Rotation, krit. varvtal, s 1

Roterande obalans

Kritiskt varvtal för roterande axlar

Rotation, krit. varvtal, s 2

Roterande obalans

m0

k

c

e

0t Modeller för roterande

maskiner ej fullständigt

utbalanserade

t ex tvättmaskiner, motorer, verkstadsmaskiner etc.

e : eccentricitet mo : obalansmassa ω0 : rotationfrekvens

Rotation, krit. varvtal, s 3

Roterande obalans

Hur stora blir obalanskrafterna?

e

m0

q

Rx

Ry

0

x

x e t

a x e t

sin

sin

0 0

2

0 0 0

x x o o

y y o o

R m a m e m e t

R m a m e m e t

sin sin

cos cos

q

q

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

Krafter:

Rotation, krit. varvtal, s 4

Roterande obalans

m0e02sin(0t)

k

c

x(t)

m

2

0 0

2 2

0 0

sin

eller

2 sin

o

o

n n

m x cx kx m e t

mx x x e t

m

Röre lseekvation :

0

2

0

22 2

0 0

01

2

0

( ) sin( )

/

(1 / ) 2 /

2 /tan

1 /

p

no

n n

n

n

x t X t

m eX

m

Rotation, krit. varvtal, s 5

Roterande obalans

Amplitud som funktion av frekvensförhållandet ω0/ωn

ω0/ωn

Rotation, krit. varvtal, s 6

Roterande obalans - exempel

Rotation, krit. varvtal, s 7

Kritiskt varvtal, roterande axlar

Obalanserade hjul, skivor etc. monterade på roterande axlar kan ge mycket höga vibrationsamplituder vid vissa varvtal, sk. kritiska varvtal.

Pga obalansen är tyngdpunkten (masscentrum) förskjuten i förhållande till rotationscentrum

Tyngdpunktens förskjutning relativt rotationscentrum är lika med a.

Axelns vinkelhastighet (driftvarvtal) betecknas ω0

Kritisk vinkelhastighet är lika med axelns egenfrekvens, ωn

a

Rotation, krit. varvtal, s 8

Kritiskt varvtal roterande axlar

Rörelseekvationer:

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝜔02𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)

𝑚𝑦 + 𝑐𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑚𝑎𝜔02𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡)

axeln böjer ut i xy-planet sträckan OE

Rotation, krit. varvtal, s 9

Lösning av rörelseekvationerna

𝑥 𝑡 =𝑎

𝜔0

𝜔𝑛

2

1−𝜔

0

𝜔𝑛

2 2

+ 2ζ𝜔

0

𝜔𝑛

2

𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡-Φ)

y 𝑡 =𝑎

𝜔0

𝜔𝑛

2

1−𝜔

0

𝜔𝑛

2 2

+ 2ζ𝜔

0

𝜔𝑛

2

sin(𝜔0𝑡-Φ)

Fasvinkeln Φ är vinkeln mellan linjerna OE och EG

Vinkeln θ är vinkeln mellan linjen OE och x-axeln

𝑡𝑎𝑛θ =𝑦

𝑥=

𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡−Φ)

𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡−Φ)

θ = 𝜔0𝑡−Φ 𝑑θ

𝑑𝑡= 𝜔0

θ

Φ

Rotation, krit. varvtal, s 10

Axelns utböjning

X är beloppet (amplituden) av x(t)

Y är beloppet (amplituden) av y(t)

X = Y

a är avståndet mellan

rotationsaxeln och

tyngpunktsaxeln

0

Rotation, krit. varvtal, s 11

Slutsatser

En axel bör inte rotera nära det kritiska varvtalet.

Vid körning under kritiska varvtalet bör rotationshastigheten vara högst 0.5 av det kritiska varvtalet

Vid körning över kritiskt varvtal bör rotationshastigheten vara minst ca 2 ggr det kritiska varvtalet.

Om man ligger nära det kritiska varvtalet behövs dämpning

Dämpare används för dämpa bort energi ur systemet

Vid höga varvtal blir utböjningen lika med a, dvs rotationen sker runt axeln genom masscentrum, fasvinkeln går mot 180 grader.

Rotation, krit. varvtal, s 12

Statisk obalans

Har en snedfördelad massa i statiskt tillstånd.

Masscentrum ligger utanför axelcentrum

Axeln anses ha liten massa gentemot rotorn.

Rotation, krit. varvtal, s 13

Dynamisk obalans

Skapar obalans i rörelse.

Exemplet i figuren saknar statisk obalans.

Svänghjulen har olika eccentriciteter.

Masscentrumen är fasförskjutna mot varandra.

Rotation, krit. varvtal, s 14

Åtgärder vid vibrationsproblem

Tillfällig passage kräver god balansering.

Balansering

Man kan minska vibrationen mha dämpning.

Anpassa konstruktionen (dimensionera) för undvika att driftvarvtalet hamnar nära kritiska varvtalet.

Varvtalskvoten bör inte ligga i intervallet 0.7 < ωn/ωn < 1.4

Alternativ; ändra styvheten, k, hos axeln.

Alternativ; ändra massan, m, hos axeln.

Rotation, krit. varvtal, s 15

Dynamisk balansering

Upphängd i fjäderinfästa lager som kan förskjutas i en riktning

Obalansamplitud, X0, och fasvinkel uppmäts vid ett specifikt varvtal.

En testvikt, m1, sätts på rotorn. Ny obalansamplitud, X1, uppmäts och ny fasvinkel.

Vektorerna X0 (oa) och X1 (ab) kan nu ritas in, se figuren.

Skillnadsvektorn ab beror endast på effekten av testvikten m1.

Om placeringen av testvikten m1 flyttas vinkeln Φ och storleken av m1 ändras till m1 *(oa/ab), får skillnadsvektorn ab, samma belopp och blir motriktad vektorn oa.

Rotorn är utbalanserad eftersom X1 då blir noll.

Rotation, krit. varvtal, s 16

Dynamisk balansering - exempel

Vid 300 varv/min uppmäts en obalans amplitud på 3,2 mm 30° från referensmärket.

En testvikt på 25 gram fastsätts på kanten vid 143° från ref. märket.

Ny obalansamplitud vid 300 varv/min är 7 mm vid fasvinkeln 77° från ref. märket.

Hur stor skall korrektionsvikten vara och var (vid vilken vinkel ) skall den sättas fast?

Rotation, krit. varvtal, s 17

Övningsuppgifter

Rekommenderade övningsuppgifter: (nya övningsuppfigter från Inman – Engineering Vibration)

Roterande obalans: 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, (2.67)

Kritiskt varvtal: 5.74, 5,75, (5.78 överkurs), 5.79, 5.80