Diskretne strukture 2, zadaci za vezbu: I – smer

1. Ispitati da li postoji clan u razvoju (√x+

13√x

)9 koji ne sadrzi x.

Resenje:

Opsti clan:

(9k

)· (x 1

2 )k · (x− 14 )9−k =

(9k

)· x k

2 · x k−94 =

(9k

)· x 3k−9

4

Clan koji se sadrzi x: x0 =⇒ 3k − 9

4= 0⇐⇒ k = 3

Clan koji ne sadrzi x je

(93

), odnosno, cetvrti clan.

2. Naci koeficijent u razvoju (z√z +

13√z

)n uz z5 ako je zbir koefi-

cijenata tog razvoja jednak 128.

Resenje:n∑k

(nk

)= 128

2n = 128n = 7

Opsti clan:

(7k

)· (z · z 1

2 )7−k · (z− 13 )k =

(7k

)· z 21−3k

2 · z− k3 =

(7k

)·

z21−3k

2 − k3 =

(7k

)· z 63−11k

6

α = 5 =⇒ 63− 11k

6= 5⇐⇒ k = 3

Koeficijent uz z5 je

(73

)=

7 · 6 · 53 · 2 · 1

= 35.

3. Odredite koeficijent uz x10, x24, x27, x28 u razvoju (1 + x6 − x8)20.

Resenje: Kako ne postoje kombinacije brojeva n1, n2, n3 za koje vazi:

(x0)n1 + (x6)n2 + (x8)n3 =

{x10 ilix27

, n1 + n2 + n3 = 20

tako ni clanovi koji sadrze x10, x27 ne postoje, pa je njihov koeficijent 0.

x24 = 117 · (x6)0 · (−x8)3 −→ koeficijent je: −(

2017, 0, 3

)x24 = 116 · (x6)4 · (−x8)0 −→ koeficijent je:

(20

16, 4, 0

)+

Koeficijent uz x24 je

(20

16, 4, 0

)−(

2017, 0, 3

)=

20!

4! · 16!− 20

17! · 3!=

20 · 19 · 18 · 17

4 · 3 · 2 · 1−

20 · 19 · 18

3 · 2 · 1= 4845− 1140 = 3705

x28 = 116 · (x6)2 · (−x8)2 −→ koeficijent je:

(20

16, 2, 2

)Koeficijent uz x28 je

(20

16, 2, 2

)=

20!

16! · 2! · 2!= 29070.

1

4. Dokazati identitet 1 + 2

(n1

)+ 22

(n2

)+ . . .+ 2n

(nn

)= 3n.

Dokaz:

3n = (1 + 2)n =n∑

k=0

(nk

)· 1n−k · 2k =

n∑k=0

·2k ·(nk

)= 1 + 2

(n1

)+

22(n2

)+ . . .+ 2n

(nn

)4

5. Dokazati identitet

(n+ 2k

)=

(nk

)+ 2

(n

k − 1

)+

(n

k − 2

).

Dokaz:

Koristicemo adicionu formulu:

(nk

)=

(n− 1k

)+

(n− 1k − 1

)Krenemo od leve strane i primenimo adicionu formulu na

(n+ 2k

), pa onda

zatim na podvucene koeficijente:(n+ 2k

)=

(n+ 1k

)+

(n+ 1k − 1

)=

(nk

)+

(n

k − 1

)+

(n+ 1k − 1

)=(

nk

)+

(n

k − 1

)+

(n

k − 1

)+

(n

k − 2

)=

(nk

)+ 2

(n

k − 1

)+(

nk − 2

)4

6. Dokazati identitetn∑

k=0

(2n)!

(k!)2 · ((n− k)!)2=

(2nn

)2

.

Dokaz:(2nn

)=

(2n)!

n! · n!=

(2n)!

(n!)2n∑

k=0

(2n)!

(k!)2 · ((n− k)!)2=

n∑k=0

(2n)!

(k!)2 · ((n− k)!)2· (n!)2

(n!)2=

(2n)!

(n!)2·

n∑k=0

(n!)2

(k!)2 · ((n− k)!)2=(

2nn

)·

n∑k=o

(n!

k! · (n− k)!

)2

=(2nn

)·

n∑k=0

(nk

)·(nk

)= A

Znamo da vazi suma proizvoda:r∑

k=0

(rk

)·(

sn− k

)=

(r + sn

)Neka je sada s = r i n = 2k. Tada formula za sumu proizvoda glasi:

r∑k=0

(rk

)·(

r2k − k

)=

r∑k=0

(rk

)·(rk

)=

(2rk

), odnosno:

n∑k=0

(nk

)·(nk

)=(2nn

)A =

(2nn

)·(

2nn

)=

(2nn

)2

4

2