Rozprawa doktorska - repo.pw.edu.pl

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział Elektroniki

i Technik Informacyjnych

ROZPRAWA DOKTORSKA

mgr inż. Marcin Lewandowski

Krótkoczasowa analiza parametrów modulatorów sigma-delta

stosowanych w cyfrowo-analogowym przetwarzaniu sygnałów

fonicznych

Promotor

prof. dr hab. inż. Zbigniew Kulka

Warszawa, 2013

Pobrano z http://repo.pw.edu.pl / Downloaded from Repository of Warsaw University of Technology 2021-11-23

2


3

Pragnę wyrazić moją głęboką wdzięczność Panu Profesorowi

Zbigniewowi Kulce za nieocenioną opiekę naukową. Szczególnie

dziękuję za okazane wsparcie merytoryczne i poświęcony czas,

a także za słowa mobilizacji oraz za wszelką pomoc, która

przyczyniła się do powstania tej pracy.

Szczególne podziękowania składam również Panu Piotrowi

Nykielowi, którego cenne uwagi i pomysły pomogły w realizacji

pracy.

Dziękuję Kolegom i Koleżankom z Zakładu Elektroakustyki PW,

którzy wspierali mnie przez cały okres studiów doktoranckich

i tym mocniej w okresie pisania pracy.

Składam podziękowania mojej Żonie za ogromną cierpliwość,

wyrozumiałość, okazane wsparcie i mobilizację, bez których ta

praca nie mogłaby powstać.


4


5

Streszczenie

Niniejsza rozprawa jest poświęcona zagadnieniu krótkoczasowej analizy parametrów

modulatorów sigma-delta (SD) stosowanych w cyfrowo-analogowym przetwarzaniu

sygnałów fonicznych. W pracy przedstawiono znaną i powszechnie stosowaną metodę analizy

cyfrowych modulatorów SD w dziedzinie częstotliwości. Następnie zwrócono uwagę na

istotne ograniczenia wspomnianej metody w przypadku analizy modulatorów SD

pobudzanych sygnałami muzycznymi. Z tych względów zaproponowano metodę analizy

modulatorów SD w dziedzinie czasu.

Zaproponowana metoda analizy czasowej polega na oszacowaniu określonego

w rozprawie nieliniowego błędu modulacyjnego (NBM), który reprezentuje łącznie

informację o zniekształceniach nieliniowych, modulacji progu szumowego modulatora

i błędzie rekwantyzacji, a następnie na obliczeniu jego parametrów, tj. wartości średniej

i mocy w zakresach zmienności parametrów sygnału wejściowego modulatorów. Brane są

pod uwagę takie parametry sygnału wejściowego modulatorów, jak amplituda, szybkość

zmian sygnału i szybkość zmian jego nachylenia. Oszacowanie nieliniowego błędu

modulacyjnego polega na modelowaniu funkcji przenoszenia sygnału (STF) w modulatorze

SD za pomocą transmitancji drugiego rzędu ogólnej postaci. Modelowanie odbywa się

w dziedzinie zmiennej zespolonej s, a nieliniowy błąd modulacyjny jest określony jako

różnica prawej i lewej strony równania różniczkowego odpowiadającego modelowej funkcji

STF modulatora SD.

Wyniki badań symulacyjnych są przedstawione graficznie za pomocą wykresów

wartości średniej i mocy nieliniowego błędu modulacyjnego w funkcji zmian parametrów

sygnału wejściowego modulatorów. Badania różnych struktur modulatorów przeprowadzono

podając do ich wejścia sygnały muzyczne. Badania te wskazały na nieliniowe zachowanie się

modulatora SD, które objawia się nie tylko uzależnieniem sygnału wyjściowego modulatora

od chwilowych wartości parametrów wejściowego sygnału muzycznego, ale też od stanu

filtru pętli, czyli „historii” działania modulatora. Dlatego jakość modulacji może zmieniać się

w czasie w funkcji dynamiki sygnału wejściowego, co nie wynika z przyjęcia uproszczonego,

liniowego modelu modulatora. Jak się wydaje, potwierdzone wynikami badań zależności są

najbardziej prawdopodobną przyczyną słyszalnych różnic brzmieniowych jakie występują

w systemach odtwarzania sygnałów muzycznych wyposażonych w konwencjonalne

przetworniki c/a PCM i przetworniki c/a sigma-delta.


6

Abstract

The dissertation addresses the problem of short-time analysis of the performance of

sigma-delta (SD) modulators which are used in digital-to-analog audio converters (DACs).

The thesis presents existing and commonly used method for the analysis of SD modulators in

the frequency domain and points out its essential limitations especially when musical signals

are fed to the modulator. Therefore, in order to analyze the performance of the SD modulator

in the time domain, a novel method is proposed by the author.

The proposed method is based on the estimation of nonlinear modulation error which is

specified in the thesis and represents jointly nonlinear distortions, noise modulation and

requantization error in the SD modulator. Then the parameters of the nonlinear modulation

error, such as mean value and power, are calculated in input signal’s parameter bins. The

input signal parameters are the amplitude and the speed of change of the signal (first and

second derivatives). Estimation of nonlinear modulation error is based on modeling the signal

transfer function (STF) of the SD modulator in the s-domain by a general, second order

transfer function. The nonlinear modulation error is estimated as the difference between right

and left side of the differential equation which is equivalent to the modeled STF of the

modulator in the time domain.

The results of simulations are graphically presented as a mean value and power of

nonlinear modulation error as a function of musical input signal parameters. The results have

showed a nonlinear behavior of the SD modulator which does not only depend on the

instantaneous parameters of the input signal, but it is severely influenced by the conversion

history and thus by the internal state of the loop filter. Therefore, the conversion quality can

vary over time, as a function of the input signal dynamics which cannot be understood based

on simplified linear model of the SD modulator. It seems that these input signal dependent

conversion errors have a large influence on the quality of sound reproduced by the sigma-

delta audio DACs and are probably the main reason of audible sound quality differences

between sigma-delta audio DACs and conventional PCM audio DACs.


7

Spis treści

Spis treści .................................................................................................................................. 7

Wykaz skrótów i oznaczeń ...................................................................................................... 9

1. Wstęp ................................................................................................................................ 13

2. Cel, teza i zakres pracy ................................................................................................... 19

2.1. Cel i teza pracy ........................................................................................................... 19

2.2. Zakres pracy ............................................................................................................... 21

3. Foniczne przetworniki c/a .............................................................................................. 23

3.1. Przetworniki c/a PCM ................................................................................................ 23

3.2. Przetworniki c/a PCM z nadpróbkowaniem .............................................................. 24

3.3. Przetworniki c/a SDM ................................................................................................ 25

4. Foniczny przetwornik c/a SDM ..................................................................................... 27

4.1. Wprowadzenie............................................................................................................ 27

4.2. Filtr interpolacyjny i filtr wygładzający ..................................................................... 28

4.3. Cyfrowy modulator SD .............................................................................................. 28

4.3.1. Kształtowanie widma błędu rekwantyzacji ........................................................... 29

4.3.2. Podstawowe struktury cyfrowych modulatorów SD ............................................. 31

5. Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie częstotliwości .................................. 33

5.1. Modelowanie błędu rekwantyzacji ............................................................................ 33

5.2. Charakterystyki STF i NTF ........................................................................................ 35

5.3. Stabilność modulatora SD .......................................................................................... 37

5.4. Cykle graniczne, tony jałowe i modulacja progu szumowego ................................... 37

5.5. Zastosowanie sygnału dither’a ................................................................................... 38

5.6. Ograniczenia klasycznej analizy częstotliwościowej................................................. 40

6. Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie czasu ................................................ 41

6.1. Wprowadzenie............................................................................................................ 41

6.2. Propozycja metody analizy czasowej......................................................................... 41

6.3. Filtr interpolacyjny i filtr ograniczający pasmo ......................................................... 43

6.4. Cyfrowy modulator SD .............................................................................................. 45

6.5. Modelowanie funkcji STF cyfrowego modulatora SD .............................................. 47

6.5.1. Wykorzystywane metody numeryczne ................................................................. 48

6.5.2. Współczynniki modelowej funkcji STF ................................................................ 58


Spis treści

8

6.6. Zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego cyfrowego modulatora

SD ............................................................................................................................... 61

6.7. Parametry nieliniowego błędu modulacyjnego .......................................................... 62

7. Badania symulacyjne cyfrowych modulatorów SD ..................................................... 64

7.1. Jednobitowe modulatory SD ...................................................................................... 65

7.1.1. Modulatory niskiego rzędu .................................................................................... 65

7.1.2. Dither’owane modulatory niskiego rzędu ............................................................. 72

7.1.3. Modulatory wysokiego rzędu ................................................................................ 79

7.1.4. Dither’owane modulatory wysokiego rzędu ......................................................... 85

7.2. Kilkubitowe modulatory SD ...................................................................................... 91

7.2.1. Modulatory niskiego rzędu .................................................................................... 91

7.2.2. Dither’owane modulatory niskiego rzędu ............................................................. 98

7.2.3. Modulatory wysokiego rzędu .............................................................................. 103

7.2.4. Dither’owane modulatory wysokiego rzędu ....................................................... 110

7.3. Porównanie dither'owanych modulatorów PCM i SD ............................................. 115

8. Podsumowanie ............................................................................................................... 121

8.1. Ocena wyników symulacji i wnioski ....................................................................... 123

8.2. Dalsze prace ............................................................................................................. 126

9. Bibliografia .................................................................................................................... 127

10. Dodatki ........................................................................................................................... 133

A. Procedura ANWP12 ................................................................................................. 133

B. Procedura NWSTF ................................................................................................... 134

C. Wybór utworów wykorzystywanych w badaniach .................................................. 135

D. Wyniki badań symulacyjnych dla utworów opisanych w dodatku C ...................... 136


9

Wykaz skrótów i oznaczeń

ADC analog-to-digital converter - przetwornik analogowo-cyfrowy

ANWP12 automatic, numerical calculation of first and second derivative -

procedura automatycznego, numerycznego wyznaczania pierwszej i

drugiej pochodnej

BD blu-ray disc - płyta blu-ray

CD-DA compact disk-digital audio - muzyczna płyta kompaktowa

CMOS/BiMOS Complementary metal-oxide-semiconductor/bipolar metal-oxide-

semiconductor - technologie wytwarzania układów scalonych

DAC digital-to-analog converter - przetwornik cyfrowo-analogowy

DEM dynamic element matching - dynamiczne dopasowanie elementów

DER dynamic element randomization - dynamiczna randomizacja

elementów

Df I numerically calculated first derivative - numerycznie wyznaczona

pierwsza pochodna

Df II numerically calculated second derivative - numerycznie wyznaczona

druga pochodna

DR dynamic range - zakres dynamiczny

DSM delta-sigma modulation - modulacja delta-sigma

DVD digital video disc - płyta DVD

DVD-A digital video disc-audio - płyta DVD audio

DWA data weighted algorithm - funkcja kształtowania widma szumu

niedopasowania elementów

FDP lowpass filter - filtr dolnoprzepustowy

FFT fast Fourier transform - szybka transformata Fourier'a

K bit resolution - rozdzielczość bitowa rekwantyzatora

L modulator's order - rząd modulatora

LAPACK linear algebra package - oprogramowanie obliczeń liniowej algebry


Wykaz skrótów i oznaczeń

10

LPCM linear pulse-code modulation - liniowa modulacja impulsowo-

kodowa

LSB least significant bit - najmniej znaczący bit

MASH multi-stage noise shaping - wielostopniowa struktura kształtowania

szumu kwantyzacji

MATLAB matrix laboratory - oprogramowanie do obliczeń macierzowych

meanNBM NBM's mean value - wartość średnia NBM

MSB most significant bit - najbardziej znaczący bit

NBM nonlinear modulation error - nieliniowy błąd modulacyjny

NSDEM noise-shaped dynamic element matching - kształtowanie widma

szumu niedopasowania elementów

NTF noise transfer function - funkcja przenoszenia szumu

NWSTF numerical calculation of STF - procedura numerycznego

wyznaczania modelowej transmitancji STF

OSR oversampling ratio - współczynnik nadpróbkowania

PCM pulse-code modulation - modulacja impulsowo-kodowa

PFDP measurement lowpass filter - pomiarowy filtr dolnoprzepustowy

PrmsNBM NBM's power - wartość mocy NBM

PSD power spectral density - widmowa gęstość mocy

SACD super audio cd - płyta kompaktowa SACD

SAR ADC succesive approximation ADC - przetwornik kompensacyjny a/c

SD sigma-delta - sigma-delta

SDM sigma-delta modulation - modulacja sigma-delta

SFDR spourious-free dynamic range - zakres dynamiczny bez

zniekształceń

SINAD signal-to-noise and distortion ratio - stosunek sygnału do szumu

i zniekształceń

SNBM nonlinear modulation error signal - sygnał nieliniowego błędu

modulacyjnego

SNR signal-to-noise ratio - stosunek sygnału do szumu


11

SOI finite impulse response - skończona odpowiedź impulsowa

STF signal transfer function - funkcja przenoszenia sygnału

THD total harmonic distortion - współczynnik zawartości harmonicznych

THD+N total harmonic distortion plus noise - współczynnik zawartości

harmonicznych plus szum

TPDF triangular propability density function - funkcja trójkątna gęstości

prawdopodobieństwa

VLSI very large scale integration - bardzo duża skala integracji


12


13

1. Wstęp

Opracowanie we wczesnych latach 80 ubiegłego stulecia wygodnego i trwałego

optycznego medium pamięciowego w postaci standardu CD-DA (compact disc-digital audio),

czyli dźwiękowej cyfrowej płyty kompaktowej, było przełomowym momentem

w upowszechnieniu nagrań muzycznych na niespotykaną dotychczas skalę [6, 19, 24, 40, 52,

53]. Jednakże wiązało się to z koniecznością rozwiązania wielu nowych problemów

technicznych, m.in. z zakresu cyfrowego przetwarzania sygnałów fonicznych. Rozwiązanie

wspomnianych problemów nabrało szczególnie istotnego znaczenia w ostatnich dwóch

dekadach w związku z pojawieniem się kolejnych, cyfrowych nośników pamięciowych

o znacznie większych pojemnościach informacyjnych, takich jak płyta DVD, zwłaszcza w jej

odmianach dźwiękowych DVD-Audio (DVD-A), Super Audio CD (SACD) oraz płyty

Blu-Ray (BD). W ostatnich latach pojawiły się tez nowe możliwości dystrybucji

i upowszechniania nagrań muzycznych zarówno w wersjach skomprymowanych stratnie, jak

i bez kompresji za pomocą łączy internetowych o dużej przepustowości [24, 30, 39, 40, 45,

71].

Ze względu na specyfikę akustycznych sygnałów muzycznych, charakteryzujących się

szybkimi zmianami w czasie i zmienną dynamiką, cyfrowe systemy foniczne stosowane do

zapisu, przetwarzania, przechowywania, przesyłania i odtwarzania dźwięku, muszą spełniać

wysokie wymagania. Dotyczy to zwłaszcza wysokojakościowych systemów zapisu

i odtwarzania dźwięku określanych jako systemy hi-fi (high-fidelity). Szczególną rolę

w takich systemach odgrywają wielobitowe przetworniki analogowo-cyfrowe (a/c)

i cyfrowo-analogowe (c/a), tworzące odrębną klasę przetworników fonicznych (audio

converters). Ze względu na wspomnianą specyfikę sygnałów muzyki, pierwszorzędne

znaczenie w przypadku przetworników fonicznych ma zwłaszcza minimalizacja błędów

cyfrowego przetwarzania takich sygnałów. Inaczej mówiąc, powinny być stosowane takie

metody przetwarzania, jakie umożliwiają uzyskania zamierzonych rezultatów bez

subiektywnie zauważalnego pogorszenia jakości dźwięku, tj. bez zauważalnej zmiany

charakteru brzmienia. Często stosowane kryterium w kontekście różnych modyfikacji

sygnałów muzyki dotyczy przejrzystości (transparency) obrazu dźwiękowego. Termin

przejrzystość systemu implikuje, że mimo wprowadzenia specyficznych błędów w procesach


Wstęp

14

przetwarzania i obróbki dźwięku, słuchacz nie może odróżnić w teście odsłuchowym sygnału

wyjściowego od sygnału wejściowego [16, 30, 31, 34, 71, 79, 81].

Obecnie wśród 16-24-bitowych fonicznych przetworników a/c i c/a, wytwarzanych jako

układy scalone BiMOS i CMOS o dużej lub bardzo dużej skali integracji (VLSI), można

wyróżnić dwie podstawowe grupy układów [38, 39, 53].

Do pierwszej grupy, zwanej grupą przetworników konwencjonalnych, zaliczane są

przetworniki a/c i c/a działające z wykorzystaniem modulacji impulsowo-kodowej PCM

(pulse-code modulation), które mogą pracować bez nadpróbkowania (oversampling), jak

i z nadpróbkowaniem. Przetwarzanie analogowego sygnału fonicznego na sygnał cyfrowy

metodą kodowania PCM (metoda zaproponowana przez A. Reeves’a w 1937 roku [62])

polega na wykonaniu trzech zasadniczych operacji: próbkowania, liniowego kwantowania

(tj. ze stałym krokiem kwantyzacji) i kodowania, realizowanych zazwyczaj w fonicznym

przetworniku a/c. Operacje te są poprzedzone operacją analogowej filtracji

dolnoprzepustowej, zwanej filtracją ochronną lub antyaliasingową. Foniczny sygnał cyfrowy

w formacie LPCM jest charakteryzowany przez dwa parametry: częstotliwość próbkowania fS

(wartość fS = 2fB = fN, gdzie fB jest pasmem wejściowego sygnału analogowego, a fN jest

nazywana częstotliwością Nyquist'a) oraz rozdzielczość słów wyjściowych (próbek

cyfrowych) N w bitach, określających teoretyczną dynamikę przetwarzania, której wartość

wynosi ok. 6∙N dB. Przetworniki LPCM można z kolei podzielić na przetworniki pracujące

z szybkością Nyquista (Nyquist-rate PCM converters) oraz na przetworniki pracujące

z nadpróbkowaniem (oversampled PCM converters) jako operacją opcjonalną.

W przetwornikach PCM Nyquista częstotliwość próbkowania dobiera się nieco większą od

częstotliwości Nyquist’a, czyli fS ≥ fN, natomiast w przetwornikach PCM pracujących

z nadpróbkowaniem, częstotliwość próbkowania fS = OSR∙fN, gdzie OSR jest

współczynnikiem nadpróbkowania (oversamplig ratio) równym fS/2fB [35, 36, 51, 68].

Konwencjonalne przetworniki a/c stosowane w cyfrowych systemach fonicznych są

prawie wyłącznie 16- lub 18-bitowymi przetwornikami kompensacyjnymi SAR ADC

(successive approximation register analog-to-digital converters) i pracują w większości ze

współczynnikami OSR równymi 2, 4 i 8. Jako przetworniki c/a są powszechnie stosowane

16-24-bitowe konwencjonalne przetworniki c/a R-2R DAC (R-2R digital-to-analog

converters), budowane z użyciem dwuwartościowych sieci rezystorowych R-2R, które

pracują ze współczynnikami OSR od 2 do 16. Przetworniki c/a R-2R są oceniane jako

najlepsze ze względu na ich niski poziom progu szumowego, wynikający głównie

z analogowych źródeł szumu, takich jak szum rezystorowy i szum 1/f. Zaawansowane


15

struktury przetworników c/a R-2R są wytwarzane z użyciem takich modyfikacji, jak

segmentacja i cyfrowe niezrównoważenie (digital offset) oraz z zastosowaniem dodatkowych

operacji technologicznych, głównie trymowania laserowego sieci R-2R [37]. Dzięki

zastosowaniu wspomnianych, dodatkowych modyfikacji technologicznych w przetwornikach

c/a R-2R o wysokiej jakości są niemal zupełnie wyeliminowane takie niekorzystne efekty, jak

zakłócenia szpilkowe (glitches) oraz innego rodzaju nieliniowości wokół bipolarnego zera.

Choć zastosowanie nadpróbkowania umożliwia zwiększenie zarówno stosunku sygnału do

szumu SNR (signal-to-noise ratio), jak i rozdzielczości przetwornika oraz uproszczenie

konstrukcji analogowych filtrów dolnoprzepustowych na wejściu przetwornika a/c

(ochronnego, antyaliasingowego) i wyjściu przetwornika c/a (rekonstruującego,

antylustrzanego), to jednak pociąga ono za sobą konieczność użycia cyfrowego filtru

decymacyjnego na wyjściu przetwornika a/c i cyfrowego filtru interpolacyjnego na wejściu

przetwornika c/a. Obydwa wspomniane filtry oprócz tego, że odpowiednio zmniejszają

i zwiększają częstotliwość próbkowania, to również przejmują w dużej mierze funkcje

filtracyjne filtrów analogowych. Są implementowane jako liniowo fazowe filtry

o skończonych odpowiedziach impulsowych (SOI) i wytwarzane w postaci niezależnych

układów scalonych, współpracujących ze scalonymi układami przetworników fonicznych

[35, 36, 51, 68].

Drugą grupę fonicznych przetworników a/c i c/a tworzą wielobitowe przetworniki a/c

i c/a wyposażone odpowiednio w dolnoprzepustowe (low-pass) analogowe i cyfrowe

modulatory sigma-delta (koncepcję nadpróbkowania i kształtowania szumu kwantyzacji

zaproponował C. C. Cutler w 1954 roku, a koncepcję 1-bitowego modulatora sigma-delta

zaproponowali H. Inose i in. w 1962 roku). Liniowe przetworniki SDM (sigma-delta

modulation, lub ΣΔ modulation), zwane też przetwornikami DSM (delta-sigma modulation,

lub ΔΣ modulation), rozwijane i udoskonalane od lat, stały się w zastosowaniach fonicznych

atrakcyjną alternatywą konwencjonalnych przetworników a/c i c/a zarówno pod względem

właściwości, jak i ekonomicznym. Modulatory SD są konstruowane w różny sposób, przy

czym zmiennymi konstrukcyjnymi są zwykle rząd filtru pętli (np. w modulatorze

analogowym rząd filtru pętli jest równy liczbie integratorów połączonych w kaskadzie),

rozdzielczość i topologia. Zmienne te mają wpływ na właściwości, stabilność i złożoność

układową modulatora. Najczęściej są stosowane modulatory o strukturze z pojedynczą pętlą

(single-loop topology). O ile modulatory cyfrowe (ich rząd zależy od liczby akumulatorów

umieszczonych w pętli) są stabilne nawet dla filtrów o wysokich rzędach, o tyle

bezwarunkowo stabilne są modulatory analogowe tylko pierwszego i drugiego rzędu.


Wstęp

16

Modulatory analogowe trzeciego i wyższych rzędów są tylko warunkowo stabilne.

W praktyce, wymaganą stabilność modulatora można uzyskać przez właściwy dobór

współczynników wzmocnienia oraz ograniczając zakres działania modulatora, co jednak

wymaga przeprowadzenia odpowiednich badań symulacyjnych. Inne rozwiązanie problemu

stabilności polega na zastosowaniu wielostopniowej struktury kształtowania szumu zwanej

też kaskadową (MASH – multi-stage noise-shaping). W jednopętlowej strukturze modulatora

jest stosowany pojedynczy kwantyzator, zaś rząd modulatora zależy od liczby stopni

kształtowania szumu w pętli, przy czym może być zastosowanych kilka wewnętrznych pętli

w modulatorze, ale jest tylko jedna droga sygnału od wejścia do wyjścia. W strukturze

kaskadowej natomiast, modulator zawiera zazwyczaj kilka stopni o różnym rzędzie (jest to

kombinacja stabilnych stopni pierwszego lub drugiego rzędu) i różnych rozdzielczościach,

które są odpowiednio połączone do wspólnego wyjścia [6, 15, 19, 39, 57, 67].

Działanie modulatorów SD polega na jednoczesnym zastosowaniu trzech operacji,

takich jak nadpróbkowanie, filtracja błędu kwantyzacji/rekwantyzacji (w zależności czy błąd

powstaje w modulatorze analogowym czy cyfrowym) i sprzężenia zwrotnego, znanych

powszechnie pod nazwą kształtowania widma błędu kwantyzacji/rekwantyzacji. We

wcześniejszych realizacjach przetworników a/c i c/a SDM były stosowane jednobitowe

modulatory SD. Jednak oprócz ich zalet, takich jak niemal idealna liniowość, niski koszt

wytwarzania, miały także wady, jak konieczność stosowania dużego współczynnika OSR,

duża wrażliwość na jitter sygnału zegarowego (tj. fluktuacje okresu przebiegu zegarowego),

wytwarzanie wysokiego poziomu szumu w paśmie ponadpodstawowym [73]. Wspomniane

wady modulatorów jednobitowych można w dużej mierze usunąć stosując w przetwornikach

a/c i c/a kilkubitowe modulatory SD, tj. od 2 do 6 bitów. Na przykład, w przetworniku

fonicznym z kilkubitowym modulatorem SD można uzyskać taką samą ogólną rozdzielczość

jak w przetworniku z jednobitowym modulatorem SD przy mniejszej częstotliwości

próbkowania i tym samym przy mniejszej wrażliwości na jitter sygnału zegarowego. Inne

zalety to spadek mocy szumu kwantyzacji w stosunku do mocy sygnału na wyjściu

modulatora o 6 dB na każdy dodatkowy bit rozdzielczości kwantyzatora/rekwantyzatora,

mniejsza podatność na występowanie zniekształceń tonalnych (idle tones), większa stabilność

modulatorów kilkubitowych z transmitancjami wyższych rzędów w pętli sprzężenia

zwrotnego oraz w przypadku przetworników c/a SDM - uproszczenie konstrukcji

analogowego, wyjściowego filtru dolnoprzepustowego m. in. ze względu na niższy poziom

szumu w paśmie ponadpodstawowym (ultradźwiękowym). Mniej krytyczny jest także dobór

parametrów (poziom, funkcja gęstości prawdopodobieństwa) sygnału dither'a, tj.


17

niskopoziomowego sygnału szumu stosowanego do eliminacji zniekształceń tonalnych.

Scalone przetworniki a/c i c/a SD o wysokiej jakości do zastosowań fonicznych

z kilkubitowymi modulatorami SD (multilevel SD audio converters) charakteryzują się

rozdzielczościami od 16 do 24 bitów i częstotliwościami próbkowania do 96/192 kHz. Są

często wytwarzane jako 2-kanałowe przetworniki a/c i 2-, 6- oraz 8-kanałowe przetworniki

c/a [6, 15, 19, 39, 50, 52, 53].

Wielobitowe struktury przetworników a/c i c/a SDM z kilkubitowymi

kwantyzatorami/rekwantyzatorami (ściśle biorąc z obcinaczami) zawierają kilkubitowy tzw.

wewnętrzny przetwornik c/a, który ma istotny wpływ na ich liniowość całkową.

W przetworniku a/c SDM wewnętrzny przetwornik c/a jest umieszczony w pętli sprzężenia

zwrotnego, zaś w przetworniku c/a SDM poza pętlą. Wewnętrzne przetworniki c/a, pracujące

z dużą częstotliwością próbkowania SfOSR

(typowe wartości współczynników OSR

w kilkubitowych przetwornikach SDM są zawarte między 32 do 256) różnią się od

konwencjonalnych, wielobitowych (tj. 16-24-bitowych) przetworników c/a. Choć ich

rozdzielczości są stosunkowo małe (tj. od 2-6 bitów, czyli od 4 do 64 poziomów), to jednak

poziomy te muszą być wyznaczone z dużą dokładnością. Aby uzyskać dobrą liniowość

wewnętrznego przetwornika c/a i mały współczynnik zawartości harmonicznych THD (total

harmonic distortion), elementy składowe takiego przetwornika, tj. rezystory, kondensatory

lub źródła prądowe, muszą być dopasowane z dużą dokładnością. Do najczęściej stosowanych

należą metody dynamicznego dopasowania elementów (DEM – dynamic element matching).

Ogólnie biorąc, metody te polegają na konwersji błędów niedopasowania elementów

wewnętrznego przetwornika c/a wprowadzających niepożądane harmoniczne, na zmienny

w czasie szum pseudolosowy i ewentualnym spektralnym kształtowaniu tego szumu. Dwa

przykładowe, znane algorytmy DEM noszą nazwy: algorytm dynamicznej randomizacji

elementów (DER – dynamic element randomization) oraz algorytm kształtowania widma

szumu niedopasowania elementowego (NSDEM – noise-shaped DEM). W praktyce jest

stosowany algorytm DEM z funkcją kształtowania szumu niedopasowania elementowego

rzędu drugiego (DWA – data weighted algorithm) [6, 7, 15, 19, 21, 35, 39, 54].

Przetworniki a/c i c/a SDM są produkowane w postaci układów scalonych CMOS

VLSI. W odróżnieniu od konwencjonalnych przetworników PCM, przetworniki SDM są

wytwarzane z elementów o przeciętnych tolerancjach, na ich podłożach mogą być

umieszczane układy realizujące dodatkowe operacje cyfrowego przetwarzania sygnałów, ich

koszt wytwarzania jest stosunkowo niski. Z tych względów przetworniki SDM są obecnie


Wstęp

18

stosowane powszechnie zarówno w cyfrowym sprzęcie konsumenckim, jak i profesjonalnym

sprzęcie (studyjnym) audio [26, 27, 37, 38].


19

2. Cel, teza i zakres pracy

2.1. Cel i teza pracy

Rozprawa jest poświęcona cyfrowym modulatorom sigma-delta (SD), które są

zasadniczymi układami fonicznych przetworników cyfrowo-analogowych SDM. Modulatory

SD mają decydujący wpływ na jakość dźwięku odtwarzanego z cyfrowych nośników

pamięciowych w systemach odsłuchowych o wysokiej jakości, wyposażonych w przetworniki

c/a SDM. W systemach takich są stosowane najczęściej przetworniki c/a z kilkubitowymi

modulatorami SD, gdyż umożliwiają m.in. uzyskanie dużej wartości SNR i niskiego poziomu

zniekształceń w paśmie podstawowym [8, 9, 23, 34, 39, 71].

Jak wiadomo, foniczne przetworniki c/a są charakteryzowane parametrami statycznymi

i dynamicznymi. Do parametrów statycznych należą: rozdzielczość, nieliniowość całkowa

i nieliniowość różniczkowa, niemonotoniczność, błąd wzmocnienia (skalowania), błąd

niezrównoważenia (przesunięcia) oraz błąd środka zakresu (błąd zera). Bardziej istotne ze

względu na jakość dźwięku są parametry dynamiczne, do których zaliczane są: stosunek

sygnału do szumu (SNR), stosunek sygnału do szumu i zniekształceń (SINAD – signal-to-

noise-and-distortion-ratio), zakres dynamiczny (DR – dynamic range), zakres dynamiczny

bez zniekształceń (SFDR – spurious-free-dynamic-range), współczynnik zawartości

harmonicznych plus szum (THD+N, total harmonic distortion plus noise), separacja kanałów,

czas ustalania (utożsamiany z czasem konwersji przetwornika c/a) oraz zakłócenia szpilkowe

(glitches, dotyczą tylko konwencjonalnych przetworników c/a) [21, 35, 36, 40, 70].

Metody analizy cyfrowych modulatorów SD prezentowane w literaturze dotyczą

głównie dziedziny częstotliwości i polegają na obserwacji widm

amplitudowo-częstotliwościowych sygnałów wyjściowych oraz pomiarze wartości wyżej

wymienionych parametrów dynamicznych takich, jak SNR, SINAD, SFDR oraz THD. W

analizach w dziedzinie częstotliwości, zwanych analizami klasycznymi, przyjmuje się, że

modulator SD jest układem liniowym, tj. błąd rekwantyzacji nie jest skorelowany z sygnałem

wejściowym i rekwantyzator może być modelowany jako niezależne, addytywne źródło

szumu, które wprowadza szum kwantyzacji. Ponadto taki zlinearyzowany modulator jest

pobudzany najczęściej poziomem stałym lub sygnałami okresowymi o ustalonych w czasie

parametrach. Uzyskane wyniki tego rodzaju analiz mogą w pełni charakteryzować

właściwości modulatora SD jako układu liniowego.


Cel, teza i zakres pracy

20

Modulator SD jest jednak układem nieliniowym z pamięcią, tzn. z filtrem kształtowania

błędu rekwantyzacji w pętli sprzężenia zwrotnego. Wynika z tego, że sygnał wyjściowy

modulatora w określonym momencie czasu zależy od sygnału wejściowego modulatora i od

stanu, w jakim znajduje się filtr pętli, tj. od historii przetwarzania sygnału w modulatorze.

Można zatem sądzić, że odpowiedź modulatora w dziedzinie czasu na sygnał wejściowy

zależy od dynamiki zmian sygnału wejściowego, czyli takich jego parametrów, jak amplituda,

szybkość zmian w czasie i szybkość zmian nachylenia w czasie. W rzeczywistych warunkach

pracy modulatora sygnałem wejściowym jest sygnał muzyczny, który jest sygnałem

nieokresowym o złożonym i zmiennym w czasie widmie.

Przeprowadzone w Zakładzie Elektroakustyki Instytutu Radioelektroniki PW liczne

testy odsłuchowe materiału muzycznego odtwarzanego za pomocą systemów wyposażonych

w konwencjonalne, wielobitowe przetworniki c/a PCM (typu R-2R) wykazały wyraźne

różnice brzmieniowe w porównaniu z systemami wykorzystującymi wielobitowe

przetworniki c/a SDM wyposażone w kilkubitowe modulatory SD. Percypowane zmiany

dotyczyły zwłaszcza takich subiektywnych cech odtwarzanego dźwięku, jak barwa,

rozdzielczość przestrzenna źródeł pozornych i dynamika. Należy dodać, że różnice

brzmieniowe są również zauważalne pomiędzy przetwornikami c/a z jednobitowymi

i kilkubitowymi modulatorami SD. Na dźwiękowe różnice jakościowe w systemach

fonicznych z przetwornikami SD wskazywali również inni autorzy [20, 22, 31, 44, 46, 48-50,

75-77].

Na podstawie obserwacji, że wspomniane powyżej różnice w brzmieniu dźwięku

podczas odtwarzania nagrań muzycznych w systemie odsłuchowym wyposażonym

w kilkubitowy przetwornik c/a SDM wynikają ze zmiany krótkookresowych właściwości

modulatora, ich zbadanie zostało przyjęte jako cel pracy.

Celem pracy jest przeprowadzenie analizy działania cyfrowych modulatorów

sigma-delta (SD) w dziedzinie czasu, ponieważ ich analiza w dziedzinie częstotliwości

z użyciem modelu liniowego nie może w pełni wyjaśnić zachowania się modulatorów

pobudzanych sygnałami muzyki.

Można zatem sformułować następującą tezę pracy:

„Parametry cyfrowych, jedno- i kilkubitowych modulatorów SD z filtrami

kształtowania szumu rekwantyzacji różnych rzędów zależą od chwilowych zmian parametrów

sygnałów wejściowych”.


Cel i teza pracy

21

Jeśli uda się dowieść słuszności postawionej tezy, to uprawnionym stanie się

stwierdzenie, że krótkoczasowe zmiany właściwości modulatora są najbardziej

prawdopodobną przyczyną zmian jakości sygnału fonicznego przetwarzanego w modulatorze

SD i w konsekwencji - przyczyną pojawienia się zauważalnych zmian brzmienia muzyki.

2.2. Zakres pracy

Rozdziały 1 i 2 są wprowadzeniem w zagadnienia fonicznych przetworników a/c i c/a,

określając także cel, tezę i zakres pracy.

Krótka charakterystyka konwencjonalnych, fonicznych przetworników c/a PCM

pracujących bez nadpróbkowania i z nadpróbkowaniem oraz przetworników c/a SDM jest

podana w rozdziale 3.

W rozdziale 4 omówiono bardziej szczegółowo foniczny przetwornik c/a SDM,

zwracając uwagę na funkcję wejściowego cyfrowego filtru interpolacyjnego i analogowego,

wyjściowego dolnoprzepustowego filtru wygładzającego (rekonstruującego), działanie

cyfrowego modulatora SD i efekt kształtowania widma szumu rekwantyzacji oraz

podstawowe struktury cyfrowych modulatorów SD.

Klasyczna analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie częstotliwości w oparciu

o jego model liniowy jest przedstawiona w rozdziale 5. Omówiono także zastosowanie

sygnału dither'a, efekty takie, jak modulacja progu szumowego i tony jałowe oraz zwrócono

uwagę na ograniczenia klasycznej analizy częstotliwościowej.

Rozdziały 6 i 7 są zasadniczymi rozdziałami pracy. W rozdziale 6 przedstawiono

propozycję metody analizy czasowej cyfrowego modulatora SD o strukturze LSB’s

error-feedback. Wprowadzono pojęcie tzw. nieliniowego błędu modulacyjnego (NBM),

reprezentującego łącznie takie efekty występujące w modulatorze, jak zniekształcenia

nieliniowe (w tym m.in. nienadążanie modulatora za zmianami transjentowymi w sygnale

wejściowym), modulacja progu szumowego i błąd rekwantyzacji redystrybuowany do pasma

ponadpodstawowego. Przyjęto, że zmiany błędu NBM w dziedzinie czasu będzie

odzwierciedlał sygnał (S) błędu NBM, czyli SNBM. Podano, w jaki sposób SNBM będzie

wykorzystywany w badaniach wpływu krótkoczasowych zmian właściwości modulatora

w zależności od chwilowych właściwości sygnału wejściowego. Ponadto opisano

wykorzystywane w analizie czasowej narzędzia numeryczne, podział zakresów zmienności

parametrów sygnału wejściowego modulatora i parametry błędu NBM.


Cel, teza i zakres pracy

22

Obszerne badania symulacyjne cyfrowych modulatorów SD, uzyskane wyniki

i komentarze są zawarte w rozdziale 7. Badaniami zostały objęte zarówno jedno-, jak

i kilkubitowe modulatory SD niskich i wysokich rzędów. Uwzględniono również wpływ

zastosowanego dither'ingu w modulatorach niskiego i wysokiego rzędu.

W rozdziale 8 przedstawiono podsumowanie rozprawy, tzn. sformułowano ocenę

wyników symulacji i wnioski, a także krótko opisano jak będą przebiegały dalsze prace.

Rozprawę zamykają bibliografia i dodatki.


23

3. Foniczne przetworniki c/a

3.1. Przetworniki c/a PCM

Przetworniki c/a PCM (nazywane konwencjonalnymi) o rozdzielczościach od 16 do 24

bitów używane w systemach odtwarzania dźwięku mają najczęściej strukturę z sieciami

rezystorowymi R-2R, przełączanymi źródłami prądowymi oraz innymi, które są szerzej

opisane m.in. w [30, 35, 39, 53]. Na rysunku 3.1 jest przedstawiony schemat blokowy

typowego przetwornika c/a PCM. Wejściowy sygnał cyfrowy w formacie PCM jest najpierw

przekształcany na przebieg schodkowy o określonym czasie trwania każdego z jego

poziomów równym SS ft 1 , gdzie Sf jest częstotliwością próbkowania, której wartość

powinna być większa bądź równa podwojonej wartości maksymalnej częstotliwości sygnału

fonicznego Bf . Następnie sygnał wyjściowy z przetwornika c/a jest poddawany analogowej

filtracji dolnoprzepustowej (antylustrzanej) w celu stłumienia widmowych replik sygnału

poza pasmem podstawowym. Analogowy filtr FDP powinien zatem charakteryzować się

bardzo wąskim pasmem przejściowym na granicy pasma podstawowego ograniczonego

wartością maksymalnej częstotliwości sygnału Bf .

Należy zaznaczyć, że operacja rekwantyzacji w przetworniku c/a nie jest odwracalna,

a zatem nie jest możliwa pełna rekonstrukcja sygnału analogowego na wyjściu. Otrzymuje się

tylko przybliżone odtworzenie sygnału oryginalnego w postaci wspomnianego przebiegu

schodkowego, który reprezentuje próbki o skwantowanych wartościach sygnału. Ponadto ze

względu na wysokie wymagania dla analogowego filtru antylustrzanego proces projektowania

i wytwarzania przetworników c/a PCM jest skomplikowany. Oprócz tego, w celu uzyskania

wymaganych parametrów systemu odtwarzania dźwięku wysokiej jakości potrzeba

specjalnych zabiegów technologicznych takich, jak: trymowanie laserowe elementów

i dynamiczne dopasowywanie elementów.

Rys. 3.1. Ogólny schemat blokowy przetwornika c/a PCM.


Foniczne przetworniki c/a

24

3.2. Przetworniki c/a PCM z nadpróbkowaniem

Nadpróbkowanie polega na próbkowaniu sygnału z częstotliwością większą niż

częstotliwość Nyquist'a. Stosowanie nadpróbkowania nie jest wymagane w przetwornikach

c/a, ale ma ono dwie ważne zalety w porównaniu z przetwornikami c/a bez nadpróbkowania,

tj. mniejszy poziom mocy błędu rekwantyzacji, czyli większe wartości SNR przetwornika

oraz mniejsze wymagania na stromość charakterystyki w obszarze przejściowym

analogowego filtru antylustrzanego FDP. Ponieważ w klasycznym modelu rekwantyzacji błąd

rekwantyzacji jest modelowany jako addytywne źródło szumu białego nieskorelowanego

z sygnałem wejściowym, więc można zapisać wzór na wartość SNR w postaci

OSRNSNR 10log1076,102,6 , (3.1)

gdzie N jest rozdzielczością rekwantyzatora, a OSR jest współczynnikiem nadpróbkowania.

W porównaniu z przetwornikami c/a, które pracują z częstotliwością Nyquist'a, w tym

przypadku każde podwojenie współczynnika OSR zwiększa o 3 dB wartość SNR. Na rysunku

3.2 jest przedstawiony schemat blokowy typowego przetwornika c/a PCM

z nadpróbkowaniem. Cyfrowy filtr interpolacyjny składa się z interpolatora, którego

zadaniem jest wstawienie liczby OSR - 1 zer pomiędzy próbki sygnału wejściowego

i cyfrowego filtru dolnoprzepustowego o liniowej charakterystyce fazowej (filtr SOI)

i wzmocnieniu równym OSR. W typowych zastosowaniach przetworniki c/a pracują

z nadpróbkowaniem równym 2, 4, 8 lub 16.

Zwiększenie wartości SNR i złagodzenie wymagań na stromość filtru wyjściowego

w przetwornikach c/a PCM z nadpróbkowaniem wiąże się z koniecznością użycia cyfrowych

filtrów interpolacyjnych o wysokich wymaganiach na poziom tłumienia w paśmie

zaporowym oraz większą szybkością, z jaką muszą działać elementy układowe przetwornika

z uwagi na nadpróbkowanie.

Rys. 3.2. Ogólny schemat blokowy przetwornika c/a PCM z nadpróbkowaniem.


25

3.3. Przetworniki c/a SDM

Przetworniki c/a SDM wykorzystują operację silnego nadpróbkowania sygnału

wejściowego, jedno- lub kilkubitową rekwantyzację sygnału, kształtowanie widma błędu

rekwantyzacji oraz filtrację cyfrową uzyskując tym samym podobną rozdzielczość, jak

w przypadku przetworników c/a PCM. Przy czym dużo mniejsze są wymagania na tolerancje

elementów układowych przetworników c/a SDM.

Schemat blokowy typowego przetwornika c/a SDM jest przedstawiony na rysunku 3.3.

Składa się on z filtru interpolacyjnego na wejściu pracującego ze współczynnikiem

nadpróbkowania o wartościach mieszczących się w zakresie od 16 do 256, cyfrowego

modulatora SD z jedno- lub kilkubitowym wewnętrznym przetwornikiem c/a i filtrem

analogowym (antylustrzanym) niskiego rzędu na wyjściu. Cyfrowy filtr interpolacyjny,

zwykle projektowany w kilku stopniach filtracyjnych, zwiększa częstotliwość próbkowania

sygnału wejściowego, który jest następnie przetwarzany przez cyfrowy modulator SD.

W modulatorze długość słów bitowych sygnału jest obcinana do jednego lub kilku bitów,

a powstały przez to błąd rekwantyzacji jest spektralnie redystrybuowany do pasma

ponadpodstawowego za pomocą filtru kształtowania widma błędu rekwantyzacji

znajdującego się w strukturze modulatora. Następnie jedno- lub kilkubitowy sygnał

wyjściowy modulatora jest przekształcany na sygnał analogowy za pomocą wewnętrznego

jedno- lub kilkubitowego przetwornika c/a i poddawany filtracji dolnoprzepustowej za

pomocą analogowego filtru antylustrzanego (wygładzającego, rekonstruującego) na wyjściu

przetwornika c/a SDM.

Parametry przetwornika c/a SDM zależą głównie od parametrów cyfrowego modulatora

SD, tj. od rzędu i charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej filtru kształtowania widma

błędu rekwantyzacji oraz liczby poziomów rekwantyzatora. Ponadto rozdzielczość

przetwornika poprawia się wraz ze wzrostem współczynnika nadpróbkowania, z jakim

pracuje cyfrowy modulator SD. Mimo, iż zwiększanie liczby bitów rekwantyzatora, rzędu

filtru pętli oraz współczynnika nadpróbkowania wiążę się z koniecznością dodatkowych

Rys. 3.3. Ogólny schemat blokowy przetwornika c/a SDM.


Foniczne przetworniki c/a

26

operacji technologicznych, to są one zdecydowanie mniej kosztowne niż w porównaniu z

operacjami niezbędnymi do wykonania w przypadku przetworników c/a PCM.


27

4. Foniczny przetwornik c/a SDM

4.1. Wprowadzenie

Jak wspomniano w podrozdziale 3.3, typowa struktura przetwornika c/a SDM składa się

z cyfrowego filtru interpolacyjnego, cyfrowego modulatora SD, jedno- lub kilkubitowego

wewnętrznego przetwornika c/a oraz wyjściowego filtru analogowego. Na rysunku 4.1

przedstawiono schemat blokowo-funkcjonalny takiego przetwornika. Cyfrowy filtr

interpolacyjny realizuje operację nadpróbkowania cyfrowego sygnału wejściowego

w formacie PCM. W ten sposób, strumień N-bitowych słów o częstotliwości próbkowania fS

zostaje przekształcony w strumień N’-bitowych słów (zazwyczaj N’ > N) o częstotliwości

próbkowania OSR·fS. Cyfrowy modulator SD skraca (obcina) długość słowa do jednego lub

kilku bitów i kształtuje widmo błędu rekwantyzacji. Kształtowanie widma błędu

rekwantyzacji może być zobrazowane jako jego „wypychanie” z pasma podstawowego

w rejon wyższych częstotliwości (ponadpodstawowego zakresu ultradźwiękowego - porównaj

rysunek 4.1). Nadpróbkowany strumień jedno- lub kilkubitowych słów jest następnie

podawany do wewnętrznego przetwornika c/a. Sygnał analogowy z jego wyjścia jest

Rys. 4.1. Schemat blokowy typowego przetwornika c/a typu SDM.


Foniczny przetwornik c/a SDM

28

poddawany filtracji w wyjściowym, analogowym filtrze dolnoprzepustowym

(wygładzającym) w celu rekonstrukcji sygnału i stłumienia mocy błędu rekwantyzacji, której

większa część znajduje się poza pasmem podstawowym.

4.2. Filtr interpolacyjny i filtr wygładzający

Efektywne kształtowanie widma błędu rekwantyzacji w cyfrowym modulatorze SD

wymaga dużego nadpróbkowania sygnału wejściowego. Z nadpróbkowaniem wiążę się

konieczność użycia cyfrowego filtru interpolacyjnego, którego zadaniem jest zwiększenie

częstotliwości próbkowania sygnału wejściowego i usunięcie widmowych replik sygnału

skoncentrowanych wokół częstotliwości fsOSRfsfs 1,...,2, . Natomiast zadaniem filtru

wygładzającego jest ograniczenie pasma sygnału wyjściowego modulatora do zakresu pasma

fonicznego usuwając w ten sposób błąd rekwantyzacji z pasma ultradźwiękowego. Ponadto,

filtracja nie powinna wprowadzać zniekształceń do sygnału w paśmie fonicznym.

Ze względu na to, że cyfrowe filtry interpolacyjne w strukturach przetworników c/a

SDM pracują z dużym nadpróbkowaniem, to są realizowane zwykle w kilku stopniach

filtracyjnych w celu ich efektywnej implementacji sprzętowej. Szczegółowe informacje

dotyczące projektowania filtrów interpolacyjnych wykorzystywanych w przetwornikach c/a

SDM można znaleźć w pracach [8, 9, 17, 19, 52, 54, 63, 67]. Natomiast szczegóły dotyczące

projektowania analogowych filtrów wygładzających można znaleźć m.in. w pracach [7, 12,

27, 30, 40, 52, 54, 67].

4.3. Cyfrowy modulator SD

Ogólny schemat blokowy cyfrowego modulatora SD jest przedstawiony na rysunku 4.2.

Składa się on z jedno- lub kilkubitowego rekwantyzatora oraz filtru pętli H(z). Jak

wspomniano wcześniej, głównym zadaniem cyfrowego modulatora SD jest kształtowanie

widma błędu rekwantyzacji powstałego podczas skracania słów bitowych nadpróbkowanego

sygnału wejściowego modulatora do jednego lub kilku bitów.

Rys. 4.2. Ogólny model cyfrowego modulatora SD z pojedynczą pętlą sprzężenia zwrotnego.


29

4.3.1. Kształtowanie widma błędu rekwantyzacji

Silne nadpróbkowanie sygnału wejściowego nie jest wystarczające do uzyskania

wymaganej rozdzielczości przetworników c/a SDM stosowanych w systemach odtwarzania

dźwięku. Dlatego też w strukturach modulatorów SD znajduje się filtr pętli, którego zadaniem

jest redystrybucja widma błędu rekwantyzacji do pasma ponadpodstawowego. Tym samym,

w paśmie podstawowym można uzyskać większą wartość SNR i odpowiadającą jej większą

rozdzielczość przetwornika. Na rysunku 4.3 jest przedstawiony wpływ operacji

nadpróbkowania i kształtowania widma błędu rekwantyzacji dla filtru pętli modulatora SD

pierwszego i drugiego rzędu.

W filtrze pętli H(z) modulatora (porównaj rysunek 4.2) aktualna wartość błędu

rekwantyzacji jest estymowana i odejmowana od sygnału wejściowego modulatora. Różnica

ta jest podawana do rekwantyzatora Q, który na podstawie informacji o aktualnej wartości

próbki i historii przetwarzania sygnału w modulatorze może przełączyć się na inny poziom

decyzyjny (kwantowania). Szerokopasmowy sygnał wyjściowy modulatora przypomina więc

sygnał z modulacją gęstości impulsów (PDM - pulse density modulation), gdzie lokalnie

obliczona średnia sygnału jest przybliżeniem wartości sygnału wejściowego. Zatem sygnał

wyjściowy modulatora po rekonstrukcji w filtrze wygładzającym będzie, z pewnym

opóźnieniem wnoszonym przez filtr pętli H(z), podążał za przebiegiem sygnału wejściowego.

Należy zaznaczyć, że im wyższy będzie rząd filtru pętli H(z), tym dokładniejsza będzie

estymacja błędu rekwantyzacji w pętli i tym mniejszy będzie jego poziom na wyjściu

modulatora.

Rys. 4.3. Wpływ operacji nadpróbkowania i kształtowania widma błędu rekwantyzacji na

moc błędu rekwantyzacji w modulatorze SD w funkcji częstotliwości.



30

Parametry cyfrowego modulatora SD są najczęściej opisywane w dziedzinie

częstotliwości za pomocą tzw. liniowego modelu modulatora. W modelu tym zakłada się, że

przy spełnieniu pewnych warunków rekwantyzator Q (porównaj rysunek 4.2) może być

zastąpiony przez addytywne źródło szumu o parametrach nieskorelowanych z sygnałem

wejściowym modulatora [10, 68, 78] (bardziej szczegółowy opis modelowania błędu

rekwantyzacji oraz jego ograniczenia są opisane w rozdziale 5). Wykorzystując liniowy

model modulatora SD mającego strukturę jak na rysunku 4.2 można zatem zapisać równanie

wiążące ze sobą sygnał wejściowy, błąd rekwantyzacji i sygnał wyjściowy modulatora jako

,zNTFzEzSTFzXzY (4.1)

gdzie wielkość E(z) reprezentuje błąd rekwantyzacji, a funkcja przenoszenia modulatora dla

sygnału (STF - Signal Transfer Function) oraz funkcja przenoszenia modulatora dla błędu

rekwantyzacji (NTF - Noise Transfer Function) są podane w postaci

zH1

zHzSTF

zH1

1zNTF

oraz . (4.2)

Przykładowe funkcje STF oraz NTF cyfrowego modulatora SD z filtrem pętli piątego rzędu

są przedstawione na rysunku 4.4.

Rys. 4.4. Idealne charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe funkcji STF i NTF

cyfrowego modulatora SD piątego rzędu.


31

4.3.2. Podstawowe struktury cyfrowych modulatorów SD

Struktury cyfrowych modulatorów SD można podzielić ze względu na rząd filtru pętli

(modulatory niskiego i wysokiego rzędu), architekturę (modulatory z pojedynczą pętlą

sprzężenia zwrotnego i struktury wielostopniowe MASH), typ sygnału przetwarzanego

w pętli sprzężenia zwrotnego (przetwarzanie bitu MSB lub LSB w pętli) oraz liczbę bitów

rekwantyzatora (modulatory jedno- i kilkubitowe). Szczegółowy opis znanych struktur

modulatorów można znaleźć m.in. w pracach [6, 7, 12, 21, 27, 57, 66, 67]. Natomiast

w opisywanym podrozdziale zostanie przedstawiona struktura cyfrowych modulatorów SD

typu LSB's error-feedback i wielostopniowa struktura MASH, które są powszechnie

wykorzystywane w cyfrowych realizacjach modulatorów [57, 67].

W strukturach modulatorów SD typu LSB's error-feedback w pętli sprzężenia

zwrotnego jest przetwarzany bit LSB słowa wejściowego modulatora [7, 52]. Na rysunku 4.5

jest przedstawiony ogólny schemat blokowy cyfrowego modulatora SD mającego strukturę

LSB's error-feedback z jedno- lub kilkubitowym rekwantyzatorem i filtrem pętli H(z). Przy

założeniu modelu liniowego modulatora, w pętli sprzężenia zwrotnego przetwarzany jest

tylko błąd rekwantyzacji. Równania opisujące funkcje NTF i STF modulatora mogą być

zatem zapisane w postaci

1oraz1 zSTFzHzNTF . (4.3)

W wielostopniowych strukturach modulatorów SD błąd rekwantyzacji poprzedniego

stopnia modulatora może być usunięty za pomocą rekwantyzacji i kształtowania widma błędu

rekwantyzacji w kolejnych stopniach oraz liniowej kombinacji wyjść każdego ze stopni

Rys. 4.5. Ogólny model cyfrowego modulatora SD z pojedynczą pętlą sprzężenia zwrotnego

mającego strukturę LSB's error-feedback.



32

modulatora. Przykładowa struktura dwustopniowa modulatora SD jest przedstawiona na

rysunku 4.6.

Należy zaznaczyć, że w realizacjach sprzętowych cyfrowych modulatorów SD

wykorzystuje się struktury łączące te z przetwarzaniem bitów LSB i MSB w pętli sprzężenia

zwrotnego. Są to struktury CIFB (cascaded integrators with distributed feedback and input

coupling), CRFB (cascaded resonators with distributed feedback and input coupling), CIFF

(cascaded integrators with feedforward coupling) i CRFF (cascaded resonators with

feedforward coupling). Ich szczegółowy opis można znaleźć m.in. w pracy [67].

Rys. 4.6. Ogólny model cyfrowego modulatora SD mającego strukturę dwustopniową

MASH.


33

5. Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie częstotliwości

Ponieważ cyfrowy modulator SD zawiera w swojej strukturze rekwantyzator będący

układem nieliniowym umieszczonym w pętli sprzężenia zwrotnego modulatora, więc

dokładny opis matematyczny modulatora oraz dokładna analiza jego działania są na tyle

skomplikowane, że powszechnie uważa się je za praktycznie niemożliwe do przeprowadzenia

[57]. Z tego powodu są stosowane pewne przybliżenia i określane warunki, przy których

spełnieniu można uprościć analizy modulatorów SD. Mimo, iż w rzeczywistych warunkach

pracy modulatorów SD założenia te nie są spełnione [33, 57, 61, 74], to dla celów analiz

modulatorów w dziedzinie częstotliwości i specyficznych sygnałów wejściowych parametry

modulatorów SD mogą być oszacowane z akceptowalną dokładnością [63]

5.1. Modelowanie błędu rekwantyzacji

Operacja rekwantyzacji w przypadku jedno- i kilkubitowego rekwantyzatora jest

przedstawiona na rysunku 5.1. Rekwantyzacja polega na zaokrągleniu wartości sygnału

wejściowego x(n) do jednego z 2K-1 różnych poziomów sygnału wyjściowego y(n), gdzie K

jest liczbą bitów rekwantyzatora. W strukturach cyfrowych modulatorów wykorzystywane są

rekwantyzatory równomierne zatem krok (przedział) kwantowania q jest określony jako

12

K

FSYq . (5.1)

Jak można zauważyć na rysunkach 5.1e i 5.1f, operacja rekwantyzacji jest przyczyną

powstawania błędu rekwantyzacji e(n) o parametrach skorelowanych z parametrami sygnału

wejściowego x(n) i będących nieliniową funkcją sygnału wejściowego. Błąd rekwantyzacji

można zapisać jako różnicę

nxnyne . (5.2)

Należy zaznaczyć, że dopóki wartości sygnału wejściowego x(n) mieszczą się w zakresie

2X FS to maksymalny błąd rekwantyzacji jest ograniczony wartościami 2q .

W przypadku, gdy wartości sygnału wejściowego przekroczą zakres 2X FS to


Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie częstotliwości

34

bezwzględne wartości błędu rekwantyzacji są większe niż wartość 2q , czyli dochodzi do

tzw. przesterowania rekwantyzatora.

W praktyce rekwantyzator jest modelowany jako addytywne źródło szumu białego

[10, 68]. Wtedy sygnał wyjściowy y(n) można zapisać jako

nenxny . (5.3)

Zakłada się tym samym, że:

parametry błędu rekwantyzacji e(n) nie są skorelowane z parametrami sygnału

wejściowego x(n) rekwantyzatora,

wartości błędu rekwantyzacji e(n) mają równomierny rozkład gęstości

prawdopodobieństwa w całym zakresie 2q ,

błąd rekwantyzacji e(n) charakteryzuje się "płaskim" widmem, a wartości e(n) nie są

ze sobą skorelowane, tj. błąd rekwantyzacji jest traktowany jako szum biały.

Rys. 5.1. Operacja rekwantyzacji: 2-bitowy rekwantyzator (a), jednobitowy rekwantyzator

(b), charakterystyka statyczna 2-bitowego rekwantyzatora (c) charakterystyka

statyczna jednobitowego rekwantyzatora (d), błąd 2-bitowej rekwantyzacji (e), błąd

jednobitowej rekwantyzacji (f).


Modelowanie błędu rekwantyzacji

35

Zgodnie z pracami [10, 68], aby błąd rekwantyzacji mógł być traktowany jako addytywne

źródło szumu białego muszą być spełnione następujące warunki:

wartości sygnału wejściowego x(n) nie powodują przesterowania rekwantyzatora,

liczba poziomów kwantowania rekwantyzatora jest asymptotycznie duża, tj. przedział

kwantowania jest asymptotycznie mały,

wartości sygnału wejściowego x(n) w różnych momentach czasu nie są ze sobą

skorelowane.

Należy jednak zaznaczyć, że w przypadku cyfrowych modulatorów SD z jedno- lub

kilkubitowym rekwantyzatorem

nie zawsze można jednoznacznie stwierdzić czy wartości sygnału wejściowego x(n)

mieszczą się w zakresie, który nie powoduje przesterowania rekwantyzatora ze

względu na występowanie pętli sprzężenia zwrotnego w strukturze modulatorów,

liczba poziomów kwantowania nie jest asymptotycznie duża, tj. przedział

kwantowania rekwantyzatora nie jest asymptotycznie mały (zwykle rekwantyzatory są

jedno- lub kilkubitowe),

nie można stwierdzić, że próbki sygnału wejściowego rekwantyzatora nie są ze sobą

skorelowane ze względu na to, że wartości sygnału wejściowego rekwantyzatora

zależą od aktualnej wartości sygnału x(n) i od historii przetwarzania sygnału

w modulatorze.

Jak wspomniano wcześniej, mimo, iż w rzeczywistych warunkach pracy modulatorów

SD błąd rekwantyzacji nie ma charakteru szumu białego, to dla celów analiz modulatorów

w dziedzinie częstotliwości i specyficznych sygnałów wejściowych parametry modulatorów

SD mogą być oszacowane z akceptowalną dokładnością.

5.2. Charakterystyki STF i NTF

Zgodnie z zależnością (4.1), sygnał wyjściowy cyfrowego modulatora SD zależy od

sygnału wejściowego i funkcji przenoszenia STF oraz błędu rekwantyzacji i funkcji NTF

modulatora. Jako, że funkcja STF cyfrowych modulatorów zwykle nie wpływa na parametry

sygnału wejściowego w paśmie podstawowym to rozpatrywane w tym punkcie będą tylko

funkcje NTF modulatora.

Zakładając liniowy model modulatora, w najprostszym przypadku można zapisać

funkcję NTF modulatora SD rzędu L w dziedzinie z jako



36

LzzNTF1

1

. (5.4)

Jako, że funkcja NTF modulatora odpowiada za kształtowanie widma błędu rekwantyzacji, to

dzięki zwiększaniu rzędu L funkcji NTF można uzyskać mniejszy poziom mocy błędu

rekwantyzacji w paśmie podstawowym. Na rysunku 5.2 są przedstawione idealne

charakterystyki funkcji NTF podanej zależnością (5.4) dla rzędów od 0 do 5. Można zatem

zapisać równanie na wartość SNR cyfrowego modulatora SD w paśmie podstawowym jako

OSRLL

KSNRL 10210 log1012

12log1076,102,6

. (5.5)

Jak można zauważyć, zwiększenie rzędu filtru pętli L, liczby bitów rekwantyzatora K oraz

współczynnika nadpróbkowania OSR, z jakim działa modulator SD wpływa na poprawę

wartości SNR. Wiąże się to jednak z pewnymi ograniczeniami, głównie technologicznymi,

które nie są omawiane w niniejszej pracy. Należy zaznaczyć, że funkcja NTF podana

równaniem (5.4) jest rzadko wykorzystywana w praktycznych realizacjach modulatorów.

W literaturze istnieją dokładnie opisane i analizowane w dziedzinie częstotliwości funkcje

NTF o innych charakterystykach amplitudowo-częstotliwościowych, a ich optymalizacja

polega głównie na odpowiedniej manipulacji wartościami współczynników funkcji NTF tak,

aby uzyskać poprawę wartości SNR przy zachowaniu stabilności modulatora [12, 52, 67].

Rys. 5.2. Idealne charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe funkcji NTF postaci

Lz1

1

, gdzie L jest rzędem filtru pętli modulatora SD.


Charakterystyki STF i NTF

37

Istnieją również metody projektowania funkcji NTF optymalizujące ich charakterystyki pod

względem właściwości ludzkiego słuchu [22, 23, 31]. Metody te są opisane i podsumowane

w pracy [45].

5.3. Stabilność modulatora SD

Jednym z problemów związanych ze zwiększaniem rzędu modulatora SD jest problem

stabilności [12, 54, 57]. Choć bezwarunkowo stabilne są tylko modulatory pierwszego

i drugiego rzędu, to jest możliwe konstruowanie stabilnych modulatorów SD wyższych

rzędów, np. trzeciego, piątego czy siódmego rzędu. Jedno ze znanych rozwiązań układowych

zapewniających stabilność modulatorów wyższych rzędów polega na połączeniu kilku

bezwarunkowo stabilnych modulatorów niskiego rzędu (pierwszego lub drugiego) w kaskadę.

Przykładem mogą być wspomniane wcześniej modulatory wielostopniowe typu MASH.

Stabilność modulatorów wchodzących w skład kaskady można rozpatrywać niezależnie.

Znanych jest też wiele innych rozwiązań jedno- i kilkubitowych modulatorów SD,

w których filtry kształtujące widmo błędu rekwantyzacji zawierają kilka integratorów, tj.

pojedynczych bloków opóźnieniowych z pętlą, objętych np. sprzężeniem w przód

(feedforward) lub też kombinacją pętli sprzężeń w przód i sprzężeń zwrotnych (feedback).

Filtry takie nie tylko skutecznie obniżają poziom błędu rekwantyzacji paśmie podstawowym,

ale też przez odpowiedni dobór wartości współczynników, przez które są mnożone sygnały

wyjściowe integratorów można zapewnić stabilne warunki pracy modulatorów [12]. Bardziej

szczegółową analizę stabilności modulatorów SD można znaleźć m.in. w pracach [12, 35, 41,

54, 60, 65, 67, 74]

5.4. Cykle graniczne, tony jałowe i modulacja progu szumowego

Innym problemem, jaki pojawia się w modulatorach SD jest problem zniekształceń.

Jednym z najbardziej dokuczliwych rodzajów zniekształceń są tzw. tony jałowe (idle tones),

nazywane również zniekształceniami tonalnymi, występujące najczęściej jako tzw. cykle

graniczne (limit cycles). Jednobitowy rekwantyzator modulatora SD wytwarza kod wyjściowy

złożony naprzemian z wartości -1 i +1. Okresowe wzory (sekwencje) takich wartości

w kodzie wyjściowym są nazywane cyklami granicznymi. Cykle graniczne są generowane

zwłaszcza w modulatorach pierwszego i drugiego rzędu, choć są także obserwowane

w modulatorach wyższych rzędów i mają bardziej złożoną strukturę. Generacja cykli

granicznych prowadzi do pojawienia się niepożądanych składowych częstotliwościowych



38

(tonów), które jeśli występują w paśmie podstawowym, to mają degradujący wpływ na

właściwości foniczne modulatora. Dokładna analiza zniekształceń tonalnych oraz sposoby na

ich zminimalizowanie istnieją w literaturze i są opisane m.in. w pracach [1, 3, 5, 11, 14, 28,

43, 56, 61, 65, 78].

Ponadto w modulatorach SD występuje tzw. zjawisko modulacji progu szumowego, tj.

zmienności mocy błędu rekwantyzacji w czasie, która jest zależna od mocy sygnału

wejściowego modulatora. W przypadku, kiedy przetwornik c/a SDM jest wykorzystywany

w systemach odtwarzania dźwięku udowodniono, że zmiany mocy błędu rekwantyzacji

w funkcji mocy sygnału wejściowego wpływają na jakość brzmienia muzyki [22, 31, 33, 42,

48, 49, 58, 76]. Analiza modulacji progu szumowego została przedstawiona m.in. w pracach

[51, 57, 61, 64] i szczegółowo w pracy [50], gdzie badano rzeczywiste struktury modulatorów

SD. W pracach tych analizy opierają się na zaproponowanym w [79] stwierdzeniu, że

operacja rekwantyzacji jest tożsama z próbkowaniem funkcji rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa sygnału wejściowego. Przy takim założeniu wyznaczano statystyczne

momenty błędu rekwantyzacji pierwszego i drugiego rzędu i badano, w jaki sposób zależą

one od wartości sygnału wejściowego będącego poziomem stałym. Wyniki

przeprowadzonych badań potwierdziły, że modulacja progu szumowego występuje

w mniejszym lub większym stopniu w strukturach modulatorów jedno- i kilkubitowych

niskiego i wysokiego rzędu [50, 51, 57].

5.5. Zastosowanie sygnału dither’a

Zniekształcenia tonalne i modulację progu szumowego w modulatorach SD można

zredukować stosując tzw. dither'ing, czyli dodając do sygnału wejściowego modulatora przed

rekwantyzatorem odpowiednio dobrany niskopoziomowy sygnał dither'a, generowany

w postaci sygnału losowego lub pseudolosowego [1, 13, 22, 48]. Zastosowanie dither'ingu

częściowo dekoreluje błąd rekwantyzacji z sygnałem wejściowym. Mimo, iż zastosowanie

dither'ingu w przetwornikach PCM jest szeroko opisywane i analizowane w literaturze [13,

47, 48, 50 i referencje, 63] to nadal pozostaje wiele nierozwiązanych problemów związanych

z wykorzystywaniem dither'ingu w przetwornikach c/a SDM [56, 58]. W pracy [51]

pokazano, że zastosowanie sygnału dither'a o funkcji trójkątnej rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa (TPDF) może w niektórych przypadkach zminimalizować

zniekształcenia tonalne i modulację progu szumowego modulatora. Na rysunkach 5.3 i 5.4

przedstawiono, w jaki sposób dodatkowy sygnał dither'a wpływa na przebieg czasowy oraz


Zastosowanie sygnału dither'a

39

widmo sygnału wyjściowego cyfrowego modulatora SD trzeciego rzędu z liczbą 7 poziomów

kwantowania rekwantyzatora przy podaniu do wejścia modulatora sygnału sinusoidalnego.

Dodanie sygnału dither'a może spowodować zmniejszenie wartości SNR modulatora SD,

a) b)

Rys. 5.4. Przebieg sygnału wejściowego i wyjściowego (a) oraz widmowa gęstość mocy

sygnału wyjściowego (b) cyfrowego, 3-bitowego modulatora SD trzeciego rzędu

z dodatkowym sygnałem dither'a o funkcji trójkątnej rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa TPDF i amplitudzie równej 0,4.

a) b)

Rys. 5.3. Przebieg czasowy sygnału wejściowego i wyjściowego (a) oraz widmowa gęstość

mocy sygnału wyjściowego (b) cyfrowego, 3-bitowego modulatora SD trzeciego

rzędu bez dodatkowego sygnału dither'a.



40

zakresu wartości sygnału wejściowego zapewniającego stabilność modulatora oraz

zwiększenie prawdopodobieństwa przesterowania rekwantyzatora. W celu uniknięcia tych

ograniczeń, w pracach [5, 58] zaproponowano metodę tzw. dynamicznego dither'ingu.

Ponadto w literaturze analizowane jest zastosowanie teorii chaosu w celu zminimalizowania

zniekształceń tonalnych, co jest szerzej opisane m.in. w pracy [22].

5.6. Ograniczenia klasycznej analizy częstotliwościowej

Metody analizy cyfrowych modulatorów SD prezentowane w literaturze i częściowo

opisane w niniejszym rozdziale dotyczą głównie dziedziny częstotliwości i polegają na

obserwacji widm amplitudowo-częstotliwościowych sygnałów wyjściowych modulatorów

oraz pomiarze wartości parametrów takich, jak SNR, SINAD, SFDR i THD+N. W analizach

w dziedzinie częstotliwości przyjmuje się, że modulator SD jest układem liniowym, tj. błąd

rekwantyzacji nie jest skorelowany z sygnałem wejściowym i rekwantyzator może być

modelowany jako niezależne, addytywne źródło szumu. Ponadto tak zlinearyzowany

modulator jest pobudzany najczęściej poziomem stałym lub sygnałami okresowymi

o ustalonych w czasie parametrach. Uzyskane wyniki tego rodzaju analiz mogą w pełni

charakteryzować właściwości modulatora SD jako układu liniowego.

Modulator SD jest jednak układem nieliniowym z pamięcią, tzn. z filtrem kształtowania

widma błędu rekwantyzacji w pętli sprzężenia zwrotnego. Zatem sygnał wyjściowy

modulatora w określonym momencie czasu zależy od sygnału wejściowego modulatora i od

stanu, w jakim znajduje się filtr pętli, tj. od historii przetwarzania sygnału w modulatorze.

Ponadto w rzeczywistych warunkach pracy modulatora stosowanego w fonicznych

przetwornikach c/a sygnałem wejściowym jest sygnał muzyczny, który jest sygnałem

nieokresowym o złożonym i zmiennym w czasie widmie. Można zatem sądzić, że odpowiedź

modulatora w dziedzinie czasu na sygnał wejściowy zależy od parametrów sygnału

wejściowego, czyli jego amplitudy, szybkości zmian sygnału i szybkości zmian jego

nachylenia. Z tego względu, klasyczne analizy częstotliwościowe nie mogą w pełni wyjaśnić

zachowania się cyfrowego modulatora SD w warunkach pobudzenia sygnałami muzycznymi.

Dlatego też w literaturze coraz częściej zwraca się uwagę na ograniczenia metod analiz

częstotliwościowych i na potrzebę dokładnych analiz modulatora w dziedzinie czasu [11, 33,

46, 51, 56, 57, 72].


41

6. Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie czasu

6.1. Wprowadzenie

Jak wspomniano we wstępie i poprzednim rozdziale, klasyczna analiza w dziedzinie

częstotliwości nie może w pełni wyjaśnić zachowania się cyfrowego modulatora SD

w rzeczywistych warunkach pracy. Dlatego też została zaproponowana analiza działania

cyfrowego modulatora SD w dziedzinie czasu. Należy zaznaczyć, że przyjęta metoda analizy

ma na celu zbadanie krótkoczasowych właściwości modulatora na podstawie dokładnej

wiedzy o sygnale wejściowym i sygnale wyjściowym modulatora. Jak się przypuszcza,

krótkoczasowe właściwości cyfrowego modulatora SD mogą zmieniać się w zależności od

parametrów sygnału wejściowego, co jest najbardziej prawdopodobną przyczyną zmian

jakości sygnału fonicznego przetwarzanego w modulatorze SD. W konsekwencji, mogą

pojawić się zauważalne zmiany brzmienia muzyki odtwarzanych za pomocą systemów

dźwiękowych wyposażonych w foniczne przetworniki c/a SDM.

6.2. Propozycja metody analizy czasowej

W celu przeprowadzenia analizy czasowej modulatora SD została zaproponowana przez

autora metoda, która może być zilustrowana za pomocą schematu blokowo-funkcjonalnego

przedstawionego na rysunku 6.1. Wejściowy, cyfrowy sygnał foniczny x w formacie PCM, tj.

o rozdzielczości bitowej K i częstotliwości próbkowania fsin, jest podawany do filtru

interpolacyjnego o współczynniku nadpróbkowania OSRin. Nadpróbkowany sygnał foniczny

uin jest następnie przetwarzany przez cyfrowy modulator SD mający strukturę LSB's

error-feedback z filtrem kształtowania widma błędu rekwantyzacji o zdefiniowanej

transmitancji He i funkcji przenoszenia dla sygnału Hu = 1. Rekwantyzator Q o parzystej lub

nieparzystej liczbie poziomów kwantowania q może działać z opcjonalnym sygnałem dither’a

dth dodawanym do sygnału fonicznego przed operacją rekwantyzacji. Ponieważ

zaproponowana analiza cyfrowych modulatorów SD w dziedzinie czasu dotyczy sygnałów

o paśmie ograniczonym do zakresu częstotliwości sygnałów fonicznych (do ok. 21 kHz), więc

szerokopasmowy, jedno- lub kilkubitowy sygnał wyjściowy yreq modulatora jest ograniczany

pasmowo przez cyfrowy filtr dolnoprzepustowy (FDPogr). W wyniku filtracji do sygnału yreq

w paśmie fonicznym są wprowadzane nieuniknione zniekształcenia amplitudy i fazy.

W analizie modulatora w dziedzinie czasu jest wykorzystywany również sygnał wejściowy

podawany do modulatora. Aby zachować zatem jednakowe warunki późniejszej analizy


Analiza cyfrowego modulatora SD w dziedzinie czasu

42

sygnałów y oraz u, sygnał uin jest przenoszony przez taki sam cyfrowy filtr dolnoprzepustowy

FDPogr.

Sygnał wyjściowy modulatora SD oprócz informacji o sygnale wejściowym zawiera

także informację o niepożądanych zniekształceniach nieliniowych (w tym m.in. nienadążanie

modulatora za zmianami transjentowymi w sygnale wejściowym), o modulacji progu

szumowego oraz błędzie rekwantyzacji przetwarzanym w pętli sprzężenia zwrotnego.

Zniekształcenia nieliniowe, modulacja progu szumowego oraz błąd rekwantyzacji poddany

redystrybucji do pasma ponadpodstawowego mogą być łącznie reprezentowane przez

nieliniowy błąd modulacyjny (NBM), a jego przebieg w dziedzinie czasu przez sygnał

nieliniowego błędu modulacyjnego (SNBM). W celu wyjaśnienia, w jaki sposób sygnał

wejściowy modulatora SD wpływa na krótkoczasowe właściwości modulatora, należy więc

oszacować NBM oraz obliczyć jego parametry w zależności od chwilowych właściwości

sygnału wejściowego modulatora. Ponieważ modulator SD jest układem nieliniowym z pętlą

sprzężenia zwrotnego, więc nie ma bezpośredniej korelacji czasowej pomiędzy próbkami

sygnału wejściowego i wyjściowego, tak jak w modulatorze impulsowo-kodowym (PCM).

↑OSRin

filtr interpolacyjny

FDPi

21 [kHz]

PFDP

PFDP

↓OSRout

↓OSRout

Modelowanie funkcji

STF cyfrowego

modulatora SD w

dziedzinie zmiennej

zespolonej s

Wyznaczenie

parametrów

nieliniowego błędu

modulacyjnego w

zakresach zmienności

parametrów sygnału

wejściowego

28 [kHz]

filtracja pomiarowa i decymacja

Den

STF

Num

STF

+-

QHu

He

cyfrowy modulator SD

Analiza cyfrowego

modulatora SD w

dziedzinie czasu

-

-

+

+ FDPogr

21 [kHz]

FDPogr

x uin yreq

e

y

u

u

y Df I,II,…

[y]

Df I,II,…

[u]

Df I,II,…

[ydec]

Df I,II,…

[udec]

PSTF

LSTF

NBM

filtry ograniczające

pasmo sygnału

+

dth

uin

Rys. 6.1. Schemat blokowo-funkcjonalny zaproponowanej analizy cyfrowych modulatorów

SD w dziedzinie czasu.


Propozycja metody analizy czasowej

43

Z tego powodu nie można brać pod uwagę szacowania NBM jako sygnału różnicowego

pomiędzy sygnałem wejściowym i ograniczonym pasmowo sygnałem wyjściowym

modulatora.

Została więc zaproponowana przez autora metoda oszacowania NBM, polegająca na

wyznaczeniu średnich wartości współczynników modelowej funkcji STF modulatora oraz

obliczeniu różnicy prawej i lewej strony równania różniczkowego odpowiadającego

wyznaczonej transmitancji. Modelowanie funkcji STF modulatora odbywa się w dziedzinie

zmiennej zespolonej s. Dlatego też zaprojektowano specjalne dolnoprzepustowe filtry

pomiarowe (PFDP) wykorzystywane podczas numerycznego wyznaczania pochodnych

tuDfIII ,...,

sygnału u i pochodnych tyDfIII ,...,

ograniczonego pasmowo sygnału

wyjściowego y modulatora. W celu skrócenia czasu obliczeń sygnały u, tuDfIII ,...,

, y,

tyDfIII ,...,

są decymowane ze współczynnikiem OSRout przed operacją wyznaczania

średnich współczynników modelowej funkcji STF modulatora.

Parametry oszacowanego w ten sposób NBM są dalej obliczane w zakresach

zmienności amplitudy, szybkości zmian (pierwszej numerycznie wyznaczonej pochodnej)

i szybkości zmian nachylenia (drugiej numerycznie wyznaczonej pochodnej) sygnału

wejściowego modulatora SD.

6.3. Filtr interpolacyjny i filtr ograniczający pasmo

Na potrzeby przeprowadzanych analiz operacje nadpróbkowania sygnału wejściowego

i ograniczenie pasma sygnału wyjściowego modulatora są wykonywane przez takie same,

dwa cyfrowe filtry dolnoprzepustowe SOI (FDPi oraz FDPogr na rysunku 6.1) o odpowiednio

dobranych wartościach zafalowania w paśmie przepustowym, tłumienia w paśmie

zaporowym i szerokości pasma przejściowego. Przyjęto następujące wymagania dla filtrów:

minimalny poziom zafalowań w paśmie przepustowym od 0 do 21 kHz,

maksymalną wartość tłumienia w paśmie zaporowym począwszy od 23 kHz

i powyżej,

szerokość pasma przejściowego od 21 do 23 kHz.

Cyfrowe filtry dolnoprzepustowe FDP zostały zaprojektowane z wykorzystaniem

11-czynnikowego okna kosinusowego opisanego w pracy [2]. Charakterystyka

amplitudowo-częstotliwościowa filtru o 32000 współczynnikach jest przedstawiona na

rysunkach 6.2 i 6.3. Dla porównania wykreślone zostały również charakterystyki dwóch



44

filtrów dolnoprzepustowych zaprojektowanych z wykorzystaniem powszechnie używanych

okien: 4-czynnikowego okna Blackman’a-Harris’a [29] oraz 4-czynnikowego okna Nuttall’a

[59]. Jak można zauważyć na rysunkach 6.2 i 6.3, zaprojektowany filtr spełnia założone

wymagania, tj. charakteryzuje się wartością tłumienia w paśmie zaporowym od 23 kHz na

poziomie poniżej -300 dB oraz zafalowaniami w paśmie przepustowym od 0 do 21 kHz na

poziomie dB 100.514

.

Rys. 6.3. Zafalowania zaprojektowanych filtrów dolnoprzepustowych SOI - FDPi oraz FDPogr

w paśmie fonicznym do około 21 kHz.

Rys. 6.2. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa w paśmie od 21 do 26 kHz

zaprojektowanych filtrów dolnoprzepustowych SOI - FDPi oraz FDPogr.


Modelowanie funkcji STF cyfrowego modulatora SD

45

6.4. Cyfrowy modulator SD

Nadpróbkowany sygnał wejściowy uin jest przetwarzany przez cyfrowy modulator SD

mający strukturę LSB's error-feedback z sygnałem dither’a dth dodawanym w zależności od

rodzaju przeprowadzanej analizy do sygnału przed operacją rekwantyzacji. Schemat blokowy

modulatora wykorzystywanego w symulacjach jest przedstawiony na rysunku 6.4 (rysunek

jest również fragmentem ogólnego rysunku 6.1). Sygnał wyjściowy yreq modulatora SD

- przyjmując założenie o liniowym modelu modulatora i dodaniu sygnału dither’a dth przed

operacją rekwantyzacji - można przedstawić w dziedzinie z jako

zHzDTHzEzHzUzY euinreq 1 , (6.1)

gdzie funkcja przenoszenia modulatora dla sygnału jest równa 1zHu , a funkcja

przenoszenia modulatora dla błędu rekwantyzacji jest zdefiniowana jako zH1NTF e .

Należy zaznaczyć, że zagadnienia rozważane w niniejszej rozprawie nie obejmują działań

związanych z projektowaniem i optymalizacją funkcji NTF. Z tego powodu wykorzystywane

w pracy funkcje NTF zaprojektowane zostały za pomocą powszechnie dostępnego

oprogramowania opisanego w [66] i funkcji NTF opisanej w pracy [75] - dalej określaną

skrótem psaku.

Na rysunku 6.5 przedstawiono charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe

zaprojektowanych funkcji NTF oraz charakterystykę funkcji NTF zoptymalizowaną pod

względem właściwości ludzkiego słuchu [75]. Współczynnik nadpróbkowania inOSR , z jakim

działa modulator został dobrany jako równy 64. Rekwantyzator Q może pracować z parzystą

lub nieparzystą liczbą poziomów kwantowania q (rekwantyzator bez dodatkowego

i z dodatkowym poziomem kwantowania w zerze). Przykładowy przebieg czasowy

i widmowa gęstość mocy (PSD - power spectral density) sygnału wyjściowego yreq

QHu

He

-

-

+

+uin yreq

e

+

dth

Rys. 6.4. Schemat blokowy cyfrowego modulatora SD mającego strukturę LSB's

error-feedback z opcjonalnym sygnałem dither’a dth.



46

modulatora 5 rzędu z rekwantyzatorem o 7 poziomach kwantowania q bez sygnału dither’a

dth przy podaniu do wejścia modulatora sygnału okresowego nadpróbkowanego 64 razy

o amplitudzie 0,5 pełnego zakresu zmiennoprzecinkowej reprezentacji liczbowej próbek

sygnału przedstawiona jest na rysunku 6.6.

a) b)

Rys. 6.6. Przebieg czasowy sygnału wejściowego i wyjściowego modulatora SD (a) oraz

widmowa gęstość mocy sygnału wyjściowego i widmowa gęstość mocy obliczona

na podstawie modelu liniowego modulatora 5 rzędu z 7-poziomowym

rekwantyzatorem i okresowym sygnałem wejściowym modulatora bez dodatkowego

sygnału dither’a dth (b)

Rys. 6.5. Funkcja NTF rzędu 1, 2, 3, 5 i 7 [66] oraz funkcja NTF 7 rzędu zoptymalizowana

pod względem właściwości ludzkiego słuchu [75].



47

6.5. Modelowanie funkcji STF cyfrowego modulatora SD

W poprzednich rozważaniach wyrażono przypuszczenie, iż krótkoczasowe właściwości

cyfrowego modulatora SD zależą od chwilowych parametrów sygnału wejściowego.

Oszacowanie nieliniowego błędu modulacyjnego (NBM) jest niezbędne do stwierdzenia,

w jaki sposób amplituda, szybkość zmian sygnału wejściowego i szybkość zmian jego

nachylenia wpływają na krótkoczasowe właściwości modulatora. Zaproponowana przez

autora metoda oszacowania NBM jest przedstawiona na rysunku 6.7 (rysunek jest również

fragmentem ogólnego rysunku 6.1).

Oszacowanie NBM modulatora SD polega na wyznaczeniu średniej funkcji STF

modulatora w dziedzinie zmiennej zespolonej s oraz obliczeniu różnicy prawej i lewej strony

równania opisującego wyznaczoną transmitancję. Należy zaznaczyć, że wyznaczona funkcja

STF modulatora jest różna od tej, jaka została wcześniej zaprojektowana za pomocą modelu

liniowego modulatora, tj. STF(z) = 1 i przewiduje się, że będzie się zmieniać w zależności od

parametrów sygnału wejściowego. Modelowanie transmitancji modulatora odbywa się

w dziedzinie zmiennej zespolonej s ze względu na to, iż wzajemne, chwilowe zależności

pomiędzy sygnałem wejściowym i wyjściowym modulatora zależą wtedy tylko od amplitudy

i wartości pochodnych obydwu sygnałów w punkcie, w jakim dokonuje się obserwacji. W

sytuacji, kiedy analizowanym układem byłby układ liniowy o niezmiennych w czasie

parametrach, to różnica prawej i lewej strony równania odpowiadającego obliczonej w ten

sposób transmitancji układu byłaby w przybliżeniu równa zeru z dokładnością do

numerycznego wyznaczenia pochodnych sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego

układu. W przypadku modulatora SD będącego układem nieliniowym ze sprzężeniem

zwrotnym, oszacowana w ten sposób różnica będzie ponadto zawierała poszukiwany

nieliniowy błąd modulacyjny (NBM). Ponieważ funkcja STF przyjętego modelu

PFDP

PFDP

↓OSRout

↓OSRout

Modelowanie funkcji

STF cyfrowego

modulatora SD w

dziedzinie zmiennej

zespolonej s28 [kHz]

filtracja pomiarowa i decymacja

Den

STF

Num

STF

+-

u

y Df I,II,…

[y]

Df I,II,…

[u]

Df I,II,…

[ydec]

Df I,II,…

[udec]

PSTF

LSTF

NBM

Rys. 6.7. Schemat blokowo-funkcjonalny modelowania funkcji STF modulatora SD

i oszacowanie NBM.



48

symulacyjnego cyfrowego modulatora SD jest równa jedności, więc dobór rzędu modelowej

transmitancji jest kwestią otwartą. Przeprowadzone analizy wykazały, iż zwiększanie rzędu

modelowej transmitancji powyżej rzędu drugiego nie wpływa w istotny sposób na parametry

oszacowanego NBM. Dlatego też, w pracy przyjęto modelowanie transmitancji STF

modulatora SD za pomocą transmitancji drugiego rzędu w dziedzinie zmiennej zespolonej s

o ogólnej postaci

01

2

2

1

2

2

asasa

1sbsb

sU

sYsSTF

, (6.2)

gdzie 12 b,b oraz 012 a,a,a są współczynnikami modelowej funkcji STF modulatora.

Równanie różniczkowe w dziedzinie czasu odpowiadające przyjętej transmitancji ma postać

tyadt

tdya

dt

tydatu

dt

tdub

dt

tudb 012

2

212

2

2 . (6.3)

Obliczenie modelowej funkcji STF cyfrowego modulatora SD wymaga zatem numerycznego

wyznaczenia pochodnych sygnału wejściowego i wyjściowego modulatora (za pomocą

filtrów PFDP – porównaj rysunek 6.7) oraz numerycznego rozwiązania układów równań 5

zmiennych.

6.5.1. Wykorzystywane metody numeryczne

Rozwiązanie równania różniczkowego (6.3) wymaga numerycznego wyznaczenia

pierwszej i drugiej pochodnej sygnału tu oraz ty . W niniejszej pracy wykorzystywane są

klasyczne metody numeryczne wyznaczania pochodnych sygnału, które zostały

zoptymalizowane przez autora w celu zminimalizowania błędów wynikających

z wykonywania operacji matematycznych na maszynie o skończonej precyzji obliczeniowej.

Wartość pierwszej pochodnej sygnału ty w otoczeniu punktu 0t może być

zdefiniowana jako granica (pod warunkiem jej istnienia) [18]

h2

htyhty

dt

tdy 00

0h

0

lim , (6.4)

gdzie h jest przyrostem czasowym pomiędzy kolejnymi wartościami sygnału ty . Określenie

granicy (6.4) dla wartości przyrostu h dążącego do zera nie może być jednak zrealizowane za



49

pomocą maszyn o skończonej reprezentacji liczbowej (precyzji obliczeniowej). Dlatego też,

numeryczne wyznaczenie pierwszej pochodnej sygnału ty jest określone jako iloraz

różnicowy będący przybliżeniem rzeczywistej pochodnej sygnału ty w otoczeniu punktu 0t

h2

htyhtytyDf 00

0

I

, (6.5)

przy założeniu dostatecznie małej wartości przyrostu h. Ze względu na skończoną precyzję

obliczeniową, zmniejszanie wartości przyrostu h może spowodować utratę cyfr znaczących

(loss-of-significance) i tzw. błąd zaniedbania składnika (cancellation error). Błąd utraty cyfr

znaczących i błąd zaniedbania składnika są nazywane błędami zaokrąglenia (round-off

errors). Ponadto operacja numerycznego wyznaczania pochodnej sygnału jest obarczona tzw.

błędem obcięcia (truncation error), który wynika z przybliżenia wartości pochodnej sygnału

obliczonej zgodnie z równaniem (6.4) przez wartość pochodnej wyznaczonej numerycznie

zgodnie z równaniem (6.5) [32]. W celu oszacowania wartości błędu zaokrąglenia i błędu

obcięcia, w równaniu (6.5) można zapisać pierwsze składniki rozwinięcia szeregu Taylor’a

funkcji ty w otoczeniu punktu 0t jako [32, 80]

...!!!

0

IV4

0

III3

0

II2

0

I

00 tyf4

htyf

3

htyf

2

htyfhtyhty (6.6)

oraz

...!!!

0

IV4

0

III3

0

II2

0

I

00 tyf4

htyf

3

htyf

2

htyfhtyhty (6.7)

Odejmując od siebie równania (6.6) i (6.7), dzieląc wynik przez czynnik h2 oraz

uwzględniając składnik drugiego rzędu rozwinięcia szeregu Taylor’a otrzymuje się zależność

0

III2

00

0

Ityf

6

h

h2

htyhtytyf

, (6.8)

gdzie 0

III2

tyf6

h reprezentuje błąd obcięcia. Po uwzględnieniu błędu zaokrąglenia,

wartości hty 0 i hty 0 można przedstawić jako odpowiednio



50

ht00 0ehtyhty ~ i ht00 0

ehtyhty ~ Wzór (6.8) można zatem zapisać w

postaci [32, 80]

0

III2

htht00

0

Ityf

6

h

h2

ee

h2

htyhtytyf 00

~~

. (6.9)

Jak wynika z zależności (6.9), dokładność numerycznego wyznaczenia pochodnej

sygnału jest ograniczona wartością błędu zaokrąglenia odwrotnie proporcjonalną do wartości

przyrostu h i wartością błędu obcięcia wprost proporcjonalną do wartości h. Na rysunku 6.8

jest przedstawiona zależność pomiędzy błędem przybliżenia pochodnej wyznaczonej

numerycznie dla sygnału o funkcji tsinty w punkcie 3

t0

, a wartością przyrostu

h uwzględniając składnik pierwszego, drugiego i czwartego rzędu rozwinięcia szeregu

Taylor’a. Jak można zauważyć, istnieje optymalna wartość przyrostu h0, dla której błąd

przybliżenia pochodnej wyznaczonej numerycznie jest minimalny. Dla przybliżenia pierwszej

pochodnej sygnału ilorazem różnicowym drugiego rzędu, wartość optymalnego przyrostu

0h można obliczyć najpierw różniczkując względem h przekształcone równanie (6.9) [32, 80]

0

III2

00

0

Ityf

6

h

hh2

htyhtytyf

~~, (6.10)

a następnie przyrównać uzyskany wynik do zera. Przy założeniu, że obliczenia są

wykonywane na maszynie z mantysą o długości 52 bitów, to optymalna wartość przyrostu

h0 podczas numerycznego wyznaczania pierwszej pochodnej sygnału tsinty

w punkcie 3

t0

jest w przybliżeniu równa

63

III

16

3

0

III0 10964532f

2103

tyf

3h

,

sin. (6.11)

Jak można zauważyć na rysunku 6.8, dla wartości przyrostu 0hh dokładność

numerycznego wyznaczenia pochodnej jest ograniczona błędami zaokrąglenia. Natomiast dla

wartości przyrostu 0hh dokładność tę ogranicza błąd obcięcia. Należy zaznaczyć, że do

określenia optymalnej wartości przyrostu h0 niezbędne jest obliczenie pochodnych wyższych

rzędów, które w praktyce nie są znane. Ponadto wartość optymalnego przyrostu



51

h0 determinuje tylko górną granicę dokładności numerycznego wyznaczenia pochodnej

sygnału dla punktu, w jakim określana jest pochodna. Ponieważ w niniejszej rozprawie

rozpatrywane są rzeczywiste sygnały w zakresie pasma fonicznego, więc autor zaproponował

metodę automatycznego, numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej sygnału

z określoną dokładnością w całym zakresie pasma fonicznego.

W zaproponowanej metodzie numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej

sygnału w całym zakresie pasma fonicznego są wykorzystywane przybliżenia pochodnych

ilorazami różnicowymi czwartego rzędu wyrażonych wzorami [32]

h12

h2tyhty8hty8h2tytyDf 00000

I

(6.12)

2

000000

II

h12

h2tyhty16ty30hty16h2tytyDf

(6.13)

Jak można zauważyć na rysunku 6.9, maksymalny, względny błąd numerycznego

wyznaczenia pierwszej i drugiej pochodnej sygnału sinusoidalnego próbkowanego

z częstotliwością równą 4410064 Hz zmienia się w zależności od częstotliwości sygnału.

Dla stałej wartości przyrostu 44100641h i zakresu małych częstotliwości różnice

pomiędzy wartościami kolejnych próbek sygnału są na tyle małe, że numerycznie

wyznaczone pochodne sygnału są obarczone dużym błędem zaokrąglenia. Zwiększenie

Rys. 6.8. Zależność względnego błędu przybliżenia numerycznego wyznaczenia pierwszej

pochodnej sygnału tsinty w punkcie 3

t0

od wartości przyrostu h.



52

wartości przyrostu h może zatem zapewnić dokładniejsze wyznaczenie pochodnych.

Natomiast dla zakresu dużych częstotliwości różnice pomiędzy wartościami próbek sygnału

są na tyle duże, że dokładniejsze numeryczne wyznaczenie pochodnych wymaga

zmniejszenia wartości przyrostu h. Zmniejszenie wartości przyrostu h poniżej wartości

44100641h odbywa się za pomocą specjalnie zaprojektowanych dolnoprzepustowych

filtrów pomiarowych (PFDP – porównaj rysunki 6.1 i 6.7). Filtry PFDP zaprojektowano

wykorzystując takie same okno czasowe, jakie zostało użyte do zaprojektowania filtrów FDPi

i FDPogr. Modyfikacji poddano jednak charakterystyki fazowe filtrów PFDP. Zaprojektowano

6 filtrów, które przesuwają w czasie sygnał wejściowy o 101 , 102 , 1001 , 1002 ,

10001 i 10002 części okresu próbkowania sygnału. Zaprojektowane filtry PFDP różnią

się nieznacznie charakterystykami amplitudowo-częstotliwościowymi w okolicy

częstotliwości odcięcia i w paśmie przejściowym filtru. W konsekwencji operacja filtracji

może wprowadzać zniekształcenia do sygnału w okolicy granicznej wartości pasma

fonicznego wynoszącej 21 kHz. Z tego powodu, częstotliwość odcięcia filtrów PFDP została

dobrana jako równa 28 kHz. Należy zaznaczyć, że sygnały wejściowe przetwarzane przez

filtry PFDP są wcześniej filtrowane przez filtry FDPogr (porównaj rysunek 6.1).

Na rysunkach 6.10 i 6.11 jest przedstawiony maksymalny, względny błąd

numerycznego wyznaczenia pierwszej i drugiej pochodnej sygnału dla różnych wartości

przyrostu h. Sygnałami testowymi były sygnały sinusoidalne o częstotliwości próbkowania

4410064 Hz i częstotliwościach sygnału w zakresie pasma fonicznego od 1 do 21 kHz. Jak

Rys. 6.9. Względny, maksymalny błąd przybliżenia numerycznie wyznaczonych pierwszej

i drugiej pochodnej dla wartości przyrostu h równej jednej próbce dla sygnału

sinusoidalnego nadpróbkowanego 64 razy w zakresie pasma fonicznego od 1 do 21

kHz.



53

można zauważyć na rysunkach 6.10 i 6.11, wartość maksymalnego, znormalizowanego błędu

przybliżenia pierwszej i drugiej pochodnej sygnału w zakresie większych częstotliwości

sygnału jest akceptowalna dla wartości przyrostu h mniejszej od 44100641 , a w zakresie

mniejszych częstotliwości sygnału dla wartości przyrostu h większej od 44100641 . Na

wspomnianych rysunkach 6.10 i 6.11 wykreślono również maksymalny, względny błąd

numerycznego wyznaczenia pochodnych sygnału określony za pomocą metody

Rys. 6.10. Względny, maksymalny błąd przybliżenia numerycznie wyznaczonej pierwszej

pochodnej dla wartości przyrostu h = 100, h = 10, h = 1, h = 0,1, h = 0,01, h = 0,001

części okresu próbkowania sygnału sinusoidalnego o częstotliwości próbkowania

równej 64∙44100 Hz w zakresie pasma fonicznego od 1 do 21 kHz.

Rys. 6.11. Względny, maksymalny błąd przybliżenia numerycznie wyznaczonej drugiej

pochodnej dla wartości przyrostu h = 100, h = 10, h = 1, h = 0,1, h = 0,01, h = 0,001

części okresu próbkowania sygnału sinusoidalnego o częstotliwości próbkowania

równej 64∙44100 Hz w zakresie pasma fonicznego od 1 do 21 kHz.



54

zaproponowanej przez autora. Podstawowymi zależnościami wykorzystywanymi podczas

automatycznego, numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej sygnału są wzory

określające optymalną wartość przyrostu h0 dla przybliżenia pierwszej ( tyDfI

) i drugiej

pochodnej ( tyDfII

) sygnału ilorazem różnicowym czwartego rzędu zapisane odpowiednio

jako

5

0

V01tyf4

45h

(6.14)

oraz

6

0

VI02tyf

320h

. (6.15)

Wartości pochodnych wyższych rzędów we wzorach (6.14) i (6.15) są oszacowane za

pomocą ilorazów różnicowych ósmego rzędu. Procedura zaproponowanego, automatycznego,

numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej (dalej nazywana ANWP12)

sygnału w paśmie fonicznym jest sformułowana w dodatku A. Wartość div w punkcie 4

procedury ANWP12 określa momenty przełączania się pomiędzy wartościami numerycznie

wyznaczonych pochodnych z punktu 2 procedury. Dla częstotliwości próbkowania sygnału

równej 4410064 Hz optymalna wartość div jest dobrana jako równa 3 i, jak można

zauważyć na Rys. 6.10 i Rys. 6.11, zastosowanie procedury ANWP12 daje w wyniku

maksymalny, względny błąd wyznaczenia pierwszej i drugiej pochodnej sygnału

o wartościach nie przekraczających odpowiednio 1110

i 810

w całym zakresie pasma

fonicznego.

Jak wspomniano wcześniej, w celu określenia średnich wartości współczynników

modelowej funkcji STF modulatora (zależność 6.2) niezbędne jest rozwiązanie układów

równań 5 zmiennych, tj. współczynników 12 b,b oraz 012 a,a,a . Układ równań liniowych

można zdefiniować jako zestaw n równań z liczbą n niewiadomych tak, że rozwiązaniem jest

zbiór n liczb spełniających wszystkie n równań w układzie [18, 25, 55, 69]. Układ n równań

liniowych z liczbą n niewiadomych można zapisać w formie macierzowej jako

dx C , (6.16)



55

gdzie C

jest macierzą znanych nn elementów, x jest wektorem n niewiadomych i d jest

wektorem n wyrazów wolnych. Macierz C oraz wektory x i d można zapisać jako

nn2n1n

n22212

n12111

ccc

ccc

ccc

,,,

,,,

,,,

C ,

n

2

1

x

x

x

x

oraz

n

2

1

d

d

d

d

. (6.17)

Układ równań liniowych (6.16) może być układem oznaczonym, nieoznaczonym

i sprzecznym, gdy odpowiednio ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań i nie

ma rozwiązań. Nieoznaczone i sprzeczne układy równań liniowych są nazywane układami

osobliwymi, natomiast oznaczone układy równań liniowych są nazywane układami

nieosobliwymi. Układ równań liniowych (6.16) jest układem nieosobliwym, gdy macierz C

spełnia m.in. warunki [18, 25]:

jest odwracalna, tj. wyznacznik macierzy C jest niezerowy 0Cdet ,

wiersze macierzy C są liniowo niezależne,

kolumny macierzy C są liniowo niezależne.

Dostępne metody numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych można

podzielić na metody bezpośrednie i metody iteracyjne. W przypadku, gdy nie występują błędy

zaokrąglenia, to metody bezpośrednie pozwalają na dokładne obliczenie zbioru rozwiązań

układu równań (6.16) po skończonej liczbie przekształceń układu. Natomiast metody

iteracyjne pozwalają wyznaczyć zbieżny ciąg przybliżonych zbiorów rozwiązań układu

równań (6.16) z założoną dokładnością [18, 32, 80].

W niniejszej rozprawie zbiory rozwiązań układów równań liniowych są numerycznie

wyznaczane za pomocą metody bezpośredniej eliminacji Gauss’a z częściowym wyborem

elementu głównego (podstawowego). Numerycznie wyznaczony zbiór rozwiązań układu

równań liniowych jest obarczony błędami, które wynikają z maszynowej, skończonej precyzji

obliczeniowej, a także niedokładnej reprezentacji wartości elementów macierzy C oraz

wektora wyrazów wolnych d. W celu oszacowania, w jaki sposób niedokładność reprezentacji

wartości elementów macierzy C i wyrazów wolnych wektora d mogą wpłynąć na dokładność

wyznaczonego zbioru rozwiązań x układu równań liniowych można posłużyć się interpretacją

Wilkinson’a [80] i zapisać równanie (6.16) w postaci



56

ddxx CC , (6.18)

gdzie C

i d są odpowiednio zaburzeniami wprowadzonymi do macierzy

współczynników C i wektora wyrazów wolnych d. Zbiór rozwiązań układu x jest tym

samym obarczony błędem x . Zakładając, że zaburzona macierz CC jest nieosobliwa

to po kilku przekształceniach opisanych m.in. w [18, 25] otrzymuje się zależność na

oszacowanie względnego błędu zbioru rozwiązań układu równań przy zaburzonych

wartościach elementów macierzy C i zaburzonych wartościach wektora wyrazów wolnych d

d

d

x

x

C

CC . (6.19)

Operator w zależności (6.19) oznacza normę nieskończoność macierzy lub wektora

danych [63], a wielkość CCC-1 jest tzw. wskaźnikiem uwarunkowania macierzy

C . Wartość Cκ określa jak bardzo dany układ równań liniowych może być zbliżony do

układu osobliwego. W przypadku, gdy wartość Cκ jest równa bądź bliska jedności to układ

równań jest idealnie i dobrze uwarunkowany, czyli jest układem nieosobliwym, a zaburzenia

macierzy C oraz wektora d nie wpływają w istotny sposób na zbiór rozwiązań takiego

układu. Natomiast w przypadku, gdy wartość 1κ C to układ równań jest źle

uwarunkowany, czyli może stać się układem osobliwym, a nawet niewielkie zaburzenia

macierzy C oraz wektora d mogą prowadzić do pojawienia się dużych błędów w zbiorze

rozwiązań takiego układu równań [55]. Zakładając, że zbiór rozwiązań układu równań

liniowych został numerycznie wyznaczony na maszynie z precyzją obliczeniową o liczbie

t miejsc dziesiętnych i wartość wskaźnika uwarunkowania macierzy współczynników jest

rzędu s10 C , to dokładność wyznaczonego zbioru rozwiązań układu może być

ograniczona w przybliżeniu do st miejsc dziesiętnych [69].

W niniejszej rozprawie oszacowanie dokładności numerycznego wyznaczania zbioru

rozwiązań układu równań liniowych odbywa się zgodnie z klasyczną analizą błędów opisaną

m.in. w [32] i wykorzystywaną w oprogramowaniu LAPACK [4]. Rozwiązując układ równań

dx C np. metodą eliminacji Gauss’a z częściowym wyborem elementu głównego można

obliczyć wartość reszty r jako [4]



57

xdr ~ C , (6.20)

gdzie x~ jest numerycznie wyznaczonym zbiorem rozwiązań układu. W obecności błędów

zaokrąglenia oszacowanie dokładności zbioru rozwiązań x~ może być ograniczone z góry

wartością względnego błędu wyrażonego jako

dx

r2ERRBD

~C

C. (6.21)

W celu sprawdzenia poprawności oszacowania względnego błędu (6.21) została

określona macierz współczynników C w postaci macierzy Hilbert’a o wymiarach 55x

9181716151

8171615141

7161514131

6151413121

514131211

/////

/////

/////

/////

////

C . (6.22)

Wektor wyrazów wolnych d wyznaczono na podstawie przykładowego, znanego zbioru

rozwiązań równania tx zgodnie ze wzorem txd C . Znany zbiór rozwiązań tx oraz wektor

wyrazów wolnych txd C określone są jako

131

12342341

32

21

131

xt

/

/

/

/

/

,

2481460

743164

2817769

3914

26511415

d

/

/

/

/

/

. (6.23)

Numeryczne wyznaczenie zbioru rozwiązań określonego wcześniej układu równań

metodą eliminacji Gauss’a z częściowym wyborem elementu głównego daje

w wyniku zbiór rozwiązań x~ i względny błąd równy 11

t

t10384631

x

xx

,

~

. Należy

zaznaczyć, że w rzeczywistych warunkach zbiór rozwiązań tx nie jest znany. Względny błąd

może być zatem oszacowany zgodnie z zależnością (6.21). W opisywanym przypadku,

wartość oszacowanego zgodnie z zależnością (6.21) względnego błędu wynosi



58

11100957,5ERRBD

, która jest bardzo dobrym przybliżeniem wartości względnego błędu

wyznaczonego za pomocą znanego zbioru rozwiązań tx . Ponadto wartość względnego błędu

rozwiązania jest w przybliżeniu zgodna z wcześniej wspomnianą cechą wskaźnika

uwarunkowania macierzy C . Wartość C macierzy (6.22) jest rzędu 510 , a obliczenia

są wykonywane na maszynie o precyzji obliczeniowej 16 miejsc dziesiętnych. Stąd,

numerycznie wyznaczony zbiór rozwiązań układu x~ można określić jako dokładny do 11

miejsca dziesiętnego, co jest zgodne z oszacowaniem błędu 11100957,5ERRBD

.

6.5.2. Współczynniki modelowej funkcji STF

Współczynniki modelowej funkcji STF modulatora SD są wyznaczane za pomocą

układu równań zestawionego na podstawie zależności (6.3). Do układu równań podstawiane

są wartości próbek sygnału wejściowego tu i wyjściowego ty modulatora oraz wartości

numerycznie wyznaczonych za pomocą procedury ANWP12 (porównaj dodatek A)

pochodnych sygnałów tu i ty . W celu wyznaczenia współczynników modelowej funkcji

STF drugiego rzędu (6.2) określany jest układ pięciu równań liniowych zapisanych w postaci

macierzowej STFSTF dx STFC . Macierz STFC , wektor poszukiwanych współczynników STFx

modelowej transmitancji oraz wektor wyrazów wolnych STFd są określane w postaci

55

I

5

II

5

I

5

II

44

I

4

II

4

I

4

II

33

I

3

II

3

I

3

II

22

I

2

II

2

I

2

II

11

I

1

II

1

I

1

II

tytyDftyDftuDftuDf

tytyDftyDftuDftuDf

tytyDftyDftuDftuDf

tytyDftyDftuDftuDf

tytyDftyDftuDftuDf

STFC

(6.24)

oraz

0

1

2

1

2

STF

a

a

a

b

b

x ,

5

4

3

2

1

STF

tu

tu

tu

tu

tu

d ,

(6.25)



59

gdzie tuDfIII ,

, tyDfIII ,

są numerycznie wyznaczonymi pochodnymi sygnału

wejściowego tu i sygnału wyjściowego ty modulatora, poszukiwane wielkości 12 b,b oraz

012 a,a,a są współczynnikami modelowej funkcji STF modulatora, a indeksy 521 t,...,t,t

określają punkty, dla których rozwiązywany jest dany układ równań liniowych. Jak

wspomniano w podrozdziale 6.5.1, w niniejszej rozprawie zbiór rozwiązań układu równań

liniowych jest numerycznie wyznaczany za pomocą metody bezpośredniej eliminacji Gauss’a

z częściowym wyborem elementu głównego. Procedura numerycznego wyznaczania średnich

wartości współczynników modelowej funkcji STF cyfrowego modulatora SD (dalej nazywana

NWSTF) jest sformułowana w dodatku B.

W celu oszacowania dokładności sformułowanej procedury wyznaczono średnie

wartości współczynników transmitancji przykładowego filtru dolnoprzepustowego

o niezmiennych w czasie parametrach i danej transmitancji w dziedzinie zmiennej zespolonej

s określonej jako

1s10012s101

1Hs

5210FDP

,. (6.26)

Sygnał tua przenoszony przez dany filtr dolnoprzepustowy FDPHs jest podany w postaci

analitycznej. Składa się on z sumy pięciu sygnałów sinusoidalnych o określonych wartościach

pulsacji mieszczących się w zakresie pasma fonicznego. Sygnał wyjściowy tya filtru

dolnoprzepustowego FDPHs wyznaczono analitycznie zgodnie z transmitancją filtru (6.26).

Sygnały tua oraz tya zostały następnie spróbkowane z częstotliwością 64∙44100 Hz

i ograniczone pasmowo do zakresu pasma fonicznego. Zgodnie z procedurą ANWP12

wyznaczono pierwszą i drugą pochodną spróbkowanych sygnałów tua i tya , a następnie

zostały określone wartości średnich współczynników transmitancji filtru FDPsH~

zgodnie

z procedurą NWSTF. Wartość oczekiwanej dokładności dok rozwiązania przyjęto jako równą

13. Uzyskany zbiór średnich wartości współczynników transmitancji FDPsH~

filtru

dolnoprzepustowego wraz z dokładnymi wartościami współczynników transmitancji

modelowanej FDPHs jest zestawiony w tablicy 6.1. Względny błąd wyznaczenia zbioru

rozwiązań opisywanego układu wynosi 13-

FDP

FDPFDP10049207,6

Hs

sHHs

~

, co jest zgodne

z przyjętą, oczekiwaną dokładnością rozwiązania dok .



60

Należy wyjaśnić, że wykorzystywane w procedurze NWSTF elementy tablicy T

(porównaj dodatek B) są generowane losowo w celu zminimalizowania prawdopodobieństwa

wystąpienia sytuacji, w której kolumny lub wiersze utworzonych macierzy STFC będą od

siebie liniowo zależne. Ponadto, prawdopodobna jest sytuacja, w której wartości

poszukiwanych współczynników mogą być wyznaczane z bardzo źle

uwarunkowanych m układów równań określonych jako STFSTF dx STFC , co może

prowadzić do wyznaczenia zbiorów rozwiązań STFx obarczonych dużymi błędami. Dlatego

też średnie wartości wyznaczonych współczynników obliczane są za pomocą mediany

(wartości środkowej), a nie średniej arytmetycznej ze wszystkich wyznaczonych zbiorów

rozwiązań STFx .

Zastosowanie procedury NWSTF do analizy sygnału wejściowego tu i sygnału

wyjściowego ty modulatora SD oraz wyznaczonych za pomocą procedury ANWP12

pochodnych sygnałów tu i ty pozwala na oszacowanie NBM jako różnicy prawej i lewej

strony równania opisującego wyznaczoną, średnią funkcję STF modulatora wg zależności

tLtPtNBM , (6.27)

gdzie wielkości tL i tP są określone jako

tutuDfbtuDfbtLI

1

II

2 (6.28)

oraz

Tablica 6.1. Współczynniki transmitancji FDPHs oraz numerycznie wyznaczonej modelowej

transmitancji FDPsH

~ filtru dolnoprzepustowego.

FDPHs FDPsH

~

b2 0 3,121208324856797∙10

-18

b1

0 -6,034415744097214∙10-13

b0

1 1

a2 1∙10

-10 9,999999013048391∙10

-11

a1 2,01∙10

-5 2,009999939507928∙10

-5

a0

1 9,999999999998797∙10-1



61

tyatyDfatyDfatP 0

I

1

II

2 . (6.29)

Jak wspomniano wcześniej, parametry oszacowanego w ten sposób NBM są dalej obliczane

w zakresach zmienności amplitudy, szybkości zmian sygnału wejściowego modulatora

i szybkości zmian jego nachylenia.

6.6. Zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego cyfrowego

modulatora SD

Zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego tu cyfrowego modulatora SD

są określane na podstawie odpowiednio informacji o amplitudzie sygnału tu , numerycznie

wyznaczonej pierwszej pochodnej tuDfI

oraz numerycznie wyznaczonej drugiej

pochodnej tuDfII

. Liczba zakresów, na które dzielony jest sygnał tu określa szerokość

przedziałów zmienności parametrów sygnału. Należy zaznaczyć, że szerokość przedziałów

będzie się zmieniać w zależności od analizowanego sygnału wejściowego modulatora.

Przykładowy podział sygnału sinusoidalnego na cztery zakresy zmienności szybkości

zmian sygnału i szybkości zmian jego nachylenia jest przedstawiony na rysunkach 6.12

i 6.13. Zakresy zmienności o numerach 1 i 4 odpowiadają najmniejszym i największym

wartościom danego parametru, natomiast zakresy zmienności o numerach 2 i 3 są zakresami

Rys. 6.12 Przebieg sygnału sinusoidalnego z zaznaczonym podziałem na zakresy zmienności

numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału.



62

pośrednimi. Jak można zauważyć na rysunku 6.12, najmniejsze i największe wartości

tuDfI

określają odpowiednio zakresy maksymalnej, ujemnej i maksymalnej, dodatniej

wartości nachylenia sygnału. Pośrednie wartości tuDfI

odpowiadają punktom w otoczeniu

ekstremów sygnału tu . Na rysunku 6.13 można zauważyć, w jaki sposób zmienia się

podział sygnału wg wartości tuDfII

. Szybkość zmian nachylenia sygnału jest określona

przez zakresy najmniejszych i największych wartości tuDfII

, natomiast na granicy

zakresów pośrednich można zauważyć tzw. punkt przegięcia przebiegu sygnału tu .

6.7. Parametry nieliniowego błędu modulacyjnego

W niniejszej rozprawie parametry NBM są obliczane za pomocą wartości średniej

arytmetycznej NBMmean w postaci

m

1i

NBM iNBMm

1mean , (6.30)

oraz mocy NBMPrms (wyrażonej w mierze decybelowej) w postaci

m

i

NBMNBM iNBMm

rmsPrms1

2

1010

1log20log20 , (6.31)

Rys. 6.13 Przebieg sygnału sinusoidalnego z zaznaczonym podziałem na zakresy zmienności

numerycznie wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału.


Parametry nieliniowego błędu modulacyjnego

63

gdzie m jest liczbą próbek sygnału NBM. Wielkości NBMmean oraz NBMPrms są obliczane

w punktach odpowiadających zakresom zmienności parametrów sygnału wejściowego tu ,

co pozwala określić krótkoczasowe zachowanie się cyfrowego modulatora SD w zależności

od dynamiki sygnału wejściowego.


64

7. Badania symulacyjne cyfrowych modulatorów SD

Symulacje oraz analizy działania cyfrowych modulatorów SD zostały przeprowadzone

w środowisku MATLAB®

uruchomionym w 64-bitowym systemie zainstalowanym

w komputerze klasy PC1. Sygnałami wejściowymi modulatorów są sygnały muzyki opisane

w bazie utworów przedstawionej w dodatku C. Modulatory SD mają strukturę LSB’s

error-feedback i pracują z nadpróbkowaniem o wartości równej 64. Rekwantyzator

charakteryzuje się nieparzystą liczbą poziomów kwantowania (bez dodatkowego poziomu

w zerze) i może działać z sygnałem dither’a dodawanym do sygnału wejściowego modulatora

przed operacją rekwantyzacji. W celu skrócenia czasu wykonywanych obliczeń procedura

symulacji działania modulatora oraz procedura numerycznego rozwiązywania układów

równań NWSTF (porównaj dodatek B) została zaimplementowana w języku C. Ponadto

operacje filtracji sygnału wejściowego i wyjściowego modulatora są realizowane za pomocą

zoptymalizowanej w środowisku MATLAB®

transformaty FFT, co umożliwia dalsze

skrócenie czasu wykonywanych obliczeń.

Analizy czasowe cyfrowych modulatorów SD są przeprowadzone zgodnie ze

schematem blokowo-funkcjonalnym przedstawionym na rysunku 6.1. Sygnał NBM jest

oszacowany za pomocą zależności 6.27-6.29, a jego wartość średnia NBMmean i moc

NBMPrms , podane zależnościami 6.30 i 6.31, są obliczane w zakresach zmienności

parametrów sygnału wejściowego tu modulatora. Każdy z analizowanych sygnałów

wejściowych modulatora jest dzielony na 130 zakresów zmienności amplitudy oraz

numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej sygnału w taki sposób, że zakresy

o najmniejszych (największych) numerach odpowiadają najmniejszym (największym)

wartościom parametrów sygnału wejściowego. Ponadto w każdym z zakresów zmienności

parametrów sygnału wejściowego tu są wyznaczane średnie wartości współczynników

funkcji STF modulatora zgodnie z procedurą NWSTF (porównaj dodatek B). Pozwala to na

opisanie, w jaki sposób funkcja przenoszenia modulatora dla sygnału zmienia się

w zależności od dynamiki sygnału wejściowego oraz jak bardzo różni się ona od funkcji

przenoszenia określonej za pomocą analizy klasycznej modulatora, tj. 1zSTF .

1 komputer klasy PC: procesor Intel® Core™ i5 taktowany zegarem o częstotliwości równej 3,4 GHz, pamięć

operacyjna RAM o pojemności 32 GB, rozszerzenie pamięci operacyjnej o 240 GB na dysku SSD.


65

Zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego tu modulatora są określane na

podstawie informacji o ich maksymalnych i minimalnych wartościach, czyli mają stałą

szerokość. Ponieważ granicznym zakresom zmienności parametrów sygnału tu odpowiada

zbyt mała liczba danych niezbędnych do przeprowadzenia dokładnych obliczeń wielkości

NBMmean i NBMPrms oraz wartości współczynników transmitancji STF modulatora, więc

wyniki analiz nie są wykreślane we wszystkich 130 wspomnianych zakresach zmienności

parametrów sygnału wejściowego tu modulatora.

Należy zaznaczyć, że sygnały wejściowe analizowanych modulatorów są

zarejestrowane dwukanałowo, a w omawianym rozdziale będzie wykorzystywany zapis

kanału lewego fragmentu utworu nr 3 (porównaj dodatek C) o amplitudzie równej 0,5 pełnego

zakresu zmiennoprzecinkowej reprezentacji liczbowej próbek sygnału.

7.1. Jednobitowe modulatory SD

7.1.1. Modulatory niskiego rzędu

W niniejszej rozprawie modulatorami niskiego rzędu są określane modulatory z filtrem

pierwszego i drugiego rzędu kształtowania widma błędu rekwantyzacji. Wykorzystywane

funkcje NTF modulatorów są przedstawione na rysunku 6.5. Sygnał wyjściowy modulatora

z jednobitowym rekwantyzatorem może przyjmować tylko wartości -1 oraz +1. Dlatego też

średnie wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora będą najdokładniej określone dla

zakresów amplitud sygnału wejściowego oscylujących wokół środka zakresu rekwantyzatora.

Natomiast im amplituda sygnału wejściowego będzie bardziej zbliżona do maksymalnych

poziomów rekwantyzatora, tym mniej dokładnie będą określone średnie wartości próbek

sygnału na wyjściu modulatora. Powyższe wnioski są potwierdzone na rysunku 7.1, gdzie

wykreślona jest wartość NBMmean obliczona w zakresach zmienności amplitudy sygnału

wejściowego modulatora. Jak można zauważyć na rysunku 7.1, bezwzględne wartości

NBMmean są najmniejsze dla amplitud sygnału wejściowego znajdujących się w zakresach

wokół przejścia przez wartość zerową zarówno dla modulatora pierwszego jak i drugiego

rzędu. Natomiast bezwzględne wartości NBMmean są tym większe, im jest większa

bezwzględna wartość amplitudy sygnału wejściowego, tj. w zakresach od przejścia przez

wartość zerową do najmniejszych i zakresów od przejścia przez wartość zerową do

największych na rysunku 7.1.


Badania symulacyjne cyfrowych modulatorów SD

66

Ponieważ cyfrowy modulator SD jest układem z pamięcią, tj. z filtrem kształtowania

widma błędu rekwantyzacji w pętli sprzężenia zwrotnego, więc sygnał wyjściowy modulatora

nie nadąża za szybkimi zmianami sygnału wejściowego, tj. średnie wartości próbek sygnału

wyjściowego modulatora będą określone mniej dokładnie. Z drugiej strony, im wolniej będzie

się zmieniał sygnał wejściowy, tym dokładniej będą określone średnie wartości próbek

sygnału wyjściowego modulatora, czyli wartości NBMmean będą mniejsze. Przewiduje się, że

im większy będzie rząd modulatora, tym widmo błędu rekwantyzacji

w modulatorze będzie skuteczniej redystrybuowane do pasma ponadpodstawowego i tym

mniejszy będzie średni poziom wartości NBMmean . Natomiast fluktuacje wartości NBMmean

w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego modulatora będą zależeć od parametrów

filtru w pętli sprzężenia zwrotnego modulatora, liczby poziomów rekwantyzatora i od

dynamiki sygnału wejściowego modulatora. Potwierdzeniem powyższych rozważań są wyniki

przedstawione na rysunku 7.2, gdzie wykreślona jest zależność wartości NBMmean od

numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego modulatora, gdzie

najmniejsze (największe) numery zakresów odpowiadają maksymalnym, ujemnym

(dodatnim) nachyleniom sygnału wejściowego. Można zauważyć, że dla modulatora

pierwszego rzędu wartości NBMmean zmieniają się w granicach 3104

, natomiast dla

modulatora drugiego rzędu zmiany te mieszczą się w zakresie wartości 5103

. Należy

Rys. 7.1. Wartość NBMmean obliczona w zakresach zmienności amplitudy sygnału

wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego

rzędu.


Jednobitowe modulatory SD niskiego rzędu

67

zaznaczyć, że zmiany wartości NBMmean mają zupełnie inny charakter w przypadku

modulatora drugiego rzędu i, tak jak wspomniano wcześniej, będą się różnić dla innych

parametrów filtru kształtowania widma błędu rekwantyzacji, liczby poziomów

rekwantyzatora oraz dynamiki sygnału wejściowego modulatora.

Jak się wydaje, reakcja modulatora na szybkość zmiany nachylenia sygnału

wejściowego będzie zależeć od rzędu i parametrów filtru w pętli sprzężenia zwrotnego

modulatora oraz od dynamiki sygnału wejściowego, czego potwierdzeniem jest rysunek 7.3.

Przedstawiono na nim przebieg wartości NBMmean w funkcji numerycznie wyznaczonej

drugiej pochodnej sygnału wejściowego modulatora. Jak można zauważyć, wartość NBMmean

zmienia się w zależności od tego jak bardzo wklęsły (zakresy o numerach od najmniejszego

do przejścia przez wartość zerową) lub wypukły (zakresy o numerach od przejścia przez

wartość zerową do największych) jest przebieg sygnału wejściowego modulatora. Im szybsze

są zmiany nachylenia przebiegu sygnału wejściowego, tym większa jest bezwzględna wartość

NBMmean , przy czym dla modulatora drugiego rzędu zakres wartości NBMmean jest o ok. rząd

wielkości mniejszy niż dla modulatora pierwszego rzędu. Jak należy przypuszczać, w zakresie

najwolniejszych zmian nachylenia przebiegu sygnału wejściowego modulatora, średnie

wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora będą określone najdokładniej.

Potwierdzeniem tego przypuszczenia jest przebieg wartości NBMmean

przedstawiony na

Rys. 7.2. Wartość NBMmean obliczona w zakresach zmienności numerycznie wyznaczonej

pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora

SD pierwszego i drugiego rzędu.



68

rysunku 7.3, gdzie wartości NBMmean obliczone w zakresach wokół przejścia przez wartość

zerową są najmniejsze.

Rozważania dotyczące zmian wartości NBMmean w funkcji parametrów sygnału

wejściowego modulatora mają bezpośredni związek z wpływem tych samych parametrów

sygnału wejściowego na zmiany wartości NBMPrms modulatora. Wartości NBMPrms są

obliczane w takich samych zakresach zmienności parametrów sygnału wejściowego

modulatora, jak w analizach zmian wartości NBMmean przedstawionych wcześniej.

Na rysunku 7.4 przedstawiono moc sygnału NBM w zakresach zmienności amplitudy

sygnału wejściowego modulatora. Można zauważyć, że w okolicach przejścia przez wartość

zerową, czyli środka zakresu rekwantyzatora, moc sygnału NBM przyjmuje większe wartości.

Jest to spowodowane tym, że amplitudy sygnału wejściowego modulatora są wtedy

najbardziej oddalone od każdego z dwóch poziomów kwantowania rekwantyzatora. Jak

wspomniano wcześniej, im wyższy będzie rząd filtru kształtowania widma błędu

rekwantyzacji modulatora, tym niższy będzie średni poziom mocy sygnału NBM, który dla

modulatora pierwszego rzędu przyjmuje wartość ok. 59 dB, natomiast dla modulatora

drugiego rzędu wartość ok. 75 dB. Jak można zauważyć na rysunku 7.4, w modulatorze

drugiego i wyższych rzędów może dojść do przesterowania rekwantyzatora, co skutkuje


drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD




69

wyraźnym podniesieniem poziomu mocy sygnału NBM dla zakresów większych amplitud

sygnału wejściowego.

Szybkość zmian sygnału wejściowego, tak samo jak szybkość zmian jego nachylenia,

mają wpływ na wartość mocy sygnału NBM modulatora. Na rysunkach 7.5

i 7.6 można zauważyć, że modulator pierwszego rzędu charakteryzuje się większą mocą

sygnału NBM dla zakresów zmian numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej

Rys. 7.5. Wartość NBMPrms obliczona w zakresach zmienności numerycznie wyznaczonej


SD pierwszego i drugiego rzędu.

Rys. 7.4. Wartość NBMPrms obliczona w zakresach zmienności amplitudy sygnału

wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego

rzędu.



70

w okolicy przejścia przez wartość zerową. Natomiast moc sygnału NBM dla modulatora

drugiego rzędu w tych zakresach jest minimalna. Może to być spowodowane tym, że

modulator drugiego rzędu skuteczniej rozprasza błędy wynikające z niedokładności

określenia wartości próbek na wyjściu modulatora. W przypadku modulatora pierwszego

i drugiego rzędu można zaobserwować wzrost wartości mocy sygnału NBM dla coraz

szybszych zmian w sygnale wejściowym i coraz szybszych zmian nachylenia sygnału

wejściowego. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, może to wynikać z faktu, że

modulator nie nadąża za szybkimi zmianami w sygnale wejściowym. Wahania wartości mocy

sygnału NBM w funkcji numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej zawierają

się między wartościami 53 dB i 47 dB dla modulatora pierwszego rzędu oraz

wartościami 73 dB i 63 dB dla modulatora drugiego rzędu. Należy przypomnieć, że

charakter tych zmian będzie różny dla innych parametrów filtru kształtowania widma błędu

rekwantyzacji, liczby poziomów rekwantyzatora oraz innych parametrów sygnału

wejściowego modulatora.

W analizie klasycznej cyfrowego modulatora SD mającego strukturę LSB's

error-feedback przyjmuje się założenie, zgodnie z równaniem (6.1), że funkcja przenoszenia

modulatora dla sygnału jest równa jedności, tj. działanie modulatora ma wpływ jedynie na

błąd rekwantyzacji przetwarzany w pętli sprzężenia zwrotnego. W konsekwencji, modelując

funkcję STF modulatora za pomocą transmitancji opisanej zależnością (6.2), współczynniki






71

w liczniku i mianowniku funkcji STF powinny być równe sobie, tj. 22 ab ,

11 ab i 00 ab .

Krótkoczasowa analiza modulatora SD pokazuje jednak, że wartości współczynników

transmitancji różnią się i zależą od parametrów sygnału wejściowego modulatora. Na

kolejnych rysunkach przedstawione są względne, znormalizowane do wartości maksymalnej

różnice pomiędzy współczynnikami transmitancji 2b i

2a , 1b i

1a oraz 0b i 0a .

Współczynniki wyznaczane są za pomocą procedury NWSTF (porównaj dodatek B) w takich

samych zakresach zmienności parametrów sygnału wejściowego modulatora jak

w poprzednich analizach wartości NBMmean i NBMPrms .

Jak można zauważyć na rysunku 7.7, zmiany wartości współczynników w liczniku

i mianowniku funkcji STF modulatora w zależności od amplitudy sygnału wejściowego

jednobitowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu są podobne. Jednak względna

różnica par współczynników jest mniejsza dla modulatora drugiego rzędu. W konsekwencji,

wartości próbek na wyjściu modulatora mogą być określone z większą dokładnością.

Charakterystyczne są większe wartości względnej wartości różnicy współczynników funkcji

STF modulatora dla amplitud sygnału wejściowego w okolicy zakresu przejścia przez wartość

zerową, co powoduje zwiększenie mocy sygnału NBM w tych zakresach.

Na rysunku 7.8 jest przedstawiona zależność funkcji STF modulatora od szybkości

zmian sygnału wejściowego. Jak można zauważyć, wartości względnej różnicy

współczynników funkcji STF modulatora są kilkakrotnie mniejsze niż na rysunku 7.7, co

sugeruje, iż szybkość zmian sygnału wejściowego ma mniejszy wpływ na działanie

modulatora niż amplituda sygnału. Potwierdzeniem tego wniosku mogą być wartości mocy

Rys. 7.7. Względne, znormalizowane do wartości maksymalnej różnice par współczynników

modelowej funkcji STF modulatora obliczone w zakresach zmienności amplitudy

sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego

i drugiego rzędu.



72

sygnału NBM modulatora wykreślone na rysunkach 7.4 i 7.5. Należy podkreślić, że względne

różnice wartości współczynników 0b i 0a funkcji STF modulatora są większe niż dla

modulatora pierwszego rzędu, co może mieć związek z konkretną realizacją filtru pętli

w modulatorze. Jak można zauważyć na rysunku 7.9, podobny wpływ na współczynniki

funkcji STF modulatora ma szybkość zmian nachylenia sygnału wejściowego.

7.1.2. Dither’owane modulatory niskiego rzędu

Kolejną grupą analizowanych modulatorów są jednobitowe, cyfrowe modulatory SD

pierwszego i drugiego rzędu z sygnałem dither’a dodawanym do sygnału wejściowego przed


modelowej funkcji STF modulatora obliczone w zakresach zmienności numerycznie

wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego

modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu.



wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego



Jednobitowe, dither'owane modulatory SD niskiego rzędu

73

operacją rekwantyzacji. W niniejszej rozprawie amplituda sygnału dither’a jest dobierana na

podstawie dwóch kryteriów: stabilnej pracy modulatora przy podaniu do jego wejścia sygnału

o amplitudzie 0,5 pełnego zakresu zmiennoprzecinkowej reprezentacji liczbowej próbek

sygnału oraz braku zauważalnych zniekształceń nieliniowych w widmie sygnału wyjściowego

modulatora. W ten sposób określono amplitudę sygnału dither’a dla modulatorów

z jednobitowym rekwantyzatorem jako równą 0,125∙LSB. Wykorzystywany sygnał dither'a

ma funkcję trójkątną rozkładu gęstości prawdopodobieństwa (TPDF).

Na rysunku 7.10 można zauważyć, że zmiany wartości NBMmean w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego dither'owanych modulatorów pierwszego i drugiego rzędu są podobne

do tych samych zmian wartości NBMmean przedstawionych na rysunku 7.1. Jednak dla

modulatora drugiego rzędu zakres zmian wartości NBMmean jest o rząd wielkości mniejszy.

Jest to spowodowane tym, że sygnał dither'a dodawany do sygnału wejściowego modulatora

przed operacją rekwantyzacji skuteczniej rozprasza błąd rekwantyzacji w modulatorze

poprzez częściową jego dekorelację z sygnałem wejściowym modulatora. Dodanie sygnału

dither'a o większej amplitudzie może dalej obniżyć wartości NBMmean , ale kosztem

znaczącego zmniejszenia zakresu amplitud sygnału wejściowego korzystnie wpływającego na

stabilną pracę modulatora.


wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD pierwszego

i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF.



74

Wpływ szybkości zmian sygnału wejściowego dither'owanych modulatorów na

wartości NBMmean jest podobny, jak w przypadku modulatorów pierwszego i drugiego rzędu

bez dodania sygnału dither'a do sygnału wejściowego modulatora przed operacją

rekwantyzacji. Porównując rysunek 7.11 z rysunkiem 7.2 można zauważyć, że sygnał dither'a

nie wpływa na zakres zmian wartości NBMmean w modulatorach pierwszego rzędu, natomiast

dla modulatora drugiego rzędu dodanie sygnału dither'a spowodowało nieznaczne

zmniejszenie zakresu zmian wartości NBMmean . Charakter zmian pozostał jednak taki sam dla

wszystkich zakresów zmienności numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału.

Dodanie sygnału dither'a do sygnału wejściowego modulatora przed operacją

rekwantyzacji ma największy wpływ na zmiany wartości NBMmean w funkcji numerycznie

wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego dla modulatora pierwszego rzędu. Jak

można zauważyć na rysunku 7.12, wartości NBMmean są o rząd wielkości mniejsze niż dla

modulatora pierwszego rzędu bez dodania sygnału dither'a (porównaj rysunek 7.3). Ponadto

zmienił się znak wartości NBMmean , co może mieć związek z przesterowywaniem

rekwantyzatora w inny sposób z uwagi na dodatkowy sygnał dither'a dodawany do sygnału

wejściowego modulatora. Natomiast dla modulatora drugiego rzędu dodanie sygnału dither'a


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, dither'owanego

cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a

równą 0,125 i funkcją TPDF.



75

nieznacznie zmniejszyło wartości NBMmean pozostawiając niezmieniony charakter zmian

wartości NBMmean .

Na rysunku 7.13 przedstawiono wartości mocy sygnału NBM w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego. Porównując rysunek 7.4 i rysunek 7.13 można zauważyć, że dodanie

Rys. 7.13. Wartość NBMPrms

obliczona w zakresach zmienności amplitudy sygnału

wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD pierwszego



drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego

modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą

0,125 i funkcją TPDF.



76

sygnału dither'a do sygnału wejściowego modulatora przed operacją rekwantyzacji wpłynęło

na zmniejszenie fluktuacji wartości mocy sygnału NBM, tj. o ok. 10 dB dla modulatora

pierwszego rzędu i ok. 12 dB dla modulatora drugiego rzędu. Ponadto dla modulatora

drugiego rzędu poziom mocy sygnału NBM utrzymuje wartość ok. -75 dB dla szerszego

zakresu amplitud sygnału wejściowego w okolicy przejścia przez wartość zerową.

W przypadku modulatora pierwszego rzędu można zauważyć wygładzenie przebiegu wartości

mocy sygnału NBM w zakresach większych amplitud sygnału wejściowego. Jest to

spowodowane częściową dekorelacją błędu rekwantyzacji i sygnału wejściowego modulatora.

Wartości mocy sygnału NBM w zależności od szybkości zmian sygnału wejściowego

z dodatkowym sygnałem dither'a dodawanym do sygnału wejściowego przed operacją

rekwantyzacji zmieniają się w kilkakrotnie mniejszym zakresie niż dla modulatorów bez

sygnału dither'a. Porównując rysunek 7.14 i rysunek 7.5 można zauważyć, że charakter zmian

mocy sygnału NBM pozostał taki sam, ale te zmiany występują w znacznie mniejszym

zakresie. Ponadto dla dither'owanego modulatora pierwszego rzędu moc sygnału NBM jest

mniejsza dla najwolniejszych zmian sygnału wejściowego.

Wpływ szybkości zmian nachylenia sygnału wejściowego na moc sygnału NBM

dither'owanych modulatorów pierwszego i drugiego rzędu przyjmuje inne wartości niż

w przypadku modulatorów bez sygnału dither'a. Porównując rysunek 7.15 i rysunek 7.6

można zauważyć, że poziom mocy sygnału NBM jest niższy i zmienia się w mniejszym



cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a




77

zakresie wartości dla dither'owanych modulatorów, przy czym wartości mocy sygnału NBM

są mniejsze dla dither'owanego modulatora pierwszego rzędu w mniejszym zakresie

szybkości zmian nachylenia sygnału wejściowego.

Zmiany wartości współczynników w liczniku i mianowniku funkcji STF modulatora są

przedstawione na rysunkach 7.16-7.18. Jak można przypuszczać, dodanie sygnału dither'a do

sygnału wejściowego modulatora przed operacją rekwantyzacji zmniejszy różnice

w wartościach współczynników funkcji STF. W konsekwencji modulator w mniejszym

stopniu będzie wpływał na zależności amplitudowo-fazowe w sygnale wejściowym. Jak



sygnału wejściowego jednobitowego, dither’owanego cyfrowego modulatora SD

pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF.


drugiej sygnału wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora

SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją

TPDF.



78

można zauważyć na rysunkach 7.16-7.18, funkcja STF zależy od parametrów sygnału

wejściowego dither'owanego modulatora, ale wartości względnych różnic współczynników

funkcji STF są mniejsze niż dla modulatora bez dodatkowego sygnału dither'a (porównaj

rysunki 7.7-7.9). Należy zwrócić uwagę na to, że szybkość zmian sygnału wejściowego

modulatorów i szybkość zmian jego nachylenia wpływają na współczynniki 2b ,

2a oraz 0b ,

0a funkcji STF w podobny sposób we wszystkich zakresach zmian parametrów sygnału

wejściowego.



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego,

dither’owanego cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą

dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF.



wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego,




Jednobitowe modulatory SD wysokiego rzędu

79

7.1.3. Modulatory wysokiego rzędu

W niniejszej rozprawie modulatorami wysokiego rzędu są określane modulatory

z filtrem trzeciego, piątego i siódmego rzędu kształtowania widma błędu rekwantyzacji.

Funkcje NTF modulatorów są przedstawione na rysunku 6.5, przy czym wykorzystywana

w symulacjach funkcja NTF siódmego rzędu to funkcja zoptymalizowana pod względem

właściwości ludzkiego słuchu (zaprojektowana na podstawie opisu w pracy [75]).

Zgodnie z rozważaniami z podrozdziału 7.1.1, jednobitowe modulatory wysokich

rzędów będą charakteryzować się podobnymi przebiegami wartości NBMmean w funkcji

amplitudy sygnału wejściowego modulatora jak modulatory niskich rzędów z tą różnicą, że

wartości NBMmean będą się zmieniać na niższym poziomie. Jak można zauważyć na rysunku

7.19, bezwzględne wartości NBMmean są najmniejsze dla środka zakresu jednobitowego

rekwantyzatora i największe dla poziomów amplitudy bliższych maksymalnym poziomom

rekwantyzatora. Im wyższy będzie rząd modulatora, tym dokładniej będą określane średnie

wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora. W konsekwencji, wartości NBMmean

mieszczą się w zakresach 6103

, 7

101,5

i 8102,5

odpowiednio dla modulatorów

trzeciego, piątego i siódmego rzędu. Natomiast dla modulatora pierwszego rzędu wartości

NBMmean zawierały się w zakresie 4103

(porównaj rysunek 7.1).


wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu.



80

Podobnie jak w przypadku modulatorów niskiego rzędu zmieniają się wartości

NBMmean w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego. Jak można zauważyć na rysunku

7.20, im szybsze są zmiany przebiegu sygnału wejściowego, tym mniej dokładnie określone

są średnie wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora, czyli bezwzględne wartości

NBMmean są większe. Natomiast dla wolnych zmian przebiegu sygnału wejściowego

modulatora wartości NBMmean są najmniejsze, ponieważ modulator w dłuższym czasie i tym

samym dokładniej określa średnie wartości próbek na wyjściu. Ponadto im wyższy jest rząd

modulatora, tym jest skuteczniejsza redystrybucja widma błędu rekwantyzacji w modulatorze

do pasma ponadpodstawowego. Wartości NBMmean zawierają się w zakresach 4101

,

6106,5

i 8

102

odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego i siódmego rzędu.

Natomiast dla modulatora pierwszego rzędu wartości NBMmean mieściły się w zakresie

3103

(porównaj rysunek 7.2). Należy zaznaczyć, że wpływ szybkości zmian sygnału

wejściowego modulatora siódmego rzędu ma inny charakter niż dla modulatorów trzeciego

i piątego rzędu. Może to być spowodowane tym, że w przypadku modulatora siódmego rzędu

został zastosowany inny sposób projektowania funkcji NTF modulatora [75].

Wpływ szybkości zmiany nachylenia sygnału wejściowego modulatora na wartości

NBMmean jest przedstawiony na rysunku 7.21. Można zauważyć, że podobnie jak

w przypadku modulatorów niskiego rzędu, im bardziej wklęsły lub wypukły jest przebieg



SD 3, 5 i 7 rzędu.



81

sygnału wejściowego modulatora, tym większe są bezwzględne wartości NBMmean . Należy

zaznaczyć, że w przypadku modulatorów piątego i siódmego rzędu wpływ numerycznie

wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego modulatora jest podobny. Ponownie

może mieć to związek z konkretną realizacją filtru w pętli sprzężenia zwrotnego modulatora.

Można zatem stwierdzić, że funkcja NTF siódmego rzędu zaprojektowana zgodnie z [75]

skuteczniej niż funkcja NTF piątego rzędu rozprasza błędy w sygnale wyjściowym, przy

podaniu do wejścia modulatorów sygnału muzyki.

Rozważania dotyczące wpływu parametrów sygnału wejściowego na wartości mocy

sygnału NBM z podrozdziału 7.1.1 można wykorzystać do wyjaśnienia krótkoczasowych

właściwości modulatorów wyższych rzędów. Na rysunku 7.22 można zauważyć podobny

charakter zmian wartości mocy sygnału NBM w funkcji amplitudy sygnału wejściowego

modulatora, jak w przypadku przedstawionym na rysunku 7.4 dla modulatora drugiego rzędu.

Należy jednak zaznaczyć, że im wyższy będzie rząd modulatora, tym szybciej przy

mniejszych amplitudach sygnału wejściowego może dojść do przesterowania rekwantyzatora,

co można zauważyć porównując rysunki 7.4 i 7.22. Z drugiej strony, im wyższy jest rząd

modulatora tym jest skuteczniejsze kształtowanie widma błędu rekwantyzacji modulatora

i niższy jest poziom mocy sygnału NBM. Zawiera się on w zakresach od -95,5 dB do -92 dB

dla modulatora trzeciego rzędu, od -123 dB do -118 dB dla modulatora piątego rzędu oraz od

-135 dB do -133 dB dla modulatora siódmego rzędu. Natomiast dla modulatora drugiego


drugiej pochodnej wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7

rzędu.



82

rzędu wartości mocy sygnału NBM są zawarte w granicach od -75 dB do -59 dB. Można

zatem stwierdzić, że oprócz obniżenia średniego poziomu mocy sygnału NBM

w modulatorach wysokiego rzędu, to również wahania mocy sygnału NBM w zależności od

amplitudy sygnału wejściowego modulatora są duże mniejsze.

Na rysunkach 7.23 i 7.24 można zauważyć, że im wolniejsze są zmiany sygnału i im

wolniejsze są zmiany nachylenia sygnału wejściowego modulatora, tym mniejsze są wartości



SD 3, 5 i 7 rzędu.


wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu.



83

mocy sygnału NBM. Zakres zmian wartości mocy sygnału NBM w funkcji szybkości zmian

sygnału wejściowego modulatora zawiera się w zakresach od -95,5 dB do -80 dB dla

modulatora trzeciego rzędu, od -124 dB do -104 dB dla modulatora piątego rzędu oraz od

-135 dB do -129,5 dB dla modulatora siódmego rzędu. Natomiast zakres zmian wartości

mocy sygnału NBM w funkcji szybkości zmian nachylenia sygnału wejściowego modulatora

zawiera się w zakresach od -95 dB do -87 dB dla modulatora trzeciego rzędu, od -123 dB do

-112 dB dla modulatora piątego rzędu oraz od -135 dB do -129,5 dB dla modulatora

siódmego rzędu. Można zatem stwierdzić, że szybkość zmian sygnału wejściowego ma

największy wpływ na wartości mocy sygnału NBM niż szybkości zmian nachylenia sygnału.



sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu.



3, 5 i 7 rzędu.



84

Wpływ parametrów sygnału wejściowego modulatora na współczynniki funkcji STF

modulatora jest przedstawiony na rysunkach 7.25-7.27 (w celu zwiększenia czytelności

wykresów nie wykreślono wyników dla modulatora trzeciego rzędu). Im większy jest rząd

modulatora, tym filtr w pętli sprzężenia modulatora skuteczniej kształtuje błąd rekwantyzacji.

W konsekwencji błąd rekwantyzacji ma coraz mniejszy wpływ na ustalenie wartości próbek

sygnału wyjściowego modulatora, które mogą być określone z większą dokładnością. Zatem

względne różnice wartości współczynników funkcji STF modulatora są coraz mniejsze.

Potwierdzeniem tych rozważań są rysunki 7.25-7.27, na których można zauważyć, że

względne różnice wartości współczynników są o ok. 3 rzędy wielkości mniejsze niż dla

modulatora drugiego rzędu (porównaj rysunki 7.7-7.9). Należy zaznaczyć, że dla modulatora



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego

modulatora SD 5 i 7 rzędu.



wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego, cyfrowego




85

siódmego rzędu rozkład wartości względnych różnic współczynników jest bardziej

równomierny bez względu na zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego. Nie

zmienia to jednak faktu, że rozkład ten nie jest stały i równy jedności, co zakłada liniowy

model modulatora.

7.1.4. Dither’owane modulatory wysokiego rzędu

Kolejną grupą analizowanych modulatorów są jednobitowe, cyfrowe modulatory SD

trzeciego, piątego i siódmego rzędu z sygnałem dither’a dodawanym do sygnału wejściowego

przed operacją rekwantyzacji. Amplituda sygnału dither’a jest dobierana na podstawie takich

samych kryteriów jak w podrozdziale 7.1.2. W ten sposób określono amplitudę sygnału

dither’a dla modulatorów trzeciego i siódmego rzędu z jednobitowym rekwantyzatorem jako

równą 0,125∙LSB, a dla modulatora piątego rzędu jako równą 0,124∙LSB. Wykorzystywany

sygnał dither'a ma funkcję trójkątną rozkładu gęstości prawdopodobieństwa (TPDF).

Spodziewany efekt dodania sygnału dither'a do sygnału wejściowego jednobitowych

modulatorów wysokiego rzędu powinien być taki sam, jak dla jednobitowych modulatorów

niskich rzędów, tj. krótkoczasowe właściwości modulatorów będą w mniejszym stopniu

zależne od parametrów sygnału wejściowego modulatorów. Na rysunku 7.28 można

zauważyć jak zmieniają się wartości NBMmean w funkcji amplitudy sygnału wejściowego


wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 3 i 7 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124 i funkcją TPDF.



86

modulatora. W porównaniu z rysunkiem 7.19 zakres zmienności wartości NBMmean uległ

nieznacznemu zmniejszeniu, przy czym efekt ten jest najbardziej zauważalny dla zakresów

małych amplitud sygnału wejściowego (zakresy w okolicy przejścia przez wartość zerową).

Należy zauważyć, że w przypadku modulatorów wysokiego rzędu dodanie sygnału dither'a do

sygnału wejściowego modulatora przed operacją rekwantyzacji nie daje tak znaczącej

częściowej dekorelacji błędu rekwantyzacji z sygnałem wejściowym, jak w przypadku

modulatorów niskich rzędów. Może to być spowodowane tym, że stosunek amplitudy dither'a

do średniego poziomu sygnału NBM jest inny dla modulatorów wysokiego i niskiego rzędu.

Wpływ dodatkowego sygnału dither'a na wartości NBMmean w zależności od szybkości

zmian sygnału wejściowego modulatorów wysokiego rzędu jest przedstawiony na rysunku

7.29. Porównując ten rysunek z rysunkiem 7.20 można zauważyć, że najbardziej istotnej

zmianie uległy wartości NBMmean w przypadku modulatora trzeciego rzędu. Dla modulatorów

piątego i siódmego rzędu charakter zmian wartości NBMmean pozostał taki sam, ale

nieznacznemu zmniejszeniu uległy wartości NBMmean w okolicy najwolniejszych zmian

sygnału wejściowego. Dodatkowy sygnał dither'a, tak samo jak dla modulatorów niskiego

rzędu, powoduje częściową dekorelację błędu rekwantyzacji z sygnałem wejściowym

modulatorów.



cyfrowego modulatora SD 3 i 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125

i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124

i funkcją TPDF.


Jednobitowe, dither'owane modulatory SD wysokiego rzędu

87

Dodanie sygnału dither'a do sygnału wejściowego modulatora przed operacją

rekwantyzacji ma - jak poprzednio - największy wpływ na parametry modulatora trzeciego

rzędu. Na rysunku 7.30 można zauważyć, że wartości NBMmean są mniejsze o rząd wielkości

w porównaniu z wynikami uzyskanymi dla modulatora trzeciego rzędu bez dodatkowego

sygnału dither'a (porównaj rysunek 7.21). Ponadto w przypadku modulatora siódmego rzędu

zmienił się znak wartości NBMmean , co może mieć związek z przesterowywaniem

rekwantyzatora jednobitowego.

Rysunek 7.31 przedstawia, w jaki sposób zmienia się moc sygnału NBM w zależności

od amplitudy sygnału wejściowego modulatorów. Można zauważyć, że w porównaniu

z rysunkiem 7.22 poziom mocy sygnału NBM dither'owanych modulatorów wysokiego rzędu

podniósł się o ok. 2 dB. Natomiast zmniejszyły się fluktuacje wartości mocy sygnału NBM,

tj. o 2 dB, 3 dB i 0.5 dB w przypadku odpowiednio modulatorów trzeciego, piątego

i siódmego rzędu. Ponadto dodanie sygnału dither'a na tyle rozproszyło błąd rekwantyzacji

w filtrze pętli, że w okolicach zakresu przejścia przez wartość zerową amplitud sygnału

wejściowego nie występuje charakterystyczny pik wartości mocy sygnału NBM (porównaj

rysunek 7.22).



modulatora SD 3 i 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF

oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124 i funkcją TPDF.



88

Moc sygnału NBM w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego modulatorów

i szybkości zmian jego nachylenia dla dither'owanych modulatorów waha się w mniejszym

zakresie wartości niż w przypadku modulatorów bez dodatkowego sygnału dither'a.



cyfrowego modulatora SD 3 i 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125

i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124

i funkcją TPDF.


wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 3 i 7 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124 i funkcją TPDF.



89

W porównaniu z mocą sygnału NBM wykreśloną w funkcji numerycznie wyznaczonej

pierwszej pochodnej sygnału wejściowego (porównaj rysunek 7.23), fluktuacje wartości mocy

sygnału NBM są o 6 dB, 5 dB i 2 dB mniejsze odpowiednio dla dither'owanych modulatorów

trzeciego, piątego i siódmego rzędu, co można zauważyć na rysunku 7.32. Natomiast na

rysunku 7.33 można zauważyć, że fluktuacje wartości mocy sygnału NBM w funkcji

numerycznie wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego są o 7 dB, 4 dB i 3 dB

mniejsze dla dither'owanych modulatorów odpowiednio trzeciego, piątego i siódmego rzędu

w porównaniu z modulatorami bez dodatkowego sygnału dither'a (porównaj rysunek 7.24).

Należy zaznaczyć, że im jest wyższy rząd modulatora, tym jest mniejsza poprawa

krótkoczasowych właściwości modulatorów w funkcji parametrów sygnału wejściowego.

Brak jest też zauważalnej różnicy w charakterze zmian mocy sygnału NBM dla modulatorów

wysokiego rzędu bez sygnału dither'a i z dodatkowym sygnałem dither'a.

Wpływ parametrów sygnału wejściowego modulatora na współczynniki funkcji STF

modulatora jest przedstawiony na rysunkach 7.34-7.36 (w celu zwiększenia czytelności

wykresów ponownie nie wykreślono wyników dla modulatora trzeciego rzędu). Jak można

zauważyć, względne różnice wartości współczynników funkcji STF dither'owanych

modulatorów mają bardzo podobny rozkład w porównaniu z modulatorami bez dodatkowego

sygnału dither'a (porównaj rysunkach 7.25-7.27).




oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124 i funkcją TPDF.



90



wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego,

dither'owanego cyfrowego modulatora SD 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a

równą 0,125 i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a




sygnału wejściowego jednobitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 3

i 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,125 i funkcją TPDF oraz modulatora

5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,124 i funkcją TPDF.



91

7.2. Kilkubitowe modulatory SD

7.2.1. Modulatory niskiego rzędu

W niniejszej rozprawie kilkubitowymi modulatorami są określane modulatory

z 5-bitowym rekwantyzatorem, tj. mającym 31 poziomów kwantowania (bez dodatkowego

poziomu w zerze). Podobnie, jak w przypadku analizy jednobitowych modulatorów niskiego

rzędu, w analizach kilkubitowych modulatorów będą rozpatrywane modulatory z filtrem

pierwszego i drugiego rzędu kształtowania widma błędu rekwantyzacji w pętli sprzężenia

zwrotnego modulatora o funkcjach NTF przedstawionych na rysunku 6.5. W celu zachowania

porównywalnych warunków symulacji i analiz modulatorów jednobitowych i kilkubitowych,

zakresy zmienności parametrów sygnału wejściowego zostały podzielone w taki sam sposób

jak w podrozdziale 7.1.

Sygnał wyjściowy modulatora z 5-bitowym rekwantyzatorem bez dodatkowego

poziomu kwantowania w zerze może przyjmować 31 wartości, czyli jest podzielony na 31

przedziałów kwantowania. Dlatego też średnie wartości próbek sygnału wyjściowego

modulatora będą dokładniej określone dla zakresów amplitud sygnału wejściowego

oscylujących wokół środka oraz na granicach każdego z 31 przedziałów kwantowania

rekwantyzatora. Natomiast im amplituda sygnału wejściowego będzie bardziej zbliżona do

granicznych wartości sąsiednich przedziałów kwantowania, tym mniej dokładnie będą



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego jednobitowego,

dither'owanego cyfrowego modulatora SD 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a

równą 0,125 i funkcją TPDF oraz modulatora 5 rzędu z amplitudą sygnału dither'a




92

określone średnie wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora. Na rysunku 7.37 są

przedstawione wartości NBMmean w funkcji amplitudy sygnału wejściowego modulatora.

Każdy przedział kwantowania rekwantyzatora odpowiada liczbie 9 zakresów zmienności

amplitudy, na jakie podzielony jest sygnał wejściowy modulatora. Podział ten jest wykonany

w taki sposób, że środkowy przedział kwantowania rekwantyzatora (wokół poziomu

zerowego) odpowiada zakresom amplitudy sygnału wejściowego o numerach od 61 do 70 na

rysunku 7.37. Jak można zauważyć, wartości NBMmean są najmniejsze dla środka każdego

z przedziałów kwantowania (odpowiadających konkretnym zakresom zmienności amplitudy

sygnału wejściowego) rekwantyzatora oraz dla granicznych wartości przedziałów

kwantowania. Natomiast bezwzględne wartości NBMmean są tym większe, im wartości

amplitudy sygnału wejściowego modulatora są bliższe granicznym wartościom poziomów

kwantowania rekwantyzatora. Należy zaznaczyć, że dla większych bezwzględnych wartości

amplitud sygnału wejściowego modulatora drugiego rzędu, wartości NBMmean są również

większe, co może być spowodowane przesterowywaniem rekwantyzatora. Natomiast zakres

zmian wartości NBMmean wynosi ok. 5106

w porównaniu z wartościami 4

103

i 3101

dla jednobitowych modulatorów pierwszego i drugiego rzędu.

Rozważania na temat wpływu szybkości zmian sygnału wejściowego modulatora na

wartości NBMmean przedstawione w podrozdziale 7.1 dla jednobitowych modulatorów


wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu.


Kilkubitowe modulatory SD niskiego rzędu

93

dotyczą również modulatorów z kilkubitowym rekwantyzatorem. Ponieważ - jak

wspomniano - modulator jest układem z filtrem kształtowania widma błędu rekwantyzacji

w pętli sprzężenia zwrotnego, więc niezależnie od liczby poziomów kwantowania

w rekwantyzatorze sygnał wyjściowy modulatora może nie nadążać za szybkimi zmianami

sygnału wejściowego modulatora. W konsekwencji bezwzględne wartości NBMmean będą

większe dla większych bezwzględnych wartości numerycznie wyznaczonej pierwszej

pochodnej sygnału wejściowego modulatora. Natomiast dla najwolniejszych zmian sygnału

wartości NBMmean będą najmniejsze. Na rysunku 7.38 można zauważyć, że dla zakresów

zmienności numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego modulatora

w okolicach przejścia przez wartość zerową wartości NBMmean są najmniejsze, a dla coraz

szybszych zmian sygnału wejściowego bezwzględne wartości NBMmean są coraz większe.

Porównując rysunek 7.38 z rysunkiem 7.2 można zauważyć, że zwiększenie liczby poziomów

kwantowania rekwantyzatora przy zachowaniu takich samych parametrów filtru pierwszego

i drugiego rzędu kształtowania widma błędu rekwantyzacji nie wpływa w znaczący sposób na

zakres zmian wartości NBMmean .

W przypadku zmian wartości NBMmean w funkcji numerycznie wyznaczonej drugiej

pochodnej sygnału, zwiększenie liczby poziomów kwantowania rekwantyzatora ma większy

wpływ na wartości NBMmean . Porównując rysunki 7.39 i 7.3 można zauważyć, że charakter


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD




94

zmian wartości NBMmean jest podobny, ale wartości NBMmean dla kilkubitowego modulatora

zmniejszyły się o rząd wielkości.

Na rysunku 7.40 można zauważyć, w jaki sposób zmienia się moc sygnału NBM

w zależności od amplitudy sygnału wejściowego modulatora. Jak wspomniano wcześniej,

zakresy amplitud o numerach od 61 do 70 odpowiadają środkowemu przedziałowi

kwantowania 5-bitowego rekwantyzatora, a zakresy o numerach od 52 do 61 i od 70 do 79


wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu.


drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD




95

odpowiadają przedziałom kwantowania wokół przedziału środkowego. Jak można zauważyć

na rysunku 7.40, w każdym z trzech wspomnianych przedziałów kwantowania

rekwantyzatora wartości mocy sygnału NBM będą większe bliżej granicy każdego

z przedziałów i mniejsze w okolicach środka każdego z przedziałów kwantowania. Należy

zaznaczyć, że wpływ amplitudy sygnału wejściowego modulatora na moc sygnału NBM

będzie zależny od rzędu filtru pętli modulatora oraz parametrów filtru. Dlatego też na rysunku

7.40 maksima i minima wartości mocy sygnału NBM dla modulatora drugiego rzędu

występują w innych zakresach amplitud sygnału wejściowego modulatora niż dla modulatora

pierwszego rzędu. Moc sygnału NBM dla modulatora pierwszego rzędu zmienia się

w zakresie wartości od -76 dB do -65 dB oraz od -98 dB do -83 dB dla modulatora drugiego

rzędu.

Wpływ zmienności numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej sygnału

wejściowego modulatora na moc sygnału NBM jest przedstawiony na rysunkach 7.41 i 7.42.

Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, im wolniejsze są zmiany sygnału wejściowego

i wolniejsze są zmiany jego nachylenia, tym mniejsza będzie moc sygnału NBM, co jest

potwierdzone na rysunkach 7.41 7.42. Należy zaznaczyć, że zastosowanie

5-bitowego rekwantyzatora nie spowodowało znaczącego zmniejszenia wartości mocy

sygnału NBM dla najszybszych zmian przebiegu sygnału wejściowego modulatora

pierwszego rzędu (porównaj rysunki 7.41 i 7.5). Natomiast znaczącemu zmniejszeniu uległy


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD




96

wartości mocy sygnału NBM dla coraz wolniejszych zmian przebiegu sygnału wejściowego

modulatora.

Na rysunkach 7.43-7.45 jest przedstawiony wpływ parametrów sygnału wejściowego

modulatora na względne różnice wartości współczynników licznika i mianownika funkcji

STF modulatora. W porównaniu z wynikami przedstawionymi na rysunkach 7.7-7.9 dla

jednobitowego modulatora, można zauważyć, że zwiększenie liczby poziomów



sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego

rzędu.


drugiej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD pierwszego

i drugiego rzędu.



97

rekwantyzatora umożliwiło zmniejszenie względnych różnic wszystkich par współczynników

licznika i mianownika funkcji STF w zakresach zmienności parametrów sygnału wejściowego

modulatora. W konsekwencji modulator w mniejszym stopniu wpływa na zależności

amplitudowo-fazowe w sygnale wejściowym. Należy zaznaczyć, że tak samo jak

w przypadku jednobitowego modulatora, względne różnice wartości współczynników

w liczniku i mianowniku funkcji STF modulatora są większe dla środkowego zakresu

rekwantyzatora, przy czym są one różne dla modulatora pierwszego i drugiego rzędu. Ponadto

można zauważyć, że najmniej znacząca poprawa względnych różnic współczynników funkcji

STF występuje dla współczynników 1b i

1a , które zgodnie z zależnością (6.3) określają

wpływ pierwszej pochodnej sygnału wejściowego i wyjściowego modulatora na funkcję STF



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego




wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego




98

modulatora. Zatem zwiększenie liczby poziomów kwantowania rekwantyzatora

w modulatorach z filtrami kształtowania widma błędu rekwantyzacji o takich samych

parametrach nie poprawia w znaczący sposób krótkoczasowych właściwości modulatorów

przede wszystkim w funkcji zmian szybkości sygnału wejściowego.

7.2.2. Dither’owane modulatory niskiego rzędu

Kolejną grupą analizowanych modulatorów są 5-bitowe, cyfrowe modulatory SD

pierwszego i drugiego rzędu z sygnałem dither’a dodawanym do sygnału wejściowego przed

operacją rekwantyzacji. Zgodnie z kryteriami określonymi w podrozdziale 7.1 przyjęto

amplitudę sygnału dither’a dla modulatorów z 5-bitowym rekwantyzatorem jako równą

0,4∙LSB. Wykorzystywany sygnał dither'a ma funkcję trójkątną rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa (TPDF).

Na rysunku 7.46 można zauważyć, że zmiany wartości NBMmean w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego modulatorów pierwszego i drugiego rzędu są podobne do takich samych

zmian wartości NBMmean przedstawionych na rysunku 7.37. Dodatkowy sygnał dither'a

rozprasza błędy wynikające z niedokładnej reprezentacji próbek sygnału wejściowego przez

5-bitowy rekwantyzator, częściowo dekorelując błąd rekwantyzacji z sygnałem wejściowym

modulatora. Dlatego też wartości NBMmean dither'owanych modulatorów pierwszego


wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD pierwszego



Kilkubitowe, dither'owane modulatory SD niskiego rzędu

99

i drugiego rzędu zmieniają się w mniejszych zakresach niż dla modulatorów bez

dodatkowego sygnału dither'a ( 5101,5

w porównaniu z 5

106

dla modulatora

pierwszego rzędu).

Zależność wartości NBMmean od numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej

pochodnej sygnału dither'owanych modulatorów niskich rzędów przedstawiony jest na

rysunku 7.47 i 7.48. W porównaniu z wynikami przedstawionymi na rysunku 7.38 i 7.39

można zauważyć, że dodanie sygnału dither'a zmniejszyło zakres wartości NBMmean o rząd

wielkości jednocześnie poprawiając dokładność określenia wartości próbek sygnału

wyjściowego modulatorów w okolicy najwolniejszych zmian numerycznie wyznaczonej

pierwszej i drugiej pochodnej sygnału wejściowego. Charakter zmian wartości NBMmean dla

dither'owanych modulatorów pozostał taki sam, jak dla modulatorów bez dodatkowego

sygnału dither'a, przy czym zmienił się znak wartości NBMmean modulatora pierwszego

rzędu.

Moc sygnału NBM dither'owanych modulatorów niskich rzędów z 5-bitowym

rekwantyzatorem i sygnałem dither'a o amplitudzie 0,4∙LSB w funkcji amplitudy sygnału


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego

modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,4

i funkcją TPDF.



100

wejściowego modulatora jest przedstawiona na rysunku 7.49. Można zauważyć, że dodanie

sygnału dither'a częściowo rozprasza błąd rekwantyzacji przetwarzany w pętli sprzężenia

zwrotnego modulatora, ale charakter zmian wartości mocy sygnału NBM pozostał taki sam,

jak w przypadku modulatorów bez dodatkowego sygnału dither'a (porównaj rysunek 7.40).

Zmniejszeniu natomiast uległ zakres fluktuacji wartości mocy sygnału NBM, który teraz

wynosi od -80 dB do -75,5 dB dla modulatora pierwszego rzędu i od -98,5 dB do -94 dB dla


wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD pierwszego



drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego


i funkcją TPDF.



101

modulatora drugiego rzędu. W porównaniu z wynikami przedstawionymi na rysunku 7.40,

można zauważyć, że dodanie sygnału dither'a do sygnału wejściowego modulatora

spowodowało zmniejszenie fluktuacji wartości mocy sygnału NBM o ok. 10 dB.

Na rysunkach 7.50-7.51 wykreślono wartości mocy sygnału NBM w zależności od




i funkcją TPDF.




i funkcją TPDF.



102

szybkości zmian sygnału wejściowego i szybkości zmian jego nachylenia dla dither'owanych

modulatorów niskiego rzędu. W porównaniu z modulatorami bez dodatkowego sygnału

dither'a, wartości mocy sygnału NBM zmieniają się w zakresach o 13 dB i 5 dB mniejszych

odpowiednio dla modulatora pierwszego i drugiego rzędu w funkcji szybkości zmian sygnału

wejściowego (porównaj rysunki 7.50 i 7.41) oraz o 11 dB i 1,5 dB mniejszych odpowiednio

dla modulatorów pierwszego i drugiego rzędu w funkcji szybkości zmian nachylenia sygnału

wejściowego modulatorów (porównaj rysunki 7.51 i 7.42). Ponadto dodanie sygnału dither'a

spowodowało, że moc sygnału NBM utrzymuje się na mniejszym poziomie dla szerszego

zakresu zmian wartości numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej.

Jak można zauważyć na rysunkach 7.52-7.54, względne różnice wartości

współczynników w liczniku i mianowniku funkcji STF dither'owanych modulatorów są

podobne do takich samych różnic wartości współczynników funkcji STF modulatorów bez

dodatkowego sygnału dither'a. Najbardziej znaczącej poprawie uległy wartości

współczynników 1b i

1a oraz 0b i 0a , tj. zmniejszyły się ich względne różnice. Ponadto

zależność funkcji STF od wartości amplitud sygnału wejściowego wokół przejścia przez

wartość zerową oraz najwolniejszych zmian sygnału wejściowego jest mniejsza niż dla

modulatorów bez dodatkowego sygnału dither'a (porównaj rysunki 7.43-7.45). Jednak zmiany

współczynników funkcji STF są nadal wyraźnie zależne od parametrów sygnału

wejściowego, a dodanie sygnału dither'a do sygnału wejściowego przed operacją

rekwantyzacji spowodowało jedynie zmianę rozkładu wartości współczynników funkcji STF

i nieznacznie zmniejszyło względne różnice par współczynników w liczniku i mianowniku.



sygnału wejściowego 5-bitowego, dither’owanego cyfrowego modulatora SD

pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF.



103

7.2.3. Modulatory wysokiego rzędu

Symulacje oraz analizy 5-bitowych modulatorów wysokiego rzędu są przeprowadzone

dla takiego samego sygnału wejściowego, jak w poprzednich badaniach oraz dla modulatorów

o takich samych funkcjach NTF, jak w podrozdziale 7.1.3.

Zgodnie z rozważaniami przedstawionymi na początku podrozdziału 7.2.1, średnie

wartości próbek sygnału wyjściowego 5-bitowych modulatorów będą określone dokładniej

niż w przypadku modulatorów z rekwantyzatorem przyjmującym tylko dwa poziomy na



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, dither’owanego

cyfrowego modulatora SD pierwszego i drugiego rzędu z amplitudą dither'a równą




wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego,





104

wyjściu. Ponadto w przypadku 5-bitowych modulatorów wysokiego rzędu widmo błędu

rekwantyzacji jest skuteczniej redystrybuowane do pasma ponadpodstawowego, zmniejszając

tym samym średni poziom wartości NBMmean . Natomiast charakter zmian wartości NBMmean

pozostanie taki sam jak dla 5-bitowych modulatorów niskich rzędów opisanych

w podrozdziale 7.2.1. Na rysunku 7.55 można zauważyć, w jaki sposób zmieniają się wartości

NBMmean w funkcji amplitudy sygnału wejściowego modulatora. Tak samo jak w przypadku

modulatorów niskiego rzędu, bezwzględne wartości NBMmean są najmniejsze w okolicy

środka każdego z przedziałów kwantowania rekwantyzatora oraz na granicach każdego

z przedziałów. Natomiast, im wartość amplitudy sygnału wejściowego będzie bliższa

granicznym zakresom przedziałów rekwantyzatora, tym mniej dokładnie będą określone

średnie wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora. Jak wspomniano wcześniej

charakter tych zmian będzie zależny od parametrów konkretnej realizacji filtru pętli

w sprzężeniu zwrotnym modulatora, a zakres zmian wartości NBMmean będzie mniejszy niż

dla 5-bitowych modulatorów niskich rzędów. Zakres zmian wartości NBMmean jest dwa, trzy

oraz cztery rzędy wielkości mniejszy odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego

i siódmego rzędu w porównaniu z 5-bitowymi modulatorami niskiego rzędu (porównaj

rysunki 7.55 i 7.37).

Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, rząd filtru kształtowania błędu rekwantyzacji

w pętli sprzężenia zwrotnego modulatora nie będzie miał wpływu na charakter zmian


wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu.


Kilkubitowe modulatory SD wysokiego rzędu

105

wartości NBMmean w funkcji numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej

sygnału wejściowego modulatora. Natomiast będzie miał wpływ na zakres wartości,

w których parametr NBMmean będzie się zmieniać. Jak można zauważyć na rysunku 7.56,

wartości NBMmean w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego modulatora wahają się

w granicach 5101,5

, 6

101

i 8104

odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego i


drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5

i 7 rzędu.


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3,

5 i 7 rzędu.



106

siódmego rzędu. Na rysunku 7.57 są wykreślone wartości NBMmean w funkcji szybkości

zmian nachylenia sygnału wejściowego modulatora, które wahają się w granicach 6103

,

8103

i 8

102,5

odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego i siódmego rzędu.

Zakres zmian wartości NBMmean jest zatem tym mniejszy, im jest wyższy rząd modulatora

zarówno w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego modulatora i szybkości zmian jego

nachylenia.

Na rysunku 7.58 są wykreślone wartości mocy sygnału NBM w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego modulatora. Jak można zauważyć, moc sygnału NBM w przedziałach

kwantowania rekwantyzatora jest tym większa, im jest większa amplituda sygnału

wejściowego. Warto zauważyć, że dla modulatorów trzeciego i piątego rzędu w środku

każdego z przedziałów rekwantyzatora występuje charakterystyczny pik mocy sygnału NBM.

Natomiast dla modulatora siódmego rzędu w tych samych zakresach amplitud sygnału

wejściowego przebieg mocy sygnału NBM jest gładki, a jego wartości są mniejsze niż dla

modulatorów trzeciego i piątego rzędu. Jest to związane - tak jak poprzednio - z konkretną

realizacją filtru kształtowania widma błędu rekwantyzacji. Należy zaznaczyć, że modulatory

wysokich rzędów charakteryzują się mniejszym poziomem fluktuacji mocy sygnału NBM

w porównaniu z modulatorami niskich rzędów. Moc sygnału NBM waha się w granicach

od -118 dB do -110 dB, od -142,5 dB do -133,5 dB i od -159 dB do -152 dB odpowiednio dla

modulatorów trzeciego, piątego i siódmego rzędu. Dla porównania można przypomnieć, że


wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu.



107

fluktuacje mocy sygnału NBM dla modulatorów niskich rzędów mieściły się w granicach

od -76 dB do -65 dB i od -98 dB do -83 dB odpowiednio dla modulatora pierwszego

i drugiego rzędu.

Wartości mocy sygnału NBM modulatorów wysokich i niskich rzędów w funkcji

numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej sygnału wejściowego modulatora

mają podobny przebieg bez względu na liczbę poziomów rekwantyzatora. Jak można

zauważyć na rysunkach 7.59 i 7.60, dla najwolniejszych zmian sygnału wejściowego

(porównaj rysunek 7.59) i najwolniejszych zmian nachylenia sygnału wejściowego (porównaj

rysunek 7.60) modulatora moc sygnału NBM przyjmuje najmniejsze wartości. Natomiast im

są większe numerycznie wyznaczone wartości pierwszej i drugiej pochodnej sygnału

wejściowego, tym moc sygnału NBM rośnie, przy czym od pewnych zakresów numerycznie

wyznaczonej drugiej pochodnej moc sygnału NBM ustala się na podobnym poziomie

(porównaj rysunek 7.60), a dla numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej cały czas

rośnie (porównaj rysunek 7.59). Fluktuacje wartości mocy sygnału NBM w funkcji szybkości

zmian sygnału wejściowego (porównaj rysunek 7.59) mieszczą się

w zakresie od -116 dB do -97,5 dB, od -143 dB do -120 dB i od -157 dB do -147,5 dB


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3,

5 i 7 rzędu.



108

odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego i siódmego rzędu. Natomiast fluktuacje

wartości mocy sygnału NBM w funkcji szybkości zmian nachylenia sygnału wejściowego

(porównaj rysunek 7.60) zawierają się w zakresie od -115 dB do -105 dB, od -142 dB

do -128 dB i od -157 dB do -149,5 dB odpowiednio dla modulatora trzeciego, piątego

i siódmego rzędu.

Na rysunkach 7.61-7.63 są przedstawione względne różnice wartości współczynników

w liczniku i mianowniku funkcji STF modulatorów. Porównując uzyskane wyniki



sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu.


drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego modulatora SD 3, 5

i 7 rzędu.



109

z wynikami otrzymanymi dla modulatorów jednobitowych wysokiego rzędu (porównaj

rysunki 7.25-7.27) można zauważyć, że charakter zmian wartości współczynników nie uległ

znaczącym zmianom, ale poziom ich względnych różnic zmniejszył się o rząd wielkości.

Należy zaznaczyć, że największe zmiany dotyczą zmienności funkcji STF w zależności od

szybkości zmiany nachylenia przebiegu sygnału wejściowego. Zatem zwiększenie liczby

poziomów rekwantyzatora wpływa na zmniejszenie poziomu zmian w funkcji STF, ale nie na

charakter tych zmian. Natomiast w porównaniu z 5-bitowymi modulatorami niskiego rzędu

(porównaj rysunki 7.43-7.45) można zauważyć, że zwiększanie rzędu modulatora przy

zachowaniu takiej samej liczby poziomów rekwantyzatora umożliwia zmniejszenie poziomu



wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego




wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5-bitowego, cyfrowego




110

względnych różnic współczynników funkcji STF modulatorów (od 2 do 4 rzędów wielkości)

oraz wygładza charakter ich zmian.

7.2.4. Dither’owane modulatory wysokiego rzędu

Ostatnią grupą analizowanych modulatorów SD są 5-bitowe, cyfrowe modulatory SD

trzeciego, piątego i siódmego rzędu z sygnałem dither’a dodawanym do sygnału wejściowego

przed operacją rekwantyzacji. Amplituda i funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa

sygnału dither’a są określone w taki sam sposób jak w podrozdziale 7.2.2 (amplituda równa

0.4 i funkcja TPDF).

Zgodnie z wcześniejszymi badaniami innych typów modulatorów przedstawionymi

w niniejszej pracy można stwierdzić, że dodanie sygnału dither’a do sygnału wejściowego

modulatora powoduje częściową dekorelację błędu rekwantyzacji i sygnału wejściowego

poprzez rozproszenie błędów określenia wartości próbek sygnału wyjściowego modulatora.

Porównanie rysunków 7.64 i 7.55 jest tego potwierdzeniem. Można zauważyć, że wartości

NBMmean dla 5-bitowych dither’owanych modulatorów wysokiego rzędu w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego zmieniają się w znacznie mniejszych zakresach niż dla modulatorów

bez dodatkowego sygnału dither’a. Mimo nieznacznego podniesienia średniego poziomu

wartości NBMmean ich fluktuacje dla poszczególnych przedziałów kwantowania


wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu z

amplitudą sygnału dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF.


Kilkubitowe, dither’owane modulatory SD wysokiego rzędu

111

rekwantyzatora są mniejsze. Należy zaznaczyć, że im wyższy jest rząd modulatora, tym jest

skuteczniejsza częściowa dekorelacja sygnału NBM i parametrów sygnału wejściowego

modulatora.

Jak można zauważyć na rysunkach 7.65 i 7.66 dodatkowy sygnał dither’a nie wpływa

w znaczący sposób na charakter zmian wartości NBMmean w funkcji szybkości zmian sygnału

wejściowego modulatora i szybkości zmian jego nachylenia. W dalszym ciągu bezwzględne

wartości NBMmean są najmniejsze dla najwolniejszych zmian przebiegu sygnału i rosną

w miarę wzrostu bezwzględnych wartości numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej

pochodnej. Porównując wartości NBMmean wykreślone w funkcji szybkości zmian sygnału

wejściowego dla modulatorów z oraz bez dodatkowego sygnału dither’a (porównaj rysunki

7.65 i 7.56) można zauważyć, że dodanie sygnału dither’a umożliwiło zmniejszenie zakresu

wartości NBMmean dla modulatora trzeciego i piątego rzędu, natomiast nieznacznie

zwiększyły się wartości NBMmean w przypadku modulatora siódmego rzędu. W przypadku

zależności wartości NBMmean od numerycznie wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału

wejściowego modulatora (porównaj rysunek 7.66), dodanie sygnału dither’a spowodowało

zwiększenie zakresu wartości NBMmean , przy czym dla modulatora trzeciego rzędu ta zmiana



modulatora SD 3, 5 i 7 rzędu z amplitudą sygnału dither'a równą 0,4 i funkcją

TPDF.



112

jest mniej znacząca niż dla modulatorów piątego i siódmego rzędu (porównaj rysunek 7.57).

Na rysunku 7.67 jest wykreślona moc sygnału NBM w funkcji amplitudy sygnału

wejściowego dither’owanego modulatora. Porównując rysunki 7.67 i 7.58 można zauważyć,

że fluktuacje mocy sygnału NBM są podobne dla całego zakresu zmienności amplitudy

sygnału, ale znacząco mniejsze w przedziałach kwantowania rekwantyzatora. Spowodowane


wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 3, 5, i 7 rzędu z

amplitudą sygnału dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF.




TPDF.



113

jest to wcześniej wspominaną częściową dekorelacją sygnału wejściowego i błędu

rekwantyzacji w modulatorze. Należy zaznaczyć, że tak samo jak w przypadku zmian

wartości NBMmean , zmniejszenie mocy sygnału NBM także jest zależne od rzędu modulatora.

Jak można zauważyć na rysunkach 7.68 i 7.69, moc sygnału NBM w funkcji szybkości


drugiej pochodnej sygnału wejściowego 5 - bitowego, dither'owanego cyfrowego


TPDF.


pierwszej pochodnej sygnału wejściowego 5 - bitowego, dither'owanego cyfrowego


TPDF.



114

zmian sygnału wejściowego i szybkości zmian jego nachylenia dla dither’owanego

modulatora zmienia się w mniejszym zakresie niż dla modulatora bez dodatkowego sygnału

dither’a (porównaj rysunki 7.59 i 7.60). Poprawa wynosi 10 dB, 11 dB i 3 dB odpowiednio

dla modulatora trzeciego, piątego i siódmego rzędu w funkcji numerycznie wyznaczonej

pierwszej pochodnej sygnału oraz 1 dB, 2 dB i 1 dB odpowiednio dla modulatora trzeciego,

piątego i siódmego rzędu w funkcji numerycznie wyznaczonej drugiej pochodnej sygnału

wejściowego. Ponadto dodanie sygnału dither’a zwiększyło zakres szybkości zmian sygnału

wejściowego i szybkości zmian jego nachylenia, w których moc sygnału NBM przyjmuje

najmniejsze wartości.

Zgodnie z wynikami wcześniejszych badań, dodatkowy sygnał dither’a nie wpływa na

względne różnice wartości współczynników licznika i mianownika funkcji STF modulatora

w funkcji parametrów sygnału wejściowego. Jak można zauważyć na rysunkach 7.70-7.72,

charakter zmian funkcji STF modulatora w zależności od amplitudy oraz numerycznie

wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej sygnału wejściowego jest podobny do takich

samych zmian dla modulatora bez dodatkowego sygnału dither’a (porównaj

rysunki 7.61-7.63).



sygnału wejściowego 5-bitowego, dither’owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7

rzędu z amplitudą dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF.



115

7.3. Porównanie dither'owanych modulatorów PCM i SD

Wyniki przedstawione w poprzednich podrozdziałach pokazują, że najskuteczniejszą

dekorelację błędów z sygnałem wejściowym w modulatorze zapewniają kilkubitowe

modulatory z filtrem pętli wysokiego rzędu i dodatkowym sygnałem dither'a dodawanym do

sygnału wejściowego przed operacją rekwantyzacji. Dlatego też do porównania modulatorów

PCM i SD wykorzystano dwa 5-bitowe dither'owane modulatory SD z filtrem pętli piątego

i siódmego rzędu oraz modulator 20-bitowy PCM również z dodatkowym sygnałem dither'a.




cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu z amplitudą dither'a równą 0,4 i funkcją

TPDF.




dither’owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu z amplitudą dither'a równą




116

Należy zaznaczyć, że sygnał dither'a w przypadku modulatora SD pozostał na nie

zmienionym poziomie 0,4∙LSB oraz o funkcji trójkątnej rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa TPDF, natomiast do 20-bitowego rekwantyzatora dodawany jest sygnał

dither'a o wartości LSB1 także o funkcji TPDF. Wyniki badań symulacyjnych dla

modulatora PCM są przeprowadzane w identyczny sposób jak w przypadku badań

modulatorów SD, z tym wyjątkiem, że w miejscu modulatora SD na rysunku 6.1 został

umieszczony rekwantyzator wielobitowy.

Jak można zauważyć na rysunkach 7.73-7.75 charakter zmian wartości NBMmean dla

modulatorów PCM i SD jest podobny. Natomiast wartości NBMmean dla modulatorów SD są

silniej niż w modulatorach PCM zależne od parametrów sygnału wejściowego. Wyjątkiem

jest modulator 5 rzędu, dla którego rozkład wartości NBMmean wydaje się być bardziej

równomierny w funkcji numerycznie wyznaczonej pierwszej pochodnej sygnału wejściowego

(porównaj rysunek 7.74).


wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF oraz 20-bitowego

dither'owanego modulatora PCM z amplitudą sygnału dither'a równą 1 i funkcją

TPDF.


Porównanie dither’owanych modulatorów PCM i SD

117

Zmiany wartości mocy sygnału NBM w funkcji parametrów sygnału wejściowego są

przedstawione na rysunkach 7.76-7.78. Jak można zauważyć, rozkład mocy sygnału NBM

w przypadku modulatora PCM jest wyraźnie mniej zależny od parametrów sygnału




oraz 20-bitowego dither'owanego modulatora PCM z amplitudą sygnału dither'a

równą 1 i funkcją TPDF.








118

wejściowego w porównaniu z modulatorami SD. Świadczy to o zdecydowanie bardziej

skutecznej dekorelacji błędów wprowadzanych przez modulator PCM do sygnału

wyjściowego niż w przypadku modulatorów SD, przy czym zakres tych zmian jest o ok. 2

rzędy wielkości mniejszy dla modulatorów PCM.







wejściowego 5-bitowego, dither'owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu

z amplitudą sygnału dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF oraz 20-bitowego


TPDF.


Porównanie dither’owanych modulatorów PCM i SD

119

Na rysunkach 7.79-7.81 są przedstawione względne różnice współczynników licznika

i mianownika modelowanych funkcji przenoszenia modulatorów dla sygnału wejściowego.

Jak można zauważyć, modulator siódmego rzędu charakteryzuje się zmianami wartości

współczynników na najniższym poziomie. Odnosząc przedstawione wyniki do zmian

wartości NBMmean oraz mocy sygnału NBM można zatem przypuszczać, że poziom



sygnału wejściowego 5-bitowego, dither’owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7

rzędu z amplitudą dither'a równą 0,4 i funkcją TPDF oraz 20-bitowego


TPDF.








120

względnych różnic wartości współczynników modelowanych funkcji przenoszenia

modulatorów dla sygnału wejściowego ma mniejszy wpływ na zmienność ich parametrów

w funkcji zmian w sygnale wejściowym niż wzajemne relacje pomiędzy współczynnikami

2b , 2a ,

1b , 1a i 0b , 0a . Tym samym można przypuszczać, że ze względu na krótkoczasowe

zmiany parametrów modulatorów w funkcji zmian parametrów sygnału wejściowego

decydujące znaczenie mają zależności zarówno między wartościami sygnału wejściowego

i wyjściowego jak też ich pochodnymi.




cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu z amplitudą dither'a równą 0,4 i funkcją

TPDF oraz 20 - bitowego dither'owanego modulatora PCM z amplitudą sygnału

dither'a równą 1 i funkcją TPDF.




dither’owanego cyfrowego modulatora SD 5 i 7 rzędu z amplitudą dither'a równą

0,4 i funkcją TPDF oraz 20-bitowego dither'owanego modulatora PCM z amplitudą

sygnału dither'a równą 1 i funkcją TPDF.


121

8. Podsumowanie

W niniejszej rozprawie skupiono się na krótkoczasowych analizach parametrów

modulatorów SD w cyfrowo-analogowym przetwarzaniu sygnałów fonicznych. Motywacją

do przeprowadzenia badań w tym zakresie jest brak w literaturze światowej podobnych analiz

w dziedzinie czasu cyfrowych modulatorów działających w rzeczywistych warunkach pracy.

Potrzeba analiz cyfrowych modulatorów SD w dziedzinie czasu została zaznaczona i opisana

m.in. w pracach [11, 33, 46, 51, 56, 57], gdzie stwierdzono, że klasyczna analiza

modulatorów SD w dziedzinie częstotliwości nie jest wystarczająca do pełnego wyjaśnienia

ich działania. Dlatego też wyniki przedstawionej w rozprawie krótkoczasowej analizy

parametrów modulatorów SD mogą być pomocne w wyjaśnieniu przyczyn różnic

brzmieniowych, jakie występują w sygnałach dźwiękowych odtwarzanych w systemach

odsłuchowych z przetwornikami c/a typu PCM i typu SDM. W rozprawie potwierdzono, że

błędy modulacji i specyficzne efekty powstające w modulatorach SD, trudne do

zaobserwowania i zrozumienia za pomocą analiz klasycznych, są silnie skorelowane

z parametrami sygnału wejściowego modulatorów, co - jak się wydaje - wpływa na jakość

brzmienia sygnału fonicznego odtwarzanego przez system dźwiękowy [13, 20, 22, 31, 49, 74,

77].

W podrozdziale 6.2 przedstawiono propozycję metody analizy czasowej cyfrowych

modulatorów SD. Ponieważ cyfrowy modulator SD pracuje z silnym nadpróbkowaniem, więc

sygnał wyjściowy modulatora zajmuje szerokie pasmo częstotliwości. Ze względu na to, że

opisywana w rozprawie krótkoczasowa analiza parametrów cyfrowych modulatorów SD

dotyczy sygnałów fonicznych, zaprojektowano specjalne filtry dolnoprzepustowe

wykorzystane do interpolacji sygnału wejściowego oraz ograniczenia pasma sygnału

wyjściowego modulatorów do pasma fonicznego. Zaprojektowane filtry zostały opisane

w podrozdziale 6.3 i charakteryzują się zafalowaniami w paśmie fonicznym (tj. do ok. 21

kHz) na poziomie 14100,5

dB oraz tłumieniem w paśmie zaporowym (od ok. 23 kHz

i powyżej) na poziomie niższym od -300 dB.

W celu wyjaśnienia wpływu parametrów sygnału wejściowego na krótkoczasowe

właściwości cyfrowego modulatora SD, w podrozdziale 6.2 wprowadzono pojęcie

nieliniowego błędu modulacyjnego (NBM). Sygnał NBM reprezentuje łącznie informację

o zniekształceniach nieliniowych wprowadzanych przez modulator do sygnału wyjściowego,


Podsumowanie

122

modulacji progu szumowego modulatora oraz błędzie rekwantyzacji, którego widmo jest

kształtowane w pętli sprzężenia zwrotnego modulatora. Ponieważ modulator SD jest układem

nieliniowym z pamięcią, więc nie ma bezpośredniej korelacji czasowej pomiędzy próbkami

sygnałów wejściowego i wyjściowego, tak jak w modulatorze impulsowo – kodowym (PCM).

Z tego powodu nie można brać pod uwagę szacowania NBM jako sygnału różnicowego

pomiędzy sygnałem wejściowym i ograniczonym pasmowo sygnałem wyjściowym

modulatora.

Została więc zaproponowana przez autora w podrozdziale 6.5 metoda oszacowania

sygnału NBM, polegająca na wyznaczeniu średnich wartości współczynników modelowej

funkcji STF modulatora oraz obliczeniu różnicy prawej i lewej strony równania

różniczkowego odpowiadającego wyznaczonej transmitancji. Funkcja STF modulatora jest

modelowana za pomocą transmitancji drugiego rzędu w dziedzinie zmiennej zespolonej s ze

względu na to, że wzajemne, chwilowe zależności pomiędzy sygnałem wejściowym

i wyjściowym modulatora zależą wtedy tylko od amplitudy i wartości pochodnych obydwu

sygnałów w punkcie, w jakim dokonuje się obserwacji. Ponadto w rozdziale 7

przeprowadzono obliczenia współczynników funkcji STF określonych w zakresach

zmienności parametrów sygnału wejściowego. Miało to na celu pokazanie, w jaki sposób

funkcja przenoszenia modulatora SD dla sygnału zmienia się w zależności od parametrów

sygnału wejściowego modulatora i jak bardzo różni się od tej wyznaczanej za pomocą

klasycznej analizy modulatora SD.

Modelowanie funkcji STF modulatora wymagało numerycznego wyznaczenia

pochodnych sygnału wejściowego i wyjściowego modulatora oraz numerycznego rozwiązania

układów równań 5 zmiennych. Wykorzystane w tym celu metody numeryczne zostały

opisane w podrozdziale 6.5.1. Zaproponowane przez autora procedury: automatycznego,

numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej sygnału w paśmie fonicznym

(ANWP12) oraz numerycznego wyznaczenia średnich wartości współczynników modelowej

transmitancji drugiego rzędu STF cyfrowego modulatora SD (NWSTF) zostały opisane

odpowiednio w dodatku A oraz B i zweryfikowane w podrozdziale 6.5.1. Zastosowanie

procedury NWSTF pozwala na wyznaczenie średnich wartości współczynników funkcji STF

z założoną dokładnością, a w celu skrócenia czasu obliczeń procedura NWSTF została

napisana w języku C. Zastosowanie procedury ANWP12 daje w wyniku maksymalny,

względny błąd określenia pierwszej i drugiej pochodnej sygnału w paśmie fonicznym

o wartościach nie przekraczających odpowiednio 1110

i 810

. Należy zaznaczyć, że

uzyskanie dokładności na takim poziomie w paśmie fonicznym jest możliwe m.in. dzięki


123

specjalnie zaprojektowanym filtrom dolnoprzepustowym PFDP, które przesuwają w czasie

sygnał przetwarzany o ułamkowe części okresu próbkowania sygnału.

Analizowane cyfrowe modulatory SD mające strukturę LSB's error-feedback zawierały

jedno- lub kilkubitowe rekwantyzatory (bez dodatkowego poziomu kwantowania w zerze).

Wykorzystywane w symulacjach funkcje NTF modulatorów zostały przedstawione

w podrozdziale 6.4. Badania symulacyjne zostały przeprowadzone dla współczynnika

nadpróbkowania sygnału wejściowego o wartości równej 64, a sygnałami wejściowymi

podawanymi do modulatorów były rzeczywiste sygnały foniczne opisane w dodatku C.

W celu skrócenia czasu obliczeń symulacje działania modulatorów SD zostały napisane

w języku C.

Badania symulacyjne oraz analiza parametrów sygnału NBM obliczonych w zakresach

zmienności parametrów sygnału wejściowego modulatorów zostały opisane w rozdziale 7.

Badania przeprowadzono dla jedno- i kilkubitowych cyfrowych modulatorów SD

(dither'owanych i bez dodatkowego sygnału dither'a) niskiego rzędu (tj. rzędu pierwszego

i drugiego) oraz wysokiego rzędu (tj. rzędu trzeciego, piątego i siódmego). W badaniach

symulacyjnych opisanych w rozdziale 7 wykorzystano zapis lewego kanału fragmentu utworu

nr 3, natomiast wyniki badań dla innych fragmentów utworów zostały zamieszczone

w dodatku D.

8.1. Ocena wyników symulacji i wnioski

Ocena wyników symulacji wymaga podkreślenia, że błędy numeryczne powstające

podczas prowadzenia badań symulacyjnych są nieuniknione i nie można jednoznacznie

stwierdzić, że zawsze są one pomijalnie małe. Zaproponowane przez autora i wykorzystane

w badaniach metody numeryczne zostały zweryfikowane w podrozdziale 6.5.1, ale nadal

wyniki badań dla rzeczywistych sygnałów mogły być obarczone pewnymi błędami. Dlatego

też w celu ich zminimalizowania autor zdecydował się na przeprowadzenie badań

symulacyjnych dla stosunkowo długich, tj. 60-sekundowych fragmentów utworów, co przy

współczynniku nadpróbkowania sygnału wejściowego równym 64 dla podstawowej

częstotliwości próbkowania równej 44,1 kHz, dawało ok. 27

2 próbek sygnału wejściowego

podawanego do każdego z badanych modulatorów SD. Należy również zaznaczyć, że wyniki

badań dla fragmentów utworów opisanych w dodatku C i zestawionych w dodatku D różnią

się zakresem zmian wartości obliczonych parametrów sygnału NBM, a zakres tych zmian dla

wartości numerycznie wyznaczonej pierwszej i drugiej pochodnej różni się bardziej lub mniej


Podsumowanie

124

ze względu na rodzaj gatunku muzycznego wykorzystanych utworów. Ze względu na to, że

wyniki badań dla różnych fragmentów utworów nie różnią się charakterem zmian

obliczonych parametrów sygnału NBM, to wnioski i ocena wyników badań symulacyjnych

zostały ograniczone do takich, jakie są przedstawione i opisane w rozdziale 7 (tj. dla

fragmentu utworu nr 3).

Reasumując, zgodnie z wynikami badań symulacyjnych przedstawionych i opisanych

w rozdziale 7 można sformułować następujące wnioski końcowe:

Cyfrowe modulatory SD z jednobitowym rekwantyzatorem charakteryzują się tym

mniejszym zakresem zmian swoich parametrów w funkcji zmian w sygnale

wejściowym, im wyższego rzędu jest filtr kształtowania widma błędu rekwantyzacji

w pętli sprzężenia zwrotnego. Należy zaznaczyć, że im jest większa bezwzględna

wartość amplitudy sygnału wejściowego, tym wartości próbek na wyjściu

modulatora są określone z mniejszą dokładnością - niezależnie od rzędu filtru

modulatora. Natomiast im amplituda sygnału jest bliższa zeru, tym określenie

wartości próbek na wyjściu modulatora jest dokładniejsze. Ponadto - jak już

wspominano - modulator jest układem z pamięcią, a zatem im szybsze są zmiany

przebiegu sygnału wejściowego oraz szybsze są zmiany jego nachylenia, tym

większe błędy są wprowadzane przez modulator do sygnału wyjściowego. Ich

poziom utrzymuje się jednak na relatywnie stałym poziomie dla szerszego zakresu

zmian dynamiki sygnału w przypadku modulatorów wysokiego rzędu.

Cyfrowe modulatory SD z kilkubitowym rekwantyzatorem cechują się podobnym

do modulatorów z jednobitowym rekwantyzatorem charakterem zmian swoich

parametrów w funkcji zmian w sygnale wejściowym, ale na niższym poziomie. Jak

przewidywano, zakres zmian jest tym mniejszy, im jest wyższy rząd filtru pętli

modulatora. Warto podkreślić, że parametry modulatora kilkubitowego w funkcji

amplitudy sygnału wejściowego zmieniają się w sposób podobny jak w przypadku

modulatora jednobitowego z tym, że zmiany te nie dotyczą całego zakresu amplitud

sygnału wejściowego, ale każdego z przedziałów kwantowania rekwantyzatora.

Przy czym zmiany te są najmniejsze dla przedziału kwantowania wokół zera.

Należy również zaznaczyć, że zwiększenie liczby poziomów kwantowania

rekwantyzatora wpływa w większym stopniu na zmiany parametrów modulatora

w funkcji amplitudy sygnału wejściowego niż w funkcji szybkości zmian sygnału

i szybkości zmian jego nachylenia.


Ocena wyników symulacji i wnioski

125

Sygnał dither'a dodany do sygnału wejściowego jednobitowego modulatora SD

przed operacją rekwantyzacji w pewnym stopniu rozprasza błędy wprowadzane

przez modulator do sygnału wyjściowego. Częściowa dekorelacja błędu

rekwantyzacji z sygnałem wejściowym jest najbardziej zauważalna dla niskich

rzędów filtru pętli modulatora oraz dla zakresów wartości amplitud sygnału

wejściowego zmieniających się wokół zera. Dodatkowy sygnał dither'a nie wpływa

jednak znacząco na poprawę zachowania się jednobitowych modulatorów niskiego

i wysokiego rzędu w funkcji szybkości zmian sygnału wejściowego oraz szybkości

zmian jego nachylenia.

Sygnał dither'a dodany do sygnału wejściowego kilkubitowego modulatora SD

przed operacją rekwantyzacji w niektórych przypadkach w większym stopniu niż

dla jednobitowego modulatora rozprasza błędy wprowadzane przez modulator do

sygnału wyjściowego powodując ich skuteczniejszą dekorelację z sygnałem

wejściowym. Podobnie jak w przypadku jednobitowego, dither'owanego modulatora

niskiego i wysokiego rzędu dodanie sygnału dither'a zmniejsza fluktuacje

parametrów modulatora w funkcji amplitudy sygnału wejściowego zmniejszając

błędy wynikające z przełączania się modulatora pomiędzy sąsiadującymi

przedziałami kwantowania rekwantyzatora. Należy jednak zaznaczyć, że nie jest

możliwe dokładne porównanie wpływu sygnału dither’a na parametry jedno-

i kilkubitowych modulatorów SD ze względu na różny stosunek amplitudy sygnału

dither’a do zakresu dynamicznego sygnałów wyjściowych jedno- i kilkubitowych

rekwantyzatorów.

Modulatory impulsowo-kodowe PCM charakteryzują się równomiernie rozłożonym

i relatywnie stałym poziomem zmian swoich parametrów w funkcji parametrów

sygnału wejściowego. Można zatem stwierdzić, że błędy wprowadzane przez

modulator PCM do sygnału wyjściowego są skuteczniej niż w modulatorach SD

dekorelowane z sygnałem wejściowym.

Podsumowując, na podstawie uzyskanych wyników badań symulacyjnych i analiz

krótkoczasowych parametrów modulatorów SD bez dodatkowego sygnału dither'a

i modulatorów dither'owanych niskiego i wysokiego rzędu z jedno- i kilkubitowym

rekwantyzatorem oraz przy podaniu do wejścia modulatorów rzeczywistych sygnałów

muzycznych można stwierdzić, że parametry cyfrowych modulatorów SD zawsze zależą

od chwilowych zmian w sygnale wejściowym. Tym samym teza pracy została

potwierdzona. Należy również zaznaczyć, że wspomniane zależności są wyraźnie silniejsze


Podsumowanie

126

w modulatorach SD niż w modulatorach impulsowo-kodowych. Ta właściwość modulatorów

SD jest najprawdopodobniej główną przyczyną różnic brzmieniowych, jakie występują

między systemami dźwiękowymi wyposażonymi w przetworniki c/a z modulatorami

sigma-delta i systemami dźwiękowymi wyposażonymi w przetworniki c/a z modulatorami

impulsowo-kodowymi.

Ponieważ przedstawione w niniejszej rozprawie badania symulacyjne oraz analizy

zostały przeprowadzone w środowisku komputerowym, a obliczenia odbywały się z dużą

rozdzielczością zmiennoprzecinkową, więc wyniki badań oraz analiz nie mogą być

bezpośrednio odniesione do sprzętowych realizacji przetworników c/a SDM. Z uwagi na

techniczne i technologiczne aspekty projektowania i budowy przetworników c/a SDM można

sądzić, że projektowane w praktyce modulatory nie będą się charakteryzowały tak dobrymi

parametrami jak ich modele teoretyczne rozważane w niniejszej rozprawie.

8.2. Dalsze prace

Dalsze prace autora w zakresie krótkoczasowych analiz parametrów modulatorów

sigma-delta stosowanych w cyfrowo-analogowym przetwarzaniu sygnałów fonicznych będą

skupione na optymalizacji krótkoczasowych parametrów modulatorów SD. Wyniki badań

symulacyjnych potwierdziły tezę, iż parametry modulatorów SD zawsze zależą od

chwilowych zmian parametrów w sygnale wejściowym, tj. są z nimi skorelowane. Z tego

powodu zaplanowano dalsze badania cyfrowych modulatorów SD mające na celu

zminimalizowanie istniejących korelacji tak, aby parametry modulatora zmieniały się w jak

najmniejszym stopniu w funkcji parametrów sygnału wejściowego. Przypuszcza się, że

badania modulatorów SD, które dodatkowo będą uwzględniać wartości zmiennych stanu filtru

kształtowania widma błędu rekwantyzacji modulatorów pomogą w znalezieniu optymalnej

metody dekorelacji błędów wprowadzanych do sygnału wyjściowego modulatora

z parametrami sygnału wejściowego.

Przewiduje się również badania modelu modulatora, którego parametry będą się

zmieniały adaptacyjnie nie tylko w funkcji zmian amplitudy sygnału wejściowego, ale

również jego parametrów czasowych (tj. szybkości zmian sygnału wejściowego oraz

szybkości zmian jego nachylenia). W algorytmie tym można także przewidywać

wykorzystanie dodatkowego sygnału dither'a, którego parametry takie, jak funkcja rozkładu

gęstości prawdopodobieństwa i amplituda będą się zmieniać zarówno w funkcji amplitudy

sygnału wejściowego, jak i jego parametrów czasowych.


127

9. Bibliografia

[1] T. Adamski, “Dithering methods in A/D conversion for uniform quantizers and errors

introduced by dither”, Kwartalnik Elektroniki i Telekomunikacji, 2006.

[2] H.-H. Albrecht, “A family of cosine-sum windows for high-resolution measurements”,

in Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2001. Proceedings.(ICASSP’01). 2001

IEEE International Conference on, 2001, vol. 5, pp. 3081–3084.

[3] D. Anastassiou, “Error diffusion coding for A/D conversion”, Circuits and Systems,

IEEE Transactions on, vol. 36, no. 9, pp. 1175–1186, 1989.

[4] E. Anderson, "LAPACK Users’ guide", vol. 9. Siam, 1999.

[5] J. A. S. Angus, “A New Method of Applying High Levels of Dither to Sigma-Delta

Modulators”, Audio Engineering Society Convention 117, 2004.

[6] P. M. Aziz and H. V Sorensen, “An overview of sigma-delta converters”, Signal

Processing Magazine, IEEE, vol. 13, no. 1, pp. 61–84, 1996.

[7] E. Bach, “Multibit oversampling D/A converters using dynamic element matching

methods”, Siemens AG, Semiconductors Group, 1999.

[8] N. Ben Ameur and M. Loulou, “Design of efficient digital interpolation filters and

sigma-delta modulator for audio DAC”, Design and Technology of Integrated Systems

in Nanoscale Era, 2008. DTIS 2008. 3rd International Conference on, 2008, pp. 1–7.

[9] N. Ben Ameur, M. Soyah, N. Masmoudi, and M. Loulou, “FPGA implementation of

polyphase decomposed FIR filters for interpolation used in Δ-Σ audio DAC”, Signals,

Circuits and Systems (SCS), 2009 3rd International Conference on, 2009, pp. 1–4.

[10] W. R. Bennett, “Spectra of quantized signals”, Bell syst. tech. J, vol. 27, no. 3, pp. 446–

472, 1948.

[11] M. J. Borkowski, “Digital delta-sigma modulation: variable modulus and tonal

behaviour in a fixed-point digital environment”, Oulu University, 2008.

[12] G. I. Bourdopoulos, A. Pnevmatikakis, V. Anastassopoulos, and T. L. Deliyannis,

“Delta-sigma modulators: modeling, design and applications“, World Scientific

Publishing Company, 2003.

[13] L. K. Brinton, “Nonsubtractive dither”, Department of Electrical Engineering,

University of Utah, 1984.

[14] J. C. Candy and O. Benjamin, “The structure of quantization noise from sigma-delta

modulation”, Communications, IEEE Transactions on, vol. 29, no. 9, pp. 1316–1323,

1981.


Bibliografia

128

[15] L. R. Carley, “A noise-shaping coder topology for 15+ bit converters”, Solid-State

Circuits, IEEE Journal of, vol. 24, no. 2, pp. 267–273, 1989.

[16] P. G. Craven, “Antialias filters and system transient response at high sample rates”,

Journal of the Audio Engineering Society, vol. 52, no. 3, pp. 216–242, 2004.

[17] R. E. Crochiere and L. R. Rabiner, “Interpolation and decimation of digital signals -

A tutorial review”, Proceedings of the IEEE, vol. 69, no. 3, pp. 300–331, 1981.

[18] G. Dahlquist and A. Björck, “Metody numeryczne”, PWN, Warszawa, 1983.

[19] T. F. Darling and M. J. Hawksford, “Oversampled analog-to-digital conversion for

digital audio systems”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 38, no. 12, pp.

924–943, 1990.

[20] D. De Koning and W. Verhelst, “On psychoacoustic noise shaping for audio

requantization”, Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2003.

Proceedings.(ICASSP’03). 2003 IEEE International Conference on, 2003, vol. 5, pp.

V–453.

[21] J. M. de la Rosa, “Sigma-delta modulators: Tutorial overview, design guide, and state-

of-the-art survey”, Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on, vol.

58, no. 1, pp. 1–21, 2011.

[22] C. Dunn and M. Sandler, “A comparison of dithered and chaotic sigma-delta

modulators”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 44, no. 4, pp. 227–244,

1996.

[23] C. Dunn and M. Sandler, “Psychoacoustically optimal sigma-delta modulation”, Audio

Engineering Society Convention 99, 1995.

[24] J. Dunn, “Anti-Alias and Anti-Image Filtering: The Benefits of 96-kHz Sampling Rate

Formats for Those Who Cannot Hear Above 20 kHz”, Audio Engineering Society

Convention 104, 1998.

[25] Z. Fortuna, B. Macukow, and J. Wąsowski, “Metody numeryczne“, Wydawnictwo

Naukowo-Techniczne, 1993.

[26] I. Fujimori, A. Nogi, and T. Sugimoto, “A multibit delta-sigma audio DAC with 120-

dB dynamic range”, Solid-State Circuits, IEEE Journal of, vol. 35, no. 8, pp. 1066–

1073, 2000.

[27] Y. Geerts, M. Steyaert, and W. Sansen, “Design of multi-bit delta-sigma A/D

converters“, vol. 686. Springer, 2002.

[28] E. P. Gonzalez and J. D. Reiss, “Idle Tone Behavior in Sigma–Delta Modulation,”

Audio Engineering Society 122nd Convention Papers CD-ROM (2007 May),

convention paper, 2007, vol. 7108.


129

[29] F. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier

transform”, Proceedings IEEE, 1978, vol. 66, pp. 51–83.

[30] J. Hayes, J. Pennock, and A. J. Magrath, “Future design challenges for audio converter

products”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 52, no. 3, pp. 159–165, 2004.

[31] C. R. Helmrich, M. Holters, and U. Zölzer, “Improved Psychoacoustic Noise Shaping

for Requantization of High-Resolution Digital Audio”, Audio Engineering Society

Conference: 31st International Conference: New Directions in High Resolution Audio,

2007.

[32] N. J. Higham, “Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. 2002”, Society for

Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA.

[33] E. Janssen, “Look-ahead Based Sigma-delta Modulation“, Springer Science+ Business

Media, 2011.

[34] W. Kester and J. Bryant, “DACs for DSP applications”, Mixed Signal and DSP Design

Techniques. Newnes: Amsterdam, pp. 99–115, 2003.

[35] W. A. Kester, “Data conversion handbook“, Newnes, 2005.

[36] M. Kozak and I. Kale, “Oversampled delta-sigma modulators: Analysis, applications

and novel topologies“, Springer, 2003.

[37] Z. Kulka, “Analog-to-digital and digital-to-analog converters for high-quality musical

sound”, Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, Rozprawy naukowe, vol. 134, pp.

269–288, 2006.

[38] Z. Kulka and P. Woszczek, “Implementation of digital sigma-delta modulators for

high-resolution audio digital-to-analog converters based on field programmable gate

array”, Archives of Acoustics, vol. 33, no. 1, p. 93, 2008.

[39] Z. Kulka and M. Lewandowski, “An FPGA-based sigma-delta audio DAC“, IEEE,

2008, pp. 39–42.

[40] Z. Kulka, A. Libura, and M. Nadachowski, “Przetworniki analogowo-cyfrowe i

cyfrowo-analogowe“, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1987.

[41] T. Kuo, K. Chen, and J. Chen, “Automatic coefficients design for high-order sigma-

delta modulators”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital

Signal Processing, vol. 46, no. 1, pp. 6–15, 1999.

[42] P. Kvist, T. Poulsen, and K. B. Rasmussen, “A Listening Test of Dither in Digital

Audio Systems” Audio Engineering Society Convention 118, 2005.

[43] R. C. Ledzius and J. Irwin, “The basis and architecture for the reduction of tones in a

sigma-delta DAC”, Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing,

IEEE Transactions on, vol. 40, no. 7, pp. 429–439, 1993.


Bibliografia

130

[44] M. Lewandowski, “Application of Intrinsic Time-Scale Decomposition in Analyzing

Sigma-Delta Modulator for Audio DAC”, New Trends in Audio and Video / Signal

Processing Algorithms, Architectures, Arrangements and Applications, 2012.

[45] M. Lewandowski, “Noise Transfer Function Design and Optimization for Digital

Sigma-Delta Audio DAC”, Archives of Acoustics, vol. 36, no. 1, pp. 87–108, 2011.

[46] M. Lewandowski, “Time-Domain Analysis of Sigma-Delta Audio DAC”, XV

Międzynarodowe Sympozjum Inżynierii i Reżyserii Dźwięku, 2013.

[47] J. Lipshitz Stanley P.; Vanderkooy, “Pulse-Code Modulation--An Overview”, J. Audio

Eng. Soc, vol. 52, no. 3, pp. 200–215, 2004.

[48] S. Lipshitz and J. Vanderkoy, “Dither myths and facts”, Audio Engineering Society

Convention 117, 2004.

[49] S. P. Lipshitz, J. Vanderkooy, and R. A. Wannamaker, “Minimally audible noise

shaping”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 39, no. 11, pp. 836–852,

1991.

[50] S. P. Lipshitz, R. A. Wannamaker, and J. Vanderkooy, “Quantization and dither: A

theoretical survey”, Journal of the audio engineering society, vol. 40, no. 5, pp. 355–

375, 1992.

[51] A. S. T. Løkken Ivar; Vinje, “Noise Power Modulation in Dithered and Undithered

High-Order Sigma-Dela Modulators”, J. Audio Eng. Soc, vol. 54, no. 9, pp. 841–854,

2006.

[52] F. Maloberti, “Data converters“, Springer, 2007.

[53] G. Manganaro, “Advanced data converters“, Cambridge University Press, 2012.

[54] F. Medeiro and A. Perez-Verdu, “Top-down design of high-performance sigma-delta

modulators“, Springer, 1999.

[55] A. Mostowski and M. Stark, “Introduction to higher algebra“, vol. 37. Pergamon,

1964.

[56] M. Neitola, “Characterizing and minimizing spurious responses in delta-sigma

modulators”, Oulu University, 2012.

[57] S. R. Norsworthy, R. Schreier, and G. C. Temes, “Delta-Sigma Data Converters:

Theory, Design and Simulation“, IEEE press, 1997.

[58] S. R. Norsworthy, “Dynamic dithering of delta-sigma modulators”, Audio Engineering

Society Convention 99, 1995.

[59] A. Nuttall, “Some windows with very good sidelobe behavior”, Acoustics, Speech and

Signal Processing, IEEE Transactions on, vol. 29, no. 1, pp. 84–91, 1981.


131

[60] K. Olejarczyk, “Metody badania stabilności pewnej klasy modulatorów Delta-Sigma,”

Politechnika Warszawska, 2003.

[61] D. Reefman and E. Janssen, “DC analysis of high order sigma delta modulators,” Audio

Engineering Society Convention 113, 2002.

[62] A. H. REEVES, “Electric signaling system”, Google Patents, 03-Feb-1942.

[63] J. D. Reiss, “Understanding Sigma-Delta Modulation: The Solved and Unsolved

Issues”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 56, no. 1/2, pp. 49–64, 2008.

[64] J. D. Reiss and M. Sandler, “Dither and noise modulation in sigma delta modulators”,

Audio Engineering Society Convention 115, 2003.

[65] R. Schreier, “An empirical study of high-order single-bit delta-sigma modulators”,

IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing,

vol. 40, no. 8, pp. 461–466, 1993.

[66] R. Schreier, “Delta sigma toolbox”, Internet: http://www. mathworks.

com/matlabcentral/fileexchange/19, 2000.

[67] R. Schreier and G. C. Temes, “Understanding delta-sigma data converters“, vol. 74.

IEEE press Piscataway, NJ, 2005.

[68] A. Sripad and D. Snyder, “A necessary and sufficient condition for quantization errors

to be uniform and white”, Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions

on, vol. 25, no. 5, pp. 442–448, 1977.

[69] J. Stoer, R. Bulirsch, and J. Cytowski, “Wstęp do analizy numerycznej“, Państwowy

Wydawnictwo Naukowe, 1987.

[70] M. Story, “Audio analog-to-digital converters”, Journal of the Audio Engineering

Society, vol. 52, no. 3, pp. 145–158, 2004.

[71] J. R. Stuart, “Coding for high-resolution audio systems”, Journal of the Audio

Engineering Society, vol. 52, no. 3, pp. 117–144, 2004.

[72] L. Tomaszewski and E. Hrynkiewicz, “Analiza szumu modulacyjnego cyfrowego

generatora sinusoidalnego z modulacją sigma-delta”, Elektronika: konstrukcje,

technologie, zastosowania, vol. 50, no. 10, pp. 87–91, 2009.

[73] C. Travis and P. Lesso, “Specifying the Jitter Performance of Audio Components”,

AES 117th Convention, 2004.

[74] G. Tsenov, V. Mladenov, and J. D. Reiss, “A Comparison of Theoretical, Simulated,

and Experimental Results Concerning the Stability of Sigma Delta Modulators”, 124th

AES Convention, 2008.

[75] J. Vanderkooy and S. Lipshitz, “Why 1-bit sigma-delta conversion is unsuitable for

high-quality applications”, Audio Engineering Society Convention 110, 2001.


Bibliografia

132

[76] J. Vanderkooy and S. P. Lipshitz, “Dither in digital audio”, Journal of the Audio

Engineering Society, vol. 35, no. 12, pp. 966–975, 1987.

[77] R. A. Wannamaker, “Dither and noise shaping in audio applications“, 1992.

[78] B. Widrow, “A study of rough amplitude quantization by means of Nyquist sampling

theory”, Circuit Theory, IRE Transactions on, vol. 3, no. 4, pp. 266–276, 1956.

[79] B. Widrow, “Statistical analysis of amplitude-quantized sampled-data systems”,

American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry,

Transactions of the, vol. 79, no. 6, pp. 555–568, 1961.

[80] J. H. Wilkinson, A. Kiełbasiński, and B. Kiełbasińska, “Błędy zaokrągleń w procesach

algebraicznych“, Państwowe Wydawnictwa Naukowe, 1967.

[81] W. Woszczyk, “Physical and perceptual considerations for high-resolution audio”,

Audio Engineering Society Convention 115, 2003.


133

10. Dodatki

A. Procedura ANWP12

Procedura automatycznego numerycznego wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej

sygnału w paśmie fonicznym (ANWP12)

1. Ograniczenie pasma sygnału wejściowego do pasma fonicznego za pomocą

filtru FDPogr

2. Numeryczne wyznaczenie pierwszej i drugiej pochodnej sygnału za pomocą

ilorazu różnicowego czwartego rzędu zgodnie ze wzorami (6.12) i (6.13)

dla wartości przyrostów h = 100, h = 10, h = 1, h = 0,1, h = 0,01, h =

0,001 części okresu próbkowania sygnału

3. Oszacowanie wartości piątej i szóstej pochodnej ograniczonego pasmowo

sygnału wejściowego i określenie przebiegu optymalnych wartości

przyrostu 0h zgodnie ze wzorami (6.14) i (6.15)

4. Podział wartości przyrostu h na zakresy hz:

div

100hhZ100

div

1h-10hh

div

100h

Z10

div

0,1h-1hh

div

1h-10h

Z1

div

0,01h-0,1hh

div

0,1h-1h

Z0,1

div

0,001h-0,01hh

div

0,01h-0,1h

Z0,01

Z0,001h

div

0,001h-0,01h

5. Utworzenie wyjściowych wektorów próbek y1 oraz y2 złożonych

z numerycznie wyznaczonych w punkcie 2 procedury wartości pochodnych

zawierających się w odpowiednich zakresach wartości przyrostu hz

z punktu 4 procedury zgodnie z zależnościami:


Dodatki

134

Z0,001Z1000,001h100hZ0,001Z100

Ihy1hy1Df

Z0,001Z1000,001h100hZ0,001Z100

IIhy2hy2Df

B. Procedura NWSTF

Procedura numerycznego wyznaczenia średnich wartości współczynników modelowej

transmitancji drugiego rzędu STF cyfrowego modulatora SD (NWSTF)

1. Generacja tablicy T o wymiarach m5 zawierającej losowe wartości

z przedziału m,1 o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa

m5,5,25,1

m4,4,24,1

m3,3,23,1

m2,2,22,1

m1,1,21,1

randrandrand

randrandrand

randrandrand

randrandrand

randrandrand

T

gdzie m jest liczbą próbek sygnałów tu , ty , tuDfIII,

i tyDfIII,

2. Utworzenie m układów równań STFSTFdx

STFC zgodnie z zależnościami

(6.24) i (6.25) tak, że każdy element macierzy STFC i wektora STF

d jest

określony w punkcie T(n,m), gdzie indeks n odpowiada numerowi wiersza

macierzy STFC i elementowi wektora STF

d

3. Numeryczne wyznaczenie m zbiorów rozwiązań układów równań liniowych

STFSTFdx

STFC utworzonych w punkcie 2 procedury metodą bezpośrednią

eliminacji Gauss’a z częściowym wyborem elementu głównego

4. Oszacowanie względnego błędu ERRBD zgodnie z zależnością (6.21) dla

każdego z utworzonych w punkcie 2 m układów równań liniowych

5. Obliczenie średnich wartości współczynników modelowej transmitancji STF

z tych m zbiorów rozwiązań xSTF, które spełniają warunek ERRBD < 10-dok,

gdzie wielkość dok definiuje oczekiwaną dokładność numerycznie

wyznaczonych zbiorów rozwiązań układów równań. Średnie wartości

współczynników obliczane są za pomocą mediany (wartości środkowej)


135

C. Wybór utworów wykorzystywanych w badaniach

Symulacje oraz analizy cyfrowych modulatorów SD przeprowadzono dla wybranych

przez autora utworów muzycznych zarejestrowanych w formacie dwukanałowym

o częstotliwościach próbkowania będących całkowitymi wielokrotnościami wartości

44100 Hz oraz rozdzielczościach od 16 do 24 bitów. Ze względu na ograniczoną pojemność

pamięci operacyjnej oraz dokładność i czas wykonywania obliczeń, z każdego utworu

wykorzystano do dalszych badań fragmenty o długości 60 sekund. Wybrane fragmenty

utworów zostały przygotowane w taki sposób, aby zbadać zachowanie się cyfrowych

modulatorów SD w możliwie najszerszym zakresie zmian dynamiki sygnałów wejściowych.

Wszystkie wykorzystane utwory muzyczne, których wykaz został zamieszczony

w tablicy 10.1 pochodzą z legalnych nośników będących własnością autora.

Tablica 10.1. Wykaz utworów muzycznych wykorzystanych w badaniach symulacyjnych.

Nr Autor i/lub

wykonawca Tytuł utworu

Czas trwania

[min:sek]

Zakres

[min:sek] Format

1 Benjamin

Britten Fugue 2:53 0:10 - 1:10

stereo

176,4 kHz

24 bity

2 Benjamin

Britten Fugue 2:53 1:30 – 2:30

stereo

176,4 kHz

24 bity

3 Dick Hyman Moten Swing 4:26 1:20 – 2:20

stereo

44,1 kHz

16 bitów

4 Dick Hyman Moten Swing 4:26 3:26 – 4:26

stereo

44,1 kHz

16 bitów

5 Franz Liszt Prelude on

BACH 3:26 0:00 – 1:00

stereo

176,4 kHz

24 bity


Dodatki

136

6 Franz Liszt Prelude on

BACH 3:26 0:56 – 1:56

stereo

176,4 kHz

24 bity

D. Wyniki badań symulacyjnych dla utworów opisanych w dodatku C

Wyniki badań symulacyjnych modulatorów pobudzanych sygnałami muzycznymi

opisanymi w dodatku C są zestawione w tablicach 1-48 na płycie CD dołączonej do

rozprawy. Każda z tablic ma dwie kolumny i trzy wiersze, w których zamieszczone są

przebiegi wartości parametrów NBMmean i NBMPrms oraz trzy dolne wiersze, gdzie są

wykreślone względne, znormalizowane do wartości maksymalnej różnice par

współczynników modelowej funkcji STF badanych modulatorów SD, przy czym dla

modulatorów wysokiego rzędu różnice te są wykreślane dla modulatorów 5 i 7 rzędu.

Wspomniane wartości parametrów są wykreślone w funkcji amplitudy, szybkości zmian

sygnału wejściowego oraz szybkości zmian jego nachylenia.

Należy zaznaczyć, że wyniki badań modulatorów przy podaniu do ich wejścia

fragmentów utworów opisanych w dodatku C różnią się zakresem zmian wartości

obliczonych parametrów sygnału NBM. Zakres tych zmian różni się bardziej lub mniej ze

względu na rodzaj gatunku muzycznego wykorzystanych utworów. Natomiast charakter

zmian parametrów sygnału NBM badanych modulatorów dla różnych fragmentów utworów

jest podobny. Sygnałem wejściowym podawanym do modulatorów jest - tak jak w rozdziale 7

- zapis lewego kanału każdego z opisanych w dodatku C fragmentów utworów.


Documents

Rozprawa doktorska - repo.pw.edu.pl