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Professor Luis Juvandes
Aula Terica de 09 11 2000
Deslocamento de Ns de Estruturas Articuladas Planas Isostticas
Mtodo da Unidade Fictcia de Carga ou mtodo de Maxwell-Mohr.
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 1/6
RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001
Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000
DESLOCAMENTO DE NS DE ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS
EExxeemmpplloo 33
CAB
?VB =
ED
P1t P2
A B C
D
P1
P2?HD =
t
P3
?VD =
OBJECTIVO
VALOR DA COMPONENTE DO DESLOCAMENTO
DE UM N NUMA DADA DIRECO (vertical,
horizontal, ...)
MTODO
MAXWELL-MOHR ou
UNIDADE FICTCIA DE CARGA (UFC)
=
=n
1iiip N
- direco da componente do deslocamento
i = 1, n - estendido a todas as barras da estrutura
FEUP - EN
GEN
HAR
IA CIVIL
Folha 2/6
RESISTN
CIA D
E MATER
IAIS 1
Ano lectivo 2000/2001 Professor Lus Juvandes
Aula 09/11/2000
PRINCPIO DOSTRABALHOS VIRTUAIS
CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE PARAQUE UM CORPO ESTEJA EM SOB A ACO DE UM SISTEMA DE FORAS EXTERIORES,QUE NUMA DEFORMAO VIRTUAL DO CORPO O
IGUALE O
EQUILBRIO ELSTICO
TRABALHOVIRTUAL DAS FORAS EXTERIORES TRABALHOELSTICO DE DEFORMAO DO CORPO
TRABALHO DASFORAS EXTERIORES
. Dissipao de energia por atrito externo
. Dissipao de energia por atrito interno
. Energia cintica
. Energia potencial elstica
ext = int
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3/6
RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001
Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000
33 MMTTOODDOO DDEE MMAAXXWWEELLLL--MMOOHHRR // UUNNIIDDAADDEE FFIICCTTCCIIAA DDEE CCAARRGGAA ((UUFFCC))
EEssttrruuttuurraa RReeaall EEssttrruuttuurraa ffiiccttcciiaa ccoomm aa UUFFCC
CAB
?VB =
ED
P1t P2
CA B
ED
1
AH
CVAV
Ni Equilbrio
t P,P
.Sol 21
Ni Equilbrio
( )barrai
i
j, "j" n
t EAN
Def.VH
i
+=
t P,P
.Sol 21
Deformao
Solicitao
j n
(sem unidades)
fora UFC dodeslocamento
"" B
Ni - esforos
R j - reaces de apoio
Solicitao
Equilbrio
v
PRINCPIO DOS TRABALHOS
VIRTUAIS (P.T.V.) ext = int
j
i
j
i
lreal Def. virtualDef.
RN
UFCSol. Admitindo
=
=
=++=
=+++=
=
7
1iii7711int
VB
VBCAAext
lNlNlN
10V0H0V
iN
il
=
=n
1iii
VB N
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4/6
RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001
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MMTTOODDOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS FFIICCTTCCIIAA DDEE CCAARRGGAA
OOUU MMAAXXWWEELLLL--MMOOHHRR ((UUFFCC))
=
=n
1iiip N
vp Hp
BARRAS (i) i iA iN i i1N ii1N i2N ii2N
=vp =Hp
Clculo do deslocamento de P - );( hpvpp
OOBBSS::
"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforo N
"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforo N
barrai
.comp .trac
;N;N;N
t
"i" barra cada t EAN
Hpi2
Vpi1
i2i1i
ii
+=
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5/6
RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001
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CCAASSOOSS DDEE SSOOLLIICCIITTAAEESS UUNNIIDDAADDEESS FFIICCTTCCIIAASS DDEE CCAARRGGAA
DESLOCAMENTOS (, ) U.F.C. (s/dimenses) H
V
B
A
A, B = B AA
B
C, AB
A
BC
a
b
AB
B
A
AB, BC
B
CA
1
1
1
1
1
1
a
b
b
1
a
b
/
a+b = a/
1
1/
1/
11
1/2
12
1/ 1
1/ 1
1/2
iN
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6/6
RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001
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Exemplo: Calcule o deslocamento vertical do n D da estrutura articulada representada na
Figura, utilizando o mtodo de Maxwell-Mohr. A rea da seco transversal de 20
cm2 para as barras AB e BD de 15 cm2 para as restantes e o mdulo de Young igual a
200 GPa e C/1025.1 5= .
A B D
C
[m]3.0 6.0
2.0 t = +10
C
60kN
= ?DV
Clculo de esforos: Est. Real
iy
x N 0F0F
" n ==
(kN) A B D
C
-180 -180
-180
106013
60[kN]
Estrutura c/a U.F.C. do deslocamento VD
A B D
C
[m]3.0 6.0
1
A B D
C
+3
+3
10-13
-
+3
Equilbrio de ns
iN (s/unidades)
VD
Barra )m(
i )m(
A2i
Ct i
)kN(Ni 3
i
10)m(
iN iiN
A-B 3 41020 - -180 -1.35 3 31005.4
B-D 6 - -180 -2.70 3 3101.8
A-C 13 41015 +10 1360 3.057 13 3109.10
C-D 102 - 1060 4.00 10 31065.12
B-C 2 - -180 -1.20 3 3106.3
Como == mm4.39l N iiVP m104.39l N 3ii =