Rovnica paraboly

Analytická geometria kvadratických útvarov

Definícia parabolyParabola je množina všetkých bodov v rovine,

ktoré majú od daného pevného bodu a pevne danej priamky rovnakú vzdialenosť.

ukážka v Geogebre

Prvky paraboly

• V[m,n] – vrchol• F – ohnisko

d – určujúca priamka• DF – os paraboly• FD = p – parameter• FV = DV = p/2

Dôležité vzťahyo zvolíme súradnicovú sústavu tak, aby jej začiatok bol vo vrchole, x-ová os bola os paraboly a y-ová os prechádzala vrcholom paraboly

o súradnice význačných bodov budú:

V[0,0]F[p/2,0]D[-p/2,0]priamka: 2x + p = 0

alebo x = - p / 2

Rovnica parabolyOdvodenie• vzdialenosť ľubovoľného bodu X od ohniska a

priamky je rovnaká

• postupným odvodzovaním dostaneme rovnicu

• Tento vzťah nazývame rovnica paraboly

dXXF ,

pxy 22

Rovnica parabolyOdvodenie• ak stred bude v ľubovoľnom bode súradnicovej

sústavy

)(2)( 2 mxpny

Druhy parabolA) os paraboly je rovnobežná s osou x

• ak stred S[0,0]

• ak stred S[m,n]

2. ohnisko je v zápornej časti polosi

• ak stred S[0,0]

• ak stred S[m,n]pxy 22

)(2)( 2 mxpny

pxy 22

)(2)( 2 mxpny

1. ohnisko je v kladnej časti polosi

Druhy parabol3. ohnisko je v kladnej časti polosi

• ak stred S[0,0]

• ak stred S[m,n]

4. ohnisko je v zápornej časti polosi• ak stred S[0,0]

• ak stred S[m,n]pyx 22

)(2)( 2 nypmx

pyx 22

)(2)( 2 nypmx

B) os paraboly je rovnobežná s osou y

Zhrnutie druhov

Rovnica paraboly – riešené príklady

Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol V a ohnisko F.

6,4,6,2V .1 F

2,3,5,3V .2 F

)2(8)6(

)2(42)6(

4 22

24)66()42(

2

2

22

xy

xy

ppVF

VFrovnobežná s x

rovnobežná s y

F je vpravo od V (kladná časť osi)

)5(12)3(

)5(62)3(

6 32

39)25()33(

2

2

22

yx

yx

ppVF

VF

F je pod od V (záporná časť osi)

Rovnica paraboly – riešené príklady

Z rovnice paraboly určte súradnice vrcholu, ohniska a parameter.

0,7,4,0,5 FpV )5(8 .1 2 xy

25,5;1;5,4,3,1 FpV)3(9)1( .2 2 yx

7;5,4,1,7,4 FpV

)4(2)7( .3 2 xy

koniec