Riesgo Financier o

ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS FINANCIEROS


I. INTRODUCCIÓN I:1

A. EVOLUCIÓN DE LOS INSTRUMENTOS FINANCIEROS I:1B. RIESGOS I:5C. FACTORES DE RIESGO Y TIPOS DE RIESGOS FINANCIEROS I:6D. COBERTURA I:7

II. FUNDAMENTOS DE PORTAFOLIOS II:8

A. MARCACIÓN A MERCADO II:8B. POSICIÓN II:8C. RENDIMIENTOS DEL PORTAFOLIO II:8D. RENDIMIENTO MEDIO II:91. EFECTO DE UN INCREMENTO DEL RENDIMIENTO MEDIO EN LA DISTRIBUCIÓN II:92. EFECTO DE UN DECREMENTO DEL RENDIMIENTO MEDIO EN LA DISTRIBUCIÓN II:9E. FRECUENCIA DE DISTRIBUCIÓN DE LOS RENDIMIENTOS II:101. DISTRIBUCIÓN NORMAL II:112. INTERVALOS DE CONFIANZA II:12F. VOLATILIDAD II:131. AGREGACIÓN EN EL TIEMPO II:13G. CORRELACIÓN II:14H. CORRELACIÓN Y VOLATILIDAD II:161. CORRELACIÓN Y RIESGO II:162. MATRIZ DE CORRELACIONES II:163. MATRIZ DE VARIANZA – COVARIANZA II:16I. DIVERSIFICACIÓN II:18

III. FUNDAMENTOS TEÓRICO-PRÁCTICOS DE LA ESTIMACIÓN DEL RIESGO III:19

A. EL PRINCIPIO DE DIVERSIFICACIÓN DE MARKOWITZ III:19B. RIESGO SISTEMÁTICO Y RIESGO RESIDUAL: EL CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) III:20C. MODELOS DE FACTORES MÚLTIPLES: ARBITRAGE PRICING THEORY (APT) III:22D. RIESGO ABSOLUTO Y RIESGO RELATIVO III:23

IV. VALUACIÓN Y SENSIBILIDADES DE ACTIVOS FINANCIEROS IV:25

A. MERCADO DE DIVISAS IV:251. TEORÍAS DE LA PARIDAD CAMBIARIA IV:252. PRINCIPALES RELACIONES DE ARBITRAJE IV:25B. MERCADO DE DEUDA IV:261. VALUACIÓN IV:272. DURACIÓN Y CONVEXIDAD IV:30C. DERIVADOS LINEALES: FORWARDS, FRAS Y FUTUROS IV:351. COBERTURA LINEAL SINTÉTICA CORTA Y LARGA IV:372. COSTO DE ACARREO IV:383. TASA IMPLÍCITA IV:40D. FUTUROS IV:41E. SWAPS IV:491. VALUACIÓN IV:502. TIPOS DE SWAPS IV:52F. OPCIONES IV:531. FACTORES QUE DETERMINAN LA PRIMA IV:532. LÍMITES DE LAS PRIMAS DE CALLS Y PUTS EUROPEOS IV:543. PARIDAD PUT-CALL IV:54

/tt/file_convert/55cf9aa0550346d033a2a37e/document.docx22 de Abril de aa

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4. EJERCICIO TEMPRANO Y LÍMITES DE OPCIONES AMERICANAS IV:545. BLACK AND SCHOLES PARA OPCIONES EUROPEAS SOBRE ACCIONES QUE NO PAGAN DIVIDENDOS IV:55a) La caminata aleatoria de los precios de los activos financieros IV:56b) El lema de Ito IV:58c) Valuación de opciones en un mercado idealmente eficiente IV:59d) La fórmula de Black & Scholes IV:616. BINOMIAL IV:617. BLACK AND SCHOLES PARA OPCIONES EUROPEAS SOBRE DIVISAS IV:638. BLACK AND SCHOLES PARA OPCIONES EUROPEAS SOBRE BONOS CUPÓN CERO IV:64G. OPCIONES SOBRE FUTUROS IV:66H. OPCIONES SOBRE TASAS DE INTERÉS: CAPS, FLOORS Y COLLARS IV:661. CAPS IV:662. FLOORS IV:673. COLLARS IV:67I. ESTRATEGIAS CON OPCIONES IV:671. FORWARDS SINTÉTICOS IV:672. BEAR Y BULL SPREADS IV:693. LONG Y SHORT STRADDLES IV:714. LONG Y SHORT STRANGLES IV:715. LONG Y SHORT BUTTERFLIES IV:72J. OPCIONES EXÓTICAS IV:751. OPCIONES COMPUESTAS (COMPOUND OPTIONS) IV:752. OPCIONES BINARIAS (BINARY OPTIONS) IV:753. OPCIONES BARRERA (BARRIER OPTIONS) IV:764. AS YOU LIKE IT OPTIONS IV:765. LOOKBACK OPTIONS IV:766. OPCIONES ASIÁTICAS (ASIATIC OPTIONS) IV:76

V. RIESGO DE MERCADO Y VOLATILIDAD V:77

A. VOLATILIDAD DE UN ACTIVO V:77B. VOLATILIDAD DE UN PORTAFOLIO DE DOS ACTIVOS V:77C. VOLATILIDAD DE UN PORTAFOLIO V:77D. EFECTOS DE VARIACIONES DE LA VOLATILIDAD SOBRE LA DISTRIBUCIÓN V:78E. ESTIMACIÓN DE LA VOLATILIDAD V:791. TEORÍA DE LOS MERCADOS EFICIENTES: CAMINATA ALEATORIA V:792. SUPUESTO DE MEDIA CERO V:793. VOLATILIDAD HISTÓRICA: EQUALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE MODEL V:794. VOLATILIDAD DINÁMICA: EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE MODEL V:805. ESTIMACIÓN GARCH (1,1): GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY V:806. VOLATILIDAD IMPLÍCITA V:80

VI. VALUE AT RISK (VAR) VI:82

A. VAR ANALÍTICO VI:821. PEOR PÉRDIDA ABSOLUTA ESPERADA Y PEOR PÉRDIDA RELATIVA ESPERADA VI:822. VALOR EN RIESGO ABSOLUTO VI:833. VALOR EN RIESGO RELATIVO VI:83B. RIESGO TASA DE INTERÉS VI:841. VAR Y DURACIÓN VI:842. LIMITANTES DE LA DURACIÓN VI:853. CONVEXIDAD VI:85C. FORWARDS. FRAS Y FUTUROS VI:85


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1. VAR DE CONTRATOS LINEALES VI:852. VAR PARA FORWARD RATE AGREEMENTS (FRAS) VI:86D. VAR PARA SWAPS VI:92E. VAR PARA OPCIONES VI:921. LAS GRIEGAS Y EL VAR VI:93F. VAR DE UN PORTAFOLIO VI:93

VII. ENFOQUES ADICONALES DE ESTIMACIÓN DEL VAR VII:94

A. VAR NO-PARAMÉTRICO: SIMULACIÓN HISTÓRICA VII:94B. SIMULACIÓN MONTE CARLO ESTRUCTURADO VII:94

VIII. SIMULACIÓN MONTE CARLO ESTRUCTURADO VIII:95

1. SIMULACIONES CON UNA VARIABLE ALEATORIA VIII:95a) Simulación Monte Carlo y Opciones VIII:972. SIMULACIÓN MONTE CARLO PARA PORTAFOLIOS: DESCOMPOSICIÓN DE CHOLESKY Y SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

VIII:983. VALOR EN RIESGO RELATIVO O MARGINAL VIII:99

IX. CALIBRACIÓN DE MODELOS IX:100

A. BACKTESTING IX:100B. SITUACIONES EXTREMAS: PRUEBAS DE ESTRÉS IX:103

X. ANÁLISIS DE CASOS X:109

A. BARINGS X:109B. METALLGESELLSCHAFT X:110C. ORANGE COUNTY X:110D. DAIWA X:110E. ANÁLISIS GLOBAL X:111

XI. DIRECTRICES EN LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS XI:112

A. RECOMENDACIONES DEL G-30 XI:112B. ESTRUCTURA CORPORATIVA XI:1131. ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE RIESGOS XI:1133. XI:113a) Administración de riesgos XI:113b) Control de riesgos XI:1144. SEGMENTACIÓN DE USUARIOS DE RIESGOS XI:114a) Front - Office XI:114b) Middle - Office XI:114c) Backoffice XI:1145. DATOS E INFORMACIÓN XI:1156. ARQUITECTURA DEL SISTEMA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE RIESGOS XI:116a) Data Warehouse XI:116b) Middleware XI:117c) Analytics Facility XI:117d) Contexto para la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos XI:1187. MARCO TEÓRICO XI:1188. INFRAESTRUCTURA INSTITUCIONAL XI:1199. FUNCIONES BÁSICAS DEL SISTEMA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE RIESGOS XI:12010. ALTERNATIVAS DE ARQUITECTURA DEL SISTEMA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE RIESGOS XI:121a) Sistemas operacionales XI:121


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b) Calculadora de riesgo XI:121c) Solución integral XI:12111. ALTERNATIVAS DE IMPLEMENTACIÓN DEL DATA WAREHOUSE XI:122a) Desarrollo interno XI:122b) Desarrollo de cero con consultores externos XI:122c) Desarrollo con solución predefinida XI:122C. INTERPRETACIÓN DEL VAR XI:124

FORMULARIO VI

BIBLIOGRAFÍA X

TABLA PARA N(Z) CUANDO Z 0 XI

TABLA PARA N(Z) CUANDO Z 0 XI


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“La Teoría sin la Práctica es inútil.La Práctica sin la Teoría no significa nada”

Vladimir Ilich Lenin.

I. Introducción

A. Evolución de los instrumentos financieros

En los inicios del ser humano las necesidades básicas se satisfacían a través de la recolección y la caza, con base en una organización tribal nómada. Algunos avances tecnológicos clave, como el descubrimiento del fuego y el desarrollo de la agricultura y de la ganadería, generaron como resultado organizaciones sedentarias y, como consecuencia, la especialización del trabajo. Desde entonces el hombre ha sido testigo de una expansión en cadena de sus necesidades y, por lo tanto, de las formas de satisfacerlas. El trabajo especializado planteó la necesidad de intercambiar bienes y surgió la primer forma de comercio: el trueque. Este momento en la historia del hombre es fundamental, porque aunque de una forma muy incipiente, marcó el surgimiento del primer mercado y del primer proceso de formación de precios.

Sin embargo el trueque entre más de dos agentes resulta tan difícil que fue necesario crear esquemas más complejos, a través del uso de bienes que sólo cumplían algunas funciones básicas: Reserva de valor, unidad de cuenta y medio de cambio. Con algunas excepciones, se utilizaron prácticamente de manera universal los metales que ahora se identifican como preciosos: el oro y la plata, que eran fraccionados para expresar el valor de cualquier bien en términos de cantidades específicas del metal, de tal forma que cualquier persona, es decir, cualquier entidad económica podía entonces especializarse en la producción de un único bien, siempre y cuando fuera necesitado por los demás, y recibir a cambio de su entrega cierta cantidad de metal precioso que a su vez utilizaría para adquirir los bienes adicionales que dicha entidad económica necesitara para sobrevivir.

Esta posibilidad de obtener cualquier bien a través de la producción de un bien único generó automáticamente dos procesos previos que definen en sí el intercambio, la venta y la compra: surgieron los mercados y los precios tal como los conocemos ahora, junto con otra necesidad más que antes no era tan clara: la necesidad de competir por la acumulación de metales preciosos, es decir, la necesidad de enriquecimiento.

Regularmente el oro era resguardado por algún orfebre y cada agente económico acudía con él para retirar la cantidad que requería con el fin de satisfacer sus necesidades a través de la realización de compras en los mercados. Una vez que el comprador pagaba sus bienes, el vendedor solía acudir con el mismo orfebre a depositar el oro, sólo que esta vez a su nombre. Paulatinamente, los agentes económicos empezaron a aceptar como medio de pago el comprobante por escrito del depósito de oro del comprador con el orfebre, surgiendo así el papel moneda, es decir, los billetes, en un inicio simples recibos que amparaban la existencia real de cierta cantidad de metal precioso en las arcas del emisor.

Los orfebres descubrieron pronto dos negocios rentables. Por un lado, la tenencia del oro en sus arcas permitía realizar aleaciones con metales más baratos, para que la reducción del oro contenido en cada fracción generara una mayor cantidad de unidades.

Por otro lado, la poca demanda de retiros de oro en metal permitían la emisión de un mayor número de billetes, o recibos de depósitos de oro, que podían ser prestados a agentes económicos dispuestos a sacrificar consumo futuro a cambio de incrementar su futuro presente, es decir, dispuestos a pagar en el futuro una cantidad predeterminada, intereses, a cambio de recibir ahora


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una cantidad prestada por el orfebre. De esta forma primitiva se iniciaron las operaciones de crédito, y los orfebres se convirtieron en los primeros intermediarios financieros. Los créditos, como todo activo, tienen su precio: las tasas de interés, uno de los factores financieros más importantes, y cuyo nivel se determina en el mercado, a través de la interacción dinámica entre oferta y demanda, que a su vez se determinan con las expectativas de los agentes que intervienen en el mercado.

Los gobiernos, en su mayor parte monárquicos, se vieron forzados a intervenir en la emisión de dinero para regular el contenido de oro, el otorgamiento de créditos y la inyección de liquidez a la economía. El primer procedimiento consistió en imprimir un sello real a las fracciones de metal precioso y a los billetes, lo que con el tiempo se transformó en el aval único que sustentaba la aceptación general del dinero.

Aunque el valor del dinero se sustentaba en los depósitos de metales preciosos en las arcas del rey, que posteriormente se incrementaron con las cuentas e incluso créditos que estos gobernantes mantenían con los bancos o con los comerciantes burgueses, la aceptación general del dinero estaba cada vez más vinculada a la confianza en la estabilidad política, militar, económica y social de la estructura gubernamental del emisor. Para controlar la emisión del dinero, posteriormente se crearon instituciones especializadas, que ahora se conocen como banca central, la cual básicamente puede ser de dos tipos: centralizada, al estilo europeo, como el caso del Banco de México que controla la emisión de monedas y papel moneda en nuestro país; y el estilo americano o descentralizado, como la Reserva Federal de los Estados Unidos, que controla la emisión de dinero a través de una estructura federal donde cada estado de la federación puede emitir.

Siglos después, durante la época de la Revolución Industrial, se inició la utilización ampliada de una alternativa simple de financiamiento para empresas en expansión, que consistía en vender parte de la empresa para obtener los recursos necesarios, y una vez obtenidas las utilidades correspondientes, distribuirlas proporcionalmente, en forma de dividendos, entre los tenedores de los instrumentos que amparaban la posesión de una porción dada de la empresa: Las acciones. Esta fuente de financiamiento permite al empresario, o emisor de la acción, vincular el costo de financiamiento a la evolución de la empresa, dado que el accionista, o tenedor de la acción, comparte con la empresa el riesgo negocio: su ingreso es variable, depende del nivel de utilidades reportadas por la empresa emisora, y por lo tanto si ésta pierde, los accionistas también, y el emisor no estará obligado a pagar una tasa de interés independiente de la situación financiera de la propia empresa.

Dado que el inversionista verá crecer sus ingresos en la misma proporción en que se incrementen las utilidades de la empresa, entonces estará dispuesto a pagar un precio más alto por la acción que su simple valor en libros, tan alto como sea necesario de acuerdo al nivel de oferta y demanda en el mercado de acciones, pero sin exceder sus expectativas de dividendos futuros. Así surgieron los mercados secundarios de acciones, que pronto fueron cotizados en lugares centralizados, bolsas de valores, instituciones que garantizaban que las empresas emisoras realmente existieran, que cumplieran con algunas características mínimas que sustentaran expectativas de dividendos futuros satisfactorios, y que finalmente definieran las reglas del juego en el mercado secundario, centralizaran la formación de precios y garantizaran el carácter de la información que fluía, así como la solvencia de los agentes del mercado y de los intermediarios, especialistas en la compra/venta de acciones, que más tarde evolucionaron a las actuales casas de bolsa.

Una vez finalizada la Primera Guerra Mundial, la enorme preponderancia de la Gran Bretaña en el comercio mundial, que implicaba una cierta dependencia de la mayor parte de las divisas a la libra esterlina, generó un sistema monetario donde los tipos de cambio dependían básicamente del precio en oro de la libra esterlina, es decir, de las reservas en oro que mantuviese la Gran Bretaña.


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Las crisis que iniciaron con el crack bursátil de 1929, que fue el primer síntoma de la Gran Depresión de los Treinta, y que culminaron con el conflicto de la Segunda Guerra Mundial, forzaron a las entonces eventuales potencias victoriosas a pactar un esquema monetario donde se fijaba un precio fijo en oro de la nueva divisa fuerte, el dólar estadounidense, para establecer así un tipo de cambio fijo de cada divisa respecto al dólar. Este acuerdo se tomó en Bretton Woods, New Hampshire, Estados Unidos, en 1944, en el seno de una reunión del United Nations Monetary and Financial Conference, y en la que se formularon los Artículos del Acuerdo del Fondo, que tras ser ratificados en diciembre de 1945 dieron pie en la misma fecha a la creación del Fondo Monetario Internacional, FMI. En esta importante reunión de Bretton Woods se acordó además un régimen cambiario denominado cambio - oro, que ha sido comúnmente identificado con el nombre del lugar donde se tomó el acuerdo, y cuyos puntos fundamentales son:

Política de tipos de cambio fijos.

Eliminación de las restricciones para el intercambio de divisas.

Convertibilidad de divisas.

Desarrollo de un sistema multilateral de pagos internacionales.

Los tipos de cambio estaban fundamentados en un sistema de valor a la par que requería que los países miembros contuvieran las fluctuaciones de su moneda con respecto al dólar en un margen de más/menos 1 por ciento del valor par expresado en dólares estadounidenses, los cuales a su vez eran directamente convertibles en oro.

Al finalizar la década de los sesenta surgió una repentina alza del precio del oro, derivado de la escasez del metal, que obligó a la explotación de las minas donde el proceso de extracción era tan tortuoso, y por lo tanto caro, que significó un incremento muy significativo en los costos de producción, superando el precio fijo en dólares establecido en Bretton Woods. En 1971 los Estados Unidos suspendieron la convertibilidad del dólar en oro, lo que condujo a los gobernadores de los bancos centrales del Grupo de los Diez (Bélgica, Canadá, Francia, Alemania Occidental, Italia, Japón, Holanda, Suecia, Inglaterra y Estados Unidos, incluyendo a Suiza como miembro asociado) a reunirse en el Instituto Smithsoniano en Washington, D.C., donde tomaron el Acuerdo Smithsoniano que resultó en una devaluación del 10% del dólar y en una realineación de los tipos de cambio, incluyendo márgenes más amplios de variación alrededor del valor a la par. Este sistema de valor a la par ajustado fue prácticamente abandonado cuando, después de otra devaluación del dólar en 1973, los países miembros de la Comunidad Europea introdujeron un sistema conjunto de flotación de sus divisas con respecto al dólar.

En 1972, después del colapso inicial del sistema de Bretton Woods, el FMI estableció un Comité sobre la Reforma del Sistema Monetario Internacional y Asuntos Relacionados, el cual emitió una serie de recomendaciones eventualmente adoptadas en 1976 por el acuerdo de Jamaica. Por lo tanto, desde que el acuerdo de Bretton Woods se colapsó se dio inicio a la utilización de esquemas de flotación libre del tipo de cambio, que paulatinamente, desde entonces y hasta ahora, ha sido adoptado por la mayor parte de las economías que funcionan en un esquema de mercado.

Esta flotación libre, sin embargo, prácticamente no ha existido en la práctica, dado que los gobiernos normalmente intervienen en el mercado cambiario, con el fin de inducir racionalidad en los mercados o simplemente para utilizarlo como una herramienta más de política económica, por lo que el esquema que realmente ha prevalecido es el conocido como de flotación sucia.

El derrumbe del acuerdo de Bretton Woods fue el Big Bang de las finanzas actuales, y por lo tanto de la ingeniería financiera y de la administración de riesgos, porque la volatilidad súbita que desde entonces caracteriza al mercado cambiario se contagió de forma lógica e inmediata al resto de los activos financieros, creando una nueva necesidad fundamental en el entendimiento de las finanzas actuales: La cobertura, es decir, el diseño de estructuras que protejan a los agentes económicos de los riesgos derivados de la fluctuación de los precios de los activos financieros, y por lo tanto de


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sus rendimientos, pues evidentemente un movimiento adverso del mercado puede encarecer costos, castigar la ganancia proyectada, abortar los proyectos de inversión, o incluso condenar a una empresa a la pesadilla del incumplimiento de sus compromisos, la antesala de la adquisición hostil, o de la liquidación.

Desde entonces, los agentes económicos enfrentan a cada momento una creciente gama de riesgos financieros, aun cuando en apariencia su campo de acción pareciera ser por completo ajeno al mundo de las finanzas. Dado que ya no es suficiente la habilidad para administrar el riesgo negocio, ahora todo agente económico, en forma intuitiva, o consciente y deliberada, está obligado a administrar riesgos financieros.

Actualmente, se ha ratificado el paralelismo entre la historia de los instrumentos financieros y la evolución de las estructuras políticas y sociales del ser humano. El surgimiento de nuevas necesidades, como la cobertura, significó el nacimiento de instrumentos, naturales o sintéticos, especialmente diseñados para cumplir con estos fines, los productos derivados, que si bien han acompañado al hombre prácticamente desde que inició la vida sedentaria, detonaron crisis financieras en los siglos XVII y XVIII, y ya habían penetrado los mercados bursátiles durante el siglo XIX, sólo hasta la caída de Breton Woods empezaron a ser tan ampliamente utilizados que ahora dominan el escenario financiero. Estos instrumentos, que por supuesto son también susceptibles de utilizarse para la especulación, traen aparejados entonces otras formas de los mismos riesgos, o incluso riesgos nuevos.

Adicionalmente, la paulatina eliminación de las fronteras, tanto en el ámbito comercial como en el político, está generando una tendencia a la desaparición de las divisas, es decir, a la adopción de divisas únicas para grupos sociales o comunidades cada vez mayores, como sucedió con la Comunidad Económica Europea, a través del Euro, y como podría suceder en el mediano o largo plazo en América del Norte.

Por lo tanto, la complejidad del escenario financiero mundial, la enorme gama de necesidades particulares que puede enfrentar en un momento dado cada agente económico, el vertiginoso ritmo del avance tecnológico, sobre todo en el campo de la información y en las finanzas, han planteado un escenario tan complejo que se requirió de una nueva disciplina especialmente orientada a la solución de los problemas financieros de los agentes económicos: la Ingeniería Financiera, y otra disciplina para controlar los temibles efectos secundarios que puede acarrear el uso de estos instrumentos: La administración y control de riesgos.

Como hemos visto, pues, el último cuarto del siglo XX estuvo marcado por una amplia gama de factores interrelacionados que determinaron una revolución sin precedentes en el campo de las finanzas: La evolución y especialización de la intermediación financiera, el surgimiento vertiginoso de nuevos activos financieros cada vez más complejos, el avance en la tecnología de la información, la apertura comercial a escala global y el afianzamiento de los esquemas económicos de mercado, que ha provocado niveles de competencia sin precedentes, y que actualmente toma la forma de la conformación de grandes bloques comerciales y de enormes consorcios empresariales. Estos factores han generado, dentro de muchas más, algunas consecuencias que transformaron de manera fundamental la definición propia de cada entidad económica y, por lo tanto, crearon una nueva serie de necesidades. A grandes rasgos, el factor fundamental es el cambio. De hecho, aplica perfectamente lo que algunos físicos encuentran apropiado para el universo: la única constante es el cambio.

Como se verá más adelante, en el campo de las finanzas el cambio en las últimas décadas es tan veloz y, aparentemente, tan aleatorio, que parece una tarea imposible el tratar de aprehenderlo, y mucho más difícil por lo tanto será adaptarse a él. Particularmente afectan a los flujos financieros los movimientos del factor más importante para las empresas, el precio de los activos físicos y de los activos financieros. La variación abrupta de los rendimientos genera riesgo de mercado, es decir, expone a las entidades económicas a la posibilidad de enfrentar pérdidas considerables, sólo


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a causa de los desplazamientos de los precios, creando la necesidad de estructurar estrategias de cobertura, de reducción de costos de financiamiento, de fondeo, etc. La especialización de la intermediación financiera y el surgimiento de activos específicos, y sus mercados, constituyen la adaptación natural de los sistemas financieros para contar con la capacidad de diseñar estrategias a la medida de las necesidades de cada agente económico, lo que ha dado lugar al nacimiento de algunas de las disciplinas más apasionantes de las finanzas: la ingeniería financiera y la administración de riesgos.

B. Riesgos

El vocablo castellano Riesgo es de raíz etimológica latina, a través del italiano risco y del francés risque, y por lo tanto comparte su origen con la palabra risco, que significa peñasco alto y escarpado. En su riguroso sentido original, risco significa cortar como una roca, del latín re: tras; y secare: cortar. Mientras mayor fuera el viento en contra o la necesidad de hacer breve el camino, los navegantes de los tiempos grecolatinos, que debían conducir sus naves bordeando la costa, enfrentaban mayores probabilidades de estrellarse contra los riscos, es decir, de que las barcas fuesen cortadas por las rocas. Por lo tanto, desde sus inicios, el riesgo se mide tomando como parámetro el beneficio. La relación riesgo - beneficio es tan antigua como el deseo del hombre por satisfacer mejor sus necesidades.

En finanzas, suele entenderse el riesgo como la probabilidad de enfrentar pérdidas. Sin embargo, en sentido estricto debe entenderse como la probabilidad de observar rendimientos distintos a los esperados, es decir, “…la dispersión de resultados inesperados ocasionada por movimientos en las variables financieras.”1 Si se observan rendimientos extraordinariamente positivos o negativos, la probabilidad de enfrentar rendimientos distintos a los esperados en el futuro, es decir, el riesgo, crece. Si no se considera como una señal de alerta el observar rendimientos muy superiores a los esperados, se omite el análisis de las causas de tal desempeño extraordinario y, por lo tanto, se construyen las bases para enfrentar en el futuro pérdidas también extraordinarias.

Dado que la única forma de evitar por completo el riesgo es no existir, la necesidad de administrarlo es tácita. Por lo tanto, primero deben identificarse, en finanzas, todos los factores que pueden ocasionar la obtención de rendimientos distintos a los esperados, es decir, los factores de riesgo. Cada factor distinto define en sí mismo un tipo particular de riesgo, dentro de los cuales nos interesan los Riesgos Financieros.

C. Factores de Riesgo y Tipos de Riesgos Financieros

Existen diversas formas de identificar y clasificar los riesgos financieros. En general, entenderemos como riesgo financiero la probabilidad de obtener rendimientos distintos a los esperados como consecuencia de movimientos en las variables financieras. Por lo tanto, dentro de los riesgos financieros encontraremos otros tipos más específicos de factores de riesgo: Riesgo Cambiario, Riesgo Commodity, Riesgo Accionario, Riesgo Tasa, etc. Gary L. Gastineau identifica los siguientes tipos de riesgos:

Tipo de Riesgo Impacto NegativoMercado Variación de Precios.Crédito y Contraparte Incumplimiento de la contraparte en una operación.

Disminución en el valor de los instrumentos por reducción en la calificación crediticia.Legal Incapacidad legal de la contraparte para pactar contratos y obligaciones.

Cambios legales repentinos que entren en conflicto con posiciones vigentes. Demandas legales por no cubrir riesgos medibles.

Moral Hazard Mala fe de la contraparte desde que se pacta la transacción. La contraparte proporciona información falsa sobre su capacidad financiera o crediticia. La contraparte tiene incentivos para exponerse a riesgos excesivos.

Modelo Incorporación de sesgos sistemáticos u ocasionales en los criterios, supuestos, 1 Jorion, Philippe. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk, Mc Graw Hill, 1997, E.U.A., p. 63.


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metodologías, bases de información o modelos de valuación, que conducen a decisiones erróneas.

Liquidez Costo implícito en la falta de liquidez del mercado: spread amplio o inexistente de compra – venta, variaciones abruptas de los precios operados.

Costo o penalización por retiros anticipados de depósitos. Incapacidad para enfrentar requerimientos ocasionales de liquidez (llamadas de margen).

Fiscales Alto costo fiscal de operaciones de cobertura. Esquema fiscal que obstaculice una eficiente administración de riesgos. Modificaciones abruptas del esquema fiscal aplicable a las operaciones.

Contables Incertidumbre sobre el Reporte Financiero de la Administración de Riesgos. Oposición reglamentaria al neteo de pérdidas y ganancias generado por una posición de

cobertura.

Otra clasificación, específica para los tipos de riesgos asociados con los productos derivados, es propuesta por Ezra Zask, en el artículo “The Derivatives Risk Management Audit”, con el cual colaboró en la compilación de R. A. Klein y J. Lederman, Derivatives Risk and Responsability, Irwin, Chicago, Ill., 1996.

RiesgosFinancieros

Riesgo - Crédito

Riesgo - Mercado

Riesgo Operacional

Riesgo de Concentración de Portafolio

Riesgo del Subyacente

Riesgo de Tasa de Interés

Riesgo de Tipo de Cambio

Riesgo Operacional

Riesgo Asociado al Precio de los Commodities

Riesgo Regulatorio

Riesgo del Factor Humano

Riesgo de Error en Valuación

Riesgo de Sistemas

Riesgo de Compensación

Riesgo del Modelo

Riesgo - Contraparte

Riesgo - Emisor

Riesgo Transaccional

Riesgo de CambiosBruscos en Tasa de Interés

Riesgo - Liquidez Riesgo de Transferencia de Dinero

D. Cobertura

Dado que todo ser humano, toda entidad económica, debe asumir durante su vida en varias ocasiones diversas posiciones financieras, y prácticamente no hay un momento en el que no mantenga alguna de estas posiciones, ¿cuál es el siguiente paso una vez que se han identificado los factores de riesgo que pueden ocasionar deterioros de estas posiciones? Inmunizar en la medida de lo posible las posiciones a los efectos perjudiciales de los factores de riesgo y, bajo ciertas condiciones, hacerlo de forma tal que la inmunización sea inteligente, es decir, que nulifique sólo los efectos negativos, pero no los que favorezcan el valor de las posiciones. Estos procesos de inmunización se conocen como coberturas, y suelen realizarse a través de posiciones adicionales en activos o portafolios sintéticos o naturales diseñados con fines específicos: derivados lineales (forwards, FRAs, futuros), derivados no lineales (opciones), derivados de crédito


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(credit default swaps, total return swaps, credit spread options, etc.), opciones reales, derivados energéticos y de clima, etc.

II. Fundamentos de Portafolios

Un portafolio es un conjunto de activos financieros (títulos de deuda, acciones, divisas, derivados, etc.), en posiciones cortas y/o largas, diseñado con un fin específico. Cinco objetivos fundamentales que suelen buscar las instituciones financieras al diseñar portafolios son especulación (comúnmente denominada negociación, porque la palabra especulación es tabú), cobertura, arbitraje, inversión y/o fondeo.

A. Marcación a mercado

Una vez que ya se tiene estructurado el portafolio, a fin de conocer su valor en cualquier momento, es evidente que la operación más sencilla es asignarle a cada título el precio que le corresponde en ese momento en el mercado, es decir, marcar la posición a mercado. Entonces las reglas son básicas, lógicas e intuitivas: se obtiene el precio de mercado de cada uno de los activos que componen el portafolio. Si la información está disponible en spreads, es decir, si existe un precio de compra y otro de venta, entonces se asigna a las posiciones largas el precio de compra y a las posiciones cortas el precio de venta, porque el supuesto fundamental del proceso de marcación a mercado es que la posición se liquida, es decir, que tanto las posiciones cortas como largas se transforman en dinero, y la única forma de hacerlo es vender lo que se tiene (posiciones largas) al precio en que se compra en el mercado, y comprar lo que se debe (posiciones cortas) para saldar el adeudo, al precio en que se vende en el mercado. Sin embargo debe tenerse siempre presente que el proceso de marcación a mercado supone liquidez perfecta, es decir, asumimos que al precio de mercado podremos colocar todo el volumen que pretendamos vender, así como comprar todo lo que queramos.

B. Posición

Es evidente que sólo puede haber dos tipos de posiciones básicas en cualquier instrumento financiero: comprarlo, y mientras se mantenga su tenencia, se conoce por lo tanto como posición larga, o deberlo, en cuyo caso la posición, mientras no sea saldada la deuda, se conoce como posición corta.

C. Rendimientos del portafolio

El rendimiento de un activo en términos porcentuales puede calcularse en forma lineal o geométrica. En ambos casos, lo que se hace es ponderar el rendimiento obtenido en cierto periodo con el monto invertido inicialmente, es decir, la variación en los precios del activo al inicio y al final del periodo, considerando cualquier ingreso adicional conocido que el activo haya generado al final


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del periodo analizado. En nuestro caso, consideraremos en adelante sólo rendimientos porcentuales calculados en forma geométrica:

π=ln(P t+qt

Pt−1) 2.1

Donde: = Rendimiento porcentual geométrico del activo.Pt = Precio del activo en el momento t.Pt-1 = Precio del activo en el momento t-1.qt = Dividendo generado por el activo en el momento t.

Por lo tanto, se asume que los rendimientos de los activos se distribuyen de forma normal, lo que conduce a la necesidad de conocer el rendimiento medio y la volatilidad del activo, que definirán la distribución.

El rendimiento del portafolio en un periodo dado se puede estimar simplemente marcando a mercado el portafolio tanto al inicio como al final del periodo, y estimar después la tasa de crecimiento del valor de mercado en dicho periodo, o como la suma de los rendimientos individuales de cada activo en el periodo, ponderados por el peso de cada activo en el portafolio.

D. Rendimiento Medio

El rendimiento promedio observado de un activo es útil para establecer la dispersión observada. Al realizar estimaciones sobre los rendimientos esperados, el rendimiento esperado del portafolio será determinado a través del promedio ponderado, por la participación de cada activo en el portafolio, del rendimiento esperado de cada activo del portafolio.

1. Efecto de un incremento del rendimiento medio en la distribución

Si el rendimiento medio de un activo o de un portafolio de activos se incrementa, y la volatilidad permanece constante, el efecto en la distribución de los rendimientos del activo será un desplazamiento a la derecha:

Gráfica 9.

Efecto de un incremento del rendimiento medio en la distribución.

2. Efecto de un decremento del rendimiento medio en la distribución

De forma simétrica, un decremento del rendimiento medio provocará, si la desviación estándar o volatilidad permanece constante, un desplazamiento a la izquierda de la distribución.

Gráfica 10.


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Efecto de un decremento del rendimiento medio en la distribución.

E. Frecuencia de distribución de los rendimientos

Al ordenar un gran número de observaciones (en nuestro caso de los rendimientos de un activo o de un portafolio de activos) con base en la frecuencia con que se presentan entre ciertos rangos, será posible definir la forma en que fluctuaron en el pasado: Distribución de Frecuencia y, en caso de que el comportamiento deducido observe un patrón establecido, será posible a partir de ahí, asumiendo un comportamiento similar en el futuro, asignar probabilidades (construir una Distribución de Probabilidad) de rendimientos futuros, para establecer los rendimientos posibles en un horizonte determinado, indicando la probabilidad de ocurrencia.

Gráfica 1.

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

DÍAS

RE

ND

IMIE

NT

O

Rendimientos diarios del activo X en un periodo de 36 días con una desviación estándar de 1.21%.Si contamos la frecuencia con que se presentaron en el periodo rendimientos entre ciertos rangos preestablecidos, obtendremos una gráfica de la distribución de frecuencia:

Gráfica 2.


9


0

1

2

3

4

5

6

-3% -2% -1% 0% 1% 2%

RENDIMIENTO

FR

EC

UE

NC

IA

Distribución de Frecuencia de los rendimientos del activo X en un periodo de 36 días, agrupados en intervalos de 0.50%.

Al observar esta distribución de frecuencia, podemos definir la distribución de probabilidad a partir del mismo comportamiento:

Gráfica 3.

RENDIMIENTO

PR

OB

AB

ILID

AD

Distribución de Probabilidad.

1. Distribución Normal

La Distribución Normal es una Distribución de Probabilidad definida por una curva simétrica en forma de campana, determinada por una media y una desviación estándar. La curva de la normal se dispersa simétricamente de su media en la medida de su desviación estándar, generando dos colas que se extienden una hacia menos infinito y otra hacia el infinito, de forma asintótica. En un portafolio, la media es el rendimiento promedio y la desviación estándar es la volatilidad. De forma inicial, es útil asumir que los rendimientos de los activos financieros aproximan un comportamiento similar a la distribución normal, lo que permite partir de su análisis para establecer probabilidades de rendimientos futuros. Por lo tanto, inicialmente asumiremos que los activos financieros se distribuyen de forma normal.

Gráfica 4.


10


RENDIMIENTO

PR

OB

AB

ILID

AD

RENDIMIENTO

Distribución Normal con Media = y Desviación Estándar = .

La amplia utilización de la distribución normal, que hace de ella la distribución continua más aplicada, se debe a que parece describir adecuadamente el comportamiento de varias poblaciones, porque, de acuerdo al teorema del límite central, dado que su varianza es finita, la suma o promedio de un número razonablemente grande de variables aleatorias independientes entre sí será a su vez una variable aleatoria con una distribución cuasinormal, aun cuando la distribución común de las variables aleatorias individuales sea distinta a la normal.

f ( x )= 1

√2 πσ 2e−( x−μ)2

2σ 2

1.16

Al definir una distribución normal estándar, caracterizada por una media 0 y una desviación estándar de 1, aproximadamente el 68.3% del área bajo la curva normal se encuentra dentro de 1 respecto a la media; el 95.5% dentro de 2 y el 99.7% dentro de 3 2. A mayor desviación estándar, mayor probabilidad de que un evento se desvíe demasiado de su media, es decir, a mayor desviación estándar, más amplia será la distribución y viceversa. Si los rendimientos de los activos se comportan de forma normal, a mayor volatilidad (desviación estándar), menos estrecha será la distribución y, por lo tanto, será mayor el riesgo.

Gráfica 5.

RENDIMIENTO

PR

OB

AB

ILID

AD

RENDIMIENTO

Distribución Normal Estándar: = 0 y = 1.

2 Regla de Tchebychev.


11


2. Intervalos de Confianza

Si se asume una distribución normal, es posible definir la probabilidad de obtener rendimientos dentro de cierto rango al determinar el área bajo la curva correspondiente al rango definido, a través de la integración de la fórmula correspondiente a la curva normal o aplicando las tablas estadísticas correspondientes a la distribución normal estándar, lo cual implica que antes se estandaricen los valores a través de la siguiente fórmula:

z=x i−μ

σ

1.17

Donde:z = Variable estandarizada que representa el número de desviaciones estándar respecto de la

media.xi = Observación i del rendimiento del activo. = Rendimiento medio del activo. = Volatilidad de los rendimientos del activo.

Ejemplo 1:

Si los rendimientos del activo X se distribuyen de forma normal, con media de 15% y desviación estándar de 5%. ¿Cuál será la probabilidad de que el rendimiento se encuentre dentro de un 12% y un 18%?

Los límites del rango definido, 12% y 18%, se estandarizan: -0.60 y 0.60, respectivamente. En la tabla estadística de la distribución normal estándar se ubica el valor correspondiente a 0.60: 0.7257, que representa el área bajo la curva normal estándar que se encuentra a la izquierda de 0.60. Por lo tanto, dado que el área total bajo la curva suma 1, el área a la derecha del límite superior es: 1–0.7257=0.2843. Debido a la simetría de la curva respecto a su media, debemos suponer que el área a la izquierda del límite inferior es también de 0.2843, por lo que el área comprendida entre el 12% y el 18% es 0.7257-0.2843=0.4414. En consecuencia, la probabilidad de que el rendimiento se encuentre entre el 12% y el 18% es de 44.14%.

F. Volatilidad

La volatilidad, como ya se definió previamente, es la dispersión de los rendimientos de un activo o de un portafolio alrededor de su media. Por lo tanto, suele utilizarse en su estimación la desviación estándar al evaluar un solo activo y el análisis de varianza-covarianza al evaluar un conjunto de activos, es decir, un portafolio. Posteriormente se revisarán algunos métodos de estimación de la volatilidad, pero antes debe precisarse la forma de aproximar los datos obtenidos para periodos distintos de los que se desea evaluar.

1. Agregación en el tiempo

Al agregar los rendimientos medios y la volatilidad a través del tiempo, se partirá de dos supuestos fundamentales acerca del comportamiento de los rendimientos de los activos:

1. Siguen una Caminata Aleatoria, es decir, no están autocorrelacionados en periodos sucesivos.2. Su distribución en el tiempo es idéntica.

Por lo tanto, el rendimiento esperado en cualquier momento futuro es el rendimiento esperado para un día tantas veces como días perdure el plazo que nos interesa. En consecuencia, tanto los rendimientos como su varianza se incrementan linealmente a través del tiempo, expresado como fracción de un año de 252 días, es decir, del número de días operados en el año. Por consenso, se suelen considerar 12 meses de 21 o 22 días.


12


xT−t=xa ( T−t252 ) , σ T−t

2 =σ a2 ( T−t

252 ) 1.19

Donde:xT−t = Rendimiento medio del periodo T-t.

xa = Rendimiento medio anualizado.

σ T−t2

= Varianza del periodo T-t.

σ a2

= Varianza anualizada.T-t = Número de días que se desean considerar.

Al despejar la fórmula de la varianza para obtener la forma de agregar a través del tiempo la volatilidad, resulta que la volatilidad se incrementa con la raíz cuadrada del tiempo, expresado como la fracción de un año.

σ T−t=√σT−t2 =√σ a

2 ( T−t252 )=σ a√ T−t

2521.20

G. Correlación

Al estimar la covarianza se enfrenta la dificultad de interpretar la magnitud resultante, por lo que la alternativa utilizada es estandarizar la covarianza a través del cuadrado de las desviaciones de cada variable. El coeficiente determinado, conocido como coeficiente de correlación, delimita por lo tanto los valores estandarizados de la covarianza a un rango entre –1 y +1. En consecuencia, el coeficiente de correlación es una medición del nivel en que dos o más variables reaccionan al mismo estímulo en forma semejante, opuesta o no relacionada, limitando las ponderaciones a:

-1 < x,y < 1

ρx , y=∑i=1

n

( x i− x )( y i− y )

√∑i=1

n

(x i− x )2∑i=1

n

( y i− y )21.15

Como podemos deducir fácilmente, la correlación entre dos variables puede también interpretarse como el cociente de dividir la covarianza entre ambas variables entre el producto de las desviaciones de cada variable.

1.15.1

La correlación entre dos activos, como ya vimos, mide qué tan paralelamente se desplazan sus rendimientos. La correlación entre dos activos puede ser positiva, negativa o independiente.

(i) Correlación Positiva

Los rendimientos de activos positivamente correlacionados tienden a desplazarse simultáneamente en la misma dirección. Mientras más cercano a 1 sea el valor de la correlación, más fuerte será la tendencia a desplazarse en la misma dirección.


13


Gráfica 6ACTIVO 2

ACTIVO 1

Correlación Positiva entre el Activo 1 (Eje X) y el Activo 2 (Eje Y). Si el Activo 1 observa un rendimiento positivo, también lo hará el Activo 2. Cuando el Activo 1 observa rendimientos negativos, también lo hace el Activo 2.

(ii) Correlación Negativa

Los rendimientos de activos negativamente correlacionados tienden a desplazarse simultáneamente en dirección opuesta. Mientras más cercano a -1 sea el valor de la correlación, más fuerte será la tendencia a desplazarse en sentido opuesto.

Gráfica 7.ACTIVO 2

ACTIVO 1

Correlación Negativa entre el Activo 1 (Eje X) y el Activo 2 (Eje Y). Cuando el Activo 1 observa rendimientos positivos, los rendimientos obervados por el Activo 2 son negativos. Cuando el Activo 1 observa rendimientos negativos, el Activo 2 observa rendimientos positivos.

(iii) Correlación Nula


14


Los rendimientos de activos no correlacionados se desplazan de forma independiente. Mientras más cercano a 0 sea el valor de la correlación, mayor independencia habrá entre los rendimientos de los dos activos.

Gráfica 8.ACTIVO 2

ACTIVO 1

Correlación independiente entre el Activo 1 (Eje X) y el Activo 2 (Eje Y). Cuando el Activo 1 observa rendimientos positivos, los rendimientos observados por el Activo 2 pueden ser positivos o negativos, por lo que no existe correlación.

H. Correlación y volatilidad

La estructura de correlación de un portafolio puede ser modificada alterando la posición en algunos de los activos. Si se tiene un portafolio con posiciones largas en el activo X y en el activo Y, donde la correlación entre ambos es positiva, al modificar la posición de larga a corta en cualquiera de ellos el resultado será que en adelante los rendimientos de dicho activo cambiarán de signo y, por lo tanto, tenderán a surgir ganancias en uno de los activos cuando surjan pérdidas en el otro, es decir, se genera un efecto de inmunización del riesgo de uno de los activos a variaciones en el precio de mercado. En buena medida esta lógica subyace a la cobertura lineal óptima, estructurada a través de contratos forwards y futuros o de coberturas sintéticas lineales, porque se crea un portafolio con dos activos cuyos rendimientos se desplazan en sentidos opuestos. Si la correlación entre ellos es positiva, el flujo contrario será generado porque las posiciones son opuestas: larga y corta. Si la correlación es negativa, el flujo contrario será generado por sí solo al mantener posiciones iguales en los dos activos: larga y larga o corta y corta.

1. Correlación y Riesgo

El riesgo de un portafolio depende, entre otros factores, de la correlación entre sus activos. Si la correlación es positiva, los activos del portafolio se desplazarán simultáneamente tanto a favor como en contra, por lo que los rendimientos fluctúan sobre márgenes más amplios y, por lo tanto, el riesgo del portafolio será mayor. Si los activos están negativamente correlacionados, uno de los activos perderá mientras el otro gana y viceversa, por lo que los rendimientos del portafolio fluctuarán en márgenes menores incluso a los de la fluctuación de cada uno de los activos por separado, disminuyendo por lo tanto el riesgo del portafolio. Si los rendimientos de los activos del portafolio están independientemente correlacionados entre sí, se comportarán algunas ocasiones en forma opuesta y algunas otras en forma paralela, por lo que los rendimientos del portafolio fluctuarán en rangos moderados, es decir, sin incrementar ni reducir significativamente el riesgo del portafolio.


15


2. Matriz de Correlaciones

Cuando el portafolio está constituido por más de dos activos, el análisis se realiza a través del análisis de las parejas posibles, por lo que se utiliza una matriz de correlaciones que presenta las correlaciones de cada par de activos posible dentro del portafolio. Dado que, por definición, cada activo estará perfectamente correlacionado consigo mismo, los valores a lo largo de la diagonal de la matriz serán cada uno igual a la unidad.

Ejemplo 2:Matriz de correlaciones.

CT91 TMXL IPCCT91 1TMXL 0.0054393 1IPC 0.0418585 0.2471744 1

3. Matriz de Varianza – Covarianza

Para determinar la volatilidad de un portafolio, debemos conocer previamente la matriz de varianza–covarianza, a partir de las volatilidades de cada activo individual y de las correlaciones entre ellos. Para obtenerla, multiplicaremos cada elemento de la matriz de correlación por la volatilidad de los activos de la pareja correspondiente (fila y columna de la matriz), dado que (véase función 1.15.1):

ρxy=σ xy

σ x σ y

, σ xy=ρxy σ x σ y

1.18

Debido nuevamente a que cada activo está perfectamente correlacionado consigo mismo, y por lo tanto su correlación es igual a 1, los elementos en la diagonal de la matriz de varianza-covarianza son las varianzas de cada activo del portafolio, y el resto de los elementos son las covarianzas de cada pareja del portafolio. La matriz de varianza – covarianza es simétrica debido a que se deriva de la matriz de correlaciones, la cual también es simétrica.

Ejemplo 3:Si las volatilidades de los activos del ejemplo 2 fueran las siguientes:

Tendríamos que la matriz de varianza – covarianza quedaría como sigue:

CT91 TMXL IPCCT91 0.0001537TMXL 0.0000007 0.0001028IPC 0.0000054 0.0000260 0.0001078

Para determinar la volatilidad a partir de la matriz de varianza – covarianza, se requiere además el vector de las ponderaciones de cada activo en el portafolio. De hecho, dado que cada elemento de la matriz de varianza – covarianza es determinado a partir de una pareja de activos, si multiplicamos la ponderación de cada activo de dicha pareja por el elemento correspondiente de los 9 que conforman la matriz de varianza – covarianza, y a la sumatoria de esos (mxn) productos le calculamos la raíz cuadrada, se habrá obtenido la volatilidad del portafolio.


16


Ejemplo 4:Siguiendo con el caso del ejemplo anterior, si las ponderaciones fueran estas:

PONDERACIÓNCT91 20.00%TMXL 45.00%IPC 35.00%

Se tendría el siguiente resultado:

0.00000614780.00000012310.0000007543

+ 0.00002082120.00000819660.00001320350.0000492464

σ=√0 .0000492464=0.0070175753

Por lo tanto, la volatilidad del portafolio es 0.7018%. Resulta evidente que con un número mayor de activos esta manipulación es engorrosa, por lo que, como veremos más adelante, es mejor utilizar álgebra matricial.

I. Diversificación

El efecto diversificación, intuitivamente entendido desde hace siglos, y elegantemente formalizado por Markowitz a mediados del siglo XX, se sintetiza de forma maravillosa en la conocida frase de que no se metan todos los huevos en la misma canasta: siempre existe el riesgo de romperlos, pero si se distribuyen la probabilidad de que el accidente que ocasione la no deseada ruptura impacte a todas las canastas, y a todos los huevos, se reduce significativamente, o tendrían que presentarse varios accidentes, tantos como canastas se utilicen. La probabilidad de que se sucedan con tanta frecuencia eventos catastróficos de este tipo es muy baja, por lo que en síntesis, la probabilidad de que algunos de los huevos sobrevivan a cualquier accidente se incrementa enormemente al guardarlos en varias canastas. Jorion cita en el capítulo de su libro dedicado al riesgo del portafolio, a Erasmo, quien dijo: “No confíes todos tus bienes a una sola nave”. La diversificación puede tomar perfiles tan complejos como el incluir en el portafolio no sólo distintas emisiones del mismo tipo de activo (acciones de diversos sectores económicos, por ejemplo), diferentes activos (distintas emisiones de bonos cuponados, acciones, derivados, etc.), sino diversificar incluso el riesgo país diseñando un portafolio internacional.


17


III. Fundamentos teórico-prácticos de la estimación del riesgo

A. El Principio de Diversificación de Markowitz

Cualquiera de las herramientas actuales que pretendan cuantificar el riesgo financiero tendrá como antecedente fundamental el trabajo de 1959 de Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. El primer supuesto es que cada decisión tomada durante el proceso de diseño del portafolio puede estructurarse en función de la expectativa de rendimiento medio y la desviación estándar de los rendimientos del portafolio. Resalta entonces que el punto de partida de Markowitz es reconocer que el valor de los activos financieros es literalmente el reflejo de las expectativas sobre el valor futuro, como hemos dejado claro previamente al reseñar la evolución de los activos financieros, y pretende matematizar tales expectativas, si bien claramente acota las limitantes del rendimiento medio y la desviación estándar, que suponen reversión a la media y por lo tanto dan por sentado que los rendimientos observan una distribución simétrica. Las principales conclusiones de Markowitz son:

Aun cuando el rendimiento de un portafolio es un promedio simple ponderado de los rendimientos individuales de cada activo, el riesgo del portafolio será típicamente menor al promedio ponderado de los riesgos individuales de cada activo.

Principio de diversificación: Mientras menores sean las correlaciones entre los activos que compongan un portafolio, menor será el riesgo del portafolio.

Puede interpretarse que el riesgo individual de cada activo del portafolio se compone de dos elementos: Una parte de ese riesgo es diversificable, es decir, puede reducirse o anularse del todo a través de una óptima combinación de tales activos con algunos otros disponibles en el mercado. El riesgo remanente tendrá que ser asumido por el tenedor del portafolio.

De esta forma el proceso de selección de portafolios se redujo a la optimización: la búsqueda del portafolio tal que permita una maximización del rendimiento simultánea con una minimización del riesgo, y la correlación entre distintos activos financieros se convirtió en el principal insumo definitorio del perfil del portafolio óptimo. Además, a partir de estos desarrollos se entendió con


18


claridad meridiana, por primera vez, que ningún activo financiero puede evaluarse en forma aislada, pues finalmente la decisión de incorporarlo o no al portafolio dependerá en forma crucial, no directamente de las características individuales del activo, sino de su contribución al rendimiento medio y a la desviación estándar del portafolio.

Desgraciadamente la aplicación práctica del enfoque de Markowitz, que presupone la disponibilidad de la matriz completa de varianza-covarianza, es decir, una medición exacta de los rendimientos medios, desviaciones estándar y correlaciones de todos los activos del portafolio, implica diversos y serios problemas de implementación si el número de activos es relativamente grande, sobretodo si los rendimientos no son conjuntamente estacionarios, lo que forzosamente nos conduce a modelar el riesgo, en términos de varianzas y correlaciones, en función de las características subyacentes del activo. Con este objetivo en mente, uno de los grandes avances en la ruta fue el famoso Capital Asset Pricing Model (CAPM).

B. Riesgo sistemático y riesgo residual: El Capital Asset Pricing Model (CAPM)

La obra de Markowitz revolucionó el pensamiento económico, sobre todo en un aspecto hasta entonces ignorado por la academia: la economía financiera, que gracias a la selección estructurada de portafolios pudo disponer de una amplia gama de nuevas oportunidades a los economistas financieros con orientación cuantitativa, que se habían visto relegados hasta entonces por el énfasis académico en las finanzas corporativas y el análisis de estados financieros. Posteriormente Sharpe, Lintner y Mossin introdujeron, con el afán de simplificar, el supuesto de expectativas homogéneas, que consiste en suponer consenso de todas las partes interesadas sobre los rendimientos esperados, desviaciones estándar y correlaciones de todas y cada una de las alternativas de inversión disponibles en el mercado. Entonces puede concluirse que cada agente del mercado enfrenta el mismo conjunto de oportunidades, y dado que se comportan de forma racional elegirán todos el mismo portafolio óptimo.

La formalización de este modelo condujo al famoso CAPM, que dominaría el pensamiento económico durante los siguientes años. Es considerado un modelo de equilibrio normativo, en el sentido de que describe el funcionamiento ideal del mundo si los agentes del mercado fueran racionales y los mercados fueran eficientes, interpretando la eficiencia de un mercado como su capacidad para reflejar inmediatamente, y de forma precisa, cualquier información relevante, a través del factor matemático de equilibrio: el precio. Bajo estas circunstancias, se retribuirá sólo la adopción de riesgo no diversificable, pues no sería racional esperar retribución alguna por asumir un riesgo que puede anularse con estrategias de optimización de portafolios, es decir, un riesgo susceptible de ser eliminado por parte del tenedor del portafolio a través de la aplicación de herramientas universales en un mercado eficiente formado por agentes absolutamente racionales. Si no hay beneficio por asumir una posición más riesgos, entonces todos los agentes racionales del mercado convergerán a portafolios cuyo único riesgo es el no diversificable, o ningún portafolio del mercado está expuesto a riesgo diversificable:

Donde:

= Rendimiento esperado en el activo o portafolio i.


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=Rendimiento esperado en el portafolio ponderado por capitalización de todos los activos, o portafolio prototipo del mercado.

= Rendimiento libre de riesgo.

=Covarianza entre los rendimientos del activo o portafolio i y los del portafolio prototipo del mercado.

= Varianza de los rendimientos del portafolio prototipo del mercado.

En el mundo ideal del CAPM la intermediación financiera, sobre todo en las actividades vinculadas directamente con la formación de precios, no tiene sentido, pues evidentemente todos los inversionistas convergerían al mismo portafolio, el portafolio de mercado que por definición no está sólo eficiente, sino perfectamente diversificado, y dado que la beta, tanto conceptual como formalmente, es el factor que determina de forma absoluta y completa el rendimiento esperado, entonces todos nuestros esfuerzos podrían concentrarse en estimar la covarianza de cada instrumento respecto del portafolio prototipo y la varianza del portafolio. La comprobación empírica del modelo es, por supuesto, imposible, al menos en el estado actual de la información y la tecnología, dado que no es posible estimar ni los rendimientos esperados ni el portafolio prototipo que contiene todos los activos del mercado, incluso los que no generan información centralizada.

Por lo tanto el mérito esencial del CAPM no se vincula tanto a su formalización de la función generadora del rendimiento ideal, sino en su fabulosa contribución para estructurar la descomposición y cuantificación del riesgo. Después de algunos intentos de validación empírica del modelo a través de regresiones, actualmente es aceptado de forma más o menos generalizada que, dado que:

o Los rendimientos realizados, u observados, en periodos considerablemente amplios, no reflejan con precisión las expectativas de rendimiento formadas previamente; y

o Si se construye un índice que pretenda reflejar los rendimientos del mercado, suponiendo en la regresión que existe un factor que estima los rendimientos de cada activo no relacionados con el índice y que dicho factor tiende a cero, es decir, si se supone por construcción que el índice refleja o aprehende de forma perfecta el mercado, se encuentra que nunca sucede.

La formalización más sencilla del modelo de regresión es el siguiente, tomando como variable dependiente el spread entre el rendimiento en el activo o portafolio de interés y la tasa libre de riesgo para un mismo periodo:

Donde:

= Rendimiento del activo o portafolio i en el periodo t.

= Rendimiento del activo o portafolio i no relacionado con el índice.

= Rendimiento libre de riesgo en el periodo t.

Índice m de rendimiento en el mercado en el periodo t.

= Rendimiento residual del activo o portafolio i en el periodo t.

Entonces no existen argumentos sólidos, hasta el momento, para validar empíricamente el modelo, pero tampoco para invalidarlo. Sin embargo la regresión permite segmentar el rendimiento de un activo en dos componentes: uno relacionado al índice y otro residual, que no se acerca a cero, por lo que esta segregación puede aplicarse respecto de cualquier índice y no requiere del respaldo de ninguna teoría financiera, lo que significa que, en la segregación del riesgo de un activo, el riesgo total de un activo dado, o portafolio, puede segmentarse en dos componentes ortogonales, de los


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cuales uno está relacionado al índice y el rendimiento residual es por completo independiente; además, la estimación fundamental del riesgo de un activo o portafolio es su beta, definida, a partir de los rendimientos excesivos en el activo o portafolio y el índice, como el cociente entre la covarianza y la varianza del índice.

En consecuencia, los desarrollos con base en un modelo de índice único que pretendían poner a prueba, desde un enfoque empírico, la factibilidad del CAPM, paradójicamente han sobrevivido como una de las grandes aportaciones de la economía aplicada, al permitir la segmentación del riesgo de un activo o portafolio en dos tipos de fuentes de riesgo: el sistemático, relacionado con el mercado y aprehendible a través del índice, y el residual, donde el factor que estima este último no necesariamente debe ser igual o distinto a cero, dado que no subyace ninguna teoría financiera.

De hecho, se asume que el riesgo residual es atribuible por completo al riesgo negocio específico de la emisora de la acción y se diversificará rápidamente, dado que no hay correlación entre los rendimientos específicos de las compañías. La aplicación práctica más importante del modelo de índice único se ha concentrado de forma típica en las estrategias de optimización de coberturas a través de derivados, en particular futuros listados sobre índices bursátiles.

Didácticamente resulta muy útil, aunque en la actualidad es un enfoque considerado ya prácticamente obsoleto, distinguir entre betas demasiado reactivas a los desplazamientos del mercado (>1), betas cuya velocidad es prácticamente igual a la del mercado (1) y betas menos reactivas (1), porque si un portafolio tiene una beta como esta última, a cambio de que ganará relativamente menos que el mercado en un escenario de alza, perderá también menos si el mercado baja, mientras que un portafolio agresivo ganará más que el mercado en las alzas y perderá más en las bajas.

Rendimiento del índice

Ren

dim

ien

to d

e ca

da

acci

ón

>1 1

1

>11

1

Actualmente, sin embargo, se reconoce ampliamente, tanto en el ámbito de la investigación pura como en la academia y en la práctica, que el riesgo no puede explicarse por una sola variable, y en consecuencia los desarrollos más recientes se han orientado de forma natural a modelos de factores múltiples.

C. Modelos de factores múltiples: Arbitrage Pricing Theory (APT)

La naturaleza multifactorial del riesgo se ha evidenciado empíricamente desde finales de la década de los sesenta, sin embargo fue notoriamente retomada a través del trabajo de Ross, publicado en


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1976, The arbitrage theory of capital assets pricing, y cuyo modelo es actualmente identificado como Arbitrage Pricing Theory (APT). El APT, a grandes rasgos una generalización del CAPM, aplica supuestos menos restrictivos, eliminando por ejemplo la enorme restricción de que las decisiones de los agentes del mercado se realicen sólo tomando como base el rendimiento medio y la volatilidad, y asume que el precio de cualquier activo financiero se compone de una multitud de primas de riesgo que deben retribuirse al tenedor dispuesto a asumir tales riesgos.

Desafortunadamente la teoría no profundiza en la cantidad, identificación, ponderación y naturaleza de los factores de riesgo que intervienen. Aun cuando se ha avanzado empíricamente al respecto, y se ha logrado identificar por ejemplo que el modelo consiste básicamente en decomponer la matriz de covarianza completa original de Markowitz en riesgos relacionados a factores diversos y riesgos residuales, no hay consenso en la identificación de los factores pertinentes, por lo que suelen aceptarse tres grandes enfoques3, en función de los componentes que se presupone se conocen del activo para el periodo de interés, de entre el vector de rendimientos extraordinarios (que exceden la tasa libre de riesgo): ; la matriz de las exposiciones del activo a los diversos factores de riesgo: ; el vector de primas de riesgo: ; y el vector de los rendimientos residuales, :

o Los modelos de factores fundamentales asumen como datos dados y estiman .

o Los modelos macroeconómicos toman como datos y estiman .

o Los modelos estadísticos intentan estimar tanto la matriz como el vector de forma simultánea.

Los modelos de factores fundamentales gozan de una relativa mayor aceptación por varias razones, entre ellas la velocidad de reacción de los pronósticos en comparación con los otros enfoques; la posibilidad de adaptarlo a herramientas adicionales, como los modelos GARCH, para refinar los resultados; y la facilidad con que se puede comunicar a las áreas de negocio. De cualquier forma, los modelos de factores múltiples aportan a la estimación de riesgos, sobre todo, la posibilidad de separar claramente diversos factores, distinguiendo entre las fuentes estructurales de riesgo y las que son meramente incidentales.

D. Riesgo absoluto y riesgo relativo

Una vez que se ha adoptado un modelo confiable de estimación del riesgo, debe aclararse que la necesaria existencia de usuarios distintos determina forzosamente conceptos diferenciados de riesgo: los encargados de la operación diaria en un intermediario concentrado en actividades especulativas, como los formadores de mercado, o incluso los tesoreros corporativos, buscarán no perder dinero y, de ser posible, ganar algo más, lo máximo posible, sobre el rendimiento mínimo que se obtendría simplemente invirtiendo los recursos a un plazo dado, por lo que resulta sumamente útil el concepto del Value at Risk como el parámetro definitorio.

Los administradores de inversiones, por otro lado, se concentrarán más en superar cierto portafolio prototipo, o parámetro, normalmente algún índice, identificado con frecuencia como benchmark. Es por esto que la mayor parte de los actuales proveedores de precios en México ofrecen estos

3 Véase Beckers, Stan. A Survey of Risk Measurement Theory and Practice, en Alexander, Carol. Risk Management and Analysis, Volume 1: Measuring and Modelling Financial Risk, John Wiley & Sons, 1998, UK, pp. 44-45.


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servicios diariamente: benchmarks prefabricados de mercado de dinero, o incluso la posibilidad de que el usuario defina su propio benchmark, que se actualizará automáticamente.

De esta forma se establece una distinción importante, que posteriormente abordaremos a mayor detalle: no es lo mismo considerar como posición en riesgo la diferencia entre el valor inicial del portafolio y su valor final, es decir, su posible pérdida en términos absolutos, que la diferencia entre el valor que se esperaba obtener, y su valor final, es decir, la peor pérdida relativa, en términos del rendimiento esperado, dado que el portafolio debía generar un rendimiento positivo mínimo.

Hasta ahora nos hemos concentrado en el enfoque tradicional que enfatiza la cuantificación del riesgo de mercado a través de la aplicación de los conceptos de varianza, matriz de varianza-covarianza y volatilidad. Sin embargo el uso extensivo de los derivados hace evidente que estas herramientas no son ya apropiadas, no obstante que no haya surgido todavía una alternativa de estimación del riesgo generalmente aceptada. Conceptos como la cointegración, la semivarianza, valores extremos y otros se están volviendo paulatinamente centrales en el tema, pero desafortunadamente su uso ampliado depende sobremanera de una caracterización más robusta de los momentos superiores de las distribuciones de los rendimientos de los activos subyacentes: “El académico que pueda compatibilizar el éxito del concepto de diversificación de Markowitz para incluir distribuciones asimétricas probablemente tiene un premio esperando por él en Estocolmo.4”

4 Ibíd., pp. 58.


23


IV. Valuación y sensibilidades de activos financieros

A. Mercado de divisas

La operación diaria, incluso durante las veinticuatro horas del día, de divisas en distintas plazas expandió lo que se conoce como mercado cambiario, donde es posible por lo tanto intercambiar de forma prácticamente inmediata, vía electrónica o telefónica, cualquier divisa por otra.

1. Teorías de la paridad cambiaria

Al tratar de definir las variables que definen la paridad cambiaria, es decir, la cantidad de una divisa que deberá entregarse para comprar otra, se enfrentan actualmente dificultades derivadas de la ausencia de regímenes de tipo de cambio fijos y de esquemas monetarios tan determinísticos como el patrón oro, o el patrón cambio – oro. Evidentemente el tipo de cambio lo fija el mercado, a través de la oferta y la demanda. Sin embargo, ¿cuáles son las variables subyacentes que determinan ahora el valor de la moneda de un país determinado? No se trata ya de la producción de un solo bien de la economía, entonces podría pensarse que en cierta forma se establece un equilibrio derivado de los niveles de la balanza de pagos.

Otra explicación es la paridad del poder adquisitivo de un país, comparado con el poder adquisitivo del otro, lo que se identifica como la paridad del poder adquisitivo.

Una de las explicaciones más aceptadas, sin embargo, es el de la paridad de las tasas de interés, donde se parte del supuesto de que la tasa de interés de un país refleja, además del riesgo país, los niveles de inflación y el poder adquisitivo, por lo que una buena forma de estimar el tipo de cambio es medir el diferencial en paridad de las tasas de ambos países.

Al mismo tiempo, a partir de la suposición de que el mercado de cambios determina su precio de equilibrio con base en la paridad de las tasas de interés, es lógico deducir que en el momento en que dicho precio no cumpla con la paridad habrá de inmediato oportunidades de arbitraje, realizando operaciones cruzadas de varias divisas.

2. Principales relaciones de arbitraje

Este tipo de mercados altamente versátiles permiten un alineamiento más eficiente de los precios. Si en un momento dado el precio de una divisa contra otra, u otras, no está alineado, se genera la posibilidad de realizar arbitrajes.

El Arbitraje se distingue de la especulación porque debe cumplir las siguientes características básicas:

Operaciones simultáneas en dos o más mercados: Un activo o combinación de activos es relativamente más barato que otro activo o combinación de activos.

Libre de riesgo de mercado: Todos los precios, tanto los de entrada como los de salida, se conocen previamente.

Genera rendimiento mayor a la tasa libre de riesgo: Si el rendimiento generado por el arbitraje es menor que la tasa libre de riesgo, es racionalmente más conveniente invertir a la tasa libre de riesgo, por lo tanto un arbitraje lo es si y sólo si el rendimiento obtenido supera a la tasa de mercado que se considera teóricamente libre de riesgo.

Si fuera posible comprar, por ejemplo, dólares con pesos, y posteriormente utilizar los dólares para adquirir yenes, los yenes para adquirir marcos alemanes y los marcos alemanes cambiarlos por libras esterlinas, para finalmente, con libras esterlinas, comprar pesos, el resultado final es nuevamente una posición en pesos. Si la cantidad final en pesos supera a la cantidad invertida inicialmente para la compra de dólares, y este rendimiento es a su vez superior al que se habría obtenido invirtiendo los pesos a la tasa libre de riesgo en el país de origen, México en este caso,


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entonces habremos realizado un arbitraje con divisas. En realidad, habría que considerar el cargo por comisiones y por el esquema fiscal aplicable en cada caso, y de hecho podría no ser necesario incluso utilizar como benchmark la tasa de interés del país, pues otra posibilidad es realizar todas las operaciones de contado, aun cuando su liquidación sea 48 horas, una utilidad así es un arbitraje en todos los sentidos.

B. Mercado de deuda

Los instrumentos de deuda, que amparan operaciones de fondeo a instituciones privadas o gubernamentales, así como bancos, han evolucionado mucho en los últimos años, se han bursatilizado y actualmente se operan volúmenes muy importantes a través de brokers electrónicos. Básicamente hay tres grandes grupos:

o Bonos cupón cero: Títulos a un plazo determinado, que devengan intereses una sola vez, al vencimiento, a una tasa de rendimiento determinada al inicio, y que amortizan el nominal también al vencimiento. Normalmente se operan a descuento, por lo que hay que distinguir entre la tasa de rendimiento y la tasa de descuento. Los plazos de estos instrumentos suelen ser relativamente cortos, excepcionalmente superan un año, por lo que suele considerarse al bono cupón cero de más corto plazo y de mayor liquidez emitido por el gobierno federal de cualquier país, el instrumento cuya tasa es el prototipo de la tasa libre de riesgo, es decir, la curva base que determina en cierta forma la tendencia de las demás tasas, las cuales variarán dependiendo tanto del plazo como de la calidad del emisor ,pero todas, en alguna medida, en relación al piso fijado por el bono cupón cero federal de alta liquidez y más corto plazo. En nuestro país este bono son los Certificados de la Tesorería de la Federación a 28 días (CETES 28), emitidos por el gobierno federal a través del Banco de México, aunque hay plazos superiores: 91, 180, 270, etc. Otro bono cupón cero común en nuestro país es el Pagaré con Rendimiento Liquidable al Vencimiento, o PRLV, emitido por instituciones bancarias, y que suelen a su vez clasificarse en tres grandes grupos, dependiendo de la calidad del banco emisor. Los bonos cupón cero emitidos por empresas privadas en nuestro país se conocen como papel comercial.

o Bonos con cupones a tasa variable: Títulos emitidos también por el gobierno federal, bancos o empresas privadas, normalmente a plazos medianos o largos, que en consecuencia generan intereses no sólo al vencimiento, sino en intervalos más o menos fijos durante la vida del instrumento, a una tasa variable que a su vez depende de uno o más factores claramente especificados. El monto nominal puede amortizar en una sola exhibición al vencimiento o en varias durante la vida del instrumento, bajo una regla preestablecida y en intervalos que pueden o no coincidir con el calendario de cortes de cupones.

o Bonos con cupones a tasa fija: Títulos emitidos por el gobierno federal, bancos o empresas privadas, normalmente a plazos medianos o largos, que en consecuencia generan intereses no sólo al vencimiento, sino en intervalos más o menos fijos durante la vida del instrumento, a una tasa fija predeterminada desde la emisión del instrumento. El monto nominal puede amortizar en una sola exhibición al vencimiento o en varias durante la vida del instrumento, bajo una regla preestablecida y en intervalos que pueden o no coincidir con el calendario de cortes de cupones.

Pueden darse variantes de estos instrumentos, como bonos con opciones, tasas reales, bonos convertibles, etc. En el caso de instrumentos que contemplan cupones, independientemente de que la tasa del cupón sea variable o fija, que el nominal amortice o no, que sea o no convertible, y que contemple o no opciones, suele distinguirse por varias razones prácticas entre precio sucio y precio limpio. El precio sucio, como se verá, es la sumatoria del valor presente de cada flujo esperado, incluyendo los intereses devengados por el cupón vigente pero que por supuesto todavía no son liquidados. El precio limpio es el precio sucio, pero sin los intereses devengados.


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1. Valuación

o Los bonos cupón cero se valúan simplemente como el valor presente del nominal, dado que operan a descuento, utilizando la tasa de rendimiento correspondiente y el número de días por vencer del instrumento:

Precio con tasa de rendimiento

Precio con tasa de descuento

Tasa de rendimiento a partir de tasa de descuento

Tasa de descuento a partir de tasa de rendimiento

Donde:= Precio.= Valor nominal del título en moneda nacional.= Tasa de rendimiento anual.= Día de vencimiento.= Día de valuación.= Días por vencer.= Tasa de descuento.

o Los bonos con cupones a tasa variable se valúan sumando el valor presente de todos los flujos esperados:

Fórmula general

Dado que tanto el valor nominal como la tasa cupón son factores fijos, si los plazos de los cupones son variables y la subasta o valuación es posterior a la colocación, es decir, hay un cupón que ya está transcurriendo (cupón vigente), y no se conoce el rendimiento a vencimiento del título, entonces la fórmula general de valuación es la siguiente:

Precio del bono

Valor del cupón i

Factor de descuento para el flujo de efectivo i


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Fórmula simplificada

Si se conoce el rendimiento a vencimiento, es decir, el que se obtendría si se conserva el título a vencimiento, y se supone fijo el plazo en días de todos los cupones, entonces, debido a que se descuentan todos los flujos con la misma tasa de rendimiento, la fórmula se simplifica:

Supuestos:Rendimiento a vencimiento conocido

Plazo en días fijo para todos los cupones

Precio del bono

Valor del cupón

Rendimiento a vencimiento para el periodo del cupón

Donde:= Precio limpio.= Valor nominal del título en moneda nacional.= Número de cupones por liquidar, incluyendo el vigente.= Número de días transcurridos del cupón vigente.= Día de vencimiento del cupón i.

= Día de inicio del cupón i.

= Plazo del cupón i.

= Cupón i.

= Tasa de interés anual del cupón.= Factor de descuento para el flujo de efectivo i.

= Tasa de interés relevante para descontar el cupón i.

= Rendimiento a vencimiento para el plazo del cupón.= Rendimiento a vencimiento anual.

En subasta primaria se cotiza a precio limpio y se liquida precio sucio, por lo que el precio de la postura, y en su caso de la asignación, será el resultado de la fórmula previa, pero para obtener el precio a liquidar deberán sumarse los intereses devengados del cupón vigente.

o Los bonos con cupones a tasa fija también se valúan sumando el valor presente de todos los flujos esperados:

Fórmula general

Dado que el valor nominal es fijo, si los plazos de los cupones son variables y la subasta o valuación es posterior a la colocación, es decir, hay un cupón que ya está transcurriendo (cupón vigente), y no se conoce el rendimiento a vencimiento del título, entonces la fórmula general de valuación es la siguiente:


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Precio del bono

Valor del cupón i

Factor de descuento para el flujo de efectivo i

Tasa interna de retorno esperada para el cupón i

Fórmula simplificada

Para i=1 (cupón vigente) se conoce la información necesaria, pero se ignoran el plazo, la tasa cupón, la tasa de interés para descontar los flujos y la sobretasa correspondientes a cada uno de los cupones restantes, por lo que se simplifica suponiendo que estos factores son fijos y que las tasas cupón no conocidas son además iguales a la tasa para descontar los flujos:

SupuestosPlazo en días fijo para todos los cupones

Tasa de interés anual constante para todos los cupones posteriores al vigente

Tasa de interés relevante para descontar los flujos fija para todos los cupones

Sobretasa fija para todos los cupones

Igualdad entre la tasa cupón constante para los cupones posteriores al vigente y la tasa para descontar los flujos

Precio del bono

Valor del cupón vigente

Valor de cada uno de los cupones restantes

Tasa interna de retorno esperada para cada cupón

Donde:= Precio limpio.= Valor nominal del título en moneda nacional.= Número de cupones por liquidar, incluyendo el vigente.


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= Número de días transcurridos del cupón vigente.= Día de vencimiento del cupón i.

= Día de inicio del cupón i.

= Plazo del cupón i.

= Cupón i.

= Tasa de interés anual del cupón i.

= Factor de descuento para el flujo de efectivo i.

= Tasa interna de retorno esperada para el cupón i.

= Tasa de interés relevante para descontar el cupón i.

= Sobretasa asociada al cupón i.

= Valor del cupón vigente.

= Tasa conocida del cupón vigente.

= Rendimiento a vencimiento para el plazo constante de los cupones.= Rendimiento a vencimiento anual.

En subasta primaria se cotiza a precio limpio y se liquida precio sucio, por lo que el precio de la postura, y en su caso de la asignación, será el resultado de la fórmula previa, pero para obtener el precio a liquidar deberán sumarse los intereses devengados del cupón vigente.

Evidentemente cualquier característica especial en alguna emisión en particular obliga a adaptar las fórmulas generales que hemos visto, por ejemplo en el caso de los Bonos de Regulación Monetaria (BREMS) emitidos por Banco de México, que cortan cupón cada 28 días, pero cuya tasa de rendimiento es el producto de las tasas de fondeo bancario a un día observadas en el periodo.

2. Duración y Convexidad

La sensibilidad del precio de un bono a movimientos de la tasa de interés es evidentemente de signo negativo, es decir, si la tasa de rendimiento sube, el precio deberá bajar, y viceversa, pero el problema es encontrar la magnitud del cambio. Al obtener la primer derivada parcial del precio con respecto a la tasa, se obtiene una sensibilidad que dividida entre el precio nos da el cambio proporcional generado en el bono ante cambios en la tasa de rendimiento. Este factor es conocido como duración, y es ampliamente utilizado.

Sin embargo, puede resultar engañoso porque al tratarse de una primera derivada, presupone que los desplazamientos en las curvas son paralelos, es decir, que la estructura intertemporal de las tasas es horizontal, por lo que a menos que el movimiento de la tasa sea infinitesimalmente pequeño, la duración no es un estimador único, debe ajustarse utilizando una segunda derivada, la convexidad.

o La duración de un bono cupón cero es:

La duración de los instrumentos que contemplen pagos periódicos de intereses de igual longitud se estimará con las siguientes fórmulas:


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Sin estimar previamente el precio sucio: Si se desea estimar la duración del bono con cupones y periodos de igual longitud sin estimar previamente el precio sucio, se usará la siguiente fórmula:

Donde:

= Día en que se realiza la valuación.

= Día de vencimiento del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Día de inicio del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Día de vencimiento de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Precio sucio de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Valor nominal de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Tasa cupón fija anualizada de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Plazo cupón en días de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Número de cupones por transcurrir, incluyendo el vigente, de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Días por vencer del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Rendimiento a vencimiento anual de un bono con cupones y periodos de igual longitud, tal que determina el precio de acuerdo a la ecuación correspondiente.

= Duración de un bono con cupones y periodos de igual longitud.

= Factor para valor presente de un bono con cupones y periodos de igual longitud.


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La duración de los instrumentos que contemplen pagos periódicos de intereses de longitud desigual se estimará con las siguientes fórmulas:

Si se desea estimar la duración del bono con cupones y periodos de longitud desigual sin estimar previamente el precio sucio, se usará la siguiente fórmula:

Donde:

= Día en que se realiza la valuación.

= Día de inicio del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Día de vencimiento del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Día de vencimiento del cupón i de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Precio sucio de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Valor nominal de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Tasa cupón fija anualizada de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Plazo en días del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Plazo en días del cupón i de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.


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= Número de cupones por transcurrir, incluyendo el vigente, de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Días por vencer del cupón vigente de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Días por vencer del cupón i de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Rendimiento a vencimiento anual de un bono con cupones y periodos de longitud desigual, tal que determina el precio de acuerdo a la ecuación correspondiente.

= Duración de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

= Factor para valor presente para el valor nominal de un bono con cupones y periodos de longitud desigual.

Duración de subdivisiones del portafolio y del portafolio total: La duración tanto de los distintos segmentos del portafolio como del portafolio en su conjunto se obtiene a partir de la lógica de la Weighted Average Maturity (WAM). En consecuencia los insumos son las duraciones de cada activo, ya obtenidas previamente de acuerdo a los pasos explicados arriba; los precios de mercado de cada activo y la posición correspondiente.

Determinación del valor de mercado de cada subdivisión del portafolio y del portafolio total: Una vez obtenidos los precios de mercado de cada uno de los activos del portafolio, y por lo tanto su el valor de mercado, la suma del valor individual de cada activo que forme parte de cualquier subdivisión del portafolio es igual al valor de mercado de dicha subdivisión. La suma de las subdivisiones, a su vez, es igual al valor de mercado del total del portafolio, que también puede obtenerse como la suma del valor individual de todos los activos que lo constituyen:

Valor de mercado de la subdivisión I del portafolio

Valor de mercado del portafolio

Determinación de las ponderaciones o pesos de cada activo por subdivisión y en el portafolio total: A partir del valor de mercado de cada activo del portafolio es posible determinar cuánto pesa cada uno de ellos, tanto en la o las subdivisiones de que formen parte como en el portafolio total. De igual forma se obtiene el peso de cada subdivisión en el portafolio total:

Peso del activo i en la subdivisión I del portafolio

Peso del activo i en el portafolio

Peso de la subdivisión I en el portafolio

Estimación de las duraciones de cada subdivisión y del portafolio: Dado que ya se conocen las duraciones individuales de cada activo del portafolio, así como su peso tanto en la


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o las subdivisiones de que formen parte como en el portafolio total, se determina la duración por subdivisión y para el portafolio total como la sumatoria de las duraciones de cada elemento del conjunto o subconjunto ponderadas por el peso del propio elemento:

Duración de la subdivisión I del portafolio

Aportación de la subdivisión I a la duración del portafolio

Duración del portafolio

Donde:

= Número de activos en el portafolio o en la subdivisión del portafolio, según corresponda.= Número de subdivisiones del portafolio, cada una de las cuales contiene activos.

= Valor de mercado de la subdivisión I del portafolio, la cual a su vez contiene activos.

= Valor de mercado del activo i del portafolio.

= Valor de mercado del portafolio.

= Peso del activo i dentro de la subdivisión I del portafolio.

= Peso del activo i dentro del portafolio.

= Peso de la subdivisión I dentro del portafolio.

= Duración en días de la subdivisión I dentro del portafolio.

= Duración en días del activo i dentro del portafolio.

= Aportación de la subdivisión I a la duración del portafolio en días.

= Duración en días del portafolio.

C. Derivados lineales: Forwards, FRAs y Futuros

Desde que culminó el periodo de flotaciones fijas o controladas de los tipos de cambio, al derrumbarse el establishment de Bretton Woods, a principios de la década de los setenta del siglo pasado, la revolución financiera que se desató en consecuencia generó como sus frutos más acabados y sofisticados los productos derivados, en términos genéricos contratos privados entre dos agentes económicos, donde el contrato en sí mismo tiene un valor que se sustenta o se deriva a su vez del valor de otro bien. Sin embargo, los productos derivados no surgieron realmente en la década de 1970-1980. De hecho, pueden encontrarse antecedentes de transacciones de compraventa adelantadas en la India, 2,000 años A.C., en Fenicia, en Grecia, en Roma, en la Europa medieval y renacentista, en Japón, y prácticamente en cualquier cultura donde de alguna forma existieron bienes que fueron intercambiados a través de un esquema de mercado. Sin embargo, tal como se les conoce ahora, los mercados de derivados modernos surgieron en Osaka, Japón, en 1730, con futuros de arroz; y en Chicago, Illinois, Estados Unidos, con el Chicago Board of Trade (CBOT), la primer bolsa de granos en mercados tanto al contado como a plazos, fundada en 1848. Los elementos que identifican actualmente a los futuros en cualquier bolsa de derivados,


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los cuales analizaremos brevemente a lo largo de este documento, surgieron durante los siguientes años, resaltando la creación de una Cámara de Compensación en 1882 en Chicago, Illinois, Estados Unidos, a cargo de MidAm.

Poco a poco, desde entonces hasta ahora, el surgimiento de nuevas regulaciones, nuevas bolsas de derivados en Chicago y en otras ciudades de Estados Unidos y del mundo, y sobre todo nuevas instituciones, nuevos instrumentos y nuevos subyacentes, ha caracterizado la historia de los derivados, pero tal vez la innovación más importante fue la creación de productos derivados sobre subyacentes financieros, que inició en 1973 con la operación de opciones sobre acciones en la Chicago Board of Options Exchange (CBOE). Durante el mismo año se publicó el artículo de Fischer Black y Myron S. Scholes en donde proponían un modelo de valuación de opciones que les valdría el premio nóbel a Scholes y a Robert C. Merton en 1997, conocido ampliamente como el modelo Black & Scholes, y que sentó las bases de la teoría actual de derivados financieros.

En este sentido, el surgimiento de formas de intercambio cada vez más sofisticadas, a través de instrumentos que por sí solos logran minimizar tanto el riesgo de mercado como el riesgo contraparte, sin anular los efectos benéficos de la alta liquidez de los mercados financieros, es un proceso natural dentro de la evolución del ser humano en todos los campos de su actividad cotidiana, particularmente en la actividad económica.

Los productos derivados deben su auge al incremento del riesgo en los mercados financieros, así como a la estratificación de los diversos tipos de riesgo a los que se encuentran expuestas las entidades económicas y, sobre todo, al surgimiento de nuevas formas de riesgo, además de la consecuente necesidad de diseñar alternativas de cobertura ajustadas a las cada vez más variadas necesidades de todos los agentes que intervienen en la demanda y la oferta de activos financieros. Por otro lado, la nueva realidad mundial, donde ningún agente económico puede sustraerse de los mercados financieros, desde los trabajadores de cualquier empresa agrícola, industrial o de servicios, hasta las entidades gubernamentales, los consumidores y las propias empresas de todos los sectores económicos, en un entorno de bloques económicos cada vez más cerrados conocido paradójicamente como globalización, planteó en la economía mexicana la necesidad ineludible de sentar las bases para la conformación de un mercado propio de productos derivados, con el objetivo de ensamblar un sistema financiero más sólido ante la profundización y desarrollo logrados por nuestro mercado de capitales en los últimos años.

En consecuencia, las autoridades gubernamentales emitieron en 1996 el sustento legal para la creación de mercados organizados de derivados en México, pero estableciendo al mismo tiempo un esquema que revolucionará los mercados financieros de nuestro país, la autorregulación, es decir, la posibilidad de que sean los propios agentes que intervienen en el mercado, a través de sus instituciones de apoyo y de sus intermediarios especializados, quienes se encarguen de mantener una normativa vigente, actualizada y dinámicamente adaptada a las cambiantes necesidades planteadas por el mercado.

Después de varios años de esfuerzo de las autoridades gubernamentales, de la Bolsa Mexicana de Valores, de la S.D. Indeval y de la Asociación Mexicana de Intermediarios Bursátiles, una vez emitido el sustento legal para el mercado de derivados, se logró el inicio de operaciones de la bolsa de derivados, MexDer, Mercado Mexicano de Derivados, y de Asigna, Compensación y Liquidación, la Cámara de Compensación, el 15 de diciembre de 1998, con operaciones de posición propia de los intermediarios, y a partir del 15 de abril de 1999 con posición de terceros, es decir, de clientes de los intermediarios. Por ahora, las operaciones son de contratos futuros sobre algunos subyacentes financieros, el proyecto contempla la inclusión de opciones sobre subyacentes financieros como acciones, tasas de interés, índices accionarios y divisas en una fase posterior y, en una etapa más tardía, de opciones sobre futuros. En los últimos días, se ha logrado superar la operatividad del Chicago Mercantile Exchange (CME) sobre subyacentes semejantes a los cotizados en MexDer, lo cual implica que los clientes de CME están emigrando a México.


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El inicio de operaciones de este mercado fue altamente significativo en la historia del sistema financiero mexicano, sólo resta por ahora divulgar entre los agentes económicos la cultura de los derivados para lograr que cada uno de ellos contemple de forma imparcial y bajo su propia perspectiva bien informada y fundamentada, las ventajas y desventajas de estos productos. Los derivados, más que alternativas de inversión, son instrumentos de administración de riesgos, que por su naturaleza se ajustan perfectamente a las necesidades de los agentes que requieren cobertura contra riesgos de mercado y crediticios, pero que para garantizar liquidez, sobre todo al ser operados en esquemas bursátiles, requieren de la intervención de los agentes que realizan especulación y arbitraje, quienes precisamente cumplen la función fundamental de absorber el riesgo en el mercado.

El mal uso de los derivados, la ausencia de medidas de control de riesgos para los especuladores y la ausencia de monitoreos sobre el comportamiento de cada agente del mercado por parte de las bolsas de derivados y de las cámaras de compensación, han provocado algunos desastres financieros, en particular el de Barings PLC, el 26 de febrero de 1995, que han conmovido a la comunidad financiera internacional y han desplegado la irónica imagen actual de los derivados como los instrumentos financieros más riesgosos.

En efecto, los derivados implican un riesgo si no son utilizados correctamente, el mismo riesgo que se corre al abordar cualquier avión con un mantenimiento inadecuado o ausente, o que sea piloteado por una persona no capacitada. Sin embargo, la estadística demuestra que el aéreo es el medio de transporte más seguro: de la misma forma que los derivados, con el mantenimiento, el control, el conocimiento, la experiencia y la tecnología adecuados, el transporte aéreo es el más rápido, seguro y eficiente, pero si cualquiera de esos elementos falla, el accidente es seguramente fatal, y los que sobreviven no suelen intentarlo de nuevo.

Es precisamente a causa de la carencia de cultura financiera en general, y en derivados en particular, que los enormes beneficios que un mercado nacional de derivados financieros puede generar para nuestro país pueden verse obstaculizados, razón por la cual es vital para el éxito del proyecto que todos los agentes de la economía mexicana conozcan de cerca las ventajas y las desventajas de estos productos: los que no piensan utilizarlos debido al temor de un desastre financiero, para que evalúen por sus propios medios la realidad de cada caso y el papel que jugaron los derivados; los que intervendrán directamente en su uso, manejo e intermediación, para garantizar que la capacitación y habilidades técnicas y teóricas son las necesarias para evitar en la práctica los terribles acontecimientos financieros que han sucedido en otras partes del mundo.

1. Cobertura lineal sintética corta y larga

La primer estrategia de cobertura larga que se utilizó para inmunizar la exposición a riesgo de mercado consistió simplemente en adquirir previamente el activo para garantizar su tenencia en el momento en que se requería, evitando así el impacto de un movimiento adverso en el precio.

Esta operación implica, normalmente, estructurar un portafolio:

1. Fondeo de los recursos necesarios para adquirir el activo.2. Compra del activo.3. Almacenamiento del activo.

Supongamos que el agente coberturista es un importador mexicano, que enfrenta una deuda en dólares estadounidenses a un plazo de tres meses. Si estructura una cobertura con el fin de anular su exposición a un alza del tipo de cambio, entonces la solución es comprar anticipadamente los dólares e invertirlos, por lo que el portafolio de la cobertura tomaría la siguiente forma:

1. Fondeo de los recursos necesarios para adquirir los dólares.2. Compra de dólares.3. Inversión de los dólares.


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Dado que se trata de un activo financiero, no implica costos de almacenamiento, y por otro lado se genera un ingreso durante la tenencia anticipada, por la inversión del activo. En términos de activos financieros, el portafolio estructurado podría considerarse como:

1. Posición corta en bono mexicano a tres meses.2. Posición larga en dólares estadounidenses.3. Posición larga en bono estadounidense a tres meses.

Entendemos como posición larga la tenencia del activo de referencia y como posición corta la que se caracteriza por la no tenencia del activo, y normalmente por la necesidad, por cualquier objetivo, de adquirirlo.

2. Costo de acarreo

Siguiendo con el ejemplo del coberturista mencionado previamente, supongamos las siguientes variables:

QU , T = Cantidad adeudada en dólares estadounidenses a pagarse el día T.t = Día de inicio del plazo.T = Día de vencimiento del plazo.

La idea de la cobertura es que, al finalizar la inversión en dólares, que será también el momento en que deberá pagarse la deuda, la cantidad final recibida por la inversión sea exactamente la cantidad adeudada, de tal forma que el importador no se vea en la necesidad de exponerse a riesgo cambiario en caso de que la cantidad recibida fuese distinta: si fuese menor, tendría que salir al mercado de divisas a comprar dólares. Si fuese mayor, saldría al mercado de divisas a vender dólares. Por lo tanto, dado que conoce previamente la tasa pasiva que le pagarían por una inversión en dólares a tres meses, debe traer a valor presente el monto de la deuda, aplicando un plazo de tres meses y la tasa pasiva que recibirá por su inversión, para determinar los dólares que debe adquirir el día de inicio:

QU , t = Cantidad en dólares estadounidenses requerida el día de inicio, t, para que invertidos a la

tasa pasiva de mercado, rU,t, se obtengan en total en el vencimiento QU , T dólares por la

inversión.

rU , t = Tasa pasiva en dólares para el plazo T-t, donde el día t es el día de la compra de dólares, y el día T es el día de vencimiento de la deuda en dólares y, por lo tanto, de la inversión.

QU , t=QU ,T

1+rU , t ( T−t360 )

Ahora que conocemos la cantidad de dólares que debemos adquirir el día t para invertirlos, y obtener así como resultado la cantidad exacta que debemos pagar en el vencimiento de la deuda,

debemos calcular el monto en pesos que se requieren el día t para comprar QU , t dólares, para lo

que se requiere conocer el tipo de cambio spot de venta de peso/dólar, es decir, el precio al que es posible adquirir los dólares el día t:


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QM , t=S t∗QU ,t

QM , t = Cantidad en pesos requerida el día de inicio, t, para adquirir los dólares.

St = Tipo de cambio de venta peso/dólar spot vigente el día t.Partiendo del supuesto de que no se cuenta con esta cantidad de pesos, será necesario entonces fondearla al plazo de la deuda, y pagar por este fondeo la tasa activa de un crédito en pesos para dicho plazo.

Por lo tanto, una vez estructurado este portafolio de cobertura sintética, el saldo en pesos es cero: Los pesos obtenidos por el fondeo se utilizan para adquirir dólares. El saldo en dólares también es cero: los dólares comprados se invierten. Sin embargo, el contar con saldo cero en pesos y en dólares no significa que no existan compromisos: se tiene un portafolio cuyo resultado será obtenido hasta que se cumpla el plazo, pero es conocido desde el inicio, lo que elimina la incertidumbre: Se genera un efecto de inmunización ante movimientos del tipo de cambio, es decir, se estructura una cobertura sintética, en este caso contra riesgo cambiario.Al finalizar el plazo T-t, una vez que venza la deuda en dólares, la deuda en pesos, y la inversión en dólares, el resultado será:

1. Por el vencimiento de la inversión en dólares, se recibirá QU , T .

2. Por el vencimiento de la deuda en dólares, se pagará QU , T , por lo que el saldo en dólares es

cero.

3. Por el vencimiento de la deuda en pesos, se tendrá que pagar QM , T , por lo que el saldo final

de todas las operaciones es esta cantidad en pesos, negativa y conocida desde el inicio del portafolio.

QM , T = Cantidad final en pesos, a pagarse el día T, por el fondeo en pesos adquirido al inicio.

r M , t = Tasa activa en pesos para el plazo T-t, donde el día t es el día de inicio y el día T es el día de vencimiento de la deuda en dólares y, por lo tanto, del fondeo en pesos.

QM , T=QM , t∗[1+r M , t ( T−t

360 )]Si resumimos el procedimiento, el inicio y el final del mismo son idénticos a la operación más sencilla para enfrentar la obligación de pagar dólares, que es haberse esperado al vencimiento de la deuda y adquirirlos en el mercado spot al precio vigente. El inicio es saldo cero en pesos y en dólares y el final es un saldo negativo en pesos. La diferencia consiste en que en el caso de la cobertura, ya no existe incertidumbre, porque el flujo final negativo en pesos es conocido desde el inicio. El saldo final en pesos, dividido entre el monto total de dólares adeudados, nos dará el precio por cada dólar asegurado con anticipación a través del proceso de la cobertura sintética:

F=QM , T

QU ,T

Este precio, que en adelante identificaremos como precio forward o futuro, dependiendo del tipo de producto derivado del que se trate, puede deducirse más fácilmente, si despejamos las variables utilizadas:


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F=QM , t∗[1+r M , t ( T−t

360 )]QU , t∗[1+rU , t ( T−t

360 )]

F=S∗QU , t∗[1+r M , t ( T−t

360 )]QU , t∗[1+rU , t ( T−t

360 )]

F=S∗[ 1+rM ,t ( T−t360 )

1+r U ,t ( T−t360 ) ]

El pactar un forward o un futuro no es más que establecer esta cobertura lineal sin tener que establecer un portafolio, para generar el resultado de forma sintética, sino a través de un único activo, que genera el mismo resultado de forma natural. Sin embargo, su valuación teórica es idéntica. De hecho, como puede verse fácilmente, el precio forward es sólo el valor futuro del precio spot, creciendo a una tasa determinada por los factores mencionados previamente: el costo del fondeo, los costos de almacenamiento en caso de que los haya, y reducido por los ingresos que el activo genere mientras tanto, en este caso los intereses resultantes de la inversión del subyacente.

Por lo tanto, utilizando una forma continua de expresión, cualquier forward o futuro sobre cualquier subyacente puede valuarse desde esta perspectiva:

F=Sec ( T−t

360 )

Donde c representa lo que se conoce como costo de acarreo.

3. Tasa implícita

En condiciones de eficiencia del mercado, la base , es decir, la diferencia entre el precio forward y el precio spot del subyacente, deberá reflejar simplemente el costo de acarreo a través de sus factores. En caso de que la base se distorsionara contra el costo de acarreo, habría en automático oportunidades de arbitraje.

Supongamos, por ejemplo, que la tasa mexicana a 47 días es de 9%, la estadounidense, pasiva, de 1.30%, el tipo de cambio spot de venta MXP/USD es de 10.63, y se puede vender un forward de dólar a 47 días a 10.787. El precio forward teórico es de 10.737, por lo que la base es 5 centavos superior al costo de acarreo. Aparentemente debe surgir una ganancia extraordinaria, superior a la tasa mexicana libre de riesgo, generando un portafolio que además no tendrá riesgo de mercado, es decir, debe poderse diseñar un arbitraje.

Dado que el forward observado supera al teórico, parece lógico pensar que el arbitraje consiste en comprar dólares en el mercado spot, invertirlos y vender simultáneamente el forward. Si un operador X cuenta con 10,630,000 MXP para especular en el mercado, puede comprar 1,000,000 de USD al precio spot de venta e invertirlos al 1.30% a 47 días, tomando al mismo tiempo una posición corta en el forward por 1,001,697.22 USD, que es la cantidad que recibirá como producto de la inversión. En el vencimiento, es decir, dentro de 47 días, recibirá dicha cantidad y la utilizará para liquidar el forward, recibiendo a cambio 10,805,307.94 MXP, que es la cantidad en pesos resultante de multiplicar la cantidad en dólares subyacente al forward por el precio forward de compra. Registrará entonces una ganancia de 175,307.94 MXP, completamente inmune a movimientos tanto del tipo de cambio spot MXP/USD como de las tasas de interés nacionales y extranjeras. Esta ganancia, considerando la inversión inicial de 10,630,000 MXP y el plazo de 47


38


días, genera una tasa anualizada de rendimiento de 12.63%, superior al 9% de la tasa libre de riesgo mexicana.

La fórmula utilizada para calcular la tasa de 12.63% es muy simple:

Sustituyendo y simplificando:

Donde:

= Tasa implícita.

= Cantidad en pesos resultante al vencimiento del arbitraje, el día T.

= Cantidad en pesos utilizada al inicio del arbitraje para adquirir los dólares, el día t.

= Día del vencimiento del arbitraje.= Día de inicio del arbitraje.= Plazo de larbitraje.

= Precio forward observado.

= Cantidad en dólares resultante del vencimiento de la inversión, el día T.

= Cantidad en dólares comprada al inicio del arbitraje para adquirir los dólares, el día t.

= Tasa de interés extranjera.

= Tipo de cambio spot MXP/USD.

De hecho, si suponemos que el precio forward operado se hubiese calculado teóricamente, y que la tasa nacional utilizada es precisamente el 12.63% que se produjo con el arbitraje, entonces


39


despejando de la fórmula correspondiente del costo de acarreo, la tasa mexicana, obtendremos exactamente la misma fórmula. Es por esto que esta tasa se denomina tasa implícita, y es muy útil tanto para detectar oportunidades de arbitraje como para detectar desviaciones severas de la base, es decir, incrementos significativos del riesgo base que pueden complicar las posiciones ya existentes, al menos en términos de riesgo liquidez.

D. Futuros

Los contratos futuros, como los forwards, son acuerdos entre dos partes para intercambiar en una fecha futura predeterminada cierta cantidad de un bien subyacente también predeterminado, a un precio prepactado. Sin embargo, a diferencia de los forwards, los futuros se cotizan en un esquema organizado, es decir, bursátil, con el fin de eliminar el riesgo contraparte. Adicionalmente, las características del contrato son estandarizadas por la bolsa, la cual agrega algunas características, entre ellas la mecánica particular de negociación del subyacente.

Algunas de las características principales de los contratos futuros, de acuerdo a la nomenclatura oficial de MexDer, Mercado Mexicano de Derivados, son:

Clase: Especificación del bien subyacente. Ejemplo: DEUA, futuro sobre dólar estadounidense operado en México en pesos. Se compone de cuatro dígitos.

Serie: Identificación del vencimiento del contrato, elaborada con cuatro dígitos: dos letras para el mes y 2 números para el año. Ejemplo: DC99, para el vencimiento del 13 de diciembre 1999; MR00, para el vencimiento del 13 de marzo del 2000.

Tamaño del Contrato: Número de unidades del bien subyacente que ampara cada contrato futuro. Ejemplo: $ 10,000.00 USD por contrato.

Puja: Múltiplo mínimo a ser utilizado para mejorar los precios al alza (en el caso de una compra) o a la baja (en el caso de una venta) durante la negociación del contrato, entendiendo que cada precio se pacta con base en una unidad del bien subyacente. Ejemplo: El precio del contrato futuro sobre dólar estadounidense será pactado como la cantidad de pesos que se pagarán al vencimiento por un dólar, sobre entendiendo que cada contrato ampara $ 10,000.00 USD. La puja, en este caso, es de $ 0.001, es decir, si el precio futuro para el vencimiento de marzo es de $ 9.450, el siguiente mejor precio al alza es $ 9.451 y a la baja $ 9.449.

Valor de la Puja: Cambio absoluto observado en el valor nocional de un contrato si el precio del mismo varía en una puja. Ejemplo: A un precio de $9.450, el nocional es de $94,500.00. Si el precio se desplaza una puja hacia arriba, es decir, a $9.451, el nocional será de $94,510.00. El cambio en el nocional a consecuencia del cambio en la puja fue de $10.00. En el caso contrario, si el precio baja de $9.450 a $9.449, el nocional será de $94,490.00, es decir, se desplazó a la baja $10.00. Por lo tanto, el valor de la puja es una constante: $10.00, que se deriva de multiplicar la puja por el tamaño del contrato.

En el transcurso de este escrito iremos desarrollando otros conceptos que la bolsa estandariza. La estandarización de las características del contrato implica que los agentes que intervengan en operaciones con futuros deberán ajustar sus necesidades a los estándares establecidos por la bolsa. Si bien esto constituye una desventaja de los futuros frente a los forwards, es un requerimiento indispensable para los procesos a través de los cuales se elimina el riesgo contraparte, para lo cual se requiere de otra institución además de la bolsa de derivados, la Cámara de Compensación, cuya función es convertirse en contraparte de cada una de las operaciones pactadas en el mercado, tanto de posiciones largas como de posiciones cortas.

Marcación a Mercado a través de la Cámara de Compensación

El proceso de marcación a mercado implica que desde que se pacta una operación de futuros en el piso de remates o en el sistema electrónico de la bolsa, y hasta que dicho contrato vence en la fecha de vencimiento estandarizada por la bolsa, la Cámara valuará diariamente cada posición


40


abierta y liquidará las pérdidas o ganancias en una cuenta que el cliente abrió previamente para estos fines, de tal manera que en el vencimiento, la diferencia entre el precio spot y el precio futuro pactado previamente en cada posición, que determina las ganancias, ya fue depositada en las cuentas de los ganadores por los perdedores a través de la Cámara de Compensación. En el caso de México, el monto mínimo que exige Asigna a los intermediarios que sea depositado para cargar las pérdidas y abonar las ganancias diarias se denomina Aportación Inicial Mínima (AIM) y se determina por contrato. A su vez, el intermediario puede solicitar al cliente una cantidad igual o mayor, dependiendo de la calidad crediticia del cliente. Esta cantidad es denominada Excedente de Aportación Inicial Mínima (EAIM).

Por ejemplo, supongamos que la empresa A pacta con la empresa B un futuro y que dicha operación tiene lugar en el MexDer, donde las características del contrato son las siguientes:

Clase: Dólar estadounidense.

Serie: SP99, DC99, MR00, JN00.

Tamaño del Contrato: $ 10,000.00 USD por contrato.

Puja: $ 0.001 MXP.

Valor de la Puja: $ 10.00 MXP.

Aportación Inicial Mínima: $ 6,500.00 MXP por contrato.

Supongamos que el intermediario de A le solicita un EAIM del 50% de la AIM. Esto quiere decir que el cliente A deberá dejar un saldo disponible para pérdidas y ganancias en derivados de $9,750.00 MXP por contrato. Dado que el tamaño del contrato es de $ 10,000.00 USD y tanto A como B requieren que la operación sea pactada por $ 100,000.00 dólares, en el MexDer, a través cada uno de su correspondiente intermediario, pactarán la operación por 10 contratos, Por lo tanto, A deberá depositar una cuenta total de $ 97,500.00 MXP. Por otro lado B, a quien le exigen un EAIM del 100%, deberá depositar en su cuenta $13,000.00 por contrato, o sea $130,000.00. Este depósito deberá verificarse antes de que la operación sea pactada.

Una vez registrada la operación, digamos a las diez de la mañana del 3 de septiembre de 1999, cuando al contrato le restan 101 días naturales por vencer, ambos clientes son informados del precio futuro al que se pactó la operación. Supongamos que es $ 9.810 pesos por dólar. La bolsa determinará al cierre de las operaciones de dicha sesión, de la misma forma en que lo hace diariamente, un precio de referencia a través de cierto procedimiento preestablecido. Este precio es conocido como precio de liquidación. Al final del 3 de septiembre de 1999, pensemos que el precio de liquidación de dicha sesión sea de $ 9.831.

La Cámara de Compensación liquida diariamente las ganancias y pérdidas con base en este precio de referencia, como si cada día fuera el día de vencimiento del contrato, de tal forma que le cargará al intermediario la pérdida en caso de que la haya, para abonar el mismo monto como ganancia en la cuenta de la contraparte. Los intermediarios, a su vez, harán lo mismo con las respectivas cuentas de sus clientes. La diferencia estriba en que los intermediarios pagarán diariamente a la Cámara las pérdidas acumuladas, aunque éstas sean muy pequeñas, para restablecer el nivel inicial de la AIM. En cambio, dado que el intermediario al cliente le solicitó el depósito de una cantidad mayor (EAIM) a la requerida por la Cámara (AIM), las pérdidas le serán descontadas de su cuenta hasta acumular un nivel tal que se acerque a la AIM, es decir, que esté cerca de consumirse todo el EAIM. Si la pérdida toca este nivel, determinado margen de mantenimiento, el intermediario le requerirá al cliente depósitos adicionales hasta acumular nuevamente el monto total de la cuenta, es decir, el resultado de AIM + EAIM, que denominaremos en adelante margen inicial, haciéndole una llamada de margen.

Siguiendo con el ejemplo, dado que el precio de liquidación del 3 de septiembre fue de $ 9.831, y el precio de la operación pactada el mismo día fue de $ 9.810, si el contrato venciera el mismo día la


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posición larga hubiera resultado ganadora y la posición corta perdedora, pues la posición larga hubiera pagado $ 9.810 por dólar en lugar de $ 9.831. En cambio, la posición corta hubiera tenido que vender cada dólar a $ 9.810 y no a $ 9.831. Por lo tanto, la Cámara de Compensación calcula la diferencia, $ 0.021, y la multiplica por el tamaño del contrato y por el número de contratos operados, para determinar que se registró una pérdida de $2,100.00 para B y una ganancia por el mismo monto para A. El intermediario de B deberá liquidar esta cantidad a la Cámara, descontándola a su vez del EAIM que le solicitó a su cliente antes de abrir la posición. Una vez que la Cámara registra los recursos, los transfiere como abono a la cuenta que, a nombre de su cliente, tiene el intermediario de A, quien ve incrementado el saldo de su cuenta. B sólo verá un registro negativo que disminuyó en consecuencia el monto de su cuenta, pero si dicha pérdida no es demasiado grande, no tendrá que depositar recursos adicionales. Esto sucedería sólo en caso de que su pérdida acumulada se acercara a la AIM.

Pero ¿qué tanto debe acercarse para que el intermediario le requiera depósitos adicionales? Con este fin, como ya se mencionó, el intermediario deberá definir lo que se conoce como margen de mantenimiento, que para nuestro ejemplo consideraremos que en ambos casos es del 75% del margen inicial. Esto quiere decir que, en caso de que A acumule pérdidas iguales o mayores al 75% de su margen inicial, que es de $97,500.00, es decir, si su pérdida iguala o supera los $24,375.00, su intermediario le requerirá que deposite los recursos adicionales necesarios para acumular nuevamente el margen inicial de $ 97,500. Por lo tanto, su margen de mantenimiento es de $73,125.00, mientras que el de B es de $97,500.00.

Nótese en las tablas 1 y 2 que se realizan llamadas de margen tanto para la posición larga como para la posición corta en ciertos días donde la evolución del mercado les hizo acumular pérdidas mayores al margen de mantenimiento: en periodos alcistas para el corto y en periodos bajistas para el largo.

Tabla 1.

Marcación a Mercado para la posición larga de la empresa A en 10 contratos futuros sobre dólar estadounidense ($ 100,000.00 USD) con vencimiento el 13 de diciembre de 1999. Margen Inicial: $97,500.00 MXP. Margen de Mantenimiento: $73,125.00 MXP. Precio de entrada: $ 9.810.

FECHAPRECIO FUTURO

GANANCIA O PÉRDIDA DIARIA

GANANCIA O PÉRDIDA

ACUMULADA

CUENTA DE MARGEN

LLAMADAS DE MARGEN

03-Sep-99 9.831 2,100.00 2,100.00 99,600.00 04-Sep-99 9.842 1,100.00 3,200.00 100,700.00 05-Sep-99 10.025 18,300.00 21,500.00 119,000.00 06-Sep-99 10.035 1,000.00 22,500.00 120,000.00 07-Sep-99 10.136 10,100.00 32,600.00 130,100.00 08-Sep-99 9.829 (30,700.00) 1,900.00 99,400.00 09-Sep-99 9.722 (10,700.00) (8,800.00) 88,700.00 10-Sep-99 9.718 (400.00) (9,200.00) 88,300.00 11-Sep-99 9.702 (1,600.00) (10,800.00) 86,700.00 12-Sep-99 9.692 (1,000.00) (11,800.00) 85,700.00 13-Sep-99 9.422 (27,000.00) (38,800.00) 58,700.00 97,500.0014-Sep-99 9.625 20,300.00 (18,500.00) 117,800.00 15-Sep-99 9.638 1,300.00 (17,200.00) 119,100.00 16-Sep-99 9.638 0.00 (17,200.00) 119,100.00 17-Sep-99 9.652 1,400.00 (15,800.00) 120,500.00

POSICIÓN LARGA


42


Gráfica 1.Comportamiento de la Posición Larga

POSICIÓN LARGA

55,000

65,000

75,000

85,000

95,000

105,000

115,000

125,000

135,000

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9

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9FECHA

$

9.400

9.500

9.600

9.700

9.800

9.900

10.000

10.100

10.200

PR

EC

IO F

UT

UR

O

LLAMADAS DE MARGEN PRECIO FUTURO CUENTA DE MARGEN

MARGEN INICIAL MARGEN DE MANTENIMIENTO

Tabla 2.Marcación a Mercado para la posición corta de la empresa B en 10 contratos futuros sobre dólar estadounidense ($ 100,000.00 USD) con vencimiento el 13 de diciembre de 1999. Margen Inicial:

$130,000.00 MXP. Margen de Mantenimiento: $97,500.00 MXP. Precio de entrada: $ 9.810.


43


Gráfica 2.Comportamiento de la Posición Corta

POSICIÓN CORTA

55,000

75,000

95,000

115,000

135,000

155,000

175,000

195,000

215,000

03-S

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04-S

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06-S

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07-S

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10-S

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9

11-S

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9

14-S

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15-S

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9

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9

FECHA

$

9.400

9.500

9.600

9.700

9.800

9.900

10.000

10.100

10.200

PR

EC

IO F

UT

UR

O

LLAMADAS DE MARGEN PRECIO FUTURO CUENTA DE MARGEN

MARGEN INICIAL MARGEN DE MANTENIMIENTO

Al vencer el contrato, el 13 de diciembre, el corto entregará a la Cámara de Compensación, a través de su intermediario, los $ 100,000 USD y recibirá a cambio los recursos registrados a su favor en la cuenta de margen, que deberán constituirse por la suma del valor de los $ 100,000.00 USD al precio pactado al abrir la posición más los recursos constituidos en aportación inicial. Cabe


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comentar que tanto a los montos aportados por el largo como a los aportados por el corto, les serán descontadas las comisiones y tarifas correspondientes a la Bolsa, a la Cámara de Compensación y al(os) intermediario(s), así como, en su caso, la retención fiscal aplicable.

El día del vencimiento el monto final recibido por el corto y pagado por el largo, una vez sustraídas las cuentas de margen y los depósitos adicionales por concepto de llamada de margen, es igual al generado con la operación en forwards: la ganancia es exactamente igual utilizando futuros o forwards, con la diferencia de que en el caso de los futuros no hay riesgo contraparte porque la liquidación se hace efectiva diariamente. El dinero que le es abonado al corto proviene de la pérdida del largo, quien deberá pagar el día de vencimiento la cantidad en pesos equivalente a $ 100,000.00 USD valuados al precio futuro pactado, $ 9.810, menos el saldo a su favor en la cuenta de margen, la cual cuenta ya con las pérdidas cargadas y las ganancias abonadas, así como las llamadas de margen realizadas. En el ejemplo anterior omitimos, con fines didácticos, algunos detalles adicionales que en la realidad resultan de gran importancia: los recursos depositados en calidad de Aportaciones Iniciales Mínimas y Excedentarias, obtienen una tasa de rendimiento mientras permanezcan en poder de la Cámara y de los intermediarios, respectivamente. Evidentemente, dicha tasa variará en el tiempo.

Adicionalmente, en el caso de México, las Aportaciones y los Excedentes pueden ser cubiertos en efectivo o con títulos, por ahora sólo títulos de deuda, constituidos en Aportaciones. Esta forma de operación, junto con la gran liquidez que generan los mercados bursátiles, crea una ventaja adicional para los futuros en comparación con los forwards: siguiendo con el ejemplo anterior, supongamos que la empresa A, que mantiene la posición larga, acumula ganancias desde el día de la apertura de la posición, el 3 de septiembre, hasta el 7 de septiembre, debido a que a partir del 8 de septiembre, en que el precio futuro desciende, empieza a disminuir su ganancia hasta llegar a observar pérdidas a partir del 9 de septiembre. Cuando se acumula un segundo día de pérdidas, el 10 de septiembre, la empresa A decide detener la acumulación de pérdidas, ejecutando lo que se conoce como cierre de posiciones, es decir, pactar ahora la operación contraria, asumiendo una posición corta por el mismo número de contratos para el mismo vencimiento. Si pactara esta operación a $ 9.712 el 11 de septiembre, obtendría en dicha posición corta una ganancia de $ 1,000.00 mientras que en la posición larga, ante el descenso del precio de liquidación, obtendría una pérdida de $1,600.00, pero a partir de este día y hasta el vencimiento, es evidente, como se resalta en la tabla 3, que la pérdida que se obtenga en una de las posiciones es exactamente saldada por la ganancia obtenida en la otra posición. Por lo tanto, la Cámara evita el proceso redundante de obligar al cliente a cumplir por un lado pagando pesos y por el otro vendiendo dólares, requiriendo sólo que esta operación sea identificada como operación de cierre, para proceder a netear la posición y liberar los recursos aportados por el cliente. La posición corta de B no queda descubierta, porque sus ganancias del periodo del 3 al 11 de septiembre ya han sido cobradas a la empresa A y, a partir del 11 de septiembre, las ganancias serán cargadas a la contraparte de A en la segunda operación.

Tabla 3.

Ejemplificación de Marcación a Mercado (hasta el 17 de septiembre) si la empresa A mantuviera simultáneamente una posición larga y una posición corta en 10 contratos futuros sobre dólar estadounidense ($100,000.00 USD) con vencimiento el 13 de diciembre de 1999. Margen Inicial: $ 97,500.00 MXP. Margen de Mantenimiento: $73,125.00 MXP. Precio de entrada de la posición larga: $ 9.810, operada el 3 de septiembre de 1999. Precio de entrada de la posición corta: $ 9.712, operada el día 11 de septiembre de 1999.


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FECHAPRECIO FUTURO


POSICIÓN LARGA


POSICIÓN CORTA

03-Sep-99 9.831 2,100.0004-Sep-99 9.842 1,100.0005-Sep-99 10.025 18,300.0006-Sep-99 10.035 1,000.0007-Sep-99 10.136 10,100.0008-Sep-99 9.829 (30,700.00)09-Sep-99 9.722 (10,700.00)10-Sep-99 9.718 (400.00)11-Sep-99 9.702 (1,600.00) 1,000.0012-Sep-99 9.692 (1,000.00) 1,000.0013-Sep-99 9.422 (27,000.00) 27,000.0014-Sep-99 9.625 20,300.00 (20,300.00)15-Sep-99 9.638 1,300.00 (1,300.00)16-Sep-99 9.638 0.00 0.0017-Sep-99 9.652 1,400.00 (1,400.00)

CIERRE POSICIÓN LARGA

Esta posibilidad de cerrar las posiciones ha provocado que en la mayor parte de los mercados de derivados del mundo sea muy pequeño el número de posiciones que llegan abiertas hasta el vencimiento. Casi todas son previamente cerradas.

Con el fin de garantizar el cumplimiento de los compromisos, la Cámara y los intermediarios disponen de facultades para determinar el cierre de las posiciones de los clientes incumplidos, descontando de los recursos remanentes de los mismos las pérdidas adicionales en las que se haya incurrido al ejecutar dicho cierre de posiciones. En caso de que los recursos remanentes de los clientes incumplidos sean títulos constituidos en Aportaciones, la Cámara y los intermediarios podrán transformarlos en efectivo a través de su venta a precio de mercado.

Liquidación Diaria: Marcación a MercadoEl proceso de marcar a mercado diariamente cada posición permite establecer pérdidas y ganancias con base en la tendencia de los precios futuros, para descontarlas y hacerlas efectivas a través de las cuentas de margen requeridas antes de emitir la orden de venta o compra.


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-11,000

-10,000

-9,000

-8,000

-7,000

-6,000

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-4,000

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0

1,000

2,000

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6,000

7,000

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9,000

10,000

11,000

AB

RE

23/0

9/99

27/0

9/99

29/0

9/99

1/10

/99

5/10

/99

7/10

/99

11/1

0/99

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0/99

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0/99

21/1

0/99

25/1

0/99

27/1

0/99

29/1

0/99

2/11

/99

4/11

/99

8/11

/99

10/1

1/99

12/1

1/99

16/1

1/99

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22/1

1/99

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1/99

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1/99

30/1

1/99

2/12

/99

6/12

/99

8/12

/99

10/1

2/99

8.50

8.70

8.90

9.10

9.30

9.50

9.70

9.90

10.10

10.30

10.50

10.70

LARGO CORTO PRECIO FUTURO

GA

NA

NC

IAS

PREC

IOFU

TUR

O

Llamada de Margen

En caso de que la posición se deteriore, el Socio Liquidador ejecuta una llamada de margen, es decir, le requiere al cliente recursos adicionales para saldar la pérdida acumulada, con el fin de contar permanentemente con un margen de maniobra suficiente para enfrentar el compromiso ante la Cámara de Compensación: Asigna, Compensación y Liquidación, como obligado solidario. El nivel de deterioro que detona la llamada de margen se denomina Margen de Mantenimiento. De esta forma, el margen inicial es restaurado cada vez que la acumulación de pérdidas alcanza un nivel de deterioro que lleva los recursos saldados a exceder a la baja el margen de mantenimiento, eliminando el riesgo contraparte, porque en caso de que el cliente no salde el requerimiento de la llamada de margen, su posición será cerrada, y si el cierre generó como resultado una pérdida mayor, ésta es descontada de los recursos remanentes, que deberán ser suficientes.

Si el mercado está variando tan fuertemente que es posible un deterioro que absorba todo el margen inicial, la Cámara determinará una llamada de margen intradía para restaurar de forma intradía el margen inicial.


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-1,000

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

AB

RE

23/0

9/99

27/0

9/99

29/0

9/99

1/10

/99

5/10

/99

7/10

/99

11/1

0/99

13/1

0/99

15/1

0/99

19/1

0/99

21/1

0/99

25/1

0/99

27/1

0/99

29/1

0/99

2/11

/99

4/11

/99

8/11

/99

10/1

1/99

12/1

1/99

16/1

1/99

18/1

1/99

22/1

1/99

24/1

1/99

26/1

1/99

30/1

1/99

2/12

/99

6/12

/99

8/12

/99

10/1

2/99

SALD

O

CTA MGN C/INCUMPLIMIENTO MGN INICIAL MGN MANTENIMIENTO CTA MGN C/CUMPLIMIENTO

LLAMADA DE MARGEN

Si en algún momento los recursos remanentes no son suficientes para absorber las pérdidas totales generadas por una posición incumplida, se detonará la Red de Seguridad del Socio Liquidador y, eventualmente, la de la propia Cámara.

E. Swaps

Si lo que se pretende es cubrir de manera lineal no un flujo sujeto a riesgo tasa en el futuro, si no varios flujos del mismo tipo simultáneamente, donde el factor de riesgo es la misma tasa variable, entonces pueden pactarse el mismo día varios FRAs, uno para cada flujo. Por ejemplo, si un agente económico tiene la obligación de pagar mensualmente (cada 28 días), durante los próximos tres años, intereses sobre el mismo monto nominal en referencia a la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio a 28 días (TIIE 28) observada al inicio del periodo, y desea fijar la tasa que pagará para cada uno de esos periodos, considerando que en cada año realizará 13 pagos, y en total 39, a partir del día de hoy, entonces tendría que pactar hoy 38 FRAS referidos a TIIE 28: El primero a un plazo de 56 días (para el primer pago de intereses, que será dentro de 28 días, no requiere de cobertura porque que la tasa de interés a pagar se fija al inicio del periodo y por lo tanto la tasa que pagará dentro de 28 días la observa el día de hoy), el segundo a un plazo de 84 días, el tercero para un plazo de 112 días y así sucesivamente.

De esta forma lograría fijar una tasa distinta para cada pago de intereses. Si bien lograría el objetivo primordial de inmunizar sus pagos a variaciones de las tasas de interés, esta estrategia tiene las desventajas de que fijaría 38 tasas distintas y de que probablemente tendría 38 contrapartes distintas al estructurar el portafolio de cobertura con FRAS. Por lo tanto la solución evidente es diseñar un instrumento que por sí solo y de forma natural, no sintética como hubiese sido utilizando el portafolio de FRAS, genere el mismo efecto, de forma ideal logrando además fijar la misma tasa para cada uno de los 38 flujos. Este producto, que a grandes rasgos no es más que el intercambio en periodos regulares o irregulares de flujos de efectivo con base en ciertas reglas preestablecidas entre dos contrapartes y en referencia a uno o más factores de riesgo subyacentes, se conoce como SWAP.


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1. Valuación

Dado que el swap, interpretado horizontalmente, es un portafolio de FRAS o forwards de divisas, e interpretado verticalmente es un portafolio de bonos, es posible valuarlos utilizando cualquiera de los dos puntos de vista. Sin embargo debe resaltarse que, dado que involucra una serie de flujos futuros sujetos al menos a un factor de riesgo, la valuación de los swaps contempla un supuesto fundamental: que las tasas y precios forward se realizan, por lo que los flujos futuros sujetos a factores variables se estiman, uno por uno, bajo la óptica del costo de acarreo ejemplificado arriba. Después se convierten, en caso necesario, tanto los flujos a recibir como los flujos a pagar, a la misma moneda, la moneda base, aplicando nuevamente la lógica del costo de acarreo: se obtiene el precio forward del tipo de cambio subyacente para unificar así los flujos, calcular las diferencias (pérdidas/ganancias esperadas en cada flujo) y estar en posibilidades de traerlas todas a valor presente, a través de una curva de tasas preferentemente interbancaria. La suma de las diferencias en valor presente al día de valuación es el valor teórico esperado del swap. El día de inicio, bajo el supuesto de no arbitraje y de equilibrio eficiente en los mercados, se considera que el valor del swap debe ser tal que no genere ganancias extraordinarias a ninguna de las partes, es decir, el valor teórico de la suma de los valores presentes de las diferencias de cada flujo del swap el día de su inicio es de cero, por lo que la forma de calcular la tasa fija teórica del swap en su inicio, con el fin de contar con una referencia de valuación, es resolver iterativamente el valor total del swap hasta igualarlo a cero.


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Ejemplo de valuación de un swap plain vanilla sobre tasas de interés (TIIE 28)100,000,000 15.175% 15.78964%

04-Dic-00 CORTA15-Ene-01 18.775%

28 01-Dic-03

-1,447,115.75

TASA LARGA TASA CORTA

1 01-Ene-01 (14) 0.000% 02-Ene-01 (13) - - - 2 29-Ene-01 14 18.775% 29-Ene-01 14 19.03% #N/A (1,408,125.00) 1,138,125.00 (270,000.00) 3 26-Feb-01 42 18.404% 26-Feb-01 42 18.70% 19.03% (1,431,405.42) 1,180,277.78 (251,127.64) 4 26-Mar-01 70 17.664% 26-Mar-01 70 18.44% 18.70% (1,373,877.57) 1,180,277.78 (193,599.80) 5 23-Abr-01 98 17.099% 23-Abr-01 98 18.23% 18.44% (1,329,901.64) 1,180,277.78 (149,623.87) 6 21-May-01 126 16.666% 21-May-01 126 18.07% 18.23% (1,296,282.48) 1,180,277.78 (116,004.70) 7 18-Jun-01 154 16.336% 18-Jun-01 154 17.94% 18.07% (1,270,597.61) 1,180,277.78 (90,319.84) 8 16-Jul-01 182 16.084% 16-Jul-01 182 17.85% 17.94% (1,250,943.16) 1,180,277.78 (70,665.38) 9 13-Ago-01 210 15.891% 13-Ago-01 210 17.78% 17.85% (1,235,930.23) 1,180,277.78 (55,652.45)

10 10-Sep-01 238 15.743% 10-Sep-01 238 17.73% 17.78% (1,224,463.66) 1,180,277.78 (44,185.88) 11 08-Oct-01 266 15.631% 08-Oct-01 266 17.70% 17.73% (1,215,726.09) 1,180,277.78 (35,448.31) 12 05-Nov-01 294 15.544% 05-Nov-01 294 17.69% 17.70% (1,208,971.72) 1,180,277.78 (28,693.95) 13 03-Dic-01 322 15.478% 03-Dic-01 322 17.69% 17.69% (1,203,867.93) 1,180,277.78 (23,590.15) 14 31-Dic-01 350 15.429% 31-Dic-01 350 17.71% 17.69% (1,199,999.53) 1,180,277.78 (19,721.75) 15 28-Ene-02 378 15.389% 28-Ene-02 378 17.73% 17.71% (1,196,894.80) 1,180,277.78 (16,617.02) 16 25-Feb-02 406 15.361% 25-Feb-02 406 17.76% 17.73% (1,194,711.88) 1,180,277.78 (14,434.10) 17 25-Mar-02 434 15.338% 25-Mar-02 434 17.81% 17.76% (1,192,921.62) 1,180,277.78 (12,643.84) 18 22-Abr-02 462 15.322% 22-Abr-02 462 17.85% 17.81% (1,191,700.52) 1,180,277.78 (11,422.74) 19 20-May-02 490 15.308% 20-May-02 490 17.91% 17.85% (1,190,597.26) 1,180,277.78 (10,319.48) 20 17-Jun-02 518 15.298% 17-Jun-02 518 17.97% 17.91% (1,189,817.92) 1,180,277.78 (9,540.14) 21 15-Jul-02 546 15.290% 15-Jul-02 546 18.04% 17.97% (1,189,197.88) 1,180,277.78 (8,920.11) 22 12-Ago-02 574 15.285% 12-Ago-02 574 18.10% 18.04% (1,188,832.19) 1,180,277.78 (8,554.41) 23 09-Sep-02 602 15.279% 09-Sep-02 602 18.18% 18.10% (1,188,351.34) 1,180,277.78 (8,073.57) 24 07-Oct-02 630 15.278% 07-Oct-02 630 18.26% 18.18% (1,188,287.01) 1,180,277.78 (8,009.23) 25 04-Nov-02 658 15.273% 04-Nov-02 658 18.34% 18.26% (1,187,901.88) 1,180,277.78 (7,624.11) 26 02-Dic-02 686 15.271% 02-Dic-02 686 18.42% 18.34% (1,187,782.97) 1,180,277.78 (7,505.19) 27 30-Dic-02 714 15.271% 30-Dic-02 714 18.51% 18.42% (1,187,746.32) 1,180,277.78 (7,468.54) 28 27-Ene-03 742 15.269% 27-Ene-03 742 18.60% 18.51% (1,187,589.97) 1,180,277.78 (7,312.19) 29 24-Feb-03 770 15.269% 24-Feb-03 770 18.69% 18.60% (1,187,559.42) 1,180,277.78 (7,281.64) 30 24-Mar-03 798 15.267% 24-Mar-03 798 18.78% 18.69% (1,187,466.38) 1,180,277.78 (7,188.60) 31 21-Abr-03 826 15.269% 21-Abr-03 826 18.88% 18.78% (1,187,591.95) 1,180,277.78 (7,314.17) 32 19-May-03 854 15.267% 19-May-03 854 18.98% 18.88% (1,187,427.45) 1,180,277.78 (7,149.68) 33 16-Jun-03 882 15.265% 16-Jun-03 882 19.08% 18.98% (1,187,258.02) 1,180,277.78 (6,980.24) 34 14-Jul-03 910 15.267% 14-Jul-03 910 19.18% 19.08% (1,187,405.42) 1,180,277.78 (7,127.64) 35 11-Ago-03 938 15.266% 11-Ago-03 938 19.28% 19.18% (1,187,347.51) 1,180,277.78 (7,069.73) 36 08-Sep-03 966 15.267% 08-Sep-03 966 19.39% 19.28% (1,187,407.67) 1,180,277.78 (7,129.89) 37 06-Oct-03 994 15.267% 06-Oct-03 994 19.50% 19.39% (1,187,396.87) 1,180,277.78 (7,119.09) 38 03-Nov-03 1,022 15.265% 03-Nov-03 1,022 19.61% 19.50% (1,187,296.25) 1,180,277.78 (7,018.48) 39 01-Dic-03 1,050 15.267% 01-Dic-03 1,050 19.72% 19.61% (1,187,462.88) 1,180,277.78 (7,185.11)

PLAZO SUBYACENTE

N° DE DÍAS A LA LIQUIDACIÓN

FLUJOS FLOTANTES FLUJOS FIJOS

VENCIMIENTO

TASAS PARA TASA FORWARD

VALUACIÓN

TASA FIJA

POSICIÓN

FLUJOS NETOS

TASA TEÓRICA

FECHAS DE LIQUIDACIÓN

TASA VARIABLE POR VENCER

N° FLUJOFECHAS DE

VENCIMIENTON° DE DÍAS POR

VENCERTASA FORWARD (TASA

FLOTANTE)

NOCIONAL (MXP)

FECHA DE INICIO

FECHA DE VALUACIÓN


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2. Tipos de swaps

El SWAP más sencillo, comúnmente conocido como Plain Vanilla SWAP, es prácticamente un portafolio de FRAS, porque se intercambian en periodos regulares y sobre un mismo valor nocional un flujo referido a una tasa variable preestablecida por un flujo referido a una tasa fija también preestablecida. Como es lógico, dado que ambos flujos están denominados en la misma moneda, en cada periodo es más fácil simplemente liquidar los diferenciales correspondientes, pagando la parte perdedora a la parte ganadora. Normalmente no se aplica el intercambio de nocionales ni al inicio ni al final del SWAP.

Cuando los dos flujos están referidos a tasas fijas pero uno de ellos involucra una divisa, el SWAP suele identificarse como un SWAP de divisas. Normalmente los swaps que involucran intercambios de divisas distintas requieren la liquidación de ambos flujos, es decir, no es común liquidar por diferencial, aunque podría diseñarse un swap que lo hiciera. Además es práctica común que se incluya intercambio de los nocionales en cada divisa: en sentido inverso el día de inicio del swap y de regreso al finalizarlo, en el último flujo. Aunque podría pactarse un swap sin intercambio del nocional en el día de inicio, normalmente sí ocurre este intercambio en el último flujo.

Si además de que una de las patas del SWAP esté denominado en una divisa, una o ambas tasas de referencia son variables, se conoce como Cross-Currency SWAP.

Estos tres tipos de swaps son los más comúnmente utilizados, pero la posibilidad de ajustar virtualmente cada una de las características del swap a las necesidades propias del agente que pretende pactarlo, han generado varios tipos adicionales de swaps que sin embargo no son tan comúnmente operados como los IRS, los FXS y los Cross-Currency.

Una primer variante es modificar, con base en un patrón preestablecido, el valor nocional a medida que transcurre la vida del swap: Si la modificación consiste en incrementar paulatinamente el nocional, en cada uno de los flujos, el producto se conoce como step-up o accreting swap; si el ajuste es al contrario, reduciendo gradualmente el nocional a medida que se suceden en el tiempo los flujos, se conoce como amortising swap; finalmente, si se pacta una combinación de ambas estrategias, es decir, se diseña el producto de tal forma que en algunos periodos el nocional se incremente mientras que en otros se reduzca, se le da el nombre de roller-coaster swap.

Una segunda variante es que ambas patas del swap sean a tasa variable, y este producto se conoce como basis swap, del cual hay a su vez dos posibilidades: que ambas patas estén referidas al mismo tenor (por ejemplo, 28 días), pero a diferentes factores de riesgo (por ejemplo, una pata CETE y la otra a TIIE); o que ambas patas estén referidas al mismo factor de riesgo (por ejemplo, CETE) pero cada una a un tenor distinto: 28 contra 91.

Otra posibilidad es ajustar la tasa variable del swap por algún margen que se le adicione o se le sustraiga, por ejemplo, TIIE 28 + 200 pb o TIIE 28 – 150 pb. Estos son conocidos como margin swaps.

También es posible diferir la fecha de inicio del swap, por periodos tan prolongados (semanas o hasta meses) que prácticamente se transforma el contrato en un forward donde el activo subyacente es precisamente el swap, razón por la que se conocen como deferred swaps, forwarded swaps o forward start swaps.

Si una de las patas del swap está referida a una tasa fija y está denominada en la moneda base, es decir, no involucra divisas, es posible liquidar la suma de estos pagos fijos en una sola exhibición, ya sea al inicio o al final del swap (comúnmente se realiza el pago al final). Si se liquidan al principio del swap, hay dos formas de pactar la liquidación: trayendo a valor presente cada uno de los flujos a través de la curva de la tasa variable subyacente del swap, o simplemente sumando los flujos fijos. Si liquida al final del swap normalmente se considera la simple suma de los flujos,


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aunque puede pactarse también capitalizar los intereses correspondientes con la tasa variable subyacente observada el día del vencimiento de cada flujo. Este tipo de swaps se conoce como zero-coupon swaps.

Otra posibilidad consiste en observar la tasa variable subyacente al final y no al inicio del periodo. Este tipo de swaps se conoce como in-arrears swaps o back-set swaps.

Finalmente puede pactarse un swap de divisas o un cross-currency swap, con la peculiaridad de que, aunque una de las patas involucre como factor de riesgo el tipo de cambio al estar denominada en una divisa distinta a la moneda base, la liquidación se hace en la moneda base, convirtiendo el flujo resultante al tipo de cambio vigente, y comúnmente liquidando por diferencias. Estos swaps son conocidos como Diff swaps.

F. Opciones

“Al contrario de los mercados accionarios, donde es difícil discernir si el precio es o no el ‘verdadero’

(concepto que podría estar vacío), los mercados de opciones ofrecen un notable campo de prueba para

la idea del mercado eficiente. ¡También son un buen ejemplo de adaptación de una población (los

traders) a un ambiente hostil y complejo que ha surgido en unas cuantas décadas!”

Jean-Philippe Bouchaud y Marc Potters Las opciones, productos derivados que otorgan al tenedor, a cambio del pago de una prima, el derecho de ejercer la compra (opción de compra: call) o la venta (opción de venta: put) del subyacente a un precio predeterminado (precio de ejercicio) en una fecha futura específica (opción europea) o incluso en cualquier momento previo durante la vida de la opción (opción americana), por sus propias características, requieren procesos de valuación más complejos que el simple costo de acarreo de las coberturas lineales.

1. Factores que determinan la prima

Al intentar valuar una opción, el primer paso es identificar los factores que determinan su precio, la prima. Por ahora analicemos sólo una opción europea sobre una acción que no paga dividendos. Dado que la prima debe reflejar la probabilidad de ejercer la opción, además de los factores que se aplican a la cobertura lineal (el precio spot del subyacente, el número de días al vencimiento y la tasa de interés libre de riesgo) y los propios datos de la opción (precio de ejercicio), en este caso se requiere la volatilidad del subyacente. Si eliminamos el supuesto de que la acción no paga dividendos, habría que considerar también esta variable. Dado que estos factores determinan la prima, antes de encontrar una función cerrada veremos que existen sensibilidades de la prima a cada factor, y suelen identificarse con letras griegas y estimarse bajo la lógica de derivadas parciales.

La primer sensibilidad de la prima es con respecto al precio spot del subyacente, y se conoce como delta (). Se utiliza incluso una segunda derivada de la prima respecto del spot, conocida como gamma (), o primer derivada de la prima respecto de delta.

Otra sensibilidad muy útil es vega, también conocida como kappa (), derivada de la prima con respecto a la volatilidad del subyacente; rho () es la sensibilidad de la prima respecto de la tasa de interés libre de riesgo y théta () respecto del número de días por vencer, es decir, el factor tiempo o vida remanente de la opción.


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2. Límites de las primas de calls y puts europeos

Tanto en el caso de los calls como en el de los puts, las primas están acotadas por límites evidentes. Primero, resulta claro que la prima de una opción no puede ser negativa, pues significaría que el comprador de la opción, que desea cubrirse, además de obtener el seguro recibe un pago por parte del suscriptor. Entonces pareciera lógico pensar que el límite inferior de la opción es cero, pero en el caso del call, por ejemplo, el límite inferior es realmente el resultado de restarle al precio spot del subyacente el valor presente del precio de ejercicio, siempre y cuando este valor sea positivo. Si no se cumpliera este límite, es decir, si el suscriptor de la opción vendiera el call a dicha diferencia, o a cualquier precio inferior, si bien mayor a cero, estaría regalando anticipadamente recursos al comprador, es decir, le está pagando por cubrirlo, por absorber el riesgo que el comprador de la opción desea minimizar o eliminar de su posición primaria. El límite superior del call es el propio precio spot, y por lo tanto el comprador de una opción de compra, independientemente de la volatilidad, del nivel del mercado y de cualquier otro factor que pudiera hacer lógico y deseable pagar primas altas, no debe jamás pagar ningún precio superior al propio precio del subyacente.

En el caso del put, el límite inferior es el valor presente del precio de ejercicio menos el precio spot, y el límite superior es el valor presente del precio de ejercicio. Tanto para calls como para puts, es demostrable que si una prima excede los límites superior o inferior, automáticamente puede hacerse un arbitraje, es decir, un portafolio sin riesgo que genere un rendimiento, en cualquier escenario, mayor a la tasa libre de riesgo.

3. Paridad put-call

Si se intentara comparar un call con un put cuando coinciden las características básicas de ambos (precio de ejercicio, subyacente, vencimiento, etc.), podría intuitivamente pensarse que las primas de ambos debieran ser iguales, lo cual es por supuesto incorrecto, pero sí existe una paridad muy clara, fácil de deducir y, además, en condiciones normales prevaleciente, porque de no cumplirse permite la generación de portafolios de arbitraje.

c+Ke−rτ=p+S

Es decir, la prima del call más el valor presente del precio de ejercicio debe ser igual a la prima del put más el precio spot del subyacente, siempre y cuando el subyacente sea una acción que no paga dividendos y la opción sea europea. La paridad put-call tiene un enorme campo de aplicación tanto teórica como práctica, pero una de las más importantes es que permite, con una simple operación algebraica, estimar la prima teórica del call o del put, siempre y cuando exista en el mercado la otra opción y ambas sean suficientemente líquidas para suponer que el mercado es eficiente y que por lo tanto la paridad permea la formación de precios.

4. Ejercicio temprano y límites de opciones americanas

Al analizar opciones americanas, la primer idea es suponer que tanto la prima del call como la del put deben ser superiores que sus equivalentes europeas, pues la posibilidad de ejercer en cada momento antes del vencimiento de la opción incrementa de forma evidente y natural la probabilidad de ejercer. Sin embargo, considerando por ejemplo el caso del call, veremos que un ejercicio temprano de la opción implicaría liquidar anticipadamente el precio de ejercicio, perdiendo entonces los intereses que estos recursos hubieran generado por el resto de la vida de la opción. Además, si resulta que en el vencimiento el precio spot se regresa, y desciende a un nivel inferior al precio de ejercicio, es decir, si la opción venciera fuera del dinero, el tenedor de la opción ya no puede hacer nada, y pagó en consecuencia demasiado cara la acción y además anticipadamente. Por lo tanto se considera que, si el tenedor no requiere la acción subyacente antes del vencimiento de la opción, el ejercicio temprano de un call no tiene sentido y por lo tanto no se paga más por él que por un call europeo. En el caso del put, si éste se encuentra profundamente dentro del dinero y


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el vencimiento es relativamente cercano, el ejercicio temprano genera al tenedor el ingreso anticipado del precio de ejercicio y por lo tanto los intereses correspondientes al menos al periodo que le resta de vida a la opción. De cualquier forma el precio spot del subyacente no podrá caer por debajo de cero, y en cualquier caso el ejercicio temprano sólo genera al tenedor el ingreso del precio de ejercicio a cambio de la entrega de la acción. Entonces, dado que el ejercicio temprano del put americano sí tiene sentido, su prima debe superar siempre la prima de un put europeo equivalente.

Aplicando la paridad put-call, así como evidentes relaciones de arbitraje, es posible deducir que las primas de las opciones call y put americanas deben satisfacer el siguiente rango:

S−K≤C−P≤S−Ke−rτ

5. Black and Scholes para opciones europeas sobre acciones que no pagan dividendos

Como mencionan Dimson y Mussavian (enero del 2000), los antecedentes básicos de los esfuerzos teóricos para valuar los derivados, en particular las opciones, se encuentran en Bachelier (1900), Keynes (1930) y Hicks (1934). Entre ellos, y sin menospreciar a ninguno de los otros dos, debe resaltarse, al menos por un mínimo principio de justicia histórica, el trabajo de Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, que constituyó su tesis doctoral, y que entre otros méritos notables delinea y aplica por primera vez al campo de las finanzas la noción del movimiento browniano para explicar las fluctuaciones de los rendimientos de los precios; denomina la volatilidad como nerviosismo; predice la posibilidad de desarrollar un modelo analítico que permita estimar la probabilidad de ejercer y, por lo tanto, la prima de una opción, es decir, sienta los fundamentos sobre los que serían desarrollados posteriormente los dos modelos más populares actualmente, el Black and Scholes y el binomial; y describe explícitamente diferentes portafolios de opciones que permiten tradeoffs particulares hoy identificados como estrategias.

Desgraciadamente el trabajo no fue apropiadamente reconocido en su tiempo. Sometido a los parámetros y prejuicios de la época, fue suficiente apenas para que Bachelier obtuviera su grado de Doctor pero sin la mención honorífica que le hubiera proporcionado una cátedra en París, probablemente en la Sorbona, condenándolo a pasar el resto de su vida como profesor en una universidad más bien media en un pueblo francés. La enorme miopía que impidió que los contemporáneos de Bachelier apreciaran, y aplicaran, en todo lo que valía su trabajo, se debe, entre otros factores, al desprecio profundo que los matemáticos de su época manifestaban por el campo de las finanzas; a la aparente escasa importancia relativa de la actividad financiera en el desempeño de la economía; y sobre todo, al gran contraste entre la situación financiera de la época de Bachelier, más bien estable, y el periodo inmediato posterior a la obsolescencia del acuerdo de Bretton Woods, que se caracterizó por la explosión y contagio de la volatilidad a todos los activos financieros y, paulatinamente, a todos los mercados del mundo. Fue hasta entonces que académicos, financieros e investigadores, tanto economistas como físicos y matemáticos, rescataron del olvido las ideas que setenta años antes habían estado a punto de consolidarse en un modelo congruente y de forma cerrada para la valuación de opciones, que finalmente fue desarrollado y publicado por Black y Scholes hasta 1973. De hecho, un poco antes, en 1965, Samuelson, a raíz del redescubrimiento del trabajo de Bachelier, había ya intentado encontrar una explicación al problema de la valuación de opciones, pero, básicamente debido a su incapacidad de aludir al argumento de no-arbitraje, fracasó y hubo que esperar hasta la publicación del famoso The pricing of options and corporate liabilities para encontrar una solución, acotada en un principio a la valuación de una opción europea sobre una acción que no paga dividendos, y desarrollada sobre la idea fundamental de que la relación precio - beneficio de una opción es exactamente replicable, bajo ciertos supuestos, a través de la constitución de un portafolio dinámico y


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autofinanciado, después de absorber el costo inicial, con sólo dos activos: la acción subyacente y un bono libre de riesgo, realizando operaciones continuas en cada lapso de tiempo.

a) La caminata aleatoria de los precios de los activos financieros

La hipótesis de los mercados eficientes suele plasmarse de varias formas, a través de diversas combinaciones de supuestos restrictivos, que sin embargo pueden, a grandes rasgos, sintetizarse en dos argumentos:

1. El precio de cada activo en un momento dado refleja de forma perfecta toda la información pasada, es decir, toda la historia, sin omitir ningún evento relevante que debiera afectar el precio pero sin contemplar ninguna información ajena ni sobre eventos posteriores, es decir, los precios, y los procesos de formación subyacentes, no se ven afectados por rumores sobre posibles eventos futuros, sino sólo por hechos reales ya acontecidos que son matemáticamente interpretados y descontados en el precio del activo.

2. Si se percibe en el mercado cualquier información nueva sobre el activo, los agentes responden inmediatamente y de forma correcta, transformando en consecuencia el precio y además por el monto preciso: no hay sobrevaluación ni subvaluación del activo.

En consecuencia, si el precio de un activo no varía a menos que se registre nueva información relevante, al pretender modelar los precios de los activos financieros debemos realmente modelar la incorporación de información nueva que afecte dicho precio, por lo que bajo los dos supuestos básicos mencionados los cambios no anticipados en el precio del activo son un proceso de Markov.

El proceso de Markov es un proceso estocástico particular que relaciona el valor actual de una variable a sus propios valores previos y a un término aleatorio de error, por lo que resulta irrelevante la ruta particular que la variable haya observado en el pasado: para caracterizar completamente el proceso estocástico, sólo se requieren las densidades de probabilidad condicional de primero y segundo orden, dado que cualquier densidad de probabilidad conjunta de orden superior puede determinarse a partir de ellas. Si el precio de un activo financiero depende únicamente del precio actual, y es independiente de la historia del activo, entonces se entiende que tiene la propiedad de Markov.

Con el fin de modelar el rendimiento generado por un activo al transcurrir un intervalo infinitesimal de tiempo, t, la solución más común, derivada de la lógica del movimiento geométrico browniano, consiste en descomponerlo en dos componentes básicos:

A) Un elemento determinístico y predecible, interpretado como la tasa media de crecimiento del precio del activo, y que debido a su relación con la tasa libre de riesgo resulta ser un rendimiento anticipado: t.

B) El segundo elemento que contribuye a la modelación del rendimiento de un activo financiero incorpora el componente aleatorio, en respuesta a factores externos. Suele representarse a través de una muestra aleatoria derivada de una distribución normal con media cero: X.

En consecuencia la representación matemática de esta forma simple para generar precios de activos financieros, conocida como ecuación diferencial estocástica, queda como sigue:

δSS=σδ X+μδ t

Si asumiéramos que el efecto del término X se anulara, debido a que la volatilidad fuera nula, la ecuación diferencial estocástica se vería reducida a la ecuación diferencial ordinaria:


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δSS=μδ t

, es decir,

δSδt=μS

Si el crecimiento medio del precio del activo fuera constante, la ecuación diferencial ordinaria puede ser resuelta de tal forma que se obtenga exactamente el crecimiento exponencial en el valor del activo:

ST=S t eμ (T−t )

Por lo tanto, si la volatilidad es nula y la media del crecimiento del precio del activo es constante, el precio del activo es totalmente determinístico y es posible en consecuencia predecir con absoluta certeza el precio futuro, porque en ese caso el precio del activo no sigue una ruta aleatoria. El término X se identifica como un proceso Wiener y contempla la aleatoriedad intrínseca a los precios de un activo financiero como característica propia, con algunas propiedades particulares: es una variable aleatoria, derivada de una distribución normal, con media cero y con una varianza igual al intervalo infinitesimal de tiempo en que transcurre la variación del precio:

δX=φ√δt

Donde es una variable aleatoria derivada de una distribución normal estándar cuya función de densidad es:

1√2 π

e− 1

2φ2

Dado que −∞ ¿¿

. Si se define un operador de expectativa como:

ε [ F (¿ ) ]= 1√2π∫−∞

∞

F (φ ) e− 1

2φ2

δφ ∀ F

Donde F es cualquier función, entonces:

ε (φ )=0, y

ε (φ2)=1

La ecuación diferencial estocástica es una forma particular del sendero aleatorio, pero con la peculiaridad de que si es la ruta que explica la evolución del precio de un activo financiero, la función de densidad de probabilidad es la distribución lognormal, una curva con forma de campana, como la distribución normal estándar, y la ruta aleatoria se identifica por lo tanto como ruta aleatoria lognormal.

b) El lema de Ito

El lema de Ito establece una relación entre un pequeño cambio observado en una función de una variable aleatoria y la propia variación pequeña. Para facilitar su entendimiento se aplica el “enfoque heurístico” de Wilmott, Howison y Dewynne, derivado de la expansión de series de Taylor.

Puede probarse que, con una probabilidad de 1:


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δX 2→δt a medida que

δt→0

Es decir, a medida que el intervalo de tiempo en que cambia el precio spot se hace cada vez más pequeño, aumenta la certidumbre de que X2 es igual al intervalo de tiempo.

Si la prima fuera función del precio spot del subyacente y éste a su vez no fuera estocástico, podría aplicarse la expansión de series de Taylor para deducir el efecto que tendría en la prima de la opción una pequeña variación del precio spot, efecto que a su vez sería también pequeño, dado que no nos encontramos cerca de las singularidades de la prima. La serie de Taylor sería así:

∂ f= ∂ f∂ S∂ S+ 1

2∂2 f∂ S2

∂ S2+. .. ,

donde el remanente implícito a la derecha del último signo de suma es menor a cualquiera de los términos que sí hemos explicitado. En esta función el precio spot del subyacente es un simple número, si bien aleatorio, por lo que podemos aplicar la ecuación diferencial estocástica que, como vimos previamente, nos explica S:

∂ S2=σ2 S2 δX 2+2σμ S2 δtδX+μ2 S2 δt2

Un breve análisis del orden de los componentes de esta función nos permitiría detectar que, para intervalos de tiempo que tienden a cero, el primer término predomina sobre el resto y es con mucho el más grande, por lo que, tomando en cuenta que el cuadrado del componente aleatorio de la ecuación diferencial estocástica tiende al intervalo de tiempo, cuando éste tiende a cero, entonces:

∂ S2→σ 2S2δt

Si sustituimos esta expresión en la serie de Taylor mencionada previamente, y retenemos sólo

aquellos términos al menos de tamaño igual al de δX

, aplicando nuevamente la definición del incremento en el precio spot explícita en la ecuación diferencial estocástica, podemos deducir que:

∂ f=δX (σS∂ f∂ S )+δt (μS

∂ f∂ S+1

2σ2 S2 ∂2 f

∂ S2 )Esta es la forma en que el lema de Ito relaciona un pequeño cambio en una función de una variable aleatoria a una variación también pequeña en la propia variable.

c) Valuación de opciones en un mercado idealmente eficiente

Dado que el precio de cualquier activo subyacente a una opción es una variable aleatoria, la prima de la opción es función de una variable aleatoria. La propuesta de valuación de Black & Scholes, l primera confiable, es válida sólo bajo ciertos supuestos que resultan en restricciones severas y por lo tanto restringen su aplicación a mercados idealmente eficientes. Estos supuestos son:

1. El precio de la acción subyacente sigue el proceso estocástico de Ito.

2. La operación de acciones es continua.3. No existen oportunidades de arbitraje.4. Es posible vender acciones en cualquier momento.5. No hay costos de transacción.6. La tasa de interés de mercado (tasa libre de riesgo) y la volatilidad del subyacente son

constantes.


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7. La acción no genera dividendos durante el lapso de vida de la opción.8. Las acciones son perfectamente divisibles.

Black y Scholes asumen que el precio spot de la acción subyacente puede describirse como un proceso de Ito, es decir, definido por una ecuación diferencial estocástica particular que satisface el lema de Ito y asumen de forma específica que el precio de la acción sigue un movimiento browniano geométrico, implicando por lo tanto que los cambios en el logaritmo del precio están distribuidos de forma Gaussiana.

Si se asume que el precio de la acción se modela por un movimiento browniano geométrico, cualquier función de dicho precio, y ya vimos anteriormente que el precio de la opción es función del precio del subyacente, debe ser una alternativa de solución de la ecuación diferencial parcial que se obtiene de un caso especial del lema de Ito, válido para el movimiento browniano geométrico:

∂ f=δt ( ∂ f∂ S

μS+∂ f∂ t+ 1

2∂2 f∂ S2

σ 2S2)+δW∂ f∂ S

σS

Donde W es un proceso Wiener. Si se considera un portafolio con acciones en posición larga y una opción en posición corta cuyo subyacente es la misma acción, claramente el valor del portafolio en cualquier momento t es:

φ=− f + ∂ f∂ S

S

El cambio en el valor del portafolio durante el intervalo de tiempo δt

es:

Δφ=−Δf + ∂ f∂ S

ΔS

A través del lema de Ito:

Δf=Δt (μS∂ f∂ S+∂ f∂ t+1

2∂2 f∂ S2

σ2 S2)+ΔW∂ f∂ S

σS

A partir de la definición de movimiento browniano geométrico:

ΔS=μΔ tS+σSΔW

Por lo tanto el cambio en el valor del portafolio está dado por:

Δφ=Δt [−∂ f∂ S

μS−∂ f∂ t−1

2∂2 f∂ S2

σ 2 S2+ ∂ f∂ S

μS ]−∂ f∂ S

σSΔW + ∂ f∂ S

σSΔW

El cual evidentemente se simplifica a:


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Δφ=Δt [−∂ f∂ t−1

2∂2 f∂ S2

σ 2 S2]El supuesto fuerte de Black y Scholes, que el precio de la acción sigue el movimiento browniano geométrico, resulta ser fundamental para la derivación del precio racional de una opción, pues entre otros resultados, de no ser por dicho supuesto no sería posible simplificar tanto la función que explica el crecimiento en el valor del portafolio.

Dado que, por el segundo supuesto, en el mercado no existen oportunidades de arbitraje, entonces el portafolio no puede alcanzar en ningún intervalo un valor mayor al que se obtendría invirtiendo en la tasa libre de riesgo por el mismo periodo. Si dicha tasa es constante:

Δφ=rφΔt

Resolviendo ambas ecuaciones que explican la variación en el valor del portafolio se obtiene:

rf=∂ f∂ t+rS

∂ f∂ S+ 1

2∂2 f∂ S2

σ2 S2

Este resultado es conocido como la ecuación diferencial parcial de Black & Scholes, que no requiere para obtenerse supuestos sobre tipos específicos de opciones, es decir, la misma ecuación es válida tanto para calls como para puts.

Para obtener el resultado final, que evidentemente sí debe distinguir entre una opción de compra y una opción de venta, simplemente se seleccionan las condiciones apropiadas de límites de las primas.

d) La fórmula de Black & Scholes

La solución de Black y Scholes a su ecuación diferencial parcial es posible gracias a la siguiente sustitución:

f=erτ y ( x ,t ´ )

Donde:

x≡ 2

σ2 (r−σ2

2 )( ln( SK )−(r−σ 2

2 )τ ),

τ=T−t360

, y

t '≡− 2σ2 (r−σ2

2 )τCon esta solución la ecuación diferencial parcial de Black & Scholes se vuelve prácticamente equivalente a la ecuación de transferencia de calor de física, la cual tiene una solución analítica.


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Por lo tanto Black y Scholes, a través de las sustituciones mencionadas, encontraron su famosa ecuación para resolver el problema de la valuación de opciones:

c=SN (d1 )−Ke−rτ N (d2 )

p=Ke−rτ N (−d2)−SN (−d1)

Donde N ( x )

es la función de densidad acumulativa para una variable gaussiana con media cero y desviación estándar de 1:

d1≡ln( S

K )+(r+ σ 2

2 )τσ √τ

, y d2≡d1−σ √τ

6. Binomial

Un poco después del desarrollo del Black & Scholes, Cox, Rubinstein e Ingersoll desarrollaron un modelo que pretendía facilitar tanto la comprensión como el cálculo de la prima teórica de una opción. Para comprender su lógica, supongamos primero que sabemos con toda certeza que el precio spot de la acción subyacente sólo tiene dos posibles precios en el vencimiento de la opción, de tal forma que sólo hay dos posibles resultados para la opción en su vencimiento (supongamos que es un call): Fuera o dentro del dinero.

Si la posición en el call es corta, el suscriptor tiene un riesgo enorme: que la opción venza profundamente en el dinero y por lo tanto pierda una cantidad considerable, al verse obligado a comprar en el mercado spot acciones caras para poder cumplir su obligación de venderlas al precio de ejercicio. Evidentemente la estrategia de cobertura sería comprar anticipadamente acciones, es decir, asumir una posición larga en el subyacente, pero no por todo el monto amparado por la opción, sino sólo por el equivalente a la probabilidad de ejercer, es decir, un número de acciones tal que el call corto sea inmune a las variaciones que el spot pudiera observar al vencimiento.

Dado que asumimos que en el vencimiento hay sólo dos posibles precios finales y conocemos esos precios, y sabemos que la posición del portafolio es corta en un call y largo en acciones, entonces podemos evaluar cada uno de los dos posibles valores finales del portafolio y, al igualarlos, obtener la que inmuniza el portafolio, es decir, que asegura que en el vencimiento, sea cual sea el precio spot del subyacente (asumiendo que sólo existen dos alternativas) el valor del portafolio será el mismo y conocido desde el inicio de la posición.

Dado que se supone eficiencia en el mercado, y por lo tanto no arbitraje, en completa congruencia con los supuestos del Black & Scholes, entonces un portafolio libre de riesgo no puede rendir más que la tasa libre de riesgo, y por lo tanto, si se conoce la tasa del día de inicio de la posición para el número de días por vencer del call, simplemente descontando a valor presente el valor final del portafolio se conoce el valor inicial del portafolio. Dado que también se conoce delta, entonces sólo resta despejar la incógnita, es decir, el valor inicial del call.

Hasta aquí el modelo parece bastante simple, pero no se ha explicado cómo fijar los posibles precios spot finales. El siguiente paso es incorporar la volatilidad del subyacente para hacer crecer y decrecer el precio spot inicial y encontrar así precios finales que incorporen probabilidad a través de una estimación de la dispersión de los rendimientos contra su media. Además, deberá

determinarse un cierto intervalo de tiempo, , es decir, dividir el número de días por vencer de la opción en un número dado de intervalos que, mientras más pequeño sea, generará estimaciones


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más precisas, convergentes al Black and Scholes, y en cada uno de esos intervalos se ejecuta el proceso esbozado previamente, consistente en determinar la prima de cada momento como función del valor que la opción tendría en las dos posibilidades (alza y baja) en el periodo inmediato posterior. De esta forma, para una opción europea, basta con estimar los spots del vencimiento, aplicar la función de maximización de la opción (ya sea call o put) y con dichos valores esperados de la opción en el vencimiento estimar las primas del intervalo inmediato anterior al vencimiento, y así sucesivamente, hasta llegar al día de inicio del periodo, el día en que se realiza la valuación.

En el caso de opciones americanas, hay que calcular además los precios spot esperados en cada intervalo, no sólo al vencimiento, y maximizar entre la prima tipo europeo y el valor que la opción tendría si se ejerciera en cada punto de forma temprana. Ante la complejidad del Black and Scholes modificado para opciones americanas, el binomial tiene una amplia aceptación en este sentido por su relativa facilidad, si bien la restricción de que se requiera un número considerable de intervalos, al menos 30, dificulta un poco el cómputo.

Por ejemplo, supongamos que el precio de ejercicio de un put americano sobre una acción que no paga dividendos es de $102.00, el spot del subyacente es de $100.25, a la opción le restan 150 días por vencer, la tasa anualizada libre de riesgo en curva para 150 días es de 9.85% y la volatilidad anualizada del subyacente es de 32%. Si dividimos el tiempo por vencer en meses de 30 días, entonces tenemos 5 intervalos a partir del día de hoy, cada uno de un tamaño igual a 30/360, es decir, 0.083333.

En el vencimiento hay seis posibles precios spot finales. Cada uno se estima haciendo crecer (u) o decrecer (d) el spot actual multiplicando por un factor, elevado este último al número de veces que es necesario que el spot suba y baje desde el inicio para llegar a tal punto. El factor probabilístico está dado porque la e contempla como tasa de crecimiento a la volatilidad. En el ejemplo, dado que se dividió el tiempo en 5 intervalos, el precio spot final de 159.10 es el resultado de multiplicar el spot inicial, 100.25, por el factor de crecimiento, (u), elevado a la quinta potencia, porque para llegar a este punto el spot debió observar 5 alzas consecutivas, y por el factor de decrecimiento, (d), elevado a la cero, porque para llegar a este punto el spot debió tomar una ruta sin bajas. En

este ejemplo el factor de alza se calculó como , y el factor de baja como . En consecuencia el precio de 132.26 es el resultado de multiplicar el spot por el factor de alza elevado a la cuarta potencia y por el factor de baja elevado a la primera potencia, porque para llegar a dicho punto, bajo cualquier posible combinación, el precio spot inicial debió subir cuatro veces y bajar una.

Después sólo hay que evaluar la prima o valor de la opción correspondiente a cada spot, considerando que es americana, con la siguiente función:

Es decir, la prima (f) en cualquiera de los puntos es función de las dos primas del intervalo inmediato posterior: una superior y otra inferior. En este caso, la probabilidad (p) está dada por:

Como la opción es put americana, tanto al final como en cada uno de los intervalos anteriores, incluyendo el del inicio, además de estimar la prima de esta forma hay que evaluar la opción simulando el ejercicio de forma temprana y si el beneficio generado supera la prima teórica, entonces se toma. De esta forma se llega al valor final: un put americano con estas características,


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dadas las condiciones actuales del mercado, es decir, la volatilidad, y considerando sólo cinco intervalos, la prima teórica el día de hoy es de 7.78.

159.10 145.06 -

- 132.26 132.26

120.59 - 120.59 - 109.95 1.13 -

3.75 109.95 109.95 100.25 100.25 2.39 100.25 -

7.78 91.40 6.67 5.03 12.31 91.40 91.40

83.34 11.46 83.34 10.60 18.66 18.66

75.99 75.99 26.01 69.28 26.01

32.72 63.17 38.83

7. Black and Scholes para opciones europeas sobre divisas

Cuando el subyacente es una divisa, surge el problema de que se trata de un activo que en el tiempo forzosamente genera un flujo, negativo si la posición es corta (fondeo en divisas, donde hay que pagar intereses) o positivo si la posición es larga (inversión en divisas, donde se reciben intereses), siempre referido a la tasa libre de riesgo del país origen de la divisa. Garman y Kohlhaguen modificaron la fórmula del Black & Scholes para incorporar la tasa extranjera como una variable más dentro del modelo para determinar la prima:

Si se considera el costo de acarreo de un forward sobre la misma divisa para el mismo vencimiento, en forma continua:

Entonces la formulación puede ajustarse:


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8. Black and Scholes para opciones europeas sobre bonos cupón cero

Para estimar la prima de una opción europea cuyo subyacente sea un bono cupón cero, el procedimiento es el siguiente:

1. Calcular el valor del bono, el precio de ejercicio y el precio forward:

Bt=1

[360+r f (T−M )360 ] [360+rC (M−t )

360 ]=360

360+rL (T−t )

V t=QBt

F t=Q360360+rf (T−M )

=Q360+rC (M−t )360+r L (T−t )

K=Q360360+rK (T−M )

r f=[ r L (T−t )−rC (M−t )360+r C (M−t ) ]360

T−M

Donde:

Bt = Proporción del nocional que representa el valor del bono al día t.Vt = Valor del bono al día t.Q = Valor nocional.Ft = Precio forward del bono al día t.K = Precio de ejercicio de la opción.rK = Tasa de ejercicio de la opción.rf = Tasa forward estimada para el periodo T-M.rL = Tasa de largo plazo, observada en el vector de tasas TIIE 28 para SWAPS y FRAS del Price Vendor para el

vértice T-t.rC = Tasa de corto plazo, observada en el vector de tasas TIIE 28 para SWAPS y FRAS del Price Vendor para el

vértice M-t.T = Día de vencimiento del activo subyacente.t = Día de valuación.M = Día de vencimiento de la opción.T-t = Días por vencer de la opción más plazo del subyacente.M-t = Días por vencer de la opción.T-M = Plazo del subyacente.

2. Calcular el valor del call o del put:


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d1=ln( F t

K )+ σ2 (M−t )720

σ √M−t360

=

ln(360+r K (T−M )360+r f (T−M ) )+ σ2 (M−t )

720

σ √M−t360

d2=ln( F t

K )−σ2 (M−t )720

σ √M−t360

=d1−σ √M−t360

c=B [F t N (d1 )−KN (d2 )]p=B [KN (−d2 )−F t N (−d1)]=c−(F t−K )B

Donde:

N(x) = Función de distribución de probabilidad acumulativa para una variable normal estándar (distribuida normalmente con media cero y desviación de 1)5.

= Volatilidad anualizada de la tasa de interés subyacente.c = Valor de la opción call europea sobre un bono cupón cero.p = Valor de la opción put europea sobre un bono cupón cero.

G. Opciones sobre futuros

Es frecuente encontrar opciones cuyo subyacente es un futuro en bolsas de derivados de mercados desarrollados. La valuación se simplifica si se considera la formulación de Garman y Kohlhaguen para divisas: se incorpora como subyacente el futuro, y además de modificar en la formulación los plazos para ajustarlos al vencimiento del futuro, se estima el valor esperado del subyacente:

Además se tiene la ventaja de que basta incorporar como (F) el futuro correspondiente de acuerdo a su subyacente, y por lo tanto aplica a futuros de divisas, accionarios o de tasas de interés.

H. Opciones sobre tasas de interés: Caps, Floors y Collars

Una opción europea sobre un bono cupón cero ofrece la posibilidad de cubrir una deuda o una inversión a un plazo único, con la ventaja sobre las coberturas lineales (forward rate agreements, futuros de tasa de interés o sintéticos) de que en caso de que la tasa contingente no observe un movimiento adverso se puede simplemente no ejercer la opción y tomar ventaja de la tasa

5 Para estimar la función de distribución normal acumulativa, puede utilizarse una aproximación polinomial que genera una precisión de seis decimales o la función de Excel: DISTR.NORM.ESTAND(x).


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favorable. Sin embargo, si se desea cubrir una deuda, o una inversión, pero con varios flujos, por ejemplo una deuda a 5 años que pague intereses a tasa variable cada 28 días, o una inversión en un bono cuponado a tasa variable, parece que la única alternativa es pactar un portafolio de opciones de bono, logrando así varias tasas de ejercicio, y por lo tanto se satisface la necesidad de cobertura con un producto sintético, el portafolio de opciones, de una forma óptima, igual que podría replicarse un swap con un portafolio de FRAs.

Es por esta necesidad que surgieron los Caps y los floors, es decir, productos diseñados como los swaps con un fin específico que cubren o satisfacen de forma natural y perfecta la posición primaria expuesta a riesgo tasa.

1. Caps

Los caps se utilizan para proteger deudas, y consisten simplemente en pactar una tasa de ejercicio, a cambio del pago de una prima, para un número dado de periodos sucesivos iguales, por ejemplo cada 28 días, a cambio del derecho de recibir al vencimiento de cada periodo la diferencia entre la tasa variable observada al inicio del periodo y la tasa de ejercicio única prepactada, aplicada a un nocional también prefijado. Evidentemente el ejercicio es automático y sólo en el caso de que la tasa variable supere a la tasa de ejercicio. De esta forma el tenedor del cap logra precisamente fijar un techo único a la tasa que pagará en su deuda: está protegido ante movimientos adversos, en este caso alzas de la tasa de interés de referencia, pero a diferencia del swap si el movimiento es a favor sí toma el beneficio.

Por otro lado, el agente que pretenda cubrir una inversión no debe simplemente tomar una posición corta en el cap, porque ésta implica la obligación de pagar un diferencial cuando la tasa variable supere a la de mercado, y no recibir nada cuando sea inferior, todo a cambio de una prima fija constante que normalmente se liquida desde el inicio de la opción.

Es decir, si la tasa spot supera a la de ejercicio, está obligado a recibir por su inversión la tasa de ejercicio, pero si la tasa spot es inferior tendrá que invertir a esa tasa menor: siempre invierte en la situación menos conveniente.

2. Floors

En consecuencia para cubrir una inversión debe utilizarse otro tipo de inversión con la misma lógica, pero que otorgue al tenedor, a cambio del pago de la prima, una tasa piso de tal forma que si se da el escenario de baja en las tasas la contraparte esté obligada a liquidarle la diferencia entre la tasa de ejercicio y la tasa spot, pero si el escenario es de alza, no está obligado a nada y se ve beneficiado.

3. Collars

Muchos agentes suelen crear un producto sintético mezclando caps y floors, para lograr no un techo para una deuda o un piso para una inversión, sino una brecha, es decir, simultáneamente techo y piso, ya sea para cubrir un fondeo o una inversión, sobre todo en busca de la reducción del costo comparativo de simplemente comprar el cap o el floor y absorber el total de la prima, que pudiera ser relativamente alta.

El collar por lo tanto es un portafolio donde simultáneamente se toma una posición larga en un cap y corta en un floor, o viceversa, y el resultado es una brecha: si la posición primaria es una deuda, no se pagará más que la tasa de ejercicio superior pero tampoco menos que la tasa de ejercicio inferior, más o menos el diferencial entre las primas, considerando que una se paga y la otra se recibe. Si la posición primaria es una inversión, no se recibirá menos que la tasa de ejercicio inferior, pero tampoco más que la tasa de ejercicio superior.

Existe un collar particular: si las posiciones larga (o corta) en el cap y corta (o larga) en el floor se toman con opciones cuyas tasas de ejercicio son idénticas, el resultado es que se replica


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literalmente un swap, donde la tasa swap es la tasa de ejercicio más o menos el diferencial en primas.

I. Estrategias con opciones

Así como es posible obtener un collar mezclando posiciones en caps y floors, las posibles combinaciones de al menos las cuatro posiciones básicas en opciones europeas sobre acciones que no paguen dividendos (call largo, call corto, put largo y put corto) generan un gran número de sintéticos diversos conocidos genéricamente como estrategias.

Dado que un análisis exhaustivo de estas estrategias excedería el alcance de estas notas, revisaremos sólo algunas de las más importantes.

1. Forwards sintéticos

Por ejemplo, si se compra un call y se vende un put, ambos sobre el mismo subyacente, para el mismo vencimiento y con el mismo precio de ejercicio, cuando el call se encuentre fuera del dinero, es decir, para cualquier precio spot entre cero y el precio de ejercicio, no lo ejerceremos y por lo tanto perderemos la prima, pero el put se encontrará dentro del dinero, y nos lo ejercerán, por lo que nos veremos obligados a comprar relativamente caro el activo subyacente, asumiendo una pérdida por la diferencia entre ambos precios más o menos el diferencial de primas. Por otro lado, si el call está dentro del dinero, lo ejerceremos y compraremos relativamente barato el subyacente, descontando la prima que pagamos por el call y asumiendo la prima que recibimos por el put, que a su vez está fuera del dinero y por lo tanto no es ejercido. Por lo tanto siempre compramos, y tenemos entonces un forward largo sintético.

LARGO SINTÉTICO

PRECIO

GANANCIA

Una forma fácil y didáctica de deducir el resultado de la combinación es interpretar cada segmento de cada posición con su pendiente: si se analiza el ejemplo, lo primero sería identificar cuántos precios de ejercicio están involucrados en la estrategia, en este caso es sólo uno. El o los precios de ejercicio nos definen las zonas en que podemos segmentar el sintético, en este caso son dos. Veamos el call largo: En la zona fuera del dinero su payoff es horizontal, es decir, 0. Cuando se inicia el ejercicio toma una pendiente positiva, o 1. El put corto entre 0 y el precio de ejercicio, es decir, en la primera de las dos zonas en que segmentamos el sintético, tiene una pendiente de 1, y después tiene una pendiente de 0. Si sumamos los valores que asignamos a las pendientes en cada zona, tenemos que a la izquierda del precio de ejercicio el call vale 0 y el put 1: el sintético vale 1 entre 0 y el precio de ejercicio. En la zona adyacente a la derecha el call vale 1 y el put 0, entonces la suma nos da nuevamente 1. El sintético de nuevo vale 1, es decir, replica un forward largo sintético.


66


LARGO SI NTÉTI CO

GANANCIA

Call largo

Put corto

0

1

1

0

Forward largo sintético

1 1

Si por el contrario la combinación se hace mezclando un call corto y un put largo, la réplica es de un forward corto. Utilizando la misma lógica:

CORTO SI NTÉTI CO

GANANCIA

Call corto

Put largo

0

-1

-1

0

Forward corto sintético

-1 -1

2. Bear y Bull Spreads

Si se combinan un call largo un call corto, pero con distintos precios de ejercicio, se genera un spread que puede ser Bear (sólo gana en un mercado a la baja) o Bull (sólo gana en un mercado al alza). Además es posible estructurar estos resultados utilizando sólo puts, pero debe tenerse


67


cuidado con el diferencial en primas porque incluso a través de la paridad put-call es posible demostrar que puede ser más barata una alternativa que la otra:

BEAR SPREAD

PRECIO

GANANCIA

BULL SPREAD

PRECIO

GANANCIA


68


BULL SPREAD CON PUTS

PRECIO

GANANCIA

BEAR SPREAD

PRECIO

GANANCIA

3. Long y Short Straddles

Si se compran tanto un put como un call, ambos con el mismo precio de ejercicio, se requiere un desembolso relativamente considerable al inicio, la suma de ambas primas, pero se obtiene una estrategia singularmente conveniente: se gana tanto al alza como a la baja, siempre y cuando el desplazamiento observado en el mercado sea considerable: protege contra los efectos de la volatilidad:


69


LONG STRADDLE

PRECIO

GANANCIA

Si por el contrario se venden ambas opciones, el resultado es bastante peligroso, pues la probabilidad de obtener el máximo rendimiento posible es muy baja: que ambas opciones venzan en el dinero, y esta ganancia es sólo la suma de ambas primas. Por el contrario, si el spot de vencimiento es muy distinto del precio de ejercicio, sin importar si es al alza o a la baja, la pérdida es considerablemente alta e ilimitada a medida que el spot se aleje del precio de ejercicio.

SHORT STRADDLE

PRECIO

GANANCIA

4. Long y Short Strangles

El requerimiento forzoso con los straddle de que los precios de ejercicio sean iguales obliga a que normalmente una de las dos opciones, el call o el put, resulte relativamente demasiado cara, encareciendo el straddle largo, o demasiado barata, encareciendo el máximo ingreso posible con el short straddle. En consecuencia se aplica la misma lógica, pero utilizando precios de ejercicio distintos, es decir, construyendo strangles.


70


LONG STRANGLE

PRECIO

GANANCIA

SHORT STRANGLE

PRECIO

GANANCIA

5. Long y Short Butterflies

Si se combinan un call largo con cierto precio de ejercicio (K1), dos call cortos con otro precio de ejercicio (K2) y otro call largo con un precio de ejercicio (K3), donde los tres precios de ejercicio son equidistantes, es decir:

La estrategia resultante se conoce como long butterfly:


71


LONG BUTTERFLY

PRECIO

GANANCIA

Tiene la enorme ventaja de que se comporta de forma muy parecida al short straddle, pero con la pérdida acotada en un nivel mínimo y conocido previamente. Además, si por ejemplo aislamos el call largo con el precio de ejercicio más bajo y uno de los dos call cortos, veremos que tenemos un bull spread, y con el call corto y el call largo restantes tenemos un bear spread, por lo que el butterfly es también una combinación de dos estrategias. Es posible estructurar el long butterfly con puts, utilizando también puts largos en los extremos y dos put cortos en el medio:

LONG BUTTERFLY

PRECIO

GANANCIA

Si los extremos son cortos y las dos opciones del precio de ejercicio medio son largas, el butterfly resultante es un short butterfly, cuya pérdida máxima está acotada y es poco probable, sólo si las opciones medias vencen en el dinero, mientras que la ganancia, aunque también acotada, es mucho más probable y sólo requiere un mercado suficientemente volátil, es decir, un vencimiento del spot alejado del precio de ejercicio, sin importar si es al alza o a la baja.


72


SHORT BUTTERFLY

PRECIO

GANANCIA

El short butterfly también puede replicarse con puts:

SHORT BUTTERFLY

PRECIO

GANANCIA

Utilizando la paridad put-call, puede demostrarse que el costo de estructurar un butterfly (largo o corto) con calls o con puts es idéntico, evidentemente suponiendo, con base en la paridad, que no hay arbitraje en el mercado porque la eficiencia del mercado es tal que en cualquier instante que la paridad no se cumpla de inmediato es generado un portafolio de arbitraje por algún agente del mercado, se absorbe la diferencia y el mercado regresa al equilibrio implícito en la paridad put-call, que por lo tanto implica, entre otros puntos, que los costos de operación son nulos y la información es homogénea:

Put – Call Parity:

Si se estructura un Long Butterfly con calls:o Call Largoo Doble Call Cortoo Call Largo

Si se estructura con puts:

o Put Largo


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o Doble Put Cortoo Put Largo

Dado que se trata de un butterfly, en ambos casos se tienen precios de ejercicio equidistantes:

El costo del butterfly con calls es:

El costo del butterfly con puts es:

Por la paridad put – call:

, ,

Sustituyendo:

Por lo tanto,

J. Opciones exóticas

Además de las estrategias existen las conocidas como opciones exóticas, es decir, productos opcionales diseñados para satisfacer necesidades específicas. Hull, de hecho, incluye las estrategias como uno de los grupos de opciones exóticas y los denomina paquetes. A continuación revisaremos brevemente algunas de las opciones exóticas más comunes.

1. Opciones compuestas (Compound options)

La idea es bastante simple: se trata de opciones cuyo subyacente es otra opción, es decir, calls sobre calls, calls sobre puts, puts sobre calls y puts sobre puts. Aunque es fácil de explicar, la valuación no resulta una tarea tan simple porque el precio de ejercicio de la opción es al mismo tiempo la prima esperada de la opción subyacente.


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2. Opciones binarias (Binary options)

Existen dos tipos de opciones binarias: las cash-or-nothing y las asset-or-nothing. Se conocen como binarias porque en ambos casos el payoff final sólo tiene dos posibilidades: en la cash-or-nothing, si la opción vence dentro del dinero, el tenedor de la opción recibe una cantidad fija de efectivo que no varía con el nivel del spot, por lo que resulta muy similar a una apuesta desbalanceada: o se pierde la prima (si la opción vence en o fuera del dinero) o se gana una cantidad fija (si la opción vence dentro del dinero).

En cambio las opciones asset-or-nothing dan el derecho al tenedor de que, en caso de ejercer, reciban una cantidad en efectivo igual al precio spot del subyacente en el vencimiento.

3. Opciones barrera (Barrier options)

En estas opciones la zona de ejercicio, es decir, la zona dentro del dinero, está acotada por un límite o barrera predefinido, y se definen dos grupos: las opciones que sólo existen si el spot excede la barrera (knock-in) y las que dejan de existir si se excede el límite (knock-out). La barrera se fija con respecto al spot vigente el día de inicio de la opción, por lo que un call up-and-in, que se clasificaría dentro del grupo de las knock-in, significa que sólo puede ejercerse si el spot excede en algún momento el límite prefijado al alza, es decir, la barrera establecida es superior al spot vigente el día de inicio de la opción. Por lo tanto hay calls y puts up-and-in y down-and-in, así como calls y puts up-and-out y down-and-out.

4. As you like it options

En este tipo de opciones la idea también es bastante simple, sólo que suelen ser relativamente caras y difíciles de valuar. La idea es que el comprador de la opción tiene una fecha específica, o periodo, en que puede decidir la naturaleza de la opción, es decir, si se trata de un call o de un put.

5. Lookback options

Estas opciones suelen ser también relativamente caras, porque no tienen un precio de ejercicio predefinido, sino que éste se fija al vencimiento, precisamente con base en la evolución del precio spot del subyacente. Para un call el precio de ejercicio será el precio spot mínimo observado durante la vida de la opción o durante un periodo predefinido. Para un put el precio de ejercicio será el precio máximo observado en el mismo periodo. Evidentemente el peor escenario en ambos casos es que la opción venza en el dinero, es decir, dado que no tiene zona fuera del dinero, y lo más probable es que se ejerza, la prima debe ser alta. Este tipo de opciones suelen agruparse, junto con las asiáticas, como path-dependent options, debido a que su payoff depende de la ruta que el spot siga durante el periodo acordado, consideración que cobra una relevancia fundamental para efectos de la valuación, pero aunque este tema excede el alcance de las notas, cabe mencionar que debe tomarse muy en cuenta el detalle si se trata de una opción OTC, porque debe especificarse claramente en el Master Agreement de ISDA, o en el contrato marco de referencia, la periodicidad, la fuente de información y el precio que serán tomados como referencia.

6. Opciones asiáticas (Asiatic options)

En estas opciones, a diferencia de las lookback, no se toma como parámetro el máximo o mínimo precio spot observado en el periodo, sino el promedio (). Si este promedio se utiliza para sustituir el precio de ejercicio en la función de maximización de utilidad, se trata de una opción conocida como strike average, y las funciones toman esta forma:

,

Si el promedio se utiliza para sustituir el precio spot, requiere que se determine un precio de ejercicio, la opción se conoce como price average y las funciones son:

,


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V. Riesgo de Mercado y Volatilidad

“En el juego hay dos placeres distintos y es probable que uno de los dos se consiga: el placer de ganar y el placer de perder.”

Lord Byron

A. Volatilidad de un activo

Hasta ahora hemos visto que la dispersión de los rendimientos de un activo respecto a su media se define como volatilidad y, por lo tanto, la determinaremos a través de la desviación estándar.

B. Volatilidad de un Portafolio de dos Activos

Desgraciadamente, la estimación del riesgo del portafolio enfrenta dificultades mayores que la estimación del rendimiento esperado, debido a que el riesgo no es lineal y debe considerar, además, la correlación entre los activos del portafolio.

Como vimos anteriormente, esto genera polinomios cuyo cálculo se facilita a través de la utilización de matrices, en particular de dos matrices simétricas: la matriz de correlaciones y la matriz de varianza – covarianza. En el caso de un portafolio de dos activos, la volatilidad del portafolio, considerando el efecto diversificación, es decir, una correlación entre ellos, será:

σ x , y=√x2σ x2+ y2σ y

2+2 xy ρx , y σ x σ y2.2

C. Volatilidad de un portafolio

Si el portafolio contempla más de dos activos utilizaremos la matriz de varianza-covarianza para estimar la volatilidad. El polinomio es el mismo, pero considerando todos los activos del portafolio es evidente que el manejo se facilita con álgebra matricial. Para estimar la matriz de varianza-covarianza se requieren la matriz () de volatilidades individuales de cada activo del portafolio y la matriz () de las correlaciones entre cada par posible de los activos del portafolio:

Una vez que se cuenta con la matriz de varianza-covarianza y con el vector (W) de ponderaciones de los activos del portafolio, la volatilidad del portafolio se estima como:

Ejemplo:

Si tenemos un portafolio con tres activos (A, B y C), cuyas volatilidades respectivas son 32%, 18% y 24%, y sus correspondientes ponderaciones en el portafolio son 25%, 42% y 33%, y su matriz de correlaciones es la siguiente:

A B C

A 1.00 0.87 0.75-

B 0.87 1.00 0.63-

C 0.75- 0.63- 1.00


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Construimos la matriz de volatilidades individuales:

A B C

A 0.32 0 0

B 0 0.18 0

C 0 0 0.24

Evidentemente ambas matrices serán siempre de dimensiones (nxn) y por lo tanto será también la dimensión tanto del producto () como de la matriz de varianza-covarianza.

A B C

A 0.102400 0.050112 0.057600-

B 0.050112 0.032400 0.027216-

C 0.057600- 0.027216- 0.057600

W wi

A 0.25

B 0.42

C 0.33

Dado que el vector de ponderaciones es vertical, al transponerlo tenemos un vector de dimensiones (1xn) y el producto de multiplicarlo por la matriz de varianza-covarianza será de las mismas dimensiones, por lo que al multiplicar este resultado por el vector de ponderaciones original (nx1) tendremos el dato buscado, la varianza del portafolio, cuya raíz nos da la volatilidad, 10.892% en nuestro ejemplo.

D. Efectos de Variaciones de la Volatilidad sobre la Distribución

Si todo permanece constante y la volatilidad se incrementa, el efecto es que la distribución se achata en la zona central y el área de las colas se incrementa, porque el mismo número de observaciones se dispersan relativamente más de la media de la distribución.

Gráfica 11.

Efecto de un incremento de la volatilidad en la distribución.

Si, ceteris paribus, la volatilidad disminuye, el efecto es que la distribución se alarga en la zona media, mientras que el área de las colas se reduce, porque el mismo número de observacione se dispersa relativamente menos de su media.


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Gráfica 12.

Efecto de un decremento de la volatilidad en la distribución.

E. Estimación de la Volatilidad

Sin embargo, la estimación de la volatilidad de un activo particular o la de un portafolio, a partir de la aplicación de la desviación estándar, presenta un problema adicional, que consiste en determinar el tamaño de la muestra de rendimientos observados para estimar con ellos la desviación estándar.

1. Teoría de los Mercados Eficientes: Caminata Aleatoria

La Caminata Aleatoria es el nombre de la ruta que siguen los activos financieros si los mercados son eficientes, es decir, si la formación de precios refleja de forma perfecta la suma de las expectativas de los agentes económicos perfectamente racionales, en un entorno de información perfecta, simultánea, homogénea y sin costo, lo que implica que cualquier información nueva es recibida de forma gratuita y al mismo tiempo por todos los participantes, y si además la racionalidad (y sangre fría) de los agentes es absoluta, entonces cada nueva información es interpretada de forma correcta y de inmediato por todos los agentes, lo cual impacta al mercado a través del factor matemático que permite medir estas tendencias: el precio de mercado. En consecuencia, dado que los precios no varían si en el mercado no se percibe información nueva que lo justifique, la autocorrelación en intervalos sucesivos de tiempo entre los rendimientos de un activo no existe, lo que implica que la ruta o sendero que siguen es aleatoria.

2. Supuesto de Media Cero

Dado que no existe autocorrelación entre los rendimientos, y debido a que el rendimiento medio crece proporcionalmente al paso del tiempo, mientras que la volatilidad crece de manera proporcional a la raíz cuadrada del tiempo, parece razonable asumir una media cero en los modelos históricos de estimación de la volatilidad. Sin embargo en la práctica, en países como México, vale la pena comprobar si este supuesto es cierto.

3. Volatilidad Histórica: Equally Weighted Moving Average Model

El estimar la volatilidad simplemente tomando promedios móviles de periodos prestablecidos, comúnmente 20 días, es decir, 20 observaciones de la tasa de rendimiento logarítmica con base en los precios, implica por lo tanto que cada observación tiene exactamente el mismo peso en el resultado final, y genera lo que se conoce como efecto fantasma: una observación alta dentro de la ventana considerada mantendrá permanentemente alta la volatilidad resultante hasta que dicho


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valor alto salga de la ventana, lo cual podría implicar una sobreestimación de la volatilidad. En cambio, en el momento en que el valor alto salga de la ventana, la volatilidad presentará una reducción abrupta que podría implicar una subestimación de la volatilidad real. Por lo tanto, podría ser recomendable utilizar ventanas amplias, lo cual prolonga la duración del efecto fantasma si bien reduce su magnitud. Por otro lado, la utilización de ventanas cortas disminuye la duración del efecto fantasma, aunque su magnitud es entonces considerable.

4. Volatilidad Dinámica: Exponentially Weighted Moving Average Model

Debido a la presencia del inevitable efecto fantasma en la volatilidad estimada con el método tradicional, se utiliza un método alternativo que consiste básicamente en disminuir exponencialmente la importancia de las observaciones más antiguas.

ο t=√ (1−λ )∑i=1

∞

λ i−1rt+1−i2

2.3

El Decay Factor () permite, precisamente, reducir exponencialmente la importancia de las observaciones más antiguas. Para establecerlo se utilizan valores entre 0.80 y 0.95, de acuerdo a las pruebas empíricas realizadas por JP Morgan, que demostraron la inexistencia y/o imposibilidad de utilizar un método determinístico, si bien el valor utilizado por la institución de 0.94 genera pronósticos de la varianza muy cercanos a la varianza observada.

5. Estimación GARCH (1,1): Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity

En este modelo, propuesto por Bollerslev en 1986, la varianza es calculada a partir de una varianza media de largo plazo, de la última volatilidad observada y del último rendimiento medio observado.

σ n2=γV +αun−1

2 +βσ n−12 2.4

Donde:V = Varianza media de largo plazo.

σ n−1 = Última volatilidad estimada para el día n-1.un-1 = Observación más reciente de rendimiento en el activo. = Peso asignado a V.

= Peso asignado a un−12

.

= Peso asignado a σ n−12

.

γ+α+β=1El Exponentially Weighted Moving Average Model es en realidad un caso particular del GARCH (1,1), donde = 0, = 1 - , y = .

La expresión (1,1) al final del nombre del modelo, GARCH (1,1), significa que σ n2

se fundamenta en la observación más reciente de u2, y en el estimado más reciente de la varianza. El modelo más

general, el GARCH (p,q), determina σ n2

a partir de las más recientes p observaciones sobre u2 y a partir de los q más recientes estimados de la varianza. El modelo GARCH (1,1) es el más utilizado de todas las variaciones de modelos GARCH.

6. Volatilidad Implícita

Resolviendo iterativamente la ecuación de Black & Scholes para despejar la volatilidad a partir del precio observado de alguna opción, se obtiene la volatilidad implícita, es decir, la volatilidad esperada del activo subyacente de acuerdo a las expectativas agregadas del mercado a través del


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proceso de formación de precios, lo cual implica que el resultado será más preciso a medida que la eficiencia del mercado sea mayor. Para calcular la volatilidad implícita deberán utilizarse datos perfectamente sincronizados para los insumos y además se obtendrán las volatilidades implícitas de varias opciones: Dentro, fuera y en el dinero, con el fin de generar un resultado ponderado por la cercanía a la zona en el dinero, debido a la alta sensibilidad vega de las opciones en el dinero. La desventaja del modelo es que requiere un mercado de opciones líquido y altamente eficiente sobre el subyacente cuya volatilidad se desea estimar. Además, el modelo Black & Scholes supone volatilidad constante, omitiendo su carácter estocástico.


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“Dios no sólo juega a los dados. A veces también los arroja donde no pueden ser vistos.”

Stephen Hawking

VI. Value at Risk (VaR)

Suponiendo que el mercado se encuentra en condiciones normales, es posible utilizar herramientas estadísticas para estimar la peor pérdida esperada para cierto horizonte de tiempo, dado cierto nivel de confianza, es decir, la proporción del valor de un activo o portafolio que se encuentra en situación de riesgo.

A. VaR Analítico

Primero, definamos dos conceptos: Peor Pérdida Absoluta Esperada y Peor Pérdida Relativa Esperada.

1. Peor Pérdida Absoluta Esperada y Peor Pérdida Relativa Esperada

La peor pérdida absoluta esperada es la diferencia entre el valor actual del activo o portafolio y el peor valor esperado, mientras que la peor pérdida relativa esperada es la diferencia entre el valor esperado del activo o portafolio y el peor valor esperado. Aplicando las herramientas estadísticas revisadas previamente, utilizaremos la siguiente notación: Vt = Valor observado de la posición en el activo o portafolio el día de valuación.E(VT) = Valor esperado de la posición, con base en el rendimiento esperado.T-t = Rendimiento esperado para el activo o portafolio.(VT) = Peor valor esperado para el activo o portafolio para el horizonte T-t, con base en el peor

rendimiento esperado.(rT-t) = Peor rendimiento esperado para el activo o portafolio para el horizonte T-t.rS,T-t = Valor estándar del peor rendimiento esperado para el activo o portafolio para el horizonte

T-t.T-t = Volatilidad estimada de los rendimientos del activo o portafolio para el periodo T-t.-Z = Número de desviaciones estándar a la izquierda de la media, es decir, nivel de confianza.

E (V T )=V t (1+μT−t ) 3.1

ε (V T )=V t [1+ε (rT−t )] 3.2

Para definir el peor rendimiento esperado, asumamos primero que, una vez estandarizado (rS,T-t), se comporta de manera normal: T-t=0, T-t =1:

r S ,T−t=ε (rT−t )−μT−t

σ T−t

≈N (0,1 )3.3

Por lo tanto, buscaremos la probabilidad de que este peor rendimiento esperado sea menor al nivel de confianza que previamente hayamos establecido, es decir, determinaremos, utilizando la tabla de la normal, la probabilidad de que en el horizonte de interés (T-t) el peor rendimiento sea menor al número de desviaciones estándar a la izquierda de la media que definan el nivel de confianza deseado (-Z).

P (r S ,T−t<−Z )⇒P[ ε (rT−t )−μT−t

σT−t

<−Z ]⇒P [ ε (rT−t )<−ZσT−t+μT−t ]3.4


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2. Valor en Riesgo Absoluto

Dado que se definió la pérdida absoluta esperada como la diferencia entre el valor observado del activo el día de valuación y el peor valor esperado en cierto horizonte de tiempo, entonces determinaremos esta peor pérdida absoluta esperada, que se denominará VaRa, como el resultado de la siguiente resta:

VaRa=V t−ε (V T ) 3.5

Sustituyendo el peor valor esperado por su fórmula, de acuerdo a 3.2:VaRa=V t−V t [1+ε (rT−t ) ] 3.6

Es decir, en términos del peor rendimiento posible en el horizonte dado, asumiendo un nivel de confianza igual a la probabilidad que se determinó en 3.4. Si se elige un nivel de confianza del 95.05%, por ejemplo, utilizando la tabla de la normal en forma contraria a su uso común, es decir, buscando la fila y la columna correspondientes al nivel que elegimos, encontraremos que deberá utilizarse entonces un valor -Z de 1.65, donde el signo negativo indica que se está buscando el número de desviaciones estándar a la izquierda de la media. En consecuencia, el peor rendimiento esperado será el que se encuentre, de acuerdo a 3.4, en la equivalencia de la volatilidad a la izquierda de la media, tantas veces como desviaciones estándar correspondan al nivel de confianza deseado:

VaRa=V t [1−1+ZσT−t−μT−t ] 3.7

El resultado final es entonces:VaRa=V t [ZσT−t−μT−t ] 3.8

Este monto, que hasta ahora hemos identificado como la peor pérdida absoluta esperada, es como podemos ver, una cantidad en términos monetarios que representa, finalmente, la posible minusvalía que, con cierto nivel de confianza deseado, puede sufrir el activo o portafolio en un horizonte de tiempo dado, es decir, la porción del valor del activo que está en riesgo de perderse en términos absolutos: El Valor en Riesgo Absoluto, VaRa.

3. Valor en Riesgo Relativo

La peor pérdida relativa esperada es la diferencia entre el valor esperado y el peor valor esperado, siempre hablando del mismo horizonte de tiempo. Por lo tanto, será el resultado de la siguiente resta:

VaRr=E (V )T−ε (V T ) 3.9

Sustituyendo el valor esperado y el peor valor esperado por sus fórmulas, de acuerdo a 3.1 y a 3.2:VaRr=V t (1+μT−t )−V t [1+ε (r T−t ) ] 3.10

Aplicando la misma definición previa sobre el peor rendimiento esperado, que define el peor valor esperado con base en el horizonte y el nivel de confianza dados:

VaRr=V t [1+μT−t−1+ZσT−t−μT−t ] 3.11

El resultado final es entonces:VaRr=V t ZσT−t

3.8

Este monto, que hasta ahora hemos identificado como la peor pérdida relativa esperada, es la minusvalía esperada en un horizonte de tiempo dado y bajo cierto nivel de confianza establecido, medida contra el valor esperado del activo o portafolio, es decir, la porción del valor esperado del activo que está en riesgo de perderse: El Valor en Riesgo Relativo, VaRr, el cual, como hemos visto, se determina, en forma general, a través de la estimación del valor del portafolio o activo (marcando a mercado), del horizonte de tiempo de interés y del nivel de confianza deseado.


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Una vez definidos estos factores, es posible estimar el Valor en Riesgo, utilizando una fórmula muy simple que significa multiplicar el valor, marcado a mercado, del portafolio; el valor estándar correspondiente, según las tablas, al nivel de confianza deseado y, por último, el factor de riesgo, en nuestro ejemplo la volatilidad, ajustado por el horizonte de tiempo que nos interese.

Por ejemplo, si tenemos un portafolio con volatilidad de 1.25% diaria, con un valor de $2’350,125.00 marcado a mercado al día de hoy, y deseamos estimar su valor en riesgo a un horizonte de un día con un nivel de confianza del 95.05%, después de utilizar las tablas para encontrar el valor estándar de una probabilidad del 95.05%, encontraremos que es 1.65, por lo que el resultado correcto será multiplicar el valor del portafolio por el factor de confianza y por el factor de riesgo:VaRr=2' 350 , 125∗1. 65∗0 .0125

, VaRr=$ 48 , 471 .33

Este resultado sólo puede ser interpretado de dos formas: Se tiene un nivel de confianza del 95.05% de no enfrentar una pérdida mayor a $ 48,471.33, o se enfrenta el 4.95% de probabilidad de enfrentar una pérdida por un monto que supere los $ 48,471.33, si bien el monto de esa pérdida superior no se conoce.

Debido a que el VaR, en su forma más simple, se reduce sencillamente al producto de tres grandes factores: El valor actual del activo o portafolio, marcado a mercado; el factor de riesgo, ajustado por el horizonte de tiempo deseado; y el factor de confianza definido; entonces el resultado final es sensible, básicamente, a variaciones del valor del portafolio o del activo, del horizonte de tiempo, del grado de confianza y del factor de riesgo, que depende del activo cuyo VaR se desea estimar.

B. Riesgo Tasa de Interés

1. VaR y Duración

La duración suele interpretarse de varias formas, entre ellas como la madurez efectiva de un bono o como la sensibilidad (de primer orden) del precio del bono (B) a variaciones de la tasa de rendimiento (r). Dado que el precio de un bono es la sumatoria de los valores presentes de los flujos esperados, así se trate de un bono cupón cero (un solo flujo esperado), de un bono cuponado a tasa variable o de uno cuponado a tasa fija, es evidente que si la tasa de rendimiento observa un alza el valor presente de los flujos esperados, es decir, el precio, se reduce, mientras que ante bajas de la tasa de rendimiento el precio del bono debe incrementarse. Asumiendo entonces que la relación es inversa, sólo resta estimar la magnitud del impacto. Esta magnitud, en primer orden, está dada por la duración, que usualmente se estima en la forma de la duración modificada (Dm):

Si nuestro objetivo es estimar el efecto proporcional en el precio del bono originado por un desplazamiento de la tasa de rendimiento:

Si logramos entonces explicar las variaciones en el precio en respuesta a movimientos de la tasa, a través sólo de la duración, de forma aproximada, es decir, suponiendo que los desplazamientos en las tasas son paralelos, y por lo tanto dando por hecho una estructura intertemporal de tasas de interés completamente horizontal, podemos aceptar entonces que la volatilidad del precio del bono


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(B) es función de la última tasa observada (r), de la volatilidad de la tasa de interés (r) y de la duración modificada:

En consecuencia, el VaR analítico del bono es el producto del precio por el factor de confianza por la raíz del horizonte del tiempo y por el factor de riesgo, es decir, la volatilidad del precio del bono, pero si ésta a su vez la definimos como función de la duración modificada del bono, de la tasa de interés y de la volatilidad de dicha tasa, entonces el VaR del bono, a través de la duración, es:

2. Limitantes de la Duración

Desgraciadamente este resultado es sólo una aproximación que puede resultar incluso peligrosa en ciertas situaciones de mercado, porque el supuesto de desplazamientos paralelos es demasiado fuerte, debido a que las tasas realmente observan curvas convexas al origen. Si se omite la convexidad, es decir, si se asume que la duración es factor suficiente para inducir el comportamiento del bono en respuesta a desplazamientos de la tasa, se puede incurrir en una seria subestimación de la exposición al riesgo, debido a que la duración funciona sólo cuando las variaciones de la tasa son infinitesimales, es decir, prácticamente cuando son iguales al punto tangente a la curva convexa.

3. Convexidad

La solución por lo tanto es estimar la segunda derivada del bono con respecto a la tasa de rendimiento, conocida precisamente como convexidad. Sin embargo es aun más recomendable aplicar uno de los dos procesos más comúnmente aplicado en la industria para la estimación del VaR en tasas de interés: el mapeo de posiciones, es decir, suponer que cada cupón corresponde a un cero por el plazo remanente; o valuar los precios y estimar directamente la volatilidad de los precios.

C. Forwards. FRAs y Futuros

1. VaR de Contratos Lineales

El precio forward, o costo de acarreo, es como hemos visto el resultado de anticipar la operación que nos expone a riesgo mercado (con la misma lógica se puede demostrar que también puede cubrirse sintéticamente una posición larga en dólares, como el ejemplo de un exportador, y se llega a la misma fórmula), y en este caso, donde el subyacente es una divisa, este precio observa tres factores de riesgo: el tipo de cambio spot, la tasa nacional y la tasa extranjera, que son los que tomaremos en cuenta para la estimación del VaR, que por lo tanto se estima como un portafolio compuesto por un bono nacional (posición corta si es forward largo, larga si es forward corto), un bono extranjero (en posición larga para forward largo, corta para forward corto) y la divisa subyacente (larga para forward larga, corta para forward corto), donde las ponderaciones (1/3) son las mismas para cada uno porque el valor presente de cada flujo es idéntico.

2. VaR para Forward Rate Agreements (FRAs)

Cuando se pretende cubrir de forma lineal riesgo tasa, es decir, proteger una inversión de una baja en las tasas, o una deuda de un movimiento alcista, la lógica es la misma: anticipar la operación a través de posiciones en bonos de plazos corto y largo, para replicar sintéticamente un FRA:


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El día de hoy, que llamaremos t, un agente económico sabe que dentro de cierto tiempo, el día M, es decir, dentro de M-t días deberá tomar una deuda a tasa variable, la cual podrá pagar en el día T, por lo que el plazo de la deuda será T-M. El entorno hace suponer que las tasas subirán significativamente, por lo que hace sentido tomar una cobertura de riesgo tasa. Sin embargo, no es posible operar derivados.

Se realiza la cobertura de forma sintética utilizando sólo mercado de dinero, aplicando la estrategia más sencilla que consiste en adelantar la operación. El objetivo de la estrategia es realizar el día t las operaciones tales que le permitan fijar desde hoy la tasa de interés que pagará el agente por una deuda que iniciará hasta el día M y vencerá el día T. Es decir, crear un portafolio cuyo flujo total el día de hoy sea cero, que genere un flujo positivo el día M por la cantidad requerida por el agente, QM, y que genere un flujo negativo -QT el día T que considere tanto el pago de la cantidad utilizada el día M como el de los intereses correspondientes. Dado que el objetivo primordial es fijar la tasa desde hoy, los tres flujos deben ser conocidos y fijos desde t:

Mt T

Pagar la cantidad requerida más los intereses correspondientes.

Adquirir en préstamo la cantidad requerida.

Fijar la tasa de interés de la deuda que se tomará en el

futuro.NECESIDADES

FLUJOS OBJETIVO 0 QM -QT

Figura 1 Eje de tiempo, necesidades y flujos objetivo de un coberturista de riesgo tasa: Un agente que conoce anticipadamente su necesidad futura de tomar una deuda en un entorno de expectativa de alza en la tasa de

interés de referencia, donde el flujo -QT es fijo y conocido desde t.

La estrategia consiste en que el agente anticipe la deuda, tomándola no el día M, sino el día t, y dado que no necesita esos recursos sino hasta el día M, puede invertirlos por el periodo M-t. En consecuencia, la cantidad que pedirá prestada el día t no será QM, sino su valor presente por un periodo de M-t días, con la tasa pasiva correspondiente a dicho periodo.

En síntesis, el día t el agente realiza dos operaciones:

1. Pide prestado, a un periodo de T-t días, un monto Qt igual al valor presente de QM.

2. Invierte este monto Qt a un periodo de M-t días.

Como puede verse, al final del día t el agente no tiene flujos originados por las operaciones que realizó, dado que el flujo positivo generado por la primera de ellas fue utilizado para saldar el flujo negativo de la segunda, quedando una posición neta de 0 en efectivo, pero en bonos el agente tiene una posición larga en un bono de corto plazo y una posición corta en un bono de largo plazo.

El día M vence la inversión, es decir, el bono largo, y el agente utiliza los flujos generados para lo que originalmente pretendía utilizar la cantidad que iba a solicitar prestada en M. Los flujos que recibe el agente el día M son el total invertido al principio, Qt, y sus intereses a la tasa pasiva del periodo corto, rc:


85


(I)

El día T vence el bono corto y el agente debe pagar la cantidad que pidió prestada originalmente, Qt, más sus intereses a la tasa activa del periodo largo, rl:

(II)

Dado que la tasa activa que el agente pagará el día T, rl, se fijó al inicio del periodo del préstamo, es decir, el día t, entonces la cantidad final de intereses a pagar, y por lo tanto la tasa de interés, son fijas, es decir, la estrategia logró generar los flujos requeridos por el agente en los momentos en que los requería y de tal forma que resultan inmunes a los movimientos que la tasa variable de interés de referencia observe el día M:

Mt T

• V e n c e b o n o c o r t o : p a g a r l a d e u d a i n c l u y e n d o i n t e r e s e s .

• V e n c e b o n o l a r g o : u t i l i z a r s u f l u j o c o m o p r é s t a m o .

• B o n o c o r t o a T - t .• B o n o l a r g o a M - t

E S T R A T E G I A

F L U J O S G E N E R A D O S 3 6 01 M t

M t cQ Q r 0 t tQ Q 3 6 01 T tT t lQ Q r

Figura 2 Eje de tiempo y estrategia de cobertura lineal sintética con mercado de dinero (en ausencia de derivados) incluyendo flujos resultantes, para cubrir una deuda.

Ahora sólo resta extraer la tasa que el agente logró fijar anticipadamente el día t para su deuda por el periodo T-M.

Dado que el día t el flujo neto es 0, porque el flujo positivo recibido del préstamo se utilizó para invertirlo, y considerando que es hasta el día M que el agente percibe el flujo positivo deseado, el monto total de intereses que el agente pagará por su financiamiento en T es simplemente la diferencia entre QT y QM. Con el fin de transformarlo en tasa anualizada, bastará dividirlo entre la cantidad financiada, QM, y después anualizar el resultado, al cual denominaremos tasa forward, rf, en virtud de que se trata de una tasa adelantada.

(III)

Utilizando (I) y (II), o las funciones explícitas en la figura 2, podemos sustituir en (III):

(IV)

Simplificando (IV) tenemos:


86


Entonces es posible fijar la tasa anticipadamente conociendo dos tasas spot: una tasa de largo plazo (activa en nuestro ejemplo, que cubre una deuda; pasiva en el caso de la cobertura de una inversión) y una tasa de corto plazo (pasiva en nuestro ejemplo que cubre una deuda; activa en el caso de la cobertura de una inversión).

La tasa fija lograda anticipadamente de esta forma, o tasa forward, es el resultado de aplicar la lógica del costo de acarreo, es decir, de una cobertura lineal sintética cuyo beneficio es inmunizar el valor futuro de los flujos expuestos a riesgo tasa, para aislarlos del efecto de variaciones del precio contingente, la tasa de interés. Esta inmunización es lineal porque el resultado será el mismo, y conocido desde el inicio de la estrategia, independientemente del sentido y la magnitud de los desplazamientos que observe la tasa de interés durante este tiempo e incluso de los niveles que presente al vencimiento de la posición a corto plazo y al vencimiento de la posición a plazo más largo. Dicho de otra forma, no habrá minusvalía en la posición por alzas abruptas de la tasa de interés, pero tampoco habrá beneficio en caso de que la tasa observe un comportamiento de baja. El flujo completo quedaría como sigue:

Mt T

P a g a r l a c a n t i d a d r e q u e r i d a m á s l o s i n t e r e s e s

c o r r e s p o n d i e n t e s a t a s a f i j a .

A d q u i r i r e n p r é s t a m o l a c a n t i d a d r e q u e r i d a .

F i j a r l a t a s a d e i n t e r é s d e l a d e u d a q u e s e t o m a r á e n e l

f u t u r o .N E C E S I D A D E S

F L U J O S O B J E T I V O 0 Q M - Q T

• V e n c e b o n o c o r t o : p a g a r l a d e u d a i n c l u y e n d o i n t e r e s e s .

• V e n c e b o n o l a r g o : u t i l i z a r s u f l u j o c o m o p r é s t a m o .

• B o n o c o r t o a T - t .• B o n o l a r g o a M - t

E S T R A T E G I A

F L U J O S G E N E R A D O S 3 6 01 M t

M t cQ Q r 0 t tQ Q 3 6 01 T tT t lQ Q r

Un forward rate agreement (FRA) es por lo tanto un derivado cuya única virtud consiste en evitar la necesidad de realizar coberturas lineales sintéticas de riesgo tasa a través de la creación de portafolios de bonos, que implican además la absorción de los spreads en las tasas spot (entre las tasas activa y pasiva), los cuales por construcción necesariamente impactan la tasa forward en un sentido inverso a las necesidades del coberturista.

El FRA, que consiste en pactar anticipadamente el intercambio de un flujo en cierta fecha futura sobre un valor nocional determinado y con base en cierta tasa variable, por otro flujo sobre el mismo nocional pero con base en una tasa fija, logra exactamente los mismos resultados a nivel de


87


flujos en t, en M y en T que la cobertura sintética que realizamos previamente, pero a través de tomar una posición en un solo producto y de la absorción de un solo spread, el del mercado de FRAs.

Siguiendo con el ejemplo de un agente que pretende cubrir una deuda, el día t el agente simplemente pacta el FRA, especificando como características del contrato que inicia el día t, vence el día M, es por un monto igual a QM, y se recibirá un flujo referido a la misma tasa variable de referencia que se aplicará a la deuda, rv, a cambio de un flujo con la tasa fija rf, aplicando a ambos flujos como plazo el mismo de la deuda. En cuanto a la liquidación, podrá elegirse liquidar el flujo resultante del FRA (a favor o en contra) el día de vencimiento del FRA (liquidación in advance) o el día del vencimiento de la deuda (liquidación in array).

Entonces el día t no habrá flujo, porque simplemente se pacta el FRA. El día M se toma la deuda por el plazo deseado, T-M, y en caso de que el FRA se haya pactado con liquidación in advance, se recibe (en caso de que la tasa variable de referencia, observada el día M, haya superado a la tasa fija pactada) o se paga (en caso de que la tasa variable de referencia, observada el día M, haya sido inferior a la tasa fija pactada) el valor presente del diferencial entre la tasa variable observada y la tasa fija pactada, aplicadas al monto pactado por un periodo igual a T-M, descontado a la misma tasa variable observada. El día T se liquida la deuda incluyendo los intereses a la tasa variable observada en M, y, si el FRA liquidó in advance, se cuenta ya con los recursos necesarios, a valor actual, exactamente por la diferencia entre la tasa fija y la tasa variable. Si el FRA liquida in array, además de la deuda se recibirá (en caso de que la tasa variable de referencia, observada el día M, haya superado a la tasa fija pactada) o se paga (en caso de que la tasa variable de referencia, observada el día M, haya sido inferior a la tasa fija pactada) el diferencial entre la tasa variable observada y la tasa fija pactada, aplicadas al monto pactado por un periodo igual a T-M.

Es decir, se logra liquidar por concepto de intereses aplicables al financiamiento recibido, un monto fijo conocido desde el día en que se pactó el FRA, completamente independiente del nivel que la tasa variable de referencia observe el día M, inmunizando en consecuencia el pasivo ante variaciones del precio contingente, debido a que el FRA liquidará siempre la diferencia entre la tasa variable y la tasa fija:

a) Liquidación in advance:

El día M el agente recibe el monto que requiere a través de un fondeo (posición equivalente a un corto en un bono), más la liquidación del diferencial resultado del FRA, en valor presente:

Donde el diferencial, D, se obtiene de aplicar al monto pactado en el FRA, igual al monto de la deuda, la diferencia entre la tasa variable y la tasa fija pactada, para el número de días deseado:

Suponiendo que el agente logra invertir el diferencial a la tasa variable de referencia, entonces el día T el agente tendrá el valor total del diferencial, D.

b) Liquidación in array:


88


El día M el agente recibe el monto que requiere a través de un fondeo (posición equivalente a un corto en un bono), y observa la tasa variable, de tal forma que ya sabe desde ahora el monto que recibirá o pagará por efecto de liquidación del FRA, el día T.

El día T el agente recibe o paga el diferencial, D, resultado de la liquidación del FRA, y liquida la deuda, pagando el monto QT, que es el monto que se pidió prestado inicialmente más sus intereses a tasa variable.

El diferencial del FRA puede resultar negativo o positivo para el agente, pero de cualquier forma es claro que el efecto neto es que logró fijar la tasa de interés que deberá pagar por su fondeo. Es decir, si a una posición primaria expuesta a riesgo tasa, en este caso una deuda, le inyectamos la vacuna indicada en el momento oportuno y con las características especiales que se requieran, se logra transformar el régimen de tasa variable a un régimen de tasa fija, anulando cualquier efecto, positivo o negativo, que pudiera tener en la posición primaria el nivel que la tasa variable observe en el vencimiento del FRA. Dado que al final, tanto en el esquema de liquidación in advance, como en el esquema de liquidación in array, la posición implica para el agente tanto la liquidación de la deuda a tasa variable como la liquidación del diferencial del FRA, entonces el resultado en el día T será en cualquier caso el siguiente:

Por lo tanto la forma en que funciona un FRA puede esquematizarse así:


89


Mt T

P a g a r l a c a n t i d a d r e q u e r i d a m á s l o s i n t e r e s e s

c o r r e s p o n d i e n t e s a t a s a f i j a .

A d q u i r i r e n p r é s t a m o l a c a n t i d a d r e q u e r i d a .

F i j a r l a t a s a d e i n t e r é s d e l a d e u d a q u e s e t o m a r á e n e l

f u t u r o .N E C E S I D A D E S

F L U J O S O B J E T I V O 0 Q M - Q T

• V e n c e b o n o c o r t o : p a g a r l a d e u d a i n c l u y e n t o i n t e r e s e s .

• L i q u i d a r ( i n a r r a y ) e l F R A : r e c i b i r o p a g a r e l d i f e r e n c i a l .

• B o n o c o r t o a t a s a v a r i a b l e .• V e n c e F R A : l i q u i d a r ( i n

a d v a n c e ) , r e c i b i e n d o o p a g a n d o e l d i f e r e n c i a l .

• F R A p a g a n d o f l u j o a t a s a f i j a y r e c i b i e n d o f l u j o a t a s a v a r i a b l e .

E S T R A T E G I A

F L U J O S G E N E R A D O S 1

3 6 0v

DM T M

rQ

0 3 6 01 T M

T M fQ Q r

El cálculo del VaR analítico es por lo tanto el del portafolio formado por el bono a corto plazo y el bono a largo plazo.

D. VaR para SWAPS

La estimación del VaR de un swap sigue la misma lógica: es un portafolio de derivados (FRAs o forwards de divisas), por lo que se utiliza la matriz de varianza-covarianza para todos los activos del portafolio sintético que replicaría el swap, es decir, de todos sus factores de riesgo, y una vez obtenida la volatilidad del portafolio se aplica la fórmula del VaR analítico: el producto del valor actual del swap, valuado a mercado, por el factor de confianza por el horizonte de tiempo (la raíz del tiempo) por la volatilidad del portafolio.

E. VaR para Opciones

Dado que la valuación de opciones, como ya vimos, debe necesariamente involucrar probabilidad, las sensibilidades o griegas deben incorporarse en la estimación del VaR. A partir de la valuación analítica de una opción sobre acciones que no pagan dividendos (Black & Scholes), las griegas son:

Delta:

Gamma:


90


En este caso no se distingue entre calls y puts porque, considerando que la opción es europea y sobre una acción que no paga dividendos, la gamma de ambas opciones es la misma y además es siempre positiva.

Theta:

Vega (Kappa):

En este caso la vega o kappa es también la misma función tanto para el call como para el put.

Rho:

1. Las griegas y el VaR

Ahora, supongamos que deseamos evaluar un call europeo sobre una acción que no paga dividendos, que se encuentra profundamente dentro del dinero y que está próximo a vencer. LA probabilidad de ejercerlo es prácticamente 1, la prima se acerca demasiado a su límite superior: el precio spot, y por lo tanto la delta se acerca a 1 y la gamma a 0, es decir, la opción se comporta prácticamente de forma lineal. En este caso tiene sentido deducir que la estimación del VaR analítico de la opción es la misma que la de un contrato lineal, pero si la situación es distinta, es decir, si la opción está en cualquier situación distinta, debemos incorporar al VaR la probabilidad de ejercer, que será distinta a 1, de hecho debemos incorporar las sensibilidades de la opción a sus factores de riesgo. Si la delta, aun cuando sea alta, no es 1, entonces la gamma es tan pequeña que podría omitirse su efecto, y el VaR de la opción sería simplemente el VaR lineal multiplicado por la delta, pero si la gamma no es tan cercana a 0, debe considerarse también su efecto a través de la expansión de series de Taylor:


91


Por lo tanto la fórmula de VaR que incorpora la gamma es el caso general, pues puede verse que si en ésta asumimos una gamma de cero la función es idéntica al caso particular que sólo considera la delta, y si asumimos que la delta es 1, entonces el VaR es idéntico al lineal. Lo más recomendable evidentemente es estimar tanto la delta como la gamma y aplicar la forma general. En la práctica debería considerarse también, al menos, vega, pero los resultados empíricos han demostrado que el VaR analítico de contratos no lineales en escenarios de alta volatilidad, o cuando los contratos son tipo americano, es poco eficiente, por lo que lo más recomendable es aplicar metodologías de full valuation, como el Monte Carlo.

F. VaR de un portafolio

El VaR del portafolio puede estimarse de dos formas básicas: estimando, con la matriz de varianza-covarianza, la volatilidad del portafolio, y aplicar entonces la fórmula del VaR analítico, o estimando directamente el polinomio al vector que contenga el VaR individual de cada activo del

portafolio ( ) y la matriz de correlaciones ( ):

VII. Enfoques adiconales de estimación del VaR

A. VaR No-Paramétrico: Simulación Histórica

Tanto la dificultad de manejo de datos necesario para la estimación del VaR analítico como el problema implícito en los supuestos de normalidad, que implican ineficiencia ante distribuciones de colas anchas, motivaron el desarrollo de alternativas que no requieran riesgo modelo, como la simulación histórica, que consiste simplemente en acumular una historia suficientemente grande de factores de riesgo, calcular los rendimientos diarios para toda la historia y montar cada uno de esos rendimientos históricos sobre el factor de riesgo más reciente para estimar así un conjunto de escenarios de posibles factores de riesgo para el día siguiente, de tal forma que al elegir el factor de riesgo-escenario correspondiente al percentil elegido previamente, se tiene un peor valor posible y por lo tanto una simple resta nos da el VaR a un día.

Este modelo, pues, supone que para el horizonte de un día no podemos esperar ningún rendimiento diario, positivo o negativo, que no haya sido ya observado en la historia. Sus principales ventajas son la facilidad relativa de cálculo frente al analítico y el Monte Carlo, y su no dependencia de parámetros como la volatilidad. Sin embargo la incorporación de las correlaciones para estimar el VaR de un portafolio, o no se realiza de forma explícita, o su consideración implícita es tan complicada que no suele hacerse, además de que se da automáticamente por hecho que no habrá ningún rendimiento diario mayor en valor absoluto que los positivos o negativos observaods en la ventana considerada.

B. Simulación Monte Carlo Estructurado

La simulación histórica, si bien permite considerar desplazamientos perturbadores de los factores de riesgo factibles sin requerir parámetros como la volatilidad, adolece de una debilidad que puede ser considerable: es altamente sensible a la amplitud de la ventana utilizada, es decir, a la cantidad de observaciones utilizadas, así como a la magnitud de tales observaciones: si la ventana es relativamente corta, podrían estarse omitiendo observaciones importantes. Si la historia de


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rendimientos disponible para el activo es relativamente reciente, no habrá un número suficiente de observaciones. Entonces se requiere un modelo alternativo que además de combatir el problema de colas anchas, no requiera una historia muy amplia de rendimientos del activo. La alternativa consiste en utilizar la misma lógica de la simulación histórica, pero a partir no de rendimientos realmente observados sino de una valuación total generada a través de números aleatorios: la simulación Monte Carlo Estructurado.

VIII.Simulación Monte Carlo Estructurado

El término se tomó del casino de juegos de azar en Mónaco, y fue utilizado por primera vez como un código o nombre clave durante la Segunda Guerra Mundial, para referirse a ciertos problemas de simulaciones relacionadas con el desarrollo de la bomba atómica, donde la simulación Monte Carlo se aplicó al problema de optimizar la función entre maximizar la destrucción posible con el mínimo de uranio utilizado.

1. Simulaciones con una variable aleatoria

En su forma más sencilla, en el ámbito financiero, consiste en la utilización de series de números aleatorios para la creación de escenarios de futuros rendimientos potenciales, con base en la historia observada, una vez definidos los supuestos apropiados acerca de la distribución de los rendimientos esperados. Una vez que se cuenta con número suficiente de estos escenarios simulados para sustentar una muestra estadísticamente precisa, es posible determinar la variable de interés, por ejemplo la prima de una opción americana o, en su aplicación más conocida, el VaR.

Cada escenario de la simulación consiste en una secuencia de valores que en conjunto forman una posible ruta de los rendimientos. Cada simulación, por lo tanto, debe constar del número de rutas estadísticamente suficiente para estimar resultados acertados. Dado que cada sendero incorpora cierto grado de aleatoriedad, no es posible generar dos rutas idénticas dentro de la misma simulación.

En síntesis, se generarán entonces varias rutas que simularán valores posibles de un activo financiero, o de un grupo de activos, es decir, un portafolio, para un periodo dado de tenencia, donde cada uno de los valores obtenidos para el activo o portafolio al final de cada ruta debe tener la misma probabilidad.

En consecuencia, al ordenar todos los valores finales de mayor a menor, la obtención de la probabilidad acumulativa, es decir, de la probabilidad agregada de los valores mayores hacia los valores menores, permitirá obtener el VaR como la diferencia entre el valor observado del activo y el peor valor posible (simulado) cuya probabilidad corresponda al nivel de confianza elegido.

Durante la generación de cada ruta, los valores deben calcularse paso a paso, es decir, se estima cada valor a partir del valor previo, y con base en los rendimientos aleatorios generados. Las variables que determinan el punto de partida son, básicamente, el último valor observado del activo


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o portafolio, el rendimiento medio observado durante cierto tiempo y la volatilidad. Con estos datos, y una vez generados los números aleatorios, se obtendrán las simulaciones.

La introducción del componente aleatorio es la base de la simulación, porque permite obtener la principal ventaja de la aplicación de estas simulaciones: el obtener una distribución total que incorpore aleatoriedad y no depender por lo tanto de suponer cierta distribución para los activos financieros: se reduce la posibilidad de enfrentar kurtosis.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un portafolio con valor actual de $1,250,000.00. La volatilidad diaria estimada hoy es de 0.93% y el rendimiento medio es de –0.17%. Generando cierto número de simulaciones para un horizonte de 5 días, el proceso sería generar primero, digamos, 226 simulaciones sobre el valor inicial de $1,250,000.00. Tendremos, al final del día 1, 226 posibles valores, algunos superiores y algunos inferiores al valor inicial. Sobre cada uno de estos 226 valores generamos otra simulación, donde el punto de partida es el valor del día 1, es decir, el valor simulado. Tendremos nuevamente 226 posibles valores finales el día 2, pero como podemos observar en la gráfica siguiente, la dispersión es mayor. Aplicando este proceso sucesivamente hasta el día 5, tenemos 226 posibles valores finales, todos con la misma probabilidad y ninguno repetido.

Gráfica 13.

1,170,000

1,190,000

1,210,000

1,230,000

1,250,000

1,270,000

1,290,000

1,310,000

1,330,000

0 1 2 3 4 5

DÍA

VA

LO

R

226 rutas simuladas para un portafolio con valor de $1,250,000.00, con rendimiento medio de –0.17% y volatilidad diaria de 0.93%, para un horizonte o periodo de tenencia de 5 días.

El supuesto básico de la simulación Monte Carlo es, por lo tanto, que es posible simular el futuro con base en la historia y en la incorporación de números aleatorios. Sin embargo, la obtención de un resultado preciso depende fuertemente del número de senderos simulados. Normalmente se recomienda como mínimo un total de 5,000 simulaciones, aunque algunas instituciones utilizan 10,000. Evidentemente, a mayor número de simulaciones, mayor precisión.

Para obtener el VaR, gráficamente se aprecia mejor el efecto a través de la probabilidad acumulativa:


94


Gráfica 14.

1,200,600.42

1,175,000

1,200,000

1,225,000

1,250,000

1,275,000

1,300,000

1,325,000

0.00

%

2.65

%

5.31

%

7.96

%

10.6

2%

13.2

7%

15.9

3%

18.5

8%

21.2

4%

23.8

9%

26.5

5%

29.2

0%

31.8

6%

34.5

1%

37.1

7%

39.8

2%

42.4

8%

45.1

3%

47.7

9%

50.4

4%

53.1

0%

55.7

5%

58.4

1%

61.0

6%

63.7

2%

66.3

7%

69.0

3%

71.6

8%

74.3

4%

76.9

9%

79.6

5%

82.3

0%

84.9

6%

87.6

1%

90.2

7%

92.9

2%

95.5

8%

98.2

3%

PROBABILIDAD

VA

LO

R S

IMU

LA

DO

Gráfica de probabilidad acumulativa para la simulación Monte Carlo de la Gráfica 13. Con un nivel de confianza del 92.035%, de acuerdo al eje X (Probabilidad), el peor valor posible es de $1,200,600.42, de acuerdo al eje Y (Valor Simulado). Por lo tanto, el VaR

es: $1,250,000.00 - $1,200,600.42 = $ 49,399.58.

a) Simulación Monte Carlo y Opciones

Para estimar el VaR de ciertas opciones, como las americanas o algunas exóticas, sobre todo las del tipo path dependent, es muy recomendable utilizar Monte Carlo con Full Revaluation, es decir, reevaluar el portafolio en cada escenario generado, y probablemente, dependiendo de las características de la opción, cada reevaluación requiera múltiples replicaciones de algún algoritmo del Monte Carlo, por lo que puede ser necesario correr simulaciones dentro de las simulaciones. Evidentemente la capacidad de cómputo que estas estimaciones requieren podrían rebasar cualquier presupuesto, como bien acotan Broadie y Glasserman (Carol Alexander, 1998), sin embargo el Monte Carlo Full Valuation es preferible completamente en estas situaciones particulares sobre el Monte Carlo con interpolación, que es una alternativa para balancear el problema de restricción en el poder de cómputo.


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La simulación Monte Carlo con interpolación consiste en sustituir la reevaluación completa por la reevaluación sólo en ciertos nodos de una red predefinida de factores de riesgo, e interpolar entre los puntos próximos para encontrar los valores-escenario correspondientes a los puntos deseados. Este modelo está sujeto al diseño de la red, que debe construirse sobre la elección de los puntos representativos de un conjunto amplio pero realista de niveles de factores de riesgo. Puede complementarse con estimaciones de sensibilidad de los precios, lo que requiere un ligero incremento en recursos de cómputo a cambio de ser de gran utilidad para adicionar precisión a la interpolación.

2. Simulación Monte Carlo para portafolios: Descomposición de Cholesky y Singular Value Decomposition

Cuando se estima el VaR de un portafolio aplicando la simulación Monte Carlo, es necesario incorporar la estructura de correlaciones entre los activos que componen el portafolio, lo cual se ejecuta a través del proceso de descomposición o factorización de Cholesky, el cual sin embargo no puede aplicarse cuando la matriz de varianza-covarianza no es positiva definida. Si en las pruebas computacionales se observa que la matriz de varianza-covarianza es semidefinida positiva, puede aplicarse otro método, conocido como Singular Value Decomposition (SVD), que desgraciadamente requiere de cálculos muy intensivos, sobre todo cuando el orden de la matriz es considerable.

La descomposición de la matriz de varianza-covarianza () a través del método de Cholesky, nos permitirá obtener las matrices () y (’) a partir de la matriz ().

Si definimos:

Entonces estimamos:

El resultado entonces es que tenemos:

La matriz estimada () tiene la característica de que (’=).

Otra ventaja del Monte Carlo, además de permitir la utilización de cualquier distribución, es que permite estimar cambios en sensibilidades tales como la delta, la madurez, etc.


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3. Valor en Riesgo Relativo o Marginal

Al obtener el VaR individual de cada activo del portafolio, así como el VaR del portafolio, se pierde de vista la contribución marginal de cada activo al VaR del portafolio, porque evidentemente este último no es igual a la simple suma del VaR individual de cada activo, es decir, el VaR individual del activo de un portafolio no es aditivo con el VaR individual de los otros activos dentro del mismo portafolio. Sin embargo, estimando la beta de cada activo del portafolio es posible obtener el VaR relativo, conocido también en la literatura como VaR marginal o VaR componente, y que por supuesto puede representarse tanto en forma porcentual como nominal.

El primer paso consiste en estimar el vector de betas (), es decir, la beta individual de cada activo del portafolio. Siguiendo con nuestra notación de álgebra matricial, este vector está dado por:

Por supuesto, la suma de productos de () por (W) es idéntica a la unidad, por lo que al multiplicar este resultado por el VaR del portafolio éste se mantiene constante, pero si realizamos el cálculo activo por activo, es decir, la beta de cada activo por su ponderación en el portafolio y por su VaR individual, el resultado es el VaR relativo del activo, es decir, su aportación individual al VaR total del portafolio, pues la suma de estos VaR relativos individuales es idéntica al VaR del portafolio.

IX. Calibración de modelos

A. Backtesting

Dado que tanto la estimación del VaR analítico como la del Monte Carlo requieren como insumo la volatilidad, estimada con algún modelo, y además el no-paramétrico es en sí mismo un modelo con ciertos supuestos, la estimación del riesgo mercado no puede escapar del universo de la modelación, es decir, está expuesta a riesgo modelo: la probabilidad de que el modelo no se ajuste a la realidad, y por lo tanto de que las estimaciones se alejen demasiado de los datos reales


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observados: No se corre sólo el peligro evidente de subestimar el riesgo y permitir que la institución se sobreexponga a ciegas, es decir, sobre la base de una falsa confianza en las estimaciones de VaR. También se corre el peligro de sobreestimar el riesgo, y si el VaR es factor decisivo en la política de límites de la institución, el sobrelimitar el trading, e informar rutinariamente tanto al Consejo Directivo como a la Dirección General y a las mesas que la exposición es mayor a la real, genera que sistemáticamente el perfil de riesgo definido por el consejo sea más conservador en la práctica de lo que realmente se desea, y por lo tanto se castiga innecesariamente la utilidad de la empresa.

Entonces la calibración de modelos cobre una importancia relevante por sí misma, lo cual ha sido ampliamente reconocido por las entidades reguladoras y autorreguladoras a nivel mundial. El proceso más sencillo de calibración de modelos se conoce como back-testing: simplemente contrastar la historia de estimaciones de VaR y/o volatilidad, contra las observaciones reales del comportamiento de los rendimientos también históricos del activo o portafolio de que se trate. Para comparar un modelo con otro, incluso para tomar decisiones de detección y definición de situaciones de riesgo sistémico, es decir, de estrés, suele ser muy útil contabilizar el número de ocasiones en que los rendimientos históricos en valor absoluto excedieron la estimación de VaR.

Al respecto hay algunos estándares en el mercado, derivados sobre todo del Comité de Basilea, y por supuesto del Bank of International Settlements (BIS). Por ejemplo, utilizar una ventana de al menos un año (entre 250 y 252 datos de rendimiento, VaR y/o volatilidad históricos) y requerir capital de acuerdo a una tabla de semáforo que define zonas de confianza, alerta y alarma de acuerdo al número de excesos que se observen en una combinación dada de periodo/número de datos observados.

A continuación se muestra un ejemplo de back-testing gráfico y en reporte, para el VaR del tipo de cambio peso/dólar, estimado con diferentes modelos de volatilidad y VaR:

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ra EWMA 0.92 EWMA 0.94 EWMA 0.96 EWMA 0.98

Gráfica de back-testing del tipo de cambio peso/dólar del 13 de diciembre del 2001 al 7 de marzo del 2003. VaR al 99% de confianza a 1 día con Exponentially Weighted Moving Average y distintos decay factors.


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rend

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VaR

%

ra EWMA 0.94 MA 63 HISTÓRICO MAX VOLAT

Gráfica de back-testing del tipo de cambio peso/dólar (máximo entre bid y ask) del 13 de diciembre del 2001 al 7 de marzo del 2003. VaR al 99% de confianza a 1 día con Exponentially Weighted Moving Average y decay factor de 0.94 (EWMA 0.94), promedios móviles con ventana de 63 días (MA 63), histórico y volatilidad máxima de los

tres periodos.


99


NIVEL DE CONFIANZA 0.9999

Z 3.7195

Número de observaciones 309

PERCENTIL VaR HISTÓRICO 0.01

MXP/USD (BID) 11.094279

MXP/USD (ASK) 11.114279

FECHA DE REPORTE 7-Mar-03

BID MAb 21 MAb 63 MAb 252 EWMAb 0.92 EWMAb 0.94 EWMAb 0.96 EWMAb 0.98 VOL IMPL HISTb MAX VOLATb

Volatilidad diaria 0.598295% 0.594163% 0.522584% 0.593962% 0.595794% 0.594580% 0.579660% 0.628067% 0.628067%

VaR % unitario 1 día 2.206012% 2.246622% 1.938968% 2.212824% 2.219107% 2.213343% 2.155794% 1.561217% 2.336513%

VaR $ unitario 1 día 0.24474 0.24925 0.21511 0.24550 0.24619 0.24555 0.23917 0.17321 0.25922

N° Excesos 1 - 1 - - - - 2 -

Nivel de confianza observado 0.99676 1.00000 0.99676 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99353 1.00000

Z 2.7228 N.A. 2.7228 N.A. N.A. N.A. N.A. 2.4853 N.A.

N° volatilidades máximas 27 - - 19 - - - 264 -

% volatilidades máximas 8.74% 0.00% 0.00% 6.15% 0.00% 0.00% 0.00% 85.44% 0.00%

ASK MAa 21 MAa 63 MAa 252 EWMAa 0.92 EWMAa 0.94 EWMAa 0.96 EWMAa 0.98 VOL IMPL HISTa MAX VOLATa

Volatilidad diaria 0.597207% 0.594322% 0.521984% 0.593443% 0.595552% 0.594558% 0.579479% 0.646019% 0.646019%

VaR % unitario 1 día 2.201997% 2.247160% 1.936749% 2.211061% 2.218393% 2.213416% 2.155187% 1.606257% 2.403919%

VaR $ unitario 1 día 0.24474 0.24976 0.21526 0.24574 0.24656 0.24601 0.23953 0.17852 0.26718

N° Excesos 1 - 1 - - - - 2 -

Nivel de confianza observado 0.99676 1.00000 0.99676 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99353 1.00000

Z 2.7228 N.A. 2.7228 N.A. N.A. N.A. N.A. 2.4853 N.A.

N° volatilidades máximas 21 - - 13 - - - 276 -

% volatilidades máximas 6.80% 0.00% 0.00% 4.21% 0.00% 0.00% 0.00% 89.32% 0.00%

Reporte de de back-testing del tipo de cambio peso/dólar (bid y ask) del 13 de diciembre del 2001 al 7 de marzo del 2003. VaR al 99% de confianza a 1 día con promedios móviles (MA) y ventanas de diversos tamaños y con equally weighted moving average (EWMA) y distintos decay factors.


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B. Situaciones Extremas: Pruebas de Estrés

Las pruebas de estrés, si bien contemplan un alto contenido de subjetividad, son una herramienta fundamental en la administración de riesgos, como una práctica de protección a los agentes del mercado en general, y a la institución donde labore el administrador de riesgos en particular, de los desastrosos efectos que suelen acompañar a las crisis económicas o a las situaciones de estrés que a primera vista alteran el comportamiento de las variables financieras, destrozando la estructura de correlaciones y elevando, en ocasiones a niveles irracionales, la volatilidad.

Una prueba de estrés debe contemplar, al menos, procedimientos de identificación oportuna y correcta de futuras situaciones de estrés y sus posibles efectos en el portafolio, generación de reportes comparativos y, sobre todo, una toma de decisiones, con base en los resultados obtenidos, que logren optimizar el aislamiento del portafolio, oportuna y apropiadamente, a los efectos negativos previstos. Un ejemplo burdo, aunque clarificante, es el de un ingeniero que ante la perspectiva de un próximo terremoto debe identificar las debilidades de la estructura de un edificio, simular los efectos que sobre la misma tendría un terremoto considerable y, de ser posible, detectar no sólo cuál es el límite de tolerancia de la estructura antes de colapsarse, sino qué medidas pueden tomarse de forma anticipada, y dadas las restricciones de tiempo, recursos y espacio disponibles, para, si no es posible evitar el efecto, al menos lograr que los efectos sean lo menos devastadores que sea posible.

El administrador de riesgos, ante posibles eventos catastróficos en los mercados, deberá por lo tanto utilizar todas las herramientas posibles, entre ellas no las menos importantes son las pruebas de estrés, para lograr que la institución no sólo sobreviva el terremoto, sino que incluso, de ser posible, lo haga con el menor daño, sobre todo si se trata de un intermediario financiero, porque después de las catástrofes el entorno cambia, y normalmente las instituciones financieras que sobreviven una tragedia generalizada con el menor impacto comparativo son las que más rápido dominan el mercado, resultando así evidente y explícita la enorme aportación de la administración de riesgos al objetivo de negocio. Por lo tanto, aun cuando terremotos de este tipo sean acontecimientos de frecuencia muy baja, debido a que hasta ahora son casi siempre imprevisibles, es muy importante que tanto el Consejo como la Dirección General dispongan con cierta periodicidad de reportes de pruebas de estrés que faciliten la toma de decisiones.

La primer pregunta que debe hacerse al diseñar una prueba de estrés es ¿qué tan grandes serán las pérdidas que enfrentaremos si el mercado, o los mercados, se mueven repentina y abruptamente en nuestra contra? La materia prima que se utilizará, dado que no hay más, es la historia de los precios y los rendimientos de los activos. De hecho puede observarse empíricamente que los movimientos abruptos son mucho más frecuentes de lo que normalmente se piensa, que normalmente a un desplazamiento agudo al alza le sigue una corrección de magnitudes similares a la baja, y viceversa, y sobre todo, que resulta el mayor problema, la distribución de estos movimientos repentinos y de gran magnitud no es simétrica, es decir, anula la validez de modelos fundamentados en el supuesto de normalidad de los mercados, como se ejemplifica de forma abrumadora con el comportamiento de los rendimientos del tipo de cambio peso mexicano/dólar estadounidense durante las últimas semanas de 1994 y las primeras de 1995:


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Gráfica del rendimiento diario del tipo de cambio MXP/USD del 23 de diciembre de 1992 al 11 de marzo del 2003, donde se detecta el periodo de estrés de 1994.

A grandes rasgos hay dos tipos de pruebas de estrés:

1. Estrés histórico: Se toman los datos históricos de factores de riesgo en periodos de crisis, como México 1994-1995, Asia 1997 o Rusia 1998, se estima el movimiento más abrupto observado en el periodo correspondiente, se estima el rendimiento diario promedio durante dicho periodo y ese rendimiento estresado se monta sobre el factor de riesgo actual, para estimar su valor con una variación abrupta en un día equivalente a la magnitud de la observada durante la crisis. Este método permite garantizar que la prueba de estrés se fundamenta en escenarios realistas, es decir, factibles, lo cual cobra especial relevancia en cuanto al desplazamiento conjunto de los factores de riesgo en respuesta a un impacto estresante sobre una variable específica, por ejemplo, si se toma como parámetro el caso de México, los factores de riesgo impactados de forma directa son todos los del mercado mexicano, sobre todo el tipo de cambio, y en un grado relativamente menor los de otros mercados emergentes, especialmente los de la región latinoamericana, y el dólar. En el caso de la crisis asiática el impacto se concentró en mayor magnitud en los mercados asiáticos y en los tipos de cambio, y durante la guerra del Golfo Pérsico, en 1990, en los precios del petróleo crudo. Sin embargo es obvio que los mercados aprenden con cada evento de este tipo, por lo que es lógico pensar que la historia no se repetirá, y esto debilita un poco la aplicación del modelo, pues si por ejemplo se pretende estimar el impacto de una próxima guerra en el Golfo, dado que los mercados ya tienen experiencia, pero considerando que además las condiciones de la economía en general, y de los mercados financieros globales y locales en particular, son muy distintas en marzo del 2003 a septiembre de 1990, sería poco útil simplemente repetir la historia.

2. Estrés predefinido por el usuario: Se toman como dados los parámetros observados actualmente, sobre todo la estructura de correlaciones, y ya sea revaluando directamente cada activo del portafolio, o inyectando el impacto a través de factores de sensibilidad por factor de riesgo, se determina una cierta magnitud de estrés, por ejemplo un desplazamiento paralelo de las tasas de interés en 150 puntos base, o un incremento en la


102


volatilidad por un número dado de desviaciones estándar. Este modelo tiene la desventaja de que no contempla el enorme efecto de descomposición que las crisis suelen generar en la estructura de correlaciones de los activos, pero permite calibrar la sensibilidad del portafolio a ciertos movimientos que pudieran darse en los mercados, incluyendo aquellos no observados en la historia.

ESCENARIOVALOR DE MERCADO

MINUSVALÍA ($ contra el valor actual del mercado)

MINUSVALÍA (% del valor actual de mercado)

VALOR EN LIBROS

MINUSVALÍA ($ contra el valor actual en libros)

MINUSVALÍA (% del valor actual en libros)

PLUSVALÍA ($ valor de mercado contra valor en libros bajo estrés)

CRISIS MEXICANA: 29 de noviembre de 1994 al25 de abril de 1995 27,561.05 -1,599.87 -5.49% 28,460.08 -588.07 -2.02% -899.03

CRISIS RUSA: 12 de mayo al 24 de noviembre de1998 27,604.72 -1,556.19 -5.34% 28,465.59 -582.56 -2.01% -860.87

CAPITAL CONTABLE 3,630.00

VALOR ACTUAL EN LIBROS 29,048.15

VALOR ACTUAL DE MERCADO 29,160.92

UTILIDAD / PÉRDIDA $ 112.77

UTILIDAD / PÉRDIDA % 0.39%

UTILIDAD / PÉRDIDA (% del capital) 3.11%

Reporte de prueba de estrés para un portafolio hipotético (cifras en millones de pesos), simulando en un día el escenario de los factores de riesgo observado en promedio diario durante el peor periodo de las crisis de México (1994-1995) y Rusia (1998).

A continuación observaremos algunas gráficas del comportamiento de los rendimientos del IPC a partir de 1978 y hasta febrero del 2003, así como sólo durante el periodo del crack de 1987, donde claramente se nota cómo la distribución de los rendimientos dista de ser normal, si bien en el periodo largo parece comportarse así. Además, como puede notarse en la última gráfica, los modelos normales no consideran la volatilidad intradía, que por otro lado es difícil de estimar en todos los activos por la disponibilidad de información.


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Rendimiento % diario del IPC del 3 de noviembre de 1978 al 3 de febrero del 2003

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Rendimiento % diario del IPC del 1 de septiembre al 30 de noviembre de 1987

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Gráfica intradía del IPC de la Bolsa Mexicana de Valores, del 16 de abril del 2003. Anterior: 6,333.59 puntos; cierre: 6,306.60 puntos; variación porcentual: -

0.426%; variación unitaria: -26.99 puntos; máximo: 6,349.53 puntos; mínimo: 6,304.10 puntos.


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X. Análisis de casos

A. Barings

El caso de Barings, además de ser seguramente el más resonado, ejemplificó de tal forma la ausencia prácticamente absoluta de controles internos y supervisión externa, que se ha vuelto el paradigma por excelencia del no-deber ser en la administración y control de riesgos de un intermediario financiero.

Barings PLC era, en febrero de 1995, un banco británico con un gran prestigio internacional, con presencia en varios países del mundo y que gozaba de una imagen de ser ampliamente conservador en sus exposiciones al riesgo. Nicholas Leeson era en aquel tiempo el jefe de la operación de futuros en Singapur, y había acumulado posiciones largas enormes en futuros del Nikkei 225, un portafolio prototipo de acciones japonesas, listados tanto en la bolsa de Singapur como en la de Osaka. El nocional acumulado en ambos mercados rondaba los 7 mil millones de dólares, y después del temblor que desoló Kobe, una de las principales ciudades industriales de Japón, el mercado se desplomó más del 15% en el primer bimestre del año, generando enormes pérdidas en la posición de Barings, que durante todo este tiempo fueron sin chistar liquidadas a través de las cuentas de margen, sin que nada resultara extraño a Leeson, al personal de Middle-Office en las oficinas centrales de Barings, al personal de las cámaras de compensación, o al menos a las autoridades reguladoras en ninguno de los dos países.

Como respuesta, a partir de una estrategia delta-hedging, Leeson estructuró un short straddle con opciones cuyo subyacente era el mismo índice, realizando una apuesta suicida a la estabilidad del mercado. Las pérdidas y las llamadas de margen, lógicamente, se incrementaron. Leeson, sorprendentemente, bajo la firme creencia de que sus expectativas eran correctas, aumentó aun más la posición larga. Finalmente el 23 de febrero Leeson desapareció al enfrentar la inevitable incapacidad de liquidación de sus pérdidas. El precio de la acción de Barings cayó a cero, los tenedores de bonos emitidos por el banco sólo recuperaron el 5% de su inversión, y finalmente Barings fue adquirido por el grupo financiero holandés Internationale Nederlanden Group (ING), por lo que ahora se conoce como ING Barings. El banco fue adquirido por la fabulosa suma representativa de una libra esterlina, a cambio de que ING absorbiera el resto de la deuda. El epílogo de la historia fue el encarcelamiento de Leeson, después de haber sido extraditado a Singapur, por un periodo de seis años y medio. Fue liberado unos meses antes de cumplir su sentencia, debido a que padecía una enfermedad de cuidado, y se dedicó a escribir su experiencia. Un anécdota curioso es que poco después del famoso desastre de Enron declaró públicamente en una entrevista que le costaba creer que el mundo no hubiese aprendido la lección.

Y en efecto, el mundo aprendió mucho de la caída de Barings: Leeson controlaba tanto la mesa de operación como el backoffice, lo cual además había sido ya advertido por una auditoria practicada en 1994, en la que se observó claramente que se había concentrado demasiado poder en las manos de Leeson. La razón para que la alta dirección del banco ignorara deliberadamente los resultados de la auditoria era que los resultados obtenidos a raíz del desempeño de Leeson en los últimos años habían sido sorprendentes, y el banco conservador simplemente dedujo que un operador que sistemáticamente ganaba demasiado no podría perder. Un punto clave fue también la estructura corporativa de Barings, tan descentralizada al contemplar una línea tanto geográfica como funcional, que prácticamente anuló toda capacidad de supervisión detallada de la evolución de las posiciones y de su exposición cotidiana, obstaculizando la posibilidad de que la alta dirección contara con reportes anticipados del posible impacto de las pérdidas en el capital de la institución. Además las bolsas de Osaka y Singapur le permitieron acumular posiciones enormes, ocho veces superior por ejemplo a la posición larga más cercana en la bolsa de Osaka.


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B. Metallgesellschaft

La subsidiaria estadounidense, MGRM, de este enorme grupo industrial alemán, ofreció contratos de venta de petróleo crudo a largo plazo a precios fijos, logrando colocar un volumen tan grande que superó con creces la capacidad de refinación de la empresa. La cobertura ideal ante eventuales alzas del precio del petróleo era con forwards por plazos similares, pero dado que no existe un mercado con vencimientos tan largos, se adoptó una estrategia de rolling hedge forward utilizando contratos de tres meses. En 1993, sin embargo, el precio se desplomó alrededor del 25%, sometiendo a la empresa a riesgo base, es decir, al incremento repentino de llamadas de margen enormes originadas por un sesgo temporal entre los precios de corto plazo y los de largo plazo. En sentido estricto, la estrategia de cobertura era correcta, y sólo se enfrentaba riesgo liquidez, es decir, la posibilidad de que el requerimiento de margen superara la capacidad de liquidez de la empresa. Dado que contaba con el respaldo de la casa matriz alemana, no se pensó en un inicio que esto fuera un problema, dado que se disponía de efectivo suficiente y finalmente la estrategia haría converger en el largo plazo, al vencimiento, las ganancias de los futuros de corto plazo a las que hubiese generado un futuro hipotético de largo plazo.

Sin embargo la alta dirección en Alemania decidió sustituir la administración estadounidense y , liquidando las posiciones, realizar la pérdida de 1,300 millones de dólares que en el largo plazo hubiera decrecido al compensarse con las ganancias que se generaban con la baja de precios en la posición primaria.

C. Orange County

El tesorero del condado de Orange era responsible de un portafolio de 7,500 millones de dólares, los cuales incrementó con un fondeo a través de reportos por 12,500 millones. Los 20 mil millones que acumuló de esta forma fueron invertidos en notas de agencias con una madurez de alrededor de 4 años. Esta estrategia altamente apalancada sólo funciona, y lo hizo demasiado bien, en un escenario donde los costos de fondeo a corto plazo, como los reportos, son menores que los rendimientos a mediano plazo, como las notas, y sobre todo si las tasas en general descienden.

Sin embargo, a partir del repentino y exorbitante ascenso observado en las tasas en febrero de 1994, las contrapartes de los reportos empezaron a acumular enormes ganancias a cargo del condado. Se detonó paulatinamente una cadena de eventos lógicos: la noticia de la enorme pérdida se difundió, los inversionistas intentaron retirar sus recursos, el fondo incumplió el pago de sus colaterales, los intermediarios los liquidaron y, finalmente, el condado se declaró en bancarrota. En enero de 1995 se liquidaron los valores restantes, realizando una pérdida de 1,640 millones de dólares.

D. Daiwa

Toshihide Igushi, operador del banco japonés Daiwa en la oficina de Nueva York, acumuló durante once años, a partir de 1984, más de 30,000 operaciones en Treasury Bonds, que al 26 de septiembre de 1995 habían generado una pérdida de alrededor de 1,100 millones de dólares, que sin embargo no había sido revelada porque, de acuerdo al personal del propio banco, Igushi ocultó durante todo ese tiempo la información, falsificó documentos y logró así enmascarar la pérdida hasta el último momento, en que el incremento sucesivo de la posición esperando resarcir la pérdida logró exactamente lo contrario, y el problema le detonó en las manos. Sin embargo, como en el caso de Barings, Igushi controlaba tanto el front como el backoffice.

E. Análisis global

Los casos mencionados no son, y desgraciadamente no serán, los únicos. Las pérdidas repentinas y de magnitudes tales que pueden aniquilar una empresa, sin embargo, tienen en común varios factores, resaltando sobre todo la ausencia, parcial o total, de controles internos, la carencia de institucionalización, la distribución del trabajo de acuerdo a las capacidades personales y no a una


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estructura funcional previamente diseñada, la concentración excesiva de poder en las manos de personal que, por construcción y definición, está incentivado a generar ganancias enormes en el corto plazo, es decir, a asumir riesgos considerables, realizando grandes apuestas.

Sin embargo, la implementación de controles implica costos que no todas las instituciones están dispuestas a asumir de forma voluntaria, dado que no se percibe la retribución de estos desembolsos sino hasta que se han enfrentado grandes pérdidas. Además, también implica un riesgo enorme el adaptar controles excesivos que asfixien la capacidad de maniobra del front office, aniquilando la generación de utilidades en la empresa.

Por otro lado el análisis de los casos críticos debe realizarse con sumo cuidado, porque fácilmente podría atribuirse, por ejemplo, el desastre de Barings al uso de los productos derivados, de hecho en la realidad un gran número de personas les temen demasiado, porque son en general mal comprendidos. Dado que en definitiva se trata de instrumentos de cobertura, aunque por supuesto pueden, y deben, utilizarse para especular o estructurar arbitrajes, no son alternativas de inversión, y efectivamente si son mal utilizados ocasionan los peores accidentes, de la misma forma que mucha gente teme volar porque sabe que en caso de accidente la probabilidad de sobre vivencia es prácticamente nula, y por lo tanto prefiere viajar en auto, o en barco, es decir, por temor a viajar en el medio más seguro de transporte, un avión, se somete voluntariamente a medios de transporte donde la probabilidad de tener accidentes es prácticamente de 1. Si los derivados son mal utilizados, probablemente habrá un accidente y la víctima, casi seguro, no sobrevivirá, o al menos no volverá jamás a ser la misma, pero siendo correctamente aplicados, sobre todo si son coberturas y están bien diseñadas, la probabilidad de un accidente es prácticamente nula.

En realidad, la verdadera causa de casi todos los desastres, además de la carencia de controles adecuados, es el deficiente diseño y actualización de procedimientos y el desconocimiento, o simple omisión al cumplirlos, por parte de los responsables. Estos casos se han sucedido últimamente con varias empresas estadounidenses que han ocultado o falseado deliberadamente su información contable, acumulando pérdidas reales que en algún momento alcanzan tal tamaño que no hay escondite posible, y súbitamente explotan.

Una tendencia clara, en síntesis, es que las estructuras de regulación, control y supervisión deben superar cualquier obstáculo de índole nacionalista, organizacional o de bloque comercial incluso, porque si los mercados no conocen fronteras, los inversionistas, los asegurados, los pensionados, en fin, todos los usuarios de servicios financieros merecen, deben ser adecuadamente protegidos, incluso debe protegerse a los intermediarios financieros de sí mismos, de ser necesario con estructuras, legislaciones, supervisiones y sanciones supranacionales. Es por esto que organismos internacionales como el BIS trabajan constantemente, a través de comités como el de Basilea, en aras de generar recomendaciones y estándares internacionales de administración de riesgos.

XI. Directrices en la Administración de Riesgos

A. Recomendaciones del G-30

El Grupo de los 30, conocido como G-30, es básicamente una iniciativa de consenso acerca de un conjunto mínimo de sanas prácticas (y mínimas) de administración que permitan a una institución disponer de los controles que eviten potenciales pérdidas exorbitantes ocasionadas por problemas similares a los que analizamos en los casos mencionados anteriormente, es decir, es un esfuerzo por establecer el equilibrio entre una ausencia tal de controles que sobreexpongan innecesariamente a la institución, y un control excesivo que asfixie la generación de utilidades. Aun cuando en un principio el objetivo se dirigía específicamente a las operaciones relacionadas con


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productos derivados, el propio grupo inicia sus recomendaciones reconociendo que los derivados no originan riesgos nuevos a los ya existentes e identificados en los mercados, implicando tácitamente que cualquier catástrofe que haya ocurrido en el pasado relacionada con el uso de derivados, y sobre todo, cualquier que pudiera acontecer en el futuro, debe su nacimiento al manejo inadecuado, a controles nulos o ineficientes y probablemente a la mala fe de los que intervienen, en fin, a una mala administración.

En síntesis, las recomendaciones son las siguientes:

1. Las políticas y directrices enfocadas a derivados, los procedimientos y controles, no sólo deben ser aprobados por los niveles jerárquicos superiores de la institución, como el Consejo, sino que además, al menos al nivel de la Dirección General, estos niveles deben intervenir activamente en la definición y análisis de dichos procedimientos. Esta recomendación en particular ha cobrado tal relevancia en los últimos meses en el mundo, a raíz de los trucos contables de empresas americanas que ocasionaron desastres, que por ejemplo en nuestro país muy pronto será realidad que la Dirección General deberá avalar con su firma los trabajos de los auditores no sólo en derivados, sino en todas las áreas de la institución financiera, a fin de que no pueda argumentar más tarde que simplemente no sabía.

2. Los derivados, independientemente de la metodología contable, deberán valuarse y marcarse a mercado al menos diariamente, si es necesario en libros independientes, pues se reconoce que para estos instrumentos esta es la única forma apropiada de estimar el valor actual de activos y pasivos.

3. Deberá estimarse diariamente la exposición al riesgo de mercado, recomendándose explícitamente la metodología basada en VaR, y, contando con la participación de la Dirección General, deberán establecerse límites precisos de riesgo de mercado, derivados de la tolerancia de pérdidas (o apetito de riesgo) de la institución, que a su vez se determinará como una proporción de los recursos disponibles en el ámbito del capital.

4. Además, dado que los métodos convencionales de estimación del riesgo de mercado, como el VaR, suponen situaciones normales en el mercado, deberán realizrse simulaciones y pruebas de estrés, para que tanto el front como el back-office dispongan diariamente de una estimación de la exposición del portafolio sometido a situaciones extremas o catastróficas. El G-30 recomienda explícitamente utilizar los dos tipos de pruebas de estrés mencionados anteriormente: reflejar crisis financieras históricas y simular posibles crisis futuras.

5. Las áreas de administración de riesgos deberán reportar a la Dirección General, ser las únicas responsables en la implantación de los sistemas de administración de riesgos, completamente independientes de la operación y la toma de decisiones sobre el portafolio, disponer de autoridad coercitiva, establecer, y mantener actualizados, las políticas y procedimientos de administración de riesgos, proponer los límites, estimar el valor en riesgo y los escenarios de estrés y controlar el riesgo modelo.

6. A través de una clara distinción entre la exposición actual a riesgo crédito y la exposición potencial en el futuro en relación con las operaciones de derivados, deberá determinarse el riesgo crédito asumido por la institución, interpretando como exposición actual el costo de sustituir las posiciones existentes en el mercado, es decir, su valor de mercado, y como exposición potencial el impacto en el valor del portafolio de una pérdida potencial derivada por el eventual incumplimiento de la contraparte durante el resto de la madurez de la posición.

7. Considerando que la existencia de acuerdos de neteo para efectos de la liquidación de las operaciones con diversas operaciones de derivados pactadas con la misma contraparte,


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potencialmente reduce el riesgo crédito, las instituciones deberán agregar la exposición a riesgo crédito por contraparte.

8. El riesgo crédito deberá ser monitoreado de forma independiente a las funciones relacionadas con la intermediación, por unidades que dispongan de la autoridad suficiente y que sean capaces de establecer límites específicos, así como de monitorearlos, vigilarlos y actualizarlos diariamente.

9. Debe garantizarse que el personal autorizado para las áreas de operación, supervisión y procesamiento y control de actividades, sean profesionales que cuenten con la experiencia y la habilidad necesarias.

B. Estructura Corporativa

1. Administración y control de riesgos

Algunos países6, entre los cuales resalta Alemania con sus “requerimientos mínimos” de regulación, han diferenciado claramente dos departamentos o áreas de riesgos que de forma ideal deben existir en una institución financiera, incorporando incluso estrictas definiciones legales de las mismas. Es de esperarse que esta tendencia se refuerce y se expanda en los próximos años. La distinción, en forma sintetizada, básicamente es la siguiente:

a) Administración de riesgos

Le reporta al front-office y por lo tanto opera dentro de su estructura. Trabaja de forma proactiva con información de sensibilidad en el ámbito de la mesa o del portafolio para garantizar que durante el curso del día la operación se conduzca de acuerdo con las pautas de riesgos definidas en las metas de cada unidad de negocio. El área puede integrarse como un simple comité formado del trader a cargo de la operación y algunos especialistas en operación o en riesgos que formen parte del equipo, en los que se requiere un conocimiento especializado de los instrumentos. Si control de riesgos detecta desviaciones, administración de riesgos deberá mapear o diseñar una ruta de solución en términos específicos de operación que normalice la situación.

b) Control de riesgos

Opera dentro del middle-office y debe ser independiente del front-office, tanto en el ámbito de la estructura corporativa como en el de las líneas de reporte. Su papel principal es monitorear en forma reactiva el perfil de riesgo de toda la institución asegurando que se observen los límites de exposición al riesgo, tanto internos como regulatorios. Por lo tanto debe ser capaz de revaluar de forma independiente todas las posiciones asumidas por la institución para permitir el cálculo de estimaciones objetivas del riesgo asumido por cada área de negocio. Debe detectar e identificar situaciones en las que el perfil de riesgo de la institución sea indeseable, ubicar el origen del problema en la o las áreas de negocio involucradas e informar a los grupos correspondientes de administración de riesgos, sin generar recomendaciones ni decisiones específicas de solución, es decir, manteniendo la separación ideal que impida que control de riesgos asuma moral o realmente participación alguna en la posición que determina la exposición de la institución a los diversos factores de riesgo.

2. Segmentación de usuarios de riesgos

Las diversas áreas que de alguna forma requieren de los productos que puede generar el área de riesgos pueden segmentarse en tres niveles básicos:

6 Véase Webb, Nigel (1999). An Introduction to the Technology of Risk, en “Risk Management and Analysis, Volume 1, Measuring and Modelling Financial Risk”, editado por Carol Alexander, The Wiley Series in Financial Engineering.


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a) Front - Office

Conforma a las mesas de operación (dinero, cambios, derivados, etc.) y a la entidad de administración de riesgos, tal como se definió arriba. A grandes rasgos comprende a las áreas que interactúan con las contrapartes en los mercados.

b) Middle - Office

Engloba las áreas involucradas con la planificación, la estrategia y el control de la institución. Suelen incluirse en este segmento las áreas de control de riesgos, auditoría interna, normatividad contable, contabilidad, cumplimiento y normatividad, finanzas, planeación estratégica, diseño y control de producto, etc.

c) Backoffice

La Dirección General es la principal entidad receptora de los productos generados por el área de riesgos, los cuales utilizará en la toma de decisiones. A partir de la lógica de segmentación planteada, que pretende facilitar la caracterización y segregación de los requerimientos al área de riesgos, y que establece el front-office como constituido con las áreas que representan a la institución en los mercados y el middle-office con las áreas de planeación y control, tanto la periodicidad como las características de la información que requerirán a riesgos permite englobar al back-oficce en la misma línea o segmento que a la Dirección General. Asumiendo que el front-office de la institución cuente dentro de su estructura con personal que de alguna forma realice las funciones propias de administración de riesgos, al menos al nivel de sesiones extraoficiales donde participen los propios operadores, sería posible dar por sentada la separación deseada entre administración y control de riesgos y en consecuencia, tomando como válida la segmentación propuesta en front - office, middle - office y back-office, se pueden delinear los requerimientos generales de productos y las áreas usuarias por segmento. En la siguiente tabla se presenta una posible matriz de requerimientos mínimos de riesgo.

SEGMENTO FRONT-OFFICE MIDDLE-OFFICE BACK-OFFICE

ÁREAS MESAS DE OPERACIÓN ADMINISTRACIÓN DE

RIESGOS

CONTROL DE RIESGOS SISTEMAS E INFORMÁTICA PLANEACIÓN FINANCIERA AUDITORÍA

DIRECCIÓN GENERAL TESORERÍA BACK-OFFICE

REQUERIMIENTOS DE RIESGOS

Sensibilidades Consulta de límites Efecto de cada operación

en los límites Escenarios "what if”?

VaR Riesgo crédito Stress-testing Back-testing Riesgo liquidez Reportes regulatorios

Análisis de desempeño: estimaciones de desempeño ajustadas por riesgo (RAROC)

NIVEL DE AGREGACIÓN Específico por instrumento

Por tipo de instrumento Por mesa y segmento de

negocio Integrado

Integrado

PERIODICIDAD Intradía (a tiempo real) y en t+1 Diario en t+1 y/o mensual Mensual

Requerimientos de productos de riesgo


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Con base en los usuarios y necesidades esbozados, es posible generar algunas consideraciones clave para el diseño de la arquitectura de los sistemas de riesgos requeridos para generar los productos que las satisfagan.

1. Datos a tiempo real: Este requerimiento es exclusivo sólo del front-office (que incluye a administración de riesgos).

2. Naturaleza de los requerimientos de front-office: Los datos requeridos por el front-office son muy variantes y además altamente específicos a la naturaleza de los instrumentos negociados.

3. Independencia y reconciabilidad en conclusiones: Las conclusiones y opiniones relacionadas con riesgos emitidas por el middle-office deben ser demostrablemente independientes de las emitidas por el front-office, incluyendo en este último a administración de riesgos. Sin embargo, las conclusiones tanto de administración como de control de riesgos deben ser reconciliables, aunque deriven de requerimientos necesariamente distintos.

3. Datos e información

Si entendemos los datos como los componentes básicos a partir de los cuales se crea la información, es decir, si la información se constituye de datos insertados en un contexto, en particular el de la situación que es objeto del análisis, en la labor diaria de control de riesgos, y por lo tanto en el diseño de sistemas de riesgos, el principal problema a resolver es la obtención y agregación de datos, sobre todo si las distintas mesas y áreas de negocio generadoras de dichos datos operan a través de diversos sistemas, constituyéndose en “islas de información”.

Los datos que recibirá el área de riesgos para realizar sus labores pueden agruparse de la siguiente forma:

1. Características de las posiciones vigentes, de las operaciones realizadas y, en su caso, de las contrapartes: Se refiere a los datos principales que permiten definir cada operación y su impacto en el portafolio, además de las características de la posición vigente y, para el caso de operaciones en activos que así lo requieran, como los derivados, el seguimiento e identificación puntual de la contraparte.

2. Parámetros de valuación: Datos básicos para realizar la valuación diaria del portafolio, instrumento por instrumento.

3. Catálogos base: Deben existir al menos tres catálogos actualizados de datos básicos: Por un lado el catálogo de instrumentos (activos) y el catálogo de contrapartes, ambos conteniendo todos los detalles necesarios para generar la información requerida por riesgo mercado y por riesgo contraparte; y por otro lado el catálogo de los instrumentos de captación emitidos por la institución, que permitirá realizar los análisis correspondientes de riesgo liquidez.

En estos términos, el papel principal del sistema de riesgos es actuar como receptor central para la recolección de datos de tal forma que sea capaz de recrear las características de riesgo de cada operación contenida en cada uno de los sistemas de front-office, lo que nos permitirá definir la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos.

4. Arquitectura del sistema de administración y control de riesgos

El sistema de administración y control de riesgos puede constituirse de tres elementos clave: un data warehouse, un middleware layer y un analytics facility:


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a) Data Warehouse

En palabras de William H. Inmon, el data warehouse es un conjunto de datos orientados a un tema, integrados, no volátiles, que cambian con el tiempo, y que es utilizado para apoyar la toma de decisiones gerenciales, por lo que data warehouse es un término utilizado para definir un software capaz de almacenar y organizar grandes cantidades de datos, normalmente con base en sistemas comerciales de administración de bases de datos, pero con la peculiaridad de enfocarse al almacenamiento orientado a una serie de objetivos particulares de negocio.

El Dr. Ramón Barquin define incluso el data warehousing como el proceso por el cual las empresas extraen sentido y significado de sus datos a través de la utilización de bases de datos específicas denominadas data warehouses.

En el contexto de un sistema de administración y control de riesgos, el data warehouse se orienta principalmente al almacenamiento de datos relacionados con las transacciones capturadas originalmente en cada uno de los sistemas individuales del front – office, incluyendo aquellos datos que definan tanto a los instrumentos como a las contrapartes.

b) Middleware

Normalmente, con el fin de capturar los datos de cada uno de los sistemas del front – office dentro de una institución, el data warehouse será alojado en un estrato de software conocido como middleware cuyo objetivo es la presentación homogénea en un formato consistente de todos los datos almacenados en los diversos sistemas del front – office, por lo que debe ser capaz de aceptar múltiples y diversos formatos de datos de los sistemas fuente y mapearlos a un formato común para insertarlos en el warehouse. Si se modifica el formato de los datos en el warehouse, el middleware debe garantizar que los sistemas del front – office sean capaces de continuar su contribución de datos sin modificación, remapeando al formato revisado sin modificaciones significativas. Frecuentemente un middleware comercial consta de varios componentes, desde un software que se encargue de extraer físicamente los datos de los sistemas hasta funcionalidades de mapeo basadas en directrices que permitan la transformación de datos de un formato a otro a través de la aplicación repetida de una serie de reglas preestablecidas. De esta forma se habrán consolidado exitosamente los detalles relevantes de los datos de operación de la institución al warehouse.

c) Analytics Facility

Es el componente final del sistema de administración y control de riesgos, que describe la combinación de rutinas matemáticas, mecanismos de generación de reportes y despliegue de gráficas que convierten los datos subyacentes en información para el uso de los controladores de riesgo en el proceso de toma de decisiones. Pueden utilizarse varias facetas distintas de analíticos en el mismo data warehouse. Los usos típicos para las distintas facetas pueden estar relacionados con el control interno de los riesgos, los reportes regulatorios y los reportes de desempeño a la Dirección General. Esta arquitectura teórica se representa en el siguiente esquema:


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MESA DE DINERO

MESA DE CAMBIOS

MESA DE DERIVADOS

MIDDLEWARE

DATA WAREHOUSE

ANALYTICS

SISTEMAS DE FRONT – OFFICE Y BACK - OFFICE

SISTEMA DE CONTROL DE RIESGOS

Figura 3 Arquitectura genérica del sistema de administración y control de riesgos

Considerando a un nivel menos agregado las fuentes de datos, los tipos de análisis a realizar y los productos a generar en el área, la arquitectura genérica del sistema de administración y control de riesgos puede observar un primer despliegue de la siguiente forma:


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Datos de mercado

DATOSDATOSDATOS

FUENTES EXTERNASFUENTES EXTERNAS

Calificacionesexternas

FUENTES INTERNASFUENTES INTERNAS

DATA WAREHOUSE

MIDDLEWARE (Información) Interfaces a tiempo real o por lote

POSICIÓN(Mesas de operación)

ContabilidadCatálogo de contrapartes

Líneas de crédito, colaterales y

acuerdos de neteo

Calificacionesinternas

Catálogo de instrumentos

ANALYTICS: PROCESOS Y GENERACIÓN DE ENTREGABLESANALYTICS: PROCESOS Y GENERACIÓN DE ENTREGABLES

CALCULADORA RIESGO

MERCADO

CALCULADORA RIESGO

LIQUIDEZ

MOTOR MATEMÁTICO Y ESTADÍSTICO

CALCULADORA RIESGO

CRÉDITO

CONSULTASCONSULTASREPORTES RIESGO MERCADO

REPORTES RIESGO MERCADO

ADMINISTRACIÓN DE LÍMITES

ADMINISTRACIÓN DE LÍMITES REPORTES RIESGO

LIQUIDEZREPORTES RIESGO

LIQUIDEZREPORTES RIESGO

CRÉDITOREPORTES RIESGO

CRÉDITO

Figura 4 Arquitectura genérica del sistema de administración y control de riesgos desagregada

d) Contexto para la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos

La base del sistema de administración y control de riesgos de cualquier institución debe constituirse con dos elementos: el marco teórico y la infraestructura institucional, los cuales a su vez se interrelacionan.

5. Marco Teórico

Las metodologías aplicadas para la estimación del riesgo deben contemplar, entre otros puntos importantes:

1. La identificación de los factores de riesgo.

2. Las características mínimas requeridas en los datos diarios de mercado sobre estos factores de riesgo y en sus fuentes (en términos de consistencia teórica, calidad de los datos, facilidad de acceso, versatilidad de formatos, tiempo de respuesta, etc.).

3. Los datos mínimos requeridos de las posiciones de la institución.

4. Los procedimientos y modelos aplicables a los datos con el fin de generar la información necesaria para la estimación de riesgos.

5. Las características de la información a generar de tal forma que satisfagan las necesidades de administración y control de riesgos de la institución.


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Cada uno de estos puntos esenciales debe contar con un sustento teórico sólido, no sólo en el sentido que dicho fundamento cuente con respaldo académico, pruebas empíricas y aceptación general a través de su uso generalizado, sino sobretodo porque, de acuerdo a los parámetros de la propia institución, y a los procesos internos de calibración de modelos, satisfaga las necesidades particulares de control de la exposición al riesgo, es decir, el marco teórico aplicado debe contemplar procedimientos de control de riesgo modelo con el fin de lograr de forma óptima que las estimaciones generadas se ajusten a la realidad de los mercados donde se determinan los factores de riesgo. Finalmente, este sustento teórico debe ser congruente no sólo con el nivel de desarrollo de los mercados donde la institución participe (en términos de liquidez, profundidad y disponibilidad de datos confiables a tiempo real y a cierre de día), sino incluso con la infraestructura institucional, tanto en el ámbito tecnológico como en el humano y considerando las dimensiones de las posiciones de la institución.

En consecuencia, el diseño de la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos debe satisfacer forzosamente el marco teórico que la institución haya definido previamente, a través del órgano interno a cargo de la administración y control de riesgos, del Comité de Riesgos y del Consejo, considerando sin embargo que dicho marco teórico debe ser congruente con la infraestructura institucional y sin perder de vista que debe contarse con los recursos humanos necesarios para adaptar en el futuro el marco teórico a eventuales desarrollos de la infraestructura de la institución o incluso a avances tecnológicos y/o científicos que pudiesen permitir la implementación de un marco teórico más avanzado aun con la misma infraestructura.

6. Infraestructura institucional

La arquitectura del sistema de administración y control de riesgos debe apegarse forzosamente al tamaño de la institución, a su disponibilidad de recursos materiales, tecnológicos, financieros y humanos y sobre todo a sus auténticas necesidades de administración y control de riesgos.

Idealmente, no sólo se trata de evitar caer en el extremo de un sistema de perfil bajo (diseñar una arquitectura de bajo costo, de desarrollo rápido pero poco eficiente, tiempo prolongado de respuesta, poca flexibilidad, posiblemente incapaz de satisfacer las necesidades actuales y poco escalable) o en el de un sistema de perfil demasiado elevado (costo elevado que exceda el valor agregado a la institución, desarrollo muy prolongado, tiempo adicional de capacitación al personal, probable inadaptabilidad a la realidad de nuestros mercados, capacidad excesiva en comparación con las necesidades actuales e incluso futuras de la institución y altamente escalable pero a costos muy altos), sino de diseñar una arquitectura a la medida, que se adapte de forma óptima no sólo a las necesidades actuales reales, sino también a las necesidades futuras de la institución.

Por otro lado, la infraestructura institucional debe garantizar la disponibilidad de los recursos mínimos necesarios para que la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos pueda diseñarse con apego absoluto al marco teórico establecido.

De esta forma se logra el enlace óptimo entre el marco teórico y la infraestructura institucional que permitirá sentar las bases de la arquitectura del sistema de riesgos, que a su vez debe estar orientado al cumplimiento de las funciones de administración y control de riesgos que satisfagan los requerimientos correspondientes.

7. Funciones básicas del sistema de administración y control de riesgos

Sobre la base del marco teórico y la infraestructura de la institución, la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos debe satisfacer al menos las siguientes funciones:

1. Identificación: Debe ser capaz de identificar posiciones y factores de riesgo en los datos proporcionados por las fuentes determinadas.

2. Estimación: Debe ser capaz de generar las estimaciones de exposición al riesgo, sensibilidades de las posiciones y análisis de desempeño, aplicando todos los modelos


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establecidos en el marco teórico de la institución, así como las metodologías de calibración estipuladas.

3. Monitoreo: Debe permitir un monitoreo eficaz y ágil, al menos diariamente (en t+1) y, en caso necesario, a tiempo real e intradía.

4. Administración de límites: Debe generar alarmas de exceso de límites, así como aplicar las metodologías estipuladas para generar propuestas de límites o modificaciones en caso necesario, a los órganos encargados de autorizarlos.

5. Control: Debe permitir la revaluación de las posiciones para contrastarlas con los reportes de las áreas operativas, contrastarlas contra los límites establecidos y detectar cualquier desviación.

6. Divulgación: Debe generar reportes concisos y legibles, además de contar con herramientas que permitan una clara explicación de las metodologías utilizadas, así como de los conceptos teóricos básicos de administración de riesgos, de tal forma que facilite la divulgación de la cultura de riesgos en toda la institución, a través de un acceso sencillo, por ejemplo, vía Intranet.

Estas funciones principales deben estar orientadas a satisfacer los requerimientos de administración y control de riesgos de la institución.

Infraestructurainstitucional

MarcoTeórico

Arquitectura del Sistema de Administración yControl de Riesgos

Funciones

Requerimientos

Infraestructurainstitucional

MarcoTeórico

Arquitectura del Sistema de Administración yControl de Riesgos

Funciones

Requerimientos

Figura 5 Contexto para la arquitectura del sistema de administración y control de riesgos

8. Alternativas de arquitectura del sistema de administración y control de riesgos

Básicamente hay tres alternativas para diseñar la arquitectura de un sistema de administración y control de riesgos: adoptar un modelo de sistemas operacionales, fundamentar la arquitectura en calculadores de riesgos o aplicar un esquema integral que permita aprovechar las ventajas de los dos esquemas previos y al mismo tiempo minimizar las desventajas.

a) Sistemas operacionales

Los sistemas operacionales suelen ofrecer soluciones integrales en el sentido de que permiten obtener estimaciones, a partir del mismo sistema, de distintos tipos de riesgos, y trabajan sobre modelos propios preestablecidos, por lo que requieren una alta prioridad al estándar, lo que dificulta el tratamiento de instrumentos exóticos o poco convencionales. Se trata de una solución


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de largo plazo, inflexible y de implementación lenta que requiere además un prolongado proceso de capacitación a los usuarios, debido a que se fundamenta más en la cultura de sistemas que en la cultura de riesgos y constituye una caja negra, a la que deben alimentarse en formatos inflexibles los datos de las posiciones. El costo de estas soluciones suele ser considerablemente elevado.

b) Calculadora de riesgo

Los sistemas basados en la lógica de simplemente calcular los riesgos requieren la alimentación de factores de riesgo y de datos de la posición y permiten al usuario elegir entre dos o más modelos, aunque por lo general son bastante flexibles, dado que su prioridad es la funcionalidad de la calculadora. Es una solución de mediano plazo, con periodos de implementación relativamente cortos y mínimos requerimientos de capacitación al usuario, debido a que su fundamento es la cultura de riesgos. Aunque tienen como ventaja normalmente un costo de bajo a moderado, suelen enfrentar dificultades de integración a los procesos y sistemas institucionales, en algunas ocasiones también se trata de cajas negras y, sobre todo, pueden involucrar procesos deficientes de automatización que ocultan costos mayores a los visibles inicialmente.

c) Solución integral

Algunos proveedores ofrecen alternativas que integran tanto las ventajas de un sistema operacional como las de una calculadora de riesgo. Esta es la opción más recomendable, debido básicamente a tres conjuntos de ventajas:

(1) Ventajas técnicas

Contempla una arquitectura abierta, no una caja negra, compatible tanto con sistemas operacionales como con sistemas de data warehouse, de tipo modular y robusta en términos de administración, control y seguridad del propio sistema, sobre una plataforma probada y, principalmente, de tipo escalable.

(2) Ventajas de implementación

Los entregables, por otro lado, podrán estar claramente definidos en tiempos razonables y ajustados a las necesidades reales de la institución. Si se trata de una implementación probada con anterioridad, minimiza tanto el riesgo proyecto como los requerimientos y especialización del personal, además de generar bajo costo de propiedad en términos de mantenimiento, operación e implementación.

(3) Ventajas de negocio

Resolverá de forma idónea, dado que se diseñó a la medida, tanto los requerimientos internos de gestión como los requerimientos regulatorios, se adaptará a las prioridades de la institución, permitirá toma de decisiones estratégicas y contará con una metodología pragmática y robusta.

En conclusión, es evidente que la solución integral es la óptima pero de cualquier forma implica la resolución de algunos retos importantes previos, como la integración de datos, la representación de los diferentes tipos de riesgos, las metodologías de análisis de riesgos, la divulgación y presentación de los entregables y, finalmente, y tal vez los más difíciles y que seguramente absorberán la mayor parte del tiempo, la institucionalización de procesos y la implementación de la solución.

9. Alternativas de implementación del Data Warehouse

La implementación del Data Warehouse sólo puede realizarse de una de las tres formas siguientes:


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a) Desarrollo interno

El desarrollo de un Data Warehouse de primera generación para la administración y el control de riesgos absorbe un tiempo considerablemente alto; requiere de la disponibilidad de especialistas en Data Warehouse, en administración de riesgos y de negocio; definición y conjunción de requerimientos de riesgos; entendimiento de la gestión de riesgos; diseño de base de datos: plantillas de extracción, transformación y carga; construcción de consultas de análisis; implementación y prueba. En síntesis, implica una aplicación intensiva de recursos humanos, de tiempo y tecnológicos.

b) Desarrollo de cero con consultores externos

La consultoría externa reduce moderadamente el tiempo necesario para el desarrollo en comparación con el desarrollo interno sólo con recursos propios, así como la necesidad de especialistas; facilita la definición de requerimientos, el diseño de base de datos, la construcción de consultas de análisis, la implementación y la intensidad y el número de pruebas necesarios; pero requiere considerables esfuerzos de coordinación y dirección del equipo conjunto para mantener el control del riesgo de los proyectos y la adaptación ideal de los resultados a la satisfacción de las necesidades específicas de la institución, es decir, los procesos necesarios para garantizar la utilidad de negocio y la funcionalidad. Además eleva moderadamente el costo.

c) Desarrollo con solución predefinida

La utilización de una solución preconstruida reduce significativamente los tiempos de desarrollo, implementación y prueba; permite afinar los procesos de retroalimentación, refinamiento y pruebas; presupone una estructura dada de diseño de base de datos, entendimiento de gestión de riesgos y construcción de consultas de análisis, pero no garantiza absolutamente la utilidad de negocio ni la funcionalidad.

Si asumimos que el objetivo de la estrategia de implementación es adecuarse a las mejores prácticas del mercado a un costo razonable y en congruencia con el marco teórico definido por la institución, con su infraestructura, con sus recursos disponibles y sobre todo con los requerimientos específicos, es esencial reconocer que la implementación de una arquitectura de Data Warehouse de riesgos en una institución bancaria es una tarea que requiere un esfuerzo considerable y de compromisos entre todas las áreas involucradas, dado que los Data Warehouse de riesgos, a diferencia de los sistemas tradicionales, se construyen de manera iterativa con base en un modelo de datos reutilizable y no en un solo ciclo de desarrollo. Por lo tanto, cada iteración es un proyecto distinto. El inicio del desarrollo debe ser la definición de requerimientos, enfatizando la gestión de riesgos específicos a través de la tecnología y comprometiendo los recursos tanto de las áreas que gestionen riesgos como de las áreas de tecnología de la información a cargo del desarrollo.

Con el fin de clarificar el carácter iterativo del desarrollo del Data Warehouse, debe resaltarse que el objetivo de su desarrollo es generar beneficios de negocio, y para garantizar el valor de negocio, y el aprovechamiento de las ventajas de negocio citadas arriba, se requiere una síntesis previa de requerimientos, donde cada requerimiento define un proyecto en sí mismo.

La gestión de riesgos a través de tecnología debe disponer de información correcta, oportuna y en el lugar y formato adecuados, lo cual depende de la calidad e integridad de los datos y el contexto en que éstos serán transformados en información. Dado que la prioridad son las necesidades de gestión, se debe maximizar el valor de negocio a partir de la tecnología disponible, por lo que los proyectos deben disponer de un patrocinador con un objetivo específico para poder iniciarse, en un esquema claro de división del trabajo que garantice compartir la responsabilidad en las soluciones y alinear los intereses de los participantes: las áreas de tecnología pretenden una solución institucional y son por lo tanto responsables de la arquitectura global, buscando beneficios de largo plazo para las demás áreas. Las áreas de negocios buscan información específica para sus


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necesidades y se enfocan en el retorno de la inversión a corto plazo, por lo que deben crearse equipos y relaciones funcionales de largo plazo.

De forma muy general, las áreas participantes en la implementación de la solución deben contemplar a la Dirección General, las áreas de negocio y auditoría por un lado; sistemas por otro y como fundamento el área de riesgos y, en su caso, el consultor externo, el cual a su vez debe al menos satisfacer las siguientes características:

1. Contar con el conocimiento y la experiencia suficientes que le permitan detectar, analizar y señalar claramente las auténticas necesidades actuales de la institución, así como las futuras, y contrastarlas con las restricciones de tiempo, presupuesto y recursos (tecnológicos y humanos) disponibles, para garantizar que sus recomendaciones y sugerencias serán eficientes.

2. Poseer, o conocer, una solución integral probada y preconstruida, que se ajuste de forma al menos óptima a las necesidades reales de la institución;

3. Buscar una relación de largo plazo, por ejemplo, un esquema de licencia que implique soporte técnico, funcional y de atención al usuario permanentes, no sólo entregar un sistema, y que especifique claramente las condiciones de costo, tiempo de implementación y capacitación, tanto para requerimientos y adaptaciones particulares solicitadas por la institución, como para actualizaciones a versiones más recientes.

4. Contar con un equipo multidisciplinario y capaz que garantice atención eficaz y oportuna.

5. Garantizar que el sistema recomendado cuente con soporte y esquemas de redundancia para evitar en todo momento y ante cualquier circunstancia, la continuidad de las operaciones y la funcionalidad de los aplicativos.

C. Interpretación del VaR

En cuanto a sus puntos débiles, que definirán los futuros desarrollos con el fin de perfeccionar los resultados obtenidos, encontramos, básicamente, los siguientes:

El VaR, como vimos, se estima a partir del Valor de Mercado del portafolio o activo de interés, es decir, del resultado de marcar a mercado el portafolio en el momento en que deseamos estimar su peor pérdida esperada. Desgraciadamente esto equivale a suponer que la liquidez del mercado para este activo o portafolio es cuasiperfecta: En caso de que la liquidez fuese relativamente baja, el realizar la pérdida o ganancia del portafolio, vendiendo los activos largos y comprando los cortos, implicaría castigar los precios más allá de lo deseado, es decir, el VaR estaría subestimando la peor pérdida posible. Por lo tanto, el periodo de estimación del VaR se ve limitado a la liquidez del activo o portafolio que está siendo analizado: Mientras más corto sea el periodo de estimación del VaR en comparación con la liquidez del mercado, mayor será la inexactitud del VaR estimado, debido al incremento del riesgo liquidez, sobretodo en mercados altamente volátiles a la baja, para posiciones cortas, o al alza, para posiciones largas.

Además del riesgo liquidez, otro punto débil del VaR es que tampoco estima riesgo crédito, dado que da por hecho que la contraparte de cada posición cumplirá cabalmente con sus compromisos. Por lo tanto, con el fin de lograr estimar el riesgo crédito de una operación, el VaR deberá ser ajustado por alguna metodología acorde a nuestras necesidades específicas.

El VaR supone un estado normal del mercado, por lo que genera un resultado de máxima pérdida esperada en un horizonte dado, una vez definido el nivel de confianza deseado, si todo permanece estable. Sin embargo, en caso de algún evento extraordinario que distorsione ampliamente el comportamiento de los agentes económicos, es decir, que genere pérdidas que superen las estimaciones previas, entonces las pérdidas que se sufrirán no habrán sido pronosticadas por el VaR estimado, por lo que la estimación del VaR, que supone un mercado en situación normal,


121


deberá ser ajustada por simulación de escenarios extremos, es decir, por pruebas donde se someterá el VaR resultante en condiciones normales a situaciones de estrés, hasta generar una ruptura, justo como reacción a eventos extraordinarios, es decir, al peor escenario posible.

Finalmente, el VaR supone una distribución normal, aun cuando se ha venido generando cada vez más evidencia empírica que demuestra que el supuesto de distribución normal de los rendimientos de los activos financieros es erróneo, dado que aparentemente los rendimientos extremos, es decir, los que se ubican en la cola de la distribución, se presentan en un número mayor al que proporcionalmente le correspondería a una distribución normal estándar, es decir, dado que el área bajo la curva de la distribución de los rendimientos de los activos financieros parece superar el área correspondiente bajo la curva normal estándar, decimos entonces que acusan el fenómeno conocido como kurtosis, o leptocurtosis, es decir, el VaR resultante es un estimador que subestima el riesgo si la distribución de los rendimientos del activo o portafolio no se comporta de forma normal. Con el fin de evitar este tipo de sesgos, sólo hay dos rutas posibles: aplicar un método de valuación completa a través de simulaciones (Histórica o Monte Carlo), o aplicar alguna distribución que se ajuste de forma óptima a la distribución realmente observada por los rendimientos de los activos financieros. Debido, fundamentalmente, a que parece poco probable encontrar alguna distribución que explique en cualquier momento el comportamiento de los rendimientos de los activos financieros, el recurso más aplicado para resolver problemas de colas anchas son las simulaciones.


122


FORMULARIO

1. VARIANZAMedición de la extensión a la cual se dispersa una variable aleatoria (o estadística) alrededor de su media. En activos financieros, se utiliza como antecedente para definir la volatilidad.

σ=∫−∞

∞

( xi− x )2⋅f ( x )⋅dxDonde:x = Variable.

x = Media de la variable x.

f ( x ) = Función de densidad de probabilidad.Puede obtenerse una estimación de la varianza de una variable a partir de información muestral, calculando la varianza muestral:

σ2

x=∑i=1

n ( x i− x )2

n−1Donde:

x i = Observación iésima de la variable x.

x = Media muestral de la variable x.n = Tamaño de la muestra.Para anualizar la varianza, se multiplica por el número de días operados en un año. Convencionalmente se utilizan 21 o 22 días por mes. Por lo tanto, se multiplicará por 252.

2. DESVIACIÓN ESTÁNDAR (VOLATILIDAD)Medición del grado en el que una variable se dispersa alrededor de su media, que se calcula como el valor de la distancia media de los valores de una muestra de observaciones de una variable a su media. En activos financieros, utilizada para definir la volatilidad y se calcula como la medición estándar de la desviación media de los rendimientos muestrales de un activo al rendimiento medio, en cuyo caso, por tratarse de una muestra, el promedio será calculado contra n-1.

σ x=√∑i=1

n ( xi− x )2

n−1Para anualizar la volatilidad diaria, se multiplica por la raíz del número de días operados en el año (convencionalmente, una constante estándar de 21 o 22 días):

σanualizada

2 =σdiaria

2 ¿252

σ anualizada=σdiaria∗√252


vi


3. COVARIANZAMedición del grado en que dos variables están linealmente relacionadas.

σ x , y=∑i=1

n

( xi− x )( y i− y )

n4. COEFICIENTE DE CORRELACIÓNMedición del nivel en que dos o más variables reaccionan en forma semejante, opuesta o

independiente, limitando las ponderaciones a: -1 < x,y < 1.

ρx , y=∑i=1

n

( x i− x )( y i− y )

√∑i=1

n

(x i− x )2∑i=1

n

( y i− y )2

5. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADProbabilidad de que un valor futuro caiga dentro de un rango muy pequeño.

p= 1√2π σ

e−0.5( x− x

σ )2

6. VALOR ESTÁNDAR (ESTANDARIZACIÓN DE LOS RENDIMIENTOS DE UN ACTIVO)Valor normal convertido para ajustarlo a una curva normal estándar.

z= x− xσ

7. VALOR EN RIESGOMedición de la máxima pérdida esperada en el valor de mercado de un portafolio, una vez determinados tanto el periodo de tenencia (horizonte) como el nivel de confianza deseado (nivel de aversión al riesgo).

VaR=VM∗FC∗σSi la volatilidad está anualizada, y se desea calcular el VaR a un día, deberá agregarse el factor tiempo:

VaR=VM∗FC∗σ∗√T−t252

Donde:VaR = Valor en Riesgo.VM = Valor de Mercado del Activo o Portafolio.FC = Factor de Confianza (Valor Absoluto del Valor Estándar). = Volatilidad del Activo o Portafolio.T-t = Número de días del periodo de tenencia: 1, si se considera un VaR a un día.


vii


a) Valor en Riesgo de Activos No - Lineales: Delta

VaR=VM∗FC∗σ∗ΔDonde: = Volatilidad del Activo Subyacente del Activo No - Lineal. = Delta: Sensibilidad del Precio del Activo No – Lineal a cambios en el Precio del Activo

Subyacente.b) Valor en Riesgo de Contratos No - Lineales: Delta – Gamma

VaR=VM∗FC∗[σΔ+ σ 2

2∗Γ ]

Donde: =Volatilidad del Activo Subyacente del Activo No - Lineal. =Delta: Sensibilidad del Precio del Activo No – Lineal a cambios en el Precio del Activo

Subyacente. =Gamma: Sensibilidad del Precio del Activo No – Lineal a cambios en Delta. Efecto de

segundo orden de cambios en el precio del activo subyacente. Se utiliza cuando el activo no–lineal está en el dinero y cerca del vencimiento.

c) Valor en Riesgo de Contratos No - Lineales: Vega y ThetaSe implementa una expansión de serie de Taylor para considerar los riesgos del activo no – lineal, relacionados con la sensibilidad a cambios en la volatilidad y en la madurez del contrato.

8. ALAMBRADA

rd=[( 1+rl

nl

360

1+r c

nc

360)( nd−n c

n l−nc)

(1+r c

nc

360 )−1]360nd

donde:rd = Tasa buscada para el plazo intermedio.rl = Tasa del plazo largo.rc = Tasa del plazo corto.nd = Número de días del plazo intermedio.nl = Número de días del plazo largo.nc =Número de días del plazo corto.

9. Valuación de Opciones sobre una Acción que no paga dividendo (Black & Scholes):

c=SN (d1 )−Ke−rτ N (d2 )p=Ke−rτ N (−d2)−SN (−d1)

d1=ln( S

K )+(r+ σ2

2 ) τσ √τ

d2=d1−σ √τ

Donde:


viii


c = Valor (prima) unitaria de la opción call.p = Valor (prima) unitaria de la opción put.S = Precio spot de la acción.K = Precio de ejercicio de la opción.r = Tasa de interés libre de riesgo. = Desviación estándar, o volatilidad, de los rendimientos diarios del precio spot de la acción. = Plazo de la opción: (T-t)/360. T = Día de vencimiento de la opción; t = Día de valuación de la

opción.N(d1) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola derecha, para el valor estándar

d1.N(d2) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola derecha, para el valor estándar

d2.N(-d1) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola izquierda, para el valor estándar

-d1.N(-d2) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola izquierda, para el valor estándar

-d2.10. Valuación de Opciones sobre Divisas con Black & Scholes Modificado (Garman –

Kohlhagen)

c=Se−r f τ

N (d1 )−Ke−r nτ

N (d2 )p=Ke

−rnτN (−d2 )−Se

−rf τN (−d1 )

d1=ln( S

K )+(rn−r f+σ 2

2 ) τσ √τ

d2=d1−σ √τDonde:c = Valor (prima) unitaria de la opción call.p = Valor (prima) unitaria de la opción put.S = Tipo de cambio spot: Divisa Doméstica/Divisa Extranjera.K = Precio de ejercicio de la opción.rf = Tasa de interés extranjera.rn = Tasa de interés doméstica. = Desviación estándar, o volatilidad, de los rendimientos diarios del tipo de cambio spot. = Plazo de la opción: (T-t)/360. T = Día de vencimiento de la opción; t = Día de valuación de la

opción.N(d1) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola derecha, para el valor estándar

d1.N(d2) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola derecha, para el valor estándar

d2.N(-d1) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola izquierda, para el valor estándar

-d1.N(-d2) = Área bajo la curva de la distribución normal estándar, cola izquierda, para el valor estándar

-d2.Existe una función en Excel: NORMSDIST(z) o DISTR.NORM.ESTAND(z), donde z es el valor estándar cuya probabilidad se desea encontrar, N(-d1)=1 - N(d1), N(-d2)=1 - N(d2).


ix


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x


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xi

TABLAS DE LA NORMAL

Tabla para N(z) cuando z0 Tabla para N(z) cuando z0En caso necesario, deberá interpolarse para encontrar los valores buscados. En caso necesario, deberá interpolarse para encontrar los valores buscados.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985

-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233

-2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143

-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110

-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019

-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

-3.0 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007

-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005

-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003

-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002

-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-4.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

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