5
0,04 0,013, 1.5,2
t t
t tg t
t t
t t
dhe
0,16 0.093, 0,0.5
0,12 0.047, 0.5,1
0,08 0.153, 1,1.5
0,04 0,027, 1.5,2
t t
t tg t
t t
t t
Tabela 1.
Ku
1 2 3 1 2 30,001123 , 0,001555, 0,001510, 0,0011423, =0,00124, =0,0011905
Fig.1. janë paraqitur në grafikun e mëposhtëm ku grafikët e lakoreve , dhe
janë me ngjyrë të kaltër, të kuqe dhe të zezë, përkatësisht.
*g t P t g t
0 0,1070 0,100 0,0930
0,5 0,0270 0,020 0,0130
1 0,0870 0,080 0,0730
1,5 0,0470 0,040 0,0330
2 0,0670 0,060 0,0530
it *
ig t if t ig t
66
Në punim kemi shqyrtuar problemin e konvergjencës te interpolimi trigonometrik si dhe
minmizimin e gabimit. Duke mos humbur nga përgjithësimi le të jetë f funksion me derivate
të vazhdueshme të cfarëdo rendi, i përkufizuar në 1,1 .
Rindërtimi i tij me anë të polinomit trigonometrik
1 2, ,
2 1 2 1k
n ni vxi vx
n v v k kv n k n
kI f c e c f x e x
n n
(8.5)
është joefektiv kur zgjerimi 2-periodik i funksionit të interpoluar ka shkëputje. Luhatjet e fituara
si rezultat i dukurisë së Gibbs-it që zakonisht përhapën në pjesën pas singulariteteve ulin
efikasitetin e interpolimit [4,5,7]. Në këtë rast do të shqyrtojmë mundësinë e shpejtësisë së
konvergjencës së interpolimit trigonometrik.
Me fIxffR nn paraqesim gabimin e interpolimit trigonometrik klasik. Marrim
vargun e fundëm të numrave kompleks ppkk ,, dhe shënimet:
0 1
1 1
1 1
1
0 1
1 1
1 1
1
, ,
,
, ,
n n n n n n n
k k k
n n n n k n n
n n n n n n n
k k k
n n n n k n n
C C C C C
C C C
C C C C C
C C C
(8.6)
Me nf shënojmë koeficientin e n-të furie të funksionit f, dxexff nxi
n
1
12
1.
Lehtë verifikohet që 1
1
n ni vx i vx
n v v v vv n v n v
R f f c c e c e
duke pasur parasysh
relacionin 2 1v v s n
s
c f
.
Merret transformimi:
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
11 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
i n x i n xi nx i nx
n n ni x i x i x i x i x i x
ni vx i vx
v v v v v v vi x i xv n v n
e e e eR f c c
e e e e e e
f e f c ee e
67
Iterimi i këtij transformimi p-herë na çon në këtë zbërthim të gabimit:
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 11 1
1
1 1
k k k k
p pk n v v k n v vi n x i n xi nx i nx
n k i x i xi x i xk k
s ss s
s
np p i vx p p i vx
v v v v v v vpi x i x v n v n
s ss
c cR f e e e e
e ee e
f e f c e
e e
Kjo na çon në interpolimin me anë të funksioneve racionale, d.m.th.
1 1
1
,1
1
1 1
1
1
1 1
,1 1
k k
p k n v vni n xiv x i nx
n p v ki x i xv n k
s ss
k k
p k n v vi n xi nx
i x i xk
s s
cI c e e e
e e
ce e
e e
Me gabim
1
,
1
1 1
np p i vx p p i vx
v v v v v v vv n v n
p n pi x i x
s ss
f e f c e
R
e e
(8.7)
trajta eksplicite e të cilit çon në kalkulimin e vargut . Me qëllim të minimizimit të gabimit
konsiderojmë sistemin për gjetjen e vlerave k .
npnvpnnvcv
p
v
p
v ,...,1;1,...,,0
.
Ilustrim numerik: Shqyrtojmë funksionin 2
2 2 12
1 sin .xf x x
k
68
Fig. 2. Paraqitja grafike e gabimit absolut gjatë interpolimit të funksionit
2
2 2 12
1 sin xf x x me anë të interpolimit racional për p=1 me vijë të plotë, p=2 vija të
ndërprera dhe p=3 me vijë të hollë, në pikën 1x ku n=16.
69
III. DISA ZBATIME TË SERIVE DHE
TRANSFORMIMEVE FURIE
3.1. Fillimi i zhvillimit të Analizës Furie
Seritë trigonometrike janë një klasë serish funksionale, e cila, pas asaj të serive
polinomiale, është klasa më e rëndësishme, si nga pikëpamja teorike, ashtu dhe nga ajo
praktike.
Duke filluar që nga mesi i shekullit XVIII-të matematikanë dhe fizikanë me renome
botërore, sic janë S. Bernaull, D‟Alamber, Lagranzh, Legandre, Laplas, Euler e të tjerë,
duke studiuar dhe hulumtuar disa probleme dhe dukuri nga fizika, hasën në rëndësinë e
madhe për mundësinë e paraqitjes të funksioneve periodike në trajtë të shumës të serive
trigonometrike. Diskutimet e njohura ndërmjet tyre hapën shumë shtigje të reja të
zhvillimit të analizës matematike.
Studimi i serive të Furierit është një degë e analizës së Furie. Seritë Furie u prezantuan
nga Joseph Fourier (1768-1830), matematikan francez student i Lagranzhit dhe Laplasit,
si dhe i angazhuar si shkencëtar në ushtrinë e Napoleonit. Me anë të një punimi të
prezantuar në akademinë e shkencave në vitin 1807, për qëllim të zgjidhjes së
ekuacioneve të ngrohjes të një pjate metalike, pohoi që çdo funksion i përkufizuar në
interval të mbyllyr të fundëm mund të paraqiten si shumë funksionesh trigonometrike, që
pragmatisht ishte jo i plotë, u refuzua nga Lagranzhi dhe Laplasi, dhe i njejti u plotësua
nga Dirikle në disertacionin e tij në vitin 1878 me kushte shtesë që sot njihen si konditat
e Dirikles.
Ndonëse motivimi fillestarë ishte që të zgjedhë ekuacionin e ngrohjes, më vonë u bë e
qartë se teknikat e njejta mund të aplikohen për një grup të gjërë të problemeve
matematikore dhe fizike. Rezultatet kryesore janë shumë të lehtë për të kuptuar teorinë
moderne. Seritë e Furierit kanë shumë aplikacione, dhe atë në zgjidhjen e ekuacioneve
diferenciale me derivate të pjesshme, inxhinierinë elektrike, analizën e oshilimeve, akustikë,
optikë, përpunimin e sinjaleve, përpunimin e imazhit, mekanikën kuantike,
Ekonometrinë, teorinë e zërit, përcjellshmërinë termike, valët elektromagnetike,
inxhinierinë biomedicinale, lëkundjet mekanike, metodat numerike etj.[18, 19].
70
3.2. Fakte ndihmëse. Analiza Furie te sinjalet
Me anë të analizës Furie, sinjali, që mund të përkufizohet si funksion( i kohës ose
hapësirës), vlerat e të cilit përcojnë informcione për ndonjë proces matematik ose fizik
që ai paraqet, dekompozohet në sinusoide, d.m.th frekuenca, amplitudat e të cilave
formojnë të ashtuquajturin spektër të frekuencave të një sinjali [2,8,16]. Ideja e
transformimit të sinjalit është të shprehurit e një sinjali si një kombinim i një bashkësie
themelore "bllok ndërtimi" të sinjaleve, të njohur si funksionet bazike, dhe më pas
transformimet e fituara analizohet dhe interpretohen në mënyrë të përshtatshme. Më
poshtë japim dallimin në mes të teknikave Furie për përpunimin e sinjaleve:
Seritë Furie f(t) i vazhdueshëm
F(w) diskret
Analizimi i sinjaleve
Transformimet Furie f(t) i vazhdueshëm
F(w) i vazhdueshëm
Analizimi i frekuencave të
sinjaleve
Transformimi diskret Furie f(t) diskret
F(w) diskret
Analizimi i sinjaleve të
mostrës
Transformimi i shpejtë
Furie
f(t) diskret
F(w) diskret
Algoritëm për llogaritje të
transformimit diskret Furie
Tabela 1. Teknika Furie për përpunim të sinjaleve
Të dhënat e mësipwrme në tabelë, matematikisht i kam renditur në këtë mënyrë [76]:
Konsiderojmë bashkësinë ortogonale të dhënë me 0 , 0, 1, 2,...inwt
e n në segmentin
0 0
0
2,t t t
w
.
Kur një sinjal zbërthehet në seri eksponenciale kemi të bëjmë me serinë Furie të funksionit f t
: 0
0
1
1cos sin ,
2
inw t
n n n
n
f t a a nt b nt A e
ku
00
0
0
2
0
2t
w
t
inwtA f t e dtn
w
,
00
2
aA ,
2
n nn
a ibA
2
n nn
a ibA
, 1,2,3,...n me kusht që
00
0
2t
w
t
f t dt
Në transformimet Furie me anë të "bllok ndërtimeve" të sinjaleve, sinjalet paraqiten në
trajtë sinusoidale me perioda të ndryshme apo njohur ndryshe si frekuenca. Transformimi
Furie parqet operator linear që sinjalin e dhënë e dekompozon në frekuencat përbërëse të tij dhe
përkufizohet si më poshtë:
71
iwtF w f w f t e dt
, ku 1,
2
i wiwtf t F w e dt F w F w e
E anasjella e transformimit Furie jepet me këtë formulë
1 1
2
iwtf t f t F w e dw
dhe me anë të tij sinjali mund të sintetizohet duke mbledhur gjithë frekuencat përbërëse.
Në këtë rast shihet që F w e luan rrolin e An në barazimin e parë .
Supozojmë që kemi 2 1N nyje të barazlarguara , , 0, 1kk k
tf f t k N
k , të
frekuencave diskrete në rang prej cw deri në cw . Shqyrtojmë frekuencat 2
n
nw
N
, për
,...,2 2
N NN .
Japim përafrimin e transformimit Furie në këtë rang me anë të shumës së Rimanit sin ë vijim:
1
0
n
Niw tiwt
n k
k
F w f t e dt f e
përkatësisht , 21
0
nN ikN
k n
k
F w f e F
. Ky
barazim paraqet barazimin e transformimit diskret Furie të funksionit f t . Metoda më
efikase për llogaritje të transformimit diskret Furie, që atë e ndanë në dy shuma me terme
cifte dhe atë me terme tek për 12
N pika dhe zvogëlon kohën e llogaritjeve nga 2O N
operacione në 2logO N N operacione paraqet algoritmi i quajtur Transformimi i shpejtë
Furie.
Le të jetë 2 i
NW e
numër kompleks, atëherë
2 2 2 2 12 2
1 2 22 2
2 2 1
0 0 0
i k n i k nN NN NN
nk e k o
n k k k n n
k k k
F f W f e f e F W F
.
Teorema 2.1.[18,36]. Vlejnë pohimet:
i) iawf t a w e f w ii) 1 w
f at w fa a
iii) Konvulicioni *h t f t g t f g t d h w f w g w
iv)
nnf t w iw f w
v)
1 1nn
f w t it f t
vi) 0 0 0 0cos 2 cos 2 ,f t w t f t w t f w w w w w
72
ku , 0
, 10, 0
tt t dt
t
3.3. Zbatimi i serive Furie për analizimin e qarqeve elektrike
Për analizimin dhe mbajtjen në gjendje të qëndrueshme të rrjetave dhe qarqeve
elektroteknike, që në praktikë më së shumti shprehen me anë të funksioneve periodike jo-
sinusiodale, është e nevojshme zbatimi i serive Furie, me analizimin e fazorëve që
paraqesin numra kompleks, përkatësisht funksione sinusoidale dhe bartin vlera të rrymës
apo tensionit [53,62].
Japim transformimin e vlerave josinusoidale në seri të pafundme
Marrim funksionin periodik, me periodë sipas kohës T, ,f t mT f t m N i
zbërthyer në seri Furie si në vijim
0 00
1 1 1
1cos sin cos sin
2 2 2k k k k k k
k k k
a af t a a kwt b kwt A kwt B kwt
, ku frekuencatwt dhe , fazatk k . Nga formulat e njohura
sin sin cos sin cosx y x y y x dhe cos cos cos sin sinx y x y y x kemi
0 0
1 1
(cos cos sin sin ) (cos sin sin cos )2 2
k k k k k k
k k
a af t A kwt kwt B kwt kwt
pra,
0
0 0
2 2, cos sin cos
T T
k k k k ka f t dt a A B f t kwt dtT T
dhe
0
2 2
2sin cos sin ,
, dhe
T
k k k k k
k kk k k k k k
k k
b A B f t kwt dtT
a bA B a b arctg arctg
b a
Në [40] duke përdorur seritë Furie është analizuar sinjali katror i tensionit, tani duke përdorur
seritë Furie ne do të analizojmë sinjalin njëpolar të tensionit, që është dhënë në figurën e
mëposhtme simuluar me anë të software-it Vision Professional[76]:
73
Fig. 1. sinjali njëpolar i tensionit
Për nga simetria boshtore e qartë që funksioni është cift, f t f t pra nuk do përmbaj
terme të sinuseve. Caktojmë koeficientët e serisë Furie të trajtës eksponenciale
3
4 4
0
30 0
4 4
1 10
T T
T T
T T
A f t dt Adt Adt AdtT T
,
3
4 4
30
4 4
2sin sin1 2
, respektivisht
T T
T
inwt inwt inwt
n
T T
nA n
A Ae dt Ae dt Ae dtT n
1
0,
14, cos 2 12 sin
2 12,
k
inwt
n n
n k
n cift
AnA f t A e k wtAk
n tekn
i cili është paraqitur grafikisht më poshtë duke përdorur Matlab për tre, katër, pes dhe shtatë
anëtarët e parë ku T=16:
74
Fig. 2. Paraqitja e sinjalit njëpolar të tensionit si shuma të kosinusit
Ku abshisa paraqet kohën dhe ordinata tensionin. Këtë do të ilustrojmë me shembull konkret për
llogaritjen e DC( rrymës direkte). Le të jetë A=10V. Termi DC është 5 V. Amplituda e termit
harmonic primar është 4 10
12.7388
si dhe vlera efektive ( e termit të parë) do jetë
1
4 10 409.007
4.44062A V
si dhe termet tjera i paraqesim në tabelë:
Termi i serisë Furie Tensioni(V)
DC +5V
Termi i parë harmonic +9.007V
I treti -3.000V
I pesti +1.800V
I shtati -1.2860V
I nënti +1,000V
Tabela 1. Termet primare të serisë Furie
Tani duke përdorur seritë Furie ne do të analizojmë sinjalin gjysmëvalor të rektifikuar të
tensionit, që është dhënë në figurën e mëposhtme:
75
Fig.3. Sinjali gjysmë valor i rektifikuar i tensionit
Kemi 02 , 1,T w Funksioni i këtij sinjali jepet si në vijim:
sin , 0,
0, ,2
mx V xf x
x
. Caktojmë koeficientët Furie
2
00
1 1sin 0 .
2 2
mm
Va V xdx dx
Në mënyrë të ngjashme gjejmë
2
0
0
2
0
1 1sin cos 0cos
2
sin 1 sin 1 02
1 cos 1 1 cos 1
2 1
2,
1
0,
n m
m
m
m
a V f x x nxdx nxdx
Vn x n x dx
n n x n n xV
n
Vn cift
n n
n tek
0 0
, 11sin sin 0sin 2
0, 1
m
n m
Vn
b V x nxdx nxdx
n
.
Pra paraqitja e këtij sinjali me anë të serive Furie mund të shprehet në këtë mënyrë:
76
21
sin 2 cos
2 4 1
m m m
n
V V x V nxf x
n
Derisa sinjali paraqet funksion pjesë-pjesë i vazhdueshëm :f R C , filtri pasqyron
sinjalin e dhënë në sinjal të ri, në mënyrë që ta modifikojë atë përkatësisht të heqë zhurmën e
sinjalit.E njëjta vlenë edhe për te imazhet(sinjalet dy-dimensionale). Në vazhdim me anë të
transformimit Furie do të analizojmë kalimin e hapit të tensionit nëpërmjet filtrit të thjeshtë me
kalueshmëri të lartë. [76]
Fig. 4. Kalimin i hapit të tensionit nëpërmjet filtrit me kalueshmëri të lartë.
Nga ligji i Ohm-it kemi0
2,
2
iivVV
iv
ku
1
RC , R-rezistenca, C-kapaciteti i qarkut. Hapi
hyrës le të ketë lartësi V , si i tillë me anë të funksionit x
H x t dt
ku t i
përkufizuar si në teoremën 1, mund të përkufizohet si iV t VH t .
Frekuenca e tij do jetë 2
i
VV v
iv dhe 0
2
2 2 2
V i v VV v
i v i v i v
.
Variacioni i kohës i tesnsionit të fituar do jetë transformimi Furie
2
02 2 2
itv itz itze V e iV eV t V dv dz dz
iv iz i z
. Duke përdorur formulën
integrale të Koshi-ut 2 Re ,C
i s f a f z dz në rastin tonë poli është z i pra
2
2 2
itz tt
C
iV e iVedz Ve
i z
ku konturi përbëhet nga
77
i) boshti real ku dz dx , pra fitohet integrali lim2
r itx
rr
iV edx
i x
si dhe
ii) nga gjysmërrethi me rreze të pafundme ku shprehja nën integral humbet. Pra
cos sincos sin
ir i ti iztz e r i e e
me pjesë reale sinrte
e cila për 0t dhe
pjesën e sipërme të rrethit humbet kur rrezja tenton në infinit, d.m.th variacioni i kohës për
tensionin fituar do jetë 0
tV t Ve .
Në vazhdim japim këtë shembull.
Në figurën e mëposhtme, qarku ka burim sV t të trajtës josinusoidale që serinë Furie e ka
1
2sin 2 10.5
2 1s
k
k tV t
k
. Do caktojmë tensionin 0V t në inductor dhe amplitudat e
spektrit përkatës.
Fig. 5. Qarku elektrik
Tensioni dalës do jetë
0
2,
2 5
n s
n
w iV tV t w n
n i
. DC komponenta do jetë 0 për 0nw .
Duke marr parasysh që pjesa e sinusit të fazorit të AC( rrymës alternative) është 02
90n
fitohet që
78
02 2 2 2
1
2cos
52 2 24
525 4 25 4n
nn tek
nn t arctg
n nV t arctg V
nn n
.
Me anë të llogaritjeve, për 4 anëtarët e parë fitohet ky rezultat:
w 3 5 7
0V 0.5 0.2 0.13 0.1
Tabela 2. Termet primare të serisë Furie
3.4. Disa aplikime të transformimeve Furie dy-dimensionale te përpunimi i
imazhit
Për një matricë të rendit xM N transformimi diskret Furie dy-dimensional(DFT) dhe e anasjella e
tij(IDFT), përkatësisht, mund të shkruhen si
21 1
0 0
, ,
i Mvy NuxM N
MN
x y
F u v f x y e
dhe 21 1
0 0
1, ,
i Mvy NuxM N
MN
x y
f x y F u v eMN
Në vijim paraqesim sinusoidët dydimensional(2D)[76]
Fig. 6. Disa sinusoidë dy-dimensional
79
Janë shfaqur figura e parë 15 15
cos , 0,256 256
y u v
, figura e dytë
55 55cos , 0,
256 256y u v
,figura e tretë
15 15cos , , 0
256 256x u v
,figura e katërt
55 55cos , , 0
256 256x u v
dhe figura e pestë
55 15 15 55cos cos , ,
256 256 256 256y y u v
.
Ideja qëndron në atë imazhi i dhënë ,f x y me dimensione xM N riparaqitet në domenin e
frekuencave ,F u v , e cila me anë të transformimit të anasjellë Furie përsëri kthehet në imazhin
e dhënë, pra dekompozohet në shumë me peshë të funksioneve ortogonale dy-dimensionale në
mënyrë të njejtë sic dekompozohen vektori në baza duke përdor prodhimin skalar, sin ë vijim:
Fig. 7. Dekompozimi i një imazhi si shumë e sinuseve dhe kosinuseve dy-dimensional
Vlera , 0
,u v
F u v
quhet dc komponenta dhe është për xM N herë më e madhe se sa vlera
mesatare e ,f x y . Në këtë rast në mënyrë vizuale analizojmë transformimin Furie duke
llogaritur magnitudën apo spektrin ,F u v ( ,F u v ), që realisht shfaqet si imazh. Me anë të
kësaj teoreme jepet relacioni në mes të domenit hapësinor dhe atij të frekuencave, njëkohësisht
edhe hapat bazë të filtrimit në domenin e frekuencave
Teorem 3.1.[29,36,79] , , * , , , ,g x y h x y f x y G x y H x y F x y dhe
anasjellas , , * , , , ,G x y H x y F x y g x y h x y f x y ku
, , , ,h x y IDFT H u v H x y DFT h u v .
80
Nga kjo teoremë mund të nxirret përfundimi se shumëzimi i dy transformimeve Furie i
korrenspodon konvulicionit të dy funksioneve që janë e anasjella e tyre në domenin hapësinor.
Pra përdorimi i transformimeve Furie ndihmon në shpejtimin e filtrave hapësinor.
Aplikojmë tani filtrin e Sobelit, që përdor bërthama të rendit 3x3 të konvuluara me imazhin
origjinal në mënyrë që të kalkulohen përafrimet e derivative- si të boshtit horizontal po ashtu
edhe atij vertikal. Bërthama paraqitet me shumëzimin e matricave 1 2 1 1 0 1T
S .
Nëse A merret si imazh origjinal atëherë xG dhe
yG janë dy fotot që përmbajnë pikat e
përafrimeve të derivative horizontale dhe vertikale përkatësisht dhe jepe me formulat *xG S A
dhe *T
yG S A . Për këtë aplikim marrim për imazh stemën e Universitetit Shtetëror të Tetovë
dhe fitohen këto rezultate:
Fig. 8. Aplikimi i filtrit të Sobel-it
Në fillim është imazhi origjinal , pastaj imazhi i filtruar në domen hapësinor dhe
frekuencor,imazhi i fituar nga vlera absolute që përmison magnitudën dhe në fund magnituda e
kthyer në imazh binar.
Filtrat më të njohur në domenin e frekuencave janë filtrat me kalueshmëri të ulët,
kalueshmëri të lartë dhe filtrate graduale. Filtrat me kalueshmëri të ulët krijojnë imazh të
paqartë (ose të butë),i zbusin frekuencat e larta të transformimeve Furie dhe dhe i lejnë
ato të voglattë pandryshuara. Me ,D u v shënojmë largesën nga pika ,u v deri te qendra e
filtrimit. Le të jetë 0a numër i fiksuar. Për të njejtin imazh aplikojmë filtrin me kalueshmëri të
ulët
2
20
,
2,
D u v
DH u v e
dhe fitohen këto rezultate:
81
Fig. 9. Aplikimi i filtrit me kalueshmëri të ulët
Janë shfaqur imazhi original,spektri(magnitude) Furie e imazhit, imazhi me filtrin e
përdorur si dhe spektri(magnitude) i imazhit me filtrin e përdorur, përkatësisht.
Filtrat me tejkalueshmëri të lartë pastrojnë (or tregon anët (kornizat) ) imazhin, zbusin
frekuencat e dobta dhe i lejnë frekuencat e larta të transformimeve Furie të pa
ndryshuara. Relacioni i Filtrave me tejkalueshmëri të lartë ,hpH u v dhë të kalueshmëri
të ulët ,lpH u v , jepet me këtë formulë , , 1hp lpH u v H u v .. Le të jetë 0a numër i
fiksuar. Për të njejtin imazh aplikojmë filtrin me kalueshmëri të lartë
2
20
,
2, 1
D u v
DH u v e
dhe fitohen këto rezultate:
Fig. 10. Aplikimi i filtrit me kalueshmëri të lartë
Janë shfaqur imazhi original,spektri(magnituda) Furie e imazhit, imazhi me filtrin e
përdorur si dhe spektri(magnituda) i imazhit me filtrin e përdorur, përkatësisht.
Filtrat graduale përdoren për të larguar zhurmët e përsëritura "Spectrale" nga imazhi ,
janë si ngushtim I filtrave me kalueshmëri të lartë, por ato "nivvelizojnë" frekuencattë
ndryshme nga komponentat dc , i zbusin frekuencat e selektuara ( dhe ato fqinje)dhe i
lejnë frekuencat tjera të transformimeve Furie të pa ndryshuara. Për këtë aplikim marrim
një imazh me zhurmë(një top) në të cilin aplikojmë filtrin gradual
2
22
0
,,
,
n
nn
D u vH u v
D D u v
dhe fitohen këto rezultate:
82
Fig. 11. Aplikimi i filtrit gradual
Janë shfaqur imazhi me zhurmë, spektri Furie i imazhit me zhurmë( si dhe selektimi i
frekuencave me zhurmë që duhet të hiqen), imazhi në të cilin është aplikuar filtri gradual
si dhe spektri i imazhit në të cilin është aplikuar filtri gradual, përkatësisht.
3.5. Zbatimi i serive Furie te zgjidhja e ekuacioneve diferenciale me derivate
të pjesshme
Një nga rrolet më të rëndësishme të polinomeve trigonometrike është shfrytëzimi i tyre
për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme. Zgjidhja e këtyre
ekuacioneve bëhet me metodën e ndarjes së variablave dhe ndryshe quhet edhe si metoda
Furie. Këtë metodë do e ilustrojmë me anë të disa shembujve.
Shembulli i parë për këtë metodë e aplikojmë në problemin e përcimit të nxehtësisë në
pllakën metalike ku temperatura ,T x t varet prej koordinatës hapësinore x dhe kohës
t . Modeli matematik i këtij problem jepet si në vijim:
22
20, 0 , koeficient i percueshmerise se nxehtesite se pllakes /
0, , 0 kushtet kufitare
,0 kushte fillestare
T TC x a C cm s
t x
T t T a t
T x f x
Marrim ,T x t A x B t dhe fitohet 2
2
AB ABC
t x
.
Duke pjesëtuar me C A x B t fitohet 2
2
1 1, 0
dB d A
CB dt A dx prej ku
dBC dt
B 1
C tdBC dt B t C e
B
dhe
2
1 22
1cos sin
d AA x A x A x
A dx
83
Tani duke përdorur kushtet fillestare dhe kufitare gjejmë konstantet 1 1 2, dhe .C A A Pra
10, 0T t A si dhe 2 2
2 2, 0 sin ,
kT a t A a k a k Z
a
. Kjo
nënkupton që ekziston numër të shumtën të numrueshëm të vlerave të , dhe nga vetia e lineare
e problemit barazimi ,T x t A x B t shndërrohet në
2 2
2
1
, sin
k Ct
ak
k
kxT x t E e
a
, ku
kE paraqet konstantë që caktohet nga kushtet fillestare. Meqenëse ,0T x f x , fitohet që
1
sink
k
kxf x E
a
. Pra ndodh që një funksion jo-harmonik të paraqitet si shumë e
funksioneve harmonike.
Për shembullin e dytë konsiderojmë lëkundjen e telit, pa forca të jashtme, me gjatësi a .
Lëkundja e tij përshkruhet me ekuacionin e valës të modeluar në këtë trajtë:
2 22
2 20, 0 ,
0, , 0 kushtet kufitare
,0 , ,0 kushte fillestare
y yC x a
t x
y t y a t
yy x f x x g x
t
Marrim
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2
2
1 2 1
, , ,
0
0 cos sin 0 0
y y y yy x t X x T t XT XT X T X T
t t x x
y y T Xc XT c X T X X
t x c T X
D X D i X A x A x X A
Supozojmë që 1 2 1 20 , x xA A X x Ae A e ,
nëse 1 20, 0 0 0 0X X a A A y dhe për
1 2 1 2
2
2 1
1
0 , 0 0
sin 0 , sin , ku 0k
k
A A X x A x A y
k k xX a A a k Z X A A
a a
Më tej kemi
84
2 2 2
1 2
0 ,
cos sin
k
k k
CkT C T D C D i k Z
a
T B t B t
Pra fitohet trajta
1
, sin cos sink k k k
k
k xy x t B t E t
a
dhe duke përdorur kushtet e dhëna fitohet
1 0
2,0 sin ku sin
a
k k k
k
k xy x B f x B f x xdx
a a
. Më tej
1
1 0
,0
, sin sin cos
2,0 sin sin
k k k k k
k
a
k k k
k k
yx g x
t
y k xx t B t E t
t a
y k xx E g x E g x xdx
t a a
Në vazhdim zgjedhim edhe një ekuacion diferencilal parcial
2016 0, 0 0 0y y f t y y ku
1, 0
0, 0, , 2
1, 2
t
f t t
t
,
funksion 2 -periodik.
Marrim h py y y .Për hy zgjedhim
22016 0 2016 0 2016 cos 2016 sin 2016hy y i y A t B t
Tani ndërtojmë hy duke zbërthyer funksionin f t në seri Furie
2 1
1 1
2
2 1 2 1
1 1
sin 2 14 , marrim sin 2 1
2 1
2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 1
p n
n n
p n p n
n n
n tf t y c n t
n
y n c n t y n c n t
Këto të dhëna i zëvëndësojmë në barazimin e detyrës dhe nga kushte fillestare fitohet:
85
2
2 1 2 1
1 1 1
2 1 2 21
21
sin 2 12 1 sin 2 1 2016 2 1 cos 2 1 4
2 1
4sin 2 14
2016 2 1 2 1 2016 2 1 2 1
2016 sin 2 1 2 1 sin 20164
2016 2 1 2 1 2016
n n
n n n
n p
n
n
n tn c n t n c n t
n
n tc y
n n n n
n t n ty
n n
Shembullin në vijim metodën e transformimit Furie e aplikojmë në problemin e përcimit
të nxehtësisë në pllakën metalike ku temperatura ,T x t varet prej koordinatës
hapësinore x dhe kohës t .
Modeli matematik i këtij problem jepet si në vijim:
2
2
10, 0 1,
2
T Tx
t x
21koeficient i percueshmerise se nxehtesite se pllakes /
2cm s
1, ,T x t T x t dhe kushtin fillestar ,0T x f x .
Marrin transformimet Furie në dy anët ,nga ana e majtë fitohet:
2
2 2 2
2
1 1, 2 , 2 ,
2 2
Ts t is T s t s T s t
x
dhe ana e djathtë
2 2, , , ,isx isxT Ts t x t e dx T x t e dx T s t
t t t t
dhe fitohet
2 2
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
,2 , , ,0
1 1,0 ,0
2 2
1 1, , , , , *
2 2
s t
sx s t sx s t s t
x yx
t t
T s ts T s t T s t T s e
t
T x e dx e f x e dx e f s e
f s g s t g x t e T x t g x t f x e f y dyt t
86
IV. DISA VËREJTJE MBI PËRAFRIMIN MË TË
MIRË NË HAPËSIRAT C dhe Lp ME ANË TË
SHUMAVE FURIE
4.1. Njohuri paraprake
Me nn TP shënojmë familjen e gjitha polinomeve algjebrike (trigonometrike) të shkallës jo më
të madhe se n.
Në vitin 1885 Vajershtras publikon këtë teoremë:
Teorema 1.1.[6] Le të jetë baCf , funksion i vazhdueshëm në segmentin ba, , atëherë për
çdo 0 gjendet polinom algjebrik xP i tillë që për çdo bax , plotësohet mosbarazimi
f x P x .
Japim trajtën e ngjashme të kësaj teoreme për polinomet trigonometrike.
Teorema 1.2. . Le të jetë f funksion i vazhdueshëm dhe periodik me periodë 2 . Atëherë për
çdo 0 gjendet polinomi trigonometrik xT i tillë që për çdo ,x plotësohet
mosbarazimi xTxf .
Vërtetim. Meqë funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin , , atëherë 0 e tillë
që për çdo dy vlera ,",' xx për të cilat "' xx të plotësohet mosbarazimi
2
"'
xfxf (1.1)
Ndajmë segmentin , në m pjesë të barabarta ashtu që
m
2. Me x shënojmë vijën e
thyer, e cila përputhet me xf në pikat , 0, 1, 2,...,k
k mm
, dhe xx 2 për
çdo ,x . Nga (1.1) kemi se
2
xxf , për "' xx (1.2)
87
e nga periodiciteti i funksioneve xf dhe x rrjedh mosbarazim i fundit vlen për çdo
, .x
Meqë x është vijë e thyer, seria Furie e saj konvergjon uniformisht te ky funksion, prandaj
duke shënuar me xSn shumën e pjesshme të serisë Furie mund të zgjidhet numri n
mjaftueshëm i madh, ashtu që të vlejë
2
xSx n për ,x . (1.3)
xSn paraqet polinomin trigonometrik xT dhe nga (1.2) dhe (1.3) kemi
22
xTxxxfxTxxxfxTxf .
Me shënim modern teorema e Vajershtras mund të shënohet 0,,lim
bafEnn
ku
, , inf ,n nE f a b f P P P dhe quhet përafrim më i mirë i funksionit f (me polinome
algjebrike) i rendit n. Në mënyrë të ngjashme përkufizohet dhe përafrimi më i mirë me anë të
polinomeve trigonometrike. Pra nëse 2,0Cf , atëherë TffEnTT
n
inf*.
Lebegu në vitin 1908 vërtetoi që nëse baLipf ,1 ,atëherë log
n
nE f C
n .
, , 0 1f Lip a b nëse ekziston konstanta fKK ashtu që
yxKyfxf . (1.4)
Në vitin 1908, Vallee-Poussin vërtetoi që n
CE f
n .
Në vitin 1910, Bernshtajni qërtetoi që n nT n T , ku nT është polinom trigonometrik i
shkallës n.
Rrol të rëndësishëm në këtë problematikë ishte edhe studimi i funksionit 1,1, xxxg ,
ku 1,11 Lipg . Vallee-Poussin ndërtoi polinomin nP ashtu që n
CP x
n , në vitin 1908.
Dy vite më vonë ai vërtetoi se nuk ekziston polinom nP ashtu që
3, 1,1
logn
CP x x
n n .
Berstein vërtetoi këtë rezultat:
Teorem 1.3.[59,66]. Le të jenë ,C dhe Nr . Nëse
,,
a bf C dhe për Nn
ekziston nP polinom algjebrik i tillë që
1log
n r
CP x
n n
atëherë barCf , .
88
Në rastin për 1,1, xxxg , dhe 1r ky mosbarazim nuk vlen. Për këtë rast Berstein
fitoi këtë rezultat .n
CE g
n
Mosbarazimi i Berstein ka përdorim në rezultatet e anasjella. P.sh. nëse 2,0Cf dhe
* , 0,1n k
CE f
n
atëherë f ka derivat të vazhdueshëm të rendit k dhe
0,2 .k
f Lip Duke u bazuar këtë rezultat Xhekson në disertacionin e tij vërtetoi që për
ndonjë funksion f , 2 - periodik dhe 2,01Lipf vlenë *
n k
CE f
n (1.5)
ku C konstantë 32
C
.
4.2. Rezultatet e drejta dhe të anasjella
Për çdo Nr dhe pLipf p 12,0 moduli i thjeshtë i vazhdueshëm i rendit r
përkufizohet si: p
r
hth
pr ftf ,0
sup, ,ku khxfk
rxf
kr
k
r
h
0
1 është diferenca
qendrore e rendit r me hap h [22, 23].
Në teoremën e mëposhtme janë dhënë rezultatet e drejta dhe të anasjella.
Teorema 2.1.[35] Le të jetë 2,0Cf , prNrp ,, 0 dhe nT varg i polinomeve të
përafrimit më të mirë të funksionit f.
Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
*) ,n ni E f f T O n n
) , , 0pii f t O t t
) ,
p p
niii T O n n
0,2
) dher r rr
niv f C f T O n
0,2) rv f C
dhe
10,,1 rtOtf rr
0,2) rvi f C
dhe 20,,2 rtOtf rr
89
Vërtetimi i relacioneve u vërtetuan nga Xhekson. Versione tjera të kësaj më vonë u dhanë nga
Favard, Akhiecer së bashku me Krein, dhe Korneichuck.
Teorem 2.2.[35] (Rezultati i drejtë): Nr , rCf 2,0 dhe 0Nn atëherë
nf
n
rCfE r
rn
1,* dhe
r
r
r
nn
fKfE *
, ku rK paraqet konstantën e Farvardit e cila
përkufizohet si
01
1
12
14
kr
rk
rk
K
.
2 3
0 1 2 3 41, , , ,...
2 8 2K K K K
(2.1)
Në vitin 1912 Bernshtajni studioi rezultatin e anasjellë, vërtetimi i të cilit u bazua në
mosbarazimin e tij
n
rr
n TnT . ( nT - polinom trigonometrik). Me 2,0W shënojmë klasën e
gjitha funksioneve 2,0Cf për të cilat vlen tcttf ln1, , ku c paraqet konstant.
Teorema 2.3. [59,66]Le të jetë 1,0,2,0 Cf dhe ekziston konstat c ashtu që
* .nE f cn Atëherë nëse 2,0,1 Lipf dhe nëse 2,0,1 Wf .
Në vitin 1919 Vallee-Poussin, vërtetoi këtë rezultat:
Teorema 2.4.[80] Le të jetë 1,: aa funksion monotono zvoglues ashtu që
0lim
tt
dhe
a
duu
u. Nëse Nr , 2,0Cf dhe * ,r
nE f n n atëherë
rf ekziston dhe
1
,
at
r
at
uf t c t u du du
u
. (2.2)
Konsiderojmë klasën e funksioneve Zygmund
1,0,|:2,0 2
2,0 hchxfRCfZ h . (2.3)
Teorema 2.5. [9]Nëse 2,0Cf , Nr dhe 2,0 , atëherë nOfEn
*nëse dhe
vetëm nëse chxf r
k 2. Pra ekuivalenca vii për 1 r me këtë vërtetohet.
Më vonë Timani, vërtetoi versionin më të mprehtë të mosbarazimit të Xheksonit për përafrimin
më të mirë trigonometrik: p
rs
r
k
s
pk
srr
nfprCfEkn
1,,
1
*1 ku p1 dhe
ps ,2max . Mos barazimi i anasjellë i këtij rezultati jepet me këtë teoremë:
90
Teorema 2.6. [11,54] Për p1 , pq ,2min dhe 2,0pLf vlen
1 *
1
1, ,
rqr qrq
r k pkp
f C r p n k E fn
. (2.4)
Ja dhe rezultati ekuivalent i Zygmund.
Teorema 2.7. [9] Për p1 , pq ,2min dhe 2,0pLf vlen
q
t u
ufr
p
r dutprCn
f qr
r
21
1
1 ,,
1,
. (2.5)
Ky mosbarazim njihet si mosbarazimi i mprehtë i Marchaud. Në vitin 1949 Zamansky vërtetoi
)) iiii .
Teorema 2.8. [43] Le të jetë funksion pozitiv monotono rritës ose zvoglues, 2,0Cf dhe
me Nm . Supozojmë që për çdo Nn ekziston polinom trigonometrik nT ashtu që
nnTf m
n 1 atëherë ekzistojnë konstatet ,,, 321 CCC ashtu që
nm
n duuCnnCCT1
321 . (2.6)
Në veçanti nëse , 0,nf T O n atëherë m m
nf T O n për m . Pjesa
)) ivi i përket Stechkin.
Teorema 2.9.[10] Le të jetë Nk dhe nF varg jo-rritës i numrave jonegativ ashtu që
1
1
n
n
k Fn . Le të jetë 2,0Cf dhe nT varg i polinomeve trigonometrike ashtu që
NnFTf nn ,1 atëherë 2,0kCf dhe ekziston konstanta C ashtu që
1
1
1
k k k k
n n j
j n
f T C n F j F
për çdo Nn . (2.7)
Në vitin 1967-68 Butzer-Pawelke dhe Sunouchi vërtetuan pjesën )) iiii . Në fakt Butzer-
Pawelke shqyrtoi problemin në 2,02L ndërsa Sunachi në hapësirën 2,0pL dhe 2,0C
dhe rezultatet e këtyre japin ekuivalencën e karakterizimit të klasës Lipschitz nëpërmjet
përafrimit më të mirë.
Teorema 2.10. [35] Për mNm ,0, dhe 2,0Cf dhe le të jetë nT varg i
polinomeve të përafrimit më të mirë të funksionit f . Nëse mm
n nOT , atëherë
nOTf n . (2.8)
91
Këto rezultate vlejnë edhe në hapësirën 0,2 1pL p . Për 0,r
,n rp pE f O n f t O t .
4.3. Mbi vlerësimin e koeficienteve Furie me anë të përafrimit më të mirë dhe
modulit integral të funksionit në hapësirën C
Le të jetë
0
1
dhe cos sin 2
k kk
a ff C f kx f kx
seria Furie për funksionin
f , ku seria 1
k
kk ff konvergjon.
Teorema 3.1.[57] Le të jetë fSCLf n ,2 shuma e pjesshme e serisë Furie e shkallës jo më
të lartë se n për funksionin f . Atëherë:
i. 22 fSffE nn
ii. Nëse për . atwherw vlen 22fSTfETfTT nnn
iii. 2
1
1
22
2
nk
kkn fffE
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen në
mes të shumës prodhimit të koeficientëve Furie dhe shumave të përafrimeve më të mira në L2:
Pohim 3.1.
2
1 k 1
n
k kn
E ff f
n
ku .f C
Vërtetim: Duke zbatuar mosbarazimin e Koshi-Bunjakovskit dhe teoremen 3.1 kemi :
12 2 21
2 2 2k
1 1 0 1
1112222 2 2
2 20 1 1 0 1 0
2 2 2
1 2 1 2
1
k k
k k kk k n k n
n
k k nn k n k n n k n n
f ff f f f
k
E ff f E f
k k k n
Meqë ana e djathtë e mosbarazimit të fituar konvergjon, arrihet në vërtetimin e rrjedhimit.
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen e
konvergjencës në mes të shumës prodhimit të koeficientëve Furie dhe përafrimeve më të mira
për norma të ndryshme.
Pohim 3.2.
1
1 1
ku .r rC
k kr k
E f E ff f f C
r
92
Vërtetim:
1 1 1
212222122 2212n r r
rrrn
r
fE
r
fE
r
fE
n
fE.
Le të jetë ,r r f shuma e Valle-Poussinit, atëherë
2
1
2
,2,212
fffffE rrrrr .
Më pas kemi :
2
, , , , , 14 4maxr r r r r r r r r r r rC
x R
f f f f f f f f f f E f E f
rrjedhimisht
2 1 12 2
1 1 1 1
2 8 .r rn r C
k kn r r k
E f E fE f E ff f
rn r
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen në
mes të mesit harmonik të koeficientëve Furie dhe përafrimit më të mirë në L1:
Pohim 3.3. 1 11
1ku , .
2k k kf f E f f L k
Vërtetim:
2 2
1
2
1 1 1cos sin
k k k k k kf f f f f i f
f t kt i kt dt f t dt f
.
Për T- polinom trigonometrik i përafrimit më të mirë të funksionit f i shkallës jo më të lart se
1k vlen:
2 2 2 2
11 1
1 1 2 .k k k k k k kf f f f f T f T f T E f
Teorema3.2.[9] Nëse 1
2
22
1 ,4
3 atëherë , ,
kfffkCLf kk
.
Teorema3.3.[9]Nëse 1 1 1 11 11, , , ,
Cf L g C f g h f g h g f h .
Teorema 3.4. [55,46]Le të jetë nCf p , , atëherë
2
1 1
1 20 0
, 3 2 2 dhe , 3 2 2 2 1 .n n
k kk k
f E f f k E fn n n n
93
Nga teorema 3.4 mund të vlenë ky rrjedhim:
Rrjedhim 3.1. Le të jetë , d.m.th. ,1
hn
nh
n
atëherë ,, 11
nfhf
rrjedhimisht
1
10
1
2
2 20
3 2 2 p r 0, kemi: , si dhe , kemi :
2 1 , 3 2 2 .
h
kk
h
kk
ë h f h E f h
h
kf h E f
h
Teorema 3.5.[55] Le të jetë Cf dhe për ndonjë
1k
1 , fEkr k
ratëherë
Cf r
si dhe fEkkf k
k
rrr
0
1223 .
Vërtetim: Meqë T konvergjon uniformisht te funksioni f, kemi:
kk
kkkk TTTTTTf .11 0
1
0
Nga teorema e Bernshtajnit kemi:
1 1 1 1
1 1
-
, prej ku /k k k k k k k k
r rk r k
k
T T T T T T q E E
1 1
1 11 .k k k k k
rk k
k k k
T T q E E q Eq
Meqë
1
1 1
1 1 1
0
0
1 3 2 2
1
3 2 2 1 .
k k
k k k
k k
rk r r r
t t tk k
r r
kk
qq E rt E dt T T rt E dt rt E dt
q q
k k E
Meqë seritë
11
1 1 dhe k
k
rr
k
k
r EkkfEk konvergjojnë ose divergjojnë njëkohësisht,
pra
k
rrrrkk TTfCf .ku 1
Nga teorema 3.5 mund të japim këtë rrjedhim:
Rrjedhim 3.2. nkfETffETffE nn
r
n
r
n
rr
n , .
Pra
94
n
k nk
k
rr
k
rr
nn
k
rrr
n
EkkEkk
TfEkkfE
0 1
0
11223
1223
Përkufizim 3.1. Me shënojmë klasën e funksioneve Cf , për të cilat vargu
fEn
1n është i kufizuar. Pra f , nëse Cf dhe 0 , ashtu që 1n
vlen
.1
nfEn
Në vazhdim japim disa rezultate në lidhje me këtë klasë funksionesh. Së pari japim teoremën:
Teorema 3.6. Në qoftë se funksioni f është monoton në segmentin mnmn ,1ku ,,
atëherë
m
nk
m
n
fkf ndodhet në mes të madhësisë së dhe f n f m .
Vërtetim:Supozojmë se f është monoton zvoglues. Nëse 1,mnk ,atëherë
1 1
1
1
k
k
m
nk
m
nk
m
n
m
n
m
nk
nffkfmfkffkfkffkf .
Nga teorema 3.6 mund të japim këtë rrjedhim:
Rrjedhim 3.3.Nëse f është monoton zvoglues dhe jonegativ në ,n atëherë
11
.k nn n
f f k f
Duke patur parasysh këtë, supozojmë se ,0për 10ku , hf kemi:
1
0
11
6,
h
k n
h
hf
, nga teorema paraprake kemi se:
hh
h
x
dx
h
hf
h
1
6
1
61
1
6,
1
1
0
1 , ky mosbarazim rrjedh
nga mosbarazimi i njohur
.1,11
xxxx
Pra 1
1
6, , d.m.th. ,
1f h h f Lip C
( për 2 do të kemi f C
1 1, , , nëse f h f h )
95
Nëse ,Mf Lip C ,atëherë vlen mosbarazimi
1
2
nfEn d.m.th. vlen barazimi
.1,0,, CLip Për 1,1 1, CLip si dhe vlen
h
eh
h
h
x
dx
h
k
h
hf
hh
k
ln121ln6
11
6
1
6,
1
0
1
0
1
Le të jetë hhfhCf ,,,0,,Z 2 . Atëherë Z për
2 dhe 21 Z për 2 . Meqë Z , kemi se Z për 0 2 si dhe
,Lip C Z për 10 . Shënojmë , ,r r
r f C f Lip C . Për rCf
vlenë:
1
11 1
1
1 16 1 1 6
1 1
1 16 6 1 d.m.th. .
1 1 1
r rr
n n kk n k n
r
n
E f n E f r k E f rn k
dx rM r M f
n x n
Kusht i mjaftueshëm por jo i nevojshëm që Cf r paraqet konvergjenca e serisë
1k
1 .fEk k
r
Teorema 3.7.[9,57] Le të jetë 1 dhe nCf . Atëherë
2,21,
2
1
nffEn
4.4. Disa veti të përafrimit më të mirë në hapësirën C
Me X do të shënojmë njërën nga hapësirat 1L , 2L , C .
Lema 4.1.[55] Le të jetë 0h . Nëse 2Lf atëherë 2111 ,2, hfhf . Nëse Cf
, atëherë 1 12, 2 ,
Cf h f h .
96
Vërtetim. Nga mosbarazimi i Bunjakoskit kemi
11/22
21 1 1
1 1
1
1 22
, sup sup sup 1
sup 2 2 ,
t t tt h t h t h
tt h
f h f x dx dx f x dx
f h
Më tej
1 12 2
1 1
1 2
1
1
, sup sup max
2 sup max 2 , .
t ty Rt h t h
t Cy Rt h
f h f x dx f y dy
f y f h
Përkufizim 4.1. Le të jetë XfM ,0,0 . Themi se funksioni f plotëson kushtin
Lipshic të rendit sipas konstantës M, nëse për çfarëdo 0h vlen Mhhf x ,1 dhe
simbolikisht shënohet me XLipf M , . (4.1)
Është e qartë se RtXftMfXLipf tM ,,, 1 .
Për 0 , vlen , ,Lip X Lip X .
Lema 4.2.[9,55] Le të jetë 0 , atëherë vlen 121 ,,, LLipLLipCLip . (4.2)
Përkufizim 4.2. Le të jetë f funksion i fundëm në segmentin ba, . Le të jetë
bxxxxa n ...321 ndarje e cfarëdoshme segmentit ba, dhe shuma
1
0
1
n
k
kk xfxfS . Kufiri i përpiktë i sipërm i bashkësisë së të gjitha shumave të
mundshme S quhet variacion i funksionit f në ba, dhe shënohet me farVb
a. Nëse
farVb
a, atëherë themi se funksioni f është me variacion të kufizuar në ba, dhe shënohet
baVf , .
Teorema 4.1.[44] Nëse ,f V atëherë vlen arfVhhf
2
011 ,
si dhe 1,1 LLipf . (4.3)
Vërtetim :
97
2 2 1
1
10 0 0
2 2 21 1 2
0 0 0 0 0 2 00 0 0 2 0
2 2
0 2 00 0
2 2
x
tx
t tx x x x x x
t tx x
t tf f x f x dx f x t f x dx V arf dx
V arf V arf dx V arfdx V arfdx V arf V arf dx V arf dx
tV arf V arf dx V arf dx
2 2
1 10 0,tV arf f h hV arf
Në bazë të teoremës së Lagranzhit funksionet 2 - periodike që kanë derivat të kufizuar i takojnë
klasës CLip ,1 ( nëse tMMxf t 1' ).
Teorema 4.2.[44,46] Nëse Vf atëherë vlejnë
arfVn
fEn
2
01
12
3
,
arfV
nfEn
2
02
12
3
. (4.4)
Le të jetë f funksion i kufizuar në segmentin 1,0 . Kemi përkufizuar vargun e
polinomeve të shkallës jo më të lartë se n, për funksionin f në këtë trajtë:
0
1 , 0,1n n ii
ni
nif x f x x x
in
. Vërtetojmë teoremën e mëposhtme për
konvergjencën e këtij vargu te funksioni f.
Teorema 4.3.
1,0, Cfffn (4.5)
Për të vërtetuar relacionin (4.5), në fillim japim këtë lemë:
Lema 4.3.
i. 1,0, iff iin
ii. n
ff
n
nfn
122
1
iii.
1,0,4
111
2
0
xnn
xxxx
i
nx
n
i inin
i
iv. Për 1,0,0 x dhe A bashkësi e i në n,...,2,1,0 për të cilat xn
iatëherë
2
11
4
n ii
x A
nx x
i n
Vërtetim:
0
1 1 1n nn ii
i
nx x x x
i
.
98
Pra 00 ffn
Për 1i kemi :
1
1
!!1
!1
i
n
ini
n
i
n
n
i. Pra
1 11
0 1 0
1 11 1 1
1
n n nn i n i n si i s
i i s
n n nix x x x x x x x x
i i sn
11 ffn
Në mënyrë që të gjejm 2fn e rishikojmë dyherë:
1
11
1
1
1
11
1
12
i
n
ni
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
i për 1i ose
1
11
2
21
1
12
i
n
ni
n
n
n
i
n
n
i
i
n
n
i për 2i .
Pra 2
2
0 2 1
2 11 1 11 1 1
2 1
n n nn i n i n ii i i
i i i
n n nn n xx x x x x x x
i i in n n n
Më tej 2
2 2 2
0
11 1 11 1 2
4
n n ii
i
n x xix x x x x x x
in n n n n
Për vërtetim të pjesës së fundit vërejmë se
2
21
ix
n
për Ai
2 2
2 2 20
1 1 11 1 1
4
nn i n i n ii i i
x A x A i
n n ni ix x x x x x x x
i i in n n
Tash vlersojmë diferencën:
0 0
1 1n nn i n ii i
ni i
n ni if x B f x f x f x x f x f x x
i in n
Për Ai marrim 1
2
if x f
n
, derisa 2
if x f f
n
për Ai
1 112
11 2 1 1 2
2 2 4
n i n ii i
nx A x A
n nf x B f x x x f x x f
i i n
99
Teorema 4.4. Për ndonjë funksion të kufizuar f në segmentin 1,0 vlenë
3 1
2n ff B f
n
. Në veçanti nëse 1,0Cf atëherë
3 1
02
n fE f kur nn
. (4.6)
Vërtetim:
0 0
1
0 0
1
0
2
1
1 1
1 1 1
1 1
1
n nn i n ii ii in n n
i i
n nn i n ii i
f f ni i
n n ii
f ni
f n
n nf x B f x f x f x x f x f x x
i i
n ni ix x x n x x x
i in n
nin x x x
in
nin x x
in
1 1
2 2
0 0
1 1
1 1
1 31
22
n nn i n ii i
i i
f fn n
nx x x
i
nn
Në vazhdim janë dhënë dhe vërtetuar pohimet e mëposhtëm në lidhje me përafrimin më të mirë
në hapsirën C:
Pohim 4.1. nxcos dhe
x
xn
sin
1sin mund të shprehen si polinome saktësisht të shkallës n sipas
xcos ku 0Nn .
Vërtetim:.
Në përgjithsi nxcos paraqet polinom i shkallës n sipas xcos me koeficient udhëheqës 12 n
2
2 2
0 0
cos Re cos sin Re sin cos cos 1 cos2
n
n sn s n s n s
s s
n nnx x i x i x x x x
s s
Pra koeficienti para xncos është 1
0
2
0
22
1
2
n
n
s
n
s s
n
s
n . Në mënyrë të ngjashme
xxxs
nxix
s
nxn sns
n
s
ssnn
s
sincos1cos12
1sincos
1Im1sin 22
2
0
11
0
100
ku xixisssin1cossin 212
.Koeficienti para cos sinn x x është :
2 1
0 0
1 112
2 1 2
n
nn
s s
n n
s s
Pohim 4.2. Çdo funksion 0,2
f C
ka përafrim më të mirë (në gjithë R) me anë të polinomit
trigonometrik. Nëse f është funksion çift atëherë edhe përafrimi më i mirë i tij gjithashtu është
çift.
Vërtetim: Supozojmë që 0,2
f C
është funksion çift dhe nHT *ashtu që
TfTfnHT
min* Meqë f është funksion çift, atëherë xTxT *ˆ është gjithashtu
përafrim më i mirë i funksionit f
**** maxmaxmaxˆ TfxTxfxTxfxTxfTfRxRxRx
Por tani polinomi trigonometrik çift
22
ˆ~*** xTxTxTxT
xT
paraqet gjithashtu
përafrim më të mirë nga nH pasi që
Tf
TfTfTfTfTf
nHT
min
2
ˆ
2
ˆ~*
*
Pohim 4.3. Le të jetë baCf , dhe *
ntt përafrim më i mirë i funksionit f në nH .Atëherë
ekzistojnë të paktën dy pika baxx ,, 21 ashtu që tfxtxfxtxf 2211 .
Vërtetim: Shënojmë me xtxftffEbxa
n
max .
Nëse rrjedhimi i teoremës është jo i sakt, atëherë supozohet se fExtxf n 11 për ndonjë
1x , por min .na x b
e f x t x E f
Në veçanti 0 efEn pra
tpkuH
efEtp n
n
,2
Themi se p paraqet përafrim më të mirë të funksionit f se sa t, sepse
2
2 2 2
2 2
n n n
n
n n
E f e E f e E f eE f f x t x e
E f e E f ef x p x
d.m.th.
tfEefE
pf n
2
që paraqet kundërshtim.
101
Lema 4.4.[60,68] Konstanta përafruese më e mirë e funksionit baCf ,
është
xfxft
baxbax ,,
*
0 minmax2
1 dhe
xfxfE
baxbax ,,0 minmax
2
1.
Pohim 4.4. Për ndonjë polinom 1 nHt vlen
xtxnxtxx
2
1,11,11maxmax
.
Vërtetim: Marrim
xtxnAx
2
1,11max
. Le të jetë 1, xxx n , d.m.th. 12
cos xxn
2 2
1 2
11 1 sin
nx x
n , pasi që
2,0,
2sin
. Meqë
nx
2cos fitohet se
Axtxnxt 21 . Për 1, ,nx x x në këtë rast ixx kanë shenjë të njëjtë.
1 2
2
2 2 21 1
1 11.
in n
i n
i n ni i
i i
x T xA A At x t x T x T x n A
n x x n x x n n
Vërejte: Nëse nHT paraqet polinom trigonometrik tek, atëherë
sin
Tështë çift dhe mund të
shkruhet si
cos
sint
T dhe vlen:
Tntnt
T
2,02,02,02,0maxsincosmaxcosmax
sinmax
Pohim 4.5. Nëse nHT atëherë
0,2 0,2
max maxT n T
.
Vërtetim: Marrim funksionin ndihmës
2,
TT, kemi
Tnn
2,02,0max,max
sin
,
0 0
,lim lim
2 sin
T TT
d.m.th
0,2maxT n T
Për 0 vlen
TnT2,0
max'
.
Pohim 4.7. i)Le të jetë dhe . Nëse ka bashkësi alternueseqë përmban të
paktën pika, atëherë t është përafrimi më i mirë i funksionit në .
baCf , nHt f t
2n f nH
102
ii) Le të jetë . Nëse ekzistojnë pika
të tilla që kanë shenja alternative, atëherë
.
Vërtetim: i)Le të jetë bashkësi alternuese për dhe supozojmë që
është përafrim më I mirë i funksionit sesa , pra Në veçanti kemi
për çdo . Tash nga
mosbarazimi rrjedh që dhe kanë shenjë të njëjtë. Pra
alternojnë shenjat herë, sepse një gjë e tillë vlen për . Pra
ka të paktën rrënjë. Meqë kemi që që paraqet kundërshtim.
Rrjedhimisht paraqet përafrim më të mirë të funksionit në .
ii) Supozojmë të kundërtën, d.m.th që
Meqë
kemi shenjën e diferencës përputhet me shenjën e diferencës .
Për shkak se vlerat përmbajnë shenja alternative, atëherë secili nga intervalet
përmban rrenjë të polinomit e kjo është e mundur vetëm nëse
pra
4.5. Disa vërejtje mbi metodën e Favard-it te përafrimi i funksioneve në
hapësirën C
Si përparësi të polinomeve interpoluese, mund të përmendet fakti se ata përcaktohen nga
numër i fundëm vlerash të funksionit të përafruar, gjë që është e nevojshme për realizime
praktike. Zakonisht vetitë përafruese të shumave Furie nuk janë shumë më të mira se sa vetitë
koresponduese të polinomeve interpoluese. Si në rastin e shumave Furie, po ashtu edhe vargu i
polinomeve nuk mund të jetë konvergjent në gjithë klasën C të funksioneve të vazhdueshme 2 -
periodike ( 2,0C ), pra në vijim do ndërtojmë një varg të polinomeve uniformisht konvergjente
ne hapësirën C, të caktuar nga vlera të fundme të funksionit f. [73]
Përkufizim 5.1. Le të jetë ,f C dhe n N funksion i shumueshëm 2 periodik .
Polinomet trigonometrike 1
0
1
cos sin , 1,2,....2 2 2
n
n i ii
a i if ctg a ix b ix n
n n
nHTnCf ,1, 2 2n
1 2 2 2 ... nt t t kk tTtf dhe
1,2 2minn k k
k n
E f f t T t
1210 ,...,,, nxxxx f t nHp
f t tfpf
iiii xpxfpftfxtxf 1,0 ni
ba a a b
pftftp 2n tf
tp 1n nHtp tp
t f nH
1,2 2minn k k
k n
E f f t T t
fEtfTtftfTtftftTtfTtT nknkknkkkknk , dhe ,,
,k n kT t T f t kk tftT
kk tTtf dhe
12,1,, 1 nktt kk ,nT T f
,fTT n .fEn
103
ku ,i ia b paraqesin koeficientë Furie të funksionit f , quhet shumë e Favardit.
Përkufizim 5.2. Le të jetë NndheCf . Shuma
11ˆ
i
i
xn
n i i ni n x
f f x F u x du
ku
1
1
1cot cos , , ,
2 2 2 2
n
n i ni
i i iF v vi x i Z
n n n n
quhet bërthama e Farvardit e rendit 1n dhe fn̂ paraqet trajtën e ngjashme të shumimit të
paraqitjes integrale të shumave te Farvardit f për funksionin f .
Lema 5.1. duxuFuff nn
1
Përkufizim 5.3. Madhësitë
1
10
13, 0,1,2,...
4 2 1
t s
s st
K st
njihen si konstantet e Favardit.
Lehtë shihet që ,...24
,8
,2
,1 3
2
210
KKKK Kur s rritet sK rriten për s numër çift
dhe zvoglohen për s numër tek. 2
...4
...1 13420
KKKKK
1 1, ,s s s
n n s
KE W E W n s N
n ku nE -përafrimi më i mirë.
Lema 5.2.[37] Shumat e Farvardit caktojnë kufirin e sipërm për përafrimin më të mirë në klasën 1W klasë e funksioneve periodike të vazhdueshme ashtu që max 1.
xf f x
Lema 5.3. [3,28,37] Vlenë relacioni
11 1ˆ
1, , , berthama e Rogozinskit
2
i
i
xn n
n i i n i i n i ni n i nx
n
i i n i n n i ni n
f f x F u x du f x R x xn
if x R x x ku x R
n n n
Teorema 5.1. [64]Vlenë relacioni 1
, , 1,2,...2
n
n
ff x f f n
n
Kemi dhënë rezultatet e mëposhtme:
104
Teorema 5.2. Për konstantat e Favardit vlejnë relacionet:
2 1 21
2 1 2 1 21
2 1 12 1 ! 2 !
p qpp q
p p qq
K Kp p
dhe
2 12
1
2 2 1 21
1 1 .4 2 ! 2
qp pp q
p p qpq
K Kp
Vërtetim: Në [71] konsiderojmë identitetin
0
sin 2 1, 0,
2 1 4p
p xx
p
. 0K fitohet për
2x
Duke integruar identitetin në dy anët fitohet
12
0 0
cos 2 11,ku , 0, 5.1
2 1 4 4 !2 1
p
pp p
p x xx x x x
p pp
.
Për 1
2x K
. Marrim
1
1
sin, 0,2
2 2 2p
xpx xx
p
Duke integruar
identitetin në dy anët fitohet
21 2
2 21 1
cos 1, 0,2 , , 2,3,4,... 5.2
2 2 2p p
p n
x xpx x xT x T p
p n
Duke përsëritur integrimin fitohet:
2 22 3
2 2 231
sin, per .
2 2 6 8p
x xpxT x x T K
p
Duke integruar
barazimin 5.1 anë për anë dhe zëvendësuar 2
x
fitohet
2
12 2 2
2 2 8
KK K
.
Duke integruar barazimin 5.2 anë për anë fitohet 3 4
2 2 4 41
cos
2p
x xpxT T
p
për
3
3 .24
x K
Duke vazhduar këtë procedurë shihet se vlejnë relacionet në teoremë.
Teorema 5.3. fxfx nHf
n
ˆsup,
ku paraqet modul të fiksuar të vazhdueshmërisë,
paraqet funksion çift n
- periodik dhe plotëson mosbarazimet:
2 22 2
0 0
1 1 1 1) ,
2 2xn xn
n n nn n n ni x F u x du F u x du
ku
nx
,0 ,
105
1 2
) , ,2 2 2
nii xn n
Vërtetim: Shqyrtojmë ciftësinë e funksionit , ,n x n
-periodik .
Marrim 1
1 ,2
Ruufuf
. Duke patur parasysh se funksioni f dhe nF janë periodik
atëherë
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1 1ˆ
1 ˆ
i i
i i
i
i
x xn n
n i n n i n ni n i nx x
xn
i n n ni n x
f f x F u x du f x F u x dun n n
f x F u x du f xn n
pasi që 1
1 1
ix
i n n n nf x F u x du f F u x dun n
vlenë
1ˆ ˆ .n nf x f x f x f x
n n
Meqë nga HhxfxfHf 1 përfundojmë se ,xn është n
-periodik.
Për çiftësinë mjafton të tregohet se tftf 1 . Kemi
1
1
1 1
1 1
0 0
1
1 1 10
1 1ˆ
1 ˆ
i i
i i
i i
i i
x xn n
n i n n i n ni ix x
x xn
i n n i n n ni x x
f x f x F u x du f x F u x du
f x F u x du f x F u x du f x
0,,ˆsup, ,
,
xfHffHfx xnHf
n
x
Tani vlerësojmë madhësinë fn̂ . Përdorim transformimin e Abelit
1 1 1 1
1 00 0 0
n n n n
i i i i j ii i j i i
a b a a b a b
dhe fn̂ e prezantojm sin ë vijim:
1 1
1 1
1 1 1
1 0
1 1
1 0
1 1ˆ
1 1.
j i
j i
j i
j i
x xn n n
n i n i n n n ni j i ix x
x xn n n
i n i n n n ni j i ix x
f f x f x F u x du f F x u du
f x f x F u x du f F u x du
D.m.th.
106
1
1 0
1
1 0
1 1ˆ
1 1
i
k
n
n i n i n n n ni x
n
i n i n n n ni x
f f x f x F u x du f F x u du
f x f x F u x du f F x u du
Pra poqëse xHf , atëherë
1
1 0
1
11 0
1 1ˆ
1 1
i
n
n n n ni xi
n
n n ni x
f F u x du x F x u dun
F u x du x F u x du Sn
Bërthama uRn mund të shprehet si në vijim
1
1
sin cos1 2cos cos2 2
2 cos cos2
n
ni
uniu nR u iun
un
(5.3)
Pra 1 2 1
0, 1,2,..., 12
i
i
x
n nx
iF u du R i n
n n
. Kjo nënkupton që funksioni
1
1
cot sin , 0,22 2 2
n
n niu
u iu F d iu u
n n
shënohet ne zero për pika
12,...,2,1, nin
i. Për më tepër
nupërunn
,00,
20 . Tash shqyrtojmë
shenjën e diferencës 1
2
1
2 2 1cos cos
2 2
n
n n ni
ir u u u u
n n n n
.
Me u shënojmë 1
2
1
1 1cos cos
2 2 2 2 2
n
n ni
iu R u R u iu
n n n
(5.4)
d.m.th. nga (5.3) dhe (5.4) kemi
2
2
sin cos2 3 2 2
sin2 2 2 2
sin sin sin2 2 2 2
sin2 2
n n n
uun
nr u u R u R u
u u un n n n n n
n n
A un n
d.m.th. 2,0,sgnsgn uuAurn . Tani le të jetë 1, , , 0,2 1i i i
iu x x x i n
n
,
atëherë
107
1
sgn sin 1 , 0 1
sgn sin 1 , 1 2 2sgn
sgn sin 1 , 2 2
sgn sin 1 , 2 1
i
i
n
un i n
un n i nr u
nu i n
un i n
Nga këto mund të nxirret përfundimi që për
nx
,0 dhe n numër tek vlen
2,...,3,1,...42 nixxxxxxx nininin dhe
1,...,4,2,...42
nix
nx
nxxxxxx nnininin
dhe për n numër çift vlen
1,...,3,1,...42
nix
nx
nxxxxxx nnininin
dhe 2,...,4,2,...42 nixxxxxxx nininin .
Marrim që 1
i
i n n i nx
I F u x du x x x
dhe
2
i
i n n i nx
I F u x du x x x
1,1,1sgnsgn
1,0,1sgnsgn
12
1
nixxxI
nixxxI
i
ini
i
ini
dhe 1sgn 2
0 xI .
Duke patur parasysh këto kemi
1
1 0
1 1
1 0
1 11
1 11
i
i
n i
n n n ni x
n i
n n ni x
x F u x du x F x u dun
F u x du x F u x dun
Tash duke përdorur barazimet
1
1 1
1 1 0
11 1
2 2
i
i i
xn ni i
n n ni ix x
n nF u x du F u x du F u x du
n
dhe
1
1 11 1
1 0 0
11 1
2 2
i
i i
xn ni i
n n ni ix x
n nF u x du F u x du F u x du
n
fitohet
108
11 1
0
0
1 21
2 2 2
1 2
2 2
i
i
xn i
n n ni n x
n
nxn nx F u x du F x u du
n
nx nF x u du
n
Njëkohësisht nga 1 1
1 0i
n i
ni n x
F u x du
fitohet se
10 0
1 1
2 2n n n n n
n nx x F u x du x F u x du S
gjë që çon në vlersimin që kërkohet në teoremë, përkatësisht 1, Sxn .
Për pjesën e dytë të teoremës kemi.
0 0 0
0 0 0
0
1,
1 2 2
2 2 2
2
2
n
n n n n n n
n n n n
n
xnx F u x F u x du F u x du x F u x du
nx nxn nF u x F u x du F u x du F u x du
n n
n nF u x du
1
211
2 12
1 0
2
2
2 21 1 cot sin cot sin 2 1
2 2 2 2 2 2
2
2 2
n
n nx x
n i in
i i
n nF t dt F t dt
in n n nix i x
n n n
n n
12
112 22 1
20
2
sin 22cos
2 2 sin
21
2 2
n nni
ni
n
n n
n n
n n
Rrjedhimisht 2
,2 2 2
n
nx
n
109
4.6. Përafrimi më i mirë i funksionit dhe konvergjenca uniforme e serisë
Furie
Përkufizim 6.1. Le të jetë Lf , nk, , lS - shuma e pjesshme e l -të e seris Furie e
funksionit f . Shumë e Vallee-Poussin për funksionin f , quhet shuma
1
,
1 kn
nl
lkn Sk
f (6.1)
Vlejnë relacionet : ,1n nf S f , 0, 1k kf f
Gjithashtu, , ,n k n kf f x t V t dt
, ku
2 2
,
2
sin sin2 2
2 sin2
n k
n k nt t
V tt
k
tDtV mn 1, paraqet bërthamën e Dirikles .
Përkufizim 6.2.[22,23,46] Për shënojmë me modulin e lëmueshmërisë të
rendit të funksionit në metrikën , d.m.th. , ku operatori
linear
paraqet diferencën e rendit k të funksionit, përkatësisht
. Për moduli i lëmueshmërisë i rendit parë vërejme
se paraqet modul të vazhdueshmërisë. Për quhet modul i zakonshëm i
vazhdueshmërisë kurse për moduli
quhet moduli i vazhdueshmërisë. Për
- funksion i vazhdueshëm periodik. Moduli
quhet modul i zakonshëm i lëmueshmërisë, kurse për
moduli quhet modul integral i lëmueshmërisë.
Moduli i lëmueshmërisë ka vetitë:
1. Funksioni është jonegativ dhe monotono jozvoglues sipas t
2. Funksioni është funksion i vazhdueshëm sipas t, për . Nëse
është funksion i vazhdueshëm është I vazhdueshëm sipas t.
,1p tf , k
rr, f pL ( , ) supr
r p h ph t
f t f
fr
h
0
1r r vr
hv
rf x f x vh
v
1r
, moduli
tfp
1p
1, , , , supp p p
h t
f t f t f t f x h f x
2,0 dhe Cfp 2
0,2
, max
h t
x
f t f x h f x
1p 1
, suph t
f t f x t f x dx
ptf p 1 ,r
,r ptf
,r ptf 1 p f
r , f t
110
3. Nëse funksioni ka derivate të kufizuar të rendit është funksion
absolutisht i vazhdueshëm, atëherë përçdo .
4. Nëse për çdo , atëherë
5. Për vlen
Bëjmë vërtetimin e pjesës së dytë nga “5”. Meqë , atëherë
duke aplikuar mosbarazimin e Holderit dhe Jensenit
kemi:
Lema 6.1. Le të jetë , 2 ,m N l N m
h
, 2g C në segmentin ,2
lhh
dhe në
këtë segment vlenë 0, 0,g x g x atëherë 2 22
sin .
lh lh
h h
mx g x dx g x dx
(6.2)
Teorema 6.1. ,1 2
4ln 1 2.mnV nD
(6.3)
Vërtetim. Për 0n , 2
10 tD pohimi i teoremës është i qartë. Le të jetë 1n . Me
qenë se nD është çift zëvendësojmë xt
2 .Marrim
2
0
sin 2 12.
sinn
n xy D dx
x
Zëvendësojmë 12 nm , mh
, atëherë2
1 20
mh
h
h
I I I
f 1 dhe kfkk
p
k
r
k
pkr tfttfk ,, vlen 0
0n .,,r pr
r
p tfnntf
dhe 1r v p
1
, 2 , dhe , 2 ,
pv r
v r p
v r v rp pf t f t f t f t
vlen v v r r
h h hr v f f
jhxfxf r
h
rv
j
rv
j
jrv
0
r
h 1
0
0 0 0 0
-
0
2 . Nga kemi 2
pv rp
v r
h hj
ppq qv r v r v r v rp p
r r
h hj j j j
pv rp pv r p v r pr v r
h h hj
v rf x f x jhj
v r v rf x jh f x jhj j
f x jh h t f x dx f x jh dx
-
j 0 -
-
11
2 1 , ,
respektivisht , 2 1 , 2 , .
v r
v r p p
k p
pv r
v r p pp
v r rp p p
v r f t
f t v r f t f t
111
Meqë x
xsin është zvoglues në
2,0
, atëherë sin 2sin2
z zm
m , ,0z . D.m.th
10 0 0
2 sin 2 sin 2 sin 4
sinsin 2sin
2
m mx z zI dx dz dz
z zxm
m
.
Te 2I nga lema e mësipërme duke marrë lm ,
xxg
sin
1 kemi:
2
22
2
22
ln4
sin
4
sin
sin2
mh
h
mh
h
htg
x
dx
x
mxI
Por x
ctgx1
për 0,2
x
. Rrjedhimishth
I2
ln4
22
. Pra
2 2 2 2
4 4 4 2 4 4 4 4 4ln ln 1 ln ln 1 2
nn n
Teorema 6.2. Për 1.1 nk vlen 2,
4ln 1 2
n k
nV
k
(6.4)
Vërtetim: Meqë funksioni nën integral është çift vlen
2
, 20
sin 2 sin2
sinn k
n k x kxV dx
k x
. Meqë
kctg
kx
dx
kdx
x
kxxkn
kkk
2
sin
2
sin
sin2sin2 2
2
2
2
dhe 2
22
kctg
k
2
, 2 20
sin 2 sin2 2
sinn k
n k x kxV dx
k x
Për 2k ,
kx
,0 dhe
x
xsin rritës kemi
xctgx
x
x
x
x
kx
kx
x
x
xk
kx 1
2
2sin
sin
sin
sinsin
sin222
.
Prandaj kemi
212
0
2,
22
sin
2sin2
Idxx
xknV
k
kr .
Marrim m
hknm
,2 dhe e zgjedhim numrin e plotë hrk
rhr 1,
. Atëherë
32
1
0
1
0
21sin
sin2IIdx
x
mxI
hr
h
hhr
. Për 2m kemi
4
sin
sin2sin2
00
2 mm
dxx
mxdx
x
mxI .
112
Zëvendësojmë x
xgrl1
,22
dhe 2
21
k
nr nga lema e mësipërme kemi:
hr
h
hr
hk
nr
x
dxdx
x
mxI
1
2222
1
3 2ln4
1ln4
1ln44sin2
.
Pra 21ln4
2ln442
1ln4
2222,
k
n
k
nV kr
.
Nga teorema paraprake e qartë që për NnkCf p 1,, , vlen relacioni
fpk
nfp kn
21ln
42,
Teorema 6.3. Le të jetë NnkCf p 1,, . Atëherë vlen
fEk
nffp nkn
31ln
42,
. (6.5)
Vërtetim. Le të jetë T polinom i përafrimit më të mirë për funksionin f në hapësirën pC . Atëherë
kemi:
fTpk
nfTpfTpfTp
TfffpfTpTfpfTTfpffp
knknknkn
knknknkn
21ln4
2,,,,
,,,,
D.m.th.
fEk
nfTp
k
nTfpffp nkn
31ln
421ln
422,
Vërejtje: Vlejnë relacionet:
, 1 ,
,1
1
1
n k n k n k
n k
n k n ii n
n nf f f
k k
i nf S f A f
k
n paraqet shumën e Fejerit. Shihet që shumat Furie dhe shumat e Fejerit janë rast i veçant i
shumave Vallee-Poussin.
Rrjedhim 6.1. Le te jetë NnCf 1, , nS - shuma e n-të Furie, atëherë
2
4ln 1 3n n C
nf S f E f
k
Teorema 6.4. Le të jetë Cf që plotson kushtin 0lnlim
nfEcn
n, atëherë seria Furie e
funksionit f konvergjon te ky funksion në boshtin real.
113
Teorema 6.5. Le të jetë NnCf 1, atëherë vlen
2
2
2 2
4ln 1 4
n
n n Cn C
nE ff S f E f
E f
(6.6)
Vërtetim. Për çdo Nk kemi fSffffSf nknknn ,, . Nga rrjedhimi
paraprak vlen , 2
4ln 1 3n k n C
nf f E f
k
. Meqë T polinom trigonometrik kemi
TTST nkn , , d.m.th. TfSTffSf nknnkn ,,
Meqë
kn
ni
inkn fAk
nifSf
1
, 1 ku
dtxtktffAk cos1
,
përkatësisht
1cos , 1
,1
, 02
k
f x t kt dt k
A f x
f x t dt k
kemi
kn
ni
kn
ni
inkn dtitk
nitxffA
k
nifSf
11
, cos11
1 .
Zëvendësojmë f me ,f T ku T polinom i përafrimit më të mirë f në hapësirën 2CL , nga
baraimi (6.1) kemi
kn
ni
nkn dtitk
nitxTtxfxfSxf
1
, cos11
,, .
Duke përdorur mosbarazimin eKoshi- Bonjakoskit (
b
a
b
a
b
a
gffg 22). Kemi
11 2 2
22
,1
1, , 1 cos
n k
n k ni n
i nf x S f x f x t T x t dt it dt
k
.
Do me thënë nga përkufizimi i përafrimit më të mirë kemi :
11 2 2
22
,1
12 2
12
2 2 21
1, , 1
1 1 11 1
n k
n k ni n
n k
n n ni n
i nf x S f x f t T t dt
k
i n kE f E f k E f
k
Pra 2 2
4 1ln 1 3n n nC
n kf S f E f E f
k
,
22
2
2
1n C
n
E fk
E f
, - pjesa
e plotë e shprehjes , 1 AAA , kemi
2
2
2 2
4ln 1 4
n
n n Cn C
nE ff S f E f
E f
.
114
Rrjedhim 6.2. Le të jetë Cf . Nëse vlen barazimi 2
2lim ln 1 0n nCn
E f nE f
atëherë
lim 0,nn
f S f
d.m.th. seria Furie e funksionit f konvergjon uniformisht te funksioni
f në tërë boshtin real .
Vërtetim. Meqë lim 0n CnE f
, nga teorema paraprake mjafton të tregohet se
2
2
2lim ln 1 0
n
n Cnn C
nE fE f
E f
. Është e qartë se
2 2
22 2
2 2 22
2 2 2 2
2 2
1ln 1 ln 1
ln 1 1 ln 1 ln 1
n n
n
n n nC C C
n n n nC C
nE f nE fnE f
E f E f E f
nE f E f nE f E f
.
Meqë 01lnlim 2
0
xx
x, vlen barazimi i kërkuar duke shumëzuar barazimin e fundit me
.n CE f
Lema 6.2. Le të jetë 1 dhe ,1 nLfp p . Vlen mosbarazimi
pn fCETf * (6.7)
ku C është konstantë nuk nvaret nga n dhe f .
Lema 6.3. (vetia e minimalitetit ne 2L ). Për funksionin 2Lf dhe 1n vlen
*
2 2nE f f T .
4.7. Vlerësimi reciprok ndërmjet modulit të lëmueshmërisë, koeficientëve
Furie të funksionit në metrikën dhe përafrimit më të mirë
Teorema 7.1. Ekziston konstanta K e tillë që për ndonjë n vlen
(7.1)
Vërtetim : Le të jetë xfRn , shuma Rogosinski e përkufizuar si
nxfS
nxfSxfR nnn
2,
2,
2
1,
ose prezantimi i shumave Furie nëpërmjet
pL
*
*
1, , dhe
1, , 1
n
n p p
E f K f f Cn
E f K f f L pn
115
konvolucioneve të bërthamës Dirikle tDn fitohet 1
, , ku n nR f x f x t R t dt
sin cos
2 2 2
22 cos cos
2
n n
n
D t D t ntn n nR t
tn
.
Meqë dttRtxfxfxfRxfxfrdttR nnnn
1,, kemi 1 .
Barazimi është i saktë x nëse Cf dhe pothuajse përçdo x në periodë nëse Lf . Në
intervalin
,
2n funksioni
nt
2coscos
1
është jozvoglues, pra funksioni
sin
cos2 2
cos cos2
nx x
ntnR t dt dt
tn
posedon rrënjë të vetmë kx në çdo interval
0 1 2 2
2 1 2 3 2 13, , 0, 2, ...
2 2 2 2 2n
k k nk n x x x x
n n n n
. Për
më tepër për 1nx kemi 1
0, 0, 1 k
k
x
nx
R t dt k n
si dhe
2
0
0
10
0
11,
n
k
x
x
n
x
x
nn
k
k
dttRtxftxfdttRtxfxfxfr
ku
paraqet normë në hapësirat pLC ose Nëse Cf kemi:
0 0 0
0
00 0
1 2 2, , .
x x x
n n nx
C
f x f x t R t dt f t R t dt f x R t dt
Për , 1pf L p duke përdorur mosbarazimin e Minkovskit
dttRxfdttRtxfxfdttRtxfxf
dydxyxfdxdyyxf
x
npn
x
x
p
p
n
x
x
pd
c
b
a
ppp
b
a
d
c
00
0
0
0 0
00
11
,211
: fitojmw ,,
Funksionet xk të përcaktuara nga barazimet
1
2 3,
3
k
k k
xx
n n k k k kx x
kR t dt R t dt x x c x x
janë monoton dhe
absolutisht të vazhdueshëm. Për më tepër '
1, n n n k k kR x x R t x x ,
kkk cc pothuajse kudo në kk cx , . Duke vënë xt kemi
116
k
k
k
k
c
x
nkkn
x
c
dttRtxftxfdttRtxftxf 1
rrjedhimisht
1
.k k
k k
x c
n k k nx x
f x t f x t R t dt f x t f x t f x t f x t R t dt
Pra
nëse 1
, atwherw: 2 .k k
k k
x c
n k nx x
C
f C f x t f x t R t dt t t R t dt
Për pLf p 1 , kemi
1
2 . k k
k k
x c
n p k nx x
p
f x t f x t R t dt t t R t dt
Për n
xn
xxttcxt kkkk2
3 dhe
2 ,, 01k
kemi:
1
0
00 0
1 si dhe
2
2 2 1 2 1 1 ,
2 2
k k
k k
c x
n nx x
x
n n n nCx
R t dt R t dt
r f x R t dt R t dt R t dtn n
(7.2)
E njëjta gjë vlen për pn xfr , ku në vend të
n
2 qëndron
np
2.
Duke përdorur faktin që: 10
2, supn n n nC
f
R t dt R f x L R
ku n nL R paraqet
konstantën e Lebegut për metrikën Rogosinski, si dhe nga
nn
112
2
vijmë në
rezultatin (7.1).
Teorema 7.2. Le të jetë Lf ,
n
inx
necxf ~ , p1 dhe Nk . Atëherë
p
knn
fAc
1, , ku konstanta A nuk varet nga n dhe f .
Vërtetim. Meqë f është funksion 2 -periodik, atëherë kv 0 mund të shkruajmë
1 1
12 2
in x v v inxn
n
k k kc f x v e dx f x v e dx
v v vn n
. Duke i
mbledhur barazimet e fundit për kv ,...,3,2,1 kemi:
0 0
11 1 ,
2
k kk k vinx
n
v v
k kc e f x v dx
v v n
përkatësisht
117
1
1
1 1 1 2 12 , , ,
2 2 2 2n
kp
k k
n k n k kp pk
p p
c f x dx f c f fn n n
ku
1
2k
p
pA
.
Teorema 7.2. Le të jetë pLf dhe Nk . Vlejnë pohimet:
1) Në qoftë se 21 p , atëherë vlen pn
v
p
p
v
kp
k
p
k fEvn
A
nf
1
1
111,
2) Në qoftë se 2 p , atëherë vlen pn
v
p
p
v
kp
k
p
k fEvn
A
nf
1
1
111,
ku 21, AA konstante që nuk nvaren nga n dhe m.
Teorema 7.3. Le të jetë pLf për p të fiksuar nga intervali 1 p .
v
ivx
vecxf ~ dhe
le të jetë p,2min1 , p,2max2 . Atëherë vlenë
nkcBAn
fnkcBA v
p
kv ,,,1
,,,, 2211
, (7.3)
ku 21, AA janë konstante që nuk nvaren nga n dhe f.
Teorema 7.4. (Teorema e Paley-it).
1) Në qoftë se 21 p , pLf dhe nnc janë koeficientët Furie të funksionit f,
atëherë pp
p
n
pp
n fAnc
1
1
2 ku konstanta pA varet nga p;
2) Në qoftë se 2 p dhe ,n nc
varg numerik i tillë që
1
2
n
pp
n nc ,
atëherë ekziston pLf që ka për koeficient Furie ka nc i tillë që
p
n
pp
nppncAf
1
1
2'
ku pA' varet nga p.
pA dhe pA' mund ti vlerësohen
p
pp
pp
p
p
ppA
1
12
2
2
1
1
2
,
1
'
p
pp AA .
118
4.8. Mbi përafrimin e funksionit në hapësirën pL , (0<p<1)
Specifika e hapësirës 2,0pL , për 10 p , ka sjell zbatimin e përafrimit në segment me
polinomet me pjesë.
Teorema 8.1.[61] Le të jetë 10,, pbaLf p dhe k N , atëherë:
,
2 11
, , , , ,0, 1 0 0
1, , ku ,inf
2 1
0, .
i
b ap b kykk p
k k
k p k p k p k p k p k ya i k k ap
b af x a x A I y f dy I f I A f x dx
b a k
b ay
k
Rrjedhim 8.1. Në qoftë se plotësohen kushtet e teoremës 8.1., atëherë ekziston funksioni
polinomial 1 1
1, 1 1 1 11 1
, , ,n n
k n i i i n i i ii i
S P x x x x x P x P x P x x x
ku 1,
, , , 1,10,
x yx y x y
x y
dhe iP x polinome algjebrike të shkallës jo më të
madhe se 1k në intervalin 1 0 1 1, , 1, 1, 1 ... 1i i i n nx x i n x x x x ashtu që
të vlejë 1, 1 ,
1,
1k n k p k
p
f S A w fn k
.
Teorema 8.2.(Mosbarazimi i Markovit): polinomi algjebrik nP I shkallës jo më të lartë se n,
atëherë për 0 p q vlenë
1 11 1
22 1.
p qn q p q
n p
P pn
P b a
Teorema 8.3. (Mosbarazimi i Chebishevit): Nëse polinomi algjebrik nP i shkallës jo më të lartë
se n, plotëson kushtin LPn në segmentin ,,ba atëherë për pikat e këtij segmenti vlen
mosbarazimi
ba
baxnLxPn
2arccoscos .
Pohim 8.1. Le të jetë dhënë funksioni 10 ,1,1 pLf . Atëherë për 1,n k k N ,
plotësohet mosbarazimi p
kpkpn fn
CfE
,
1
1, .
Vërtetim: Le të jetë 1...1 dhe 1,0 , 1210 nn xxxxxpk ndarje në
segmentin 1,1- në 1n pjesë të barabarta dhe SS nk 1,1 funksion polynomial me pjesë
ashtu që ,
1,
1k p k
p
f S A fn k
. Le të jetë
1ku , 00
ppkpl si dhe
119
12 kl . Në shprehjen i
n
i
iin xxxPxPxPS ,1
11
shfrytëzojmë lemën e
mëposhtme:
Lema 8.1. Për funksionin 11 ,11 ,.0
,1,
yx
yx
yxyx për
,...2,1 ,...,2,1,0 ln ekziston polinom algjebrik yxR , i shkallës jo më të lartë se 2nl ashtu
që : l
l yxnCyxRyx21
1arccosarccos,,
, dhe funksioni ixx, e
zëvendësojmë me polinomin ixxR , dhe fitohet polinomi
i
n
i
iin xxRxPxPxPQ ,1
11
i shkallës jo më të lartë se 12 0 klpn .
Meqë ii xxxx arccosarccos kemi l
inkii xxnBxxRxx21
, 1,,
(8.1)
Për intervalin iiii hxx , ku 1
2
nkh dhe meqë
hx
x
p
ii
p
pii
i
i
i
dxxPxPPP 1,1 nga teorema paraprake për q kemi
i
p
piipk
p
pii
p
ii xPPh
PPkh
pxPxP
ii
,
11
12,1,,1
2
1 (8.2)
Tash nga mosbarazimi i Çebishevit dhe mosbarazimi i njohur
2 21cos arccos 1 1 2
2
n nnnn t t t t t t , ku 1t , fitohet
1 , 1 ,
, 11 1 ,
2 21cos 1 arccos
1, 1,1 \
2
i
i
pp p i
i i k p i i p
pp
k p i i i ik p p
x x hP x P x P P k
h h
hP P x x x
h
Meqë
n
i
iiii xxRxxxPxPxQxS1
1 ,, atëherë
, 1 1 2
1 1,1 \
, ,i i
np pp
n k i i i ip i
S Q P P x x R x x T T
Nga (8.1) dhe (8.2) vlen
hx
x
pk
l
i
i
i
ndxxxn 11
,
211 kemi
hx
x
n
i
p
piipk
l
i
p
pii
n
i
p
pkpk
i
i
ii
PPdxxxnPPh
T1
,1,
21
,1
1
,,1 11
(8.3)
120
Nga fiksimi i numrit k 12 kl kemi
11,
1 2
0
12
1
211,12
11
12
1
2 1'
1'
12
11
pkkn
n
pklpkknpl
pkpk
pl
i
pkh
i
nx
dx
ndx
nx
hxdx
xxn
xx
Ngjashëm nga (8.1) dhe (8.2) kemi
11
2
2 , , 1 , 11 1 2 1, ,1 11
1
1i i
k phn np pip
k p k p i i k p i ik p kp pi i
i
x xT P P dx P P
h n x x
(8.4)
Pra nga (8.3) dhe (8.4) kemi:
n
i
p
piipkpk
p
p i
PPQS1
,1,, .
Nëse ix atëherë ivhx për 1,...,2,1,0 kv ndërsa 1 ikhx .
10
1h
k k vk
i iv
kS x S x vh P x kh P x kh
v
dhe
n
i
p
p
k
hx
x
pk
h
hx
x
p
ii
n
i
hdxxSdxxPxPi
i
i
i1
1
1
,1
1
Pra
p
p
kpkpk
p
p nkQS
,
1
2,, . Meqë
p
p
p
p
p
pQSSfQf
dhe ffQfffSS p
k
p
ppk
p
pp
p
kp
p
kp
p
k ,,,, , nga
relacioni i njohur 1, 1 ,
2,
1k n k p kp
p
f S A fk n
kemi se
p
kpkpf
nkQf
,
1
2, Pra është gjetur vargu i polinomeve ,...3,2,1, nQQ kn i
shkallës jo më të lartë se 12 0 kkpn që plotëson mosbarazimin paraprak. Nëse 1 kn
,atëherë 0 Nm ashtu që 0 02 1 2 1 1m p k k n m p k k . Vejmë
,...3,2,1, nQQ kn që jep polinomin e kërkuar përkatësisht.
f
nCQf kpkp
,1
1, përkatësisht
f
nCfE kpkn ,
1
1, .
121
4.9.Lidhja ndërmjet përafrimit më të mirë dhe derivatin e Weyl-it të
funksioneve në hapësirën e Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton
Përkufizim 9.1. Me 0,2 , 1,pL p shënojmë hapësirën e funksioneve 2 periodike f
, të matshme në segmentin 0,2 , ashtu që ,pL p
f f ku
1/2
0
0,2
, for 1,
sup , forp
p
p
L
x
f x dx p
f
ess f x p
Përkufizim 9.2. Hapësira e Lorenc-it shënohet me , 0,2 , , 1,pL p dhe paraqet
bashkësinë e gjith funksioneve të matshme f , 2 periodike , ashtu që
1/
2 1
,
0
p
pf t t dt
, ku : 0,2 0, është funksion jo-rritës, i
përkufizuar si inf : ft R d t ku fd paraqet shpërndarjen e funksionit f të
përkufizuar si 0,2 :fd x f x dhe është ekuivalente në matshmëri me
funksionin f përkatësisht , , ,p p p
m f f M f
ku m dhe M paraqesin konstanta të
varura nga p, dhe norma në hapësirën , 0,2 , , 1,pL p përkufizohet si
1/2 1
,
0 0
1.
t
p
pf t d dt
t
Nëse , 1
,0
sup p
pt
f t t
. Gjithashtu marrim vlershmërinë e shënimit inf .
Përkufizim 9.3.. Vargu i numrave pozitiv ,na n N quhet varg kuzi-monoton nëse 0na
n
for any 0 .( 1 2 1... ... 0n na a a a dhe shënohet si 0na ).
Përkufizim 9.4. , , ,: O ,
p
p p n npE a f L E f a n N
ku , 1, ,p q
,na n N paraqet varg të numrave pozitiv ashtu që that 0,na n dhe
inf
n
p
n n pTE f T
ku nT - polinom trigonometrik i shkallës n . ( për vargjet na dhe nb
ku nb >0, n N ashtu që n
n
a
b e kufizuar simbolikisht shënohet si On na b )
122
Përkufizim 9.5. Me 0 , 2L shënojmë bashkësinë e funksioneve 2 periodike të
shumueshme në intervalin 0,2 . Le të jetë 0,2f L , v va a f dhe
, 0,1,2,...v vb b f v le të jenë koeficientët Furie të f , përkatësisht
0
1 0
cos sin ;2
v v v
v v
aS f a vx b vx A f x
.
Supozojmë që seria 1
cos sin2 2
r
v v
v
v a vx r b vx r
, ku 0r paraqet seri
Furie të disa funksioneve që i takojnë 0,2L . Këtë funksion e shënojmë me r
f x dhe
quhet derivati i i r-të i Weyl-it dhe ka trajtën:
2
0
1 1 10
1cos cos sin
2 2 2 2
r r r r
v v
v v v
a ff x v f x t vx r dt r v A x r v B x
Vërejtje: Për r N derivati i Weyl-it përputhet me derivation e zakonshëm të funksionit.
Pohim 9.1.[70] Le të jetë 0
1
cos sin2
v n
v
aa vx b vx
seri Furie e funksionit
, 1pf x L p atëherë vlenë 1
vp
k k n pk v
a b C nE f
.
Pohim 9.2.[70] Nëse vargjet kuazi-monotone na dhe nb n N janë koeficientë Furie të
funksionit , 1pf x L p atëherë vlenë mosbarazimi 1
2 2
p p
n n n pa b C n E f ku C
është konstantë në varshmëri të 0 e përkufizuar në përkufizimin 9. 3 dhe 1p .
Teorem 9.1.[11,36,49] Le të jenë na dhe nb n N koeficientë kuazi-monoton ashtu që:
i) 1
n n
pn
a b
n
, atëherë seria
1
cos sinn n
n
a nx b nx
paraqet seri Furie të funksionit
, 1pf x L p dhe vlenë mosbarazimi 1
1 1
1
1pp k k
n n n ppk n
a bE f C n a b
k
ii)
2
1
p
p
n n
n
a b n
, atëherë seria 1
cos sinn n
n
a nx b nx
paraqet seri Furie të funksionit
, 1pf x L p dhe vlenë 1 2
1 1
1
1p p pp p
n n n k kpk n
E f C n a b a b k
Lema 9.1.[49] Nëse ,pf x L
atëherë ,pf x L
dhe vlenë mosbarazimi
,
,
,p
p
f C p f
ku f x
është seria Furie e konjuguar f x , përkatësisht
2
0
1cos
2 2
tf x f x t t dt
dhe 1 p .
123
Lema 9.2.[49] Nëse ,pf x L atëherë ,n pS f L dhe vlenë mosbarazimi
,,
,n ppS f C p f
ku nS f është shuma e pjesshme e n të e serisë Furier e
funksionit f x dhe 1 ,1 .p
Lema 9.3.[70,74] Nëse ,1 , 1, 0pf x L p q r atëherë vlenë mosbarazimi
2 2 1
2 1 1
,2 1
, , ,
n
n mn
q p pqr
r r pq
n pq
k
S f S f C p q r n E f
Vërejtje. Për 1 p vlenë ,p pL L .
Vërejtje . Hapësira , ,, . , 1,p p
L p është hapësirë e Banahut.
Teorema 9. 2.[49] Le të jetë , 1,p dhe vargjet e numrave na dhe nb n N të jenë
kuazi-monotone.
Nëse 1
1
p p
k k
k
a b k
atëherë ka dhe kb janë koeficientë Furie të funksionit
,pf x L dhe vlenë mosbarazimi:
1 1
1 1,1
, , 1pp pp
n n n k kpk n
E f C p n a b a b k
.
Teorema 2.3.[46,49] Le të jetë , 1,p dhe , 0,2 , 0pf x M
dhe
0
1
cos sin2
n n
n
aa nx b nx
është seri Furie e tij, atëherë vlenë mosbarazimi:
1
,1 2
, ,p p
k k n pk n
a b k C p E f
.
Në [75] kemi dhënë vërtetimin e teoremës së mëposhtme që jep lidhjen në mes ekzistencës së
derivatit të Welit dhe konvergjencës së shumavetë përafrimit më të mirë:
Teorema9.4 .[75] , 0,2r
qf x L ku ,pf x M
1 , , 0, 1p q r
ekziston, nëse dhe vetëm nëse 1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente.
Vërtetim .
Kusht i mjaftueshëm: Meqë ,pf x M
atëherë pf x L dhe koeficientët e tij Furie janë
kuzi-monotonë. Le të jetë nS f tshuma e n të e pjesshme e serisë Furie të funksionit
pf x L atëherë 2 2 1
2 1 1
,2 1
, , ,
n
n mn
q p pqr
r r pq
k pq
k
S f S f C p q r k E f
. Ana e
124
djathtë e këtij mosbarazimi tenton në zero meqenëse 1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente,
paër këtë shkak 2 2 ,
0, , ,n m
r r
q
S f S f m n
atëherë
2n
rS f paraqet bazë në hapësirën e Lorencit ,qL . Sipas plotësisë së hapësirës ,qL , ekziston
funksioni ,qg x L i tillë që 2 ,
0, .n
r
q
S f g n
Tani vërtetojmë që hapësira ,p TL
përmbahet në hapësirën,p QL , për 1 , , ,p T Q kuT Q . Sipas përkufizimit të hapësirës së
Lorencit kemi
2 2
1/ 1/ 1/
0 0
2 2 21 11/ 1/
00 0 0
sup
Q Q T Tp p p
Q TT TT
Q T T T Tp p p p
s
dt dtt t t t t t
t t
dt Tt t t t s s ds s s ds
t p
1
2 21 1
0 0
112 2 1
1/
, ,
0 0
Q Q
T T
T
Q TT T
TT Tp p
TQQ Tp Q p
p Q p T
Ts s ds A s s ds
p
dtt t A s s ds f B f
t
Ku A dhe B janë konstanta të varura nga ,p T dhe Q . Meqenëse ,qL përmbahet në pL , nga
rezultatet e mësipërme kemi se:
2 2 ,n n
r r
p q
S f g B S f g
, dhe meqenëse 2 ,
0,n
r
q
S f g n
gjithashtu
vlenë se 2
0,n
r
p
S f g n , pra 2
, ,n n
r rS f g n S f g n
për këtë shkak ,
1 1
cos sin2 2
rr r
v v q
v v
g x r v A x r v B x f x L
Kusht i nevojshëm: Supozojmë që pf x M
ekziston derivati i Ëeyl-it , .r
qf x L
Meqenëse koeficientët Furie të funksionit na dhe nb janë kuzi-monoton për ndonjë 0
kemi se 0nn a dhe 0nn b , për këtë arsye 0, 0,r r
n n
r r
n a n bn
n n që nënkupton se
edhe vargjet r
nn a dhe r
nn b gjithashtu janë kuzi-monotonë. Pra nga teorema 9.2 seria
1 1 1
1 1 1
1 1 1
q q q qr
r r rq q q
n n n n n n
n n n
n n a n b n n a b n a b
125
Është konvergjente dhe mund të shkruhet në trajtën
1
1
,1
9.1
q qr
q
n n qn
n a b C f
Ku C është konstantë e varur nga , ,p q dhe .r Nga mosbarazimi i teoremës 9.2 kemi
1 2
1 1
1
, 1p p pp p
n n n k kpk n
E f C p n a b a b k
dhe këtë e
zëvendësojmë në mosbarazimin e mëposhtëm dhe fitohet:
1 11 2
1 1 1
1 1 1
11 1
2
1 1 1
1 1
1
9.2
q p pqr q p pqrp p ppq pq p p
n n n k kpn n k n
q qr q p pqrp pq pq p
n n k k
n n k n
n E f C n n a b a b k
C n a b n a b k
Tani për mosbarazimin e dytë për anën e djathtë të 9.2 , për p duke përdor mosbarazimin
e the Hardy-Littlewood fitohet:
1 12 2
2
1 1
1 11 1
2 2
1 1
q p pqr q p pqrp pp ppq pq pp
k k n n
n k n n
q p pqr p q qr
pq p q
n n n n
n n
n a b k C n n a b n
C n n a b C n a b
Për p në anën e djathtë të mosbarazimit 9.2 bëjmë transformimet:
21 1 1
2
1 1
2 21 1
1
9.3
pq p pqr q p pqr
p ppq pq pp pk k k k
n k n n k n
pq p pqr
pq p ppk k
n k n
n a b k n a b k
n a b k
Në barazimin 9.3 zëvendësojmë 2
1q p pqr
pq
, 1
p
( meqë p )
Meqenëse na dhe nb janë koeficientë kuazi-monoton vlenë
21
1 0p
nn a n
dhe
21
1 0p
nn b n
, për këtë arsye
2 21 1
1 10, 0,
p p
n nn a n bn
n n
përkatësisht vargjet
21
p
nn a
dhe
21
p
nn b
janë kuzi-monotone. Më pas meqë dhe duke përdorur mosbarazimin e
Hardy-Littlewood në barazimin 9.3 fitohet:
126
2 21 1 1
2
3
1 1
2 2 11 1
3 3
1 1
p pq p pqr q p pqrp pppq pq pp
k k n n
n k n n
q p pqr q qr
pq p q
n n n n
n n
n a b k C n a b n
C n n a b C n a b
Për të dy rastet p dhe p fitohet
1
1 12
2 3
1 1
max ,
q p pqr q qrp ppq qp
k k n n
n k n n
n a b k C C n a b
Duke kombinuar mosbarazimin e fundit me relacionet 9.1 dhe 9.2 fitohet
11 1 1
2
1 1 1
1 1 1
11
1 2 3 1 2 3 4, , ,1
max , max ,
q p pqr q qr q p pqrp ppq q pq p
n n n k kpn n n k n
q qr
q
n nq q qn
n E f C n a b n a b k
C C f C C n a b C C C C f C f
ku , 1,2,3iC i janë konstanta që mvaren prej , ,p q r dhe . Pra seria
1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente .
Përfundime
Kemi paraqitur disa klasa klasike dhe të reja të funksioneve periodike, të karakterizuara sipas
modulit të lëmueshmërisë dhe koeficientëve Furie, kemi dhënë kushte të nevojshme ose
mjaftueshme që duhet plotësuar koeficientët Furie në mënyrë që ti takojnë një klase të caktuar,
paraprakisht duke dhënë njohuri themelore nga analiza funksionale që shërben si mjet për
studimin e aparateve përafruese trigonomtrike të cilat në thelb paraqesin funksional dhe operator
linear. Vecanërisht kemi shqyrtuar teoremat Korovkin për rastin trigonometrik.
Në kapitullin e dytë kemi dhënë ndërlidhje ndërmjet interpolimeve të ndryshme si kalimin nga
interpolimi algjebrik në atë trigonometrik, adaptimi i metodës së Nevillit dhe formulave të
Hermitit në interpolimin trigonometrik, interpolimi racional trigonometrik me anë të splajnit
kubik si dhe kemi kryer operacione me qëllim shpejtimin e konvergjencës te interpolimi
trigonometrik si dhe ndërlidhjen e koeficientëve të Furie-Lagranzhit me koeficientët Furie duke
ilustruar me shembuj të ndyshëm numerikë.
Në vazhdim të kapitullit të tretë kemi dhënë disa aplikime dhe modelime në qarqet elektrike të
ilustruar me shembuj numerikë, aplikim të transformimeve Furie dy-dimensionale te përpunimi i
imazhit duke përdorur filtra të ndryshme si dhe kemi shfrytëzuar seritë dhe transformimet Furie te
zgjidhja e disa ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme.
127
Një funksion në ndonjë hapësirë cilësohet nga keto tre madhësi moduli i lëmueshmërisë,
koeficientët e tij Furie dhe përafrimi më i mirë me polinome trigonometrike, të cilat janë të lidhur
ngushtë. Kjo mundëson hapësirë që në të ardhmen që për klasa të reja të jepen vlerësime
përkatëse të këtyre tre madhësive.
Në kapitullin e katërt kemi dhënë lidhjet ndërmjet disa karakteristikave të funksionit dhe
përafrimit më të mirë të tij ne kontekst të koeficientëve Furie, në hapësirat C dhe pL . Gjithashtu
japin lidhjen në mes të përafrimit më të mirë dhe ekzistencës së derivatit të Weyl-it të
funksioneve nga klasa e Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton.
Referencat
[1] A. Abedini, Sh. Rexhepi, Relation of interpolation of Lagrange Ëith equidistant and non-
equidistand nodes of Chebyshev, 1 st International ëestern Balkans Conference of Mathematical
sciences, 30 May-1 June, Elbasan- Albania- 2013
[2] A. Endrique, G. Velsaco , Fourier Analysis and boundary problems, Massachusetts 1996
[3] A. I.Stepanets , Methods of Approximation Theory, Netherland 2005
[4] A. Nersessian and A. Poghosyan, On a rational linear approximation of Fourier series
for smooth functions, Journal of Scientific Computing, 26(1) (2006), 111_125. [5] A. Nersessian, , A. Poghosyan, Accelerating the convergence of trigonometric series, CEJM
4(3) 435–448, 2004
[6] A. Pinkus, Weierstrass and approximation theory, J. Approx. Theory 107 pp. 1–66, 2000
[7] A. Poghosyan, A. Barkhudaryan, and S. Mkrtchyan, “Accelerating the convergence of
trigonometric interpolation,” in Proceedings of the 3rd Russian-Armenian Workshop on
Mathematical Physics, Complex Analysis and Related Topics,, pp. 133–137,
Tsaghkadzor, Armenia, 2010
[8] A. Sharmal, N. Kumar. Fourier series and its applications// IJIRS , 1.6 pp. 1916-1919,
2014
[9] A. Zygmund ,Trigonometric series – Volume I and II, Cambridge 1959
[10] S.B. Stechkin, On the order of best approximations of continuous functions, Izv. Akad. Nauk
SSSR, Ser. Mat., 15, 3, 219–242 (1951)
[11] A.F. Timan and V.K. Dzyakyk, On the best approximation of quasi-smooth functions by
ordinary polynomials, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 75 ,499–502, 1950
[12] B.Shaini,Sh. Rexhepi , E. Iseni, On advantages of Neville Method and its adapting to
trigonometric series, Conference of Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë
2014
[13] D. Jackson, The general theory of approximation by polynomials and trigonometric sums,
Bulletin of the American Mathematical Society,415–431, 1921
[14] D. Jackson, The Theory of Approximation, Colloquium Publications, vol. XI, American
Mathematical Society, Neë York 1930 reprinted 1968.
[15] D. Jackson. Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale
Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Gummen gegebener Ordnung . Preisschrift
und Inaugural Dissertation, Göttinger, 1911.
128
[16] D. Javier , Fouerier Analysis, Bilbao 2000
[17] D. Levy, Numerical Analysis , University of Maryland, March 4, 2008. [18] E. Brigham, The Fast Fourier Transform and its applications, Neë Jersey, 1988
[19] E. Kreyszig , Advanced engineering mathematics, 10th Edition. John Ëiley & Sons,
New York, 2010. [20] A. I. Stepanets, Classification of Periodic Functions and Their Approximation by Fourier
Sums ,Preprint No. 69, Institute of Mathematic Kiev 1983
[21] E.M. Stein, R. Sakarchi, Fourier Analysis, Princenton 2007
[22] F.Berisha ,Teorema e drejtë në teorinë e përafrimeve për përgjithësimin e modulit të
vazhdueshmërisë,Prishtinë, 1988
[23] F.Berisha, Zbatimi i moduleve fuksional në teorinë e përafrimeve, Prizren, 2001
[24] F.Altomare, M.Campiti, Korovkin type approximation theory and its applications, Berlin
1994 [25] G. G. Lorentz, Approximation of Functions, Chelsea, Neë York, 1986.
[26] G. A. Baker and P. Graves-Morris, Pade Approximants, Encyclopedia of
mathematics and its applications. Vol. 59, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge,
1996. [27] G. H. Hardy, J. E. Littleëood, and G. P´olya, Inequalities, 2nd. ed., Cambridge University
[28] G. Hardy, W. Rogosinski , Fourier series, Cambridge 1946
[29] H. Ales,M. Tadeja, S. Maja,C. Marjeta , Fast Fourier transform in papermaking.Tëo
application examples// Acta Polytecnica Hungarica 9.5 pp. 155-166, 2012 [30] H. Gonska, Jackson-type theorem on Approximation theory by trigonometric and algebraic
pseudopolynomials, Journal of approximation theory, 48, pp. 396-406, 1986
[31] H. Xuli, ,, Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter‟‟
Geometric Design, 21, 535-548, 2004. [32] I. Stein, G. Veis, Vedenie garmoniceski analiz iz Evklidovi prostranstva, M. Mir (1974)
[33] I.S Berezin and N.P. Zhidkov, Computing methods,Oxford, PergamonPress [34] S. Nikolski, Approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, Tr. Mat.
Inst. Akad. Nauk SSSR,15, 1–76
[35] J. Bustamante , Algebraic approximation, Mexico, 2012
[36] J. James, A students guide to Fourier transform, with applications in physics and
engineering, Cambridge, 2011
[36] J. Clunie, An extension of quasi-monotone series, Math. Student 20,107-112, 1952
[37] J. Favard, “Sur les meilleurs precedes d'approximation de certainesclasses de fonctions par
des polynomes trigonometriques,” Bull. Sci.Math., vol. 61, pp. 209-224 and 243-256, 1937.
[38] J. Korevaar., Fourier Analysis and related topics, Amsterdam, Spring, 2011.
[39] J. Mason, D. Handscomb, Chebyshev Polynomials, CHAPMAN & HALL/CRC ,
2003.
[40] L. Havas,K. Damira, K. Veljko ,Application of Fourier series in the analysis of non-
sinusiodal alternating values// Technical Gazette 22 pp 253-256, 2015
[41] L. N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, SIAM, 2012.
[42] L. P. Yang , A class of Algebraic Trigonometric interpolation splines and
Applications Computational and Information Sciences (ICCIS), international conference,
1174-1177, 2010.
[43] M. Zamansky, Classes de saturation de certains proc´ed´ es d‟approximationndes
s´eries de Fourier des fonctions continues et applications ` a quelques probl`emes
d‟approximation, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 66, (1949), 19–93. [44] I. Natanson ,Teorija funkcii veshestvenoj peremenoj, Moscow 1974
129
[45] Svetozar Kurepa (1981)-Funkcionalna Analiza (Elementi Teorije Operatora)-
Zagreb, Skolska Knjiga [46] M. Berisha , Fevzi Berisha , Nga teoria e përafrimeve të funksioneve, Prishtinë 2010
[47] M. Powell, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 2001. [48] M. Jan , Advanced theory of differentiation-Lorentz space‟ , Czech Republic, 2003
[49] M. Kokiashvilli. , Ob odnom funkcionalinom prostranstve i Koeficientah Furije ,MatSb.nr
44, (1958) 53-84
[50] M. Q. Berisha, F. H. Berisha, and M. Potapov. O polinomiyal‟no˘I aproksimatsii v
integral‟no˘ı metrikes vesom Yakobi. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. (5):33–38, 105, 1990.
[51] M. Sarfraz., Visualisations by positive and convex data by a rational cubic spline
interpolation Information Science 146, 239-254, 2002. [52] M. Shinya , N. Milyuki , S. Takuya , Interpolation theorem on Lorentz spaces over ëeighted
measure spaces‟ Proc. Amer. Math. Soc. 134, 2006
[53] M.C. Anumaka , Analysis of Electric Circuits Using Fourier Series. // International
Journal of Engineering and Innovative Technology. 1, 5, pp. 125-128, 2012 [54] M.F. Timan, Converse theorems of the constructive theory of functions in the spaces Lp,
Mat. Sborn. 46 (88) , 125–132, 1958
[55] M.F. Timan, Teorija priblizhenija funkcii deistvetelnoto premenova, Moska 1960
[56] M.K. Potapov ,,Teoremi Hardi-Litlvuda priblizhenije uglom i vlozenije nekotorih klassov
funkcii, Mathematica 37, 339-362, 1972
[57] N. Bari, Trigonometric series, Fizmatgiz, Moscoë 1961
[58] N. Carothers ,A short course to Approximation Theory, Boëling Green State University
Press, Neë York, 1983
[59] S. Bernstein,Sur l‟approximation des fonctions continues par des polynˆomes,
Comptes Rendus, 152 (1911), 502–504. [60] N. P., Korneichuk, Exact constants in approximation theory, New York:Cambrige Univ.
Pres, 1991,
[61] E. Storozensko, Priblizenije algebarski mnogocelnami funkcii klasa Lp,0<p<1, SSSR ser.
Matem. 41, 1977
[62] N.H.Sabah , Electric Circuits and Signals. CRC Press; 1st edition. CRC Press, Boca
Raton, Florida, 2008.
[63] A. I. Stepanets, Order relation for(ψ,β)-derivatives, Ukr. Mat. Zh., 37, No. 5, 1985
[64] P. P. Korovkin, Convergence of linear positive operators in the spaces of continuous
functions, (Doklady Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 90 , 961–964, 1953
[65]S. M. Shah, Trigonometric series with quasi-monotone coefficients, Proc. Amer. Math. Soc.
13(1962) 226-273
[66] S. N. Bernshte˘ın. O nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsi˘I posredstvom
mnogochlenov danno˘ı stepeni. Soch. Izd. AN SSSR, pages 11–104, 1952.
[67] S. N. Bernshte˘ın. O priblizhenii nepreryvnykh funktsi˘ı polinomami. Soch. Izd. AN SSSR,
pages 8–10, 1952.
[68] S. R. Finch, Mathematical constants, New York: Cambridge Univ. Press, pp. 255-257, 2003.
[69] S. Rana ,M. Dube , P. Trigonometric, Rational Cubic Trigonometric Spline with two
Shape Parameters, Internat. Journal of Technology and Advanced Engineering, vol. 3
issue 7, 145-149, 2013. [70] S. Tazabekov , Trigonometricke rjadi Fourie s kvazimonotonomi koeficientami‟‟ Russia
(1988)
[71] S.B.Stekcin , Approximation of periodic functions, Proccedings of the Steklov Institute of
Mathematics , Island 1974
130
[72] Sh. Rexhepi, E. Iseini, B. Shaini, A. Jakupi , On trigonometrioc splines, Conference of
Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë 2015
[73] Sh. Rexhepi, E. Iseni , A. Jakupi, On Favard Method of Approximation of Functions in C
Spaces, international congres of Natyral and engineering sciences, ICNES, Skopje 2016
[74] Sh. Rexhepi, F. Berisha, E. Iseini, On existence of Weyl derivative of functions in Lorentz
space with quasi-monotone Fourier coefficients, International conference on pure and applied
Mathematics, Van, Turkey 2015
[75] Sh. Rexhepi, F. Berisha, E. Iseini, Relation of the best approximation and Weyl
derivative of functions in Lorentz space with quasi-monotone Fourier coefficients, IJMSEA,
Vol. 9 No. IV pp. 141-148, 2015 [76] Sh. Rexhepi, F. Hoxha , Some applications of one and tëo dimensional Fourier series and
transform, British Journal of Mathematics & Computer Science Vol. 18(3): 1-11, 2016 [77] Sh. Rexhepi, H. Snopce, E. Iseni, On a Relation of Distribution ëith Series in L2 and
Logarithmic Averages in the Case of Symmetric Jump, Journal of Advances in Mathematics
(JAM), vol 9, n.6, pp. 2733-2741, 2014
[78] Sh. Rexhepi, I. Haliti , On transition from algebraic to trigonometric interpolation,
Conference of Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë 2014
[79] Sh. Wang ,Application of Fourier transform to Imaging Analysis, 2007
[80] C. de la Vall´ ee-Poussin,Le¸cons sur l‟approximation des fonctions d‟une variable
r´eelle, Paris, 1919. [81] V. Ryabenki, S. Tsynkov , A theoretical introduction to numerical analysis, USA, 2006
[82] W. Gautschi, Numerical Analysis, Birkhwuser, Boston, 1997 [83] Z. Ditzian and V. Totik. Moduli of smoothness. Springer-Verlag, NewYork, 1987.
