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Prova 635 • Página 6/ 12
6. Na Figura 2, estão representados, num referencial o. n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB ]
Sabe-se que:
• O é a origem do referencial;
• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1
• A é o ponto de coordenadas (-1, 0)
• B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
• o ângulo AOB tem amplitude igual a 32p radianos.
�
�
�
� �
��������
Qual é a área do triângulo [OAB ] ?
(A) 43
(B) 21
(C) 41
(D) 3
7. Sejam k e p dois números reais e sejam z k p i z p k i3 2 3 4 2 5e= + + = − + −1 2^ _ ^h i h dois números complexos.
Quais são os valores de k e de p para os quais z1 é igual ao conjugado de z2 ?
(A) 1 3k pe= − =
(B) 1 3k pe= =
(C) k p0 2e= = −
(D) k p1 3e= = −
Prova 635.V1/1.ª F. • Página 8/ 8
6. Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo [ABCD]
Sabe-se que:
• BC 1=
• 1CD =
• a é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC
• ,2!a r r;E
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
6.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de a , por sencosP 3 1aaa= + -^ h
6.2. Para um certo número real i , tem-se que tg 82
, com 1 1i r i r=-
Determine o valor exato de P il^ h
Comece por mostrar que sencosP 12
aaa= −l^ h
FIM
COTAÇÕES
GRUPO I
1. a 8. ................................................ (8 × 5 pontos) ..................... 40 pontos
40 pontosGRUPO II
1. 1.1. ........................................................................................... 15 pontos1.2. ........................................................................................... 15 pontos
2. 2.1. ........................................................................................... 15 pontos2.2. ........................................................................................... 10 pontos
3. .................................................................................................... 15 pontos4.
4.1. ........................................................................................... 15 pontos4.2. ........................................................................................... 15 pontos
5. 5.1. ........................................................................................... 15 pontos5.2. ........................................................................................... 15 pontos
6. 6.1. ........................................................................................... 15 pontos6.2. ........................................................................................... 15 pontos
160 pontos
TOTAL ................................... 200 pontos
A B
D C
Figura 5
Prova 635.V1 • Página 7/ 13
5. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em por
g x
xx
x
k x x
( )
sen
ln( )
=>
− ≤
30
0
se
se
é contínua.
Qual é o valor de k ?
(A) e3 (B) e3 (C) e—3
(D) 3e
6. Na Figura 2, está representado, num referencial o. n. xOy, o círculo trigonométrico.
��������
�
�
� �
� �
�� ��
Sabe-se que:
• C é o ponto de coordenadas (1, 0)
• os pontos D e E pertencem ao eixo Oy
• [AB ] é um diâmetro do círculo trigonométrico
• as rectas EA e BD são paralelas ao eixo Ox
• q é a amplitude do ângulo COA
• θπ∈
02
,
Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na Figura 2?
(A) 2 (cos q + senq)
(B) cos q + sen q
(C) 2 (1 + cos q + sen q)
(D) 1 + cos q + sen q
Prova 635.V1/2.ª F. • Página 8/ 8
6. Na Figura 4, está representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que:
• AB 4=
• AE AH BE BF CF CG DG DH= = = = = = =
• x é a amplitude, em radianos, do ângulo EAB
• ,x 0 4! r ;E
6.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 16 tga x x1= −^ ^h h
6.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre 12 5
er r para o qual a área da região sombreada é 5
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.
FIM
COTAÇÕES
GRUPO I
1. a 8. .................................................(8 × 5 pontos) ...................... 40 pontos
40 pontos
GRUPO II1.
1.1. ............................................................................................. 15 pontos1.2. ............................................................................................. 15 pontos
2. 2.1. ............................................................................................. 15 pontos2.2. ............................................................................................. 15 pontos
3. ...................................................................................................... 15 pontos4.
4.1. ............................................................................................. 10 pontos4.2. ............................................................................................. 15 pontos4.3. ............................................................................................. 20 pontos
5. ...................................................................................................... 15 pontos6.
6.1. ............................................................................................. 10 pontos6.2. ............................................................................................. 15 pontos
160 pontos
TOTAL ..................................... 200 pontos
D C
A B
G
E
FH
Figura 4
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 2
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letracorrespondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
• Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta seráclassificada com zero pontos.
1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço
grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo SB
Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude?$
(A) (B) (C) (D)
2. Considere a equação trigonométrica senB œ ! ",
Em qual dos intervalos seguintes esta equação tem solução?não
(A) (B) ’ ’� !1 1
# #ß ß“ “ 1
(C) (D) ’ ’!ß ß1 1 1
' ' #“ “
3. Considere, num referencial o.n. , as rectas e , definidas, respectivamente, por:BSC < =
< À ÐBß CÑ œ Ð"ß $Ñ � 5Ð#ß !Ñ ß 5 − = À C œ B � "‘$%
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às
unidades)?
(A) (B) (C) (D) $( $* %" %$° ° ° °
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 3
4. Considere, num referencial o.n. , a recta e o plano , definidos,SBCD < α
respectivamente, por:
< À B œ œ À $ B � D œ !C
# $D
α
Qual é a intersecção da recta com o plano ?< α
(A) (B) É o ponto É o ponto Ð!ß #ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ
(C) (D) É o conjunto vazio. É a recta <
5. Considere o seguinte problema de Programação Linear:
Um agricultor tem um terreno com 100 hectares, onde pretende semear centeio e
tomate.
Devido a problemas de regadio, não pode semear mais do que 30 hectares de tomate.
Cada hectare de centeio dá um lucro de 800 euros e cada hectare de tomate dá um
lucro de 1000 euros.
Quantos hectares de centeio e quantos hectares de tomate deve o agricultor semear, de
modo a obter o maior lucro possível?
Seja o número de hectares de centeio e seja o número de hectares de tomate.B C
Em qual das figuras seguintes está representada a região admissível deste problema e
nela assinalado o vértice correspondente à solução?W
(A) (B)
(C) (D)
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 4
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos
todas as justificações necessárias.
• : quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre oAtenção
valor exacto.
1. Na figura 1, está representado o quadrado de lado ÒEFGHÓ #
Figura 1
Considere que um ponto se desloca ao longo do lado , nunca coincidindo com oT ÒGHÓ
ponto , nem com o ponto G H
Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo T B FET
Œ B − Ó Ò1 1
% #ß
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar
eventuais cálculos numéricos.
1.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por % �#Btg
1.2. Determine o valor de para o qual a área da região sombreada é B"#�# $
$
È
1.3. Para um certo valor de , sabe-se que B B � œ � cosŠ ‹1
# "("&
Determine, para esse valor de , a área da região sombreada.B
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 5
2. Na figura 2, está representada, num referencial o.n. , a circunferência de equaçãoBSC ÐB � %Ñ � ÐC � "Ñ œ #&# #
O ponto é o centro da circunferência.G
2.1. O ponto , de coordenadas ,E !ß � # ( )
pertence à circunferência.
A recta é tangente à circunferência no>
ponto E Determine a equação reduzida da recta >
Figura 2
2.2. e são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é T U#&'1
Determine o valor do produto escalar ������
GT Þ GU����
3. Na figura 3, está representada, num referencial o.n. , uma pirâmide quadrangularSBCD
regular cuja base está contida no plano ÒEFGHZ Ó BSC
Sabe-se que:
• o ponto pertence ao eixo E SB
• o ponto tem coordenadas F Ð&ß $ß !Ñ
• o ponto pertence ao plano de equaçãoZ
D œ '
• é uma equação do'B � ")C � &D œ #%
plano EHZ
• é uma equação do")B � 'C � &D œ (#
plano EFZ
3.1. Determine o volume da pirâmide.
Figura 3
3.2. Determine as coordenadas do ponto ,Z sem recorrer à calculadora.
3.3. Seja o ponto de coordenadas W Ð � "ß � "&ß &Ñ
Seja a recta que contém o ponto e é perpendicular ao plano < W EHZ
Averigúe se a recta contém o ponto < F
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 2
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letracorrespondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
• Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta seráclassificada com zero pontos.
1. Seja a função cujo gráfico está0
representado na figura 1.
Seja a função inversa da função 0 0�"
Qual é o valor de ?0Ð � %Ñ � 0 Ð#Ñ
�"
Figura 1
(A) (B) (C) (D)� # ! " #
2. Sejam e duas funções reais de variável real.0 1
Sabe-se que: • a função tem domínio e tem cinco zeros;0 ‘ • a função tem domínio e tem três zeros;1 ‘ • um, e só um, dos zeros da função também é zero da função 0 1
Quantos zeros tem a função ?0
1
(A) (B) (C) (D)( & % #
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 3
3. Seja a função cujo gráfico está0
representado na figura 2.
Seja a função, de domínio , definida1 ‘
por
1ÐBÑ œ � B � $
Qual é o valor de ?Ð1 ‰ 0ÑÐ$Ñ
(o símbolo designa a composição de funções)‰
Figura 2
(A) (B) (C) (D)� " ! " #
4. Na figura 3, está representado um triângulo rectângulo
ÒEFGÓ $ % & cujos lados medem , e
Considere que um ponto se desloca ao longo doH
cateto , nunca coincidindo com o ponto ÒEFÓ E
Para cada posição do ponto , seja o comprimentoH B
do segmento de recta ÒEHÓ
Qual das expressões seguintes dá o perímetro do
triângulo , em função de ?ÒEGHÓ B Figura 3
(A) (B)B � % � #& � B B � & � #& � BÈ È# #
(C) (D)B � % � B � 'B � #& B � & � B � 'B � #&È È# #
5. Seja um diâmetro de uma esfera de centro e raio ÒEFÓ G %
Qual é o valor do produto escalar ?�����
GE ÞGF����
(A) (B) (C) (D)"' � "' % # #È È� %
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 4
GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos
todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre ovalor exacto.
1. Na figura 4, está representada, num referencial o.n. , parte de um plano SBCD EFG
Figura 4
Cada um dos pontos , e pertence a um eixo coordenado.E F G
O plano é definido pela equação EFG 'B � $C � %D œ "#
Seja a recta que passa no ponto e é perpendicular ao plano < E EFG
Determine uma equação vectorial da recta <
2. Considere, num referencial o.n. , a superfície esférica , de equaçãoSBCD I
B � C � D � # œ %# # #� �
Para um certo valor de pertencente ao intervalo , o ponto , deα Ó Ò! ß T1
#
coordenadas , pertence à superfície esférica Ðtg sen cosα α αß ß # � Ñ I
Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto T
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 5
3. Num certo ecossistema habitam as espécies animais A e B.
Admita que, anos após o início do ano 2009, o número de animais, em , da> milhares
espécie A é dado aproximadamente por
+Ð>Ñ œ > !"" >� '>�"
� �
e que o número de animais, em , da espécie B é dado aproximadamente pormilhares
,Ð>Ñ œ > !>� *>�$
� �
Resolva os dois itens seguintes, .usando exclusivamente métodos analíticos
3.1. Desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010, morreram animais da&!!
espécie A.
Determine quantos animais dessa espécie nasceram nesse intervalo de tempo.
3.2. Na figura 5, estão representadas
graficamente as funções e + ,
Tal como estes gráficos sugerem, a
diferença entre o número de animais
da espécie A e o número de animais
da espécie B vai aumentando, com o
decorrer do tempo, e tende para um
certo valor.Figura 5
Determine esse valor, recorrendo às assimptotas horizontais dos gráficos das
funções e cujas equações deve apresentar.+ ,,
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 6
4. Considere:
• a função , de domínio , definida por0 ÏÖ!× 0ÐBÑ œ $ �‘
'B
• a função , de domínio , definida por1 1ÐBÑ œ B � $B � )B � $‘
"$
$ #
Resolva os itens , , e .4.1. 4.2. 4.3. usando exclusivamente métodos analíticos
Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.
4.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação
0ÐBÑ Ÿ &
Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.
4.2. Seja o ponto do gráfico da função que tem abcissa igual a T 0 #
Seja a recta tangente ao gráfico da função no ponto < 0 T
Determine a equação reduzida da recta <
4.3. Na figura 6, está representada, num referencial
o.n. , parte do gráfico da função BSC 1
Os pontos e pertencem ao gráfico daE F
função , sendo as suas ordenadas,1
respectivamente, o máximo relativo e o mínimo
relativo desta função.
Os pontos e pertencem ao eixo G H SB.
A abcissa do ponto é igual à do ponto e aG F
abcissa do ponto é igual à do ponto H E
Determine a área do triângulo ÒSEGÓ
Figura 6
4.4. A equação tem exactamente duas soluções, sendo uma delas0ÐBÑ œ 1ÐBÑ
positiva e a outra negativa.
Determine a solução positiva, utilizando as capacidades gráficas da sua
calculadora.
Apresente essa solução arredondada às centésimas.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante
para a resolução do problema.
FIM
3. Admita que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada por uma
distribuição normal N (60;�5), em que 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio-padrão da distribuição.
Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs.
Considere os acontecimentos:
A : «o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas»
B : «o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas»
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) P(A) =�P(B) (B) P(A) <�P(B)
(C) P(B) <�P(A) (D) P(A) +�P(B) =�1
4. Seja a um número real maior do que 1.
Qual dos seguintes valores é igual a 2 loga ?
(A) (B) (C) (D)
5. Na figura 1, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio .
Fig. 1
A recta t, de equação , é assimptota do gráfico de f quando x tende para – ∞ .
Qual é o valor do ?
(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) +∞
( )lim ( )x
f x x→−∞
+ + 1
y x= − − 1
�
�
�
�
�
] [ – ,∞ 2
23
13
– 13
– 23
a13
Prova 635.V1 • Página 6/ 12
7. Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB ].
Sabe-se que:
• a circunferência tem diâmetro [OA];
• o ponto A tem coordenadas (2, 0);
• o vértice O do triângulo [OAB ] coincide com a origem do referencial;
• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Figura 4
Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
7.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB ] é dado, em função de α , por
7.2. Determine o valor de α para o qual o perímetro do triângulo [OAB ] é máximo.
FIM
( ) ( cos sen )f = 2 1 + +α α α
,πα
∈ 0 2
O A
B
1
y
α
x
Prova 635.V1 • Página 12/ 13
4. Considere a função f , de domínio , definida por , e a função g , de
domínio R , definida por (ln designa logaritmo de base e ).
Indique as soluções inteiras da inequação , recorrendo às capacidades gráficas da sua
calculadora.
Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos:
• visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções;
• reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora;
• assinale, ainda, os pontos A e B, de intersecção dos gráficos das duas funções, indicando as suas
coordenadas, com aproximação às décimas.
5. Na figura 4 estão representadas duas rectas paralelas, a recta AB (em que A e Bsão pontos fixos) e a recta s.
O ponto S é um ponto móvel, deslocando-se ao longo de toda a recta s.
Para cada posição do ponto S , seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BASe seja a(x) a área do triângulo [ABS ].
Apenas um dos seguintes gráficos pode representar a função a.
Numa composição, explique por que razão cada um dos outros três gráficos não
pode representar a função a.
Fig. 4
�������� ��������
� �
�
���� �
�
�
���������
� �
�
�
���������
� �
�
�
�
�
�
��
�
f x g x( ) > ( )
g x x( ) = − 2
ln xf xx
(2 + 1)( ) =2 + 1 , 1 − + ∞ 2
Prova 635.V1 • Página 9/ 11
6. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
A Figura 6 e a Figura 7 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Figura 6 Figura 7
Sabe-se que:
• o ponto O é o centro da esfera;
• a esfera tem 6 metros de diâmetro;
• a amplitude θ, em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente.
A altura , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ , por h , de
domínio
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
6.1. Mostre que , para qualquer
6.2. Resolva a condição
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
FIM
( ) , ] , [h θ θ π= 3 ∈ 0
] , [θ π∈ 0( ) cos( )h θ θ= 3 − 3
[ , ]π0AC
O
A
BC
θ
A
B
O
C θ
Prova 635.V1 • Página 11/ 12
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• Os sete itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só umaestá correcta.
• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.
• Se apresentar mais do que uma letra, o item será anulado, o mesmo acontecendo se aletra transcrita for ilegível.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
1. Na figura estão representados:
• um quadrado ÒEFGHÓ
• uma semi-recta GH†
Admita que um ponto , partindo de , se desloca, a velocidade constante, ao longoT F
do percurso sugerido pelas setas (primeiro percorre o segmento e seguidamenteÒFGÓ
a semi-recta ).GH†
Qual dos gráficos seguintes dá a distância , do ponto ao ponto , em função do. T E
tempo , contado a partir do instante em que inicia o seu movimento?> T
(A) (B)
(C) (D)
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
2. Na figura estão representadas:
• parte do gráfico de uma função quadrática ;0
• parte do gráfico de uma função afim .1
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o
conjunto solução da inequação ?0ÐBÑ1ÐBÑ Ÿ !
(A) (B) Ó �∞ß � % Ò ∪ Ò � #ß ! Ò Ó �∞ß � % Ó ∪ Ó � #ß ! Ó
(C) (D) Ó � %ß � # Ó ∪ Ó !ß �∞ Ò Ò � %ß � # Ò ∪ Ò !ß �∞ Ò
3. Na figura 1 está representada graficamente a função .0 Na figura 2 está representada graficamente a função .1
Figura 1 Figura 2
Qual das igualdades seguintes é verdadeira?
(A) (B) 1ÐBÑ œ � 0ÐB � "Ñ � " 1ÐBÑ œ 0ÐB � "Ñ � "
(C) (D)1ÐBÑ œ 0ÐB � "Ñ � " 1ÐBÑ œ � 0ÐB � "Ñ � "
4. De uma função quadrática sabe-se que o conjunto solução da inequação 0 0ÐBÑ !
é o intervalo .Ò" & Ó, Qual é o contradomínio de ?0
(A) (B) Ó �∞ 0Ð"ÑÓ Ò 0Ð&Ñß �∞ Ò,
(C) (D)Ò0Ð$Ñ �∞Ò Ó �∞ 0Ð$ÑÓ, ,
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
5. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo .ÒSTVÓ
O ponto desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.T O ponto desloca-se ao longo do eixo , de tal modo que o triângulo éV SB ÒSTVÓ
sempre isósceles.
Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo , qual das expressões seguintesα VSTdá a do triângulo , em função de ?área ÒSTVÓ α
(A) (B) sen senα α α αÞ Þcos cos# Þ
(C) (D) " � " �sen senα α α αÞ
# #Þcos cos� �
6. Da amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que e .α α αcos � ! � ! tg
Qual das expressões seguintes dá o valor de ?senα
(A) (B) È È" � " �cos cos# #α α�
(C) (D)È È" � � " �cos cos# #α α
7. Sabe-se que é uma solução da equação " ‘− B œ sen"&
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?cosB œ �"&
(A) (B) 1 � �" "
1
#
(C) (D)� �" "1
#
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
Grupo II
Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos
que tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o
exacto.
1. Considere a função , de domínio , definida por 0 ÏÖ"× 0ÐBÑ œ # �‘"
"�B
1.1. Sem recorrer à calculadora, determine o conjunto dos números reais taisBque
0ÐBÑ Ÿ � "
Apresente a resposta final na forma de intervalo (ou união de intervalos).
1.2. O gráfico da função tem duas assimptotas. Escreva as suas equações.0
2. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares.
Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho.
Sabe-se que
o custo de produção de um hectare de trigo é euros,• " &!! o custo de produção de um hectare de milho é euros,• " !!!
e que
cada hectare de trigo dá um lucro de euros,• '!! cada hectare de milho dá um lucro de euros.• &!!
Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que euros nesta#!! !!!produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear
de modo que tenha um lucro máximo?
3. Na figura está representado um rectângulo .ÒEFGHÓ
Mostre que o produto escalar é igual a ����� �����
EF ÞEG EF#
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
4. Na figura está representada, em referencial
o.n. , uma pirâmide regular.SBCD
Sabe-se que:
• a base é um quadrado de áreaÒVWXY Ó% com centro na origem do referencial;
• a aresta é paralela ao eixo ;ÒVWÓ SC
• , , o vértice tem coordenadas .Z ! ! #� �
4.1. Mostre que a recta definida pela condição é perpendicularB œ ! • C œ # Dao plano e escreva uma equação deste plano.WXZ
4.2. Considere agora um ponto que se desloca ao longo do segmento ,T ÒSZ Ónunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto .S Z
Para cada posição do ponto Tconsidere o cilindro tal que:
• a base inferior do cilindro tem
centro na origem do referencial eestá contida no plano ;BSC
• a base superior do cilindro tem
centro no ponto e está inscritaTno quadrado que é a secçãoproduzida na pirâmide pelo planoparalelo ao plano que passaBSCno ponto .T
Seja a cota do ponto e seja a função que dá o volume do cilindro, emD T 0 função de .D
4.2.1. Justifique que o domínio da função é o intervalo e que0 Ó !ß # Ò
0ÐDÑ œ � D � D1Œ D$
%#
4.2.2. Considere o seguinte problema: Entre que valores deve variar a cota do ponto de tal modo que oT
volume do cilindro seja superior à quinta parte do volume dapirâmide?
Traduza o problema por meio de uma inequação e, utilizando a suacalculadora, resolva-a .graficamente
Apresente os valores pedidos arredondados às milésimas. Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da
calculadora: gráficos e coordenadas relevantes de alguns pontos.
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letra
seleccionar para responder a cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo
acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
1. Para um certo valor de e para um certo valor de , a expressão+ ,
0ÐBÑ œ + � 0"
B� , define a função cujo gráfico está parcialmente representado
na figura.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) (B)+ � ! • , � ! + � ! • , � !
(C) (D)+ � ! • , � ! + � ! • , � !
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
2. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação B � "
#�B
#
� !
(A) (B) (C) (D)Ó � "ß # Ò Ó "ß # Ò Ó �∞ß # Ò Ó #ß �∞Ò
3. Considere as seguintes funções:
definida pela tabela 0 À Ö"ß #ß $× Ä Ö"ß #ß $×B " # $0ÐBÑ $ " #
definida por 1 À Ä 1ÐBÑ œ #B � "‘ ‘
cujo gráfico é2 À Ò!ß %Ó Ä Ö"ß #ß $×
Indique o valor de 0 Ð#Ñ � 1 ‰ 2 Ð # Ñ�" � � È
(A) (B) (C) (D)% & ' (
4. Considere a função , de domínio , definida por 0 0ÐBÑ œ " � B‘#
Seja a recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa > 0"
#
Qual é a inclinação da recta ?>
° ° ° °(A) (B) (C) (D)$! %& "$& "&!
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
5. Na figura estão representados dois
vectores, e , de normas������ �����
EH EI
"# "& e , respectivamente.
No segmento de recta estáÒEHÓ
assinalado um ponto .F
No segmento de recta estáÒEIÓ
assinalado um ponto .G
O triângulo é rectângulo eÒEFGÓ
os seus lados têm , e $ % &
unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar
���� ����EH Þ EI
(A) (B) (C) (D) "!) "#) "$% "%%
6. Indique as soluções da equação que pertencem ao intervalo & � # B œ ' Ò!ß # Ócos 1
(A) (B)1 1 1 1
$ $ $ $
% & e e
(C) (D)1 1 1 1
' ' ' '
( "" e e
7. Na figura junta está representada a região
admissível de um problema de Programação
Linear. Esta região corresponde ao sistema
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
B !C !B Ÿ &C Ÿ '#B � C Ÿ "#
Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por , pode alcançarD œ B � C
nesta região?
(A) (B) (C) (D) ( * "" "$
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
Grupo II
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o
exacto.
1. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos
primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função
@Ð>Ñ œ > � "& > � '$ >$ #
onde designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e>@Ð>Ñ designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em de rotações porcentenas
minuto).
1.1. , a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos,Sem recorrer à calculadora
determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da
experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto.
1.2. Recorrendo às , determine durante quanto capacidades gráficas da calculadora
tempo é que, a velocidade de rotaçãonos primeiros oito minutos da experiência, do
eixo do motor foi superior a rotações por minuto. Escreva o ' !!! resultado final em
minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades).
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente
o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a
resolução do problema (apresente as ). abcissas com duas casas decimais
2. Considere, em referencial o.n. , o ponto SBCD T Ð!ß %ß $Ñ
2.1. Seja o plano que contém α o ponto e é perpendicular à recta de equaçãoT
vectorial ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß � $Ñ � 5 Ð"ß !ß #Ñß 5 − ‘
Determine a área da secção produzida pelo plano na esfera definida pela condiçãoα
ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ � ÐD � %Ñ Ÿ $# # # .
Sugere-se que:
• Determine uma equação do plano .α
• Mostre que o centro da esfera pertence ao plano .α
• Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.
2.2. Admita que um ponto se desloca ao longo do semieixoUpositivo , nunca coincidindo com a origem doSD Sreferencial.
Seja a função que faz corresponder, à cota do ponto0 DU ÒSTUÓ, o perímetro do triângulo .
2.2.1. Mostre que 0ÐDÑ œ D � & � D � 'D � #&È #
2.2.2. Sem recorrer à calculadora, determine a cota do
ponto de modo que o perímetro do triânguloUÒSTUÓ "' seja igual a .
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
3.
3.1. Na figura junta estão representados, em
referencial o. n. :BSC
• o círculo trigonométrico
• a recta , de equação < B œ "
• o ângulo, de amplitude , que tem por ladoα
origem o semieixo positivo e por ladoSBextremidade a semi-recta SE
Þ
• o ponto , intersecção do prolongamento daFsemi-recta com a recta .SE <
Þ
Como a figura sugere, a ordenada de é F )È
Sem recorrer à calculadora, determine o valor
de
& � � # $ �sen cosŠ ‹ � �1
#α 1 α
3.2. Considere agora um ponto , do primeiroTquadrante (eixos não incluídos), pertencente à
circunferência de centro na origem e raio 1.
Sejam as coordenadas do ponto .Ð<ß =Ñ T
Seja a recta tangente à circunferência no>ponto .T
Seja o ponto de intersecção da recta comU >o eixo .SB
Prove que a abcissa do ponto é U"
<
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só umaestá correcta.
• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada item.
• Se apresentar mais do que uma letra, o item será anulado, o mesmo acontecendo se aletra transcrita for ilegível.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
1. Num referencial o. n. , sejam e os planos definidos pelas equações:SBCD α "
α "À B � C � D œ " À #B � #C � #D œ " e
A intersecção dos planos e éα "
(A) (B) o conjunto vazio um ponto
(C) (D) uma recta um plano
2. Na figura está representado um triângulo com dois ângulos de amplitude e umÒEFGÓ α
ângulo de amplitude ."
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?
(A) (B) cos cos " "œ œsen Ð# Ñ Ð# Ñα α cos
(C) (D) cos cos " "œ � œ �sen Ð# Ñ Ð# Ñα α cos
3. Seja um valor pertencente ao intervalo ) Ó Ò1
#ß 1
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A) (B) cos cos) ) ) )� ‚sen sen
(C) (D) sen tg sen tg) ) ) )‚ �
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
4. Considere a equação " � $ tg Ð#BÑ œ %
Qual dos seguintes valores é solução desta equação?
(A) (B) (C) (D) �1 1 1 1
) ) ) )
$ & (
5. Considere o seguinte problema:
Uma frutaria confecciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga.
Bebida X : com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.
Bebida Y : com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.
Para confeccionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de
laranja e de 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e
cada litro de bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente
toda a produção destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y
deve confeccionar por dia, para maximizar o lucro?
Sendo o número de litros de bebida e sendo o número de litros de bebida , qualB CX Y
das opções seguintes traduz correctamente este problema?
(A) (B) Maximizar sujeito a Maximizar sujeito a %B � &C "#B � "!C
Ú ÚÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÜ Ü
B ! B !
C ! C !
B #C B #C
# $ # $� Ÿ "# � Ÿ &
B C B C
# $ # $� Ÿ "! � Ÿ %
(C) (D) Maximizar sujeito a Maximizar sujeito a %B � &C "#B � "!C
Ú ÚÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÜ Ü
B ! B !
C ! C !
B � #C Ÿ "# B � #C Ÿ &
B � C Ÿ "! B � C Ÿ %
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
Grupo II
Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.
1. Na figura estão representadas, em referencial o. n.
BSC EF, uma recta e uma circunferência com
centro na origem e raio igual a &
Os pontos e pertencem à circunferência.E F
O ponto também pertence ao eixo das abcissas.E
1.1. Admitindo que o declive da recta é igualEF
a , resolva as três alíneas seguintes:"
#
1.1.1. Mostre que uma equação da recta é EF B � #C � & œ !
1.1.2. Mostre que o ponto tem coordenadas F Ð$ß %Ñ
1.1.3. Seja o ponto de coordenadas G Ð � $ß "'Ñ Verifique que o triângulo é rectângulo em ÒEFGÓ F
1.2. Admita agora que o ponto se desloca aoF
longo da circunferência, no primeiro quadrante.
Para cada posição do ponto , seja aF α
amplitude do ângulo orientado cujo lado origem
é o semieixo positivo e cujo ladoSB
extremidade é a semi-recta SF.
Seja o comprimento do segmento . ÒEFÓ
1.2.1. Mostre que . œ &! � &!# cosα
1.2.2. Para uma certa posição do ponto , tem-se F tg α œ #%È etermine, para este caso, o valor de Sem recorrer à calculadora, d .
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
2. Na figura está representado, em
referencial o. n. , um cuboSBCDÒSTUVWXYZ Ó & de aresta
O vértice do cubo coincide com aSorigem do referencial.
Os vértices , e do cuboT V Wpertencem aos semieixos positivos
SB SC SD, e , respectivamente.
O triângulo escaleno é aÒQRUÓsecção produzida no cubo pelo plano αde equação
"! B � "& C � ' D œ "#&
2.1. Escreva uma condição que defina a recta que passa por e é perpendicular aoY
plano α
2.2. Seja a amplitude, em , do ângulo . Determine " graus QUR "
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,
três casas decimais.
: comece por determinar as coordenadas dos pontos e Sugestão Q R
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letracorrespondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zeropontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Considere, num referencial o. n. , a superfície esférica de equaçãoSBCD B � C � D � # œ %# # #� � A intersecção desta superfície com o plano éBSC
(A) (B) o conjunto vazio um ponto
(C) (D) uma circunferência um círculo
2. Considere, num referencial o. n. , a recta de equação BSC < C œ � B � " $# &
Seja a recta perpendicular a que passa no ponto de coordenadas = < Ð"ß %Ñ
Qual é a equação reduzida da recta ?= (A) (B) C œ #B � # C œ � #B � '
(C) (D) C œ � #B � C œ #B �& $$ &
3. Considere a equação trigonométrica cos B œ � ! $, Num dos intervalos seguintes, esta equação tem solução. Em qual deles?apenas uma
(A) (B) ’ “!ß Ò!ß Ó1# 1
(C) (D) ’ “ ’ “1 1 1# # #$ $ß ß # 1
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
4. Na figura estão representados, em referencial
o.n. : BSC• o círculo trigonométrico
• o raio deste círculoÒSFÓ • o arco de circunferência , de centro noEF
ponto GTal como a figura sugere, o ponto Fpertence ao primeiro quadrante, os pontos Ee pertencem ao eixo e a recta éG SB FGperpendicular a este eixo.
Seja a amplitude do ângulo ) ESF
Qual é a abcissa do ponto ?E
(A) (B) " �� sen ) ) " cos
(C) (D) cos cos) ) ) )� " �sen sen �
5. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a
qual é definida por P œ $B � C Na figura está representada a região admissível.
Qual é a solução desse problema?
(A) (B) B œ ' C œ $ B œ % C œ # e e
(C) (D) B œ % C œ $ B œ ' C œ # e e
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
Grupo II
Nas respostas a itens deste grupo apresente que tiver de efectuar e todos os cálculos todas asjustificações necessárias.
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o
exacto.
1. Relativamente à figura junta, sabe-se que:
• o triângulo é rectânguloÒEFHÓ• o ponto pertence ao cateto G ÒFHÓ• designa a amplitude, em radianos, do ângulo B FEH
• e EF œ # FG œ "
1.1. Mostre que a área do triângulo é dada porÒEGHÓ # B � "tg� �1.2. Determine o valor de para o qual a área do triângulo é igual a B ÒEGHÓ "
1.3. Sabendo que e que , determine o valor desenŠ ‹1 1# "$ #
& � + œ + − !ßÓ Ò
# + � "tg� �2. Na figura está representado, em referencial o. n.
SBCD, um cone de revolução. Sabe-se que:
• a base do cone está contida no plano deαequação B � #C � #D œ ""
• o vértice do cone tem coordenadas Z Ð"ß #ß 'Ñ• o ponto é o centro da base do coneG
2.1. Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao#plano α
2.2. Seja o plano definido pela equação " #B � C � D œ $ Averigúe se os planos e são perpendiculares.α "2.3. Seja o ponto simétrico do ponto , em relação ao plano . Indique as coordenadas[ Z BSC
do ponto e escreva uma condição que defina o segmento de recta .[ ÒZ[Ó2.4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a , determine o volume do cone.$ : comece por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice doSugestão
cone e que é perpendicular ao plano e utilize-a para determinar as coordenadas doαponto .G
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
3. Na figura está representada uma circunferência de centro e raio . S < Sabe-se que:
• é um diâmetro da circunferênciaÒEFÓ
• O ponto pertence à circunferência G • é a amplitude do ângulo α GSF • é perpendicular a ÒSHÓ ÒEGÓ
Prove que �����EF EG œ % <.
���� # #cos ˆ ‰α#
Sugestão
Percorra as seguintes etapas:
• Justifique que o triângulo é isóscelesÒSEGÓ• Justifique que EG œ # EH• Justifique que a amplitude do ângulo é GEF
α#
• Escreva , em função de e de EH α# <
• Conclua que �����EF EG œ % <.
���� # #cos ˆ ‰α#
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só umaestá correcta.
• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada item.
• Se apresentar mais do que uma letra, a resposta será classificada com zero pontos, omesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justificações.
1. Na figura estão representadas, em referencial
o.n. :BSC
• parte do gráfico de uma função 2
• uma recta , tangente ao gráfico de no> 2
ponto de abcissa "
Tal como a figura sugere, a recta intersecta>
o eixo no ponto de abcissa e oSB � #
eixo no ponto de ordenada .SC "
Indique o valor de , derivada da função no ponto 2 Ð"Ñ 2 "w
(A) (B) (C) (D) � # � #
" "
# #
2. Na figura está representada parte do
gráfico de uma função 1
Seja a função de domínio definida0 ‘
por 0ÐBÑ œ lBl
Qual é o valor de ?ˆ ‰0 ‰ 1 Ð � $Ñ
(A) (B) (C) (D) � % ! $ %
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
3. Na figura está representado, em referencial o.n.
BSC EF, um arco de circunferência , de centro
na origem do referencial e raio igual a ."
A recta tem equação < C œ "
O ponto pertence ao arco G EF
Seja a amplitude do ângulo α ESG
Qual das expressões seguintes dá a distância do.
ponto à recta ?G <
(A) (B) " � " �sen sen� � � �α α
(C) (D) " � " �cos cos� � � �α α
4. Seja B !ß− Ó Ò1
#
Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A) (B) cos sen� � � �1 1� B � B
(C) (D) cos senŠ ‹ Š ‹$ $
# #
1 1
� �B B
5. Considere, num referencial o.n. , a recta definida porSBCD <
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß $Ñ � 5 Ð!ß !ß "Ñß 5 − ‘
Qual das condições seguintes define uma recta paralela à recta ?<
(A) ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß $Ñ � 5 Ð!ß "ß !Ñß 5 − ‘
(B) ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !ß "Ñ � 5 Ð"ß #ß $Ñß 5 − ‘
(C) B œ # • C œ "
(D) B œ # • D œ "
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
Grupo II
Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.
1. Na figura está representada, em referencial o.n. ,BSC
parte do gráfico de uma função , bem como as duas0
assimptotas deste gráfico.
Tal como a figura sugere,
• a origem do referencial pertence ao gráfico de 0
• uma das assimptotas é paralela ao eixo SB
• a outra assimptota é paralela ao eixo e intersectaSC
o eixo no ponto de abcissa SB #
1.1. Seja a função, definida por 1 1ÐBÑ œ $B � *de domínio ,‘
Tendo em conta o gráfico de e a expressão analítica de , a inequação0 1 resolva
0ÐBÑ ‚ 1ÐBÑ Ÿ !, a seguinte tabela de variação de sinal, que devecompletando
transcrever para a sua folha de prova:
B �∞ �∞0ÐBÑ1ÐBÑ
0ÐBÑ ‚ 1ÐBÑ
Apresente o da inequação utilizando a notação de intervalos deconjunto solução
números reais.
1.2. Admita agora que:
• a assimptota do gráfico de paralela ao eixo das abcissas tem equação 0 C œ $
• é definida por uma expressão do tipo 0 0ÐBÑ œ + �,
B� -
onde , e designam números reais.+ , -
Indique os valores de e de e determine o valor de .+ - ,
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
2. Na figura está representada, em referencial o.n. ,Oxyzuma pirâmide quadrangular.
Admita que o vértice se desloca no semieixoIpositivo , entre a origem e o ponto de cota , nuncaOz 'coincidindo com qualquer um destes dois pontos.
Com o movimento do vértice , os outros quatroIvértices da pirâmide deslocam-se no plano , de talxOyforma que:
• a pirâmide permanece sempre regular
• o vértice tem sempre abcissa igual à ordenadaE
• sendo a abcissa de e sendo a cota de ,B E - Item-se sempre
B � - œ '
2.1. Seja Z ÐBÑ B B − Ó !ß ' Ò o volume da pirâmide, em função de .� �
Mostre que Z ÐBÑ œ ) B � B# $%
$
2.2. Utilizando a função derivada de e recorrendo a métodos exclusivamenteZanalíticos, estude a função quanto à monotonia, conclua qual é o valor de paraZ Bo qual é máximo o volume da pirâmide e determine esse volume máximo.
2.3. Admita agora que . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos ,B œ " EF I EFI e e determine uma equação cartesiana do plano .
3. A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a escola, saindo de casa entre as sete e meia e
as oito horas da manhã.
Admita que, quando a Maria sai de casa minutos , a duração da> depois das sete e meia
viagem, em , é dada porminutos
.Ð>Ñ œ %& �&'!!
> �$!!# � �> − Ò !ß $! Ó
As aulas da Maria começam sempre às oito e meia.
3.1. Mostre que, se a Maria sair de casa às 7 h 40 m, chega à escola às 8 h 11 m, mas, se
sair de casa às 7 h 55 m, já chega atrasada às aulas.
3.2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolva o seguinte problema: Até
que horas pode a Maria sair de casa, de modo a não chegar atrasada ?às aulas
A sua resolução deve incluir:
• uma explicação de que, para que a Maria não chegue atrasada às aulas, é
necessário que > � .Ð>Ñ Ÿ '!
• o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora
• a resposta ao problema em horas e minutos (minutos arredondados às unidades)
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letracorrespondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.
• .Não apresente cálculos, nem justificações
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos,o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Na figura 1 está representado, em referencial o.n. , o círculo trigonométrico.BSC
Figura 1
Os pontos e pertencem à circunferência, sendo a recta paralela ao eixo .T U TU SBO ponto pertence ao eixo . O ângulo tem de amplitude.V SB VST &$°
Qual é o perímetro do triângulo (valor aproximado às décimas) ?ÒSTUÓ
(A) (B) (C) (D) $ # $ % $ ' $ ), , , ,
2. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min.
Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos
minutos tinha rodado radianos.� $1
Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?
(A) (B) (C) (D) 11 h e 15 min 11 h e 45 min 12 h e 15 min 13 h e 45 min
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
3. Seja o diâmetro de uma esfera de centro e raio .ÒEFÓ G &
Qual é o valor do produto escalar ?�����GE Þ GF
�����
(A) (B) (C) (D) � #& � & # & # #& È È
4. O gráfico de uma função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo cujo0vértice é o ponto . Seja a função derivada da função .Ð$ß #Ñ 0 0w
Qual dos valores seguintes é negativo ?
(A) (B) (C) (D) 0 Ð"Ñ 0 Ð#Ñ 0 Ð$Ñ 0 Ð%Ñw w w w
5. Seja a função cujo gráfico está representado na figura 2.0
Figura 2
Seja a função de domínio definida por 1 1ÐBÑ œ � #B � "‘
Qual é o valor de ? (o símbolo designa a composição de funções)ˆ ‰0 ‰ 1 Ð#Ñ ‰
(A) (B) (C) (D) � # � " " #
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
GRUPO II
Nas respostas a itens deste grupo apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos
todas as justificações necessárias.
Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o exacto.
1. Considere a função , de domínio , definida por 0 ÏÖ � #× 0ÐBÑ œ % �‘%
B�#
Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes:
1.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 0ÐBÑ $
Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.
1.2. Na figura 3 estão representados, em referencial
o.n. :BSC
• parte do gráfico da função 0
• as rectas e assimptotas do gráfico de < = 0,
• o quadrilátero ÒEFGHÓ
e são os pontos de intersecção do gráficoE Fda função com os eixos coordenados.0
é o ponto de intersecção das rectas e .G < =
é o ponto de intersecção da recta com oH <eixo .SC
Determine a área do quadrilátero ÒEFGHÓ
�
�
�
�
��
�
�
Figura 3
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
2. Na figura 4 está representado um referencial
o.n. .SBCD
Cada um dos pontos , e pertence aE F G
um eixo coordenado.
O ponto pertence ao plano .T EFG
O ponto desloca-se no plano , deT EFGtal modo que é sempre vértice de um prisma
quadrangular regular, em que os restantes
vértices pertencem aos planos coordenados.Figura 4
O plano é definido pela equação EFG B � #C � $D œ *
2.1. Seja a abcissa do ponto + T + − Ó !ß $Òˆ ‰
Mostre que o volume do prisma é dado, em função de , por + Z Ð+Ñ œ $+ � +# $
2.2. sem recorrer à calculadoraEstude a função quanto à monotonia, , e conclua qualZ
é o valor de para o qual o volume do prisma é máximo.+
2.3. Seja a recta que contém o ponto e é perpendicular ao plano .< E EFG
Determine uma equação vectorial da recta .<
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
3. Na empresa onde o Manuel trabalha, o cumprimento do horário é controlado por relógio
electrónico. De acordo com o de trabalho, qualquer trabalhador deve entrar às oitocontrato
horas e sair ao meio-dia. Porém, se o trabalhador chegar atrasado, terá de continuar a
trabalhar depois do meio-dia.
Sempre que um trabalhador chega minutos atrasado, o número de minutos, depois do>meio-dia, que ele tem de permanecer na empresa é dado por
-Ð>Ñ œ > !> � #& >
>� "
#
� �
3.1. Na segunda-feira, o Manuel entrou na empresa às nove horas e um quarto.
A que horas deveria ter saído, de modo a cumprir o estipulado no contrato?
Apresente a sua resposta em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
3.2. Ontem, o Manuel saiu da empresa às 12 horas e 25 minutos.
Com quantos minutos de atraso é que ele chegou à empresa?
3.3. Ao sair ontem da empresa, o Manuel pensou: «Então eu atrasei-me tão pouco e tive
de ficar a trabalhar quase meia hora depois do meio-dia?! Não é justo.»
Depois de ter conversado com os seus colegas de trabalho, o Manuel decidiu àpropor
administração da empresa que o tempo de permanência de um trabalhador na
empresa, após o meio-dia, passasse a ser igual ao tempo de atraso, acrescido de 40%
desse tempo (por exemplo, um atraso de 10 minutos deve ser compensado com 14
minutos de trabalho depois do meio-dia).
Numa pequena composição, compare a do Manuel com o em vigor,proposta contrato
contemplando os seguintes tópicos:
• justifique que, de acordo com a proposta do Manuel, o número de minutos
depois do meio-dia que um trabalhador terá de permanecer na empresa, quando
se atrasa minutos, é dado por > :Ð>Ñ œ " % >, ;
• refira se a proposta do Manuel é, ou não, sempre mais favorável ao trabalhador do
que o contrato em vigor;
• considerando que, para um certo atraso, a proposta do Manuel e o contrato em vigor
determinam o mesmo tempo de permanência na empresa, após o meio-dia, refira:
– o atraso;
– o tempo de permanência, depois do meio-dia, que esse atraso determina.
Utilize a calculadora para comparar os gráficos das duas funções ( e );- :transcreva para a sua folha de prova esses gráficos e assinale o ponto relevante que
lhe permite responder a algumas das questões colocadas, bem como as suas
coordenadas, arredondadas às unidades.
FIM
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 2/ 7
Formulário
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência:
, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h
Áreas de figuras planas
Losango: Diagonal maior Diagonal menor2#
Trapézio: Base maior Base menor Altura2
#+
Polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#
Setor circular: , , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2
2a a- -^ h
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h
Área de uma superfície esférica: r r raio4 2r -] g
Volumes
Pirâmide: Área da base Altura31# #
Cone: Área da base Altura31# #
Esfera: r r raio34 3r -] g
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 3/ 7
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.
• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.
• Não apresente cálculos, nem justificações.
• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Num referencial o.n. xOy , considere a circunferência definida por x y 52 2+ =
A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (1, 2)
Qual é o declive da reta r ?
(A) –2 (B) 21- (C)
21 (D) 2
2. Seja a um número real.
Considere, num referencial o.n. Oxyz , a reta s e o plano b definidos, respetivamente, por , , , , , , ,x y z k k1 0 3 1 1 1 R!= - + -^ ^ ^h h h e x y az3 3 1+ + =
Sabe-se que a reta s é paralela ao plano b
Qual é o valor de a ?
(A) –3 (B) 1 (C) 3 (D) 6
3. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f
As retas de equações x 2= e y 1= são as assíntotas do gráfico da função f
Para um certo número real k, a função g , definida por g x f x k= +^ ^h h , não tem zeros.
Qual é o valor de k ?
(A) –1
(B) 1
(C) –2
(D) 2 Figura 1
O x
y
1
2
f
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 4/ 7
4. Seja i um número real. Sabe-se que i é uma solução da equação sen x31=-
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação sen x31= ?
(A) r i- (B) r i+ (C) 2r i- (D)
2r i+
5. Considere o triângulo ABC6 @ representado na Figura 2.
Sabe-se que:
• AB 2=
• 30ACB º=t
Seja BACa = t
Qual das expressões seguintes representa BC , em função de a ?
(A) 4 sen a (B) sen6 a (C) 4 cos a (D) cos6 a
GRUPO II
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Na Figura 3, está representada, num referencial o.n. xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f O gráfico da função f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa –1As retas de equações x 1= e y 2=- são as assíntotas do gráfico da função f
1.1. Responda aos dois itens seguintes sem efetuar cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura do gráfico.
1.1.1. Indique o contradomínio da função f
1.1.2. Apresente, usando a notação de intervalos de números reais, o conjunto solução da condição f x 0#^ h
1.2. Defina, por uma expressão analítica, a função f
A
B
Ca 30º
2h
Figura 2
y
O
f
–1
–2
1x
Figura 3
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 5/ 7
2. Na Figura 4, está representada, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular ABCDE6 @
Figura 4
A
B
C
D
E
FO
x
z
y
Seja F o centro da base da pirâmide.
Sabe-se que:
• o ponto F tem coordenadas , ,2 1 1- -^ h
• o vetor FE tem coordenadas , ,1 2 2-^ h• a reta EA é definida pela condição , , , , , , ,x y z k k3 3 1 1 5 1 R!= - + -^ ^ ^h h h
2.1. Escreva uma condição cartesiana que defina a reta EA
Nota – Não necessita de apresentar cálculos.
2.2. Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação x y z2 2 2 0- - + =
2.3. Sabe-se que a condição x y
y z
6
2
- =-
- =) define a reta ED
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto D
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 6/ 7
3. Na Figura 5, está representado, num referencial o.n. xOy ,o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• o ponto A tem coordenadas ,1 0^ h• o ponto B tem coordenadas ,3 0^ h
Considere que um ponto P se move sobre a circunferência.
Para cada posição do ponto P, seja d PB= e seja ,0 2!a r6 6 a amplitude, em radianos, do ângulo
orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OPo
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
3.1. Mostre que cosd 10 62 a= -
Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de a e utilize a fórmula da distância entre dois pontos.
3.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que cosd 10 62 a= -
3.2.1. Determine os valores de ,0 2!a r6 6 para os quais d 72 =
3.2.2. Para um certo valor de a pertencente ao intervalo ,0 r6 @, tem-se tg 35a =-
Determine d , para esse valor de a
4. No referencial o.n. xOy da Figura 6, estão representados o quadrado [OABC ] e o retângulo [OPQR ]
Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy
O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC ]
Sabe-se que:
• OA a=
• OP b=
• RC b=
Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.
FIM
O A
P
B
y
x
da
Figura 5
O A
BC
P
QR
x
y
Figura 6
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 2/ 8
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
ar (a – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango: Diagonal maior Diagonal menor×2
Trapézio: Base maior Base menorAltura
+×
2
Polígono regular: Semiperímetro Apótema×
Sector circular: ar2––—
2 (a – amplitude, em radia nos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: prg (r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4pr2 (r – raio)
Volumes
Pirâmide: 1–—3
× Área da base × Altura
Cone: 1–—3
× Área da base × Altura
Esfera: 4–—3
pr 3 (r – raio)
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 3/ 8
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
• Não apresente cálculos, nem justificações.
• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objectivo, a qual é definida por L x y2= +
Na Figura 1, está representada a região admissível.
1 3
1
2
4
O x
y
Figura 1
Numa das opções seguintes está a solução desse problema.
Em qual delas?
(A) yx 11 == e
(B) yx 20 == e
(C) yx 13 == e
(D) yx 10 == e
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 4/ 8
2. Considere, em , a equação trigonométrica cos ,x 0 9=
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A) ,p p2 2
-
(B) , p0 (C) ,
p p34 4
(D) ,p p4 4
-
3. De um triângulo isósceles [ABC ] sabe-se que:
• os lados iguais são [AB ] e [AC ], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento;
• cada um dos dois ângulos iguais tem 30º de amplitude.
Qual é o valor do produto escalar .AB AC
?
(A) 32 3-
(B) 32-
(C) 64
(D) 64 3
4. Na Figura 2, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• a recta r é tangente à circunferência no ponto A(1,0)
• a recta s passa na origem do referencial e intersecta a recta r no ponto P, cuja ordenada é 2
• o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à recta s
Seja a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semi-recta OQ
Qual é o valor de a , arredondado às centésimas?
O x
y
r
s
aA
P
Q
2
Figura 2
(A) 4,23
(B) 4,25
(C) 4,27
(D) 4,29
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 5/ 8
5. Sejam a, b e q três números reais.
Sabe-se que:
• ,p
a 04
∈
• p
a b2
+ =
• a q p2+ =
Qual das expressões seguintes é equivalente a sen sen sena b q+ + ?
(A) sen cosa a2 +
(B) sen cosa a2 -
(C) cosa-
(D) cosa
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 6/ 8
GRUPO II
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.
1. Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. xOy , a circunferência de centro em O e raio 5
Os pontos A e B são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy , respectivamente.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB , nunca coincidindo com o ponto A , nem com o ponto B
P
r
R Q
y
O x
aA
B
Figura 3
Para cada posição do ponto P , sabe-se que:
• o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO PQ=
• a recta r é a mediatriz do segmento OQ
• o ponto R é o ponto de intersecção da recta r com o eixo Ox
• a é a amplitude, em radianos, do ângulo ,AOPp
a 02
∈
Seja f a função, de domínio ,p
02
, definida por ( ) sen cosf x x x25=
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
1.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ ] é dada por ( )f a
1.2. Determine o valor de a , pertencente ao intervalo ,p
02
, para o qual se tem ( ) cosf a a225=
1.3. Seja q um número real, pertencente ao intervalo ,p
02
, tal que f(q) = 5
Determine o valor de ( )sen cosq q2
+
1.4. Considere agora o caso em que a abcissa do ponto P é 3
Determine a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 7/ 8
2. Na Figura 4, está representado, em referencial o.n. Oxyz , o poliedro [VNOPQURST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
• a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano xOy
• o ponto P pertence ao eixo Ox
• o ponto U tem coordenadas (4, -4, -4)
• o plano QTV é definido pela equação x y z5 2 2 12+ + =
y
z
x
O
PQ
N
R S
TU
V
Figura 42.1. Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina.
2.1.1. Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial.
2.1.2. Plano perpendicular à recta QN e que passa no ponto V
2.1.3. Recta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U
2.1.4. Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T
2.2. Considere um ponto A , com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U
Sabe-se que .OA OT 8=
Determine a cota do ponto A
2.3. Determine o volume do poliedro [VNOPQURST ]
3. Na Figura 5, está representado o quadrado [ABCD ]
Sabe-se que:
• o ponto I é o ponto médio do lado [DC ]
• o ponto J é o ponto médio do lado [BC ]
Prove que .AI AJ AB2
=
A B
CDI
J
Figura 5Sugestão: comece por exprimir cada um dos vectores AI
e AJ
como soma de dois vectores.
FIM
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 2/ 8
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
ar (a – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango: Diagonal maior Diagonal menor×2
Trapézio: Base maior Base menorAltura
+×
2
Polígono regular: Semiperímetro Apótema×
Sector circular: ar2––—2
(a – amplitude, em radia nos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: prg (r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4pr2 (r – raio)
Volumes
Pirâmide: 1–—3
× Área da base × Altura
Cone: 1–—3
× Área da base × Altura
Esfera: 4–—3
pr 3 (r – raio)
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 3/ 8
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
• Não apresente cálculos, nem justificações.
• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Seja f a função, de domínio 3,1 +7 7, definida por f x x 1= −_ i
Qual é o valor de f 31- ^ h ?
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
2. Seja h a função, de domínio , definida por h x x 1= +_ i
Seja g a função, de domínio 0R % /, definida por g xx1=_ i
Para um certo número real a , tem-se g h a91=%_ _i i
(o símbolo % designa a composição de funções)
Qual é o valor de a ?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
3. Seja f uma função real de variável real.
Sabe-se que:
• f 2 9=l_ i
• a recta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa 2, intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada -15
Qual é o valor de f (2)?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 4/ 8
4. Considere, num referencial o.n. Oxyz , a recta r definida por
(x, y, z) = (3, 4, 5) + k(1, 0, 0), k Î
Qual das condições seguintes define uma recta paralela à recta r ?
(A) y z5 6/= =
(B) x y3 4/= =
(C) , , , , , , ,x y z k k1 0 0 3 4 5 R!= +` _ _j i i
(D) , , , , , , ,x y z k k3 4 5 0 1 0 R!= +` _ _j i i
5. Seja un` j a sucessão definida por recorrência do seguinte modo:
1
3u =
2 1u u n nse
1
2= +−n n*
Seja wn` j a sucessão de termo geral 5 13w nn = −
Qual é o valor de n para o qual se tem w un = 2 ?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
GRUPO II
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.
1. Estude, quanto à monotonia, a sucessão un` j de termo geral unn3
1 2n = +
−
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 5/ 8
2. Determine o valor de tg
3 1a- sabendo que ,0
2!α π =G e que cos
23
54π α− = −d n
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
3. Uma floresta foi atingida por uma praga.
Admita que a área, em milhares de hectares, da região afectada por essa praga é dada por
A ttt t3
2 02 $=+
_ _i i
(Considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início da praga.)
3.1. Houve um certo intervalo de tempo durante o qual a área da região afectada pela praga foi, pelo menos, de 500 hectares. Nesse intervalo de tempo, a floresta esteve seriamente ameaçada.
Durante quanto tempo esteve a floresta seriamente ameaçada?
Na sua resposta deve:
• escrever uma inequação que lhe permita resolver o problema;
• resolver analiticamente essa inequação;
• apresentar o valor pedido.
3.2. Utilize as capacidades gráficas da calculadora para resolver o seguinte problema:
Ao fim de quanto tempo, contado a partir do início da praga, foi máximo o valor da área atingida por essa praga?
Na sua resposta deve:
• reproduzir o gráfico visualizado na calculadora;
• assinalar, no gráfico, o ponto relevante para a resolução do problema e indicar as coordenadas desse ponto, arredondadas às milésimas;
• apresentar a solução do problema em dias, arredondada às unidades (considere 1 ano = 365 dias).
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 6/ 8
4. Considere:
• a função f , de domínio , definida por 3f x x x x9 11= + − −23_ i
• a função g , de domínio 1R -$ ., definida por g xxx
11=
+−_ i
Utilize métodos exclusivamente analíticos na resolução dos três itens seguintes.
4.1. Estude a função f quanto à monotonia e quanto aos extremos relativos.
Na sua resposta deve apresentar:
• o(s) intervalo(s) em que a função é crescente;
• o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente;
• os extremos relativos, caso existam.
4.2. Sabe-se que -1 é um zero da função f
Caracterize a função f g#
Na sua resposta deve:
• indicar o domínio da função f g#
• apresentar f g x#_ _i i na forma de um polinómio do terceiro grau.
4.3. Seja P o ponto de intersecção das assimptotas do gráfico da função g
Para um certo número real k , o ponto P pertence ao gráfico da função h , de domínio , definida por h x f x k= +_ _i i
Determine o valor de k
TI de Matemática A – Versão 1 • Página 7/ 8
5. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ABCDE ] cuja base está contida no plano xOy
Sabe-se que:
• o vértice A tem coordenadas , ,1 0 0_ i
• o vértice B tem coordenadas , ,0 1 0_ i
• o plano DCE é perpendicular à recta definida pela condição x y z3 3= =
Determine o volume da pirâmide.
Nota – Pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano DCE
FIM