Rovnica paraboly
Analytická geometria kvadratických útvarov
Definícia parabolyParabola je množina všetkých bodov v rovine,
ktoré majú od daného pevného bodu a pevne danej priamky rovnakú vzdialenosť.
ukážka v Geogebre
Prvky paraboly
• V[m,n] – vrchol• F – ohnisko
d – určujúca priamka• DF – os paraboly• FD = p – parameter• FV = DV = p/2
Dôležité vzťahyo zvolíme súradnicovú sústavu tak, aby jej začiatok bol vo vrchole, x-ová os bola os paraboly a y-ová os prechádzala vrcholom paraboly
o súradnice význačných bodov budú:
V[0,0]F[p/2,0]D[-p/2,0]priamka: 2x + p = 0
alebo x = - p / 2
Rovnica parabolyOdvodenie• vzdialenosť ľubovoľného bodu X od ohniska a
priamky je rovnaká
• postupným odvodzovaním dostaneme rovnicu
• Tento vzťah nazývame rovnica paraboly
dXXF ,
pxy 22
Rovnica parabolyOdvodenie• ak stred bude v ľubovoľnom bode súradnicovej
sústavy
)(2)( 2 mxpny
Druhy parabolA) os paraboly je rovnobežná s osou x
• ak stred S[0,0]
• ak stred S[m,n]
2. ohnisko je v zápornej časti polosi
• ak stred S[0,0]
• ak stred S[m,n]pxy 22
)(2)( 2 mxpny
pxy 22
)(2)( 2 mxpny
1. ohnisko je v kladnej časti polosi
Druhy parabol3. ohnisko je v kladnej časti polosi
• ak stred S[0,0]
• ak stred S[m,n]
4. ohnisko je v zápornej časti polosi• ak stred S[0,0]
• ak stred S[m,n]pyx 22
)(2)( 2 nypmx
pyx 22
)(2)( 2 nypmx
B) os paraboly je rovnobežná s osou y
Zhrnutie druhov
Rovnica paraboly – riešené príklady
Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol V a ohnisko F.
6,4,6,2V .1 F
2,3,5,3V .2 F
)2(8)6(
)2(42)6(
4 22
24)66()42(
2
2
22
xy
xy
ppVF
VFrovnobežná s x
rovnobežná s y
F je vpravo od V (kladná časť osi)
)5(12)3(
)5(62)3(
6 32
39)25()33(
2
2
22
yx
yx
ppVF
VF
F je pod od V (záporná časť osi)
Rovnica paraboly – riešené príklady
Z rovnice paraboly určte súradnice vrcholu, ohniska a parameter.
0,7,4,0,5 FpV )5(8 .1 2 xy
25,5;1;5,4,3,1 FpV)3(9)1( .2 2 yx
7;5,4,1,7,4 FpV
)4(2)7( .3 2 xy
koniec