UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE CIENCIA E INGENIERÍA EN ALIMENTOS

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TRANSMISION DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN SÓLIDOS La conducción se comprende fácilmente considerando el flujo de calor en sólidos homogéneos isotrópicos, debido a que en este caso no hay convección y el efecto de la radiación es despreciable excepto que el sólido sea translúcido a las ondas electromagnéticas. Isotrópico: Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un ejemplo en donde no se cumple la isotropía, si se tiene un material, y es más difícil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba a abajo. Pues se dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotrópica. Ley de Fourier. La relación básica del flujo de calor por conducción es la proporcionalidad existente entre la velocidad de flujo de calor a través de una superficie isotérmica y el gradiente de temperatura existente en dicha superficie. Esta generalización, que es aplicable a cualquier lugar del cuerpo y en cualquier instante, recibe el nombre de ley de Fourier3, y puede expresarse en esta forma:

La temperatura puede variar tanto con la localización como con el tiempo. El signo negativo refleja el hecho físico de que el flujo de calor se produce de mayor a menor temperatura, de forma que el signo del gradiente es contrario al del flujo de calor. Aunque la Ecuación (10.1) se aplica específicamente a través de una superficie isotérmica, se puede demostrar que la misma ecuación es utilizable para el flujo de calor a través de una superficie cualquiera, no necesariamente isotérmica, con tal de que el área A sea el área de la

superficie, y la longitud del camino esté medida en dirección normal a la superficie.Esta extensión de la ley de Fourier es de gran importancia para el estudio de los flujos bi y tridimensionales, donde los flujos de calor siguen líneas curvas en vez de rectas. En la Figura 10.1, que representa la pared plana de un horno, se muestra un ejemplo de flujo unidimensional de calor. La pared está inicialmente a 80 “F, que corresponde a la temperatura de equilibrio con el aire. La distribución de temperatura en la pared está representada por la línea 1. A la temperatura de equilibrio, T es independiente del tiempo y de la posición. Supongamos ahora que una de las caras de la pared se expone bruscamente al gas de un horno que está a la temperatura de 1200 “F. Admitiendo que la resistencia al flujo de calor entre el gas y la pared es despreciable, la temperatura de la cara de la pared que estáen contacto con el gas sube bruscamente a 1200 “F, y comienza el flujo de calor. Al cabo de un cierto tiempo, la distribución de temperatura puede representarse por una línea como la curva II. En ese instante, la temperatura a una determinada distancia, por ejemplo, la del punto C, está aumentando, y T depende del tiempo y de la localización. El proceso se denomina conducción en estado no estacionario, y la Ecuación (10.1) es aplicable a cada punto de la lámina en cada instante. Finalmente, si la pared se mantiene en contacto con el gas caliente y el aire frio durante un tiempo suficientemente grande, se obtiene la distribución de temperatura representada por la línea III, y dicha distribución permanecerá inalterable a lo largo del tiempo. La conducción que tiene lugar con una distribución constante de temperatura recibe el nombre de conducción en estado estacionario. En elestado estacionario, T es una función exclusiva de la posición, y la velocidad de flujo de calor en un punto cualquiera es constante. Para el flujo estacionario unidimensional, la Ecuación (10.1) puede escribirse en esta forma

Conductividad calorífica. La constante de proporcionalidad k es una propiedad de la sustancia que se denomina conductividad calorífica, En la Ecuación (10.2), q/A es la velocidad de flujo de calor por unidad de área, dT/dnes el gradiente de temperatura y k es el factor de proporcionalidad. En unidades de ingeniería q se mide en Btu/h o watiosy dT/dnen “Ffpies o en T/m. Las unidades de k son Btu/pie’-h-(“F/píes), o sea Btu/píes-h-“F. La ley de Fourier establece que k es independiente del gradiente de temperatura, pero no tiene necesariamente por qué serlo de la temperatura en sí. La experiencia confirma la independencia de k en un amplio intervalo de gradientes de temperatura, excepto para sólidos, donde la radiación entre las partículas, que no sigue una ley lineal con la temperatura, es responsable de una parte importante del flujo total de calor. Por otra parte, k es una función de la temperatura, pero la variación es relativamente pequeña, de forma que, para pequeños intervalos de temperatura, k puede considerarse constante. Para intervalos de temperatura mayores, la conductividad calorífica varía linealmente con la temperatura, de acuerdo con la ecuación

Siendo a y b constantes empíricas. La línea III de la Figura 10.1 corresponde a un sólido de k constante cuando b = 0. Si k varia con la temperatura la línea presenta una cierta curvatura. Las conductividades caloríficas varían en un amplio intervalo; son muy elevadas para los metales y muy bajas para materiales finamente pulverizados de los que se ha extraído el aire CONDUCCION EN ESTADO ESTACIONARIO Como caso más sencillo de conducción en estado estacionario, consideremos una lámina plana como la de la Figura 10.1. Supóngase que k es independiente de la temperatura y que el área de la pared es muy grande en comparación con su espesor, de forma que las pérdidas de calor por los bordes sean despreciables. Las superficies exteriores de la lámina son isotérmicas y perpendiculares al plano de la ilustración. Puesto que la conducción tiene lugar en estado estacionario, no hay acumulación ni vaciamiento de calor en el interior de la lámina, y q permanece constante a lo largo del camino que sigue el flujo de calor. Si x es la distancia medida desde el lado caliente, la Ecuación (10.2) puede escribirse así

Siendo x2 - x1 = B, el espesor de la lámina, y Tl - T2 = AT, la caída de temperatura a través de la lámina. Cuando la conductividad calorífica varía linealmente con la temperatura según la Ecuación (10.3), la Ecuación (10.5) es rigurosamente aplicable utilizando en vez de k un valor medio E, que se puede obtener tomando la media aritmética de los valores individuales de k para las temperaturas de las dos superficies, Tl y T,,o bien calculando la media aritmética de las temperaturas y evaluando k a dicha temperatura media.

DondeR es la resistencia térmica del sólido entre los puntos 1 y 2. La Ecuación (10.6) es un caso particular del principio general de velocidad, según el cual una velocidad es igual al cociente entre una fuerza impulsora y una resistencia. Ejemplo 10.1. Una capa de corcho pulverizado de 6 pulg (152 mm) se utiliza como aislamiento térmico de una pared plana. La temperatura del lado frío del corcho es 40 “F (4,4 “C) y la del lado caliente es 180 “F (82,2 “C). La conductividad calorífica del corcho a 32 “F (0 “C) es 0,021 Btu/pies-h-“F (0,036 W/mX), y a 200 “F (93,3 “C) es 0,032 (0,055). El área de la pared es 25 pie’ (2,32 m’). ¿Cuál es la velocidad de flujo de calor a través de la pared, en Btu/h (watios)?

RESISTENCIAS COMPUESTAS EN SERIE

Para resolver casos de pared plana con varias capas se requiere calcular: ΔT total = ∑ΔTi que es la caída total de la temperatura a través de las capas. q= ΔT/R Donde: R= resistencia térmica entre 2 puntos. q= velocidad ΔT= fuerza impulsora El inverso de la resistencia es la conductancia= B/kA (A= área; k= conductividad del material; B= espesor de la capa) Por lo tanto: ΔTi= q B/kA para cada capa. Velocidad= caída de la temperatura/ resistencia

Flujo eléctrico: la velocidad dado en amperios (voltios/ohmios)

La velocidad de flujo de calor a través de varias resistencias en serie es evidentemente análoga a la intensidad de corriente que circula por un circuito con varias resistencias en serie. Flujo de calor a través de cilindros q=- k ΔT/Δr 2πrL Donde: Δr= es la diferencia entre el radio externo y el radio interno del cilindro 2πrL= área perpendicular al flujo de calor Al aplicar las integrales de la ecuación, queda de la siguiente manera: lnro – lnri = 2πLk/q (Ti – To) q= k(2πL) (Ti – To) / ln(ro/ri)

CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO

Se estudiará la ecuación diferencial entre derivadas parciales para el flujo unidimensional de calor.

Se admite en todos los casos que K es independiente de la temperatura.

Ecuación para la conducción unidimensional:

Consideremos la lámina sólida de la Fig. 1 observando sobre la delgada lámina de espesor ɗ x

situada a una distancia x de la cara caliente de la misma. En un determinado tiempo la gradiente

de temperatura a la distancia x, es ɗT/ɗxyla cantidad de calo que entra en un intervalo de tiempo

dt es – KA(ɗT/ɗxy), siendo A la área de la lámina situada a la distancia x, perpendicularmente al

flujo de calor y K la conductividad calórica del sólido. El gradiente a la distancia x + ɗxes

ligeramente mayor que la distancia x; se representa mediante la ecuación:

La acumulación de calor en la lámina provoca aumento de temperatura de la misma. Si el calor

específico y la densidad de la lámina Cp y ƿ, respectivamente, la acumulación es igual al producto

de la masa. Aplicando un balance de calor:

La difusividad térmica del sólido: es una propiedad del material; sus dimensiones es área

/tiempo.

En la conducción en estado no estacionario se puede analizar formas geométricas sencilla

como por ejemplo: una lámina infinita, un cilindro de longitud infinita y una esfera; el cual se

expresa en la siguiente ecuación:

Ilustración 1 Conducción no térmica en una lámina

Siendo:

Ts= temperatura media constante de la superficie de la lámina

Tɑ= temperatura inicial de la lámina

Tb= Temperatura media de la lámina en el instante

NFɑ= número de Fourier

ɑ= Difusividad Térmica

tT= Tiempo de calentamiento o enfriamiento

s= Semiespesor de la lámina

ɑ= (∏/2)2

Para la variación de temperatura no conseguida y para aquellos casos en los que la resistencia

térmica de la superficie es

suficientemente grande para provocar

variaciones en su temperatura.

Ilustración 2 Temperaturas medias durante el calentamiento o enfriamiento, en estado no estacionario, de una lámina grande , un

cilindro de longitud infinita o una esfera

En cambio para aquellas temperaturas en sólidos heterogéneos de forma compleja se obtiene

mediante analogías hidráulicas o eléctricas, o bien utilizando métodos para el cálculo numérico.

Se desea conocer la cantidad total de calor QT que se transmite al sólido en el tiempo tT a través de

la unidad de superficie. Para la temperatura media; el calor que se necesita para aumentar la

temperatura de una unidad de masa de sólido desde Tɑ hasta Tb es Cp.

Ecuación para un cilindro de longitud infinita se da de la siguiente manera:

Sólido semiinfinito: al calentarse o enfriarse los sólidos las variaciones de temperatura del

material se produce en la región inmediata de la superficie. Por ejemplo: en una pared muy

gruesa de una chimenea, que inicialmente está totalmente llena de temperatura uniforme Ta. Si la

superficie interior de la pared se calienta bruscamente manteniéndola a una temperatura elevada

Ts , por ejemplo el paso de los gases de combustión por la chimenea, la temperatura de la pared

variará con el tiempo:

Muy rápidamente junto a la superficie caliente, más lentamente a medida que aumenta la

distancia desde la superficie.

Si la pared es muy gruesa, aun al cabo de un tiempo relativamente grande, no se producirá

una variación estimable de la temperatura de la superficie exterior.

En estas condiciones se puede considerar que el calor penetra en un sólido de espesor

prácticamente infinito; en la ilustración 3 se representa los perfiles de temperatura en una

pared de este tipo, para distintos tiempos después de la exposición, mientras que la

temperatura de los puntos inferiores varía progresivamente a medida que transcurre el

punto.

Ilustración 3 Distribución de temperatura durante el calentamiento en estado no estacionario de un sólido semisólido

Ecuación para sólido semiinfinito representado por la temperatura de un punto cualquiera situado

a una distancia x de la superficie caliente:

Siendo:

: un número sin dimensiones

ɑ= Difusividad térmica

x: distancia a la superficie

t= tiempo contacto a partir del momento en que se modifica la temperatura de la

superficie

A la ecuación anterior se la conoce con el nombre de integral de error de Gauss o integral

de probabilidad. Que se representa así mismo en la ilustración 4.

Ilustración 4 Calentamiento o enfriamiento, en estado no estacionario, de un sólido semiinfinito

La ecuación nos indica que en un tiempo cualquiera después que se ha modificado la

temperatura de la superficie se producirá alguna variación en todos los puntos del sólido

por muy alejados que estén de la superficie caliente, sin embargo la variación real que

tiene lugar en los en los puntos distantes es muy pequeña y puede despreciarse. Más allá

de una cierta distancia de la superficie caliente no penetra la suficiente cantidad de calor

para modificar la temperatura en una forma apreciable. Esta distancia de penetración Xp

se define arbitrariamente como la distancia desde la superficie para la cual la variación de

temperatura es el 1 por 100 de la variación inicial que sufre la temperatura de la

superficie.

Es decir:

(T -T ɑ)/(Ts - Tɑ)= 0,01 o bien (T -T ɑ)/(Ts - Tɑ)=0,99;y la probabilidad alcanza 0,99 cuando Z=

1,82 de tal forma que obtenemos:

Ejemplo:

Se supone que la superficie del suelo se pone bruscamente a -20 °C y permanece después

constante a esta temperatura. Mientras la temperatura en el plano de localización de la tubería no

sea a 0°C, no existe peligro de congelación. Los valores que se requieren para usar con la

ilustración 4 son:

Ts = -20°C Tɑ= 5°C T= 0°C t= 12 horas ɑ= 0,0011 m2/h

-20-0/-20-5 = 0,80

a) Cálculo de profundidad:

b) Cálculo de la penetración: